平行线的判定定理 一

平行线的六个判定平行线是高中数学中的一个重要概念，也是几何学的基本定理之一。

平行线的概念最早由古希腊数学家欧几里得提出，并在《几何原本》一书中给出了平行线的六个判定。

六个判定分别是：同位角、内错角、同旁内角、同旁外角、平行线错角定理以及平行线夹角定理。

首先，同位角判定，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角之和为180°，则这两条直线是平行线。

也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的同位角之和为180°，那么这两条直线就是平行的。

这个判定可以通过实际的图形来演示和证明。

其次，内错角判定，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且内错角互补，则这两条直线是平行线。

也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的内错角（一个在两直线之间，一个在两直线之外）互为补角，那么这两条直线就是平行的。

这个判定同样可以通过实际的图形来演示和证明。

接下来是同旁内角判定，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且同旁内角之和为180°，则这两条直线是平行线。

也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的同旁内角之和为180°，那么这两条直线就是平行的。

同样地，这个判定可以通过实际的图形来演示和证明。

然后是同旁外角判定，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且同旁外角互补，则这两条直线是平行线。

也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的同旁外角（一个在两直线之外，一个在两直线之间）互为补角，那么这两条直线就是平行的。

同样地，这个判定可以通过实际的图形来演示和证明。

接下来是平行线错角定理，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且错角互补，则这两条直线是平行线。

也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的错角（一个在两直线之间，一个在两直线之外）互为补角，那么这两条直线就是平行的。

同样地，这个判定可以通过实际的图形来演示和证明。

1.同位角相等，两条线平行。

2.内错角相等，两条线平行。

3.同旁内角互补，两条线平行。

4.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

5.如果两条直线都与第三条直线直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的判定定理：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

（内错角相等，两直线平行）
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

（同旁内角互补，两直线平行）
（3）两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（若直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a也平行于直线c）（等量代换）。

