运筹学课程设计- 题目是《某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品,都分别经A、B两道工序加工》

工业大学课程设计报告课程设计名称运筹课程设计业专级班名生姓学指导教师月年2013628日课程设计任务书运筹学课程设计报告组别：第十六组设计人员：日216月年6月17日—2013设计时间：2013年1.设计进度本课程设计时间分为两周：第一周（2013年6月17日----2013年6月21日）：建模阶段。

此阶段各小组根据给出的题目完成模型的建立。

主要环节包括：1.1 6月17日上午：发指导书；按组布置设计题目；说明进度安排。

1.2 6月17日下午至18日：各小组审题，查阅资料，进行建模前的必要准备(包括求解程序的编写与查找)。

1.3 6月19日至21日：各个小组进行建模，并根据题目及设计要求拟定设计提纲，指导教师审阅；同时阅读，理解求解程序，为上机求解做好准备。

第二周（2013年6月24日---6月28日）：上机求解，结果分析及答辩。

主要环节包括：1.4 6月24日至6月26日：上机调试程序1.5 6月27日：完成计算机求解与结果分析。

1.6 6月27日：撰写设计报告。

1.7 6月28日：设计答辩及成绩评定。

2.设计题目某厂生产甲、乙两种产品每种产品都要在A、B两道工序加工。

其中B工序可由B 或1B设备完成但乙产品不能用B加工。

生产这两种产品都需要C、D、E三种原材料有关12数据如下表所示。

又据市场预测甲产品每天销售不超过30件。

问应如何安排生产才能获利最大并按要求分别完成下列分析：（1）乙产品的单价在何范围内变化时最优生产方案不变？（2）B1工序的日供工时数在何范围内变化时最优基不变？（3）原材料D的单位成本在何范围内变化时最优生产方案不变？（4）甲产品的每天销量至少为35件时的最优方案。

1单位成本日供应量产品消耗单位单位数量甲乙数量建模过程3. 设定变量3.1设备上加工的件数；表示甲产品在B工序的B 设X11设备上加工的件数；B工序的B X表示甲产品在22表示乙产品加工的件数； X 3表示利润 Z根据题意推理有3.2 +X)+X≤80；由在A工序上加工甲乙产品的日供应量限制有2(X312 3X ≤60；由在B工序上的B设备加工甲产品的日供应量限制有：11+4X ≤70；B工序上的B设备加工甲乙产品的日供应量限制有X 由在322≤300；（X+X）+12XC 由加工甲乙产品时消耗原材料的日供应量限制有3321≤100；的日供应量限制有5(XX)+3XD 由加工甲乙产品时消耗原材料321≤150；XE的日供应量限制有4(X)+1.5X 由加工甲乙产品时消耗原材料321≤30。

运筹学例题-打印版⼀、绪论⼀个班级的学⽣共计选修A 、B 、C 、D 、E 、F 六门课程，其中⼀部分⼈同时选修D 、C 、A ，⼀部分⼈同时选修B 、C 、F ，⼀部分⼈同时选修B 、E ，还有⼀部分⼈同时选修A 、B ，期终考试要求每天考⼀门课，六天内考完，为了减轻学⽣负担，要求每⼈都不连续参加考试，试设计⼀个考试⽇程表。

⼆、图解法例1. 某⼯⼚在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的⽣产，已知⽣产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：⼯⼚应分别⽣产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使⼯⼚获利最多？ 3.1例2 某公司由于⽣产需要，共需要A ，B 两种原料⾄少350吨（A ，B 两种材料有⼀定替代性），其中A 原料⾄少购进125吨。

但由于A ，B 两种原料的规格不同，各⾃所需的加⼯时间也是不同的，加⼯每吨A 原料需要2个⼩时，加⼯每吨B 原料需要1⼩时，⽽公司总共有600个加⼯⼩时。

⼜知道每吨A 原料的价格为2万元，每吨B 原料的价格为3万元，试问在满⾜⽣产需要的前提下，在公司加⼯能⼒的范围内，如何购买A ，B 两种原料，使得购进成本最低？三、单纯形法例1. 某⼚⽣产甲⼄两种产品，各⾃的零部件分别在A 、B 车间⽣产，最后都需在C 车间装配，相关数据如表所⽰：问如何安排甲、⼄两产品的产量，使利润为最⼤。

