2021年福建高考数学(文科)试题

2021年全国统一高考数学（文科）试卷（甲卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·全国·历年真题)设集合M={1,3，5，7，9}，N={x|2x>7}，则M∩N=()A. {7,9}B. {5,7，9}C. {3,5，7，9}D. {1,3，5，7，9}2.(2021·全国·历年真题)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.(2021·全国·历年真题)已知(1−i)2z=3+2i，则z=()A. −1−32i B. −1+32i C. −32+i D. −32−i4.(2021·全国·历年真题)下列函数中是增函数的为()A. f(x)=−xB. f(x)=(23)x C. f(x)=x2 D. f(x)=√x35.(2021·全国·历年真题)点(3,0)到双曲线x216−y29=1的一条渐近线的距离为()A. 95B. 85C. 65D. 456.(2021·全国·历年真题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为()(√1010≈1.259)A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.67. (2021·全国·历年真题)在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G.该正方体截去三棱锥A −EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )A.B.C.D.8. (2021·全国·历年真题)在△ABC 中，已知B =120°，AC =√19，AB =2，则BC =( ) A. 1 B. √2 C. √5 D. 39. (2021·全国·历年真题)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若S 2=4，S 4=6，则S 6=( )A. 7B. 8C. 9D. 1010. (2021·全国·历年真题)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.811. (2021·全国·历年真题)若α∈(0,π2)，tan2α=cosα2−sinα，则tanα=( )A. √1515B. √55C. √53D. √15312. (2021·全国·历年真题)设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1+x)=f(−x).若f(−13)=13，则f(53)=( )A. −53B. −13C. 13D. 53二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·全国·历年真题)若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|a ⃗ −b ⃗ |=5，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，则|b ⃗ |=______ ．14. (2021·全国·历年真题)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为______ ．15. (2021·全国·历年真题)已知函数f(x)=2cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f(π2)= ______ ．16.(2021·全国·历年真题)已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·全国·历年真题)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．18.(2021·全国·历年真题)记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n>0，a2=3a1，且数列{√S n}是等差数列，证明：{a n}是等差数列．19.(2021·全国·历年真题)已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．(1)求三棱锥F−EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．20.(2021·全国·历年真题)设函数f(x)=a2x2+ax−3lnx+1，其中a>0．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．21.(2021·全国·历年真题)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．(1)求C，⊙M的方程；(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．22. (2021·全国·历年真题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2cosθ． (1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．23. (2021·全国·历年真题)已知函数f(x)=|x −2|，g(x)=|2x +3|−|2x −1|．(1)画出y =f(x)和y =g(x)的图像； (2)若f(x +a)≥g(x)，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【知识点】交集及其运算}，M={1,3，5，7，9}，【解析】解：因为N={x|2x>7}={x|x>72所以M∩N={5,7，9}．故选：B．直接根据交集的运算性质，求出M∩N即可．本题考查了交集及其运算，属基础题．2.【答案】C【知识点】频率分布直方图【解析】解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)×1= 0.06=6%，故选项A正确；对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.02×3)×1= 0.1=10%，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+ 7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5万元，故选项C错误；对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)×1= 0.64>0.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．故选：C．利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A，B，D，利用平均值的计算方法，即可判断选项C．本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础题．3.【答案】B【知识点】复数的四则运算【解析】解：因为(1−i)2z=3+2i，所以z=3+2i(1−i)2=3+2i−2i=(3+2i)i(−2i)⋅i=−2+3i2=−1+32i．故选：B．利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可．本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题．4.【答案】D【知识点】函数的单调性与单调区间【解析】解：由一次函数性质可知f(x)=−x在R上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知f(x)=(23)x在R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知f(x)=x2在R上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知f(x)=√x3在R上单调递增，符合题意．故选：D．结合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可判断．本题主要考查基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．5.【答案】A【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为x216−y29=0，即3x±4y=0，结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x−4y=0的距离，则点(3,0)到双曲先一条渐近线的距离d=√9+16=95．故选：A．首先求得渐近线方程，然后利用点到直线距离公式，求得点(3,0)到一条渐近线的距离即可．本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题．6.【答案】C【知识点】函数模型的应用【解析】解：在L=5+lgV中，L=4.9，所以4.9=5+lgV，即lgV=−0.1，解得V=10−0.1=1100.1=1√1010=11.259≈0.8，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：C．把L=4.9代入L=5+lgV中，直接求解即可．本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：由题意，作出正方体，截去三棱锥A−EFG，根据正视图，可得A−EFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，可得相应的侧视图是D图形，故选：D．作出正方体，截去三棱锥A−EFG，根据正视图，摆放好正方体，即可求解侧视图．本题考查简单空间图形的三视图，属基础题．8.【答案】D【知识点】正弦定理【解析】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合余弦定理，可得19=a2+4−2×a×2×cos120°，即a2+2a−15=0，解得a=3(a=−5舍去)，所以BC=3．故选：D．设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度．本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题．9.【答案】A【知识点】等比数列的求和【解析】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，S2=4，S4=6，由等比数列的性质，可知S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，∴4，2，S6−6成等比数列，∴22=4(S6−6)，解得S6=7．故选：A．由等比数列的性质得S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，从而得到关于S6的方程，再求出S6．本题考查了等比数列的性质，考查方程思想和运算求解能力，是基础题．10.【答案】C【知识点】古典概型的计算与应用【解析】解：将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是：00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6种方法，满足题意的概率为610=0.6，故选：C．首先求得3个1和2个0随机排成一行的数量和2个0不相邻的数量，然后利用古典概型计算公式，求出2个0不相邻的概率．本题主要考查古典概型计算公式，排列组合公式在古典概型计算中的应用，属于基础题．11.【答案】A【知识点】二倍角公式及其应用、三角恒等变换【解析】解：由tan2α=cosα2−sinα，得sin2αcos2α=cosα2−sinα，即2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα，∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，则2sinα(2−sinα)=1−2sin2α，解得sinα=14，则cosα=√1−sin2α=√154，∴tanα=sinαcosα=14√154=√1515．故选：A．把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解sinα，进一步求得cosα，再由商的关系可得tanα的值．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．12.【答案】C【知识点】函数的奇偶性【解析】解：由题意得f(−x)=−f(x)， 又f(1+x)=f(−x)=−f(x)， 所以f(2+x)=f(x)， 又f(−13)=13，则f(53)=f(2−13)=f(−13)=13． 故选：C ．由已知f(−x)=−f(x)及f(1+x)=−f(x)进行转化得f(2+x)=f(x)，再结合f(−13)=13从而可求．本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，属于基础题．13.【答案】3√2【知识点】向量的数量积【解析】解：由题意，可得(a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=25， 因为|a ⃗ |=3，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，所以9−2×1+b ⃗ 2=25， 所以b ⃗ 2=18,|b ⃗ |=√b ⃗ 2=3√2．故答案为：3√2．由题意首先计算(a ⃗ −b ⃗ )2，然后结合所给的条件，求出向量的模即可． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算和向量的模，属于基础题．14.【答案】39π【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征 【解析】解：由圆锥的底面半径为6，其体积为30π， 设圆锥的高为h ，则13×(π×62)×ℎ=30π，解得ℎ=52，所以圆锥的母线长l =√(52)2+62=132， 所以圆锥的侧面积S =πrl =π×6×132=39π．故答案为：39π．由题意，设圆锥的高为h ，根据圆锥的底面半径为6，其体积为30π求出h ，再求得母线的长度，然后确定圆锥的侧面积即可．本题考查了圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式，考查了方程思想，属于基础题．15.【答案】−√3【知识点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象与性质【解析】解：由图可知，f(x)的最小正周期T =43(13π12−π3)=π， 所以ω=2πT=2，因为f(π3)=0，所以由五点作图法可得2×π3+φ=π2，解得φ=−π6， 所以f(x)=2cos(2x −π6)，所以f(π2)=2cos(2×π2−π6)=−2cos π6=−√3． 故答案为：−√3．根据图象可得f(x)的最小正周期，从而求得ω，然后利用五点作图法可求得φ，得到f(x)的解析式，再计算f(π2)的值．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．16.【答案】8【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F 1F 2|， 所以四边形PF 1QF 2为矩形， 设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，由椭圆的定义可得||PF 1|+|PF 2||=|m +n|=2a =8， 所以m 2+2mn +n 2=64，因为|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2=4(a 2−b 2)=48， 即m 2+n 2=48，所以mn=8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=8．故答案为：8．判断四边形PF1QF2为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可．本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为150200=34；因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为120200=35；(2)根据2×2列联表，可得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400(150×80−50×120)2270×130×200×200≈10.256>6.635．所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．【知识点】独立性检验【解析】(1)根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；(2)根据2×2列联表，求出K2，再将K2的值与6.635比较，即可得出结论；本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．18.【答案】证明：设等差数列{√S n}的公差为d，由题意得√S1=√a1；√S2=√a1+a2=√4a1=2√a1，则d=√S2−√S1=2√a1−√a1=√a1，所以√S n=√a1+(n−1)√a1=n√a1，所以S n=n2a1①；当n≥2时，有S n−1=(n−1)2a1②.由①②，得a n=S n−S n−1=n2a1−(n−1)2a1=(2n−1)a1③，经检验，当n=1时也满足③．所以a n=(2n−1)a1，n∈N+，当n≥2时，a n−a n−1=(2n−1)a1−(2n−3)a1=2a1，所以数列{a n}是等差数列．【知识点】等差数列的性质、等差数列的求和【解析】设等差数列{√S n}的公差为d，可用√S1、√S2求出d，得到S n的通项公式，利用a n=S n−S n−1可求出a n的通项，从而证明{a n}是等差数列．本题考查了等差数列的概念和性质，涉及逻辑推理，数学运算等数学学科核心素养，属于中档题．19.【答案】解：(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥A1B1，又BF⊥A1B1，BB1∩BF=B，BB1，BF⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∵AB//A1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AC，又AB=AC，故AC=√22+22=2√2，∴CE=√2=BE，而侧面AA1B1B为正方形，∴CF=12CC1=12AB=1，∴V=13S△EBC⋅CF=13×12×√2×√2×1=13，即三棱锥F−EBC的体积为13；(2)证明：如图，取BC中点G，连接EG，B1G，设B1G∩BF=H，∵点E是AC的中点，点G时BC的中点，∴EG//AB，∴EG//AB//B1D，∴E、G、B1、D四点共面，由(1)可得AB⊥平面BCC1B1，∴EG⊥平面BCC1B1，∴BF⊥EG，∵tan∠CBF=CFBC =12,tan∠BB1G=BGBB1=12，且这两个角都是锐角，∴∠CBF=∠BB1G，∴∠BHB1=∠BGB1+∠CBF=∠BGB1+∠BB1G=90°，∴BF⊥B1G，又EG∩B1G=G，EG，B1G⊂平面EGB1D，∴BF⊥平面EGB1D，又DE⊂平面EGB1D，∴BF⊥DE．