2021年九年级数学中考复习分类专题练习：等边三角形的判定与性质(三)

等边三角形的判定和性质(参考用时:30分钟)1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三角形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三角形,所以CE=AC=3.10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最小值为EB′==3.。

专题05 等边三角形的性质和判定（综合题）知识互联网易错点拨知识点1：等边三角形等边三角形定义：叫等边三角形.细节剖析:由定义可知，等边三角形是一种特殊的．也就是说等腰三角形包括．知识点2：等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于.知识点3：等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）的三角形是等边三角形；（2）的三角形是等边三角形；（3）是等边三角形．易错题专训一．选择题1．（2021秋•准格尔旗期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC ＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（2021•商河县二模）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．163．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．4．（2021秋•新昌县期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠P AN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形5．（2021秋•平阳县校级月考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6，DE＝2，则BC的长为（）A．2B．4C．6D．86．（2020秋•九龙坡区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC 于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二．填空题7．（2022春•保定期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为．8．（2020秋•玉州区期末）如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝6cm，DE＝4cm，则这个六边形的周长等于cm．9．（2020秋•海淀区校级期中）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝．10．（2021秋•海曙区期末）一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距海里．11．（2019秋•潮南区期中）两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C，如图所示．已知AC＝6，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．12．（2017秋•巢湖市期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形ADCP；其中正确的有（填上所有正确结论的序号）13．（2021秋•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）三．解答题14．（2021秋•涡阳县期末）“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．15．（2020秋•曾都区期末）学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．16．（2021春•城关区校级期中）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）17．（2021秋•孝南区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．18．（2022春•通川区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED ＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．19．（2021秋•台州期中）如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点M、N同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）若点M的运动速度是2cm/s，点N的运动速度是4cm/s，当N到达点C时，M、N两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BMN的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是2cm/s，且当点M到达点B时，M、N两点停止运动，设点M的运动时间为t（s），则当t为何值时，△MBN是直角三角形？20．（2021秋•香洲区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？。

