双曲线典型例题

班级姓名座号2.2.1 双曲线及其标准方程（二）※典型例题A,两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，例2已知B求炮弹爆炸点的轨迹方程。

例3 如图，点B A ,的坐标分别为()0,5-，()0,5，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94，使求点M 的轨迹方程，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状。

与2.1例3比较，你有什么发现？例4 已知定点()0,3A 和定圆()163:22=++y x C ，定圆与圆C 相外切，并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程。

※ 课堂练习1. 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点。

线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q2.相距1400m 的B A ,两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？三、小结反思1.双曲线8822=-ky kx 的一个焦点为()3,0，那么k 等于 （ ）A ．1 B.-1 C.97 D. 97- 2.已知两圆()24:221=++y x C ，()24:222=+-y x C ，动圆M 与两圆21,C C 都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 （ ）A ．0=x B.)2(114222≥=-x y x C. 114222=-y x D. 114222=-y x 或0=x 3.已知()0,51-F ，()0,51F ，动圆P 满足a PF PF 221=-，当a 为3和5时，点P 的轨迹分别是（ ）A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线4.求到定点()0,c F 与到定直线c a x l 2:=距离之比是⎪⎭⎫ ⎝⎛>1a c a c 的点M 的轨迹.。

双曲线【知识要点】1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF ||=e(e>1). F 为直线l 外一定点，动点到定直线的距离为d ，e 为大于1的常数. 2.双曲线的标准方程与几何性质M(x 0,y 0)为22a x -22b y =1右支上的点，则|MF 1|=ex 0+a ，|MF 2|=ex 0-a.(1)当M(x,y)为22a x -22b y =1左支上的点时,|MF 1|=-(a+ex),|MF 2|=ex-a.(2)当M(x,y)为22a y -22bx =1上支上的点时，|MF 1|=ey 0+a ，|MF 2|=ey 0-a.【基础训练】1.（2004年春季北京）双曲线42x －92y =1的渐近线方程是 ( )A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49xD.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =13.如果双曲线642x －362y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是（ ）A.10B.7732 C.27 D.5324.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________. 5.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.【典型例题】题型一:求双曲线的标准方程例1、 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.（3）实轴长为16，离心率为45e（4）经过两点P )7,26()72,3(---Q题型二:双曲线的定义及应用例2、（2002年全国，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.例3、如下图，在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3），它们与点F （0，5）的距离成等差数列. （1）求y 1+y 3的值；（2）证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.变式：、已知(2,1),A F ，P 是曲线221(0)x y x -=>上一点，当||||2PA PF +取最小值时，P 的坐标是，|||PA PF 最小值是 ．题型三:双曲线的性质及应用例4、 已知双曲线22a x －22by =1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?变式：过双曲线22a x －22by =1.的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线的左右两支于A 、B 两点，求双曲线离心率的取值范围。

第9节 双曲线渐近线的几个常用结论知识与方法设双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的焦点分别为1F 、2F ，则有以下结论：1.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b .2．如图1所示，以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点为(),a b . 3．如图2所示，过双曲线C 上任意一点P 作C 的两条渐近线的平行线，则它们与两条渐近线所围成的平行四边形PIOJ 的面积是定值2ab.4．如图3所示，双曲线C 上任意一点P 处的切线与C 的两条渐近线分别交于A 和B 两点，则P 为AB 的中点，且AOB 的面积为定值ab .5．如图4所示，A 、B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，D 为AB 的中点，若直线OD 、AB的斜率都存在，则它们的斜率之积为22b a.典型例题【例1】已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点为F ，则F 到双曲线C 的渐近线的距离为_______.变式 已知双曲线()22:10C x y a -=>的右焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，则A 、B 两点到双曲线的一条渐近线的距离之和为_______.【例2】如下图所示，双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于A 、B 、D 、E 四点，则四边形ABDE 的面积为_______.变式 （2019·新课标Ⅰ卷）已知双曲线2222:1x yC a b -=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为_______.【例3】已知双曲线22:126x y C -=的右焦点为F ，点A 为双曲线C 在第一象限上的一点，且AF x ⊥轴，过A 作C 的两条渐近线的平行线与双曲线的渐近线交于M 、N 两点，则四边形OMAN 的面积为_______.变式 已知A 为双曲线222:16x y C a -=()0a >的右顶点，过A 作C 的两条渐近线的平行线，分别与双曲线的渐近线交于M 、N 两点，若四边形OMAN 3则双曲线C 的离心率为_______.【例4】已知双曲线22:155x y C -=，过点()2,0P 的直线l 与双曲线C 有且仅有1个公共点，且直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和B ，则AOB 的面积为_______.【例5】已知直线320x y -+=与双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的渐近线交于A 、B 两点，若AB 的中点为()1,1M ，则双曲线C 的渐近线方程为_______.变式 （2014·浙江）设直线30x y m -+=()0m ≠与双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的两条渐近线分别交于点A 、B ，若点(),0P m 满足PA PB =，则该双曲线的离心率是_______.强化训练1.（★）已知双曲线22:124x y C -=的一个焦点为F ，则F 到双曲线C 的渐近线的距离为_______.2.（2018·天津·★★★）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点.设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（ ）A.221412x y -= B.221124x y -= C.22139x y -= D.22193x y -= 3.（★★★）己知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，且12PF PF ⊥，直线1PF 与双曲线的另一渐近线交于点Q ，若12FQ QP =，则双曲线C 的离心率为_______. 4.（★★★）已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且斜率为12的直线与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ，若12PF PF ⊥，则双曲线C 的离心率为_______.5.（★★★）己知P 为双曲线2222:1x y C a b-=上一点，过P 作C 的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于M 、N 两点，则平行四边形OMPN 的面积为_______.6.（★★★）已知直线20x y -+=与双曲线()22:10y C x b b-=>的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若AB 的中点为28,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，则b =_______.7.（★★★★）已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右焦点为()2,0F ，左、右顶点分别为A 和B ，且P 为C 上不与A 、B 重合的一点，直线PA 、PB 的斜率之积为3. （1）求双曲线C 的方程；（2）过点P 的直线l 与双曲线C 有且仅有1个交点，与C 的渐近线交于M 、N 两点，求MON 的面积.。

双曲线和抛物线复习【典型例题】【双曲线A】例1. 已知圆C方程为，定点A（－3，0），求过定点A且和圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程。

解析：∵圆P与圆C外切，∴|PC|＝|PA|＋2，即|PC|－|PA|＝2，∴由双曲线定义，点P的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中，故所求轨迹方程为点评：在利用双曲线第一定义解题时，要特别注意对定义中“绝对值”的理解，以避免解题时出现片面性。