【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、空间中直线与直线的位置关系【解析】(1)先证明AB⊥平面BCC1B1，即可得到AB⊥AC，再根据直角三角形的性质可知CE=√2=BE，最后根据三棱锥的体积公式计算即可；(2)取BC中点G，连接EG，B1G，先证明EG//AB//B1D，从而得到E、G、B1、D四点共面，再由(1)及线面垂直的性质定理可得BF⊥EG，通过角的正切值判断出∠CBF=∠BB1G，再通过角的代换可得，BF⊥B1G，再根据线面垂直的判定定理可得BF⊥平面EGB1D，进而得证．本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线，线面间的垂直关系，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=2a2x+a−3x =2a2x2+ax−3x=(2ax+3)(ax−1)x，因为a>0，所以−32a <0<1a，所以在(0,1a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(1a,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，f(x)在(0,1a )上单调递减，在(1a,+∞)上f(x)单调递增．(2)由(1)可知，f(x)min=f(1a )=a2×(1a)2+a×1a−3ln1a+1=3+3lna，因为y=f(x)的图像与x轴没有公共点，所以3+3lna>0，所以a>1e，所以a的取值范围为(1e,+∞)．【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)=(2ax+3)(ax−1)x，分析f′(x)的正负，即可得出f(x)的单调区间．(2)由(1)可知，f(x)min=f(1a)，由y=f(x)的图像与x轴没有公共点，得3+3lna>0，即可解出a的取值范围．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为x=1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2=2px(p>0)，令x=1，则y=±√2p，根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故P(1,√2p),Q(1,−√2p)，因为OP⊥OQ，故1+√2p×(−√2p)=0⇒p=12，抛物线C的方程为：y2=x，因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：(x−2)2+y2=1．(2)设A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，A3(x3,y3).当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时(假设A1为坐标原点时)，设直线A1A2方程为kx−y=0，根据点M(2,0)到直线距离为1可得√ 1+k2=1，解得k=±√33，联立直线A1A2与抛物线方程可得x=3，此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方程为x−(y1+y2)y+ y1y2=0，此时有，12√1+(y1+y2)2=1，即(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0，同理，由对称性可得，(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0，所以y2，y3是方程(y12−1)t2+2y1t+3−y12=0的两根，依题意有，直线A2A3的方程为x−(y2+y3)y+y2y3=0，令M到直线A2A3的距离为d，则有d2=(2+y2y3)21+(y2+y3)2=(2+3−y12y12−1)21+(−2y1y12−1)2=1，此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与⊙M相切．【知识点】高中数学(默认)【解析】(1)由题意结合直线垂直得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程，然后利用直线与圆的关系确定圆的圆心和半径即可求得圆的方程；(2)分类讨论三个点的横坐标是否相等，当有两个点横坐标相等时明显相切，否则，求得直线方程，利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线与圆相切．本题主要考查抛物线方程的求解，圆的方程的求解，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系，同构、对称思想的应用等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)由极坐标方程为ρ=2√2cosθ，得ρ2=2√2ρcosθ，化为直角坐标方程是x2+y2=2√2x，即(x −√2)2+y 2=2，表示圆心为C(√2,0)，半径为√2的圆． (2)设点P 的直角坐标为(x,y)，M(x 1,y 1)，因为A(1,0)， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)， 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即{x −1=√2(x 1−1)y =√2y 1， 解得{x 1=√22(x −1)+1y 1=√22x，所以M(√22(x −1)+1,√22y)，代入C 的方程得[√22(x −1)+1−√2]2+(√22y)2=2，化简得点P 的轨迹方程是(x −3+√2)2+y 2=4，表示圆心为C 1(3−√2,0)，半径为2的圆；化为参数方程是{x =3−√2+2cosθy =2sinθ，θ为参数；计算|CC 1|=|(3−√2)−√2|=3−2√2<2−√2， 所以圆C 与圆C 1内含，没有公共点．【知识点】圆有关的轨迹问题、简单曲线的极坐标方程【解析】(1)把极坐标方程化为ρ2=2√2ρcosθ，写出直角坐标方程即可；(2)设点P 的直角坐标为(x,y)，M(x 1,y 1)，利用AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 求出点M 的坐标，代入C 的方程化简得出点P 的轨迹方程，再化为参数方程，计算|CC 1|的值即可判断C 与C 1是否有公共点．本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了转化思想与运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)函数f(x)=|x −2|={x −2,x ≥22−x,x <2，g(x)=|2x +3|−|2x −1|={4,x ≥124x +2,−32<x <12−4,x ≤−32． 画出y =f(x)和y =g(x)的图像； (2)由图像可得：f(6)=4，g(12)=4， 若f(x +a)≥g(x)，说明把函数f(x)的图像向左或向右平移|a|单位以后，f(x)的图像不在g(x)的下方，由图像观察可得：a≥2−12+4=112∴a的取值范围为[112,+∞)．【知识点】函数图象的作法【解析】(1)通过对x分类讨论，写出分段函数的形式，画出图像即可得出．(2)由图像可得：f(6)=4，g(12)=4，若f(x+a)≥g(x)，说明把函数f(x)的图像向左或向右平移|a|单位以后，f(x)的图像不在g(x)的下方，由图像观察可得出结论．本题考查了分段函数的图像与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

绝密★启用前2021年一般高等学校招生全国统一考试文 科 数 学留意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则A B =A ．(1,3)-B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(2,3)2．若a 为实数，且231aii i+=++，则a = A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．43．依据下面给出的2004年至2021年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A ．逐年比较，2008年削减二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈削减趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．-1B ．0C ．1D ．35．设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。

若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 = A ．5 B ．7 C ．9D ．116．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．18B ．17 C ．16D ．157．已知三点(1,0)A，B，C ，则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为A ．53 BCD ．43 8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

11YCY2005 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第 I 卷（选择题共 60 分）注意事项：1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合 P =| x || x - 1 |≤ 1, x ∈R|， Q = {x | x ∈ N },则P Q 等于（）A ．PB ．QC ．{1，2}D ．{0，1，2}解：∵P=[0,2], Q = {x | x ∈ N },∴ P Q ={0,1,2},选(D)2x - 1 2．不等式3x + 1> 0 的解集是（ ）A ．{x | x < - 1 或x > 1}B ．{x | - 1 < x < 1}3 C ．{x | x > 1} 2 2x - 1 解：∵不等式3x + 1 2 > 0 的解是 x> 1 23 2 D ．{x | x > - 1}3或 x< - ,选(A) 3 3．已知等差数列{a n }中， a 7 + a 9 = 16, a 4 = 1,则a 12 的值是（）A ．15B ．30C ．31D ．64解：由a + a = 16,得 a 8=8,∴ d = 8 -1 = 7 ,∴a 12=1+8× 7=15,选(A)798 - 4444．函数 y = cos 2x 在下列哪个区间上是减函数（）π ππ 3πππA ．[- , ]4 4B ．[ ,]4 4C ． [0, ]2D ． [ 2,π]解：∵当 0≤2x ≤π,即 0≤x ≤ π时函数 y = cos 2x 是减函数,选(C)25．下列结论正确的是（ ）2x4 A ．当 x > 0且x ≠ 1时, lg x + 1 ≥ 2lg x B ．当x > 0时, + 1 ≥ 2C ．当x ≥ 2时, x + 1的最小值为 2D ．当0 < x ≤ 2时, x - 1 无最大值x 解：(A)中 lgx 不满足大于零,(C)中的最小值为 2 的 x 值取不到,(D)3x0 < x ≤ 2时, x - 1x当 x=2 时有最大值 2,选(B)6．函数 f (x ) = ax -b的图象如图，其中 a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （）A ． a > 1, b < 0C ． 0 < a < 1, b > 0 B ． a > 1, b > 0D ． 0 < a < 1, b < 0解：从曲线走向可知0<a<1,从曲线位置看,是由y=a x (0<a<1)向左平移|-b|个单位而得到,故-b>0,即 b<0,选(D)7．已知直线 m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若 m//α，n//α，则 m//n ； ②若 m//α，n ⊥α，则 n ⊥m ； ③若 m ⊥α，m// β，则α⊥ β. 其中真命题的个数是 （）A ．0B ．1C ．2D ．3解：②③命题为真命题,选(C)8．已知 p : a ≠ 0, q : ab ≠ 0,则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵由 q : ab ≠ 0, ⇒ p : a ≠ 0 ,反之 q 推不出 p,选(B)9．已知定点 A 、B 且|AB|=4，动点 P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．52 2 2解；点 P 在以 A,B 为焦点,2a=3 的双曲线的右支上,∴|PA|的最小值为 1.5+2=3.5,选(C)10．从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）A ．300 种B ．240 种C ．144 种D ．96 种解：分三种情况：情况一,不选甲、乙两个去游览:则有 P 4种选择方案,情况二:甲、乙中有一x3是 试卷及答案 word 版+微信1510B B 2+ BF 21531 1 166 ⎩人去游览：有C 1C 1C 3 P 3 种选择方案;情况三：甲、乙两人都去游览,有C 2C 2C 1P 3种选择方2 3 4 32 43 3案,综上不同的选择方案共有 P 4 + C 1C 1C 3 P 3 + C 2C 2C 1P 3=240,选(B)42 3 4 32 43 311．如图，长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，AA 1=AB=2，AD=1，点 E 、F 、G 分别是 DD 1、AB 、CC 1 的中点，则异面直线 A 1E 与 GF 所成的角 （ ）πA ． arccosB ．54C ． arccosD ． π52解：∵GB 1∥A 1E,∠B 1GF 即为 A 1E 与 GF 所成的角,B 1G=C B 2 + C G 2= 12 + 12 =B 1F= = ∠B 1GF=90°,选(D)= ,GF==,B 1G 2+FG 2=B 1F 2∴12． f (x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 f (2) = 0 ，则方程 f (x ) =0 在区间 （0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 解：由题意至少可得 f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间（0，6）内 f(x)=0的解的个数的最小值是 5,选(D)第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 把答案填在答题卡的相应位置.13．（ 2 - 1 )6 展开式中的常数项是 （用数字作答）x1 6-3r1 解：T r+1= C r (-的常数项是 240)r (2 x x )6-r = C r (-1)r 26-r x 2,令 6-3r=0 得 r=2,故 (2 x - )6 展开式中x14．在△ABC 中，∠A=90°， AB = (k ,1), AC = (2,3),则k 的值是 .解：由 AB ⋅ AC = (k ,1) ⋅ (2,3) = 0 ,得 k= - 32⎧2x + y - 4 ≤ 015．非负实数 x 、y 满足 ⎨x + y - 3 ≤ 0 ,则x + 3y 的最大值为 .解：如右图,在同一平面直角坐标系中画出下列曲线方程的图象:2 22+ 12CG 2 + CB 2 + BF 2x45⎩它们分别是线段 AB,CD则非负实数 x 、y 满足的不等式组⎧2x + y - 4 ≤ 0⎨x + y - 3 ≤ 0 表示的区域为 DMAO,令 x+3y=b,使直线系 x+3y=b 通过区域 DMAO 且使 b 为取得最大值,当且仅当直线 x+3y=b 过点 D(0,3)这时最大值 b=9.16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数 f (x ) = 3 + log 2 x 的图象与 g (x ) 的图象关于对称，则函数 g (x ) =.（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形） 解：若函数 f (x ) = 3 + log 2 x 的图象与 g (x ) 的图象关于 y=x 对称, 则函数 g (x ) =2x-3. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）已知 - π 2< x < 0, sin x + cos x = 1.5（Ⅰ）求sin x - cos x 的值；sin 2x + 2 sin 2 x（Ⅱ）求1 - tan x的值.解 ： ( Ⅰ ) 由 sin x + cos x = 1 5 49 , 得 (sin x + cos x )2 =π (1)2 5 , 得 2sinxcosx= 7- 24 , ∵ 25 (sinx-cosxx)2=1-2sinxcosx= 25 ,又 - < x < 0, ∴sinx<0cosx>0,∴sinx-cosx=-2 5(Ⅱ) sin 2x + 2 s in 2 1 - tan x x 2 s in x cos x + 2 s in 2 x = sin x = 1- cos x 2 ⋅ (- 3) ⋅ 4 + 2(- 3) 2 5 5 5 -3 1- 54 524 = 125 18．（本小题满分 12 分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为1 与2 .2 5（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.( Ⅰ ) 依 题 意 , 记 “ 甲 投 一 次 命 中 ” 为 事 件 A, “ 乙 投 一 次 命 中 ” 为 事 件 B, 则 P(A)= 1 ,P(B)= 2 ,P( A )= 1 ,P( B )= 325 2 5甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的事件为 A ⋅ B + B ⋅ A-P( A ⋅B +B ⋅A )=P( A ⋅B )+P( A ⋅B )= 1⨯3+2⋅1=12 5 5 2 21答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为2 (Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是 P =1⨯1⨯3⨯3=92 2 5 5 1009 91∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1- P =1-91= 100 100答：甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为19．