高中数学椭圆讲义

学而思高中完整讲义：椭圆.板块一.椭圆的方程.学生版

【例1】 已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为（ ）

A．221259xy B．221259yx C．22179yx D．22179xy

【例2】 已知椭圆2215xym的离心率10e5，则m的值为（

）

A．3 B．5153或15 C．5 D．253或3

【例3】 设定点12(03)(03)FF，，，，动点P满足条件)0(921aaaPFPF，则点P的轨迹是（ ）

A．椭圆

B．线段

C．不存在 D．椭圆或线段

【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率12e，且它的一个焦点与抛物线24yx的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）

A．22143xy B．22186xy C．2212xy D．2214xy

【例5】 设椭圆22221(0)xyabab的离心率为1e2，右焦点为(0)Fc，，方程20axbxc的两个实根分别为1x和2x，则点12()Pxx，（ ）

A．必在圆222xy内 B．必在圆222xy上

C．必在圆222xy外 D．以上三种情形都有可能

【例6】 已知22212xymm表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）

A．2m或1m B．2m

C．12m D．2m或21m

【例7】 经过点(30)P，，(02)Q，的椭圆的标准方程是 ；

典例分析

【例8】 已知焦点坐标为(40)，，(40)，，且6a的椭圆方程是___________；

【例9】 巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 ．

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 选修1-1《2.1.1 椭圆及其标准方程》教学设计

一、指导思想与理论依据

1. 新课程标准理念——高中数学新课程标准指出： “强调本质，注意适度形式化。高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的思想方法。”在“椭圆及其标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，通过动手实践、观察思考、合作交流、应用反思等过程，让学生逐步将认识由感性上升到理性，把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学，努力揭示知识的发生、发展过程。

2. 建构主义理论——建构主义认为：知识不是通过教师讲授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，充分利用各种学习资源（包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等），通过意义建构而获得。由于学习是在一定的情境下借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程，因此建构主义学习理论认为“情境创设”、“协作学习”、“会话交流”是学习环境的基本要素。

二、教学背景分析

1. 教材分析

解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。平面解析几何问题，就是借助建立适当的坐标系，科学合理地把几何问题代数化，运用代数的方法来研究几何问题。

在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。在选修1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。本章所研究的三种圆锥曲线都是重要的曲线，因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种圆锥曲线的学习的重点放在了椭圆上，通过求椭圆的标准方程，是学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般规律和化简的常用方法。因此，“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。

椭圆知识点

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；

若2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的简单几何性质

椭圆：12222byax)0(ba与 12222bxay)0(ba的简单几何性质

标准方程 12222byax )0(ba 12222bxay )0(ba

图形

性质 焦点 )0,(1cF，)0,(2cF ),0(1cF，),0(2cF

焦距 cFF221 cFF221

范围 ax，by bx，ay

对称性 关于x轴、y轴和原点对称

顶点 )0,(a，),0(b ),0(a，)0,(b

轴长 长轴长=a2，短轴长=b2 长半轴长=a，短半轴长=b（注意看清题目）

离心率 )10(eace

caFAFA2211；caFAFA1221；caPFca1；

(p是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）

注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等

知识点三：椭圆相关计算

1．椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义 222cba

2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab22

焦点弦：椭圆过焦点的弦。

3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，21PFF为最大角。

4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

焦点三角形的面积2tan221bSFPF，其中21PFF（注意公式的推导）

5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）．

椭圆(一)

复习要点1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作

用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.

通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.4.了解椭圆的简单应用．

一椭圆的概念

1．我们把平面内与两个定点F

1，F

2的距离的和等于常数(大于|F

1F

2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．

2．集合P＝{M||MF

1|＋|MF

2|＝2a}，|F

1F

2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a

二椭圆的标准方程和几何性质

标准

方程x2

a2＋y2

b2＝1

(a>b>0)y2

a2＋x2

b2＝1

(a>b>0)

图形

性

质范围－a≤x≤a

－b≤y≤b－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性对称轴：坐标轴

对称中心：原点

顶点A

1(－a,0)，A

2(a,0)

B

1(0，－b)，B

2(0，b)A

1(0，－a)，A

2(0，a)

B

1(－b,0)，B

2(b,0)

轴长轴A1A

2的长为2a；

短轴B1B

2的长为2b

焦距|F1F

2|＝2c

焦点F1(－c,0)，F

2(c,0)F

1(0，－c)，F

2(0，c)

离心率e＝c

a∈(0,1)a，b，c

的关系c2＝a2－b2

常/用/结/论

椭圆上的点P(x0，y

0)与两焦点构成的△PF

1F

2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F

1PF

2

＝θ.

一般常用定义＋余弦定理解决．

(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F

1PF

2最大．

(2)S△F

1PF2＝1

2|PF

1||PF

2|sinθ＝b2tanθ

2＝c|y0|.

设|PF

1|＝m，|PF

2|＝n，则m＋n＝2a，①4c2＝m2＋n2－2mncosθ，②

①2代入②得mn＝2b2

1＋cosθ，则S△F1PF

2＝1

2mnsinθ

＝b2sinθ

1＋cosθ＝b2·2sinθ

2cosθ