浅谈复合函数的连续性

2.期刊论文 裴东林 关于复合函数的Riemam可积性 -甘肃联合大学学报（自然科学版）2009,23(6)
本文讨论了二元复合函数的Riemam可积性并证明了两个关于二元复合函数可积性的充分条件.
3.期刊论文 陈俊 关于对复合函数求导法则定理证明的探讨 -中国科技成果2005,""(24)
本文对复合函数求导法则定理的证明作了一些讨论,提出对该定理证明中所引入无穷小量的更加灵活的处理方法,深化了我们对复合函数求导法则的 理解和应用.
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万方数据
１９９９．３２（１）：５８—６２
［４］范长胜，陈水青，李爽等．超甜蛋白的基因工程及开发
研究进展．工业微生物，１９９９，２９（１）：２９＿３３
Ｆ．Ｇｌｌｓｌａｌｏｎｒ懈ｐｔｏｒ ［５］ＴｂｎｏｓａＩ【ｉ Ｋ，Ｍｉｗａ Ｋ，Ｋａｎｅｍｌｌｒａ
ｅｅＵ
ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ Ｌｏ Ｌｈｅ ｓｗｅｚＬｅｎｅ璃，ｍ∞ｅｌＨｎ ａｎｄ Ｕｌａ哪ａ：Ｌｉｎ．Ｂｍｉｎ Ｒｅｓ，
ｙ＝／１似石）】在点‰处连续。
定理ｌ存在问题。这是冈为抛，Ｆ复合函数的定义域，讨论其连 续性。往往会发生问题。先看一个具体例子。
例Ｉ 函数“＝烈工）＝ｓｉｎｘ在任意点而处连续，当然往点
‰＝２ｋｘ＋鲁（ｋｅ ｚ）处连续， 函数Ｙ＝ｆ（ｕ）＝山一１在点 ‘
‰＝烈毛）＝ｓｉｌｌ（２ｋｘ＋争＝ｌ处右连续。按照定理ｌ。复合函数 二
参考文献 ［１］范长胜．甜蛋白的开发与应用研究．食品与发酵工业。 ２００１．２７（１２）：５０一“ ［２］闫亚军，陈劲春．利用转基因毕赤酵母高表迭小分子药 用多肤的研究．北京化工大学学报，２００２．２９（４）：１－－３ ［３］崔洪志，李敏，徐琼芳等．植物ｍｏｄｅｒｎ甜蛋白基因的 细菌化改适合成及其在大肠杆茵中的表达．中国农业科学，
欧阳亮在1957年为了研究二阶微分方程解的有界性，给出了左边足未知函数平方的积分不等式，这个不等式推广了Gronwall-Bellman的积分不等式 ．De—fermos在1979年为了建立热力学第二定律与稳定性之间的联系，进一步把欧阳亮的不等式推广成被积函数是未知函数的一次项与二次项的和的积 分不等式．Pachpatte推广了Defermos的积分不等式的离散化形式，推广后的和差分不等式右边的和号内包含两项，一项是未知函数的一次项，另一个是 包含未知函数与一个非递减函数的复合函数的项．本文第二章进一步把Pathpatte的和差分不等式推广成带有时滞的和差分不等式，其中和号内是多项的 和，和号内的每一项包含未知函数与一个不具有单调性的函数的复合函数．我们给出了不等式中未知函数的估计，并把所得结果用于研究时滞差分方程 初值问题解的有界性与唯一性．
１９９７，７４８（１２）：２３４—２３６
［６］Ｄｅ Ｖ∞Ａ Ｍ，Ｈａｔａｄａ Ｍ，Ｖ觚ｄ盱Ｗｅｌ Ｈ．Ｐｒ∞Ｎａｔｌ Ａｃａｄ
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１３一１５
［８］袁汉英，艾华水，范长胜等，单链莫奈林基因表达载体
艿＞Ｏ，），＝以钗ｊ）】在点而的艿邻域￡，‰，国内．除点而外处处尼定 义，所以复合函数Ｙ＝几烈ｘ）】在点‰处不连续。
参考文献 ［１］江泽坚，吴智泉，周光亚合编．数学分析［Ｍ］．人民教育 出版社．１９７８．１ ［２］费祥历，列奋，马铭福主编．高等数学［Ｍ］．中国石油大 学出版社，２０００．８ ［３］高汝熹主编．高等数学［Ｍ］．武汉大学出版社，１９９６．３
（上接７３页）中的分泌表达。在本研究中仍保留了Ａ，Ｂ两条多 肽链自然状态（通过氢键、疏水作用力等次级键维持自然状态） 的设计方案，没有通过ｌｉｎｋ连接方案，通过采用毕赤酵母分泌 型表达载体ｐＰＩＣ９Ｋ成功实现了分泌表达。
３本研究的意义及今后工作 在本实验中，我们采用优秀的真核表达载体毕赤酵母成功 表达了Ｍｏｎｅｌｌｉｎ甜蛋白，并成功实现了蛋白产量达到０．２５９／Ｌ 的高产水平，并通过分泌表达的方法简化了蛋白提纯工艺，同 时也避免用大肠杆菌表达蛋白质没有活性的问题。今后本研 究组决定对此菌株进行发酵罐发酵方面的研究，同时积极探讨 Ｎｏｎｅｎｉｎ甜蛋白耐高温方面的研究。
相似文献(FENG Yong-ping 复合函数分析性质的改进 -广州大学学报（自然科
学版）2007,6(4)
对高等数学中复合函数的连续性条件进行了弱化改进,得到了类似复合函数连续及在x0处极限存在的充分条件,对复合函数的可微性条件进行改进,得 到了复合函数可微以及在x0处存在左右导数的充分条件.