（本小题满分12分）100已知{ a n }是公比为q 的等比数列，且a1 , a3 , a2 成等差数列.（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{ bn}是以2 为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n，当n≥2 时，比较S n与b n的大小，并说明理由.解：(Ⅰ)由题意得：2a2=a1+a2,即2a2q2=a1+a1q,,∵a1≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1 或q= -12(Ⅱ)若q=1,则S n = 2n + n(n -1)2⋅1 =n2 + 3n.2当 n≥2 时, Sn -bn=Sn -1=(n -1)(n + 2)2> 0,故 Sn>bn-1 n(n -1) 1 1n2 +9n若q=2 ,则S n = 2n + ⋅ (-) =,2 2 2当n≥2 时, Sn -bn=Sn -1=-(n -1)(n -10),,2故对于n∈N+,当2≤n≤9 时,S n>b n；当n=10 时, S n=b n；当n≥11 时, S n<b n20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x -y + 7 = 0 .（Ⅰ）求函数 y = f (x)的解析式；（Ⅱ）求函数 y = f (x)的单调区间.解：( Ⅰ ) 由 f (x) =x3 +bx2 +cx +d 的图象过点P （0 ，2 ）,d=2 知, 所以6f (x) =x3 +bx2 +cx + 2 , f '(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知782 2 2 2 62⨯ 2 6⎨-1+ b - c + 2 = 1, ⎩ -6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1, f ' (-1)=6,∴ ⎧3 - 2b + c = 6, ⎩⎧b - c = 0, 即⎨2b - c = -3,解得 b=c=-3.故所求的解析式为 f(x)=x 3-3x-3+2,(Ⅱ) f ' (x)=3x 2-6x-3,令 3x 2-6x-3=0 即 x 2-2x-1=0,解得 x 1=1-,x 2=1+ ,当 x<1- 或 x>1+ 时, f ' (x)>0;当 1- <x<1+ 时, f ' (x)<0∴f(x)=x 3-3x 2-3x+2 在(1+ 是减函数.21．（本小题满分 12 分）,+∞)内是增函数,在(-∞, 1- )内是增函数,在(1- ,1+ )内 如图，直二面角 D —AB —E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB ，F 为 CE 上的点，且 BF ⊥平面 ACE.（Ⅰ）求证 AE ⊥平面 BCE ；（Ⅱ）求二面角 B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点 D 到平面 ACE 的距离.解法一：(Ⅰ) ∵BF ⊥平面 ACE,∴BF ⊥AE,∵二面角 D-AB-E 为直二面角,且 CB ⊥AB, ∴CB ⊥平面 ABE,∴CB ⊥AE,∴AE ⊥平面 BCE(Ⅱ)连结 BD 交 AC 于 G,连结 FG,∵正方形 ABCD 边长为 2,∴BG ⊥AC,BG= ,∵BF ⊥平面 ACE,由三垂线定理的逆定理得 FG ⊥AC,∴∠BCF 是二面角 B-AC-E 的平面角,由(Ⅰ)AE ⊥平面 BCE,∴AE ⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE= .BC ⋅ BE 又∵直角三角形 BCE 中,EC= = ,BF== = EC 3 2 3 BF 3 6 6∴直角三角形 BFG 中,sin ∠BGF= = = ,∴二面角 B-AC-E 等于 arcsin .BG 23 3 2 2 2 2 2 2 2 2 BC 2+ BE 22 392 3 3 3 11⎧ ,(Ⅲ)过 E 作 EO ⊥AB 交 AB 于 O,OE=1,∵二面角 D-AB-E 为直二面角,∴EO ⊥平面 ABCD. 设 D 到平面 ACE 的距离为 h,∵V D - ACE = V E - ACD ,∴ 3 S ACE ⋅ h = 3S ACD ⋅ EO .1AD ⋅ BC ⋅ EO 1⨯ 2⨯ 2⨯1∵AE ⊥平面 BCE,∴AE ⊥EC.∴h= 2 = 2 = 2 3.1 AE ⋅ EC 1 ⨯2 ⨯ 63 2 2∴点 D 点 D 到平面 ACE 的距离为.3解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,如图∵AE ⊥平面 BCE,BE ⊂ 面 BCE,∴AE ⊥BE,在直角三角形 AEB 中,AB=2,O 为 AB 的中点 ∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2), AE = (1,1, 0), AC = (0, 2, 2)⎪AE ⋅ n = 0⎧x + y = 0 ⎧ y = -x , 设平面 AEC 的一个法向量 n =(x,y,z),则 ⎨ 即⎨2 y + 2z = 0, 解得 ⎨z = x . ⎪⎩ AC ⋅ n = 0, ⎩⎩令 x=1,得n =(1,-1,1)是平面 EAC 的一个法向量,又平面 BAC 的一个法向量为 m =(1,0,0),m ⋅ n ∴cos( m , n )=| m | ⋅ | n |= 1= 3∴二面角 B-AC-E 的大小为 arccos. 3(Ⅲ)∵AD ∥z 轴,AD=2,∴ AD = (0, 0, 2) ,∴点 D 到平面 ACE 的距离3103 2 33 a = 3 += 2 2 | AD ⋅n | 2d=| AD | ⋅ | cos 〈 AD ⋅n 〉 |= = = .| n |3 22．（本小题满分 14 分） 已知 方 向 向 量 为v = (1, 3) 的 直 线 l 过 点 （0,-2 ） 和 椭 圆C : x + y a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的焦点，且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点 E （－2，0）的直线 m 交椭圆 C 于点 M 、N ，满足OM ⋅ ON = 436 cot∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线 m 的方程；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)由题意可得直线ι： y = 3x - 2 ,①过原点垂直ι的方程为 y = -3 3 x ,②3解①②得 x= 2.∵椭圆中心 O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆 C 的右准线上,2∴ 2⨯ = 3 .∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0). c22 ∴a 2=6,c=2,b 2=2,故椭圆 C 的方程为x y 1.③62(Ⅱ)设 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m ：y=k(x+2)代入③,整理得(3k 2+1)x 2+12k 2x+12k 2-6=0,则 x 1+x 2= - 12k 23k 2 +1 ,x 1x 2= 12k 2 - 6 , 3k 2+1|MN|= = | 2k |43k 2 +1点 O 到直线 MN 的距离 d= .∵ OM ⋅ON = 1+ k 2 36 cot ∠MON,即2 6(1 + k 2 )3 1+ k2(x + x )2- 4x x 12 1 2 1+ k 2(- 12k 2) - 4 ⨯ 23k 2 +1 12k 2- 6 3k 2+1 2=4636| OM |⋅| ON | cos ∠MON =46cos ∠MON3 sin ∠MON4≠ 0 ,2∴| OM | ⋅ | ON | sin ∠MON =36 ,∴ SOMN=36,∴| MN | ⋅d =,即4 | k | =46(1 +3k 2 ) .整理得k 2 =1,∴k =±3.3 3 3当直线 m 垂直 x 轴时,也满足 S OMN =故直线 m 的方程为 y =3x +2 3, 或 y= -3 33x -2 3或x=-2.3 3经检验上述直线均满足OM ⋅ON ≠ 0.所在所求直线方程为 y =3x +2 3, 或 y= -3 33x -2 3或x=-2..3 3k 2 +126311。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合M ={1,2}，N ={3,4}，则∁U (M ∪N)=( )A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2，3，4}2. 设iz =4+3i ，则z =( )A. −3−4iB. −3+4iC. 3−4iD. 3+4i3. 已知命题p ：∃x ∈R ，sinx <1；命题q ：∀x ∈R ，e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. ￢p ∧qC. p ∧￢qD. ￢(p ∨q)4. 函数f(x)=sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是( )A. 3π和√2B. 3π和2C. 6π和√2D. 6π和25. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥4,x −y ≤2,y ≤3,则z =3x +y 的最小值为( )A. 18B. 10C. 6D. 46. cos 2π12−cos 25π12=( )A. 12B. √33C. √22D. √327. 在区间(0,12)随机取1个数，则取到的数小于13的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 168. 下列函数中最小值为4的是( )A. y =x 2+2x +4B. y =|sinx|+4|sinx| C. y =2x +22−xD. y =lnx +4lnx9. 设函数f(x)=1−x1+x ，则下列函数中为奇函数的是( )A. f(x −1)−1B. f(x −1)+1C. f(x +1)−1D. f(x +1)+110. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( )A. π2B. π3C. π4D. π611. 设B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( )A. 52B. √6C. √5D. 212.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则()A. a<bB. a>bC. ab<a2D. ab>a2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，若a⃗//b⃗ ，则λ=______ ．14.双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y−8=0的距离为______ ．15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=______ ．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ (写出符合要求的一组答案即可)．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x−和y−，样本方差分别记为s12和s22．(1)求x−，y−，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−≥2√s12+s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．18. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB ⊥AM ． (1)证明：平面PAM ⊥平面PBD ；(2)若PD =DC =1，求四棱锥P −ABCD 的体积．19. 设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n =na n 3，已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和.证明：T n <S n 2．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线OQ 斜率的最大值．21.已知函数f(x)=x3−x2+ax+1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标．22.在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>−a，求a的取值范围．答案解析1.【答案】A【解析】解：∵全集U={1,2，3，4，5}，集合M={1,2}，N={3,4}，∴M∪N={1,2，3，4}，∴∁U(M∪N)={5}．故选：A．利用并集定义先求出M∪N，由此能求出∁U(M∪N)．本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由iz=4+3i，得z=4+3ii =(4+3i)(−i)−i2=−3i2−4i=3−4i．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：对于命题p：∃x∈R，sinx<1，当x=0时，sinx=0<1，故命题p为真命题，￢p为假命题；对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，因为|x|≥0，又函数y=e x为单调递增函数，故e|x|≥e0=1，故命题q为真命题，￢q为假命题，所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢(p∨q)为假命题，故选：A．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)=sin x 3+cos x 3=√2sin(x 3+π4)， ∴T =2π13=6π．当sin(x3+π4)=1时，函数f(x)取得最大值√2； ∴函数f(x)的周期为6π，最大值√2． 故选：C ．化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =3x +y =4，解得A(1,3)，由z =3x +y ，得y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×1+3=6． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】D【解析】解：cos 2π12−cos 25π12=1+cos π62−1+cos 5π62=12+12cos π6−12−12cos 5π6=12×√32−12×(−√32)=√32． 故选：D ．直接利用二倍角的余弦化简求值即可．本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为12−0=12， 构成该事件的区域长度为13−0=13， 所以取到的数小于13的概率P =1312=23．故选：B ．我们分别计算出区间(0,12)和(0,13)的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案． 本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，y =x 2+2x +4=(x +1)2+3≥3， 所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0<|sinx|≤1，所以y =|sinx|+4|sinx|≥2√|sinx|⋅4|sinx|=4， 当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sinx|=2时取等号， 因为|sinx|≤1，所以等号取不到，所以y =|sinx|+4|sinx|>4，故选项B 错误；对于C ，因为2x >0，所以y =2x +22−x =2x +42x ≥2√2x ⋅42x =4，当且仅当2x =2，即x =1时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C 正确；对于D ，因为当x =1e 时，y =ln 1e +4ln 1e=−1−4=−5<4，所以函数的最小值不是4，故选项D 错误． 故选：C ．利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：因为f(x)=1−x1+x =−(x+1)+21+x=−1+2x+1，所以函数f(x)的对称中心为(−1,−1)，所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=f(x−1)+1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数y=f(x−1)+1为奇函数．故选：B．先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵AD1//BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则PB1=PC1=12√22+22=√2，BC1=√22+22=2√2，BP=√22+(√2)2=√6，∴cos∠PBC1=PB2+BC12−PC122×PB×BC1=6+8−22×√6×2√2=√32，∴∠PBC1=π6，∴直线PB与AD1所成的角为π6．故选：D．由AD1//BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线PB 与AD 1所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】A【解析】解：B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，所以B(0,1)，点P 在C 上，设P(√5cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π)，所以|PB|=√(√5cosθ−0)2+(sinθ−1)2=√4cos 2θ−2sinθ+2 =√−4sin 2θ−2sinθ+6=√−4(sinx +14)2+254，当sinθ=−14时，|PB|取得最大值，最大值为52． 故选：A ．求出B 的坐标，设P(√5cosθ,sinθ)，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化求解距离的最大值即可．本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：令f(x)=0，解得x =a 或x =b ，即x =a 及x =b 是f(x)的两个零点， 当a >0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则0<a <b ；当a <0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则b<a<0；综上，ab>a2．