截长补短类辅助线作法

截长补短辅助线模型模型：截长补短如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可.补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可.模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.模型实例例1：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 .求证：AB＝AC＋CD .证法一，截长法：如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ACD≌△AED ，∴CD＝DE，∠C＝∠3 .∵∠C＝2∠B，∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ，∴∠4＝∠B ，∴DE＝BE ，∴CD＝BE.∵AB＝AE＋BE，∴AB＝AC＋CD .证法二，补短法：如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE .∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E .∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B .∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.又∵AE＝AC＋CE，∴∴AB＝AC＋CD .例2：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD . 求证：AO＋BO＝2CO .证明：在线段AO上取一点E，使CE＝AC，连接DE .∵CD＝CD，DC⊥OA，∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠CED .∵∠A＝∠GBD ，∴∠CED＝∠GBD ，∴1800－∠CED＝1800－∠GBD ，∴∠OED＝∠OBD .∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD .∵OD＝OD，∴△OED≌△OBD ，∴OB＝OE，∴AO＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2（CE＋OE）＝2CO .跟踪练习1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD .求∠ABC 的度数 .【答案】证法一：补短延长AB 到点E ，使BE ＝BD . 在△BDE 中， ∵BE ＝BD ，∴∠E ＝∠BDE ， ∴∠ABC ＝∠BDE ＋∠E ＝2∠E . 又∵AC ＝AB ＋BD ，∴AC ＝AB ＋BE ，∴AC ＝AE .∵AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC ＝600， ∴∠EAD ＝∠CAD ＝600÷2＝300 . ∵AD ＝AD ，∴△AED ≌△ACD ，∴∠E ＝∠C . ∵∠ABC ＝2∠E ，∴∠ABC ＝2∠C . ∵∠BAC ＝600，∴∠ABC ＋∠C ＝1800－600＝1200，∴32∠ABC ＝1200，∴∠ABC ＝800 . 证法二：在AC 上取一点F ，使AF ＝AB ，连接DF. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠FAD . ∵AD ＝AD ，∴△BAD ≌△FAD ，∴∠B ＝∠AFD ，BD ＝FD .∵AC ＝AB ＋BD ，AC ＝AF ＋FC ∴FD ＝FC ，∴∠FDC ＝∠C . ∵∠AFD ＝∠FDC ＋∠C ， ∴∠B ＝∠FDC ＋∠C ＝2∠C . ∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝1800， ∴32∠ABC ＝1200，∴∠ABC ＝800 .2. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE ＋CD .【答案】如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接OF . ∵∠ABC ＝600，∴∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 . ∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， ∴∠OAC ＝∠OAB ＝2BAC Ð，∠OCA ＝∠OCB ＝2ACBÐ， ∴∠AOE ＝∠COD ＝∠OAC ＋∠OCA ＝2BAC ACB??＝600，∴∠AOC＝1800－∠AOE＝1200 .∵AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOF＝∠AOE＝600，∴∠COF＝∠AOC－∠AOF＝600，∴∠COF＝∠COD .∵CO＝CO，CE平分∠ACB，∴△COD≌△COF（ASA），∴CD＝CF .∵AC＝AF＋CF，∴AC＝AE＋CD，3. 如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB .求证：AB＋CD＝BC .【答案】证法一：截长如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4 .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .∵∠3＝∠4 ，∴∠5＝∠6 .∵CE＝CE，∠2＝∠DCE ，∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD .∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC证法二：补短如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠BEF＝∠BEC＝900，∴∠BEF＋∠BEC＝1800，∴C、E、F三点共线 .∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD .∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝CD .∵BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD .4.如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于点E .求证：AC－AB＝2BE .【答案】延长BE交AC于点M .∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM＝900.∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM .∵BE⊥AE，∴BM＝2BE .∵∠ABC＝900，∠C＝300，∴∠BAC＝600.∵AB＝AM，∴∠3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM，∴AC－AB＝CM＝BM＝2BE .5. 如图，Rt△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于点F，交AB于点E .求证：AD＝2DF＋CE .【答案】在AD上取一点G，使AG＝CE，连接CG .∵CE⊥AD，∴∠AFC＝900，∠1＋∠ACF＝900.∵∠2＋∠ACF＝900，∴∠1＝∠2 .∵AC＝BC，AG＝CE，∴△ACG≌△CBE，∴∠3＝∠B＝450，∴∠2＋∠4＝900－∠3＝450.∵∠2＝∠1＝12∠BAC＝22.50，∴∠4＝450－∠2＝22.50，∴∠4＝∠2＝22.50.又∵CF＝CF，DG⊥CF，∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF .∵AD＝AG＋DG，∴AD＝CE＋2DF .6. 如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800.求证：AD平分∠CDE.【答案】如图，延长CB到点F，使BF＝DE，连接AF、AC .∵∠1＋∠2＝1800，∠E＋∠1＝1800，∴∠2＝∠E .∵AB＝AE，∠2＝∠E，BF＝DE，∴△ABF≌△AED，∴∠F＝∠4，AF＝AD .∵BC＋DE＝CD，∴BC＋BF＝CD，即FC＝CD .又∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACD，∴∠F＝∠3 .∵∠F＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AD平分∠CDE .。

