4.2圆的认识(二)轴对称图形

圆的认识(二)知识点总结一、圆的对称性。

1. 轴对称性。

- 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。

圆有无数条对称轴。

- 例如，我们可以将一个圆形纸片沿着任意一条通过圆心的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这就体现了圆的轴对称性。

2. 中心对称性。

- 圆也是中心对称图形，对称中心为圆心。

- 把一个圆绕着圆心旋转任意一个角度后，都能与原来的图形重合。

在圆形的转盘游戏中，转盘绕着圆心旋转后，其位置虽然改变了，但形状和大小不变，这就是圆的中心对称性的体现。

二、弧、弦、圆心角的关系。

1. 定义。

- 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

例如在圆O中，∠ AOB的顶点O 是圆心，所以∠ AOB是圆心角。

- 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A、B为端点的弧记作overset{frown}{AB}。

- 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。

例如在圆O中，线段AB是弦，若AB经过圆心O，则AB是直径。

2. 关系定理。

- 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

- 例如，在圆O中，如果∠ AOB=∠ COD，那么overset{frown}{AB}=overset{frown}{CD}，AB = CD。

3. 推论。

- 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

- 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

三、圆周角。

1. 定义。

- 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

例如在圆O中，∠ACB的顶点C在圆上，且AC、BC都与圆相交，所以∠ ACB是圆周角。

2. 圆周角定理。

- 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

- 例如，在圆O中，弧overset{frown}{AB}所对的圆周角∠ ACB和圆心角∠ AOB，则∠ ACB=(1)/(2)∠ AOB。

圆的认识第二课时教学设计教学目标1、通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形。

2、进一步理解轴对称图形的特征，体会圆的对称性。

3、在折纸找圆心、验证圆是轴对称图形等活动中，发展空间观念。

教学重点理解圆的对称性。

教学难点找组合图形的对称性。

教学过程一、知识导入用一个圆形纸片折一折，观察：圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？那一个圆形纸片，画一条直径，把圆形纸片沿这条直径对折，直径两侧的部分能够完全重合，说明圆是轴对称图形，这条直径所在的直线就是圆的对称轴，因为圆有无数条直径，沿着任意一条直径对折圆，直径两侧的部分都能够完全重合，所以圆有无数条对称轴。

思考：我们学过的图形中哪些是轴对称图形？有几条对称轴？做一做，填一填。

二、引入新知（1）圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。

（2）利用圆的对称性确定圆心的方法把圆形纸片沿不同的方向任意折出两条直径（直径所在的直线即对称轴），两条直径（折痕）的交点就是圆心、拓展提高：图形的对称性分为三种情况。

（1）轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两侧能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。

（2）中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

（3）旋转对称图形：一个图形绕着一点旋转一定的角度（小于周角）后与原图形重合，这样的图形叫旋转对称图形，如正方形，等边三角形和圆。

三、例题精讲例1 请找出下面各图的对称轴。

4条4条6条6条过程讲解1、通过观察可知，这四个图形都是由圆和正方形或者正六边形组成的组合图形，并且圆心和正方形或者正六边形的中心重合。

2、画对称轴根据圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴可知，经过圆心的正多边形的对称轴就是该组合图形的对称轴。

正多边形的对称轴都经过中心点（即圆心），所以正多边形的对称轴就是该组合图形的对称轴。

画出并计数各组合图形的对称轴。

第一单元圆第2课时圆的认识（二）一、学情分析学生在低年级已经认识了什么是轴对称图形，通过知识迁移，学生能更快速掌握圆的对称性。

二、教学目标1.认识圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，体会圆的对称性。

2.通过对圆的学习，发展空间观念。

三、重点难点【教学重点】理解圆的对称性。

【教学难点】会找组合图形的对称轴。

四、教学过程设计第一板块【复习旧知引入新课】1.说一说这些图片都有什么特点？师：这些在我们生活中的图形很美，它们有什么特点呢？生：它们都是轴对称图形。

师：什么是轴对称图形呢？轴对称图形有什么特点？生：沿着对称轴折叠，左右两边能够完全重合。

师：上节课我们学习了圆，根据轴对称图形的特点，圆是轴对称图形吗？今天我们就来学习一下圆的对称性。

（板书课题：圆的认识（二））设计意图：利用已经学过的知识，唤起学生已有的知识经验，进一步为新知识的学习奠定基础。

第二板块【合作交流探索新知】1.圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？用一个圆形纸片，折一折。