1专题07 等边三角形的判定与性质知识对接考点一、等边三角形的判定与性质 1、性质： (1)三边相等.(2)三个内角相等,每一个内角都等于60°. (3)是轴对称图形,有三条对称轴. (4)面积:S=43a 2(a 为等边三角形的边长). 2、判定：(1)三边相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.专项训练一、单选题1．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，其中四边形OBCD 为平行四边形，连接AB ，AC ，则⊙A 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】A 【分析】连接OC ，先证明⊙OBC 是等边三角形，得到⊙BOC ＝60°，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】 解：连接OC ．⊙四边形OBCD为平行四边形，⊙OD＝BC，⊙OB＝OC＝OD，⊙OB＝OC＝BC，⊙⊙OBC是等边三角形，⊙⊙BOC＝60°，⊙BOC＝30°，⊙⊙BAC＝12故选A．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2．（2021·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学九年级二模）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O 上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（）A．36°B．30°C．25°D．22.5°【答案】B【分析】连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，⊙ABE=⊙CBG=α，先证明⊙OAB和⊙OBG 都是等边三角形，得到⊙OBA=⊙OBG=60°，再由⊙ABO+⊙OBG=⊙ABC+⊙CBG=120°，求解即可．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，⊙ABE=⊙CBG=α⊙正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，⊙OA=OB=OG=BG=AB，⊙⊙OAB和⊙OBG都是等边三角形，3⊙⊙OBA =⊙OBG =60°，⊙⊙ABO +⊙OBG =⊙ABC +⊙CBG =120°，⊙ABC =90°（正方形的性质）， ⊙⊙CBG =30°， ⊙α=30°， 故选B ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．（2021·西安市铁一中学）如图，在矩形ABCD 中，DAB ∠的平分线交BD 于点F ，CD 于点E ，15EAC ∠=︒，AB =EF 的长为（ ）A．2 BC．2 D1【答案】B 【分析】过点F 作FG AD ⊥于点G ，根据矩形性质证明OAD ∆是等边三角形，利用tan60=︒GF DG ，求出GF 的长，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，过点F 作FG AD ⊥于点G ，在矩形ABCD 中，EA 是DAB ∠的平分线， ⊙45DAE EAB AED ∠=∠=∠=︒， ⊙AD DE =，AG GF =， ⊙15EAC ∠=︒，⊙60=︒∠DAC ，⊙OAD ∆是等边三角形， ⊙60ADB ∠=︒， ⊙AB = ⊙2AD =，4BD =， ⊙2AD DE ==， ⊙AE =⊙60GDF ∠=︒，2=-=-DG AD AG GF ， ⊙tan60=︒GF DG ，⊙()2=-GF GF解得3=GF⊙==AF⊙(=-=EF AE AF ． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．（2021·海南三亚·九年级一模）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC ==ABC 绕点C 逆时针转60︒，得到MNC ，则BM 的长是（ ）A ．1B ．1C D ．2+【答案】B 【分析】连接AM ，BM 交AC 于D ，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AC =＝2，再根据旋转的性质得CM ＝CA ＝2，⊙ACM ＝60°，则可判断⊙ACM 为等边三角形，直接证BM 垂直平分AC ，然后利用等腰直角三角形和等边三角形的性质计算出BD 和MD ，从而得到BM 的长． 