几何学平行线与角公式整理几何学是研究空间、图形和形体之间的关系和性质的学科。

平行线与角是几何学中重要的概念，它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。

在本文中，我们将整理并介绍一些与平行线和角相关的重要公式。

一、平行线的性质与公式1. 平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。

2. 平行线的判定定理● 对偶定理：若两条直线与第三条直线交叉形成的两组对应角（内角和外角）互为等角，则这两条直线平行。

● 同位角定理：若两条平行线被一条横截线相交，则所形成的同位角（即相互对应的内角或外角）相等。

● 内外角定理：若两直线被一条横截线相交，则所形成的内角与该角对应的外角互补。

3. 平行线的性质● 平行线之间的距离相等。

● 平行线与横截线所形成的同位角相等。

● 平行线与横截线所形成的内外角互补。

二、角的性质与公式1. 角的定义角是由两条线段或两条射线共享一个端点形成的图形。

2. 角的分类● 钝角：大于90度小于180度的角。

● 直角：等于90度的角。

● 锐角：小于90度的角。

3. 角的性质● 垂直角性质：互为补角的两个角称为垂直角，它们的度数之和为180度。

● 对顶角性质：由两条交叉直线形成的对顶角（相邻且不重叠的内角）互为相等角。

● 余角公式：给定一个角，其对角度数与90度的差称为余角。

若角A的度数为x，则其余角的度数为90度-x。

● 和角公式：若两个角的度数之和为180度，则它们互为补角。

● 差角公式：若两角的度数之差为180度，则它们互为补角。

三、平行线与角公式的应用1. 平行线与全等三角形当两条平行线被一条横截线相交时，所形成的对应角相等。

利用这个公式，我们可以证明两个三角形全等。

2. 平行线与相似三角形若两条平行线被两条或多条横截线分别切割，所形成的相应角相等，我们可以利用这个性质证明两个三角形相似。

3. 平行线的应用● 平行线的平分线定理：若一条直线与两条平行线相交，则它所形成的两个内角互为相等角。

数学中的平行线一、导入在导入环节，可以引入一些数学问题或者实际生活中的例子，引发学生们对平行线的兴趣。

二、概念讲解1. 定义平行线：平行线是在同一个平面上不相交的两条直线，它们的方向相同，永远不会相交。

2. 平行线的性质：a) 两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离都相等。

b) 平行线之间没有交点，因此它们无法切割平面。

三、相关定理的讲解1. 互相平行的定理：如果有一条直线与另外两条直线互相平行，那么这两条直线也是平行的。

2. 平行线的判定定理：a) 两条直线斜率相等（且不为无穷大）时，它们是平行线。

b) 两条直线的法线斜率相反数时，它们是平行线。

3. 平行线的性质定理：a) 两条直线平行，则其上的任意一对对应角相等。

b) 两条直线平行，则其上的任意一对同旁内角互补，即其内角和为180度。

c) 两条直线平行，则其上的任意一对同旁外角互补，即其外角和为180度。

四、实例运用通过一些实例问题，让学生运用所学知识解决问题。

例如：问题1：在平面上画出一条直线，使它与已知的两条平行线相交于两点，求这条直线与这两条平行线的夹角。

问题2：设在平面上有一对平行线，一段未知的直线与这对平行线交于两点，求出这段直线与平行线的夹角。

五、拓展延伸进一步引导学生运用已学知识，解决一些拓展问题，拓宽学生对平行线的认识和理解。

六、综合评价通过一些练习题，检验学生对于平行线的理解和掌握程度，并提供解答思路和方法。

七、归纳总结对今天的学习内容进行归纳总结，强调平行线的重要性和应用价值。

鼓励学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。

八、课后作业布置一些作业题，要求学生独立完成，巩固所学知识。

九、延伸阅读推荐一些相关的数学书籍或者网上的资源，供学生进一步学习和拓展。

平行线的判定证明题平行线的判定证明题平行线的判定证明题1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等;(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等;(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行;(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行;(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线平行。

按这个判定，绝对没错。

这两种的第一条都没有办法判定，而后两条就完全可以按照第一条来判定，最后的结果一定是对的。

2平行线的性质：(1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等;(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等;(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

平行线的判定定理：(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行;(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行;(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线平行。

平行线的性质：在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线。

平行线的判定定理：(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行;(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行;(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线平行。

3光学原理。

延长GE角D于Q因为∠2=∠3，所以AB∥D由AB∥D可得∠1=∠GQD又∠1=∠4所以∠4=∠GQD所以GQ∥FH 即：GE∥FH因为∠2=∠3所以AB∥D所以角FE=角FEB所以大角HFE=大角FEG所以HF∥GE4)要证明AB∥GD，只要证明∠1=∠BAD即可，根据∠1=∠2，只要再证明∠2=∠BAD即可证得;(2)根据AB∥D，∠1：∠2：∠3=1：2：3即可求得三个角的度数，再根据∠EBA与∠ABD互补，可求得∠EBA的度数，即可作出判断.解答：解：(1)证明：∵AD⊥B，EF⊥B(已知)∴∠EFB=∠ADB=90°(垂直的定义)∴EF∥AD(同位角相等，两直线平行)(2分)∴∠2=∠BAD(两直线平行，同位角相等)(3分)∵∠1=∠2，(已知)∴∠1=∠BAD(等量代换)∴AB∥DG.(内错角相等，两直线平行)(4分)(2)判断：BA平分∠EBF(1分)证明：∵∠1：∠2：∠3=1：2：3∴可设∠1=k，∠2=2k，∠3=3k(k 0)∵AB∥D∴∠2+∠3=180°(2分)∴2k+3k=180°∴k=36°∴∠1=36°，∠2=72°(4分)∴∠ABE=72°(平角定义)∴∠2=∠ABE∴BA平分∠EBF(角平分线定义).(5分)。

平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理：定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补二、例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图，已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°，求证：DE∥AB 证明：∵∠B=∠BCG=110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF+ ∠B =180°（）即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴（∠＋∠）=100°＋80°=180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）变式1：如图，已知∠1＋∠2=∠APC，试说明AB∥CD的理由．变式2：如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课外拓展：例1、如图，B 处在A 处的南偏西450方向，C 处在B 处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD ∥AB ，D 处应在C 处的什么方向？例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”，现在你能用学过的知识说明理由吗？例3、如图(1)，线段AB//CD ，点P 是AB 、CD 间的－个点． (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系；(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧，那你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(3)如果点P 移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．12ACB FG E DAB 北 南DABC练习：1、如图1，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.2、如图2，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.图1 图2 图34、如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.6、下列结论中，正确的个数是多少个（）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°．试证AB∥EF．。