师：拿出准备好的圆形纸片，折一折。

圆是轴对称图形吗？并说出你的理由。

（小组合作）生：对折后，圆的左右两边能够完全重合，所以圆是轴对称图形。

师：圆有多少条对称轴呢？试一试，把刚刚折叠的圆形纸片换一种折叠方式，还能否重合？（小组实际操作并交流）生：圆有无数条对称轴。

2.我们学过的图形哪些是轴对称图形？有几条对称轴？做一做，填一填。

正方形图形名称有几条对称轴师：回顾一下我们以前学习的几种图形，拿出准备好的图形纸片折一折，这些图形哪些是轴对称图形？哪些不是轴对称图形？是轴对称图形的画出对称轴。

（小组分工协作）师引导：数一数，其中是轴对称图形的你能画出几条对称轴？ 生齐声回答：正方形有4条对称轴 ，长方形有2条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆有无数条对称轴。

图形名称 正方形 长方形 等边三角形等腰三角形 等腰梯形 圆有几条对称轴4 2 3 11无数小结：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。

课后反思：一、六年级数学上册应用题解答题1．佳惠超市按商品标价的80%进行促销。

光明小学在此超市按促销价购买了200支钢笔，共付2040元。

（1）每支钢笔的标价是多少元？（2）如果每支钢笔超市的进价是8.5元，问超市是在进价基础上加价百分之几将这200支钢笔卖给光明小学的？2．如图是光明小学的运动场的示意图，阴影部分为跑道．求跑道的占地面积．3．如图，用两个完全相同的正方形拼成一个长方形，图1是在长方形内所作的最大半圆，图2是长方形外的最小半圆。

我们知道：①图1中，长方形的面积与半圆的面积比为 4π 。

②图2中，半圆的面积与长方形的面积比为 2π。

请从上面两个结论中选择一个，写出你的证明过程。

4．图中两个正方形的面积相差400平方厘米，则圆A 与圆B 的面积相差多少？5．列出综合算式，不计算。

一根电线先截去它的40％，还剩下12米，再截去多少米后，这时正好剩下这根电线全长的1？46．工程队挖一条水渠，第一天挖了全长的20%，第二天比第一天多挖72米，这时已挖的部分与未挖部分的比是4∶3，这条水渠长多少米？7．一辆快车与一辆慢车分别从甲、乙两站同时相对开出，在距中点5千米处相遇．已知快、慢车的速度比是3：2，甲、乙两站相距多少千米？（用方程解）8．一玩具商从批发行购进两种大小不同的玩具熊100个，共花了3600元。

在零售时，其中70个大号玩具熊以每个54元卖出。

（1）如果余下的小号玩具熊以每个15元售出，求玩具商在这次买卖中的盈利率。

（2）如果在大号玩具熊卖完后，每个小号玩具熊应定价多少元，才能使盈利率达到25%。

9．如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。

小圆的半径是2cm，大圆的半径是6cm。

（1）当小圆从大圆上的点A出发，沿着大圆滚动，第一次回到点A时，小圆的圆心走过路线的长度是多少厘米？（2）小圆未滚动时，小圆上的点M与大圆上的点A重合，从小圆滚动后开始计算，当点M 第10次与大圆接触时，点M更接近大圆上的点（）。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------圆的认识（二）教案《圆的认识（二）》教学设计教学目标：通过教学,使学生认识到圆是轴对称图形,且对称轴有无数条。

