高三年级最后一次冲刺试卷(数学)

合肥2024届高三最后一卷数学试题（答案在最后）（考试时间：150分钟满分：120分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时､每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,3,1,3a b ==-，则2a b -=（）A.2 B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.【详解】()()()22,32,64,3,25a b a b -=--=--== ，故选：D.2.已知复数z 满足()1i 2i z ⋅+=-，则z =（）A.13i 22+B.13i 22-C.13i22-- D.13i22-+【答案】A 【解析】【分析】根据题设求出z ，从而求出z 的值.【详解】由题知，()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ----====-++-，所以13i 22z =+.故选：A.3.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为23，焦距为，则该椭圆的方程为（）A.2213x y += B.2219x y +=C.22197x y += D.2213628x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据离心率和焦距可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可得2b ，即可得方程.【详解】由题意可知：232c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则2927b =-=，所以该椭圆的方程为22197x y +=.故选：C.4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,2S a ==，则4a =（）A.1B.23或-1 C.23-D.23-或1【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.【详解】依题意，10a ≠，因为314,S =2312a a q ==，12112(1),a a a q ∴+==+故2610q q --=，故12q =或1,3q =-当12q =时，431a a q ==；当1,3q =-4323a a q ==-；423a ∴=-或1.故选：D5.已知α为三角形的内角，且15cos 4α-=，则sin 2α=（）A.14-+ B.14 C.38- D.354-【答案】B 【解析】【分析】利用降幂公式得到答案.【详解】因为α为三角形的内角，1cos 4α=，所以sin 2α==14+===.故选：B6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A.36种B.48种C.54种D.64种【答案】A 【解析】【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为3211334233A A A A A 36-=种，故选：A.7.已知四棱锥P ABCD -的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB 为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（）A.13π3B.16πC.52π3D.20π【答案】C 【解析】【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O 到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取AD 的中点E ，取AB 的中点G ，连接EG 、PG ，在线段PG 上取一点F ，使13FG PG =，过点E 作平面ABCD 的垂线OE ，使OE FG =，连接OF ，易知四边形ABCD 是等腰梯形，ABE 、BCE 、CDE 均为等边三角形，所以2AE BE CE DE ====，因为OE ⊥平面ABCD ，所以90OEA OEB OEC OED ∠=∠=∠=∠=︒，所以OA OB OC OD ===，因为PAB 为正三角形，G 为AB 的中点，所以PG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PG ⊂平面PAB ，所以PG ⊥平面ABCD ，因为OE ⊥平面ABCD ，所以//PG OE ，即//FG OE又因为OE FG =，所以四边形OEGF 为平行四边形，所以//OF EG ，因为ABE 为正三角形，G 为AB 的中点，所以EG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，EG ⊂平面ABCD ，所以EG ⊥平面PAB ，所以OF ⊥平面PAB ，又因为F 是ABP 的外心，所以FA FB FP ==，所以OA OB OP ==，所以O 即为四棱锥外接球的球心，因为133OE FG PG ===，2AE =，所以3R OA ====所以2239524π4π)π33S R ==⋅=，故选：C.8.过()0,M p 且倾斜角为π,π2αα⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β.则()tan αβ-的最小值为（）A.2B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】首先画出平面图形，求出tan tan 2k k αβ'⋅=⋅=-的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan αβ-化简为()2k k ⎛⎫-+-⎪⎝⎭的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设()00,N x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，由于曲线2:2x C y p=，则x y p '=，所以在A 点的切线方程为111()x y y x x p-=-，同理在B 点的切线方程为222()x y y x x p-=-，由于N 点是两切线的交点，所以1010120202()()x y y x x px y y x x p⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，则AB l 为()000000()2xx xy y x x y y y x x p y y p p-=-⇒-=-⇒=+，且过()0,M p ，0y p ∴=-且0tan x k p α==，设2tan ,2p k k k x β''==-∴⋅=-，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-∴-=+()21k k k k k k -⎛⎫==-+-≥ ⎪+⋅⎝⎭''当且仅当k =时“=”成立，故选：C.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：年份x 1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（）A.年收入的均值为4.3B.年收入的方差为1.2C.年收入的上四分位数为5D.若y 与x 可用回归直线方程0.5ˆˆyx a =+来模拟，则ˆ 2.3a =【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据平均数定义运算求解；对于B ：根据方差公式分析求解；对于C ：根据百分位数的定义分析求解；对于D ：根据线性回归方程必过样本中心点分析求解.【详解】对于选项A ：由题意可得：年收入的均值 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94.37y ++++++==，故A正确；对于选项B ：由题意可得：年份x 1234567收入y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9()2y y - 1.9610.490.010.250.812.56所以年收入的方差21.9610.490.010.250.812.567.081.277s ++++++==≠，故В错误；对于选项C ：因为70.75 5.25⨯=，所以年收入的上四分位数为第6个数据，是5.2，故C 错误；对于选项D ：因为年份的平均数123456747++++++==x ，即样本中心点为()4,4.3，所以0.5 4.30.523ˆ4.ay x =-=-⨯=，故D 正确；故选：AD.10.已知函数()2cos sin f x x x x ωωω=-(0)>ω，则下列命题正确的有（）A.当2ω=时，5π24x =是()y f x =的一条对称轴B.若()()122f x f x -=，且12minπx x -=，则12ω=C.存在()0,1ω∈，使得()f x 的图象向左平移π6个单位得到的函数为偶函数D.若()f x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的范围为72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BD 【解析】【分析】首先对函数表达式进行化简，A 选项，将2ω=，5π24x =代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B 选项，由题设知，π为半个周期；C 选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D 选项，求出π26x ω+的范围，再确定区间右端点π2π6ω+的范围，从而求出ω的范围.【详解】()1cos 211π1sin2=cos 2=sin 22222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭对于A ，当2ω=时，()π1sin 462f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以55ππ11πsin 246622f ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π24x =不是()y f x =的一条对称轴，故A 错误；对于B ，由题意知，2πT =，所以22π2πω=，又因为0ω>，所以12ω=，故B 正确；对于C ，()f x 向左平移π6个单位后，得到()ππ1ππ1sin 2sin 2662362g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，假设()g x 为偶函数，则ππππ362k ω+=+，Z k ∈，解得13k ω=+，Zk ∈而(0,1)ω∈，所以假设不成立，故C 错误；对于D ，[]0,πx ∈时，πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令()π1=sin 2062f x x ω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则π1sin 262x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()f x 在[]0,π上恰有5个零点，所以π25π29π2π,666ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得72,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==-，则下列命题正确的有（）A.若()g x ax ≥恒成立，则1a e≤-B.若()y f x =与1y ax =-相切，则2ea =C.存在实数a 使得()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值D.存在实数a 使得方程()f x x a -=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：原题意等价于ln xa x ≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x=->，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B ：对()y f x =求得，结合导数的几何意义列式分析可得()1ln 1a a -=-，代入2e a =检验即可；对于C ：取1a =，利用导数求最值，进而分析判断；对于D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象，设交点为()(),M m h m ，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m ，进而可得结果.