高考数学真题题和模拟题分类汇编-11第6章__第1节_等差数列、等比数列的概念及求和(详解答案)

全国新课标区模拟精选题：依据高考命题大数据分析，重点关注基础题3，4，力量题12，14. 专项基础测试 模拟精选题 一、选择题1.(2022·陕西西安模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 若数列{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意n ∈N *都成立，于是有3>2λ，λ<32，由λ<1可得λ<32；反之由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A. 答案 A2.(2022·玉溪一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n （n 为正奇数），a n ＋1 （n 为正偶数），则其前6项之和是( ) A.16 B.20 C.33D.120解析 a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33. 答案 C3.(2021·天津南开中学月考)下列可作为数列{a n }：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ) A.a n ＝1B.a n ＝（－1）n ＋12C.a n ＝2－|sin n π2|D.a n ＝（－1）n －1＋32解析 A 项明显不成立；n ＝1时，a 1＝－1＋12＝0，故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝（－1）2－1＋32＝1，故D 项不正确.由a n ＝2－|sin n π2|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C. 答案 C4.(2022·济南外国语学校模拟)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 016等于( ) A.0 B.－ 3 C. 3D.32解析 由已知得a 1＝0，a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3＝a 2，a 6＝a 3，…，由此归纳得出a n ＋3＝a n ，故a 2 016＝a 3×672＝a 3＝3，选C. 答案 C5.(2022·北大附中模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 013的值是( ) A.8 B.6 C.4D.2解析 a 1a 2＝2×7＝14，∴a 3＝4，4×7＝28，∴a 4＝8，4×8＝32，∴a 5＝2，2×8＝16，∴a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，∴从第三项起，a n 的值成周期排列，周期数为6，2 013＝335×6＋3，∴a 2 013＝a 3＝4. 答案 C 二、填空题6.(2022·山东聊城二模)如图所示是一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为________.解析 每行的第2个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以 a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，由累加法得a n －a 2＝[（2n －3）＋3]×（n －2）2＝n 2－2n ，所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2). 答案 n 2－2n ＋3 创新导向题利用递推公式求数列通项公式问题7.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________. 解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1.答案 3n －1利用S n 与a n 关系式求a n 问题8.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝5n －3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________(n ∈N *). 解析 数列的前n 项和S n ＝5n －3， ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝5－3＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(5n －3)－(5n －1－3)＝4×5n －1.此式中令n ＝1，得a 1＝4， ∴a 1不适合a n ＝4×5n －1(n ≥2).故数 列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （n ＝1），4×5n －1 （n ≥2）.答案 ⎩⎨⎧2 （n ＝1），4×5n －1 （n ≥2） 专项提升测试 模拟精选题 一、选择题9.(2022·广东佛山一模)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2a n ＋4cos 2n π2，则a 9，a 10的大小关系为( )二、填空题10.(2021·温州质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋3）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.答案 5或611.(2021·天津新华中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为________.解析 由于S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列. 又由于a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1， 故a n ＝2n －1，而a nn ≤2，即2n －1≤2n ， 所以有n ∈{1，2，3，4}. 答案 {1，2，3，4}12.(2022·河南洛阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 015项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 015＝________. 