例2. 某名牌饮料在国内有三个⽣产⼚，分布在城市A1、A2、A3,其⼀级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4，已知各⼚的产量、各承销商的销售量及从A i 到B j 的每吨饮料运费为C ij ，为发挥集团优势，公司要统⼀筹划运销问题，求运费最⼩的调运⽅案。

四、线性规划在⼯商管理中的应⽤例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务⼈员数如下：设司机和乘务⼈员分别在各时间段⼀开始时上班，并连续⼯作⼋⼩时，问该公交线路怎样安排司机和乘务⼈员，既能满⾜⼯作需要，⼜配备最少司机和乘务⼈员?例2．⼀家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所⽰。

组合优化—运筹学的一个分支学科运筹学（Operations Research）是运用系统化的方法（主要是数学方法），经由建立数学模型及其求解测试，以便达到最优决策的一门科学。

其目的是为决策者提供科学的决策依据。

它主要研究经济活动和军事活动中能用量化来表达的有关运用、筹划与管理等方面的问题。

根据问题的要求，从全局的观点出发，通过数学的分析与运算，做出综合的安排，以实现经济有效地使用人力、物力、财力等资源。

运筹学主要研究计划管理工作中有关安排和估计的问题。

一般可以归纳为在满足既定的要求下，按某一衡量指标来寻求问题的最优方案。

例如“运输问题”是：将某种物资从一些地点运送到另一些地点，确定流向与流量，使总运输成本最低。

我国曾运用线性规划进行水泥、粮食和钢材的合理调运，取得了较好的经济效益。

运用运筹学的方法还可以解决“合理选址”问题、“车辆调度”问题、“物流资源（人员或设备）指派”问题等。

运筹学研究的内容十分广泛，主要分支有:线性规划、非线性规划、整数规划、几何规划、大型规划、动态规划、图论、网络理论、博弈论、决策论、排队论、存储论、搜索论等。

应用运筹学处理问题时通常可以分为五个阶段：提出和形成问题：包括制定和明确目标，把整个问题分解成若干子问题，确定问题的尺度、有效性度量、参数、可控变量和不可控变量。

收集数据和建立模型：把问题中的可控变量、参数和目标，与各种定量关系、经验关系和规范关系，用一定的模型表示出来。

模型的求解和方案优化：包括确定求解模型的数学方法，程序设计、调试运行和方案选优。

模型的检验和评价：包括检验模型在主要参数变动时的结果是否合理，输入发生微小变化时输出变化的相对大小是否合适以及模型是否容易解出等方面的检验和评价。

方案实施和不断优化：包括应用所得的结果解决实际问题，并在方案实践过程中发现新的问题不断优化。

上述五个阶段在实际过程中往往交叉重复进行，不断反复。

作为运筹学的一个分支学科，组合优化要讨论的问题具有如下的特点：（一）存在一个仅包含有限个点（元素）的集合S，叫做可行解集合；（二）有个函数f（通常具有线性的特点），叫做目标函数，其定义域包含集合S；（三）现需要从集合S中选出或找出一个（或多个）点x*使目标函数f在该点处达到最大（或最小）。

习 题 11 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21212121， ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0x ,x 124x 3x 2x 2x 2x 3x maxz )b (21212121⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=8x 310x 512010x 6x x x maxz )c (212121⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T); (b)无可行解;(c)唯一解16*,)6,10(*==z X T); (d)无界解）2 用单纯形法求解下列线性规划问题。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21212121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=0x ,x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212121221 答案：(a)唯一解5.17*,)5.1,1(*==z X T)，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T; (b)唯一解5.8*,)5.1,5.3(*==z X T），5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥+++-=0x x x 0x 2x 2x 2x 6x x x 2x x 2x maxz )a (3,2,13231321321 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0x ,x ,x 62x 3x 82x 4x xx 3x 2x minz )b (32121321321答案：(a)无界解；(b)唯一解8*,)0,8.1,8.0(*==z X T)，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。

线性规划问题1、某工厂生产I 、II 、III 三种产品，分别经过A 、B 、C 三种设备加工。

已知生产单位各种产品所需的设备台时、设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见（（2） 产品III 每件的利润增加到多大时才值得安排生产；（3） 如有一种新产品，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1，4，3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产。