【详解】5解：连接AM ，BM 交AC 于D ，如图，⊙⊙ABC ＝90°，AB ＝BC = ⊙AC ===2，⊙⊙ABC 绕点C 逆时针转60°，得到⊙MNC ， ⊙CM ＝CA ＝2，⊙ACM ＝60°， ⊙⊙ACM 为等边三角形， ⊙MA ＝MC ， 而BA ＝BC ， ⊙BM 垂直平分AC ， ⊙BD 12=AC ＝1，MD ==2 ⊙BM ＝1 故选：B ． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质． 5．（2021·河北九年级）如图，直线AB 、CD 交于点O ，若AB 、CD 是等边MNP △的两条对称轴，且点P 在直线CD 上（不与点O 重合），则点M 、N 中必有一个在（ ）A ．AOD ∠的内部B ．BOD ∠的内部PC ．BOC ∠的内部D ．直线AB 上【答案】D 【分析】根据等边三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质解决问题即可． 【详解】 解：如图，⊙⊙PMN是等边三角形，⊙⊙PMN的对称轴经过三角形的顶点，⊙直线CD，AB是⊙PMN的对称轴，又⊙直线CD经过点P，⊙直线AB一定经过点M或N，故选：D．【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（2021·四川绵阳·）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（）A．2B．3C D【答案】D【分析】如图所示，等边三角形ABC，BC边上的高AD即为所求．【详解】解：如图所示等边三角形ABC，AD是BC边上的高，由题意可知AD的长即为所求，AB=2，⊙B=60°，⊙sinAD AB B==故选D．7【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三视图，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．（2021·四川雅安·）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若四边形OBCD 为菱形，A ∠为（ ）．A ．45°B ．60°C ．72°D ．36°【答案】B 【分析】根据菱形性质，得OB OD BC CD ===；连接OC ，根据圆的对称性，得OB OC OD ==；根据等边三角形的性质，得BOD ∠，再根据圆周角和圆心角的性质计算，即可得到答案． 【详解】⊙四边形OBCD 为菱形 ⊙OB OD BC CD === 连接OC⊙四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形 ⊙OB OC OD ==⊙OBC ，OCD 为等边三角形 ⊙60BOC COD ∠=∠=︒⊙120BOD BOC COD ∠=∠+∠=︒⊙1602A BOD ︒∠=∠=故选：B ． 【点睛】本题考查了圆内接多边形、等边三角形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、等边三角形、菱形、圆周角、圆心角的知识；从而完成求解．8．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，=AC 6BD =，点P 是AC 上一动点，点E 是AB 的中点，则PD PE +的最小值为（ ）A ．B ．C ．3D ．【答案】A 【分析】连接DE ，先根据两点之间线段最短可得当点,,D P E 共线时，PD PE +取得最小值DE ，再根据菱形的性质、勾股定理可得6AB =，然后根据等边三角形的判定与性质求出DE 的长即可得． 【详解】解：如图，连接DE ，由两点之间线段最短得：当点,,D P E 共线时，PD PE +取最小值，最小值为DE ，四边形ABCD 是菱形，=AC 6BD =， 11,3,22AB AD OB BD OA AC AC BD ∴=====⊥，6AB ∴=， 6AB AD BD ∴===，ABD ∴是等边三角形，9点E 是AB 的中点， 13,2AE AB DE AB ∴==⊥，DE ∴即PD PE +的最小值为 故选：A ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．9．（2021·天津）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）A ．ABC ADC ∠=∠B ．CB CD =C ．DE DC BC +=D ．AB CD ∥【答案】D 【分析】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，即可求出60ADC ∠=︒，由于60ABC ∠<︒，则可判断ABC ADC ∠≠∠，即A 选项错误；由旋转可知CB CE =，由于CE CD >，即推出CB CD >，即B 选项错误；由三角形三边关系可知DE DC CE +>，即可推出DE DC CB +>，即C 选项错误；由旋转可知DC AC =，再由60ADC ∠=︒，即可证明ADC 为等边三角形，即推出60ACD ∠=︒．