解析 由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，所以{a n }是以4为周期的数列，而2021＝4×503＋3，a 1a 2a 3a 4＝1，则前2 015项的乘积为1503·a 1·a 2·a 3＝3. 答案 3 三、解答题13.(2021·青岛一中模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值. 解 (1)当n ≥2时，由题可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n .① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，② ②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ， 即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，（n ＋1）a n ＋1nan＝3，∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)， ∴na n ＝2·3n －2， ∴a n ＝2n ·3n －2(n ≥2)，∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2. (2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a n n ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n （n ＋1），设f (n )＝n （n ＋1）2·3n(n ≥2，n ∈N *)， 则f (n ＋1)－f (n )＝2（n ＋1）（1－n ）2·3n ＋1<0，∴1f （n ＋1）>1f （n ）(n ≥2)，又1f （2）＝13及a 12＝12，可得λ≥1f （2）， ∴所求实数λ的最小值为13. 创新导向题利用S n 求a n 及数列求和问题14.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝a ，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)当a ＝1时，若b n ＝na n ＋1－a n，数列{b n }的前n 项和为T n ，n ∈N *，证明：T n <2.(1)解 由S n ＋1＝2S n ＋n ＋1得S n ＝2S n －1＋n (n ≥2)，两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ≥2). 故数列{a n ＋1}从第2项起，是以a 2＋1为首项，2为公比的等比数列. 又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝a ，∴a 2＝a ＋2， ∴a n ＝(a ＋3)·2n －2－1(n ≥2)， 又a 1＝a ，不满足a n ＝(a ＋3)·2n －2－1. ∴a n ＝⎩⎨⎧a （n ＝1），（a ＋3）·2n －2－1 （n ≥2）. (2)证明 由a 1＝a ＝1，得a n ＝2n －1(n ∈N *)，则b n ＝n （2n ＋1－1）－（2n －1）＝n 2n ＋1－2n ＝n2n ， ∴T n ＝12＋2·122＋3·123＋…＋n ·12n ①，从而12T n ＝122＋2·123＋…＋(n －1)·12n ＋n ·12n ＋1②， ①－②得：12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1，故12T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n <2.。

第六章数列第一节等差数列与等比数列题型67等差（等比）数列的公差（公比）1.(2017北京理10)若等差数列an 和等比数列bn满足a1b –11，a b 844，则a2b2解析_______.由a 1，a 8，则a a d 132，由b 1，b 8，则q 2 142114，则b b q 2 21.故a221b22.2.（2017全国1理4）记S为等差数列n an 的前n项和．若a a 24，S 48，则{a}456n的公差为（）.A．1B．2C．4D．8解析a a a 3d a 4d 24 4511，S 6a61652d 482a7d 24，联立6a15d 48①②①3②，得2115d24，即6d 24，所以d 4.故选C.3.（2017全国2理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）.A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析设顶层灯数为a1，q 2，S7a121127381，解得a 31．故选B.4.（2017全国3理14）设等比数列___________．a满足a a –1，a–a –3，则a n12134解析因为a n为等比数列，设公比为．由题意得a a 112a a 313a aq 1，即a aq 311q1 121 1②①1显然q 1， a0 1，式② 式①，得 1 q 3 ，即 q2，代入 ① 式可得 a 1 1，所以 aa q 413128．题型 68等差、等比数列求和问题的拓展1.（2017 全国 1 理 12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是 2 ，接下来的两项是 2 ， 2 ，再接下来的三项是 2 ， 2 ， 2 ，依此类推.求满足如下条件的最小整数 N ：N 100 码是（ ）.且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活A.440B.330C.220D.110解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推． n1n设第 n 组的项数为 n ，则 n 组的项数和为，由题意得， N100 ，令 2n1n2100 ，得 n ≥ 14 且 n N*，即 N 出现在第 13 组之后，第 n 组的和为1 2n 1 22 n1， n 组总共的和为2 12n1 2n 2n 12 n，若要使前 N 项和为 2 的整数幂，则 Nn1n2项的和 2k 1应与2 n 互为相反数，即 2k1 2 nk N *，n ≥14，k log2n 3，得 n 的最小值为n 29 ，k 5，则 N2912925 440 .