故选：D．分a>0及a<0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．13.【答案】85【解析】解：因为a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，a⃗//b⃗ ，所以8−5λ=0，解得λ=85．故答案为：85．根据题意，由a⃗//b⃗ ，可得关于λ的方程，再求出λ即可．本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】√5【解析】解：双曲线x24−y25=1的右焦点(3,0)，所以右焦点到直线x+2y−8=0的距离为d=√12+22=√5．故答案为：√5．求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题．15.【答案】2√2【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，∴12acsinB=√3⇒12ac×√32=√3⇒ac=4⇒a2+c2=12，又cosB=a2+c2−b22ac ⇒12=12−b28⇒b=2√2，(负值舍)故答案为：2√2．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16.【答案】②⑤或③④【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．17.【答案】解：(1)由题中的数据可得，x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10，y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3，s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2 +(9.8−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；(2)y−−x−=10.3−10=0.3，2√s12+s2210=2√0.036+0.0410=2√0.0076≈0.174，所以y−−x−>2√s12+s2210，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较y−−x−与2√s12+s2210的大小，即可判断得到答案．本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM，又∵PB⊥AM，PD∩PB=P，PB，PD⊂平面PBD．∴AM⊥平面PBD．∵AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD；(2)解：由PD⊥底面ABCD，∴PD即为四棱锥P−ABCD的高，△DPB是直角三角形；∵ABCD底面是矩形，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM．设AD=BC=2a，取CP的中点为F.连接MF，AF，EF，AE，可得MF//PB，EF//DP，那么AM⊥MF.且EF=12.AE=√14+4a2，AM=√a2+1，AF=√EF2+AE2．那么△AMF是直角三角形，∵△DPB是直角三角形，∴根据勾股定理：BP=√2+4a2，则MF=√2+4a22；由△AMF是直角三角形，可得AM2+MF2=AF2，解得a=√22．底面ABCD的面积S=√2，则四棱锥P −ABCD 的体积V =13⋅ℎ⋅S =13×1×√2=√23．【解析】(1)通过线面垂直即可证明；即只需证明AM ⊥平面PBD ．(2)根据PD ⊥底面ABCD ，可得PD 即为四棱锥P −ABCD 的高，利用体积公式计算即可． 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：(1)∵a 1，3a 2，9a 3成等差数列，∴6a 2=a 1+9a 3，∵{a n }是首项为1的等比数列，设其公比为q ，则6q =1+9q 2，∴q =13，∴a n =a 1q n−1=(13)n−1， ∴b n =na n 3=n ⋅(13)n ． (2)证明：由(1)知a n =(13)n−1，b n =n ⋅(13)n ，∴S n =1×[1−(13)n ]1−13=32−12×(13)n−1， T n =1×(13)1+2×(13)2+⋯+n ⋅(13)n ，①∴13T n =1×(13)2+2×(13)3+⋯+n ⋅(13)n+1，② ①−②得，23T n =12[1−(13)n ]−n(13)n+1，∴T n =34−14×(13)n−1−n 2(13)n ，∴T n −S n 2=34−14×(13)n−1−n 2⋅(13)n −[34−14×(13)n−1]<0， ∴T n <S n 2．【解析】(1)根据a 1，3a 2，9a 3成等差数列，{a n }是首项为1的等比数列，求出公比q ，进一步求出{a n }和{b n }的通项公式；(2)分别利用等比数列的前n 项和公式和错位相减法，求出S n 和T n ，再利用作差法证明T n <S n 2．本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n 项和公式和利用错位相减法求数列的前n 项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．20.【答案】(1)解：由题意知，p =2，∴y 2=4x ．(2)由(1)知，抛物线C ：y 2=4x ，F(1,0)，设点Q 的坐标为(m,n)，则QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−m,−n)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(9−9m,−9n)∴P 点坐标为(10m −9,10n)，将点P 代入C 得100n 2=40m −36，整理得m =100n 2+3640=25n 2+910， ∴K =n m =10n 25n 2+9=1025n+9n ≤13，当n =3时取最大值． 故答案为：13．【解析】(1)根据焦点F 到准线的距离为2求出p ，进而得到抛物线方程，(2)设出点Q 的坐标，按照向量关系得出P 点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−2x +a ，△=4−12a ，①当△≤0，即a ≥13时，由于f′(x)的图象是开口向上的抛物线，故此时f′(x)≥0，则f(x)在R 上单调递增；②当△>0，即a <13时，令f′(x)=0，解得x 1=1−√1−3a 3,x 2=1+√1−3a 3， 令f′(x)>0，解得x <x 1或x >x 2，令f′(x)<0，解得x 1<x <x 2，∴f(x)在(−∞,x 1)，(x 2,+∞)单调递增，在(x 1,x 2)单调递减；综上，当a ≥13时，f(x)在R 上单调递增；当a <13时，f(x)在(−∞,1−√1−3a 3),(1+√1−3a 3,+∞)单调递增，在(1−√1−3a 3,1+√1−3a 3)单调递减． (2)设曲线y =f(x)过坐标原点的切线为l ，切点为(x 0,x 03−x 02+ax 0+1),f′(x 0)=3x 02−2x 0+a ，则切线方程为y −(x 03−x 02+ax 0+1)=(3x 02−2x 0+a)(x −x 0)，将原点代入切线方程有，2x 03−x 02−1=0，解得x 0=1，∴切线方程为y =(a +1)x ，令x 3−x 2+ax +1=(a +1)x ，即x 3−x 2−x +1=0，解得x =1或x =−1， ∴曲线y =f(x)过坐标原点的切线与曲线y =f(x)的公共点的坐标为(1,a +1)和(−1,−a −1)．【解析】(1)对函数f(x)求导，分a ≥13及a <13讨论导函数与零的关系，进而得出f(x)的单调性情况；(2)先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线y =f(x)联立，即可求得公共点坐标．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1，则⊙C 的标准方程为(x −2)2+(y −1)2=1，⊙C 的一个参数方程为{x =2+cosθy =1+sinθ(θ为参数)． (2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −4)，即kx −y −4k +1=0，圆心C(2,1)到切线的距离d =√k 2+1=1，解得k =±√33， 所以切线方程为y =±√33(x −4)+1， 因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±√33(ρcosθ−4)+1．【解析】(1)求出⊙C 的标准方程，即可求得⊙C 的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|={−2x −2,x ≤−34,−3<x <12x +2,x ≥1，∵f(x)≥6，∴{x ≤−3−2x −2≥6或{−3<x <1 4≥6或{x ≥12x +2≥6， ∴x ≤−4或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞)．(2)f(x)=|x −a|+|x +3|≥|x −a −x −3|=|a +3|，若f(x)>−a ，则|a +3|>−a ，两边平方可得a2+6a+9>a2，解得a>−3，2,+∞)．即a的取值范围是(−32【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)≥|a+3|，然后根据f(x)>−a，得到|a+3|>−a，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。

2021 年福建文科卷一．选择题1 .假设集合P x2x4,Q xx3,那么P Q等于〔〕A.x3x4B.x3x4C.x2x3D.x2x32.复数32i i等于〔〕A.23iB.23iC.23i3i3 .以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于〔〕B. D.14 .阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为〔〕5.命题“x0,.x3x 0〞的否认是〔〕A.x0,.x3x0B.x,0.x3x0C.x00,.x03x00D.x00,.x03x006.直线l过圆x2y24的圆心，且与直线x y10垂直，那么l的方程是〔〕3y20y20 C.xy30y307.将函数y sinx的图象向左平移个单位，得到函数y f x的函数图象，那么以下说法正确的选项是2〔〕A.y f x是奇函数B.y f x的周期是f x的图象关于直线x对称2D.y f x的图象关于点-，对称28.假设函数y log a x a0,且a1的图象如右图所示，那么以下函数正确的选项是〔〕9.要制作一个容积为4m 3 ，高为1m 的无盖长方体容器，该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米 10元，那么该溶器的最低总造价是 〔〕元 元 元 D.240元10.设M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，那么uuu r uuur uuur uuurOA OB OC OD 等于 〔〕uuuur uuuu r uuuuruuuurx y7 0,11.圆C:x2y2x y 7 0,，假设圆心Cab1，设平面区域y 0a 2b 2的最大值为〔 〕C.37D.49,且圆C 与x 轴相切，那么12.在平面直角坐标系中，两点11122,y 2间的“L-距离〞定义为PPx 1x 2y 1 y 2. 那么平面P x,y,Px 12内与x 轴上两个不同的定点F 1,F 2 的“L-距离〞之和等于定值〔大于F 1F 2〕的点的轨迹可以是〔〕二、填空题13、如图，在边长为 1的正方形中，随机撒 1000粒豆子，有 180粒落到阴影局部，据此估计阴影局部的面积为___________14、在ABC 中，A60,AC2,BC3,那么AB 等于_________15、函数fx 2 2,x 0x6 lnx,x的；零点个数是_________2x 016.集合a,b,c0,1,2，且以下三个关系：a2b2c 0有且只有一个正确，那么100a 10b c________三．解答题：本大题共 6小题，共 74分.〔本小题总分值12分〕在等比数列{a n}中，a23,a581.〔1〕求a n；〔2〕设b n log3a n，求数列{b n}的前n项和S n.〔本小题总分值12分〕函数f(x) 2cosx(sinx cosx).〔1〕求f(5)的值；4〔2〕求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.19.〔本小题总分值12分〕如图，三棱锥〔1〕求证： A BCD中，AB BCD,CD BD.CD 平面ABD；〔2〕假设AB BD CD 1，M为AD中点，求三棱锥 A MBC的体积.20.〔本小题总分值12分〕根据世行2021年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035-4085元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均G DP如下表：〔1〕判断该城市人均GDP是否到达中等偏上收入国家标准；〔2〕现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都到达中等偏上收入国家标准的概率.〔本小题总分值12分〕曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.〔1〕求曲线的方程；〔2〕曲线在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y 3分别与直线l及y轴交于点M,N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线上运动〔点P与原点不重合〕时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.〔本小题总分值12分〕函数f(x)e x ax〔a为常数〕的图像与y轴交于点A，曲线y f(x)在点A处的切线斜率为1.〔1〕求a的值及函数f(x)的极值；〔2〕证明：当x0时，x2e x〔3〕证明：对任意给定的正数e，总存在x0，使得当x(x0,)时，恒有xce x。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ） A ．3,2- B ．3,2 C ．3,3- D ．1,4- 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得32i a bi -=+，所以3,2a b ==-，选A ． 考点：复数的概念．2．若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则MN 等于（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1,2D {}0,1 【答案】D考点：集合的运算．3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y x = B ．x y e = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】试题分析：函数y x =x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ． 考点：函数的奇偶性．4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ） A ．2 B ．7 C ．8 D ．128【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，该程序表示分段函数2,2,9,2x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩，则(1)918f =-=，故选C ．考点：程序框图． 5．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C考点：基本不等式． 6．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D 【解析】试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin tan cos ααα=512=-，故选D ． 考点：同角三角函数基本关系式．7．设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A考点：平面向量数量积．8．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ） A ．16 B ．14 C ．38 D ．12xyOBCDAF【答案】B考点：古典概型．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A ．822+ B ．1122+ C ．1422+ D ．151112【答案】B 【解析】试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1212332⨯⨯=，侧面积为则其表面积为2+2+4+22=8+221122+B ．考点：三视图和表面积．10．变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析：将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤时，不满足题意；当0m >时，画出可行域，如图所示， 其中22(,)2121mB m m --．显然(0,0)O 不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121mm m -=--，解得1m =，故选C ． 考点：线性规划．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2D ．3[,1)4【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．12．“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：导数的应用．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______． 【答案】25 【解析】试题分析：由题意得抽样比例为45190020=，故应抽取的男生人数为15002520⨯=． 考点：分层抽样．14．若ABC ∆中，3AC ，045A =，075C =，则BC =_______．2【解析】试题分析：由题意得018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC ABC B=，所以232232BC ⨯==．考点：正弦定理． 15．若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______． 