二阶电路的动态响应实验报告一、实验目的：
1.学习用实验的方法来研究二阶动态电路的响应。
2.研究电路元件参数对二阶电路动态响应的影响。
3.研究欠阻尼时，元件参数对α和固有频率的影响。
4.研究RLC串联电路所对应的二阶微分方程的解与元件参数的关系。
二、实验原理：
图1.1 RLC串联二阶电路
用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。图1.1所示的线性RLC串联电路是一个典型的二阶电路。可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述：
s
2
U
2
=
+
+
c
c
c u
dt
du
RC
dt
u
d
LC（1-1）初始值为
C
I
C
i
dt
t
du
U
u
L
t
c
c
)
0(
)(
)
0(
=
=
=
-
=
-
-
求解该微分方程，可以得到电容上的电压u c(t)。
再根据：
dt
du
c
t
i c
c
=
)(可求得i c(t)，即回路电流i L(t)。
式（1-1）的特征方程为：0
1
p
p2=
+
+RC
LC
特征值为
：
2
0222,11)2(2p ωαα-±-=-±-
=LC
L R L R (1-2)
定义：衰减系数（阻尼系数）L
R 2=
α 自由振荡角频率（固有频率）LC
1
0=
ω 由式1-2 可知，RLC 串联电路的响应类型与元件参数有关。
1． 零输入响应
动态电路在没有外施激励时，由动态元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。 电路如图1.2所示，设电容已经充电，其电压为U 0，电感的初始电流为0。
图1.2 RLC 串联零输入电路
(1) C
L
R 2
>，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况。 电路响应为：
)
()
()()
()(2
1
2
1
120
121
20
t P t P t P t P C e e P P L U t i e P e P P P U t u ---=
--=
图1.3 RLC 串联零输入瞬态分析
响应曲线如图1.3所示。可以看出：u C (t)由两个单调下降的指数函数组成，为非振荡的
过渡过程。整个放电过程中电流为正值， 且当2
11
2ln
P P P P t m -=时，电流有极大值。
（2）C
L
R 2
=，响应临界振荡，称为临界阻尼情况。 电路响应为
t
t c te L
U
t i e t U t u ααα--=+=00)()1()( t ≥0
响应曲线如图1.3所示。
(3) C
L
R 2
<，响应是振荡性的，称为欠阻尼情况。 电路响应为
t e L
U t i t e U t u d t
d d t d
C ωωβωωωααsin )(),
sin()(000
--=
+==t ≥0
其中衰减振荡角频率 2
2
2
0d 2L R LC 1⎪⎭⎫
⎝⎛-=
-=αωω ， α
ωβd arctan = 响应曲线如图1.3所示。
图1.3 二阶电路零输入响应
（4）当R ＝０时，响应是等幅振荡性的，称为无阻尼情况。
电路响应为
t
L
U t i t
U t u C 000
00sin )(cos )(ωωω== 响应曲线如图1.6所示。理想情况下，电压、电流是一组相位互差90度的曲线，由于无能耗，所以为等幅振荡。等幅振荡角频率即为自由振荡角频率0ω，
注：在无源网络中，由于有导线、电感的直流电阻和电容器的介质损耗存在，R 不可能为零,故实验中不可能出现等幅振荡。
过阻尼 临界阻尼 欠阻尼
2．零状态响应
动态电路的初始储能为零，由外施激励引起的电路响应，称为零输入响应。
电路如图1.4所示，设电容已经放电，其电压为0V，电感的初始电流为0。
图1.4 RLC串联零状态电路
根据方程1-1，电路零状态响应的表达式为：
)
(
)
(
)t(
)t(
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
t
p
t p
S
t
p
t p
S
S
C
e
e
p
p
L
U
i
e
p
e
p
p
p
U
U
u
-
-
-
=
-
-
-
=）
（
t≥
与零输入响应相类似，电压、电流的变化规律取决于电路结构、电路参数，可以分为过阻尼、欠阻尼、临界阻尼等三种充电过程。
响应曲线如图1.5所示。
图1.5 二阶电路零状态响应
3．全响应
动态电路的初始储能不为零，和外施激励一起引起的电路响应，称为全响应。
欠阻尼
临界阻尼
过阻尼