故选 A.2.2017 山东理 19）已知xn是各项均为正数的等比数列，且xx3 ， xx2 1232，x 的通项公式；（1）求数列n（2）如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，依次联结点P x ，1，Px ，21122，…，P n 1x , n 130 0 1 0 1 2得到折线PP n 112Pn1，求由该折线与直线y0，x x，x x1n 1所围成的区域的面积T.n2解析（1）设数列{x}n的公比为，由已知q 0.由题意得x x q 311x q2x q 211，所以3q25q 20，因为q 0，所以q 2,x 11，因此数列{x}n的通项公式为x 2n 1.n（2）过P,P,P,,P123n 1向轴作垂线，垂足分别为Q ,Q,Q,,Q123n 1，由（1）得xn 1x 2n 2n 12n 1. n记梯形P P Q Q的面积为b.n n 1n 1n n由题意bn (n n 1)22n 1(2n 1)2n 2，所以T b b bn1bn31n n n n①又2T 32n0521722(2n 1)2n 2(2n 1)2n 1②①②，得T 3n 1n n n 232n 1( n n 1(21所以Tn (2n 1)22n1.qx3题型69等差、等比数列的性质及其应用1.（2017江苏09）等比数列a的各项均为实数，其前n项的和为nSn，已知S374，63S ，则a4．解析解法一：由题意等比数列公比不为1S，由S a 1q 371q4a 1q 6631q4，因此S S61q339，得q 2．又S a a a a1q q3123127a171，得a ，所以a a q44732．故填32．7S4解法二（由分段和关系）：由题意S S q3S63法一．634，所以q38，即q 2．下同解2.（2017全国2理15）等差数列a n的前n项和为Sn，a 33，S 104，则n1Sk 1k．解析设an 首项为a，公差为d ．由a a 2d 3，S 4a 6d 10，得a 1，d 1，1 3 1 4 1 1所以a nn，Sn nn12，n 122S 1223 k 1 k22n n 1n n 1111212231111n 1n n n 112n 21n 1n 168361181133.4题型70判断或证明数列是等差、等比数列1.（2017江苏19）对于给定的正整数k，若数列an满足a nakan1k1na1na+a2k对a任意正整数nn k 1n k n总成立，则称数列a n 是“Pk数列”．（1）证明：等差数列a n 是“P3数列”；（2）若数列a n 既是“P 2数列”，又是“P 3数列”，证明：a n是等差数列．解析（1）因为a n 是等差数列，设其公差为d，则a a n 1d，n1从而当n…4时，an k an kan k 1d a n k 1d =112a 2n 1d2a，k 1,2,3，1n所以an 3an 2+an1+an 1an 2+an 36a ，因此等差数列a是“P 3数列”．n n（2）由数列a n既是“P 2数列”，又是“P 3数列”，因此，当n…3时，an 2an 1an 1an 24an①当n…4时，an 3an 2an 1an 1an 2an 36an②由①知，an 3an 24a n 1aann1n≥4③a n 2an 34a n 1a n 1ann≥2④将③④代入②，得an 1an 12a，其中n…4，n所以a,a,a,是等差数列，设其公差为d345．在①中，取n 4，则a a a a 4a，所以a a d2356423，在①中，取n 3，则a a a a 4a，所以a a 2d ，1245313从而数列a是等差数列．n评注这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考．（2015南通基地密卷7第20题）设数列的各项均为正数，若对任意的n N*，a n5存在k N*，使得a2n k a a nn 2k成立，则称数列a n为“Jk型”数列．（1）若数列a n是“J2型”数列，且a 8，a 1，求a；282n（2）若数列a n 既是“J型”数列，又是“J型”数列，证明数列34a n是等比数列．解析（1）由题意得，a,a,a,a,2468成等比数列，且公比1a 3 1q 8a22，所以a a q n 12n21n 4．（2）由a n 是“J型”数列得4a,a,a,a,a,a,159131721成等比数列，设公比为t，由a n是“J3型”数列得a,a,a,a,a,1471013成等比数列，设公比为；1a,a,a,a,a,25811 14a,a,a,a,a,36912 15成等比数列，设公比为；2成等比数列，设公比为；3a a a则13 4 t3，17 4 t3，214t3，a a a159所以，不妨令123123，则t 43．所以a3k k 13a3k212，a11a3k 1a k 25a t k 21a1k23a133k 11，所以a3k a k 39a t12k3a1k13a133k1，综上a an 13n1，从而a n是等比数列．2.(2017北京理20)设{a}n 和{b }n是两个等差数列，记2 123c max{b a n,b a n,,b an}(n 1,2,3,)n1122n nx,x,,x这s个数中最大的数．12s ，其中max{x,x,,x}12s表示（1）若a n，b 2n 1，求c,c,c n n123的值，并证明{c }n是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n m时，cn Mn；或者存在正整数6m，使得c,cm m1,cm 2,是等差数列．解析（1）c b a 110111，c max b2a,b 2a max121,322121122，c max b3a,b 3a,b 3a max 131,332,53323112233.当n…3时，bk 1nak1b nabk k k 1bn ak k 1a2n0k，所以b nak k关于k N*单调递减.从而c m na bx11a n,b2n2,ann,，b1an11b a n将n 1,2,3代入，满足此式，所以对任意等差数列.n…1，c 1n，于是c c 1，得cn n 1n n是（2）设数列an 和bn的公差分别为d,d12，则b na b k 1d a (k 1)d n b a n d nd k k12111121b an n 1d nd,当d nd时112121.b 1a1n,当d2…nd1时k 1.①当d 01时，取正整数md2d1，则当n…m 时，nd d，因此c b a n12n11.此时，c,cm m1,cm 2,是等差数列.