【答案】1 【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1． 考点：函数的图象与性质．16．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9考点：等差中项和等比中项．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,a d ，进而求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2n n b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 18．（本题满分12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组 频数 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4[7,8]3（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数． 【答案】（Ⅰ）910；（Ⅱ）6.05． 解法一：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，至少有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，共9个．所以所求的概率910P =． （II ）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.5 5.5 6.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=．解法二：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，没有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,B B ，共1个． 所以所求的概率1911010P =-=． （II ）同解法一．考点：1、古典概型；2、平均值． 19．（本小题满分12分）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由3AF =可得232p+=，可求p 的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．可证明点F 到直线GA 和直线GB 的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明GF GF ∠A =∠B ，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．试题解析：解法一：（I ）由抛物线的定义得F 22pA =+． 因为F 3A =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （II ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ． 由()2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为()221y x =-． 由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22⎛⎫B - ⎪⎝⎭． 又()G 1,0-，所以()G 22022213k A -==--，()G 20221312k B --==---， 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ．由(2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为)221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22⎛⎫B - ⎪⎝⎭． 又()G 1,0-，故直线G A 的方程为223220x y -+=，从而2222428917r +==+． 又直线G B 的方程为223220x y ++=，所以点F 到直线G B 的距离2222428917d r +===+． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系． 20．（本题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若2BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ）262． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明C A ⊥平面D P O ，只需证明AC 垂直于面D P O 内的两条相交直线．首先由PO 垂直于圆O 所在的平面，可证明C PO ⊥A ；又C OA =O ，D 为C A 的中点，可证明C D A ⊥O ，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥P ABC -中，高1PO =，要使得P ABC -体积最大，则底面ABC 面积最大，又2AB =是定值，故当AB 边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥P ABC -体积；（Ⅲ）将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，此时线段'OC 的长度即为CE OE +的最小值． 试题解析：解法一：（I ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点， 所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以C PO ⊥A ． 因为D OPO =O ，所以C A ⊥平面D P O ． （II ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =， 故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=． （III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =， 所以22112PB =+=． 同理C 2P =，所以C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值． 又因为OP =OB ，C C ''P =B ， 所以C 'O 垂直平分PB ， 即E 为PB 中点．从而C C 222''O =OE +E =+=亦即C E +OE 解法二：（I ）、（II ）同解法一．（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以45∠OPB =，PB =C P =所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值． 所以在C '∆O P 中，由余弦定理得：()2C 1221cos 4560'O =+-⨯+1122222=+--⎭2=从而C 'O ==所以C E +OE 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积． 21．（本题满分12分）已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()10sin 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．试题解析：（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式． 22．（本小题满分14分）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．【答案】(Ⅰ) ⎛ ⎝⎭；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞． 【解析】试题分析：(Ⅰ)求导函数()21x x f x x-++'=，解不等式'()0f x >并与定义域求交集，得函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数()()()F 1x f x x =--，()1,x ∈+∞．欲证明()1f x x <-，只需证明()F x 的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意；当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意；当1k <时，构造函数()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，利用导数研究函数()G x 的形状，只要存在01x >，当0(1,)x x ∈时()0G x >即可．试题解析：（I ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得102x <<故()f x 的单调递增区间是10,2⎛+ ⎝⎭． （II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<， 所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-． （III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意．当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增． 从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-， 综上，k 的取值范围是(),1-∞． 考点：导数的综合应用．。

【新课标ii卷】2021年全国统一高考数学试题文,含答案解析绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i?2?3i?? A．3?2iB．3?2iC．?3?2iD．?3?2i2．已知集合A??1,3,5,7?，B??2,3,4,5?，则AB? A．?3?B．?5?C．?3,5?D．?1,2,3,4,5,7?ex?e?x3．函数f?x??的图像大致为 2x4．已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4B．3C．2D．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3x2y26．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为abA．y??2x 7．在△ABC中，cosA．42 12B．y??3x C．y??2x 2D．y??3x 2C5?，BC?1，AC?5，则AB? 25B．30 1134?C．29 D．258．为计算S?1????开始N?0,T?0i?1是1ii?100否11，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入 ?99100N?N?T?T?S?N?T输出S结束1i?1B．i?i?2D．i?i?4A．i?i?1 C．i?i?39．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为 A．2 2 B．3 2 C．5 2 D．7 210．若f(x)?cosx?sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是 A．π4B．π2C．3π 4 D．π11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1?PF2，且?PF2F1?60?，则C的离心率为 A．1?3 2B．2?3 C．3?1 2 D．3?112．已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，则f(1)?f(2)?f(3)??f(50)?A．?50 B．0 C．2 D．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年全国统一高考数学（文科）试卷（甲卷）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={1,3，5，7，9}，N={x|2x>7}，则M∩N=()A. {7,9}B. {5,7，9}C. {3,5，7，9}D. {1,3，5，7，9}【答案】B【解析】【分析】本题考查了交集及其运算，属基础题．首先化简集合N，然后直接根据交集的运算性质，求出M∩N即可．【解答】}，M={1,3，5，7，9}，解：因为N={x|2x>7}={x|x>72所以M∩N={5,7，9}．故选：B．2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A，B，D，利用平均值的计算方法，即可判断选项C．【解答】解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)×1=0.06= 6%，故选项A正确；对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.02×3)×1= 0.1=10%，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+ 7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5万元，故选项C错误；对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)×1= 0.64>0.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．故选：C．3.已知(1−i)2z=3+2i，则z=()A. −1−32i B. −1+32i C. −32+i D. −32−i【答案】B【解析】解：因为(1−i)2z=3+2i，所以z=3+2i(1−i)2=3+2i−2i=(3+2i)i(−2i)⋅i=−2+3i2=−1+32i．故选：B．利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可．本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题．4.下列函数中是增函数的为()A. f(x)=−xB. f(x)=(23)x C. f(x)=x2 D. f(x)=√x3【答案】D本题主要考查基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．结合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可判断．【解答】解：由一次函数性质可知f(x)=−x在R上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知f(x)=(23)x在R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知f(x)=x2在R上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知f(x)=√x3在R上单调递增，符合题意．故选：D．5.点(3,0)到双曲线x216−y29=1的一条渐近线的距离为()A. 95B. 85C. 65D. 45【答案】A【解析】【分析】本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题．首先求得渐近线方程，然后利用点到直线距离公式，求得点(3,0)到一条渐近线的距离即可．【解答】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为x216−y29=0，即3x±4y=0，结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x−4y=0的距离，则点(3,0)到双曲线一条渐近线的距离d=√9+16=95．故选：A．6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为()(√1010≈1.259)A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6【分析】本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题．把L=4.9代入L=5+lgV中，直接求解即可．【解答】解：在L=5+lgV中，L=4.9，所以4.9=5+lgV，即lgV=−0.1，解得V=10−0.1=1100.1=1√1010≈11.259≈0.8，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：C．7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A−EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：由题意，作出正方体，截去三棱锥A−EFG，根据正视图，可得A−EFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，可得相应的侧视图是D图形，故选：D．作出正方体，截去三棱锥A−EFG，根据正视图，摆放好正方体，即可求解侧视图．本题考查简单空间图形的三视图，属基础题．8.在△ABC中，已知B=120°，AC=√19，AB=2，则BC=()A. 1B. √2C. √5D. 3【答案】D【解析】设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度．【解答】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合余弦定理，可得19=a2+4−2×a×2×cos120°，即a2+2a−15=0，解得a=3(或a=−5舍去)，所以BC=3．故选：D．9.记S n为等比数列{a n}的前n项和.若S2=4，S4=6，则S6=()A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】【分析】本题考查了等比数列的性质，考查方程思想和运算求解能力，是基础题．由等比数列的性质得S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，从而得到关于S6的方程，再求出S6．【解答】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，S2=4，S4=6，由等比数列的性质，可知S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，∴4，2，S6−6成等比数列，∴22=4×(S6−6)，解得S6=7．故选：A．10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.8【答案】C【解析】解：将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是：00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6种方法，=0.6，满足题意的概率为610型计算公式，求出2个0不相邻的概率． 