【详解】对于选项A ，若()g x ax ≥，则ln x ax -≥，且0x >，可得ln xa x≤-，可知原题意等价于ln xa x≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x =->，则()2ln 1x h x x ='-，令()0h x '>，解得0e x <<；令()0h x '<，解得e x >；可知()y h x =在()0,e 内单调递减，在()e,∞+内单调递增，则()()1e eh x h ≤=-，所以1a e≤-，故A 正确；对于选项B ：因为()e xf x =，则()e xf x '=，设切点为()00,ex P x ，则切线斜率()0=ex k f x '=，可得切线方程为()000ee x x y x x -=-，即()000e e 1x x y x x =+-，由题意可得()000e e 11xx a x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得()1ln 1a a -=-，显然2e a =不满足上式，故B 错误；对于选项C ：例如1a =，构建()()e xh x f x x x =-=-，则()e 1xh x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()y h x =在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，可知()y h x =的最小值为()01h =；构建()()ln ,0x g x x x x x ϕ=+=-+>，则()111x x x xϕ-=-+='，令()0x ϕ'>，解得1x >；令()0x ϕ'<，解得01x <<；可知()y x ϕ=在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可知()y x ϕ=的最小值为()11G =，可知()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值1，故C 正确；对于选项D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象大致如下：设交点为()(),M m h m ，易知01m <<，由图象可知：当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点()(),M m h m ，即()a h m =.因为()()h m m ϕ=，所以e ln m m m m -=-，即e 2ln 0m m m -+=.令()()()h x x a h m ϕ===，得e ln e x m x x x m -=-=-，解得x m =或e m x =，由01m <<得1e m m <<.所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m .因为e 2ln 0m m m -+=，即e ln 2m m m +=，所以ln ,,e m m m 成等差数列，故D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}220A x x x =∈--≤N∣，集合(){}22210B x x a x a a =-+++=∣，若B A ⊆，则=a __________.【答案】0或1【解析】【分析】根据题意先求集合,A B ，结合包含关系分析求解.【详解】由题意可知：{}{}{}220120,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=NN ∣∣，(){}{}22210,1B x x a x a a a a =-+++==+∣，因为B A ⊆，可知{}0,1B =或{}1,2B =，可得0a =或1a =.故答案为：0或1.13.过()1,2P 的直线l 被曲线2240x x y -+=所截得的线段长度为l 的方程为__________.【答案】1x =或34110x y +-=【解析】【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线2240x x y -+=知，该曲线为圆()2224x y -+=且圆心为()2,0，半径为2r =.当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，此时圆心到直线的距离为1d =.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：l ==，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：()12y k x =-+，即20kx y k --+=圆心到直线的距离为d =，当直线截圆所得线段长度l =根据垂径定理2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得，22222⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得34k =-此时直线方程为34110x y +-=.故答案为：1x =或34110x y +-=.14.在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin b c A B C ≠=+，则以下结论正确的有__________.①20,11a b c ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪+⎝⎭；②211a b c ⎛⎫∈ +⎝⎭；③2b c a +⎫∈⎪⎭；④2b c a ⎛+∈ ⎝；⑤a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.【答案】⑤【解析】【分析】依题意可得sin sin sin cos A B C A =+，利用正弦定理将角化边得到cos ab c A=+，将上式两边平方，再由余弦定理得到2220cos a b c A+-=，最后由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】因为tan sin sin A B C =+，即sin sin sin cos AB C A=+，由正弦定理可得cos ab c A=+，所以22222cos a b c bc A=++，又2222cos bc A b c a +-=，所以()()22222222cos 2cos cos cos a b c A bc A b c A b c a A=++=+++-，所以()2221cos 0cos a b c A A ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以()cos 1,1A ∈-，则1cos 0A +≠，所以2220cos a b c A+-=，()222cos a b c A =+，又b c ≠，所以222b c bc +>，所以()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-，所以2222b c a +>，则a >a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.故答案为：⑤【点睛】关键点点睛：本题关键是余弦定理的灵活应用，第一次得到2220cos a b c A+-=，再由基本不等式得到()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是线段1AB 上的动点.（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ；（2）1PB 与平面11A BC 所成的角的正弦值为3，求PB 的长.【答案】（1）证明见解析（2）PB =【解析】【分析】（1）根据题意可得111A C DD ⊥，1111AC B D ⊥，进而可证11A C ⊥平面11BDD B ，即可得结果；（2）设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB ，利用等体积法可得13EB =，结合线面夹角可得13EB =，进而可得结果.【小问1详解】因为1DD ⊥平面1111D C B A ，且11AC ⊂平面1111D C B A ，可得111AC DD ⊥，四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥，且111111,B D DD D B D ⋂=，1DD ⊂平面11BDD B ，可得11A C ⊥平面11BDD B ，且11AC ⊂平面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC .【小问2详解】设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB，可知11A BC V是以边长为1134A BC S =⨯=V ，因为111111B A BC B A B C V V --=，即1111222332EB ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得1233EB =，设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，则1113sin 3EB PB PB θ===，可得1PB =，在1BPB △中，由余弦定理得，222111π2cos4PB BB PB BB PB =+-⨯⨯，即224PB =+-，解得PB =.16.甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X 的数学期望()E X 为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率.【答案】（1）2.6（2）0.34464【解析】【分析】（1）分析可知X 的可能取值为2，3，结合条件概率求()()2,3P X P X ==，进而可得期望；（2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解.【小问1详解】记“乙已经赢得比赛”为事件A ，则()120.20.2C 0.20.80.20.104P A =⨯+⨯⨯⨯=，由题意可知：X 的可能取值为2，3，则有：()()12C 0.20.20.80.20.2582,30.104130.10413P X P X ⨯⨯⨯⨯======，所以X 的数学期望()583423 2.6131313E X =⨯+⨯=≈.【小问2详解】由题意可知：每局乙赢的概率00.2p =，则()()()()2321110200030004000C 1C 1C 1P A p p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()415000C 1p p p ⎡⎤+-⎣⎦()()()()234200000121314151p p p p p ⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦()()()()()22340.21210.2310.2410.2510.2⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦0.048.6160.34464=⨯=，所以乙胜的概率0.34464.17.()()ex af x a -=∈R .（1）若()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，求0x ；（2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）1（2）πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求得()ex af x -'=，得到()00ex af x -='且()00ex af x -=，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意，转化为e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()e sin x ag x x -=-，当0a ≤时，符合题意；若0a >，求得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，利用导数求得()g x '的单调性，结合()π00,02g g ⎛⎫<> '⎪⎝⎭'，得到存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，得出()g x 的单调性和极小值，进而求得a 的取值范围.【小问1详解】由函数()e x af x -=，可得()e x af x -'=，所以()00ex af x -='且()00ex af x -=，即切线的斜率为0e x a -，切点为()00e,x aA x -因为()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，可得000e 0ex a x ax ---=-，解得01x =.【小问2详解】任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，即e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()[)esi ,0,n x ag x x x -=∈-+∞，若0a ≤，则0x a -≥，可得e 1x a -≥，所以()e sin 1sin 0x ag x x x -=-≥-≥，符合题意；若0a >，可得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，则()e sin x a h x x -+'=，当0πx ≤≤时，()0h x '>，()g x '在[]0,π递增，而()π2π0e 10,e02a ag g --⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭''，所以，存在唯一的[]0π0,0,π2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，使得()000e cos 0x ag x x --'==，所以，当00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 递减，当0πx x <<时，()0g x '>，()g x 在区间()0,πx 递增，故当0x x =，函数()g x 取得极小值()00000e sin cos sin 0x ag x x x x -=-=-≥，所以0π04x <≤，此时，00lncos x a x -=，可得00πlncos ln 42a x x =-≤-，即πln2042a <≤+；当πx >时，()πln 2142e sin e1e1e 10x x ax ag x x ---=-≥-≥-≥->，因而πln2042a <≤+，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是求πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．