罕见的辅助线作法（截长补短）之勘阻及广创作
截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

例1、已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
（分别用截长补短两种方法证明）
例2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABE=∠CBE，CE⊥BD的延长线于E。

求证：BD=2CE.
例3、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：
例4、如图①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(2)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。

全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．典型例题精讲【例1】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数．【解析】法一：如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC ．由AC AB BD =+知AE AC =，而60BAC ∠=︒，则AEC ∆为等边三角形．注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =， 故AED ACD ∆∆≌.从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=︒，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒. 法二：在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =. 在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =， 则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =， 进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠， AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠. 注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=︒-∠=︒，故80ABC ∠=︒.【答案】见解析．【例2】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=︒+∠=︒，∴120DOE ∠=︒，∴180A DOE ∠+∠=︒，∴180AEO ADO ∠+∠=︒， ∴13180∠+∠=︒，∵24180∠+∠=︒，∴12∠=∠，∴34∠=∠， 利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =， ∴BC BF CF BE CD =+=+．【答案】见解析．【例3】 如图，已知在△ABC 内，60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ AQ AB BP +=+．DOECB A4321FDOE CB A【解析】延长AB 至D ，使BD BP =，连DP ．在等腰△BPD 中，可得40BDP ∠=︒， 从而40BDP ACP ∠=︒=∠，△ADP ≌△ACP （ASA ），故AD AC =又40QBC QCB ∠=︒=∠，故 BQ QC =，BD BP =． 从而BQ AQ AB BP +=+．【答案】见解析．【例4】 如图，在四边形ABCD 中，BC BA >，AD CD =，BD 平分∠ABC ，求证：180A C ∠+∠=︒．【解析】延长BA 至F ，使BF BC =，连FD△BDF ≌△BDC （SAS ）， 故DFB DCB ∠=∠，FD DC =又AD CD =，故在等腰△BFD 中，DFB DAF ∠=∠ 故有180BAD BCD ∠+∠=︒【答案】见解析．【例5】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD DC =，120BDC ∠=︒，60MDN ∠=︒，求证：MN MB NC =+．QPCBACDB A【解析】延长NC 至E ，使得CE MB =∵ BDC ∆是等腰三角形，且120BDC ∠=︒，∴30DBC DCB ∠=∠=︒ ∵ ABC ∆是等边三角形． ∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒∴90MBD ABC DBC ACB DCB DCN DCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠=︒ 在DBM ∆和DCE ∆中，BD DC =，MB CE =， ∴ DBM DCE ∆∆≌. ∴DE DM =, 12∠=∠.又∵ 160NDC ∠+∠=︒，∴ 2+60NDC END ∠∠=∠=︒. 在MDN ∆与EDN ∆中，ND ND =，60MDN EDN ∠=∠=︒，DE DM = ∴ MND END ∆∆≌∴ MN EN NC MB ==+【答案】见解析．【例6】 如图在△ABC 中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点，求证：AB AC PB PC ->-．【解析】延长AC 至F ，使AF AB =，连PD△ABP ≌△AFP （SAS ） 故BP PF =由三角形性质知1BMNM CBA21EABCDMN< PB PC PF PC CF AF AC AB AC -=-=-=-【答案】见解析．【例7】 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上．求证：BC AB DC =+．【解析】在BC 上截取BF AB =，连接EF∵BE 平分∠ABC ，∴ABE FBE ∠=∠又∵BE BE =，∴△ABE ≌△FBE （SAS ），∴A BFE ∠=∠．∵AB 180A D ∠+∠=︒180BFE CFE ∠+∠=︒D CFE ∠=∠DCE FCE ∠=∠CE CE =CD CF=BC BF CF AB CD =+=+M ABCD AB MN DM ⊥ABC ∠N MD MNDM MN =AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =︒∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【答案】见解析．