当P满足时，点P的轨迹是双曲线的一支；当时，点P的轨迹是双曲线的另一支，当时，点P的轨迹是两条射线。

不可能大于。

例 2. 如图，以和为焦点的椭圆的离心率，它与抛物线交于两点，以为两渐近线的双曲线上的动点P（x，y）到一定点Q（2，0）的距离的最小值为1，求此双曲线方程。

解析：由条件知，椭圆中则∴椭圆方程为。

解方程组得两点的坐标分别为（3，2），（3，－2）。

∴所求双曲线的渐近线方程为又Q（2，0）到的距离为所以双曲线的实轴只能在x轴上。

设所求双曲线方程为，则，方程化为，得∵P（x，y）在双曲线上，∴①当，即时，当时，解得∴所求双曲线方程为②当，即时，当时，解得或（舍去），∴所求双曲线方程为综上，所求双曲线方程为或点评：待定系数法是求曲线方程最常用的方法之一。

（1）与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为；（2）若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的方程可表示为；（3）与双曲线共焦点的双曲线方程可表示为；（4）过两个已知点的双曲线的标准方程表示为；（5）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为＝1利用上述结论求关于曲线的标准方程，可简化解题过程，提高解题速度。

例3. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。

（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：；（3）求的面积。

解析：（1），∴可设双曲线方程为∵过点，∴，即，∴双曲线方程为（2）由（1）可知，双曲线中，∵点（3，m）在双曲线上，∴故（3）的底，的高点评：双曲线的标准方程和几何性质中涉及到很多基本量，如“a，b，c，e”等，树立基本量思想对于确定曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．另外，渐近线是双曲线特有的，双曲线的渐近线方程可记为.同时以为渐近线的双曲线方程可设为（）。

双曲线及其方程 （第一课时）一、 教学目标：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导。

二、 重点：双曲线的定义和标准方程。

难点：标准方程的推导。

三、 基本概念：1、双曲线的定义： 叫做双曲线的焦点。

叫做双曲线的焦距。

2、注意：0〈2a<21F F =2c3、思考：当2a=2c 时轨迹如何？ ，当2a>2c 时又如何？四、 双曲线的标准方程及其推导。

（一） 双曲线的标准方程的推导： 1.建立直角坐标系：2.写出适合条件的动点M 的集合：3.列方程：4.化简方程：（二） 双曲线的标准方程：1、焦点在X 轴上时： 2、焦点在Y 轴上时： 3、a 、 b 、 c 的关系 五、典型例题：例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1） 两个焦点的坐标分别是（-5,0）,(5,0), 双曲线上的点与两个焦点的距离的差的绝对值等于8； （2） 两个焦点的坐标分别是（0，-6），（0，6），且双曲线经过点A （-5，6）.思考：如果已知点M （x,y ）与点F 1（-5，0）的距离比它与点F 2（5，0）的距离大8，求M 点的轨迹方程。

并与例1（1）比较有什么联系和区别？例2、已知双曲线1453622=-y x （1）求此双曲线的左、右焦点F 1，F 2的坐标；（2） 如果此双曲线上一点P 与焦点F 1的距离等于16，求点P 与焦点F 2的距离六、基本练习：1、根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）a=3,b=4, 焦点在X 轴上；（2）两个焦点的坐标分别是F 1（0，-6）, F 2 (0，6), 经过点A （2，-5）.（3） 焦点在X 轴上，经过点P （4，-2）和点Q （2,622）；（4） a=5,c=8;2、已知双曲线方程1201622=-x y （1）求双曲线的焦点F 1，F 2的坐标。

（2）如果此双曲线上一点P 与焦点F 1的距离等于8，求点P 与焦点F 2的距离。

七、巩固提高：1、若11222=+++λλy x 表示双曲线，则λ的取值范围2、求中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，并且经过P （3，415）和Q （,3165）两点的双曲线方程。

双曲线基本知识点及例题优选版1. 过双曲线的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。

2. 已知双曲线的离心率为2，求它的两条渐近线的夹角。

3. 在面积为1的△PMN中，，建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程。

4. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P是两条曲线的一个交点，求的值。

5. 已知椭圆及点B（0，－2），过左焦点F1与点B的直线交椭圆于C、D两点，椭圆的右焦点为F2，求△CDF2的面积。

6. P为椭圆上任意一点，F1为它的一个焦点，求证以焦半径F1P为直径的圆与以长轴为直径的圆相切。

7. 已知两定点A（－1，0），B（1，0）及两动点M（0，y1），N（0，y2），其中，设直线AM与BN的交点为P。

（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若直线与曲线C位于y轴左边的部分交于相异两点E、F，求k 的取值范围。

8. 直线只有一个公共点，求直线l的方程。

1. 解：∵双曲线方程为，∴＝13，于是焦点坐标为设过点F1垂直于x轴的直线l交双曲线于，∴故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为。

2. 解：设实轴与渐近线的夹角为，则∴∴两条渐近线的夹角为［点评］（1）离心率e与。

（2）要注意两直线夹角的范围，否则将有可能误答为。

3. 解：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设，（如图所示）则解得设双曲线方程为，将点∴所求双曲线方程为点评：选择坐标系应使双曲线方程为标准形式，然后采用待定系数法求出方程。

4. 解：∵P在椭圆上，，又∵点P在双曲线上，，①、②两式分别平方得两式相减得，∴5. 解：∵，由∵与椭圆有两个公共点，设为：∴又点F2到直线BF1的距离说明：本题也可用来解。