18.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上焦点为(，下顶点为A，渐近线方程是y =，过20,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭点的直线交双曲线上支于,P Q 两点，,AP AQ 分别交直线23y =于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）求C 的方程；（2）求证：,,,M N O A 四点共圆；（3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围.【答案】（1）22142-=y x （2）证明见解析（3）5.3⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解出即可；（2）方法一：设直线2:3PQ y kx =+，联立双曲线方程得到韦达定理式，求出11836M x x y =+，22836N x x y =+，最后计算并证明出BO BA BM BN =即可；方法二：转化为证明出1OM AN k k =，同法一设线联立得到韦达定理式，再整体代入计算出1OM AN k k =即可；（3）设圆心为T ，计算出(),1T k -，根据r =k 的范围即可.【小问1详解】由题，222ac a b c b==+=，解得224,2a b ==，所以C 的方程为22142-=y x .【小问2详解】（方法一）设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，解得21629k <<，且()()1212222243243239,223292k k x x x x k k kk -+====----，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，()()1212121288643636922x x x x BM BN y y y y =⨯=++++()()()121221212126464864922939x x x x y y k x x k x x ==+++++()()()22223292641632846499399232k k k k k k -==⋅+⋅+--，22162339BO BA ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，则BO BA BM BN =，所以,,,M N O A 四点共圆.（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性，不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角，所以,,,M N O A 四点共圆πAOM ANM ∠∠⇔+=，ππ2αβ⎛⎫⇔++= ⎪⎝⎭ππ,,0,22αβαβ⎛⎫⇔+=∈ ⎪⎝⎭tan tan 1αβ⇔=1OM AN k k ⇔=设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420,990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩解得21629k <<，()()121222324,9232kx x x x k k =-+=---，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，121222,4OM AN AQ y y k k k x x ++===()21212121212121288864223339444OM ANkx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭=⋅==()()()2222328464399232132492kk k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎣⎦所以,,,M N O A 四点共圆.【小问3详解】设圆心为T ，则1T y =-，121212124448823636333M N T x x x x x x x y y kx kx ⎛⎫⎪+==+=+ ⎪++ ⎪++⎝⎭()()()()()()221212221212223284822392324438643284643339399232kk kx x x x k k k k k x x k x x k k k k⋅+⋅++--==⋅=+++⋅+⋅+--，(),1T k ∴-，因为21629k <<，则5.3r ⎛= ⎝【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到韦达定理式，然后利用四点共圆的充要条件代入计算证明即可，第三问的关键是得到圆心坐标，从而得到r =19.给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，1ni i x T ==∑（T 为常数），11n i ni i nx x T x T x -==--∑.如果函数()f x 在区间I 上恒有()0f x ''>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x 具有性质：()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.（1）判断()1xf x x=-，()0,1x ∈是否为凸函数，并证明；（2）设()1,2,,ii x y i n T == ，证明：111111n ny y n -≤---；（3）求nnx T x -的最小值.【答案】（1）()f x 在()0,1上为凸函数，证明见解析（2）证明见解析（3）()5128221nn --.【解析】【分析】（1）对()f x 求导之后，再求二阶导数，证明()0f x ''>即可得出结论；（2）根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑；将11n i n i i nx x T x T x -==--∑中的分子、分母同时除以T ，得到()111n ni i n y f y y -==-∑；加上1111n ni i n n i i y y y y -===-=-∑∑，利用以上条件得到一个关于n y 与n 的不等式，变形后即可得出结论.（3）设i i x y T=，将n n x T x -转化为1n n y y -，判断其单调性，将问题转化为求n y 的最小值；利用（2）的结论，求出n y 的最小值，代入1n ny y -即可得出答案.【小问1详解】()f x 在()0,1上为凸函数.证明：由题知，()22(1(1)())(11)x f x x x x ==-'----，所以()43(1)(11)2()2f x x x x =-'=--'，因为()0,1x ∈，所以10x ->，()0f x ''>，所以()f x 在()0,1上为凸函数.【小问2详解】证明：因为i i x y T =()1,2,,i n = ，所以11111n n n i i i i i i x T y x TT T =======∑∑∑，由题知11n i n i i n x x T x T x -==--∑，分子分母同时除以T ，得1111i n n i n i x x TT x x T T -==--∑，所以1111n i n i i n y y y y -==--∑，即()111n n i i n y f y y -==-∑，根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑，所以111111111111n i n i n n i i y y n n y y n -=-=-⋅≥----∑∑，又因为1111n n i i n n i i y y yy -===-=-∑∑，所以1(11111))111(11(11)n n n n n n y y y n n y n y y n ⋅---⋅≥=------⋅--，两边同时乘以n 1-，得(1)(111()1)n n n n y n y y n y --≥----，因为()1,2,,i x n T i <= ，所以(0,1)i i x y T =∈，又因为2n ≥，所以(1)(1011(1))n n n n y n y y n y --≥>----，两边同时取倒数，得11(11(1))1)(111n n n n n y n y y n y y n ----≤=-----，所以111111n n y y n -≤---，即111111n n y y n -≤---.【小问3详解】设i i x y T =()1,2,,i n = ，则n n x y T =，且()0,1n y ∈，所以11111n n n n n n n x x y T x T x y y T ===-----，随n y 增大而增大，由（2）知，111111n n y y n -≤---，所以()2111n n n n y y y n n y -⋅--≤--，所以()2(34)210n n y n n y n --+-≤-，当2n =时，120n y -+≤，12n y ≥，所以1111n n n x T x y =-≥--，当且仅当1212y y ==时，等号成立，当3n ≥时，()()34342222n n n y n n ---+≤≤--，所以1n n n n x y T x y =≥--22(5128)(34)(24)4128n n n n nn n--++-+-=-+()22288(22412821n n n nn n n-+-+--==-+-，当且仅当()()12111221nny ny y yn n n--=====---时，等号成立，当2n=时，最小值为1，满足上式，所以nnxT x-的最小值是()5128221nn--.【点睛】关键点点睛：第2问的关键是将条件中x转化为y，紧紧围绕凸函数的性质来做文章；第3问关键是将nnxT x-转化为1nnyy-，利用第2问的结论，求出ny的最小值.。

2025届云南省昆明市第一中学高三（最后冲刺）数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =a =（ ）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．13．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为 A ．π8B ．π4C ．12π+ D4．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l被圆所截得的弦长为实数m 的取值为 A ．9-或11B ．7-或11C ．7-D ．9-5．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ） A ．max3a c-=B ．max3a c+=C ．min32a c-= D ．min32a c+=6．20201i i=-（ ）A ．22B ． 2C ．1D ．147．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103C ．10?D ．228．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ⋅的取值范围是（ ） A ．11[,]216- B ．1(,]16-∞ C ．1[,0]2-D ．(,0]-∞9．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．14010．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A ．37B ．47C ．57D ．67112，体积为23，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D ．5212．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113 B ．4 C ．133D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省石家庄市2024高三冲刺（高考数学）人教版质量检测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知圆：，直线：，则“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要第(2)题下列关于复数的四个命题中，错误的是（ ）A ．B．C ．z 的共轭复数为-1+iD ．