【例8】 已知：如图，ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=∠，求证：BE DF AE +=．DEC BAN CDE B M A NCDEB M A FE DCBAM F EDCB A【解析】延长CB 至M ，使得BM DF =，连接AM .∵AB AD =，AD CD ⊥，AB BM ⊥，BM DF = ∴ABM ADF ∆∆≌∴AFD AMB ∠=∠，DAF BAM ∠=∠ ∵AB CD ∥∴AFD BAF EAF BAE BAE BAM EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴AMB EAM ∠=∠，AE EM BE BM BE DF ==+=+【答案】见解析．【例9】 如图所示，已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且2BAE DAM ∠=∠．求证：AE BC CE =+．【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等．我们用(1)法来证明．【答案】延长AB 到F ，使BF CE =，则由正方形性质知AF AB BF BC CE =+=+下面我们利用全等三角形来证明AE AF =．为此，连接EF 交边BC 于G ．由于对顶角BGF CGE ∠=∠，所以()Rt ΔBGF CGE AAS ∆≌，从而12BG GC BC FG EG ===，，BG DM =于是()Rt ΔRt ΔABG ADM SAS ≌，所以12BAG DAM BAE EAG ∠=∠=∠=∠，AG 是EAF ∠的平分线【例10】 五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=︒，求证：AD 平分∠CDE ．M EDCBAF【解析】延长DE 至F ，使得EF BC =，连接AC .∵180ABC AED ∠+∠=︒，180AEF AED ∠+∠=︒，∴ABC AEF ∠=∠ ∵AB AE =，BC EF =，∴△ABC ≌△AEF ． ∴EF BC =，AC AF =∵BC DE CD +=，∴CD DE EF DF =+= ∴△ADC ≌△ADF ，∴ADC ADF ∠=∠ 即AD 平分∠CDE .【答案】见解析．【例11】 若P 为ABC ∆所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则点P 叫做ABC ∆的费马点．（1）若点P 为锐角ABC ∆的费马点，且60ABC ∠=︒，34PA PC ==，，则PB 的值为_____；（2）如图，在锐角ABC ∆外侧作等边ACB ∆′，连结BB ′． 求证：BB ′过ABC ∆的费马点P ，且BB PA PB PC =++′．【解析】（1）（2）证明：在BB ′上取点P ，使120BPC ∠=︒， 连结AP ，再在PB ′上截取PE PC =，连结CE ．∵120BPC ∠=︒，∴60EPC ∠=︒，∴PCE ∆为正三角形， ∴PC CE =，60PCE ∠=︒，120CEB ∠=︒′， ∵ACB ∆′为正三角形，∴AC B C =′，60ACB ∠=︒′， ∴60PCA ACE ACE ECB ∠+∠=∠+∠=︒′，∴PCA ECB ∠=∠′， ∴ACP B CE ∆∆≌′，∴120APC B CE ∠=∠=︒′，PA EB =′， ∴120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒，CEDB AABDEFC B'CBA∴P为ABC∆的费马点，P∴BB′过ABC∆的费马点，且BB EB PB PE PA PB PC′′．=++=++【答案】见解析．AB'EPB课后复习【作业1】已知，AD 平分∠BAC ，AC AB BD =+，求证：2B C ∠=∠．【解析】延长AB 至点E ，使AE AC =，连接DE∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠ ∵AE AC =，AD AD =，∴△AED ≌△ACD （SAS ），∴E C ∠=∠ ∵AC AB BD =+，∴AE AB BD =+∵AE AB BE =+，∴BD BE =，∴BDE E ∠=∠ ∵ABC E BDE ∠=∠+∠，∴2ABC E ∠=∠，∴2ABC C ∠=∠．【答案】见解析．【作业2】如图，△ABC 中，2AB AC =，AD 平分∠BAC ，且AD BD =，求证：CD ⊥AC ．【解析】在AB 上取中点F ，连接FD ．则△ADB 是等腰三角形，F 是底AB 的中点，由三线合一知 DF ⊥AB ，故90AFD ∠=︒ △ADF ≌△ADC （SAS ）90ACD AFD ∠=∠=︒，即：CD ⊥AC【答案】见解析．DCBAECBADCDBA【作业3】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【解析】如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=︒，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.因为120BDC ∠=︒，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=︒. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=︒. 在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=︒，DM DE =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.【答案】见解析．【作业4】已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，180B D ∠+∠=︒，求证：AE AD BE =+．【解析】在AE 上取F ，使EF EB =，连接CF∵CE ⊥ABE D CBA∴90∠=∠=︒CEB CEF∵EB EF=，CE CE=，∴△CEB≌△CEF∴B CFE∠=∠∵180＋，180∠+∠=︒CFE CFA∠∠=︒B D∴D CFA∠=∠∵AC平分∠BAD∴DAC FAC∠=∠∵AC AC=∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD AF=∴AE AF FE AD BE=+=+【答案】见解析．。