6. 略解1设为椭圆上任意一点，则又两圆半径分别为，，故此两圆内切。

略解2如图，∴此两圆内切7. 解：（1）由题意得AM的方程为，BN的方程为：。

两式相乘，得（2）由8. 解：由（1）∴此时直线l：x＝3与双曲线只有一个公共点（3，0）；（2）当b≠0时，直线l方程为。

专题11双曲线及其性质【知识梳理】知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为{}12122(02)MMF MF a a F F -=<<．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当122a F F =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线．（3）122a F F >时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“122F F a >”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222a b c +=的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质A 222121sinsin21cos tanFr r bθθθ==⋅=-考点2：双曲线方程的充要条件考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4：双曲线上两点距离的最值问题考点5：双曲线上两线段的和差最值问题考点6：离心率的值及取值范围考点7：双曲线的简单几何性质问题考点8：利用第一定义求解轨迹考点9：双曲线的渐近线考点10：共焦点的椭圆与双曲线【典型例题】考点1：双曲线的定义与标准方程1．（2022·江西科技学院附属中学高二期中（理））已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝（）A．1B．2C ．4D ．12【答案】A【解析】如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，易知1PHF PHQ ∽，所以|PF 1|＝|PQ |.根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，即|PF 2|－|PQ |＝2，从而|QF 2|＝2.在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，则|OH |＝1.故选：A.2．（2022·黑龙江·铁人中学高二期中）双曲线222112x y a -=（0a >）的左、右两个焦点分别是1F 与2F ，焦距为8；M 是双曲线左支上的一点，且15MF =，则2MF 的值为（）A ．1B ．9C ．1或9D ．9或13【答案】B【解析】依题意4c =，所以21216a +=，即2a =，因为15MF =，且2124MF MF a -==，所以29MF =.故选：B3．（2022·天津·耀华中学高二期中）与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=【答案】C【解析】椭圆C 的焦点坐标为()0,2±，设双曲线的标准方程为()222210,0y xa b a b -=>>，由双曲线的定义可得2a ==-=a ∴，2c =，b ∴==，因此，双曲线的方程为22122y x -=.故选：C.4．（2022·河北·高二期中）已知双曲线22221x y a b-=的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，1210F F =，点M 是双曲线左支上的一点，若OM =1243MF MF =，则双曲线的标准方程是（）A ．224121x y -=B ．221214x y -=C ．22124y x -=D ．22124x y -=【答案】C【解析】由题意知：双曲线22221x y a b -=的焦距为210c =，22225a b c ∴+==，125OM OF OF ===，12MF MF ∴⊥.1243MF MF =，不妨设13MF k =，24MF k =，由双曲线的定义可得：212MF MF k a -==，16MF a ∴=，28MF a =，由勾股定理可得：()()222222121268100100MF MF a a a F F +=+===，解得：21a =，224b ∴=，∴双曲线方程为22124y x -=.故选：C.5．（2022·北京工业大学附属中学高二期中）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（）A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【解析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．6．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点()13,0F -，()23,0F ，下列条件中满足动点P 的轨迹为双曲线的是（）A ．127PF PF -=±B ．126PF PF -=±C ．124PF PF -=±D ．22126PF PF -=±【答案】C【解析】由题意，因为126F F =，所以由双曲线的定义知，当1206PF PF <-<时，动点P 的轨迹为双曲线，故选：C.7．（2022·福建·南靖县第一中学高二期中）（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.（2）已知双曲线焦点在y 轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为20x y ±=，求双曲线的方程．【解析】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为221259x y λλ+=++.又椭圆过点，将x =3，y9151259λλ+=++，解得λ=11或=21λ-(舍去).故所求椭圆的标准方程为2213620x y +=.（2）由题意，设双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，设焦距为2c ，∴22212210a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得5a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴该双曲线的方程为221520y x -=．8．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点分别为(0,6)-，(0,6)，且经过点(5,6)A -；(2)经过点，(4,--；【解析】(1)由题易知焦点在y 轴上，设双曲线的方程22221y x a b -=则222223636251c a b a b ⎧=+=⎪⎨-=⎪⎩解得：221620a b ⎧=⎨=⎩所以所求双曲线的标准方程为2211620y x -=(2)设双曲线的方程为：221(0)Ax By AB +=<代入点坐标得到：9+10=11624=1A B A B ⎧⎨+⎩解得：1418A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故双曲线的标准方程为：22148x y -=考点2：双曲线方程的充要条件9．（多选题）（2022·全国·高二期中）已知曲线22:1C mx ny +=.则（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆B ．若m =n >0，则C 是圆C ．若mn <0，则C 是双曲线D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ABCD【解析】A 选项，当0m n >>时，22221111x y mx ny m n+=⇒+=，110m n<<，方程表示焦点在y 轴上的椭圆，A 选项正确.B 选项，当0m n =>时，222211mx ny x y n+=⇒+=，表示圆，B 选项正确.C 选项，当0mn <时，22221111x y mx ny m n+=⇒+=，表示双曲线，C 选项正确.D 选项，当0,0m n =>时，22211mx ny y y n +=⇒=⇒=±±D 选项正确.故选：ABCD10．（2022·河南·高二期中（文））已知k ∈R ，则“23k <<”是“方程22162x y k k -=--表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由方程22162x y k k -=--表示双曲线可得()()620k k -->，解得26k <<，显然23k <<能推出26k <<，反之26k <<不能推出23k <<，故“23k <<”是“方程22162x y k k -=--表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A.11．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期中（理））“0mn <”是“方程221x y m n+=表示的曲线为双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当0mn <，则0m >且0n <或0m <且0n >，此时方程221x y m n+=表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；若方程221x y m n+=表示的曲线为双曲线，则0mn <，则必要性成立，故选：C .考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题12．（2022·安徽·淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知1F 、2F 是等轴双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=，则12PF PF ⋅等于___________.【答案】4【解析】∵双曲线C 的方程为：221x y -=，∴221a b ==，得c =由此可得()1F 、)2F ，焦距12=F F ∵1260F PF ∠=，∴2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-，即2212128PF PF PF PF -⋅=+，①又∵点P 在双曲线22:1C x y -=上，∴1222PF PF a -==，平方得22112224PF PF PF PF -⋅+=，②①-②，得124PF PF ⋅=，故答案为：4.13．