z 的虚部为-1第(3)题如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A．B ．C ．D ．第(4)题设随机变量服从正态分布，若，则 a 的值为（ ）A．B ．1C ．2D ．第(5)题已知双曲线，在双曲线上任意一点处作双曲线的切线，交在第一､四象限的渐近线分别于两点.当时，该双曲线的离心率为（ ）A ．B．8C ．D ．第(6)题已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第(7)题若，，则的最大值为（ ）A．3B ．5C ．D ．第(8)题甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，两圆锥的表面积分别为和，内切球半径分别为和．若，则的值是（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设，且，则下列关系式可能成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．第(2)题设是各项为正的无穷数列，若对于，（d ：为非零常数），则称数列为等方差数列．那么（ ）A．若是等方差数列，则是等差数列B．数列为等方差数列C．若是等方差数列，则数列中存在小于1的项D．若是等方差数列，则存在正整数n，使得第(3)题某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8，18，15，20，16，20，19，18，19，10，6，20，20，23，25，则下列结论正确的是（）A．这组数据的中位数是18B．这组数据的众数是20C．若在记录数据时，漏掉了一个数据，则新数据的众数是20D．若在记录数据时，漏掉了一个数据，则新数据的中位数是19三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且.则下列结论：①长度的最小值为；②当时，与相交；③始终与平面平行；④当时，为直二面角．正确的序号是__________．第(2)题某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：年份20192020202120222023年份代码12345年借阅量万册 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8根据上表，可得关于的线性回归方程为.则______.第(3)题某工厂为了对新研发的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价（元）89销量（件）908483807568由表中数据求得线性回归直线方程为，当销售量为50件时，单价约为__________元.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围.（2）若,设函数在上的最大值为，求的最小值.第(2)题如图，已知平面四边形中，.(1)若四点共圆，求；(2)求四边形面积的最大值.第(3)题定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．(1)若，求；(2)求不等式的解集；(3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由．第(4)题如图所示，在平面四边形中，角为钝角，且.(1)求钝角的大小；(2)若，求的大小.第(5)题已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．。

安徽省部分高中2025届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤2．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212+ D ．312+ 3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C 3D 34．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．456．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设2(ln 2),(2),(ln )2a fb fc f ===，则（ ） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>7．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π8．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．409．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．1510．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．822+D ．842+11．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A ．33263cm B ．36463cm C ．33223cm D ．36423cm 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023届高三最后一卷数学试题(考试时间：120分钟满分：150分)注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。

2.答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作 图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必 须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。

一 、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={xeR|x-1|≤1},B={y|p=-x²,-√2≤x≤1},则Ca(A∩B)=()A.⊗B.{0} c.{x ∈R|x≠0} D.R2.若复数z 满足z(cos60°+isin60°)=-1+√3i,则z 的共轭复数的虚部是()A.-√3B.-√3iC.√3D.√3i3.2017年国家提出乡村振兴战略目标：2020年取得重要进展，制度框架和政策体系基本形成；2035年 取得决定性进展，农业农村现代化基本实现；2050年乡村全面振兴，农业强、农村美、农民富全面 实现.全面推进乡村振兴是继脱贫攻坚取得全面胜利后三农工作重心历史性转移重要时刻.某地为实 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x 123456789盈利y(百万)6.0 6.1 6.2 6.0 6.9 6.87.1 7.0已知由9组数据利用最小二乘法求得的V 与x 的经验回归方程为y=0.15x+5.75,现由于工作失误， 第五组数据被污损，则被污损的数据为() B.6.4 则下面结论正确的是( );A.把 C 上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长 度，得到曲线C ₂A.6.3 4.已知曲线D.6.6C.6.5B.把C 上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C ₂C.把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 得到曲线C ₂D.把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 事纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，个单位长度，得到曲线C ₂5.设O 为坐标原点，F 为抛物线C:x²=2py(p>0) 的焦点，直线y=1 与抛物线C 交于A,B 两点，若∠AFB=120°,则抛物线C 的准线方程为( )B.y=-3或y=-3或y=-66.已知A,B,C 是三个随机事件，“A,B,C 两两独立”是“P(ABC)=P(A)p(B)p(c)” 的 ( )条件 .A.充分不必要B.必要不充分C. 充要D.既不充分也不必要 7.过原点的直线l 与曲线交于A,B 两点，现以x 轴为折痕将上下两个半平面折成60°的二面角，则 A |B 的最小值为( )A.2B.2√3C.4D.128.已知函数f(x) 与g(x) 的定义域均为R,f(x+1) 为偶函数，且f(3-x)+g(x)=1,f(x)-g(1-x)=1, 则下面判断错误的是( )A.f(x) 的图象关于点(2,1)中心对称B.f(x) 与g(x) 均为周期为4的周期函数二 、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为1,记BC=e, 则 ( ) A.AD=2(AF+DE)B.AB.(EA+2FA)=|AB² c.BC(CD·FE)=(BC.CD)FED.AE 在 CB 方向上的投影向量为10.已知半径为R 的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r 和 r ₂, 母线长为1,球的表面积与体积分别为S ₁和V ₁, 圆台的表面积与体积分别为S ₂ 和V ₂.则下列说法正确的是 ( )A.I=r+r ₂B.R=√rr ₂口的最大值为。

北京市2025届高三最后一卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB ．CD ．3．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．15．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<-D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-7．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e- D ．2e-8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．1329．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-10．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．要得到函数312y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数323y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度12．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C 2D 2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省杭州市余杭中学2025届高三（最后冲刺）数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤2．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A ．2 B ．2C ．10D ．103．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．24．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C 3D 2 5．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C ．(2eD ．)2e6．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c ,0）（c ＞0）线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为 ）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=7．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限8．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2B ．0C ．2-D ．2±9．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<10．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．1211．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ） A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省各地2025届高三最后一卷数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( )A ．()112n n +B ．()1312n n -C ．2n n 1-+D ．222n n -+2．已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255x y += B ．2213616x y += C ．2213010x y += D ．