通过教学，使学生进一步加深对圆的认识，明白直径是圆内最长的线段。

通过教学，让学生进一步感受圆的美丽与神奇，从而体验数学的美。

教学重难点：使学生认识到圆是轴对称图形。

让学生明白直径是圆内最长的线段及圆的对称轴有无数条。

教具、学具准备教具、学具准备多媒体课件、圆形纸片等。

教学方法谈话、引导相结合法；自主探究法。

教学过程一、复习回顾教学过程一、复习回顾 1. 什么是轴对称图形？ 2. 我们学过哪些轴对称图形？它们的对称轴各有几条？学生回答后，老师依次课件展示。

二、自主探究 1.提出问题。

（1）圆是轴对称图形?吗如果是，如何验证？（2）圆如果是轴对称图形，它的对称轴应该有几条？ 2. 认识圆的对称轴自主探究。

（1）独立思考与操作。

请同学们拿出这样的原形纸片，请你找出它的的圆心、半径和直径，并把它画出来。

1 / 3（2）组内交流发现。

通过折一折，找一找，画一画，学生观察反馈：折痕将圆平均分成了两半；折痕刚好通过了圆心；通过折痕可以折无数条直径。

3.全班交流。

（1）多请几位同学表述自己的发现。

（2）课件展示，加深学生印象。

(3)课件出示例3：你能分别画出下面两个圆的对称轴吗？你能画出几条？．．．． 4.得出结论。

圆不仅是轴对称图形，而且对称轴有无数条。

每一条直径所在的位置都是它的对称轴。

也可以说通过圆心的直线是圆的对称轴。

5.拓展提升。

虽然圆是轴对称图形且对称轴有无数条，但由几个圆组合成的图形就不一定是轴对称图形了。

即使是，轴对称也不一定还有无数条。

（通过图形展示，让学生明白）三、巩固练习 1、完成数学书第59 页做一做第 2 题，感受对称图形的特征。

圆形对称图形的知识点总结
1. 圆的对称中心: 圆形是一种高度对称的图形，因此它的对称中心即为圆心。

无论是将圆
形沿着任何轴线进行翻转、旋转或倒影，都将得到一致的图形，因为圆形的每一点到圆心
的距离都相等。

2. 圆的轴对称: 圆形具有无数个轴对称轴线，这是因为圆形的任意一条直径都是它的轴对
称轴线。

将圆形沿着任意直径进行翻转、旋转或倒影，所得到的图形都与原图形完全一致。

3. 圆的中心对称: 圆形具有中心对称性，也就是说如果将圆形沿着圆心进行旋转180度，
那么所得到的图形与原图形将完全一致。

这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，因
此无论如何旋转，都将得到一致的图形。

4. 圆形的旋转对称: 圆形在任意角度的旋转下都具有对称性，也就是说无论将圆形旋转多
少度，所得到的图形都与原图形完全一致。

这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，
因此无论如何旋转，都将得到一致的图形。

5. 圆形的对称性质: 圆形的对称性质使得我们能够更好地理解和描述它的特征和性质。

通
过对称性的分析，我们可以得到许多重要的结论，例如圆形的面积公式和周长公式，圆形
的切线性质和弦的性质等等。

总之，圆形对称图形具有高度的对称性，包括轴对称、中心对称和旋转对称等多种对称性质。

这些对称性质使得我们能够更好地理解和描述圆形的特征和性质，为解决各种几何问
题提供了重要的理论基础。

因此，对圆形的对称性进行深入的研究和分析，有助于我们更
好地掌握几何学知识，提高解决问题的能力。

1/ 10第一单元 圆 第2课时 圆的认识（二）教材分析：本课时主要使学生认识到圆的轴对称性,与其他平面图形相比,圆具有很好的对称性:它是一个轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