（2022·上海金山·高二期中）已知1F ､2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 到该双曲线的渐近线的距离为2，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠=︒，则三角形12F PF 的面积为___________.【答案】【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线的方程为b y x a=±，右焦点2(,0)F c 由点2F 到该双曲线的渐近线的距离为22bca =，则2b =由()12222121222||2cos 60PF PF a c PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨=+-⋅⎪⎩，可得212416PF PF b ⋅==则三角形12F PF的面积为1211sin 601622PF PF ⋅⋅=⨯=故答案为：14．（多选题）（2022·湖南省汨罗市第二中学高二期中）已知点P 是双曲线E ：221169x y -=的右支上一点，1F ，2F 为双曲线E 的左、右焦点，12PF F △的面积为20，则下列说法正确的是（）A ．点P 的横坐标为203B ．12PF F △的周长为803C ．12F PF ∠小于3πD ．12PF F △的内切圆半径为34【答案】ABC【解析】因为双曲线22:1169x y E -=，所以5c =，又因为12112102022PF F P P Sc y y =⋅=⋅⋅=，所以4P y =,将其代入22:1169x yE -=得2241169x -=，即203x =，所以选项A 正确；所以P 的坐标为20,43⎛⎫± ⎪⎝⎭，由对称性可知2133PF ==，由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=所以12PF F △的周长为:12133780210333PF PF c ++=++=，所以选项B 正确；可得11235PF k =，2125PF k =，则(121212360535tan 12123191535F PF -==∈⨯+⨯，则123F PF π<∠，，所以选项C 正确；因为12PF F △的周长为803，所以121202803PF F S r =⋅⋅=，所以32r =，所以选项D 不正确．故选：ABC.15．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知12F F ，为双曲线C ：221164x y-=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】由题意得，4,2,a b c ===，由双曲线的对称性以及12PQ F F =可知，四边形12PFQF 为矩形，所以122221228480PF PF a PF PF c ⎧-==⎪⎨+==⎪⎩，解得128PF PF =，所以四边形12PFQF 的面积为128PF PF =．故答案为：8．16．（2022·广东·江门市第二中学高二期中）双曲线2216416y x -=上一点P 与它的一个焦点的距离等于1，那么点P 与另一个焦点的距离等于___________.【答案】17【解析】由双曲线的方程可得实半轴长为8a =，虚半轴长为4b =，故8045c =因为点P 与一个焦点的距离等于1，而8451a c +=+>，故点P 与该焦点同在x 轴的上方或下方，故点P 与另一个焦点的距离为1217a +=，故答案为：17.17．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知双曲线22145x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线左支上一点且128PF PF +=，则1221sin sin PF F PF F ∠=∠______．【答案】3【解析】因为双曲线为22145x y -=，所以2a =、3c =，因为点P 是双曲线左支上一点且128PF PF +=，所以214PF PF -=，所以12=PF ，26PF =，在12PF F △中，由正弦定理可得122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，所以212211sin 3sin PF PF F PF F PF ∠==∠；故答案为：318．（2022·天津市咸水沽第二中学高二期中）已知1F ，2F 分别是双曲线221916x y -=的左､右焦点，AB 是过点1F 的一条弦（A ，B 均在双曲线的左支上），若2ABF 的周长为30，则||AB =___________.【答案】9【解析】双曲线221916x y -=，得a ＝3，因为A ，B 均在双曲线的左支上，所以21212,2AF AF a BF BF a -=-=，则△ABF 2的周长为()()22112224AF BF AB AF a BF a AB AB a ++=++++=+，所以2|AB |+4×3＝30，所以9AB =．故答案为：9．19．（2022·吉林·白城一中高二期中）双曲线221916x y -=的两个焦点为12,F F ,点P 在双曲线上，若1PF ·2PF ＝0，则点P 到x 轴的距离为________．【答案】165【解析】设()12,,PF m PF n m n ==>，由题意可知3,4,5a b c ==∴=，=6m n -1PF ·2PF ＝0，2221212PF PF F F ∴+=2224m n c ∴+=,22100m n ∴+=,22=6100m n m n -⎧⎨+=⎩,32m n ∴=1211=222F PF Smn c y =,=c y mn ∴,=mn y c ∴,16=5y ∴,∴点P 到x 轴的距离为165.故答案为：16520．（2022·上海市崇明中学高二期中）已知双曲线221169x y -=的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=，则12F PF △的面积为_________.【答案】9【解析】依题意，双曲线221169x y -=的焦点1(5,0)F -、2(5,0)F ，12||||||8PF PF -=，因122F PF π∠=，则有222212121212||||||(||||)2||||F F PF PF PF PF PF PF =+=-+，即有22122||||10836PF PF =-=，解得12||||18PF PF =，所以12F PF △的面积121||||92S PF PF ==.故答案为：921．（2022·江苏·高二专题练习）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过焦点1F 的弦AB ，A 、B 两点在同一支上且长为m ，另一焦点为2F ，则2ABF 的周长为（）．A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m【答案】C【解析】由双曲线的定义得：212BF BF a -=①，212AF AF a -=②，两式相加得：21214BF BF AF AF a -+-=，即22224BF AF AB BF AF m a +-=+-=，所以224BF AF a m +=+，故2ABF 的周长为2242BF AF AB a m ++=+.故选：C22．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设1F ，2F 是双曲线22146x y -=的左、右焦点，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则12PF F △的面积等于（）A ．6B ．12C．D．【答案】A【解析】双曲线22146x y -=的实半轴长2a =，半焦距c =12||F F =，因213PF PF =，由双曲线定义得22124PF PF PF -==，解得22PF =，16PF =，显然有22122124||0PF PF F F +==，即12PF F △是直角三角形，所以12PF F △的面积12121||||62PF F S PF PF ==.故选：A23．（2022·辽宁大连·高二期中）已知1F ，2F 分别是双曲线221916x y -=的左､右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1232PF PF ⋅=.则12F PF △的面积为（）A ．8B．C ．16D．【答案】C【解析】因为P 是双曲线左支上的点，所以216PF PF -=，两边平方得221212236PF PF PF PF +-⋅=，所以22121236236232100PF PF PF PF +=+⋅=+⨯=.在12F PF △中，由余弦定理得2221212121212100100cos 022PF PF F F F PF PF PF PF PF +--∠==⋅⋅，所以1290F PF ∠=︒，所以121211321622F PF S PF PF =⋅=⨯=△.故选：C考点4：双曲线上两点距离的最值问题24．（2022·上海中学东校高二期末）过椭圆221(9)9x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:4O x y +=外切，该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹记为曲线C ，若P 为曲线C 上的一动点，则FP 长度最小值为（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】椭圆221(9)9x y m m m +=>-，3c ==，所以()3,0F .设以FQ 为直径的圆圆心为C ，如图所示：因为圆O 与圆C 外切，所以2OC CF -=，因为12QF OC =，2QF CF =，所以()1124QF QF OC CF F F -=-=<，所以Q 的轨迹为：以1,F F 为焦点，24a =的双曲线的右支.即2,3,a c b ====:C ()221245x y x -=≥.所以P 为曲线C 上的一动点，则FP 长度最小值为1c a -=.故选：C25．（2022·安徽省宣城市第二中学高二阶段练习（理））已知12,F F 分别是双曲线2214xy -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为（）A ．2B1C ．1D 2【答案】C【解析】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点M ，则11||||,||||PA PB F A F M ==，22||||F B F M =．