本题主要考查古典概型计算公式，属于基础题．11. 若α∈(0,π2)，tan2α=cosα2−sinα，则tanα=( )A. √1515B. √55C. √53D. √153【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题． 把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，化简求解sinα，进一步求得cosα，再由商的关系可得tanα的值． 【解答】解：由tan2α=cosα2−sinα，得sin2αcos2α=cosα2−sinα， 即2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα， ∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，则2sinα(2−sinα)=1−2sin 2α，解得sinα=14， 则cosα=√1−sin 2α=√154，∴tanα=sinαcosα=14√154=√1515． 故选：A ．12. 设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1+x)=f(−x).若f(−13)=13，则f(53)=( )A. −53B. −13C. 13D. 53【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，属于基础题．由已知f(−x)=−f(x)及f(1+x)=−f(x)进行转化得f(2+x)=f(x)，再结合f(53)=f(2−13)=f(−13)从而可求．解：由题意得f(−x)=−f(x)， 又f(1+x)=f(−x)=−f(x)， 所以f(2+x)=−f(1+x)=f(x)， 又f(−13)=13，则f(53)=f(2−13)=f(−13)=13． 故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|a ⃗ −b ⃗ |=5，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，则|b ⃗ |= ______ ． 【答案】3√2 【解析】 【分析】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算和向量的模，属于基础题． 由题意首先计算(a ⃗ −b ⃗ )2，然后结合所给的条件，求出向量的模即可． 【解答】解：由题意，可得(a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=25， 因为|a ⃗ |=3，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，所以9−2×1+b ⃗ 2=25， 所以b ⃗ 2=18,|b ⃗ |=√b ⃗ 2=3√2．故答案为：3√2．14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为______ ．【答案】39π【解析】解：由圆锥的底面半径为6，其体积为30π， 设圆锥的高为h ，则13×(π×62)×ℎ=30π，解得ℎ=52， 所以圆锥的母线长l =√(52)2+62=132， 所以圆锥的侧面积S =πrl =π×6×132=39π．故答案为：39π．由题意，设圆锥的高为h ，根据圆锥的底面半径为6，其体积为30π求出h ，再求得母线的长度，然后确定圆锥的侧面积即可．本题考查了圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式，考查了方程思想，属于基础题．15.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则f(π2)=______ ．【答案】−√3【解析】解：由图可知，f(x)的最小正周期T=43(13π12−π3)=π，所以ω=2πT =2，因为f(π3)=0，所以由五点作图法可得2×π3+φ=π2，解得φ=−π6，所以f(x)=2cos(2x−π6)，所以f(π2)=2cos(2×π2−π6)=−2cosπ6=−√3．故答案为：−√3．根据图象可得f(x)的最小正周期，从而求得ω，然后利用五点作图法可求得φ，得到f(x)的解析式，再计算f(π2)的值．本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．16.已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为．【答案】8【解析】【分析】本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力．判断四边形PF1QF2为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可．【解答】解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F F|，设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=m+n=2a=8，所以m2+2mn+n2=64，因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2−b2)=48，即m2+n2=48，所以mn=8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=8．故答案为：8．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为150200=34；因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为120200=35；(2)根据2×2列联表，可得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400(150×80−50×120)2270×130×200×200≈10.256>6.635．所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．【解析】(1)根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．18.记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n>0，a2=3a1，且数列{√S n}是等差数列，证明：{a n}是等差数列．【答案】证明：设等差数列{√S n}的公差为d，∵a2=3a1，∴√S1=√a1；√S2=√a1+a2=√4a1=2√a1，则d=√S2−√S1=2√a1−√a1=√a1，所以√S n=√a1+(n−1)√a1=n√a1，所以S n=n2a1①；当n≥2时，有S n−1=(n−1)2a1②.由①②，得a n=S n−S n−1=n2a1−(n−1)2a1=(2n−1)a1③，经检验，当n=1时也满足③．所以a n=(2n−1)a1，n∈N+，当n≥2时，a n−a n−1=(2n−1)a1−(2n−3)a1=2a1，所以数列{a n}是等差数列．【解析】本题考查等差数列的判定与证明，等差数列的通项公式，考查运算化简的能力及逻辑推理能力，属于中档题．设等差数列{√S n}的公差为d，可用√S1、√S2求出d，得到S n的通项公式，利用a n=S n−S n−1可求出a n的通项，从而证明{a n}是等差数列．19.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．(1)求三棱锥F−EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．【答案】解：(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥A1B1，又BF⊥A1B1，BB1∩BF=B，BB1，BF⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∵AB//A1B1，∴AB⊥平面BCC B，又AB=AC，故AC=√22+22=2√2，∴CE=√2=BE，而侧面AA1B1B为正方形，∴CF=12CC1=12AB=1，∴V=13S△EBC⋅CF=13×12×√2×√2×1=13，即三棱锥F−EBC的体积为13；(2)证明：如图，取BC中点G，连接EG，B1G，设B1G∩BF=H，∵点E是AC的中点，点G时BC的中点，∴EG//AB，∴EG//AB//B1D，∴E、G、B1、D四点共面，由(1)可得AB⊥平面BCC1B1，∴EG⊥平面BCC1B1，∴BF⊥EG，∵tan∠CBF=CFBC =12,tan∠BB1G=BGBB1=12，且这两个角都是锐角，∴∠CBF=∠BB1G，∴∠BHB1=∠BGB1+∠CBF=∠BGB1+∠BB1G=90°，∴BF⊥B1G，又EG∩B1G=G，EG，B1G⊂平面EGB1D，∴BF⊥平面EGB1D，又DE⊂平面EGB1D，∴BF⊥DE．【解析】本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线，线面间的垂直关系，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．(1)先证明AB⊥平面BCC1B1，即可得到AB⊥AC，再根据直角三角形的性质可知CE=√2=BE，最后根据三棱锥的体积公式计算即可；(2)取BC中点G，连接EG，B1G，先证明EG//AB//B1D，从而得到E、G、B1、D四点共面，再由(1)及线面垂直的性质定理可得BF⊥EG，通过角的正切值判断出∠CBF=∠BB1G，再通过角的代换可得，BF⊥B1G，再根据线面垂直的判定定理可得BF⊥平面EGB1D，进而得证．20.设函数f(x)=a2x2+ax−3lnx+1，其中a>0．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．【答案】解：(1)f′(x)=2a2x+a−3x =2a2x2+ax−3x=(2ax+3)(ax−1)x，因为a>0，所以−32a <0<1a，所以在(0,1a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(1a,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，f(x)在(0,1a )上单调递减，在(1a,+∞)上f(x)单调递增．(2)由(1)可知，f(x)min=f(1a )=a2×(1a)2+a×1a−3ln1a+1=3+3lna，因为y=f(x)的图像与x轴没有公共点，所以3+3lna>0，所以a>1e，所以a的取值范围为(1e,+∞)．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数中的恒成立与存在性问题与最小值，属于中档题．(1)对f(x)求导得f′(x)=(2ax+3)(ax−1)x，分析f′(x)的正负，即可得出f(x)的单调区间．(2)由(1)可知，f(x)min=f(1a)，由y=f(x)的图像与x轴没有公共点，得3+3lna>0，即可解出a的取值范围．21.抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ，已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．(1)求抛物线C，⊙M的方程；(2)设A1，A2，A3是抛物线C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切，判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．【答案】解：(1)因为x=1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2=2px(p>0)，令x=1，则y=±√2p，根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方，故P(1,√2p),Q(1,−√2p)，因为OP⊥OQ，故1+√2p×(−√2p)=0⇒p=12，抛物线C的方程为：y2=x，因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：(x−2)2+y2=1；(2)设A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，A3(x3,y3)，当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时(假设A1为坐标原点时)，设直线A1A2方程为kx−y=0，根据点M(2,0)到直线距离为1可得√1+k2=1，解得k=±√33，联立直线A1A2与抛物线方程可得x=3，此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方程为x−(y1+y2)y+y1y2=0，此时有，12√1+(y1+y2)2=1，即(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0，同理，由对称性可得，(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0，所以y2，y3是方程(y12−1)t2+2y1t+3−y12=0的两根，依题意有，直线A2A3的方程为x−(y2+y3)y+y2y3=0，令M到直线A2A3的距离为d，则有d2=(2+y2y3)21+(y2+y3)2=(2+3−y12y12−1)21+(−2y1y12−1)2=1，此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与⊙M相切．【解析】本题主要考查抛物线方程的求解，圆的方程的求解，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系，同构、对称思想的应用等知识，属于较难题．(1)由题意结合直线垂直得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程，然后利用直线与圆的关系确定圆的圆心和半径即可求得圆的方程；(2)分类讨论三个点的横坐标是否相等，当有两个点横坐标相等时明显相切，否则，求得直线方程，利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线与圆相切．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2√2cosθ．(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．【答案】解：(1)由极坐标方程为ρ=2√2cosθ，得ρ2=2√2ρcosθ， 化为直角坐标方程是x 2+y 2=2√2x ，即(x −√2)2+y 2=2，表示圆心为C(√2,0)，半径为√2的圆． (2)设点P 的直角坐标为(x,y)，M(x 1,y 1)，因为A(1,0)， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)， 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即{x −1=√2(x 1−1)y =√2y 1， 解得{x 1=√22(x −1)+1y 1=√22x，所以M(√22(x −1)+1,√22y)，代入C 的方程得[√22(x −1)+1−√2]2+(√22y)2=2，化简得点P 的轨迹方程是(x −3+√2)2+y 2=4，表示圆心为C 1(3−√2,0)，半径为2的圆；化为参数方程是{x =3−√2+2cosθy =2sinθ，θ为参数；计算|CC 1|=|(3−√2)−√2|=3−2√2<2−√2， 所以圆C 与圆C 1内含，没有公共点．【解析】(1)把极坐标方程化为ρ2=2√2ρcosθ，写出直角坐标方程即可；(2)设点P 的直角坐标为(x,y)，M(x 1,y 1)，利用AP⃗⃗⃗⃗⃗ =√2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 求出点M 的坐标，代入C 的方程化简得出点P 的轨迹方程，再化为参数方程，计算|CC 1|的值即可判断C 与C 1是否有公共点．本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了转化思想与运算求解能力，是中档题．23. 已知函数f(x)=|x −2|，g(x)=|2x +3|−|2x −1|．(1)画出y =f(x)和y =g(x)的图像； (2)若f(x +a)≥g(x)，求a 的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)=|x −2|={x −2,x ≥22−x,x <2，g(x)=|2x +3|−|2x −1|={4,x ≥124x +2,−32<x <12−4,x ≤−32．画出y =f(x)和y =g(x)的图像； (2)由图像可得：f(6)=4，g(12)=4，若f(x +a)≥g(x)，说明把函数f(x)的图像向左或向右平移|a|单位以后，f(x)的图像不在g(x)的下方，由图像观察可得：a ≥2−12+4=112∴a 的取值范围为[112,+∞)．【解析】(1)通过对x 分类讨论，写出分段函数的形式，画出图像即可得出． (2)由图像可得：f(6)=4，g(12)=4，若f(x +a)≥g(x)，说明把函数f(x)的图像向左或向右平移|a|单位以后，f(x)的图像不在g(x)的下方，由图像观察可得出结论． 本题考查了分段函数的图像与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2021年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（甲卷）⽂科数学一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =I （）A.{}7,9 B.{}5,7,9 C.{}3,5,7,9 D.{}1,3,5,7,92. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3. 已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A.312i --B.312i -+ C.32i -+ D.32i --4.下列函数中是增函数的为（）A.()f x x=- B.()23xf x æö=ç÷èøC.()2f x x= D.()f x =5. 点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（）A.95B.85C.65D.456.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259»）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.67. 在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A. B. C. D.8.在ABC V 中，已知120B =°，AC =，2AB =，则BC =（）A.1B.C.D.39.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（）A. 7B. 8C. 9D. 1010.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.811.