即可求出180ACD BAC ∠+∠=︒，即证明//AB CD ，即D 选项正确；【详解】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒， ⊙点A ，D ，E 在同一条直线上， ⊙18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒， ⊙60ABC ∠<︒，⊙ABC ADC ∠≠∠，故A 选项错误，不符合题意； 由旋转可知CB CE =，⊙120EDC ∠=︒为钝角， ⊙CE CD >，⊙CB CD >，故B 选项错误，不符合题意； ⊙DE DC CE +>，⊙DE DC CB +>，故C 选项错误，不符合题意； 由旋转可知DC AC =， ⊙60ADC ∠=︒， ⊙ADC 为等边三角形， ⊙60ACD ∠=︒． ⊙180ACD BAC ∠+∠=︒，⊙//AB CD ，故D 选项正确，符合题意； 故选D ． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．10．（2021·安徽）如图，在ABC 中，AB ＝BC ＝3，⊙ABC ＝30°，点P 为ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，求P A +PB +PC 的最小值（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】将⊙ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到⊙BFE ，连接PF ，E C ．易证P A +PB +PC =PC +PF +EF ，因为PC +PF +EF ≥EC ，推出当P ，F 在直线EC 上时，P A +PB +PC 的值最小，求出EC 的长即可解决问题． 【详解】解：将⊙ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到⊙BFE ，连接PF ，E C ．11由旋转的性质可知：⊙PBF 是等边三角形， ⊙PB =PF ， ⊙P A =EF ，⊙P A +PB +PC =PC +PF +EF ， ⊙PC +PF +EF ≥EC ，⊙当P ，F 在直线EC 上时，P A +PB +PC 的值最小， 由旋转可知：BC =BE =BA =3，⊙CBE =⊙ABC +⊙ABE =90°， ⊙EB ⊙BC ， ⊙ECBC=⊙P A +PB +PC的最小值为 故选A ． 【点睛】本题旋转变换，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 二、填空题11．（2021·杭州市十三中教育集团（总校））如图，点D 是等边⊙ABC 边BC 上一点，将等边⊙ABC 折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF （点E 在边AB 上）． （1）当点D 为BC 的中点时，AE ：EB ＝________； （2）当点D 为BC 的三等分点时，AE ：EB ＝________．【答案】1：1 7：5或7：8 【分析】（1）连接AD ，然后根据折叠的性质和等边三角形的性质求解即可；（2）分当DC ：BD ＝1：2时，当DC ：BD ＝2：1时两种情况，利用相似三角形进行求解即可. 【详解】解：（1）如图，连接AD ，⊙D 为BC 的中点，⊙ABC 为等边三角形，折叠， ⊙AD ⊙BC ，⊙DAB ＝⊙DAC ＝1=2BAC ∠30°，⊙B ＝60°，⊙⊙EDB ＝90°﹣30°＝60°＝⊙B ， ⊙⊙BED 为等边三角形，⊙AE ＝ED ＝BE ，即AE ：EB ＝1：1， 故答案为：1：1；（2）当DC ：BD ＝1：2时， 设CD ＝k ，BD ＝2k ， ⊙AB ＝AC ＝3k ， ⊙⊙ABC 为等边三角形， ⊙⊙EDF ＝⊙A ＝60°，⊙⊙EDB +⊙FDC ＝⊙BED +⊙EDB ＝120°， ⊙⊙BED ＝⊙FDC ， ⊙⊙B ＝⊙C ＝60°， ⊙⊙BED ⊙⊙CDF ， ⊙=BE BED DC CDF 的周长的周长， ⊙54BE kk k， ⊙BE ＝54k ，⊙AE ＝74k ， ⊙AE ：BE ＝7：5，13当DC ：BD ＝2：1时， 设CD ＝2k ，BD ＝k ， 同上一种情况得：=BE BED DC CDF 的周长的周长， ⊙425BE kk k⊙BE ＝85k ， ⊙AE ＝75k， ⊙AE ：BE ＝7：8， 故答案为：7：5或7：8．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.12．（2021·陕西西安·交大附中分校）如图，在边长为6cm 的正六边形中，点P 在边AB 上，连接PD 、PE ．则PDE 的面积为______cm 2．【答案】【分析】首先求得正六边形的边心距，从而求得⊙PDE 边DE 上的高，利用三角形的面积公式求得答案即可．【详解】解：如图所示，连接OD 、OE ，此正六边形中DE＝6，则⊙DOE＝60°；⊙OD＝OE，⊙⊙ODE是等边三角形，⊙OG⊙DE，⊙⊙DOG＝30°，⊙OG＝OD•cos30°＝cm），⊙⊙PDE边DE上的高为2OG＝cm），cm2），⊙S⊙PDE＝12故答案为【点睛】此题考查了正六边形的性质，三角形面积的求法，解题的关键是根据题意作出辅助线．13．（2021·江苏九年级二模）若线段DE是等边⊙ABC的中位线，且DE＝2，则⊙ABC的周长为____．【答案】12．【分析】根据三角形中位线定理求出BC，根据等边三角形的概念计算即可．