又点P 在双曲线右支上，12||||2PF PF a ∴-=，即12(||||)(||||)2PA F A PB F B a +-+=，12||||2F M F M a ∴-=①，又12||||2F M F M c +=②，由①＋②，解得1||F M a c =+，又1||OF c =，则(,0)M a ，因为双曲线2214x y -=的2a =，所以内切圆圆心I 与在直线2x =上，设0(2,)I y ，设圆22(1)1y x +-=的圆心为C ，则(0,1)C ，所以||CI =，当01y =时，min ||2CI =，此时圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为min ||1211CI -=-=．故选：C ．26．（2022·101中学高二期末）双曲线22142x y C -=：的右焦点为F ，点P 在椭圆C 的一条渐近线上.O 为坐标原点，则下列说法错误的是（）A B ．双曲线22142-=y x 与双曲线C 的渐近线相同C ．若PO PF ⊥，则PFO △D ．PF【答案】B【解析】A.因为双曲线方程为22142x y C -=：，所以2,a b c ===，则c e a ==故正确；B.双曲线22142x y C -=：的渐近线为y =，双曲线22142-=y x 的渐近线方程为y =，故错误；C.设(),P x y ，因为点P在渐近线上，不妨设渐近线方程为y =，即为直线PO 的方程，又因为PO PF ⊥，所以直线PF的方程为y x =，由22y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即P ⎝⎭，所以12S =，故正确；D.)F，其中一条渐近线为y =，则PF 的最小值为点F到渐近线的距离，即d ==.故选：B27．（2022·北京八中高二期中）已知定点A 、B ，且|AB |＝4，动点P 满足||PA |﹣|PB ||＝3，则|PA |的最小值是（）A ．12B ．32C ．72D ．5【答案】A【解析】由动点P 满足||PA |﹣|PB ||＝3，且3AB <故可得点P 的轨迹为以,A B 为左右焦点的双曲线，故可得23,24a c ==，解得3,22a c ==，由双曲线的几何性质可得PA 的最小值为12c a -=.故选：A.考点5：双曲线上两线段的和差最值问题28．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二期中）设双曲线C ：22124y x -=的左焦点和右焦点分别是1F ，2F ，点A 是C 右支上的一点，则128AF AF +的最小值为___________.【答案】8【解析】由双曲线C ：22124y x -=，可得21a =，224b =，所以22225c a b =+=，所以1a =，5c =，由双曲线的定义可得1222AF AF a -==，所以122AF AF =+，所以1222882AF AF AF AF +=++，由双曲线的性质可知：24AF c a ≥-=，令2AF t =，则4t ≥，所以122288822AF AF t AF AF t +=++=++，记82y t t=++，设124t t ≤<，则121212882(2)y y t t t t -=++-++121212()(8)t t t t t t --=0<，所以12y y <，即82y t t=++在[)4,+∞上单调递增，所以当4t =时，取得最小值84284++=，此时点A 为双曲线的右顶点（1，0）．故答案为：8．29．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校高二期中）P 是双曲线22145x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2232x y ++=和()2231x y -+=上的点，则|PM |－|PN |的最大值为_________.【答案】5【解析】设双曲线的左右焦点为12,F F ，则1224PF PF a -==，圆()2232x y ++=的圆心为1(3,0)F -，半径为1r =.圆()2231x y -+=的圆心为2(3,0)F ，半径为21r =，由圆的对称性可得1111||PF r PM PF r -+∣ ，2222||PF r PN PF r -≤≤+，所以1122||||5PM PN PF r PF r -≤+-+=|PM |－|PN |的最大值为5故答案为：530．（2022·黑龙江·哈九中高二期中）已知双曲线的方程为2214y x -=，如图所示，点()A ，B是圆(221x y +=上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA MB +的最小值为______1.【解析】由双曲线2214y x -=，可得1,2a b ==，则c =如图所示，设点D 的坐标为，则点,A D 是双曲线的焦点，根据双曲线的定义，可得22-==MA MD a ，所以22+=++≥+MA MB MB MD BD ，又由B 是圆(221x y +-=上的点，圆的圆心为C ，半径为1r =，所以11BD CD ≥-=，所以21MA MB BD +≥++，当点,M B 在线段CD 上时，取得等号，即MA MB +1.1.31．（2022·北京·高二期中）已知点()2,0A -，()2,0B ，(C ，动点M 到A 的距离比到B 的距离多2，则动点M 到B ，C 两点的距离之和的最小值为___________.【答案】4【解析】点()2,0A -，()2,0B ，且动点M 到A 的距离比到B 的距离多2，所以24MA MB AB -=<=，故动点M 的轨迹为双曲线右侧一支，则动点M 到B ，C 两点的距离之和2224MB MC MA MC AC +=+-≥-==，当且仅当M ，A ，C 三点共线时取等号，所以动点M 到B ，C 两点的距离之和的最小值为4.故答案为：4.32．（2022·湖南·嘉禾县第一中学高二阶段练习）过双曲线2218y x -=的右支上的一点P 分别向圆221:(3)4C x y ++=和圆222:(3)1C x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【解析】设双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，()()2222221212||||413PM PN PF PF PF PF -=---=--()()()121212323PF PF PFPF PF PF =+--=+-()222223414219PF PF =+-=+≥⨯+=．故选：B33．（2022·四川省江油市第一中学高二期中（文））已知12F F ，为双曲线222:1(0)16x yC a a -=>的左､右焦点，点A 在双曲线的右支上，点(72)P ，是平面内一定点.若对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行，则2AP AF +的最小值为（）A ．6B ．10-C ．8D ．2【答案】A【解析】∵双曲线C ：()2221016x y a a -=>，∴双曲线的渐近线方程为4y x a =±，∵对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行，∴直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±平行，∴3a =，∴5c =，∴1F 为()5,0-，∵()7,2P ，∴1PF ==∴211666AP AF AP AF PF +=+-≥-=，∴2AP AF +的最小值为6.故选：A.34．（2022·吉林市田家炳高级中学高二期中）设F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为（）A ．5B ．5+C ．7D ．9【答案】D【解析】由双曲线221412x y -=，可知24a =，212b =，则22216c a b =+=，所以2a =，4c =，()1,4A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为()4,0F '，由于P 是双曲线右支上的动点，∴由双曲线定义可得，24PF PF a '-==，而5PA PF AF ''+≥==，两式相加得9PF PA +≥，当且仅当A 、P 、F '三点共线时等号成立，则PF PA +的最小值为9．故选：D ．35．（2022·江西南昌·高二期中（理））设(),P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则代数）AB ．CD 3【答案】B设()()0,1,3,0A F ,上式表示PA PF -,由于双曲线22154x y-=的左焦点为()()3,0,3,0F F '-,双曲线的实轴2a =, 2PF PF a PF ''=-=-()2525PA PF PA PF PF PA ''-=-+=--+223110PF PA AF ''-≤=+当P 在F A '的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以()25PA PF PF PA '-=--+510故选：B考点6：离心率的值及取值范围36．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二阶段练习）已知0a b >>，1F ，2F ，是双曲线22122:1x y C a b-=的两个焦点，若点Р为椭圆22222:1x y C a b +=上的动点，当P 为椭圆的短轴端点时，12F PF ∠取最小值，则椭圆2C 离心率的取值范围为（）A ．22⎛ ⎝⎦B ．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．20,3⎛ ⎝⎦D ．23⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A【解析】假设点P 在x 轴上方，设()cos ,sin P a b θθ，则()0,πθ∈，由已知得()221F a b +，)222,0F a b +，设直线1PF 的倾斜角为α，直线2PF 的倾斜角为β，∴122sin tan cos PF k a a b αθ==++，222sin tan cos PF k a a b βθ==-+，∴()12tan tan F PF βα∠=-tan tan 1tan tan βααβ-=+()222sin b a b θ+=+-()222222sin sin b a b b a b θθ+=+-()222222sin sin b a b a b θθ=-⎡⎤⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦考虑对勾函数()222sin 0sin 1sin b a b y θθθ-=+<≤，由于P 为椭圆的短轴端点时，π2θ=，12F PF ∠取最小值，即12tan F PF ∠取最小值，()222sin 0sin 1sin b a b y θθθ-=+<≤也取最小值，此时sin 1θ=，∵函数在⎛ ⎝上单调递减，∴1≤222a b ≤，解得202e <≤.