完整版)截长补短类辅助线作法截长补短类辅助线作法是解决三条线段之间数量关系问题的常用方法。

其中，“截长”是将最长的线段一分为二，使其中一条等于已知的较短线段之一，然后证明另一段与已知另一条线段的数量关系；“补短”是将一条较短的线段延长至与另一条较短的线段相等，然后证明延长后的线段与最长的线段的数量关系。

需要注意的是，截长补短类辅助线作法一般用于三条线段之间的数量关系问题，特别是当线段前的系数不是1时，可能会涉及到含特殊角的直角三角形。

在构造辅助线时，需要结合题目条件选择适当的方法，并不是所有题目都适用于截长和补短方法。

下面是一些例题的精讲：1.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。

2.已知△ABC中，DP⊥BC，证明BD平分∠ABC，BC上有动点P；DP平分∠BDC时，求BD、CD、CP三者的数量关系。

3.已知△ABC中，D、E、F分别平分∠A、∠B、∠C，交于点P，试判断AD：DB、BE：EC、CF：FA的数量关系，并加以证明。

4.在△ABC中，AD是角平分线，点F、E分别在AC、AB上，且AF=DE，证明BF=CE。

5.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。

6.已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠AED=45°，证明AE=BD。

7.五边形ABCDE中，AD平分∠CDE，证明XXX。

8.在△ABC中，D是三角形外一点，且∠ACD=∠BCD，AB与CD交于点E，证明XXX。

9.如图1所示，AB、CD平行，AE、DE分别平分∠A、∠D，并交于点E。

过点E的直线分别交AM、DN于B、C。

1）当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系。

2）试证明你的猜想。

截长补短类协助线作法?“截长”就是将三条线段中最长的那条线段一分为二，使此中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，而后证明此中的另一段与已知的另一条线段的数目关系；“补短”就是将三条线段中一条已知的较短的线段延伸至与另一条已知的较短的长度相等，而后证明延伸后的线段与最长的已知线段的数目关系．?注： 1、截长补短类协助线解决的一般是三条线段之间的数目关系问题，特别要注意线段前系数不是“ 1”的时候，一般会波及到含特别角的直角三角形2、详细在利用截长或许补短结构协助线时要联合题目条件选择适合的方法，并不是全部题目截长和补短都能够例题精讲1、如下图，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为极点作一个的，点、分别在、上，求的周长．P．2、已知：如图，△ABC中，，BD均分∠ ABC，BC上有动点（ 1） DP⊥BC时（如图 1），求证：；（ 2） DP均分∠ BDC时（如图 2）， BD、CD、 CP三者有何数目关系？3、已知中，，、分别均分和，、交于点，试判断、、的数目关系，并加以证明．4、（ 2014 初二上期末昌平区）如图，AD是△ ABC的角均分线，点F，E 分别在边 AC， AB上，且．（ 1）求证：；（ 2）假如，研究线段AE， AF，FD之间知足的等量关系，并证明．5、如下图，是边长为的正三角是顶角为的等腰三角形，形，以为极点作一个的，点、分别在、上，求的周长．6、如下图，已知正方形ABCD 中， M 为 CD 的中点， E 为 MC 上一点，且．求证：．7、五边形 ABCDE 中，，，，求证：AD 均分∠ CDE．8、如图，在△ ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：9、(2012 初二上期中中关村中学)如图1 所示：，AE 、DE 分别均分和，并交于 E 点.过点E 的直线分别交AM 、DN 于B、C.（1）如图 2，当点 B、C 分别位于点 AD 的同侧时，猜想 AD 、 AB、 CD 之间的存在的数目关系： ____ _____.（2）试证明你的猜想 .（3）若点 B、 C 分别位于点 AD 的双侧时，试写出 AD 、AB 、CD 之间的关系，并选择一个写出证明过程 .10、（2012 初二上期中北达资源中学）（1）如图，四边形ABPC 中，，，，求证：．（ 2）如图，四边形ABCD 中，，，P 为四边形ABCD 内一点，且，求证：．