【详解】解：如图，⊙DE是⊙ABC的中位线，⊙BC＝2DE＝4，⊙⊙ABC为等边三角形，15⊙AB ＝AC ＝BC ＝4， ⊙⊙ABC 的周长为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的概念，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．（2021·山东滨州·）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，2AB =．若点P 是ABC 内一点，则PA PB PC ++的最小值为____________．【分析】根据题意，首先以点A 为旋转中心，顺时针旋转⊙APB 到⊙AP ′B ′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到P A +PB +PC =PP ′+P ′B ′+PC ，再根据两点之间线段最短，可以得到P A +PB +PC 的最小值就是CB ′的值，然后根据勾股定理可以求得CB ′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A 为旋转中心，顺时针旋转⊙APB 到⊙AP ′B ′，旋转角是60°，连接BB ′、PP ′，CB '，如图所示，则⊙P AP ′=60°，AP =AP ′，PB =P ′B ′， ⊙⊙APP ′是等边三角形， ⊙AP =PP ′，⊙P A +PB +PC =PP ′+P ′B ′+PC ，⊙PP ′+P ′B ′+PC ≥CB ′，⊙PP ′+P ′B ′+PC 的最小值就是CB ′的值， 即P A +PB +PC 的最小值就是CB ′的值， ⊙⊙BAC =30°，⊙BAB ′=60°，AB =AB '=2，⊙⊙CAB ′=90°，AB ′=2，AC =AB •cos ⊙BAC =2×cos 30°=2= ⊙CB=【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出P A +PB +PC 的最小值就是CB ′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．15．（2021·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边ABC ∆中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE CF =，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为___________．【答案】 【分析】首先证明120APB ∠=︒，推出点P 的运动轨迹是以O 为圆心，OA 为半径的弧．连接CO 交⊙O 于P'，当点P 运动到P'时，CP 取到最小值． 【详解】如图所示，⊙边长为6的等边ABC ∆，17⊙6AC AB ==，60ACB CAB ∠=∠=︒ 又⊙AE CF = ⊙()ACF BAE SAS ≅ ⊙CAP PBA ∠=∠⊙60EPA PBA PAB CAP PAB CAB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ⊙120APB ∠=︒⊙点P 的运动轨迹是以O 为圆心，OA 为半径的弧 此时120AOB ∠=︒连接CO 交⊙O 于P'，当点P 运动到P'时，CP 取到最小值 ⊙CA CB =，CO CO =，OA OB = ⊙()ACO BCO SSS ≅⊙30ACO BCO ∠=∠=︒，60AOC BOC ∠=∠=︒ ⊙90CAO CBO ∠=∠=︒ 又⊙6AC =⊙'tan 306OP OA AB ==⋅︒==cos30AB OC =⋅==︒⊙''CP OC OP =-==即min CP =故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强． 三、解答题16．（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，点E 是AC 的中点，且AC AD =（1）尺规作图：作CAD ∠的平分线AF ，交CD 于点F ，连结EF 、BF （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若45BAD ∠=︒，且2CAD BAC ∠=∠，证明：BEF 为等边三角形．【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出CAD ∠的平分线AF 即可解答；（2）根据直角三角形斜边中线性质得到12BE AC =并求出30BEC BAC ABE ∠=∠+∠=︒，再根据等腰三角形三线合一性质得出CF DF =，从而得到EF 为中位线，进而可证BE EF =，60BEF ∠=︒，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．