即椭圆2C离心率的取值范围为2⎛ ⎝⎦.故选：A .37．（2022·四川省仁寿县文宫中学高二阶段练习（文））已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）ABC ．2D1【答案】C【解析】由题意,F 1(−c ,0),F 2(c ,0)，设一条渐近线方程为y =b a x ,则F 1b =.设F 1关于渐近线的对称点为M ,F 1M 与渐近线交于A ,∴|MF 1|=2b ,A 为F 1M 的中点，又O 是F 1F 2的中点,∴OA ∥F 2M ,∴∠F 1MF 2为直角，∴△MF 1F 2为直角三角形，∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2∴3c 2=4(c 2−a 2),∴c 2=4a 2，∴c =2a ，∴e =2.故选：C38．（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于M ，N 两点，且2OM ON =，则C 的离心率为（）A ．43BC．3D．2【答案】C【解析】过点A 作AP MN ⊥于点P ，则点P 为线段MN的中点，因为点A 为(,0)a ，渐近线方程为by a=±，所以点A 到渐近线b y x a =的距离为||=ab AP c ，在Rt OAP △中，2||==a OP c ，在Rt NPA中，2||===b NP c ，因为2OM ON =，所以||||||2||||3||=+=+=OP ON NP NP NP NP ，所以223=⨯a b c c，即223a b =，所以离心率e 3==c a ．故A ，B ，D 错误.故选：C ．39．（2022·江西省万载中学高二阶段练习（理））已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A ．2BC ．2D ．12【答案】C【解析】由题设，渐近线与x 轴夹角θ可能为30°或60°，当30θ=︒，则tan 303b a =︒=，故e =；当60θ=︒，则tan 60ba=︒=2e =；所以双曲线的离心率为2故选：C40．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（）A ．2BCD【答案】C 【解析】22345AB BF AF =：：：：，不妨令3AB =，24BF =，25AF =，22222||||AB BF AF +=，290ABF ∠∴=，又由双曲线的定义得：122BF BF a -=，212AF AF a -=，11345AF AF ∴+-=-，13AF ∴=．123342BF BF a ∴-=+-=，1a \=．在12Rt BF F 中，222221212||||6452F F BF BF =+=+=，又2212||4F F c =，2452c ∴=，c ∴∴双曲线的离心率c e a=．故选;C41．（2022·广东汕头·高二期末）已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-）ABC ．D ．2【答案】D【解析】双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2bAB a=，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2ba =b a=所以2c e a ==；故选：D42．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设12PF F △的面积为S ，若()21212PF PF S +=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2C D ．【答案】C【解析】依题意，12PF PF ⊥，令1(,0)F c -，2(,0)F c ，则有22221212||||||4PF PF FF c +==，由212||(12||)PF PF S +=得：21211222||2||||6||||||PF PF PF PF PF PF =++，即有212||||PF PF c =，而222221221214(||)||2||2||||||a PF PF PF PF PF c PF =-=+-=，所以ce a==故选：C43．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，M 是双曲线C 上一点，若120MF MF ⋅=，2212OM OF c ⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．31+C ．2D ．21+【答案】B【解析】()()22121221111242OM OF MO F F MF MF MF MF c⎛⎫⋅=-⋅=-+⋅-= ⎪⎝⎭，则222122MF MF c -=，又因为120MF MF ⋅=，12MF MF ⊥，即222124MF MF c +=，所以13MF c =，2MF c =，所以1223a MF MF c c =-=-，则31e =+，故选：B.44．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为122,,c F F 为其左右两个焦点，直线l 经过点(0,)b 且与渐近线平行，若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线C 离心率的取值范围为（）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(2,)+∞【答案】A【解析】因为满足122PF PF b -=的所有点在以12,F F 为焦点，长轴长为2b ，短轴长为2222c b a -=的双曲线，即22221x y b a-=上.故若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线22221x y b a -=与直线l 有交点即可.又直线:b l y x b a =±+，数形结合可得，当b a <或22221x y b a-=的经过一象限的渐近线的斜率a b b a >即可，两种情况均有2222a b c a >=-，故222c a <，故离心率(1,2)e ∈故选：A考点7：双曲线的简单几何性质问题45．（多选题）（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知曲线C ：221mx ny +=，则（）A ．若0m n =>，则曲线CB ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y 轴上C ．若曲线C过点(，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则C 是双曲线D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形【答案】BC【解析】对于A ，0m n =>时，曲线C 可化为221x y n+=A 错误；对于B ，0m n >>时，曲线C 可化为22111x y m n+=表示的是椭圆，而11 0m n<<，所以其焦点在y 轴上，故B 正确；对于C，将点(，3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，代入曲线C ：221mx ny +=，有2311512133m n m m n n ⎧+==⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩，0mn <，所以曲线C 是双曲线，故C 正确；对于D ，若1m =，0n =，满足条件，此时曲线C ：21x =，表示两条直线，故D 错误，故选：BC.46．（多选题）（2022·江苏连云港·高二期中）关于,x y 的方程2222126x y m m+=+-（其中26m ≠）表示的曲线可能是（）A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．圆心为坐标原点的圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D．长轴长为【答案】BC【解析】()()2222622m m m +--=-，当m =22264m m +=-=，此时2222126x y m m +=+-表示圆，故B 正确.当m <<22620m m ->+>，故2222126x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，若此时长轴长为268m -=即22m =-，矛盾，故D 错误.若m <m >260m -<，故2222126x y m m +=+-表示焦点在x 轴上的双曲线，故A 错误，C 正确.若m <<m <<22260m m +>->，故方程2222126x y m m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆，若长轴长为228m +=即m =，矛盾，故D 错误.故选：BC.47．（多选题）（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期中）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中正确的是（）A ．若13t <<，则曲线C 为椭圆B ．若曲线C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则23t <<C ．若曲线C 为双曲线，则3t >或1t <D ．曲线C 可能是圆.【答案】BCD【解析】A.若方程22131x y t t +=--表示椭圆，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<且2t ≠，故错误；B.若曲线C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得23t <<，故正确；C.若曲线C 为双曲线，则()()310t t --<，解得3t >或1t <，故正确；D.曲线C 是圆，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-=-⎩，解得2t =，故正确；故选：BCD48．（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知曲线22:124x y C m m+=+-，则（）A ．当2m =时，则C的焦点是)1F，()2F B ．当6m =时，则C 的渐近线方程为12y x =±C ．当C 表示双曲线时，则m 的取值范围为2m <-D ．