函数间断点的类型

三、函数的间断点及其分类

【导语】

函数在一点连续只有一种情形，就是

00lim()()xxfxfx。函数在一点不连续时，它在这

一点附件函数值的变化情况则是多种多样的。为了区分不同的间断点，根据函数在一点发

生间断的原因，本讲给出了间断点的分类。

【正文】

若函数()fx在点0x处不连续，则称0x为()fx的间断点．

一般地，可对间断点作如下分类：

定义3 若函数()fx在点0x处的左、右极限均存在，但不连续，则称0x为()fx的第一

类间断点．

若函数()fx在点0x处的左、右极限中至少有一个不存在时，则称0x为()fx的第二类间

断点．

在第一类间断点中，当左、右极限相等，即极限存在时，又称这样的间断点为可去间断

点．

如0x就是函数sin()xfxx的可去间断点，1x是函数21()1xfxx的可去间断点．

所谓“可去”是指：如果

00lim()()xxfxfx，就将函数在0x的值改为

0lim()xxfx；如果()fx

在0x没有定义，就给出定义

00()lim()xxfxfx，那么所得的新函数就是在0x处连续的函数，

这样就把“间断”去掉了．

在第一类间断点中，当左、右极限存在但不相等时，又称这样的间断点为跳跃间断点．

如0x是符号函数sgnyx的跳跃间断点，任何一个整数都是取整函数yx的跳跃

间断点．

例1 已知函数2+1,0,

()0,0,

1,0,xx

fxx

xx



 判断()fx在0x处的连续性，若不连续，指

出间断点的类型．

解 因为(0)0f，且

2

00lim()lim(1)1

xxfxx， 00lim()lim(1)1

xxfxx，

所以()fx在0x处既不是左连续，也不是右连续．0x是()fx的跳跃间断点．

例2 已知函数1e,0,()

0,0,xxfx

x 判断()fx在0x处的连续性，若不连续，指出间断

第二类间断点有哪几种类型

第二类间断点是函数在某个点处的极限不存在的情形，具体包括无穷间断点、振荡间断点和无定义间断点。下面分别介绍这几种类型的间断点及其特点。

首先，无穷间断点是指函数在某一点处的极限为无穷大的情况。例如，函数f（x）=1/x在x=0处存在无穷间断点，因为f（x）在x趋于0时趋于无穷大。需要注意，无穷间断点与第一类间断点的区别在于，前者是极限无穷大，后者是极限存在但不等于函数值。

其次，振荡间断点是指函数在某一点处附近的振荡行为。例如，函数f（x）=sin（1/x）在x=0处存在振荡间断点，因为当x趋于0时，f（x）在x=0附近会来回振荡。与无穷间断点不同，振荡间断点的函数值会在某一点处呈现有规律的波动，而不是简单地趋于无穷大。

最后，无定义间断点是指函数在某一点处没有定义的情况。例如，函数f（x）=1/x在x=0处存在无定义间断点，因为f（x）在x=0处没有定义。与前两种间断点不同，无定义间断点是函数的定义域问题，而不是极限问题。

需要注意的是，第二类间断点通常是相对而言的，即依赖于具体函数和实际应用场景。另外，第二类间断点也可能与其他类型的间断点重叠出现，如无穷间断点和振荡间断点同时出现等。在实际应用中，应根据具体问题选择合适的函数和计算方法来避免或处理第二类间断点。

总结来说，第二类间断点包括无穷间断点、振荡间断点和无定义间断点，其特点各异且通常与具体函数和应用场景相关。在实际应用中，应根据具体情况选择合适的函数和计算方法来避免或处理第二类间断点。同时，需要注意第二类间断点的相对性和重叠性特点，以确保计算结果的准确性和可靠性。

第二类间断点怎么判断

第二类间断点：函数的左右极限至少有一个不存在。a若函数在x=Xo处的左极限或右极限至少有一个为无穷大，则称x=Xo为f（x）的无穷间断点。例y=tanx，x=π/2。

b若函数在x=Xo处的左右极限都不存在且非无穷大，则称x=Xo为f（x）的振荡间断点。

第４卷第３期　２ＯＯ２年９月　衡水师专学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｎｇｓｈｕｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖｏ１．４．Ｎｏ．３　Ｓｅｐ．２１ＸＹ２　