解：（1）设x 1，x 2，x 3分别为I 、II 、III 三种产品的产量，z 表示利润。

该问题的线性规划模型为：用单纯形法求上述线性规划问题。

化为标准形式：123123123123123max 10641001045600..226300,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩123456123412351236max 1064000 1001045 600.. 226 3000,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++++++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪≥=所以最优解为x * =(100/3，200/3，0，0，0，100)T ，即产品I 、II 、III 的产量分别为：100/3，200/3，0；最优解目标函数值z * =2200/3（2）设产品III 每件的利润为c 3产品III 每件的利润增加到20/3时才值得安排生产。

（3）设x 7为新产品的产量。

177711028(,,0)420333B c c B P σ-⎛⎫⎪=-=-=>⇒ ⎪ ⎪⎝⎭值得投产 1775/31/60112/31/604020131P B P --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎥'==-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭⎝⎭()1333333335/66,10,01/620/3020/34B B c C B P c C P c c c σ-'=-=-⎛⎫⎪=-=-≥⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭所以最优解为x * =(100/3，0，0，0，0，200/3)T ，即产品I 的产量：100/3，新产品的产量：200/3；最优解目标函数值z * =2600/3 2、已知下列线性规划问题：12312312312312363336022420..33360,,0maxz x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+-≤⎪⎪≥⎩ 求：（1）用单纯形法求解，并指出问题属于哪一类解； （2）写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解；解：（1）将原问题划为标准形得：123456123412351236max 6330003 60224 20..333 600,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =-+++++++=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪≥=⎩最优解为x * =(15，5，0，10，0，0)T 最优解目标函数值z * =75 非基变量的检验数<0, 为唯一最优解. （2）该问题的对偶问题为：123123123123123min 6020603236233..433,,0w y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≥⎧⎪-+≥-⎪⎨+-≥⎪⎪≥⎩对偶问题的最优解：y* =(0，9/4，1/2)3、已知线性规划问题： 求：（1）用图解法求解； （2）写出其对偶问题；（3）根据互补松弛定理，写出对偶问题的最优解。

习 题 11 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21212121， ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0x ,x 124x 3x 2x 2x 2x 3x maxz )b (21212121⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=8x 310x 512010x 6x x x maxz )c (212121⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T); (b)无可行解;(c)唯一解16*,)6,10(*==z X T); (d)无界解）2 用单纯形法求解下列线性规划问题。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21212121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=0x ,x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212121221 答案：(a)唯一解5.17*,)5.1,1(*==z X T)，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T; (b)唯一解5.8*,)5.1,5.3(*==z X T），5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥+++-=0x x x 0x 2x 2x 2x 6x x x 2x x 2x maxz )a (3,2,13231321321 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0x ,x ,x 62x 3x 82x 4x x x 3x 2x minz )b (32121321321 答案：(a)无界解；(b)唯一解8*,)0,8.1,8.0(*==z X T)，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。

《管理运筹学》习题11.永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B两道工序加工。

设有两种规格的设备A1、A2能完成A工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成B工序。

Ⅰ可在A、B 的任何规格的设备上加工；Ⅱ可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。

加工单位产品所需的工序时间及其他各项数据如表所示。

问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？（只建模，不求解。

）表12.某快餐店坐落在一个旅游景点中，雇佣了两名正式职工，两人都是每天工作8小时。

其余工作由临时工来担任。

在星期六，该快餐店从上午11时开始营业到夜晚10时关门。

根据游客就餐情况，在星期六每个营业小时所需职工数(包括正式工和临时工)如表2所示。

已知一名正式职工11点开始上班，工作4个小时后，休息1个小时，而后再工作4个小时；另一名正式职工13点开始上班，工作4个小时后，休息1个小时，而后再工作4个小时。

临时工每班连续工作时间存在3小时、4小时两种情况，前者每小时工资为4元但每班人数不超过5人，后者每小时工资为5元但每班人数不受限制。

那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本最小?（只建模，不求解。

）3.某公司生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，市场对Ⅰ，Ⅱ两种产品的需求量为：产品Ⅰ在1—4月每月需10000件，5—9月每月30000件，10—12月每月需100000件；产品Ⅱ在3—9月每月15000件，其他月每月50000件。