【详解】解：（1）如图，AF 平分CAD ∠，（2）⊙45BAD ∠=︒，且2CAD BAC ∠=∠， ⊙30CAD ∠=︒，15BAC ∠=︒， ⊙AE EC =，90ABC ∠=︒， ⊙12BE AE AC ==， ⊙15ABE BAC ∠=∠=︒， ⊙30BEC BAC ABE ∠=∠+∠=︒， 又⊙AF 平分CAD ∠，AC AD =， ⊙CF DF =， 又⊙AE EC =， ⊙1122EF AD AC ==，//EF AD ，19⊙30CEF CAD ∠=∠=︒， ⊙60BEF BEC CEF ∠=∠+∠=︒ 又⊙12BE EF AC ==⊙BEF 为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理． 17．（2021·南山实验教育集团南海中学九年级三模）如图，BC 是O 的直径，点A 是O 上一点，点D 是BC 延长线上一点，AB AD =，AE 是O 的弦，30AEC ∠=．（1）求证：直线AD 是O 的切线； （2）若3CD =，求O 的半径；（3）若AE BC ⊥于点F ，点P 为ABE 上一点，连接AP ，CP ，EP ，请找出AP ，CP ，EP 之间的关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）EP AP +=，理由见解析 【分析】（1）先求出⊙BAD ＝120°，再求出⊙OAB ，进而得出⊙OAD ＝90°，即可得出结论； （2）先判断出⊙AOC 是等边三角形，得出AC ＝OC ，再判断出AC ＝CD ，即可得出结论； （3）先判断出⊙CAP ＝⊙CEM ，进而得出⊙ACP ⊙⊙ECM （SAS ），进而得出CM ＝CP ，⊙APC ＝⊙M ＝30°，再判断出MN =，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接AC OA ，，30AEC ∠=︒， 30ABC AEC ∴∠∠︒==，AB AD =，30D ABC ∴∠∠︒==，120BAD ∴∠=︒，OA OB =，，30OAB ABC ∴∠=∠=︒，90OAD BAD OAB ∴∠∠∠︒=-=，点A 在O 上， ⊙直线AD 是的切线； （2）解：如图1，连接AC ，由（1）知，30D ∠=︒，90OAD ∠=︒，9060AOC D ∴∠︒∠︒=-=，∴AOC △是等边三角形，OC AC ∴=，60OAC ∠=︒，30CAD OAD OAC D ∴∠∠-∠︒∠=＝=， 3AC CD ∴==，3OC ∴=，即O 的半径为3；（3）EP AP +=， 理由：如图， 30AEC ︒∠=， 30APC AEC ︒∴∠=∠=，连接AC ，延长PE 至M ，使EM AP =，连接CM ，AE BC ⊥，BC 为O 的直径，AC EC ∴=，四边形APEC 是O 的内接四边形，CAP CEM ∴∠=∠，∴()ACP ECM SAS ≅，21CM CP ∴=，30APC M ︒∠=∠=，过点C 作CN PM ⊥于N ，2PM MN ∴=，在Rt CNM △中，MNcos CMM =，MN cos30CM ∴︒=MN ∴=，2PM MN ∴===，PM PE EM PE AP =+=+，PE AP ∴+=，即EP AP +=． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．18．（2021·广州市八一实验学校九年级）如图，在⊙P AB 中，点C 、D 在AB 上，PC ＝PD ＝CD ，⊙A ＝⊙BPD ，求证：⊙APC ⊙⊙BPD ．【答案】见解析 【分析】根据PC ＝PD ＝CD ，可得出PCD 为等边三角形，即可得出PCD PDC ∠=∠,进而得出ACP PDB ∠=∠,再根据相似三角形的判定推出即可．【详解】证明：⊙PC ＝PD ＝CD ， ⊙PCD 为等边三角形， ⊙⊙PCD ＝⊙PDC 60=︒， ⊙120ACP PDC ∠=∠=︒, ⊙⊙A ＝⊙BPD ， ⊙⊙APC ⊙⊙PBD ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．19．（2021·黄石市有色中学九年级）如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）若2DG =，求AC 的长； （2）求证：AB AE AF =+． 【答案】（1）4；（2）见解析 【分析】（1）连接BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出⊙BAD =⊙DAC =12×120°=60°，再由AD =AB ，可得⊙ABD 是等边三角形，由等边三角形的性质得出DG =AG =12AD =2，，即可求解； （2）由⊙ABD 是等边三角形，得出BD =AD ，⊙ABD =⊙ADB =60°，证出⊙BDE =⊙ADF ，由ASA 证明⊙BDE ⊙⊙ADF ，得出AF =BE ，即可求解． 【详解】解：（1）证明：⊙AB =AC ，AD BC ⊥， ⊙⊙BAD =⊙DAC =12⊙BAC ， ⊙⊙BAC =120°，⊙⊙BAD =⊙DAC =12×120°=60°，⊙AD =AB ，⊙⊙ABD 是等边三角形， ⊙AD =AB =BD ， ⊙AD BC ⊥， ⊙DG =AG =12AD =2， ⊙AD =AB =AC =4， 即AC =4；（2）⊙⊙ABD 是等边三角形， ⊙⊙ABD =⊙ADB =60°，BD =AD ， ⊙AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，⊙⊙BAD=⊙DAC=12×120°=60°，⊙⊙ABD=⊙DAC，⊙⊙EDF=60°，⊙⊙ADB-⊙ADE=⊙EDF-⊙ADE，即⊙BDE=⊙ADF，⊙⊙BDE⊙⊙ADF（ASA），⊙BE=AF，⊙AB=AE+BE，⊙AB=AE+AF．