2214525x y += 3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．24．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ）A ．125i +B ．66i -C ．5iD ．13 5．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D 126．若复数z 满足)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．12-+ 7．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+ D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅- 8．已知复数11i z i +=-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．19．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．52 C ．3 D ．210．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =-，()3,b t =-，且()a ab ⊥+，则b =（ ）A ．3B ．10C ．23D ．5 11．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<，则AB =（ ） A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-12．为得到的图象，只需要将的图象（ ） A ．向左平移个单位 B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省成都市2024高三冲刺（高考数学）苏教版考试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知双曲线M：的焦距为2c，F为抛物线的焦点.以F为圆心，c为半径的圆过双曲线M的右顶点.若圆C：与双曲线M的渐近线有公共点，则半径r的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题有下列一组数据：，则这组数据的下四分位数是（）A．11B．33C．13D．22第(3)题已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（）A．B．C．D．第(4)题椭圆，其右焦点为，若直线过点与交于，则最小值为（）A．B．1C．D．2第(5)题圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A．20m B．30m C． m D． m第(6)题设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题执行右边的程序框图，若，则输出的（）．A．3B．4C．5D．6第(8)题已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题对于函数，若存在两个常数，，使得，则称函数是“函数”，则下列函数能被称为“函数”的是（ ）A ．B ．C ．D ．第(2)题已知在棱长为1的正方体中，为正方体内及表面上一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ）A．当时，对任意，恒成立B．当时，与平面所成的最大角的正弦值为C ．当时，线段上的点与线段上的点的距离最小值为D ．当时，存在唯一的点，使得平面平面第(3)题设是非零复数，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为___________.第(2)题甲、乙、丙、丁四人进行某4项比赛，每项比赛4人均参加，假设每项比赛都决出了第一名到第四名，得分依次为4分、3分、2分、1分。

合肥一中2024届高三最后一卷数学试题(考试时间:150分钟 满分:120分)注意事项:1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。

2．答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卷．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。

第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(2,3)a = ，(1,3)b −，则2a b −= （ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知复数z 满足(1)2z i i ⋅+=−，则=z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321− C ．i 2321−−D ．i 2321+−3．已知焦点在x，焦距为 ） A ．2213x y += B ．2219x y += C ．22197x y +=D ．2213628x y += 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，32a =，则4a =（ ）A ．1B ．23或-1C ．23− D ．23−或15．已知α为三角形的内角，且cos α=， 则sin 2α=（ ）A C D6．甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（ ） A ．36种 B ．48种 C ．54种 D ．64种 7．已知四棱锥P ABCD −的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB ∆为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（ ） A ．133π B ．16πC ．523π D ．20π8．过(0,)M p 且倾斜角为((,))2πααπ∈的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，直线MN 的倾斜角为β，则tan()αβ−的最小值为（ ） ABC．D．二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024届东区高三最后一卷数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2N 2150,sin A x x x B y y x =∈--≤==，则A B = （）A.{}11x x -≤≤ B.{}0,1 C.{}1,0,1- D.{}2【答案】B 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}25N 2150N 30,1,2,32A x x x x x ⎧⎫=∈--≤=∈-≤≤=⎨⎬⎩⎭，{}[]sin 1,1B y y x ===-，所以{}0,1A B = .故选：B.2.设,,αβγ是三个不同平面，且,l m αγβγ== ，则αβ∥是l m 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.【详解】由于αβ∥，,l m αγβγ== ，由平面平行的性质定理可得：l m ，所以αβ∥是l m 的充分条件；但当lm ，,l m αγβγ== ，并不能推出αβ∥，也有可能,αβ相交，所以αβ∥是l m 的不必要条件；故选:A.3.函数()24x f x x-=的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数奇偶性、在()2,∞+上的单调性、函数值()1f 的正负情况依次判断和排除ABC ，即可得解.【详解】由题()f x 定义域为()(),00,∞∞-⋃+关于原点对称，且()()()2244x x f x f x xx----==-=--，故()f x 是奇函数，故A 错；当2x >时，()22444x x f x x xx x--===-，又y x =是增函数，4y x=-在()2,∞+上是增函数，故()4f x x x=-在()2,∞+上是增函数，故BC 错；故选：D.4.已知π31sin ,ln ,522a b c ===，则（）A.a b c >>B.c a b>> C.c b a>> D.a c b>>【答案】D 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性可得a c >，利用导数可证不等式ln 1(1)x x x <->成立，故可判断b c <，故可得三者大小关系.【详解】ππ1sinsin 562a c =>==，设()ln 1,1f x x x x =+->，则()10xf x x-'=<，故()f x 在()1,+∞上为减函数，故()()10f x f <=即ln 1(1)x x x <->，所以33ln 122b c =<-=，故a c b >>，故选：D.5.已知2sin 1αα=+，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.18-B.78-C.34D.78【答案】D 【解析】【分析】先由辅助角公式得π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.【详解】由2sin 1αα=+得sin αα⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭14122，即π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2πππππ7sin 2sin 2cos 212sin 623238αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =-，且满足()122n n nS a n S -+=≥，则6S =（）A.13B.37C.717 D.1741【答案】D 【解析】【分析】借助n a 与n S 的关系并化简可得112n n S S -=+，结合111S a ==-，逐项代入计算即可得解.【详解】由()122n n n S a n S -+=≥可得111122n n n n n n S S S S S S ---+=-⇒=+，所以11a =-可得21112S S ==+，34562345111317117,,2327217241S S S S S S S S ========++++.故选：D7.已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是C 上一点，点B 满足1223BF BF =-，1214120F AF F AB ∠=∠=︒，则C 的离心率为（）A.2B.132C.D.【答案】B 【解析】【详解】根据题意，过点1F 作12//F D AF ，交AB 的延长线于点D ，由双曲线的定义结合余弦定理代入计算，再由离心率的计算公式，即可得到结果.【分析】由1214F AF F AB ∠=∠=120 ，得290BAF ∠=︒，130F AB ∠=︒．因为1223BF BF =- ，所以点B 在线段12F F 上，且1232F B BF =．如图，过点1F 作12//F D AF ，交AB 的延长线于点D ，则1F D AD ⊥，所以2111,2AF B DF B AF F D = ∽，所以221123AF BF DF BF ==．设22AF m =，则13F D m =，所以16AF m =．由双曲线的定义可知12622AF AF m m a -=-=，所以2a m =，则21,3AF a AF a ==．设()()12,0,,0F c F c -，则122F F c =．在12AF F △中，由余弦定理，得222121212122cos F F AF AF AF AF F AF =+-∠，即222214923132c a a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以22134c a =，则2e =（负值已舍去）．故选：B ．【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于结合双曲线的定义以及余弦定理代入计算.8.设a ∈R ，函数()1221,0,0x x f x x ax x -⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，若函数()()y f f x =恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（）A.()2,2- B.()0,2 C.[)1,0- D.(),2-∞-【答案】D 【解析】【分析】设()t f x =，可确定当0x ≥时，函数的零点个数，继而作出()y f x =的大致图像，考虑0x <时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.【详解】设()t f x =，当0x ≥时，()121x f x -=-，此时0t ≥，由()0f t =得1t =，即()1211x f x -=-=，解得0x =或2x =，所以()()y ff x =在[)0,∞+上有2个零点；0x <时，若()20,a f x x ax ≥=-+，对称轴为2ax =，函数()y f x =的大致图象如图：此时()20f x x ax =-+<，即0t <，则()0f t <，所以()0f t =无解，则()t f x =无零点，()()y f f x =无零点，综上，此时()()y ff x =只有两个零点，不符合题意，若0a <，此时()f x 的大致图象如下：令20t at -+=，解得0t a =<（0=t 舍去），显然()f x a =在(),0∞-上存在唯一负解，所以要使()()y ff x =恰有5个零点，需12a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即22142a a -+>，解得2a <-，所以(),2a ∞∈--．