该公司生产这两种产品成本为：产品Ⅰ在1—5月内生产每件5元，6—12月内生产每件4.5元；产品Ⅱ在1—5月内生产每件8元，6—12月内生产每件7元。

该公司每月生产这两种产品的总和不超过120000件。

产品Ⅰ容积为每件0.2立方米，产品Ⅱ容积为每件0.4立方米，该公司仓库容积为15000立方米，占用公司每月每立方米库容需1元，如该公司仓库不足时，可从外面仓库租借，租用外面仓库每月没立方米库容需1.5元。

工业大学课程设计报告课程设计名称: 运筹学课程设计专业：班级：学生姓名：指导教师：2011年7月8日1．设计进度本课程设计时间分为两周：第一周（2011年6月27日----2011年7月1日）：建模阶段。

此阶段各小组根据给出的题目完成模型的建立。

主要环节包括：（1) 6月27日上午：发指导书；按组布置设计题目；说明进度安排。

（2) 6月27日下午至28日：各小组审题，查阅资料，进行建模前的必要准备(包括求解程序的编写与查找)。

（3) 6月29日至7月1日：各个小组进行建模，并根据题目及设计要求拟定设计提纲，指导教师审阅；同时阅读，理解求解程序，为上机求解做好准备。

第二周（2011年7月4日---7月8日）：上机求解，结果分析及答辩。

主要环节包括：（1) 7月4日至7月6日：上机调试程序，完成计算机求解与结果分析。

并撰写设计报告。

（2) 7月7日下午：检查设计报告初稿。

（3) 7月8日：设计答辩及成绩评定。

2.设计题目某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，都分别经A、B两道工序加工。

设A工序可分别在设备A1或A2上完成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成B工序。

已知产品Ⅰ可在A、B任何一种设备上加工；产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工，产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。

加工单位产品所需工序时间及其它各项数据如下表所示，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。

按要求分别完成下列分析：（1）产品Ⅱ的售价在何范围内变化时最优生产计划不变？（2）B1设备有效台时数在何范围内变化时最优基不变？（3）设备A2的加工费在何范围内变化时最优生产计划不变？（4）产品的生产量至少为80件时的最优生产计划。

3.建模过程3.1 设定变量设Xi表示采用九种不同的方式进行生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品的数量。

Ⅰ产品有六种组合，以X1、X2、X3、X4、X5、X6分别表示（A1，B1）、（A1，B2）、（A1、B3）、(A2,B1）、(A2,B2）、（A2，B3）加工的Ⅰ产品数量；Ⅱ有两种组合，以X7、X8分别表示（A1，B1）、（A2，B1）加工的Ⅱ产品的数量；Ⅲ有一种组合，即（A2，B2），以X9表示加工Ⅲ产品的数量；不同的设备组合带来的利润也不同。

作业、线性规划建模
1(产品加工问题)
某工厂生产三种产品1,2,3.每种产品均要经过A,B两道工序加工。

设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们用A1，A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们用B1，B2, B3表示.产品1可在A、B的任何一种规格的设备上加工。

产品2可在任何一种规格的A设备和B1设备上加工。

产品3只能在A2和B2设备上加工。

已知在各种设备上加工的单件工时、原料单价、产品销售单价、各种设备的有效台时及满足负荷操作时的设备费用，如下表。

要求制定一个最优的产品加工方案，使该厂的利润最大。

2、运输问题
设有三个产地的产品需要运往四个销地，各产地的产量、各销地的销量及各产地到各销地的单位运费如下表所示，问如何调运使总的运费最少？
3、计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。

产销单位运价如下表:(编写Lingo程序计算结果)
销地产地B
1 B
2
B
3
B
4
B
5
B
6
B
7
B
8
产
量
A1 6 2 6 7 4 2 5 9 60 A2 4 9 5 3 8 5 8 2 55 A3 5 2 1 9 7 4 3 3 51 A4 7 6 7 3 9 2 7 1 43 A5 2 3 9 5 7 2 6 5 41 A6 5 5 2 2 8 1 4 3 52 销量35 37 22 32 41 32 43 38。

河北工程运筹学试题及答案（两套）免费第一套一、填空题：（每空格2分，共16分）1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。

2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明如果在该空格中增加一个运量运费将增加4 。

3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？错4、如果某一整数规划：MaxZ=X 1+X 2 X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为X 1≤1 和X 1≥2 。