11、（2009 山东临沂中考）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF=90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的均分线 CF 于点 F，求证： AE=EF．AB 的中点M ，连结ME ，则经过思虑，小明展现了一种正确的解题思路：取AM=EC ，易证△AME ≌△ ECF，因此 AE=EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（ 1）小颖提出：如图 2，假如把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC上（除B，C 外）的随意一点”，其余条件不变，那么结论“ AE=EF”仍旧建立，你以为小颖的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延伸线上（除 C 点外）的随意一点，其余条件不变，结论“AE=EF”仍旧建立．你以为小华的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因．12、（ 2013 中考旭日二模）在平行四边形 ABCD 过点 E 作直线 EF，在 EF 上取一点 G，使得中，E 是AD 上一点，，连结AG ．，（ 1）如图1，当EF 与AB 订交时，若，求证：；（ 2）如图2，当EF 与AB 订交时，若，请你直接写出线段EG、AG 、 BG 之间的数目关系（用含（ 3）如图 3，当 EF 与 CD 订交时，且α的式子表示）；，请你写出线段EG、AG 、BG之间的数目关系，并证明你的结论．13、（2015 初二上期末昌平区）为等腰直角三角形, , 点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，（ 1）如图1，作于，求证：；（ 2）在图 1 中，连结交于，求的值；（ 3）如图2，过点作交的延伸线于点，过点作，交于点，连结.当点在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明原因.随堂练习1、已知等腰，，的均分线交于，则．2、已知：如图，是正方形，，求证：．3、（2015 中考顺义一模）如图，△ABC中，，点P是三角形右外一点，且．（ 1）如图 1，若，点 P 恰好在∠ ABC的均分线上，，求 PB的长；（ 2）如图 2，若，研究 PA，PB， PC的数目关系，并证明；（ 3）如图 3，若，请直接写出 PA，PB，PC的数目关系．课后作业1、如图，四边形 ABCD 中， AB ∥DC， BE、CE 分别均分∠ ABC 、∠ BCD ，且点E在AD 上．求证：．2、（ 2013 黑龙江龙东地域中考）正方形 ABCD 的极点 A 在直线 MN 上，点 O 是对角线 AC 、BD 的交点，过点 O 作 OE⊥MN 于点 E，过点 B 作 BF⊥ MN 于点 F．（1）如图 1，当 O、B 两点均在直线 MN 上方时，易证： AF+BF=2OE （不需证明）（2）当正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的地点时，线段 AF、BF、OE 之间又有如何的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种状况赐予证明．3、（ 2015 中考海淀一模）在菱形中，，点是对角线上一点，连结，，将线段绕点逆时针旋转并延伸获得射线，交的延伸线于点．（ 1）依题意补全图形；（ 2）求证：；（ 3）用等式表示线段，，之间的数目关系：．4、（2014 黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、黑河中考）在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线 MN 过点 A 且 MN ∥ BC，过点 B 为一锐角极点作Rt△BDE，∠ BDE=90°，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合），如图 1， DE 与 AC 交于点 P，易证： BD=DP ．（无需写证明过程）（ 1）在图 2 中， DE 与 CA 延伸线交于点 P，BD=DP 能否建立？假如建立，请(完整版)截长补短类辅助线作法赐予证明；假如不建立，请说明原因；（2）在图 3 中， DE 与 AC 延伸线交于点 P，BD 与 DP 能否相等？请直接写出你的结论，无需证明．11 / 11。