②当d 01时，对任意n…1，c b a nn 1max d,0b a n 1max d,0an1121121此时，c,c,c,123,c,n是等差数列.③当d 01时，当dn 2d1时，有ndd12 c所以n.1112，所以c b a n n1d nd b d n1121n d d a d12…n n n7n d d a d |b d| 111212.对任意正数M，取正整数m max M |b d|a d d d12112,2d d11，c故当n…m时，n Mn.题型71等差数列与等比数列的交汇问题——暂无第二节数列的通项公式与求和题型72题型73数列通项公式的求解数列的求和1.（2017天津理18）已知{a}n 为等差数列，前n项和为Snn N，{b}n是首项为2的等比数列，且公比大于0，b b 12，b a 2a，S 11b23341114.（1）求{a }和{b}nn的通项公式；（2）求数列a b 的前n项和n N.2n2n 1解析（1）设等差数列{a}n 的公差为d，等比数列{b}n的公比为q.由已知b b 1223，得b(q q2)12，而b 2，所以q112q 60.又因为q 0，解得q 2.所以b 2nn.由b a 2a341，可得3d a 81①S=11b，可得a 5d 16由1141a 1，d 3，由此可得联立①②，解得1a 3n 2n.②所以数列{a}n 的通项公式为a 3n 2n，数列{b}n的通项公式为b 2nn.(2)设数列{a b2n2n 1}的前n项和为T，n由a2n 6n 2，b2n 124n1，有a b2n2n 1(3n 1)4n，8故 T2 4 5 4 n28 4 3(3n 1) 4 n，4T 2 4 25 43 8 4 4n(3n 4) 4 n(3n 1) 4n 1 ，上述两式相减，得3T2 434 23 43n3 4 n(3n 1) 4 n112 (14n ) 144 (3n 1) 4n 1= (3n 2) 4 n 18，得 Tn3n 2 8 4n 133.所以数列a b2n 2n 1的前n 项和为3n 2 8 4n 133.2.（2017 全国 3 理 9）等差数列an的首项为 1，公差不为 0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列an前6 项的和为（ ）.A ．24B ． 3C ．3D ．8解 析 因为an为等差数列，且 a , a , a 236成等比数列，设公差为d ，则 a 23a a ，即2 6a12d2a d1a 5d .因为a1 11，代入上式可得 d 22d 0，又 d 0 ，则 d2，所以 S 6a 6 1 6 5 6 5d 16 2 24 .2 2故选A .第三节数列的综合题型 74数列与不等式的综合1.(2017 浙江理 22)已知数列xn* n N 时.0 xx ；（1） n n 1x xn n 1 2xx；（2） nn 12满足： x1 1， x xnn 1ln 1xn 1n N *.证明：当（3）1 1 剟x 2n 1 2n -2.解析 （1）用数学归纳法证明：x0 n.n当n 1时，x 101，假设n k时，x 0k，9那么n k1时，若x 0k 1，则0x x kk 1ln 1xk1…，矛盾，故xk 10.因此x 0n N *，所以n x xn n1ln 1xn1xn1.因此0xn1xn N *.n（xn 124xn）12 xn由xnx21n1l x nnx .n11xn12xn1，l得xn1x n1n 1xn记函数fxx 22xx 2l n 1x x 0.fx 22x 1x22x2xx 2x 2ln1x ln x 1ln x 1 0x 1x 1x 1，知函数f x 在0,上单调递增，所以fx…f 0，因此x2n 12xn 1xn 12l n 1xn1f xn1…0，即2xn 1x…n n 1n N *.2（3）因为x xn n 1ln 1xn1…xn1xn12xn1n N *，得x1n 1…，以此类推，x2nx1 n厖, x2 n 1x,2x112，所以x x xn n 1x x n 1n 2x2=xx?x11n1，故1x…2n 1.由（2）知，x xn n 1…2x x n Nn 1n*，即1111 (20)x2x2n 1n，所以111111厖2?2n 12x2x2x2n n 11n 2，故x …n21n 2.综上，11剟x n N2n 12n 2*2x xnn12n2n.10。

2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一 等差、等比数列的基本运算 【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36【例2】．{}a n 是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( )A ．－10B ．－5C ．0D ．5【例3】．已知递增数列{a n }对任意n ∈N *均满足a n ∈N *，aa n ＝3n ，记b n ＝a 2·3n －1(n ∈N *)，则数列{b n }的前n 项和等于( )A ．2n ＋nB ．2n ＋1－1 C.3n ＋1－3n2D.3n ＋1－32题组训练一 等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝4，S 15＝60则a 20等于( ) A ．4 B ．6 C ．10 D ．122．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6等于( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．33．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( )A ．152B ．135C ．80D ．16 题型二 等差、等比数列的性质及应用 【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 8·a 2 008＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015等于( ) A ．log 22 015B ．2 015C ．－2 015D ．1 0082．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8等于( ) A ．－30 B ．40 C ．40或－30D ．40或－503．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56题组训练二 等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 3B ．