5、在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是：从第k 个阶段到第n 个阶段的最优解。

6. 假设某线性规划的可行解的集合为D ，而其所对应的整数规划的可行解集合为B ，那么D 和B 的关系为 D 包含 B7. 已知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不问：（1）写出B -1=---1003/20.3/1312(2)对偶问题的最优解： Y ＝（5，0，23，0，0）T 8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设X i =bi 不符合整数要求，INT （b i ）是不超过b i 的最大整数，则构造两个约束条件：Xi ≥INT （b i ）＋1 和Xi ≤INT （b i ），分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。

11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T （2）写出B -1=611401102二、计算题（60分）1、已知线性规划（20分） MaxZ=3X 1+4X 2X 1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤8X 1,X 2≥02）若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？3）若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y 3≥3y1+4y2+2y 3≥4y1,y2≥02)当C 2从4变成5时，σ4=-9/8 σ5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。

线性规划问题1、某工厂生产I 、II 、III 三种产品，分别经过A 、B 、C 三种设备加工。

已知生产单位各种产品所需的设备台时、设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见（（2） 产品III 每件的利润增加到多大时才值得安排生产；（3） 如有一种新产品，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1，4，3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产。

解：（1）设x 1，x 2，x 3分别为I 、II 、III 三种产品的产量，z 表示利润。

该问题的线性规划模型为：用单纯形法求上述线性规划问题。

化为标准形式：123123123123123max 10641001045600..226300,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩123456123412351236max 1064000 1001045 600.. 226 3000,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++++++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪≥=所以最优解为x * =(100/3，200/3，0，0，0，100)T ，即产品I 、II 、III 的产量分别为：100/3，200/3，0；最优解目标函数值z * =2200/3（2）设产品III 每件的利润为c 3产品III 每件的利润增加到20/3时才值得安排生产。

（3）设x 7为新产品的产量。

177711028(,,0)420333B c c B P σ-⎛⎫⎪=-=-=>⇒ ⎪ ⎪⎝⎭值得投产 1775/31/60112/31/604020131P B P --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎥'==-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭⎝⎭所以最优解为x * =(100/3，0，0，0，0，200/3)T ，即产品I 的产量：100/3，新产品的产量：200/3；最优解目标函数值z * =2600/3()1333333335/66,10,01/620/3020/34B B c C B P c C P c c c σ-'=-=-⎛⎫⎪=-=-≥⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭2、已知下列线性规划问题：12312312312312363336022420..33360,,0maxz x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+-≤⎪⎪≥⎩ 求：（1）用单纯形法求解，并指出问题属于哪一类解； （2）写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解；解：（1）将原问题划为标准形得：123456123412351236max 6330003 60224 20..333 600,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =-+++++++=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪≥=⎩最优解为x * =(15，5，0，10，0，0)T 最优解目标函数值z * =75 非基变量的检验数<0, 为唯一最优解.（2）该问题的对偶问题为：123123123123123min 6020603236233..433,,0w y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≥⎧⎪-+≥-⎪⎨+-≥⎪⎪≥⎩对偶问题的最优解：y* =(0，9/4，1/2)3、已知线性规划问题：求：（1）用图解法求解； （2）写出其对偶问题；（3）根据互补松弛定理，写出对偶问题的最优解。

习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

（a ）无穷多最优解 最优解为点（3/4,1/2）到点（3/2,0）之间线段上的所有点。

（b ）无可行解（c ）唯一最优解 X=（10,6） 最优值Z=16 （d ）无界解1.2 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。

（a ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=-=+-+=+++++=)6,,1(00310248936312..23max 6153214321321 j x x x x x x x x x x x t s x x x z j ⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡--=1000030204180036312654321A P P P P P P⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,42x 4x 66x 4x s.t.3x 2x z min 21212121x xP4 P5 P6 0 0 0 3 5 0 是 0（b ）⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+++=+++++-=)4,,1(032227432..2325min 432143214321 j x x x x x x x x x t s x x x x z j⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212243214321A P P P P 基基解可行否 目标值 X 1 X 2 X 3 X 4 P1 P2 -4 11/2 0 0 否 -31 P1 P3 2/5 0 11/5 0 是 43/5 P1 P4 -1/3 0 0 11/6 否 2 P2 P3 0 1/2 2 0 是 5 P2 P4 0 -1/2 0 2 否 5 P3P411是51.3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解分别对应图解法中可行域的哪一顶点。