五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．解析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。

求证： CD=AD+BC。

思路解析：1）题意解析：此题观察全等三角形常有辅助线的知识：截长法或补短法。

2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，进而达到简化问题的目的。

初中几何截长补短辅助线的技巧几何截长补短辅助线是初中几何学习中的一个重要内容，它在解决各种几何问题中发挥着重要作用。

通过合理的引入辅助线，能够简化问题，加快解题速度，提高解题效率。

本文将从几何截长补短的基本原理、技巧和应用实例等几个方面来探讨这一问题。

一、几何截长补短的基本原理在解决几何问题中，有时候我们会遇到一些棘手的问题，例如如何确定某条线段的中点，如何证明两个线段相等，如何证明一个角是直角等等。

这时，引入辅助线就能够起到很好的辅助作用。

通过巧妙地引入辅助线，我们可以改变问题的结构，使得原来复杂的问题变得简单易解。

具体来说，几何截长补短的基本原理可以总结为以下几点：1.切分线段：通过引入一条辅助线，将原来的线段分割，使得问题简化。

2.补充关系：通过引入辅助线，构造出一些平行线、相似三角形等特殊的几何形状，从而得到一些新的等量关系。

3.利用对称性：通过引入辅助线，利用对称性质，进而得到所求的结论。

二、几何截长补短的技巧在实际解题中，我们要学会灵活运用截长补短的技巧，下面是一些常用的技巧：1.求线段的中点：如果要求一条线段的中点，可以通过连接线段的两个端点，然后取连接线的中垂线，这样就能够找到线段的中点。

2.证明三角形全等：如果要证明两个三角形全等，可以通过截长补短的方法，构造出两个共有的辅助线段，利用辅助线段推出其他线段的等长，从而证明三角形全等。

3.证明角的相等：要证明两个角相等，可以通过引入辅助线，构造出一些相似三角形，从而得到两个角相等的结论。

4.求证平行四边形：如果要证明一个四边形是平行四边形，可以通过截长补短的方法，构造出一些平行线或者等腰三角形等特殊形状，从而得到平行四边形的结论。

5.求证直角三角形：如果要证明一个三角形是直角三角形，可以通过引入辅助线，构造出一些直角三角形或者等腰三角形等特殊形状，从而得到直角三角形的结论。

三、“截长补短”技巧的应用实例下面我们通过一些实际例子来说明截长补短的技巧在几何问题中的应用。