故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若12,z z 是复数，则下列命题正确的是（）A.1212z z z z ⋅=⋅ B.若2121z z z =，则12z z +是实数C.若1212z z z z -=+，则120z z =D.方程211560z z -+=在复数集中有6个解【答案】AD 【解析】【分析】根据复数运算对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】对于A ，由复数共轭的性质知，设12i,i,z a b z c d a b c d =+=+∈R 、、、，则()()()()()()1212i,i i i z z ac bd ad bc z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--+⋅=--=--+，所以1212z z z z ⋅=⋅，选项A 正确；对于B ，当10z =时满足题设等式，但12z z +不一定为实数，故B 错误；对于C ：()()1212,i i z z z z a c b d a c b d -=+-+-=+++，整理得2222()()()()a c b d a c b d -+-=+++，故2222ac bd ac bd --=+，整理得0ac bc +=，与120z z =不等价，故C 错误；对于D ，211560z z -+=可化为2(i)60a b +-=，即()222i 60a b ab -+-=，所以222060ab a b =⎧⎪⎨--=⎪⎩，当0a =时，2||560b b +-=，解得1b =±；当0b =时，2560a a -+=，解得2a =±或3a =±；所以复数集中原方程有6个解，选项D 正确；故选：AD10.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，M 分别为线段1AD ，1AC 的中点，点N 在线段11B C 上，且[]()1110,1B N B C λλ=∈，则（）A.平面EMN 截正方体得到的截面多边形是矩形B.平面1AD M ⊥平面1AB CC.存在λ，使得平面EMN ⊥平面1AB CD.当13λ=时，平面EMN 截正方体得到的截面多边形的面积为3【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，由面面平行的判定定理即可判断A ，由面面垂直的判定定理即可判断BC ，由条件求得NH 的长，即可判断D .【详解】如图，连接1A D ，1BC ，1B C ，则11A D AD E ⋂=，由正方体的性质可得点E 是侧面11ADD A 的中心，点M 是正方体的中心，所以连接EM 并延长交侧面11BCC B 于点P ，则点P 是侧面11BCC B 的中心，且PE AB ．设平面EPN 交11A D 于点F ，交AD 于点G ，交BC 于点H ，连接NF ，GH ，因为平面//ABC 平面1111D C B A ，所以GH NF ∥，GH NF =．因为PE AB ，AB ⊂平面ABCD ，所以PE ∥平面ABCD ，又GH Ì平面ABCD ，所以PE GH ∥，所以AB GH ∥，易知AB HN ⊥，所以GH HN ⊥，所以平面EMN 截正方体得到的截面多边形NFGH 是矩形，A 正确；因为点M 是正方体的中心，所以1D ，M ，B 三点共线，所以平面1AD M 即为平面11ABC D ，因为11BC B C ⊥，1AB B C ⊥，1AB BC B =I ，AB ，1BC ⊂平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D ，又1B C ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ⊥平面11ABC D ，即平面1AB C ⊥平面1AD M ，B 正确；当1λ=时，点N 与点1C 重合，平面EMN 即为平面11ABC D ，由B 选项可知平面1AB C ⊥平面11ABC D ，即平面1AB C ⊥平面EMN ，C 正确；当13λ=时，12433C N BH BC ===，则12433FD AG AD ===，又2GH =，3NH ==，所以截面多边形NFGH 的面积为210410233⨯=，D 错误．故选:ABC ．11.已知函数()(),f x g x 的定义域为(),g x 'R 为()g x 的导函数，且()()80f x g x '+-=，()()2680f x g x '----=，若()g x 为偶函数，则下列一定成立的（）A.()40g '=B.()()1316f f +=C.()20246f = D.20241()18000n f n ==∑【答案】AB 【解析】【分析】由()g x 是偶函数可得()g x '是奇函数，()00g '=，进而结合已知证明()g x '是周期函数，且周期为4即可判断A 选项；对已知条件分别令1x =和5x =得并联立方程即可判断B 选项；根据()()2024202480f g '+-=，()g x '是周期函数求解即可判断C ；根据()()()202420242024111820248n n n f n g n g n ===⎡⎤='-=⨯-⎣⎦'∑∑∑，结合()g x '的周期性求解即可.【详解】解：由()g x 是偶函数，则()()g x g x -=，两边求导得()()g x g x '--='，所以()g x '是奇函数，故()00g '=．对于A ，由()()80f x g x -'+=，得()()2280f x g x -'-+-=，所以()()282f x g x -=--'，代入()()2680f x g x ----='，得()()82680g x g x ''-----=，又因为()g x '是奇函数，所以()()()266g x g x g x -=--'='-'，()()6266g x g x +-=+'-'，即()()4g x g x +'='，所以()g x '是周期函数，且周期为()()4,040g g ='='，故A 正确；对选项B ，令1x =得，()()1180f g +'-=，令5x =得，()()3180f g -'-=，故()()1316f f +=，故B 正确；对于C ：令2024x =，得()()2024202480f g '+-=，因为()g x '是周期函数，且周期为4，()()()2024450544g g g =⨯+='''所以()()2024480f g '+-=，因为()40g '=，所以()20248f =，故C 错误；对于D ：由()()80f x g x -'+=得()()8f x g x =-'，()()()202420242024111820248n n n f n g n g n ===⎡⎤='-=⨯-⎣⎦'∑∑∑，由A 选项知()()26g x g x -=-'-'，令3x =得()()13g g '=-'，故()()130g g ''+=，因为()g x '是周期函数与奇函数，且周期为4，所以()()()222g g g =-=-'''，即()20g '=，因为()40g '=，所以()()()()12340g g g g ''''+++=所以()()()()()()20242024112024816192506123416192n n f n g n g g g g =='''''⎡⎤=⨯-=-⨯+++=⎣⎦∑∑故D 错误．故选：AB【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有__________．【答案】504【解析】【分析】本题考查排列中分类加法计数原理和分步乘法计数原理.根据题目要求，分两类进行讨论，第一类叶光富在最右侧，第二类叶光富不在最右侧.然后根据分类加法计数原理相加即可得到答案.【详解】根据叶光富不站最左边，可以分为两种情况：第一种情况：叶光富站在最右边，此时剩余的5人可以进行全排列，共有55A 120=种排法.第二种情况：叶光富不站在最右边，根据题目条件叶光富不站最左边，此时叶光富有4种站法.根据题目条件汤洪波不站在最右边，可知杨洪波只有4种站法.剩余的4人进行全排列,共有4444A 384⨯⨯=种排法，由分类加法计数原理可知，总共有120384504+=种排法．故答案为：50413.已知函数()21cos cos (0)2f x x x x ωωωω=++>在区间[)0,π上只有一个零点和两个最大值点，则ω的取值范围是______．【答案】75,63⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】先将()f x 化简为πsin 216x ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再根据()f x 在区间[)0,π上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数的处理办法求出ω的取值范围.【详解】()21cos cos 2f x x x x ωωω=++31sin 2cos2122x x ωω=++πsin 216x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由[)0,πx ∈，0ω>，得πππ2,2π666x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，()0f x =时，πsin 216x ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()f x 最大时，πsin 26x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭也最大，若()f x 在区间[)0,π上只有一个零点和两个最大值点，则只需5ππ7π2π262ω<+≤，解得7563ω<≤．故答案为：75,63⎛⎤⎥⎝⎦.14.已知曲线C 的方程为24y x =，过()2,0M 作直线与曲线C 分别交于A B 、两点．过A B 、作曲线C 的切线，设切线的交点为()00,N x y ．则2200008421x y x y ++-+的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】根据题意，写出过,A B 两点的切线方程，根据其都过N ，进而求得AB 方程，结合其过点M ，求得02x =-，即为N 的轨迹方程，再求目标式的最小值即可.【详解】设,A B 两点坐标为()()2233,,,x y x y ，故过A 点的切线方程为：2222=+y y x x ，又其过点()00,N x y ，则200222y y x x =+；同理，过B 点的切线方程为：3322y y x x =+，又其过点()00,N x y ，则300322y y x x =+；由200222y y x x =+以及300322y y x x =+可得，AB 方程为：0022yy x x =+，根据题意可得，AB 过点()2,0M ，则0240x +=，即02x =-，故动点N 的轨迹方程为：2x =-；则2200008421x y x y ++-+()2200049255y y y =-+=-+≥，当且仅当02y =取得等号.下证：过抛物线24y x =上的一点()11,x y 的切线方程为：1122y y x x =+：当10y =时，10x =，也即过原点作抛物线切线，显然其为0x =，满足1122y y x x =+；当10y ≠时，对24y x =求导可得24yy '=，即y '2y=，故过点()11,x y 的切线的斜率为12k y =，则过点()11,x y 的切线方程为：()1112y y x x y -=-，211122y y y x x -=-，又2114y x =，则切线方程为：1122y y x x =+；综上所述：过抛物线24y x =上的一点()11,x y 的切线方程为：1122y y x x =+.故答案为：5.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键，一是，能够准确写出过抛物线上一点的切线方程，在小题中可直接使用二级结论，从而加快解题速度；二是，根据题意，求出切点弦方程，进而求得N 点的轨迹方程；属综合困难题.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字、说明证明过程或演算步骤．15.如图，某人开车在山脚下水平公路上自A 向B 行驶，在A 处测得山顶P 处的仰角30PAO ∠=︒，该车以45km /h 的速度匀速行驶4分钟后，到达B 处，此时测得仰角45PBO ∠=︒，且cos 3AOB ∠=-.（1）求此山的高OP 的值；（2）求该车从A 到B 行驶过程中观测P 点的仰角正切值的最大值．【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）设km OP x =，由锐角三角函数表示出AO 、BO ，再在AOB 中利用余弦定理计算可得；（2）设C 是线段AB 上一动点，连接,OC PC ，即可得到点C 处观测P 点的仰角为PCO ∠，且tan 2PCO OC∠=，求出OC 的最小值，即可得解.