本课时首先,通过折纸活动使学生认识到圆的对称轴必须经过圆心,直径所在的直线就是对称轴,因此圆有无数条对称轴。

接着,梳理已经学过的轴对称图形,与圆形进行比较,深刻认识圆的独特性:只有圆有无数条对称轴。

通过折纸活动找出圆心,认识到两条直径的交点就是圆心,并通过找圆心的方法培养学生的普遍化思维策略。

最后,通过找组合图形的对称轴体会正多边形的对称轴一定是圆的对称轴,这也是组合图形的对称轴,进一步体会圆的完美的对称性。

教学目标：1.通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形。

2.进一步理解轴对称图形的特征，体会圆的对称性。

3.在折纸找圆心，验证圆是轴对称图形等活动中，发展空间观念。

教学重点：认识圆是轴对称图形及区别于其他轴对称图形的特点。

教学难点：通过折纸活动找出圆的圆心,从而培养学生普遍化的思维策略。

2/ 10教学过程：【情境导入】展示图形，提出问题。

师：你知道下面图形中哪些是轴对称图形吗？课件出示：师：学生边讨论边回答再提出问题：什么是轴对称图形？引发学生思考。

师:(教师手持圆形卡片)那么我们新认识的伙伴“圆”是不是轴对称图形呢?它有什么不同于其他轴对称图形的特性?这节课我3/ 10一、探究圆的对称性请同学们拿出圆形纸片，动手试一试！师：圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？用一个圆形纸片，折一折。

课件展示折叠过程：继续沿着不同的方向折线，你们还发现了什么？然后小组讨论，找一找他们的对称轴。

课件展示：师：通过折纸活动，同学们能说一说圆有哪些特性吗？归纳：①圆是轴对称图形；4/ 10②直径所在的直线是圆的对称轴；③圆有无数条对称轴。

师：同学们，说的真好！那你们知道图形中哪些是轴对称图形？分别有几条对称轴？小组讨论，说说自己的想法。

圆的理解（二）教学设计教学内容：北师大版小学六年级数学（上册）第一单元第二课时：圆的理解（二）。

教学目标：1、通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形，能画出圆的对称轴。

2、进一步理解轴对称图形的特征，体会圆的对称性。

3、在折纸找圆心，验证圆是轴对称图形等活动中，发展学生的空间观点，培养学生使用圆的知识解决实际问题的水平，体会数学的应用价值。

教学重点：体会圆的对称性，找出圆心。

教学难点：进一步理解轴对称图形的特征，体会圆的对称性。

教具准备：教师：多媒体课件、圆形纸片等。

学生：圆形纸片、已学过平面图形纸片。

教学过程：一、情景导入课件出示轴对称图形图案1、提问：同学们，在学习新课之前，请大家仔细观察这几幅图，谁能告诉我，这几幅图有什么特点？2、谁能总结一下，轴对称图形的特征是什么？3、导入新课。

板书课题：圆的理解（二）二、互动新课1、探究圆的对称性。

（1）师：请同学们准备好的圆形纸片，认真观察并想一想，圆是轴对称图形吗？假如是，怎样实行验证呢？学生反馈汇报：圆是轴对称图形。

（2）探究圆有多少条对称轴。

师：在圆形小纸片上画一画，看看你能画出多少条对称轴？学生反馈汇报：圆有无数条对称轴。

（3）圆的对称轴的特点师：仔细观察你们所画的圆的对称轴，你发现了什么？学生观察思考，小组内讨论。

反馈汇报：直径所在的直线就是圆的对称轴。

因为同一个圆的直径有无数条，所以圆的对称轴也有无数条。

2、找轴对称图形的对称轴。

（1）师：请同学们回忆一下，我们学过的图形中哪些图形是轴对称图形？课件出示这些图形。

（2）师：这些轴对称图形分别有多少条对称轴？引导学生用画一画或折一折的方法，找出轴对称图形的对称轴。

课件显示这些图形的所有对称轴。

学生根据探究的结果，填写教材第5页的表格。

3、探究寻找圆心的方法。

（1）教师出示一个没有标出圆心的圆形小纸片，提问：同学们知道这个圆的圆心在什么地方吗？师：请同学们每人拿出一张圆形小纸片，自己想办法找一找小圆片的圆心，也能够小组合作找出圆心。

《圆的认识二》教案教学内容（课题）北师大版六年上册；第一单元《圆的认识二》教学目标1．通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形。