浅议导数的间断点类型　

郭　素　霞　

（衡水师范专科学校数学系，河北衡水０５３０００）　

摘　要：函数的间断点分为２大类：第１类间断点和第２类间断点。而在一定条件下，函数的导数却只有第２类间断点。　

关键词：导数；间断点；第１类间断点；第２类间断点　．　中图分类号：０１７４　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—６９００（２（｝０２）０３一ＯＯ６６—０２　

定义１　设函数　）在点　ｏ的某邻域内有定　

义，在　。自变量　的改变量是　，相应函数的改变　

量是Ａｙ＝　。＋　）一　Ｘｏ）。￣删ｌｉｍ△ｚＡ　ｙ＝　

Ｌｉｍ　＿±　存在，称函数　）在Ｘｏ可　，：ｓｘ－－．－ｏ　ＬＡＸ　。　导，此极限称为　）在　。的导数。　

定义２　若极限ｌｉｍ　：　

。　与　：　。———　—一司　。　

Ｌ１．ｍ　都Ｐ存在，分别称为函数　Ｌ———————　■—————一伺什１土，７丁．力Ｕ　、／、Ｊ　＿文足　

）在　。右可导与左可导，其极限值分别称为函数　

）在　。的右导数与左导数，分别记为ｆ　＋（　。）与厂　一　

（　。），即　

ｆ　０）＿　。　

．／．（　）一／．（　０）　一　Ｊ¨ｌＪ　￣－＂ｘ０＋０　—Ｘ０　

ｆ，＿（　：　。　

．／．（　）一／．（　０）　一　１ＩｌｌＩ　０　—Ｘ０　存在，且相等，即厂　＋（　）＝ｆ　一（　）。　

定义３　若　‰＋０）与　‰～０）都存在，但　

是　。＋０）≠ｆ（ｘ。一０），则称　。是函数　）的第　

收稿日期：２ＯＯ２—０５—０１　作者简介：郭素霞（１９６２一），女，河北武强县人，衡水师专数学系副教授　１类间断点。　

定义４　若　。＋０）与　。一０）至少有１个　

不存在，称　。是函数　）的第２类间断点。　

命题　设函数厂（　）在（ａ，ｂ）内处处有导数，则　

（ａ，ｂ）中的点或者为厂　（　）的连续点，或者为ｆ　（　）　

1.8函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

变量的增量

设变量u从它的一个初值u1变到终值u2 终值与初值的差u2−u1就叫做变量

u的增量 记作Δu 即Δu =u2−u1设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的 当自变量x 在这邻域内从

x0变到x0+Δx时 函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Δx) 因此函数y的对应增量

为

Δy= f(x0+Δx)− f(x0)

函数连续的定义

设函数y=f(x)在点x0 的某一个邻域内有定义 如果当自变量的增量Δx =x

−x0 趋于零时 对应的函数的增量Δy= f(x0+Δx)− f(x0 )也趋于零 即

或

那么就称函数y=f(x)在点x0 处连续

注 ①

②设x=x0+Δx 则当Δx0时 xx0 因此

函数连续的等价定义2设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果对

于任意给定义

的正数ε 总存在着正数δ 使得对于适合不等式|x−x0|

的函数值f(x)都满足不等式

|f(x)−f(x0)|

那么就称函数y=f(x)在点x0处连续

左右连续性

如果 则称y=f(x)在点处左连续

如果 则称y=f(x)在点处右连续左右连续与连续的关系

函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续

函数在区间上的连续性

在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数

在该区间上连续 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续

在左端点连续是指右连续

连续函数举例

1 如果f(x)是多项式函数 则函数f(x)在区间(− +)内是连续的这是因为 f(x)在(− +)内任意一点x0处有定义 且

.

2 函数在区间[0 +)内是连续的

3 函数y=sin x 在区间(− +)内是连续的

证明 设x为区间(− +)内任意一点 则有

Δysin(xΔx)sin x

因为当Dx0时 Dy是无穷小与有界函数的乘积 所以 这就证明了函

数y=sin x在区间(- +)内任意一点x都是连续的．