（a ）1234123124max 105003495280(1,2,3,4)jz x x x x x x x x x x x j =+++⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩1.6 将下列线性规划问题化为标准形式，并列出初始单纯形表。

2022级《运筹学》第一次课内实验题目1．生产计划问题已知某工厂计划生产I，II，III三种产品，各种产品需要在A，B，C三种设备上加工生产，具体相关数据如表，试研究下列问题：（1）如何充分发挥已有设备的能力，使生产盈利最大？（2）如果为了增加产量，可租用其它厂家设备B，每月可租用60台时，租金为1.8万元，试问租用设备B是否合算？（3）如果该厂家拟增加生产两种新产品IV和V，其中产品IV需用A 设备12台时，B设备5台时，C设备10台时，单位产品盈利2100元；产品V需用A设备4台时，B设备4台时，C设备12台时，单位产品盈利1870元。

假设A，B，C三种设备台时不增加，试分别考虑这两种新产品的投产在经济上是否合算？（4）如果工厂对产品工艺进行重新设计改造，使改造后生产每件产品I需用A设备9台时，B设备12台时，C设备4台时，单位产品盈利4500元，试问这种改造方案对原计划有何影响？生产计划的相关数据设备产品I81023000II25132000III108102900设备有效台时/每月300400420ABC单位产品利润/元-1-2．快餐店用工问题某快餐店坐落在远离城市的风景区，平时游客较少，而每到双休日游客数量猛增，快餐店主要是为游客提供快餐服务，该快餐店雇用了两名正式员工，主要负责管理工作，每天需要工作8h，其余的工作都由临时工担任，临时工每天要工作4h。

双休日的营业时间为11:00到22:00，根据游客的就餐情况，在双休日的每天营业小时所需的职工数（包括正式工和临时工）如表所示。

营业时间与所需职工数量营业时间11:00-12:0012:00-13:0013:00-14:0014:00-15:0015:00-16:0016:00-17:00所需职工数量/人999333营业时间17:00-18:0018:00-19:0019:00-20:0020:00-21:0021:00-22:00所需职工数量/人6121277已知一名正式职工11：00开始上班，工作4h后休息1h，而后再工作4h；另一名正式职工13：00开始上班，工作4h后休息1h，而后再工作4h。

4．某厂生产三种产品I，II，III。

每种产品要经过A, B两道工序加工。

设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1,A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1，B2，B3表示。

产品I可在A,B任何一种规格设备上加工。

产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B 工序时，只能在B1设备上加工；产品III只能在A2与B2设备上加工。

已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表2，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。

解：引入变量表示第i（i=1,2,3,4,5）种设备完成第j（j=1,2,3）种产品所消耗的时间，表示第i（i=1,2,3,4,5）种设备完成第j（j=1,2,3）种产品的件数，表示每完成一件第j（j=1,2,3）种产品所得利润，表示第i（i=1,2,3,4,5）种设备有效台时，f（i）表示第i（i=1,2,3,4,5）种设备满负荷时的设备费用。

目标函数，利润最大Max=0.5*（（））约束条件：=<；结果：A1生产第Ⅰ种产品1200件；A2生产第Ⅰ种产品230件，第Ⅱ种产品500件，第Ⅲ种产品324件；B1生产第Ⅱ种产品500件；B2生产第Ⅰ种产品859件，生产第Ⅲ种324件；B3生产第Ⅰ种产品571件。

利润最大为1146.414。

代码：model:sets:gx/1..5/:a,f;cp/1..3/:b;link(gx,cp):c,x;endsetsdata:a=6000 10000 4000 7000 4000;b=1 1.65 2.30;c=5 10 100007 9 126 8 100004 10000 117 10000 10000;f=300 321 250 783 200;enddatamax=0.5*@sum(cp(j):@sum(gx(i):x(i,j))*b(j))-@sum(gx(i):@sum(cp(j):c(i ,j)*x(i,j))*f(i)/a(i));@for(gx(i):@sum(cp(j):c(i,j)*x(i,j))<=a(i));@for(cp(j):@sum(gx(i)|i#LE#2:x(i,j))-@sum(gx(i)|i#GE#3:x(i,j))=0);@for(link(i,j):@gin(x(i,j)));end。