存在m ，使C 表示圆【答案】ABD【解析】对于A ，当2m =时，曲线22:142x y C +=，则C 的焦点是)1F ，()2F ，所以A 正确；对于B ，当6m =时，曲线22:182x y C -=，则C 的渐近线方程为12y x =±，所以B 正确；对于C ，当C 表示双曲线时，()()240m m +-<，解得：4m >或2m <-，所以C 不正确；对于D ，当24m m +=-，即1m =时，曲线C 表示圆，所以D 正确.故选：ABD.49．（多选题）（2022·江苏江苏·高二期中）已知双曲线C ：2213x y -=，则（）A ．双曲线C 的焦距为4B ．双曲线C 的两条渐近线方程为：y =C ．双曲线C 的离心率为3D ．双曲线C 有且仅有两条过点()1,0Q 的切线【答案】ABD【解析】由双曲线标准方程得a =1b =，所以2c ==，焦距为4，A 正确；b a ==y =，B 正确；离心率为3c e a ===，C 错误；设过(1,0)Q 的直线的方程为(1)y k x =-，代入双曲线方程得：2222(13)6(33)0k x k x k -+-+=（*），2130k -=，即3k =±时，方程（*）只有一解，此时直线与渐近线平行，与双曲线相交，又由422364(13)(33)0k k k ∆=+-+=得2k =±，此时方程（*）有两个相等的实数解，此时直线与双曲线相切，即相切的直线有两条，D 正确．故选：ABD ．50．（多选题）（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）双曲线的标准方程为2213y x -=，则下列说法正确的是（）A ．该曲线两顶点的距离为B ．该曲线与双曲线2213x y -=有相同的渐近线C ．该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1D ．该曲线与直线l ：)2y x =-，有且仅有一个公共点【答案】CD【解析】由已知双曲线中1,a b =2c =，顶点为(1,0)和(1,0)-，距离为2，A 错；该双曲线的渐近线方程是y =，而双曲线2213x y -=的渐近线方程是y =，不相同，B 错；该双曲线上的点到焦点的距离的最小值为1c a -=，C 正确；直线l 与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个公共点，D 正确，故选：CD ．51．（2022·上海市新场中学高二期中）当0ab <时，方程22ax ay b -=所表示的曲线是（）A ．焦点在x 轴的椭圆B ．焦点在x 轴的双曲线C ．焦点在y 轴的椭圆D ．焦点在y 轴的双曲线【答案】D【解析】当ab ＜0时，方程22ax ay b -=化简得221y x b ba a-=--，∴方程表示双曲线．焦点坐标在y 轴上；故选：D ．考点8：利用第一定义求解轨迹52．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））若双曲线C 的方程为22145x y -=，记双曲线C 的左、右顶点为A ，B ．弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 交点为M ，其轨迹为曲线T ，则曲线T 的离心率为________．【解析】设P （0x ，0y ），则Q （0x ，-0y ），设点M （x ，y ），又A （-2，0），B （2，0），所以直线PA 的方程为00(2)2y y x x =++①，直线QB 的方程为00(2)2y y x x -=--②．由①得0022y yx x =++，由②得0022y y x x =---，上述两个等式相乘可得22022044y y x x =---，∵P （0x ，0y ）在双曲线22145x y -=上，∴2200145x y -=，可得2200454y x -=，∴2020544y x =-∴22544y x =--，化简可得22145x y +=，即曲线T 的方程为22145x y +=53．（2022·吉林·白城一中高二期中）已知ABC 的两个顶点A B ，分别为椭圆2255x y +=的左焦点和右焦点，且三个内角A B C ，，满足关系式1sin sin sin 2B AC -=.(1)求线段AB 的长度；(2)求顶点C 的轨迹方程.【解析】(1)椭圆的方程为2255x y +=∴椭圆的方程为2215x y +=222=514a b c ∴==，，2c ∴=A B ，分别为椭圆2215x y +=的左焦点和右焦点，()()2,02,0A B ∴-，=4AB ∴∴线段AB的长度4(2)ABC 中根据正弦定理得：=2sin sin sin AB BC ACR C A B==(R 为ABC 外接圆半径)，sin =,sin 222BC AC ABA B C R R R∴==1sin sin sin 2B A C -=12222AC BC AB R R R∴-=⨯1242AC BC AB AB ∴-==<=∴C 点的轨迹是以A B ，为左右焦点的双曲线的右支，且22AC BC a -==，=4=2AB c=12a c ∴=，，2223b c a =-=，∴顶点C 的轨迹方程为()22113yx x -=>54．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，已知定圆1F ：()2251x y ++=，定圆2F ：()22516x y -+=，动圆M 与定圆1F ，2F 都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解析】圆1F ：()2251x y ++=，圆心()15,0F -，半径11r =；圆2F ：()22516x y -+=，圆心()25,0F ，半径24r =．设动圆M 的半径为R ，则有11=+MF R ，24=+MF R ，∴2112310MF MF F F -=<=．∴点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线的左支，且32a =，5c =，于是222914b c a =-=．∴动圆圆心M 的轨迹方程为2231991244≤-⎛⎫-= ⎪⎝⎭x y x ．55．（2022·福建·厦门一中高二期中）已知动圆M 与圆221:(4)4C x y ++=外切与圆222:(4)4C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹C 的方程为___________.【答案】()2212412x y x -=≥【解析】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，因为圆M 与圆221:(4)4C x y ++=外切与圆222:(4)4C x y -+=内切，圆心()()124,0,4,0C C -，12||8C C =，所以1222MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，则12||||48MC MC -=<，于是点M 的轨迹是以点12,C C 为焦点的双曲线的右支.由题意，224,282,4,12a c a c b ==⇒===，于是，C 的方程为：()2212412x y x -=≥.故答案为：()2212412x y x -=≥.56．（2022·上海市新场中学高二期中）已知两点()(),3,03,0A B -，若4PA PB -=±，那么P 点的轨迹方程是______.【答案】22145x y -=【解析】设P 点的坐标为(),x y 因为44PA PB PA PB -=±⇒-=所以P 点的轨迹为焦点在x 轴的双曲线且3,242c a a ==⇒=所以b ==所以P 点的轨迹方程为：22145x y -=故答案为：22145x y -=57．（2022·吉林一中高二期中）若动圆过定点A ()3,0-且和定圆C ：()2234x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹方程是_________.【答案】2218y x -=()1x ≤-【解析】定圆的圆心为C()3,0，与A ()3,0-关于原点对称，设动圆P 的半径为r ，则有PA r =，因为两圆外切，所以2=+PC r ，即26PC PA AC -=<=，所以点P 的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，则1a =，3c =，2228b c a =-=，所以轨迹方程为2218y x -=()1x ≤-故答案为：2218y x -=()1x ≤-58．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）高二期中）已知点(3,0),(3,0),(1,0)M N B -，动圆C 与直线MN 相切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)8y x x -=>B ．221(1)8y x x -=<-C ．221(0)8y x x +=>D ．221(1)10y x x -=>【答案】A【解析】设直线PM ，PN 与圆C 相切的切点分别为点Q ，T，如图，由切线长定理知，MB =MQ ，PQ =PT ，NB =NT ，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2<6=|MN|，则点P 的轨迹是以M ，N 为左右焦点，实轴长2a =2的双曲线右支，虚半轴长b 有22238b a =-=，所以点P 的轨迹方程为221(1)8y x x -=>.故选：A59．（2022·江苏省镇江中学高二期中）动圆M 与圆1C ：()2241x y ++=，圆2C ：22870x y x +-+=，都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．22115x y +=B ．22115y x -=C ．()221115y x x -=≥D ．()221115y x x -=≤-【答案】D【解析】圆1C ：()2241x y ++=，圆心()14,0C -，半径11r =.圆2C ：()222287049x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()24,0C ，半径23r =.设(),M x y ，半径为r ，因为动圆M 与圆1C ，2C 都外切，所以121122123MC r MC MC C C MC r ⎧=+⎪⇒-=<⎨=+⎪⎩，所以M 的轨迹为以12,C C 为焦点，22a =的双曲线左支.所以1a =，4c =，解得b =即M 的轨迹方程为：()221115y x x -=≤-.故选：D60．（2022·新疆·博尔塔拉蒙古自治州蒙古中学高二期中）动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线【答案】D。