【小问1详解】设km OP x =，在PAO 中，因为tan PO PAO AO ∠=，所以tan 30xAO ==︒，同理，在PBO 中，tan 45xBO x ==︒，在AOB 中，由余弦定理得22222cos 6AB AO BO AO BO AOB x =+-⋅∠=，由445360AB =⨯=，所以296x =，解得62x =（负值已舍去），所以此山的高OP 为62km ；【小问2详解】由（1）得,322BO AO AB ===，设C 是线段AB 上一动点，连接,OC PC ，则在点C 处观测P 点的仰角为PCO ∠，且tan 2PO PCO OC OC∠==，因为cos 3AOB ∠=-，0<πAOB ∠<，所以sin 3AOB ∠==，当OC AB ⊥时，OC 最短，记最小值为d ，由11sin 22AOB S AO BO AOB AB d =⋅∠=⋅△，即163261322232d ⨯⨯⨯=⨯，解得22d =，所以tan 222PCO OC ∠=≤，所以该车从A 到B 行驶过程中观测P．16.如图一：等腰直角ABC 中AC AB ⊥且2AC =，分别沿三角形三边向外作等腰梯形222333,,ABB A BCC B CAA C 使得22232π1,3AA BB CC CAA BAA ===∠=∠=，沿三边,,AB BC CA 折叠，使得232323,,A A B B C C ，重合于111,,A B C，如图二（1）求证：111AA B C ⊥．（2）求直线1CC 与平面11AA B B 所成角θ的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）补全图形得到三棱锥-P ABC ，由线面垂直证得111AA B C ⊥；（2）思路一：建立空间直角坐标系，运用向量求解线面角；思路二：等体积法求得C 到平面PAB 的距离，再用几何法求得线面角.【小问1详解】延长11,AA CC 交于点1,P 过1C 作1C M AC ⊥于M ，过1A 作1A N AC ⊥于N ，又四边形11AA C C 为等腰梯形，则111π2cos13A C AC AA =-=，则112AC AC =，又11//AC AC ，所以111P A AA =，1C 为1PC 的中点，延长11,AA BB 交于点2P ，则211P A AA =，1B 为2P B 的中点，则1121P A P A =，1P ∴与2P 重合于点P ，-P ABC 为三棱锥，设O 为BC 中点，等腰直角ABC 中,AC AB AO BC =∴⊥，又 1C 为PC 的中点，1B 为PB 的中点，111CC BB ==，∴2PB PC ==，PO BC ∴⊥，又,,AO PO O AO PO =⊂ 平面PAO BC ∴⊥平面PAO ，又1AA ⊂平面PAO ，111111,//,BC AA BC B C B C AA ∴⊥∴⊥ .【小问2详解】方法一：2222,,,BC PB PC PB PC BC PC PB ====∴+=∴⊥ O为中点，12PO BC ∴==，又222122,,AO PA AA PO AO PA PO AO ===∴+=∴⊥ ，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则)()((),,0,0,,0,AB P C，(CP ∴=，(AP =，(0,BP =，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z = ，则00AP n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00⎧+=⎪⇒⎨+=⎪⎩，取1x =，则()1,1,1n =，所以sin cos ,3CP n θ===.所以直线1CC 与平面11AA B B 所成角θ的正弦值为63.方法二：22222222,2,,,BC PB PC PB PC BC PC PB =+===∴+=∴⊥ O 为中点，122PO BC ∴==，PO BC ⊥，又22212,22,,AO PA AA PO AO PA PO AO ===∴+=∴⊥ ，又BC AO O ⋂=，,BC AO ⊂平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ，2PA PB AB ===，PAB 为等边三角形，设C 到平面PAB 的距离为h ，,P ABC C PAB V V --= ∴1111π22222sin 32323h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯，266,sin 33h h PC θ∴=∴==.所以直线1CC 与平面11AA B B 所成角θ的正弦值为63.17.在2024年高考前夕，合肥一六八中学东校区为了舒展年级学子身心，缓解学子压力，在一周内（周一到周五）举行了别开生面“舞动青春，梦想飞扬”的竞技活动，每天活动共计有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜得2分，无论哪一场失败均得1分，某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为(01)p p <<、23，且各场比赛互不影响．（1）若13p =，记该同学一天中参加此竞技活动的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为()f p ，试求当p 取何值时，()f p 取得最大值．【答案】（1）分布列见解析，103（2）35【解析】【分析】（1）根据题意得到ξ可能的取值，求出对应的概率，进而得到分布列和期望；（2）先求出一天得分不低于4分的概率，再用二项分布的概率公式求出()f p ，利用导数即可求得()f p 取最值时p 的值.【小问1详解】由题可知，ξ的可能取值为2,3,4,5．因为13p =，所以()()2122242,3339339P P ξξ==⨯===⨯=，()()1111224,5339339P P ξξ==⨯===⨯=，故ξ的分布列为：ξ2345P29491929ξ的数学期望()241210234599993E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】设一天得分不低于4分为事件A ，则()2133P A p p p =⨯+⨯=，则()()()223335C 1101,01fp p p p p p =-=-<<，则()()()()223230(1)20110135f p p p p p p p p =---=--'，当305p <<时，()0f p '>；当315p <<时，()0f p '<所以()f p 在30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故当35p =时，()f p 取得最大值．18.已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m =的距离的比为常数m n ，其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．当4m n ==时，（ⅰ）求证：11AM BN+为定值（ⅱ）求动点Q 的轨迹方程．【答案】（1）答案见解析（2）（i ）证明见解析；（ⅱ）221(0)9x y y +=>【解析】【分析】（1）设(),P x y ，由题意可得222221x y n n m +=-，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且32x x =-，23y y =-.（ⅰ）由AM BN 可知,,M A M '三点共线且BN AM ='，设直线MM '的方程为x ty =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示出11AM BN +，化简计算即可得证；（ⅱ）由椭圆的定义及平行线对应线段成比例性质可得()8AM BN BQ AM BN-⋅=+，()8BN AM AQ AM BN-⋅=+，化简AQ BQ +结合（i ）可得6AQ BQ +=，从而可得点Q 的轨迹方程.【小问1详解】设点(),P x ym n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=-，当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x轴上的双曲线．【小问2详解】当4m n ==时，由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +-，设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且32x x =-，23y y =-（i ）证明：因为AM BN===因此，,,M A M '三点共线，且BN AM ='=，设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++-=，0∆>，则131322428,22t y y y y t t +==++，由（1）可知113224,422AM x BN AM x ==-==-'，所以131313132222442222221122222222x x ty AM BN AM BN AM BN ty ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++==⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21321313242442221142t t t y y t y y t y y ⎛⎫-⋅- ⎪-++==-++（定值），（ⅱ）由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =--，8,AM QM BQ AMAM BN BNBQBQ--∴==，解得()8AM BN BQ AM BN-⋅=+，同理可得()8BN AMAQ AM BN-⋅=+，所以()()88BN AM AM BN AQ BQ AM BNAM BN-⋅-⋅+=+++()82AM BN AM BNAM BN +-⋅=+2882611AM BN=-=-=+．所以，点Q 在以点A B 、为焦点长轴长为6的椭圆上，由于点M N 、均在x 轴上方，所以动点Q 的轨迹方程为221(0)9x y y +=>【点睛】方法点睛:求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.19.把满足任意,R x y ∈总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=的函数称为和弦型函数.（1）已知()f x 为和弦型函数且()514f =，求()()0,2f f 的值；（2）在（1）的条件下，定义数列：()()()21n a f n f n n +=+-∈N ，求122024222log log log 333a a a++⋅⋅⋅⋅⋅⋅的值；（3）若()g x 为和弦型函数且对任意非零实数t ，总有()1g t >．设有理数12,x x 满足21x x >，判断()2g x 与()1g x 的大小关系，并给出证明．【答案】（1）()01f =；()2187f =（2）2047276（3）()()21g x g x >，证明见解析【解析】【分析】（1）利用所给定义，使用赋值法分别令1,0x y ==、1,1x y ==代入计算即可得解；（2）令,1x n y ==代入计算可得12n n a a -=，即可得其通项公式，结合对数运算与等差数列求和公式计算即可得解；（3）令12,a b x x N N ==，数列{}n C 满足n n C g N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而只需证明数列{}n C 为递增数列即可得证.【小问1详解】令1,0x y ==，则()()()()11210+=f f f f ，可得()01f =，令1,1x y ==，则()()()()20211f f f f +=，则()2187f =；【小问2详解】令,1,x n y n +==∈N ，则()()()()()511212f n f n f n f f n ++-==，()()()()21221f n f n f n f n +-=--⎡⎤⎣⎦，即12n n a a -=，又13a =，所以数列n a 为以2为公比，3为首项的等比数列，即13.2n n a -=，则202412222log log log 012023333a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()020232026=20442727+=⨯；【小问3详解】由题意得：函数()f x 定义域为R ，定义域关于原点对称，令0,x y =为任意实数，则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，即()()()g f y f y x =-，是偶函数，21,x x 为有理数，不妨设121212,p p x x q q ==，令N 为21,x x ，分母的最小公倍数，且12,,,a b x x a b N N==均为自然数，且a b <，设()1,01n n n C g g g N N -⎛⎫⎛⎫==<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则01c c <，令1,n x y N N ==，则112n n n g g g N N N +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即112n n n C C C +-+>，()1112n n n n n n n C C C C C C C +-->-=+->，故数列{}n C 单调递增，则()()21g x g x >，又()g x 是偶函数，所以有()()21g x g x >.【点睛】关键点点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，最后一问需根据有理数的性质：令12,a b x x N N ==，将问题转化为判断n n C g N ⎛⎫= ⎪⎝⎭的增减性.。