若cos 0,,tan 222sin p a a a a æöÎ=ç÷-èø，则tan a =（）A.15B.5C.3D.312. 设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f æö-=ç÷èø，则53f æö=ç÷èø（）A.53-B.13-C.13D.53二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量,a b r r满足3,5,1a a b a b =-=×=r r r r r ，则b =r _________.14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30p 则该圆锥的侧面积为________.15. 已知函数()()2cos f x x w j =+的部分图像如图所示，则2f p æö=ç÷èø_______________.16.已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．三､解答题：共70分.解答应写出交字说明､证明过程程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ³0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}na 是等差数列.19. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ^.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ^.20.设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.21.抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ^．已知点()2,0M ，且M e 与l 相切．（1）求C ，M e 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M e 相切．判断直线23A A 与M e 的位置关系，并说明理由．(二)选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为r q =．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =u u u ru u u r，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +³，求a 的取值范围．答案及解析一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =I （）A.{}7,9 B.{}5,7,9 C.{}3,5,7,9 D.{}1,3,5,7,9【答案】B 【解析】【分析】求出集合N 后可求M N Ç.【详解】7,2N æö=+¥ç÷èø，故{}5,7,9M N Ç=，故选：B.2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C 【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+´==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++´==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68´+´+´+´+´+´+´+´+´+´+´+´=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于´频率组距组距.3. 已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A.312i --B.312i -+C.32i -+ D.32i --【答案】B 【解析】【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++×-+====-+--×.故选：B.4.下列函数中是增函数的为（）A.()f x x =-B.()23xf x æö=ç÷èøC.()2f x x= D.()f x =【答案】D 【解析】【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，()23xf x æö=ç÷èø为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-¥为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =为R 上的增函数，符合题意，故选：D.5. 点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（）A.95B.85C.65 D.45【答案】A 【解析】【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340±=x y ，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：d =故选：A.6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259»）A. 1.5 B. 1.2C. 0.8D. 0.6【答案】C 【解析】【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解.【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.11010100.8V --===».故选：C .7.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D8. 在ABC V 中，已知120B =°，AC =，2AB =，则BC =（）A.1B.C.3【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a =+-´´o ，即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去），故3BC =.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．9. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A 【解析】【分析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案.【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列∴24S =，42642S S -=-=∴641S S -=，∴641167S S =+=+=.故选：A.10. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.8【答案】C 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610，故选：C.11.若cos 0,,tan 222sin p a a a a æöÎ=ç÷-èø，则tan a =（）A.15B.5C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin a a a a a a ==-，再结合已知可求得1sin 4a =，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin aa a=-Q 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin a a a aa a a a\===--，0,2p a æöÎç÷èøQ ，cos 0a \¹，22sin 112sin 2sin a a a \=--，解得1sin 4a =，cos 4a \==，sin tan cos 15a a a \==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin a .12.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f æö-=ç÷èø，则53f æö=ç÷èø（）A.53-B.13-C.13D.53【答案】C 【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f æöç÷èø的值.【详解】由题意可得：522213333f f f f æöæöæöæö=+=-=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，而21111133333f f f f æöæöæöæö=-==--=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，故5133f æö=ç÷èø.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量,a b r r满足3,5,1a a b a b =-=×=r r r r r ，则b =r _________.【答案】【解析】【分析】根据题目条件，利用a b -r r模的平方可以得出答案【详解】∵5a b -=r r∴222229225a b a b a b b -=+-×=+-=r r r r r r r∴b =r.故答案为：14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30p 则该圆锥的侧面积为________.【答案】39p 【解析】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵216303V h p p =×=∴52h =∴132l ===∴136392S rl p p p ==´´=侧.故答案为：39p .15.已知函数()()2cos f x x w j =+的部分图像如图所示，则2f p æö=ç÷èø_______________.【答案】【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解2f p æöç÷èø的值即可.【详解】由题意可得：31332,,241234T T Tp p p pp w =-=\===，当1312x p =时，()131322,2126x k k k Z p w j j p j p p +=´+=\=-Î，令1k =可得：6pj =-，据此有：()52cos 2,2cos 22cos62266f x x f p p p p p æöæöæö=-=´-==ç÷ç÷ç÷èøèøèø.故答案为：.【点睛】已知f (x )＝Acos (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tp即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.16.已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】【分析】根据已知可得12PF PF ^，设12||,||PF m PF n ==，利用勾股定理结合8m n +=，求出mn ，四边形12PFQF 面积等于mn ，即可求解.【详解】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.三､解答题：共70分.解答应写出交字说明､证明过程程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品 合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ³0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【解析】【分析】根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200=.（2）()22400150801205040010 6.63527013020020039K ´-´==>>´´´,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}na 是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】【分析】先根据的公差d ，进一步写出的通项，从而求出{}na 的通项公式，最终得证.【详解】∵数列是等差数列，设公差为d =-==(n =+-=，()n *ÎN ∴12n S a n =，()n *ÎN ∴当2n ³时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=-当1n =时，11121=a a a ´-，满足112n a a n a =-，∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *ÎN ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----éùëû∴{}n a 是等差数列.【点睛】在利用1n n n a S S -=-求通项公式时一定要讨论1n =的特殊情况.19. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ^.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ^.【答案】(1)13；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得AC 的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.【详解】(1)如图所示，连结AF ，由题意可得：BF ===，由于AB ⊥BB 1，BC ⊥AB ，1BB BC B =I ，故AB ^平面11BCC B ，而BF Ì平面11BCC B ，故AB BF ^，从而有3AF ===，从而AC ===，则222,AB BC AC AB BC +=\^，ABC V 为等腰直角三角形，111221222BCE ABC S s æö==´´´=ç÷èø△△，11111333F EBC BCE V S CF -=´´=´´=△.(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体1111ABCM A B C M -，如图所示，取棱,AM BC 的中点,H G ，连结11,,A H HG GB ，正方形11BCC B 中，,G F 为中点，则1BF B G ^，又111111,BF A B A B B G B ^=I ，故BF ^平面11A B GH ，而DE Ì平面11A B GH ，从而BF ^DE .【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.20. 设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a æöç÷èø，增区间为1,+a æö¥ç÷èø；（2）1a e >.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为()0,¥+，又()23(1)()ax ax f x x+-¢=，因为0,0a x >>，故230ax +>，当10x a <<时，()0f x ¢<；当1x a>时，()0f x ¢>；所以()f x 的减区间为10,a æöç÷èø，增区间为1,+a æö¥ç÷èø.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a æö==-=+ç÷èø，故33ln 0a +>即1a e>.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.21. 抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ^．已知点()2,0M ，且M e 与l 相切．（1）求C ，M e 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M e 相切．判断直线23A A 与M e 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M e 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ^，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +×与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ^\×=-=-=\=uu u r uu u r Q ，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M e 与1x =相切，所以半径为1，所以M e 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =，若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A则过1A 与圆M 相切的直线13A A为(3)3y x -=-，又1313313131,03A A y y k y x x y y -====\=-+，330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切；若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++，所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+，整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=，12A A Q 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-×=--，M 到直线23A A的距离为：2123|2|y -+=221==，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切.【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +×与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示.(二)选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为r q =．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =u u u ru u u r，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y -+=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y qqì=-+ïí=ïî（q 为参数），C 与1C 没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为2cos r q =，将cos ,sin x y r q r q ==代入可得；（2）设(),P x y ，设)Mq q +，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程r q =可得2cos r q =，将cos ,sin x y r q r q ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；（2）设(),P x y ，设)Mq qQAP =u u u r u u u r，())()1,22cos x y q q q q \-=+-=+，则122cos 2sin x y q q ì-=+ïí=ïî，即32cos 2sin x y q q ì=+ïí=ïî，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y qqì=+ïí=ïî（q 为参数）Q曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3-，半径为2，则圆心距为3-，32-<-Q ，\两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M 的参数坐标，利用向量关系求解.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +³，求a 的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a ³【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A æöç÷èø时a 的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<ì=-=í-³î，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ì-<-ïïï=+--=+-£<íïï³ïî，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +³，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A æöç÷èø时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a \³.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.。