大招17 双曲线焦点三角形内切圆问题 大招总结双曲线焦点三角形的内切圆与12F F 相切于实轴顶点;且当P 点在双曲线左支时,切点为左顶点,且当P 点在双曲线右支时,切点为右顶点.证明:设双曲线22221x y a b-=的焦点三角形的内切圆且三边1212,,F F PF PF 于点,,A B C ,双曲线的两个顶点为12,A A||121212||PF PF CF BF AF AF -=-=-12122,2PF PF a AF AF a -=∴-=,A ∴在双曲线上,又A 在12F F 上, A 是双曲线与x 轴的交点即点12,A A椭圆焦点三角形的旁切圆与12F F 所在直线相切与顶点,当P 点位于左侧时,旁切圆在左侧切点是左顶点,在右侧时候,切点是右顶点证明:22,MP NP F N AF ==11112222F M F A F P F F PN NF a c ∴+=+++=+11F M F A a c ∴==+因此A 为切点典型例题例1.双曲线221169x y -=的左、右焦点分别12,F F P 、为双曲线右支上的点,12PF F 的内切圆与x 轴相切于点C ,则圆心I 到y 轴的距离为() A.1 B.2 C.3 D.4解:设三角形内切圆的切点为,,A B C ,其中C 在X 轴上,那么2121F C FC F A F B -=-,又AP PB =所以212121212F C FC F A F B F A AP F B BP F P F P a -=-=+--=-= 8=,又211210F C FC F F +== 所以C 点的横坐标为4,I 点的横坐标也为4, 故圆心I 到y 轴的距离为4.故选D.例2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F e 为双曲线的离心率,P 是双曲线右支上的点,12PF F 的内切圆的圆心为I ,过2F 作直线PI 的垂线,垂足为B ,则点B 的轨迹是() A.椭圆 B.圆 C.抛物线 D.双曲线解:()()12,0,,0F c F c -,内切圆与x 轴的切点是点A ,122PF PF a -=,及圆的切线长定理知, 122AF AF a -=,设内切圆的圆心横坐标为x ,则()()2x c c x a +--= x a ∴=;OA a =,在2PCF 中,由题意得,2F B PI ⊥于B ,延长交12F F 于点C ,利用2ΔPCB PF B ≅,可知2PC PF =,∴在三角形12F CF 中,有:()()111211112.2222OB CF PF PC PF PF a a ==-=-=⨯=即点B 的轨迹是以O 为圆心,半径为a 的圆, 故选B.例3.已知(P 在双曲线22214x y b-=上,其左、右焦点分别为12F F 、,三角形12PF F 的内切圆切x 轴于点M ,则2MP MF ⋅的值为（）A.1B.1C.2D.解:(P 在双曲线22214x y b -=上,可得b =()()123,0,3,0F F ∴-,如图,设(),0M x ,内切圆与x 轴的切点是点12,M PF PF 、与内切圆的切点分由双曲线的定义可得1224PF PF a -==,由圆的切线长定理知,PN PH =,故124NF HF -=,即124MF HF -=,设内切圆的圆心横坐标为x ,则点M 的横坐标为x , 故()()334,2x x x +--=∴=.(()2232,02MP MF ∴⋅=⋅-=,故选C.例4.点P 是双曲线22221x y a b-=右支上一点,12F F 、分别为左、右焦点.12PF F 的内切圆与x 轴相切于点N .若点N 为线段2OF 中点,则双曲线离心率为()1 B.2D.3 解:12PF F 的内切圆与x 轴相切于点.N ,设切点分别为,,N A B ,并设1122,,PA PB x BF NF y AF NF z ======,根据双曲线的定义122PF PF a -=,()()2,2x y x z a y z c ∴+-+=+=,解得z c a =-,点N 为线段2OF 中点,11,22z c c c a ∴=∴=-,2,2c a e ∴=∴=.故选B.自我检测1.椭圆2212:1(0)x C y a a +=>与双曲线2222:1(0)x C y m m-=>有公共焦点,左右焦点分别为12,F F ,曲线12,C C 在第一象限交于点,P I 是12PF F 内切圆圆心,O 为坐标原点,2F H 垂直射线PI 于H 点,OH =则I 点坐标是.解:由题意,122PF PF m m -===椭圆2212:1(0)x C y a a +=>与双曲线2222:1(0)x C y m m-=>有公共焦点,2211a m ∴-=+2a ∴=∴椭圆方程为2214x y +=,双曲线方程为2212x y -=联立方程可得P ⎝⎭设内切圆的半径为r ,圆心坐标为(),x r ,则由等面积可得(11422r ⨯=⨯+,2r ∴=-2PF的方程为y x =∴由I到直线的距离等于2-可得x =∴圆心坐标为.故答案为:2.已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左支上除顶点外的一点,12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,1221,PF F PF F ∠α∠β==,双曲线离心率为e ,则tan2tan2aβ=（） A.11e e -+ B.11e e +- C.22e 1e 1+- D.22e 1e 1-+解:依题意,在12PF F 中,由正弦定理得:()2121sin sin sin 180PF PF F F αβαβ==⎡⎤-+⎣⎦与合比定理得:()2121sin sin sin 180F F PF PF βααβ-=--⎡⎤-+⎣⎦,即()22sin sin sin c a αβαβ=+-,2sincossinsincoscossintantansin()222222222sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin tan tan 222222222c e a αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++++-======+-----tan112tantan ,.2121tan 2e e e e ααββ++∴=⋅∴=-- 故选B.3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 和2F 点O 为双曲线的中心,点P 在双曲线的右支上,12PF F 内切圆的圆心为Q ,圆Q 与x 轴相切于点A ,过2F 作直线PQ 的垂线,垂足为B ,则下列结论成立的是（）A.OA OB >B.OA OB =C.OA OB <D.OA 与OB 大小关系不确定易知:121221211111,2222IF F PF F IF F PF F ∠∠α∠∠β====1212tan121tan2IAF A F A a c e IA F A c a e F Aαβ++====-- 3.解:()()12,0,,0F c F c -,内切圆与x 轴的切点是点A122PF PF a -=,及圆的切线长定理知, 122AF AF a -=,设内切圆的圆心横坐标为x ,则()()2x c c x a +--=x a ∴=;即OA a =,在三角形2PCF 中,由题意得,它是一个等腰三角形,2PC PF =,∴在三角形12F CF 中,有：()()111211112.2222OB CF PF PC PF PF a a ==-=-=⨯=OB OA ∴=.故选B.4.已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,点P 在双线线上且不与顶点重合,满足1221tan3tan22PF F PF F ∠∠=,该曲线的离心率为 .解:易知p 点在左支上,估12PF F 的内切圆I易得I 切12F F 于A 点1221tan3tan22PF F PF F ∠∠=121133IA IA F A AF c a c a∴=∴=⋅-+33422c a c a a c c a ∴+=-∴=∴=2e ∴=5.已知点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于左、右顶点的任意一点,12,/2F F ～是左、右焦点,连接12,PF PF ,作12PF F 的旁切圆(与线段21,PF F P 延长线及12F F 延长线均相切),其圆心为O ',则动圆圆心O '的轨迹所在曲线是() A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线解:如图画出圆M ,切点分别为E D G 、、,由切线长相等定理知1122,,FG F E PD PE F D F G ===, 根据椭圆的定义知122PF PF a +=, ()1212PF PF F E DF PD PE ∴+=+=()1211FG F D FG F E =+= 122FG F G a =+=,22222,F G a c F G a c ∴=-=-,即点G 与点A 重合,∴点M 在x 轴上的射影是长轴端点,A M 点的轨迹是垂直于x 轴的一条直线(除去A 点);故选A.。