4C ．±2 2D ．±4 2．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，－217<d <－19，则当S n 取最大值时n 的值为________．3．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033题型三 等差、等比数列的综合问题 【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．题组训练三 等差、等比数列的综合问题已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫⎝⎛21，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .题型四 数列与其他知识的交汇 【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 016OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016题组训练四 数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－322．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.433．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{}a n 的通项公式a n ＝________.【专题训练】 一、选择题1．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( ) A ．2 B ．lg 50 C ．10D ．52．在正项等比数列{a n }中，已知a 3a 5＝64，则a 1＋a 7的最小值为( ) A ．64B ．32C ．16D ．83．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．104．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n (3n －1)B.n (n ＋3)2C ．n (n ＋1)D.n (3n ＋1)25．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( ) A.157 B.95 C.53D.756．数列{}a n 是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{}b n 满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( )A. 2 B ．3 C. 5 D ．6二、填空题7．数列{a n }的通项a n ＝n 2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3cos22ππn n ，其前n 项和为S n ，则S 30＝________. 8．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日10．数列{log k a n }是首项为4，公差为2的等差数列，其中k >0，且k ≠1.设c n ＝a n lg a n ，若{c n }中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为________．三、解答题11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝⎪⎭⎫⎝⎛23a n ·b n ，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．。

[多练强化] 1．(2019·广州市调研测试)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a3＝7，an＝2an－1＋a2－ 2(n≥2)． (1)证明：数列{an＋1}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式，并判断 n，an，Sn 是否成等差数列？
2．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，对任意的 n∈N*，都有 Sn＝2－an，数列{bn}满足 b1＝ 2a1，bn＝1＋bnb－n1－1(n≥2，n∈N*)．
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(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式．
[解题方略] 数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法
(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明 an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用等差中项，即证明 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明aan＋n 1(n∈N*)为一常数； ②利用等比中项，即证明 a2n＝an－1an＋1(n≥2)．
①若 a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式； ②若 T3＝13，求 Sn.
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[解题方略] 等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量：首项 a1 和公差 d(公比 q)；
(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于 a1 和 d(或 q)的方程(组)，然后求解，注意整体计
算，以减少运算量．
[多练强化]
1．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4 项和为 15，且 a5＝3a3＋4a1，
则 a3＝( )
A．16
B．8
C．4
D．2
2．(2019·沈阳市质量监测(一))已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝12，S5＝90，