2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一､选择题1.已知全集U = {1, 2,3, 4,5}，集合M = {1, 2} ，N = {3, 4} ，则C U (M N ) =（)A.{5}B.{1, 2}C.{3, 4}D.{1, 2,3, 4}2.设iz = 4 + 3i ，则z =（）A.-3 - 4iB.–3 + 4iC.3 - 4iD.3 + 4i3.已知命题p : ∃x ∈R,sin x < 1；命题q : ∀x ∈R, e|x|≥ 1 ，则下列命题中为真命题的是（）A.p ∧qB.⌝p ∧qC.p ∧⌝qD.⌝( p ∨q)答案：A解析：根据正弦函数的值域sin x ∈[-1,1] ，sin x < 1 ，故∃x ∈R ，p 为真命题，而函数y =e|x|为偶函数，且x ≥ 0 时，y =e x≥1 ，故∀x ∈R ，y =e|x|≥ 1恒成立.则 q 也为真命题，所以 p ∧q 为真，选 A.2 ⎨ ⎩4. 函数 f (x ) = sinA. 3π 和B. 3π 和2C. 6π 和D. 6π 和2 答案：Cx+ cos x 3 3的最小正周期和最大值分别是（ ）解析：f (x ) =f (x )max2 sin( x + π) 3 4= ，T = 2π1 3= 6π .故选 C.⎧x + y ≥ 4, 5. 若 x , y 满足约束条件⎪x - y ≤ 2, 则 z = 3x + y 的最小值为（ ）⎪ y ≤ 3,A. 18B. 10C. 6D. 4答案：C解析：根据约束条件可得图像如下，z = 3x + y 的最小值，即 y = -3x + z ， y轴截距最小值.根据图像可知 y = -3x + z 过点 B (1,3) 时满足题意，即 z min = 3 + 3 = 6 .2 26. cos2 π- cos 2 5π= （ ） 12 121 A.2B.3C. 2D.2答案：D解析：cos 2π - cos25π= cos 2 π- cos 2 (π - π) = cos 2 π - sin 2 π= cos π=∴选 D. 1212122 1212126217. 在区间(0, ) 2 随机取1 个数，则取到的数小于 1 的概率为（ ） 3A.B.C.D.答案：B3 2 3 3 3 4231316解析：在区间(0, 1 ) 随机取1 个数，可知总长度d = 1 ，取到的数小于 1，可知取到的长度范围22 31 d ' = 1，根据几何概型公式 p = d ' = 3 = 2，∴选 B.3 d 1 328. 下列函数中最小值为 4 的是（ ）A. y = x 2 + 2x + 4B. y =| sin x | +4| sin x |C. y = 2x + 22-x 4D. y = ln x +答案：Cln x解析：对于 A ， y = x 2 + 2x + 4 = x 2 + 2x + 1 + 3 = ( x + 1)2 + 3 ≥ 3.不符合，对于 B ， y =| sin x | +4 | sin x | ，令t =| sin x |∈[0,1] ，∴ y = t + 4 ， t根据对勾函数 y min = 1 + 4 = 5 不符合， 对于 C ， y = 2x+ 22-x= 2x+ 4 2x4，令t = 2x > 0 ，∴ y = t +≥ 2 t= 2 ⨯ 2 = 4 ，当且仅当t = 2 时取等，符合，对于 D ， y = ln x +4 ln x ，令t = ln x ∈ R ， y = t + 4 .t根据对勾函数 y ∈(-∞, -4] [4, +∞) ，不符合.1- x9. 设函数 f ( x ) =A. f ( x -1) -11+ x，则下列函数中为奇函数的是（ ）t ⋅ 4t2 6 2 2 2 1 B. f ( x -1) + 1C. f ( x + 1) -1D. f ( x + 1) + 1答案：B解析：1- x 2 f (x ) = = -1+ 1+ x ，1+ xf (x ) 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g (x ) = 2 为奇函数.x所以选 B.10. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， P 为 B 1D 1 的中点，则直线 PB 与 AD 1 所成的角为π A. 2 π B. 3 π C. 4πD.6答案：D解析：做出图形， AD 1 / / BC 1 ，所以∠PBC 1 为异面直线所成角，设棱长为1.BC = ， BP = ， PC = ， BP = 6 . 1 1 2 1 2 22 2 22 +3 - 1 cos ∠PBC = BC 1 + BP - C 1P = 2 2 = ，即∠PBC = π ，故选 D. 2BP ⋅ BC 1 2 ⨯ ⨯ 2 623 1-4(sin θ + 1)2 + 254 4 y y ⎨5 0 011. 设 B 是椭圆C :5 A.2B. x 2 + 25= 1的上顶点，点 P 在C 上，则 PB 的最大值为C.D. 2 答案：A解析：方法一：由C : x 2 + 25= 1， B (0,1)则C 的参数方程： ⎧⎪x = 5 cos θ.| PB |= ⎪⎩ y = sin θ== ≥ .2 5∴| PB |max = 2，故选 A.x 2 2 方法二：设 P (x 0 , y 0 ) ，则 0+ y 0 = 1( y 0 ∈[-1,1]) ①， B (0,1) .5因此| PB |2 = x 2 + ( y -1)2②将①式代入②式化简得：65(sin θ -1)2 + ( 5 cos θ )2 -4sin 2 θ - 2sin θ + 6| PB |2=-4( y +1)2+25≥25，当且仅当y=-1时| PB | 的最大值为5，故选 A.0 4 4 4 0 4 212.设a ≠ 0 ，若x =a 为函数f (x) =a(x -a)2 (x -b) 的极大值点，则A.a <bB.a >bC.ab <a2D.ab >a2答案：D解析：f '(x) = 2a(x -a)(x -b) +a(x -a)2=a(x -a)(3x - 2b -a)当a > 0 时，原函数先增再减后增.原函数在f '(x) = 0 的较小零点时取得极大值.即a <a + 2b，即a <b ，∴ a2<ab . 3当a < 0 时，原函数先减再增后减.原函数在f '(x) = 0 的较大零点时取得极大值.即a >a + 2b，a >b ，a2<ab ，故选 D. 3二、填空题13.已知向量a = (2,5) ，b = (λ, 4) ，若a / /b ，则λ=.答案：85解析：由已知a / /b 可得2⨯4 = 5λ⇒λ=8.5x2-y2=14.双曲线4 51的右焦点到直线x + 2 y - 8 = 0 的距离为. 答案：12 + 225 3 3 2 5 ， 2解析：x - y 2 4 5 = 1的右焦点为(3, 0) 到直线 x + 2 y - 8 = 0 的距离 d = | 3 - 8 | = .15. 记 ∆ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 面 积 为 ，B = 60︒, a 2 + c 2 = 3ac ，则b =.答案：2解析：由面积公式 S = 1ac sin B = ，且 B = 60︒ ，解得ac = 4 ，2又由余弦定理b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ， a 2 + c 2 = 3ac ，且b > 0解得b = 2 .16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，PA = PC =2 ，BA = BC =，AC = 2 ，俯视图为⑤.5 2俯视图为③，如图（2）， PA ⊥ 平面 ABC ， PA = 1， AC = AB =5 ， BC = 2 ，俯视图为④.17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ，样本方差分别记为s 2 和 s 2 .12（1）求 x ， y ， s 2 ， s 2 ；12（2 ）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y - x ≥ 2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 答案：s 2+ s 2 1 2 10旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.110.010.110.310.610.510.410.50.0076 0.09 0.076 1 2 见解析解析：x = 9.8 +10.3 +10 +10.2 + 9.9 + 9.8 +10 +10.1+10.2 + 9.7 10= 10 ；y = 10.1+10.4 +10.1+10 +10.1+10.3 +10.6 +10.5 +10.4 +10.5 10= 10.3 .s 2= 1 (0.04 + 0.09 + 0.04 + 0.01+ 0.04 + 0.01+ 0.04 + 0.09)10 = 1⨯ 0.36 = 0.036 10 s 2= 11 (0.04 + 0.01+ 0.04 + 0.09 + 0.04 + 0.09 + 0.04 + 0.01+ 0.04)10 = ⨯ 0.4 = 0.04 . 10（2） y - x = 10.3 -10 = 0.32 = 2= 2 .∵则0.3 = > 2 =，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18. 如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是矩形， PD ⊥ 底面 ABCD ， M 为 BC 的中点，且PB ⊥ AM .（1） 证明：平面 PAM ⊥ 平面 PBD ﹔（2） 若 PD = DC = 1，求四棱锥 P - ABCD 的体积.答案：见解析解析：s 2+ s 2 1 2 10 0.036 + 0.04 10 0.0304+ 1 - n 3n 3n + 1 n n + + + 19. 设{a } 是首项为1的等比数列，数列{b } 满足b=na n.已知a ，3a ，9a ，成等差数 nnn3列.1 2 3 （1） 求{a n } 和{b n }的通项公式；（2） 记 S ，和T 分别为{a } 和{b } 的前n 项和.证明： T<S n. nnnnn2答案：见解析 解析：设{a } 的公比为q ，则a = qn -1， 因为a ， 3a ， 9a 成等差数列，所以1 + 9q 2 = 2 ⨯ 3q ，解得q = 1，1故 a = 21 n -1 ， S 31- 1 = 3n 3= 3 (1- 1 ) . n (3) n 1-1 2 3n 3n 1 2 3n -1 n 又b n = 3n ，则T n = 31 + 32 + 33 + + 3n -1 + 3n ，1 1 12 3n -1 n 两边同乘 3 ，则 3 T n = 32 + 33 + 34 + + 3n 2 1 1 1 1 + ，3n +1 两式相减，得 3 T n = + 2 3 4 ， 3 3 3 3 1 (1- 1 ) 即 2 T = 3 3n - n = 1 (1- 1 ) - n ， 3 n1- 1 3 3n +1 2 3n 3n +1 3 1 n 3 2n + 3整理得T n = 4 (1- 3n ) - 2 ⨯ 3n = 4 - 2 ⨯ 3n ，2T - S = 2( 3 - 2n + 3) - 3 (1- 1 ) = - 4n + 3n n 4 2 ⨯ 3n 2 3n 2 ⨯ 3n故T < S n.< 0 ， n220. 已知抛物线C ： y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 到准线的距离为2 .（1） 求C 的方程，（2） 已知O 为坐标原点，点 P 在C 上，点Q 满足 PQ = 9QF ，求直线OQ 斜率的最大值.答案：PQ = 9QF 2 9 4x y y 见解析解析：（1） 由焦点到准线的距离为 p ，则 p = 2 .抛物线c 的方程： y 2 = 4x .y 2 （2） 设点 P ( 0, y 0 ) ， Q (x Q , y Q ) ， F (1, 0) .4∵.⎧ y 2 ⎪y 2 - 0 = 9 - 9x ⎧ 2⎪ 9 + 0⎪x = 4 ∴ (x - 0 , y - y ) = 9(1- x , - y ) ⇒ ⎨ Q 4 Q ⇒ ⎨ Q 10 Q 4 Q 0 Q Q⎪ ⎪ ⎩y Q - y 0 = -9x Q ⎪ y = y 0则 k OQ = y Q x Qy 02 9 +0 41 9 + y 0 y 0 4 ≤ = 1 . 3 ⎩ Q 10 ∴直线OQ 斜率的最大值为 1.321. 已知函数 f (x ) = x 3 - x 2 + ax +1.（1） 讨论 f (x ) 的单调性；（2） 求曲线 y =f (x ) 过坐标原点的切线与曲线 y = f (x ) 的公共点的坐标.答案：见解析解析：（1） f '(x ) = 3x 2 - 2x + a（i ）当∆ = 4 -12a ≤ 0 ，即a ≥ 1 时， f '(x ) ≥ 0 恒成立，即 f (x ) 在 f (x ) 在 x ∈ R 上单调3递增.（ii ）当∆ = 4 -12 > 0 ，即a < 1时， f '(x ) = 0 解得，x= 1-1- 3a ，x= 1+1- 3a .31323= =1- 1- 3 a 1+ 1+ 3a C C C 1 ⎨y = 1+ sin θ∴ f (x ) 在(-∞, 1-1- 3a ) ，( 3 3, +∞) 单调递增，在( 3 3调递减， 综上所述： 当 a ≥ 时， 3 f (x ) 在 R 上单调递增； 当 a < 1 时， 3f (x ) 在(, ) 单调递减.3 3（ 2 ） 设可原点切线的切点为 (t , t 3 - t 2 + at +1) ， 切线斜率 k =f '(t ) = 3t 2 - 2t + a . 又t 3 - t 2 + at +1k =，可得 tt 3 - t 2 + at +1t= 3t 2- 2t + a .化简得(t -1)(2t 2+ t +1) = 0 ，即t = 1 .∴切点为(1, a +1) ，斜率 k = a +1 ，切线方程为 y = (a +1)x ，将 y = (a +1)x ，y = x 3 - x 2 + ax +1联立可得 x 3 - x 2 + ax +1 = (a +1)x ，化简得(x -1)2 (x +1) = 0 ，解得x 1 = 1 ， x 2 = -1.∴过原点的切线与 y = f (x ) 公共点坐标为(1, a +1) ， (-1, -a -1) .22. 在直角坐标系 xOy 中，的圆心为C (2,1) ，半径为1.（1） 写出的一个参数方程;（2） 过点 F (4,1) 作的两条切线.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案： 见解析解析：（1）（2）的参数方程为⎧x = 2 + cos θ （θ 为参数）⎩的方程为(x - 2)2 + ( y -1)2 = 1①当直线斜率不存在时，直线方程为 x = 4 ，此时圆心到直线距离为2 > r ，舍去；1+ 1- 3a 1- 1- 3a ,1+ 1+ 3a ) 单 C Ck 2+ 1k 2+1 3 3 3 3 3 3 ②当直线斜率存在时，设直线方程为 y -1 = k (x - 4) ，化简为kx - y - 4k +1 = 0 ，此时圆心C (2,1) 到直线的距离为d =| 2k -1- 4k +1|= r = 1 ，化简得2 | k |= ，两边平方有4k 2 = k 2 +1，所以k =±3代入直线方程并化简得 x - 3y + - 4 = 0 或 x + 3y - - 4 = 0 化为极坐标方程为ρ cos θ -3ρ sin θ = 4 - ⇔ ρ sin(θ + 5π) = 4 - 6 或 ρ cos θ + 3ρ sin θ = 4 + ⇔ ρ sin(θ + π) = 4 + .623. 已知函数 f (x ) =| x - a | + | x + 3 |.（1） 当a = 1 时，求不等式 f (x ) ≥ 6 的解集；（2） 若 f (x ) > -a ，求a 的取值范围.答案： 见解析解析：当 a = 1 时， f (x ) ≥ 6 ⇔| x -1| + | x + 3 |≥ 6 ，当 x ≤ -3 时，不等式⇔ 1 - x - x - 3 ≥ 6 ，解得 x ≤ -4 ； 当-3 < x < 1 时，不等式⇔ 1 - x + x + 3 ≥ 6 ，解得 x∈∅ ；当 x ≥ 1 时，不等式⇔ x -1 + x + 3 ≥ 6 ，解得 x ≥ 2 .综上，原不等式的解集为(-∞, -4] [2, +∞) .（2）若 f (x ) > -a ，即 f (x )min > -a ，因为 f (x ) =| x - a | + | x + 3 |≥| (x - a ) - (x + 3) |=| a + 3 | （当且仅当(x - a )(x + 3) ≤ 0 时，等号成立），所以 f (x )min =| a + 3 | ，所以| a + 3 |> -a ，即 a + 3 < a 或 a + 3 > -a ，解得3a ∈(- , +∞).23。