科技信息
高校理科研究
浅谈复含函数昀连续ｎ生
东营职业学院刘德厚
［摘要］函数的连续性是数学分析和高等数学研究的重要内容之一，本文就复合函数的连续性，结合实例，给出并证 明了复合函数连续性的一个命题。 ［关键词】复合函数连续定义域孤立点邻城
函数的连续性是函数的重要性质之一，也是数学分析和高
等数学研究的重要内容，复合函数的连续性，在数学分析和高
的构建及其分泌表达．复旦学报（自然科学版），２００３，４３（４）： ５３６ｍ５４０
［９］吴刚，汪亚平，朱作言．甜蛋白Ｍｏｎｅｌｌｉｎ在毕赤酵母中
的分泌表达．高技术通讯，２００３，ｌｌ：２０—２３
［１０］陈忠军，路福平，蔡恒等．人工合成的单链甜蛋白
Ｍｏｎｅｕｉｎ基因在大肠杆菌中的高效表达．食品与发酵工业，
ｙ＝九烈ｘ）】－√ｓｉｎｘ—ｌ在点‰＝２七厅＋等（ｔ∈ｚ）处连续。事实上，由 二
干复合函数ｙ＝九烈Ｊ）】＝√ｓｉｎ工一ｌ的定义域是缸Ｉ－２ｋｘ＋等，ｋＥ ｚｊ，
是抛点集，园比，ｙ＝月认工）】－√ｓｉｎ算－Ｉ在定义域内处处二不连续。
在定理Ｉ的证明巾，只有当点‰是复合函数Ｙ＝厂【饭Ｊ）Ｊ的定义 区间的内点时，
4.期刊论文 吴亚敏.WU Ya-min 复合函数的勒贝格可积性研究 -重庆文理学院学报（自然科学版）2010,29(1)
复合函数的勒贝格可积性质在几何学、物理,以及数学分析、实变函数等学科中都有着十分重要的作用.本文以函数勒贝格可积的定义为出发点,通过 收集整理相关资料,指出和证明了函数勒贝格可积和复合函数勒贝格可积的几个条件,以及可测函数的结构等结论,并给出了应用.
5.期刊论文 汪维红 剖析复合函数的极限运算 -皖西学院学报2004,20(2)
探讨了复合函数中的极限符号与函数符号能否交换次序的问题,阐述了limf[ψ(x)]x→x0、f[lim ψ(x)]x→x0及limf(u)u→u0三者的差异.