【点睛】本题主要考查了三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．20．（2021·合肥市五十中学东校九年级三模）如图1，已知等腰直角ΔABC，⊙ACB＝90°，在直角边BC上取一点D，使⊙DAC＝15°，以AD为一边作等边ΔADE，且AB与DE相交．（1）求证：AB垂直平分DE；（2）连接BE，判断EB与AC的位置关系，并说明理由；（3）如图2，若F为线段AE上一点，且FC＝AC，求EFAF的值．【答案】（1）见解析；（2）互相平行；见解析；（3）1【分析】（1）根据⊙DAC＝15°及等腰直角三角形的性质，可得⊙DAB=30°，根据等边三角形的性质可得⊙EAB=30°，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由（1）的结论易得BD=BE，⊙EBA=⊙CBA=45°，即BE⊙BC，从而可得BE与AC的位置关系；（3）延长CF，与BE的延长线交于点G．易得CF=BF；其次由（2）的结论易得⊙G=30°，从而CG=2BC=2FC，即CF=GF，然后可证明⊙CAF⊙⊙GEF，从而得AF=EF，即可得结果．【详解】（1）⊙⊙ABC是等腰直角三角形，⊙ACB=90°⊙AC=BC，⊙CAB=⊙CBA=45°⊙⊙DAC=15°⊙⊙DAB=⊙CAB-⊙DAC=30°23⊙⊙ADE 是等边三角形 ⊙⊙DAE =60°⊙⊙EAB =⊙DAE -⊙DAB =30° ⊙⊙DAB =⊙EAB ⊙⊙ADE 是等边三角形 ⊙AB 垂直平分DE （2）互相平行 理由如下： ⊙AB 垂直平分DE ⊙BD =BE⊙⊙EBA =⊙CBA =45° ⊙⊙EBC =⊙EBA +⊙CBA =90° 即⊙EBC +⊙ACB =180° ⊙BE ⊙AC（3）延长CF ，与BE 的延长线交于点G ，如图所示⊙⊙F AC =⊙DAE +⊙DAC =75°，FC =AC ⊙⊙CF A =⊙F AC =75° ⊙⊙FCA =180°－2×75°=30° ⊙AC =BC ，AC =FC ⊙BC =FC由（2）知：BE ⊙AC ⊙⊙G =⊙FCA =30° ⊙⊙EBC =90° ⊙CG =2BC =2FC ⊙CF =GF在⊙CAF 和⊙GEF 中 FCA G CF GFCFA GFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩⊙⊙CAF ⊙⊙GEF (ASA ) ⊙AF =EF ⊙1EFAF=25【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，第（3）问的关键是作辅助线，构造三角形全等．21．（2021·广西柳州市·）如图，已知ABC 中，AC BC =，以BC 为直径的O 交AB 于E ，过点E 作EG AC ⊥于G ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若30F ∠=︒，求证：24FG FC FB =⋅； （3）当6BC =，4EF =时，求AG 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）245【分析】（1）连接EC ，OE ，由BC 为O 的直径，可得90BEC ∠=︒，由AC BC =，可得E 为AB 中点，由O 为BC 中点，利用中位线性质可得OE∥AC ，由EG AC ⊥，可得OE EG ⊥即可； （2）由OE OC =，可得OEC OCE ∠=∠，由EF 为圆的切线，可得90FEC OEC ∠+∠=︒，由90BEC ∠=︒，可得90B BCE ∠+∠=︒，可证FEC FBE △∽△，可得2FE FC FB =⋅，当30F ∠=︒时，可求60FOE ∠=︒，可证OEC △为等边三角形，可得30FEC F ∠=︒=∠，可证2FE FG =即可；（3）由（2）得2FE FC FB =⋅，可得()246FC FC =⋅+，解得2FC =或FC =-8舍去，可证FCG FOE △∽△，可得253CG=，可求65CG =即可． 【详解】解：（1）证明：连接EC ，OE ， ⊙BC 为O 的直径， ⊙90BEC ∠=︒， ⊙CE AB ⊥， 又⊙AC BC =， ⊙E 为AB 中点， 又⊙O 为BC 中点， ⊙OE∥AC ，又⊙EG AC ⊥， ⊙OE EG ⊥， 又OE 为O 的半径， ⊙FE 是O 的切线．（2）⊙OE OC =， ⊙OEC OCE ∠=∠， ⊙EF 为圆的切线， ⊙90FEC OEC ∠+∠=︒， ⊙90BEC ∠=︒ ⊙90B BCE ∠+∠=︒， ⊙FEC B ∠=∠， 又⊙F F ∠=∠， ⊙FEC FBE △∽△， ⊙FE FCFB FE=， ⊙2FE FC FB =⋅，当30F ∠=︒时，60FOE ∠=︒， 又OE OC =，⊙OEC △为等边三角形， ⊙60OEC ∠=︒， ⊙30FEC F ∠=︒=∠， ⊙CE CF =， 又CG FE ⊥， ⊙2FE FG =， ⊙()22FG FC FB =⋅， 即24FG FC FB =⋅．