平行线的证明1、平行线的判断公理：同位角相等，两直线平行．定理：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．推理：平行于同一直线的两直线平行；垂直于同一直线的两直线平行．2、平行线的特征公理：两直线平行，同位角相等．定理：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．典题精炼1、定义与命题【例1】下列语句是命题的是（）A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点CC．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？【变式练习1】下列语句不是命题的是（）A．相等的角不是对顶角 B．两直线平行，内错角相等C．两点之间线段最短D．过点O作线段MN的垂线【变式练习2】下列说法中，错误的是（）A．所有的定义都是命题 B．所有的定理都是命题C．所有的公理都是命题D．所有的命题都是定理【例2】下列命题中，属于假命题的是（）A．若a⊥c，b⊥c，则a⊥b B．若a∥b，b∥c，则a∥cC．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥c，b∥a，则b⊥c【变式练习1】“一次函数y=kx-2，当k>0时，y随x的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）．【变式练习2】下列命题为假命题的是（）A．三角形三个内角的和等于180° B．三角形两边之和大于第三边C．三角形两边的平方和等于第三边的平方D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半【例3】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）A．垂直B．两条直线C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线【变式练习1】把“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果，那么”．【变式练习2】在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，CM、FN分别是AB、DE边上的中线，再从以下三个条件①AB=DE，②AC=DF，③CM=FN中任取两个条件做为条件，另一个条件做为结论，能构成一个真命题，那么题设可以是，结论是．（只填序号）【例4】对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1=50°，∠2=40°B．∠1=50°，∠2=50°C．∠1=∠2=45°D．∠1=40°，∠2=40°【变式练习1】证明命题“若x（1-x）=0，则x=0”是假命题的反例是．【变式练习2】用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．证明的第一步应是（）A．假设CD∥EF B．假设CD不平行于EFC．假设AB∥EF D．假设AB不平行于EF【例5】下列说法正确的是（）A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题C．真命题都是公理 D．定理都是真命题【变式练习1】“两点之间线段最短”是_________（填“定义”或“公理”或“定理”）．【变式练习2】“两条直线相交成直角，就叫做两条直线相互垂直”这句子是（）A．定义 B．命题 C．公理 D．定理2、平行线的判定和性质【例1】（2013年辽宁抚顺）如图，直线l1、l2被直线l3、l4所截，下列条件，不能判断直线l1∥l2的是（）A．∠1=∠3 B．∠5=∠4 C．∠5+∠3=180° D．∠4+∠2=180°【变式练习1】（2013年贵州铜仁）如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（）A．∠DAC=∠BCA B．∠DCB+∠ABC=180° C．∠ABD=∠BDC D．∠BAC=∠ACD【变式练习2】如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等【变式练习3】学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④【例2】（2013年贵州遵义）如图，直线l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．80°【变式练习1】如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=20°，则∠2=（）A．20° B．40° C．70° D．80°【变式练习2】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．14° B．15° C．20° D．30°【例3】如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积是．【变式练习1】如图，若AB∥CD∥EF∥GH，∠OAB=∠AOG=108°，AO⊥OE，CO⊥OG，则∠OCD+∠OEF= （这里∠OCD，∠OEF均小于180°）．【变式练习2】已知射线AB∥射线CD，点E、F分别在射线AB、CD上．（1）如图1，点P在线段EF上，若∠A=25°，∠APC=70°时，则∠C= ；（2）如图1，若点P在线段EF上运动（不包括E、F两点），则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是，证明你的结论；（3）①如图2，若点P在射线FE上运动（不包括线段EF），则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是；②如图3，若点P在射线EF上运动（不包括线段EF），则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是．【变式练习3】如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．3、三角形内角和定理【例1】（2013年福建泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【变式练习1】如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）A．10° B．12° C．15° D．18°【变式练习2】如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG=2∠ABF ；②BA 平分∠CBG ；③∠ABG=∠ACB ；④∠CFB=135°．其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②③④【变式练习3】如图所示是D ，E ，F ，G 四点在△ABC 边上的位置．根据图中的符号和数据，求x+y 的值（ ）A ．110B ．120C ．160D ．165【例2】一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°【变式练习1】如图所示，l 1∥l 2，则下列式子中值为180°的是（ ）A ．γβα++B ．γβα-+C ．αγβ-+D ．γβα+-【变式练习2】如图，已知△ABC 中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD 平分∠BAE ．（1）求证：BD=DE ；（2）若AB=CD ，求∠ACD 的大小． 【例3】如图：∠ABC 与∠ACG 的平分线交于F 1；∠F 1BC 与∠F 1CG 的平分线交于F 2；∠F 2BC 与∠F 2CG 的平分线交于F 3；如此下去，…探究∠Fn 与∠A 的关系（n 为自然数）．【变式练习1】已知△ABC 中，∠BAC=100°．（1）若∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，如图1所示，试求∠BOC 的大小；（2）若∠ABC 和∠ACB 的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O ，O 1，如图2所示，试求∠BOC 的大小；（3）如此类推，若∠ABC 和∠ACB 的n 等分线自下而上依次相交于O ，O 1，O 2…，如图3所示，试探求∠BOC 的大小与n 的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．【变式练习2】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交直线BC 于点E ．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E 的度数；（2）当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系，写出结论无需证明．4、培优训练【例1】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，分析发现∠BOC=90°+21∠A ，理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的角平分线【例2】如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．【例3】如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．【例4】如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．。

初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。

在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。

同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。

2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。

即如果l||n且m||n，则l||m。

3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。

即如果l∠n且m∠n，则l||m。

4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。

5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。

即如果l||m且m||n，则l||n。

6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。

即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。

7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。

8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。

9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。

以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。