6.学位论文 王五生 积分不等式的若干推广 2007
尽管多数微分方程无法求出精确解，但是人们可以利用适当的不等式技巧对解的模进行估计．这样的估计可以证实解的存在性、唯一性、有界性、 稳定性和不变流形等定性性质．这样的不等式就足所谓的积分不等式．自从两位数学家Gronwall和IlBellman提出具有划时代意义的不等式以来 ，Gronwall-Bellman积分不等式及其离散形式存不断地得到推广．
（１）如果点％是Ｙ＝ＪＩ烈纠的定义区间的内点，则Ｙ＝九钛ｘ）】
在点％处连续。
（２）如果点知足），＝九加）】的定义闭区间的左（右）端点，则
ｙ＝九似Ｊ）】在点‰处右（左）连续。 （３）如果点而是Ｙ＝九似工）】的定义城内的孤立点。见ｑ
ｙ＝／Ｔ钛Ｊ）】任点％处不连续。 证（１）设点％是ｙ＝厂【烈工）】的定义区ｌ’日｜的内点。
ＭｔｉＡｍ．认工）＝烈而）＝‰，又因为函数Ｊ，＝ｆ（ｕ）存点‰＝烈‰）处连
续，因此，ｌｉｍ九伙工）】＿ｌｉｍ厂（Ⅳ）＝ｆ（ｕ。）＝厂【烈％）】，所以．复合函
ｊ＿＇知
”－’～
数ｙ＝ｎ钗ｘ）】在点‰处右连续。
同理可证，当点而是Ｙ＝九织却】的定义闭区间的右端点时，
复合函数ｙ＝九烈工）】征点而处＾：连续。 （３）设点％是ｙ＝九烈ｘ”的定义城内的孤立点，则存在
因为Ｕ＝烈ｘ）在点而处连续，所以，ｌｉｍ烈工）＝识‰）＝‰。 Ｊ＿，‰
又因为函数Ｙ＝厂＠）在点％＝以％）处连续，因此， 一ｌｉ０ｍ丌烈圳＝ｌｉ…ＩＩ０ｌｆ（ｕ）＝ｆ（ｕ。）＝九ｘｏ）】，
所以，复合函数ｙ＝ｎ烈工）】在点‰处连续。 （２）设点％是Ｙ＝九烈工）】的定义闭区间的左端点。
因为“＝烈ｘ）在点％处连续，当然也右连续，所以，
等数学教科书中都有详细的叙述和证明。如定理１所述。
定理ｌ设函数“＝烈ｘ）在点‰处连续，函数ｙ＝ｆ（ｕ）在点
Ⅳｏ＝舛％）处连续，则复合蛹数Ｙ＝九烈，）】在点％处连续。
证明
因为Ｕ＝烈工）任点‰处连续。所以，ｌｉｒａ烈工） ｘ＿＋ｂ
＝烈％）＝“。，又因为函数ｙ＝ｆ（ｕ）在点Ｕ。＝认％）处连续，所以，
ＭｌｉｎｌＩＩ以烈工）Ⅳ】 ＿％ ＝ｌｉｒａｆ＠）＝ｆ（Ｕｏ）＝儿砜矗）】，这就是说复合函数
另一方面，Bihari在1956年把Gronwall-Bellman积分不等式中右边被积函数中的未知函数推广成未知函数与非递减函数的复合函数，Lipovan在 2000年又把Bihari的积分不等式中的积分的上下限从自变量推广成可求导增函数，从而使积分不等式含有时滞．Agarwal等人在2005年又把Lipovan的积 分不等式进一步推广成Gronwall类时滞积分不等式，其中积分号外的常数项推广成函数项，把两个积分项推广成多个积分项．Cheung在2006年把 Pachpatte的一元积分不等式和Lipovan的二元积分不等式推广成二元时滞积分不等式，这个不等式的左边是未知甬数的幂函数，右边是一个常数项与两 个积分项的和，其中一个积分项的被积函数含有未知函数的幂函数，另一个积分项的被积函数含有未知函数与非递减函数的复合函数．本文第三章第一 节在Cheung和Agarwal等人结果的基础上建立了一个具有时滞的Gronwall类二元积分不等式，与Cheung的不等式比较这个不等式把积分号外的常数项推广 成二元函数项，把二个积分项推广成多个积分项，且不要求被积函数中与未知函数进行复合的函数具有单调性．为了克服没有单调性带来的困难，我们 采用了单调化技巧，由已知函数构造出强单调函数序列(即，每个函数单调，且列中后一个函数与前一个函数的比也足单调函数)．为了说明未知函数估 计的有效区域，必须确定在不同情况下给出的多个区域之间的包含关系，我们利用比较不同区域的边界条件得出了它们的包含关系．我们给出不等式中 了未知函数模的估计，并把所得结果用于研究偏微分方程边值问题解的有界性、唯一性与连续依赖性．用我们的结果可以估计Cheung[Nonlinear Anal．，2006，64，2112—2128]的积分不等式中未知函数的模，也可以估计Agarwal等人[Appl．Math．Comput．，2005，165，599—612]的积分不等式 中未知函数的模．Pachpatte在2002年建立了含四重积分的二元积分不等式，不等式中未知函数都足一次的．本文在第三章第二节推广了Pachpatte的结 果，把Pachpatte的不等式右边的未知函数的一次项推广成非递减函数与未知函数的复合函数，给出了未知函数模的估计，把所得结果用来讨论积分微分 方程解的唯一性与有界性．本文在第四章第一节把[J．Math．Anal．Appl．，2006，319，708—724]中的不等式推广成一个新的和差分不等式，这个不 等式和号外是一个非常数项，和号内包括未知函数与不具有单调性的函数的复合函数．我们给出了未知函数模的估计，并用我们的结果讨论了偏差分方 程边界值问题解的有界性、唯一性和连续依赖性．第四章第二节把Pachpatte的关于未知函数是线性的和差分不等式推广成关于未知函数足非线性的一个 具有四重和的和差分不等式，并用所得结果讨论了一类具有双重和的差分方程解的有界性与唯一性．