2025届全国普通高等学校招生统一考试高三（最后冲刺）数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 2．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．193．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．15164．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-325．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．236．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．37．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．18．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 9．若双曲线222:14x y C m -=的焦距为5C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C 19D ．1910．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．1611．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-12．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省哈尔滨市122中学2025届高三（最后冲刺）数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ）A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．(0,)e2．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±=B ．30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ． B ． C ． D ． 4．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A ．33B ．22C ．32D ．2335．双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(c,0)F （0c >），且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C ：222()4c x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为（ ）A ．30x y ±=B ．30x y ±=C ．50x y ±=D ．50x y ±= 6．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤ 7．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）（附：2 1.414,3 1.732,5 2.236≈≈≈）A ．22个B ．24个C ．26个D ．28个8．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ） A ．625- B ．627- C ．63- D ．962-9．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．3 10．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C 10D 5 11．函数()2ln x f x x x=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是A ．)2,⎡+∞⎣B ．)3,⎡+∞⎣ C ．2,6⎡⎤⎣⎦ D ．3,6⎡⎤⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届湖北省百校大联盟高三（最后冲刺）数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（ ）A ．3B ．223C ．22D ．132．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+3．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-4．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．423 C ．2D ．2335．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（ ） A ．54B ．34C ．58D ．386．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A a b b a <B a b b a >C ．abe b e a -<- D ．abe b e a ->-8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．5349．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9B ．12C ．15-D ．18-10．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．32y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±11．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 12．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届广东省清远市第三中学高三最后一卷数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π2．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②3．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ） A ．32B ．32-C ．12D ．12-4．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z+为实数m ，则m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9B ．12C ．15-D ．18-6．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．108730x y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B ．31+C ．5D ．51-8．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．609．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=πD ．22παβ+=10．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-11．设函数()22cos 23sin cos f x x x x m =++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()17,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m =（ ） A ．12B ．32C ．1D ．7212．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市忠县三汇中学2025届高三（最后冲刺）数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．2．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a3．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1005．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体6．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．600107．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．358．二项式22()nx x 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180B ．90C ．45D ．3609．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( ) A ．12B 3C 25D 510．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．34011．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．212．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西省南宁市2025届高三（最后冲刺）数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线E：221x ym n-=(0)mn>绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E的离心率等于（）A．233B．3C．2或233D．2或32．已知函数3sin()(1)()x xx xf xx m x e e-+=+-++为奇函数，则m=（）A．12B．1 C．2 D．33．为得到的图象，只需要将的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位4．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元5．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．126．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．函数()()()22214f x xxx =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．229．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．16310．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．111．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．4912．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西南康市南康中学2025届高三（最后冲刺）数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2e -⎛⎤-∞⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( ) A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++3．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．5．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C．4D．36．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．017．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ） A ．2425-B ．725-C ．1625D ．858．已知(2sin,cos),(3cos,2cos)2222xxxxa b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]49．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A 2B 3C ．1D 610．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13 C ．12D ．1411．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．12．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。