理解同一个圆里半径和直径的关系。

2．进一步理解轴对称图形的特征，体会圆的对称性。

3．通过折纸找圆心，验证圆是轴对称图形等活动，发展空间观念，运用所学的知识解决生活中的实际问题，感受数学与生活的密切联系，体会数学应用的价值。

教学重、难点重点：理解同一个圆的半径都相等，同一个圆里半径和直径的关系，并体会圆的对称性。

难点：进一步理解轴对称图形的特征，体会圆的对称性。

教学准备：教具：多媒体课件，圆规，三角板，剪刀，白纸。

一、预习案：1、亮亮剪出一个圆，这个圆的圆心在哪里？你有什么办法找出来？2、自己剪几个圆，折一折，你有什么发现？小组交流。

3、什么是对称图形？什么是对称轴？4、一个圆有多少条对称轴？5、同一个圆中直径和半么有什么关系？教学环节教师行为学生行为抛锚定标尝试自学引导学生动手找一找圆心在哪里。

引导学生找出圆的半径和直径，并比一比半径与直径的长度，得出正确的结论。

通过小组讨论、交流引导学生发现：(1)圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。

(2)在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍，半径是直径的一半。

学生动手折一折、找一找圆心在哪里？比一比、想一想，同一个圆的半径与直径的关系。

小组讨论：圆为什么轴对称图形？二、导学案：1、你是用什么办法找到圆心的？2、什么是轴对称图形？为什么说圆是轴对称图形？3、圆的对称轴在哪里？圆有多少条对称轴？4、在同一个圆里，直径的长度与半径的长度有什么关系？可以怎样表示？教学环节教师行为学生行为合作探究分层展示引导学生思考学过的图形是否有轴对称图形。

引导学生找到对称图形的对称轴。

小组合作：剪(画)出学过的图形（长方形、正方形、三角形、梯形等），折一折(画一画)，找出轴对称图形，讨论：有几条对称轴。

三、探究案：1、我们学过的图形中哪些是轴对称图形？分别有几条对称轴？教学环节教师行为学生行为教师点拨训练提升指导学生剪出与课本第8页完全相同的圆、正方形、等边三角形，沿中心点A 转动图形，引导学生找出规律。

圆的认识（二）教学内容：圆的认识（二），教材第6页～第8页内容。

教学目标知识与技能：1、通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形，理解同一个圆里半径和直径的关系2、进一步理解轴对称图形的特征，体会圆的对称性。

3、在折纸找圆心、验证圆是轴对称图形等活动中，发展空间观念。

过程与方法：通过动手实验、自主探究与合作交流等活动探索新知。

情感态度价值观：在活动过程中体验数学问题的探索性及教学结论的严谨性。

教学重点：发现圆是轴对称性图形，理解同一个圆里半径和直径的关系。

教学难点：理解同一个圆里半径和直径的关系。

教学过程：一、创设情境：亮亮借助光盘画了一个圆，剪出了一个圆纸片，这个圆的圆心在哪里呢？他很快找出来了。

你有办法找出来吗？二、探索活动：1、引导学生开展折纸活动，找到圆心。

（1）自己动手找到圆心。

（2）汇报交流找圆心的过程，并说出这样做的想法。

2、折一折，理解圆的对称性。

（1）操作与思考：请同学们再剪几个圆，折一折，并与同桌交流你发现了什么？（2）交流与发现：你发现了什么？怎么发现的？圆是轴对称图形。

（将圆对折，两边正好完全重合。

）直径所在的直线是圆的对称轴（任意一条直径对折，两边都能完全重合）圆有无数条对称轴。

3、通过折纸你还发现了什么？理解同一个圆里直径和半径的关系。

1。

同一个圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的21。

”这个结论是有一定条件师：“直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的2的，是什么条件呢？（同圆或等圆中）三、课堂练习。

2、完成第7页“练一练”第2题。

3、完成“填一填”，4、5题，有困难的向老师或同桌请教。

四、第7页“做一做”的三幅图，沿中心点A转动，同学们发现了什么？小组讨论后汇报：生：我发现圆是一个很特殊的图形，旋转任意一个角度后都与原图形重合。

生：正方形只有旋转90度才能与原图形重合。

生：等边三角形旋转120度与原图形重合。

引导学生进一步操作：你又发现了什么？生：我发现正方形旋转一周，与原图形重合4次; 等边三角形旋转一周与原图形重合3次；圆旋转一周与原图形重合无数次。