函数的间断点及其类型

三、函数的间断点及其分类

【导语】

函数在一点连续只有一种情形，就是

00lim()()xxfxfx。函数在一点不连续时，它在这

一点附件函数值的变化情况则是多种多样的。为了区分不同的间断点，根据函数在一点发

生间断的原因，本讲给出了间断点的分类。

【正文】

若函数()fx在点0x处不连续，则称0x为()fx的间断点．

一般地，可对间断点作如下分类：

定义3 若函数()fx在点0x处的左、右极限均存在，但不连续，则称0x为()fx的第一

类间断点．

若函数()fx在点0x处的左、右极限中至少有一个不存在时，则称0x为()fx的第二类间

断点．

在第一类间断点中，当左、右极限相等，即极限存在时，又称这样的间断点为可去间断

点．

如0x就是函数sin()xfxx的可去间断点，1x是函数21()1xfxx的可去间断点．

所谓“可去”是指：如果

00lim()()xxfxfx，就将函数在0x的值改为

0lim()xxfx；如果()fx

在0x没有定义，就给出定义

00()lim()xxfxfx，那么所得的新函数就是在0x处连续的函数，

这样就把“间断”去掉了．

在第一类间断点中，当左、右极限存在但不相等时，又称这样的间断点为跳跃间断点．

如0x是符号函数sgnyx的跳跃间断点，任何一个整数都是取整函数yx的跳跃

间断点．

例1 已知函数2+1,0,

()0,0,

1,0,xx

fxx

xx



 判断()fx在0x处的连续性，若不连续，指

出间断点的类型．

解 因为(0)0f，且

2

00lim()lim(1)1

xxfxx， 00lim()lim(1)1

xxfxx，

所以()fx在0x处既不是左连续，也不是右连续．0x是()fx的跳跃间断点．

例2 已知函数1e,0,()

0,0,xxfx

x 判断()fx在0x处的连续性，若不连续，指出间断

函数间断点的类型

函数间断点是指函数图像中的某一点，该点处的函数值无法通过连续的方法来定义。函数间断点可以分为以下几种类型：

1. 可去间断点：函数在该点上的极限存在，但是函数在该点上未定义或定义与极限不相等。例如，函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x = 1处的间断点就是可去间断点。这种类型的间断点可以通过对函数进行修补或定义来消除。

2. 跳跃间断点：函数在该点的左右极限存在，但是左右极限不相等。例如，函数g(x) = [x]在x = 1处的间断点就是跳跃间断点，其中[x]表示向下取整函数，即x的整数部分。这种类型的间断点可以用数列极限来定义。

3. 无穷间断点：函数在该点的左右极限至少有一个不存在或为无穷大。例如，函数h(x) = 1/x在x = 0处的间断点就是无穷间断点。这种类型的间断点可以进一步细分为左侧无穷间断点和右侧无穷间断点。

函数间断点的类型与函数的性质密切相关，对于特定类型的间断点，需要采用相应的方法进行处理和求解。

间断点的定义和分类

函数的间断点是指在某点处不连续的点。这些点通常是由于函数在该点处的极限不存在或存在无穷大而引起的。间断点可以分为以下几类：

- 第一类间断点：函数在该点处的左右极限都存在的间断点。这类间断点又可以分为两种情况：

- 跳跃间断点：当函数在该点处的左右极限存在但不相等时，该点为跳跃间断点。例如绝对值函数在零点处、符号函数在正负无穷大处等。

- 可去间断点：当函数在该点处的左右极限相等但该点处的函数值不等于极限值时，该点为可去间断点。

- 第二类间断点：函数在该点处的左右极限至少有一个不存在的间断点。这类间断点又可以分为两种情况：

- 无限间断点：当函数在该点处的左右极限至少有一个为无穷大时，该点为无限间断点。例如一些无界函数的图像在垂直坐标轴上的点等。

- 振荡间断点：当函数在该点处的左右极限存在但不相等且都不为无穷大时，该点为振荡间断点。例如一些具有振荡行为的函数的图像上的一些点。

除了以上提到的两类间断点外，还有一些特殊类型的间断点，例如：垂直间断点、水平间断点和斜间断点等。这些间断点的存在性和类型可以根据具体函数的性质和定义来判别。在研究函数的间断点和类型时，通常需要利用极限的思想和方法来进行判断和证明。

函数的间断点及其类型

函数的间断点是指在该点处函数的极限不存在或者左右极限存在但不相等。间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种类型。

1. 可去间断点：在该点处函数的左右极限都存在且相等，但函数在该点处没有定义。例如，函数 f(x) = x^2在 x=0 处没有定义，但左右极限都为 0，因此 0 是 f(x)的可去间断点。

2. 跳跃间断点：在该点处函数的左右极限都存在，但不相等。例如，函数 f(x) = x在 x=0 处的左极限为-1，右极限为 1，因此

0 是 f(x)的跳跃间断点。

3. 无穷间断点：在该点处函数的左右极限至少有一个不存在，或者左右极限都存在但等于正无穷或负无穷。例如，函数 f(x) =

1/x 在 x=0 处的右极限为正无穷，左极限为负无穷，因此 0 是

f(x)的无穷间断点。

判断一个函数的间断点类型，可以通过计算函数在该点处的左右极限来确定。如果左右极限都存在且相等，则该间断点为可去间断点；如果左右极限不相等，则该间断点为跳跃间断点；如果至少有一个极限不存在，或者两个极限都存在但等于正无穷或负无穷，则该间断点为无穷间断点。