（3）由（2）得2FE FC FB =⋅， 又6BC =，4FE =，FB=BC +FC =6+FC ，27⊙()246FC FC =⋅+，因式分解得（FC +8）（FC -2）=0， 解得2FC =或FC =-8舍去， ⊙6BC =， ⊙132OE OC BC ===，6AC BC ==， ⊙235FO FC CO =+=+=， ⊙CG∥OE ，⊙⊙GCF =⊙EOF ，⊙FGC =⊙FEO ， ⊙FCG FOE △∽△， ⊙FC CG FO OE =，即253CG=， ⊙65CG =， ⊙624655AG AC CG =-=-=． 【点睛】本题考查圆的切线判定，直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，中位线性质，三角形相似判定与性质，等边三角形判定与性质，掌握圆的切线判断，直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，中位线性质，三角形相似判定与性质，等边三角形判定与性质是解题关键． 22．（2021·江苏九年级）如图，⊙ABC 为等边三角形，AB ＝6，将边AB 绕点A 顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD ，连接CD ，CD 与AB 交于点G ，⊙BAD 的平分线交CD 于点E ，F 为CD 上一点，且DF ＝2CF ． （1）当⊙EAB ＝30°时，求⊙AEC 的度数；（2）当线段BF 的长取最小值时，求线段AG 的长； （3）请直接写出⊙ADE 的周长的最大值．【答案】（1）60°；（2）AG ＝12；（3）6＋【分析】（1）用角平分线的性质和旋转性质即可；（2）作FM ⊙AD ，连接BM ，FM ＝2，点F 的运动轨迹是以M 为圆心、2为半径的圆，当B、F 、M 共线时，BF 取最小值； 由⊙ADG ⊙⊙BFG 可求AG ；（3）连接BE ，设BAE α∠=，AE 平分BAD ∠，可得,DAE ED EB α==∠，得到A E B C 、、、四点共圆，作ABC 的外接圆O ，CAB △是等边三角形，可将CAB △绕点C 顺时针旋转60︒得到CAN △，得E 、A 、N 三点共线，求出AE DE +的最大值，即可求出ADE 的周长. 【详解】（1）⊙AD 由AB 旋转得到AD =AB ⊙AE 平分BAD ∠ ⊙30DAE EAB ∠=∠=︒ ⊙120DAC ∠=︒ ⊙30D ∠=︒⊙=AEC D DAE ∠+∠∠ ⊙⊙AEC ＝60°； （2）如图，⊙CA =AB =6 ⊙2163CM CD ==，⊙13CM CA =，13FM AD =， 又DF 2CF = ⊙13CF CD = ⊙13CF CM CD CA == 又MCF ACD =∠∠ ⊙MCF ACD ∽∠∠ ⊙12,3MF AD CFM D ====∠∠ ⊙FM ＝2，⊙点F 的运动轨迹是以M 为圆心、2为半径的圆， ⊙当B 、F 、M 共线时，BF 取最小值 即min 2BM BM MF BM =-=- ⊙2,6,60CM BC ACB ===︒∠⊙BM =29⊙min 22BM BM MF BM -=-== ⊙CFM D =∠∠ ⊙FH ⊙AD又BF 取最小值点F 在BM 上， ⊙BFAD⊙⊙ADG ⊙⊙BFG ⊙AD AGBF BG=，6AGAG=-，⊙12AG ＝；⊙当BF取最小值时，12AG ＝ （3）如图，连接BE ，设BAE α∠= ⊙AE 平分BAD ∠ ⊙,DAE ED EB α==∠ ⊙602DAC α=︒+∠ 又60ABC ∠=︒ ⊙A E B C 、、、四点共圆作ABC 的外接圆O ，则点F 在O 上， 180CBE CAE +=︒∠∠又CAB △是等边三角形，⊙可将CBF 绕点C 顺时针旋转60︒得到CAN △ 由旋转的性质得：,,60CN CE AN EB ECN ===︒∠,CAN CBE =∠∠ ⊙180CAN CAE +=︒∠∠ ⊙E 、A 、N 三点共线 ⊙ECN 为等边三角形，⊙,AE ED AE EB AE AN EN CE +=+=+== ⊙6AB =⊙ABC 的外接圆O 的半径R ==R⊙CE 的最大值为2R =即AE DE +的最大值为⊙ADE 的周长是AD AE DE ++⊙ADE 的周长是6+ 【点睛】本题考查了三角形相似的性质和判定,等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建辅助圆来确定线段的最值问题.23．（2021·甘肃庆阳·九年级二模）如图，等边三角形ABC 的外部有一点P ，且30BPA ∠=︒，将AP 绕点B 逆时针旋转60°得到CQ ，连接BQ ．（1）求证：ABP CBQ ≌△△．（2）若4AP =，3BP =，求P ，C 两点之间的距离． 【答案】（1）见解析（2）5 【分析】（1）由旋转的性质可知，对应边相等，旋转角相等，用“边角边”证明三角形全等即可 （2）连接,PQ PC ，根据已知条件构造直角三角形，用勾股定理求得P C ，的距离 【详解】（1）由旋转的性质可知，,,60AB CB PB QB PBQ ABC ==∠=∠=︒PBA PBQ QBA ABC QBA QBC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠ABP CBQ ∴≌（SAS ）（2）连接,PQ PC,60PB BQ PBQ=∠=︒PBQ∴为等边三角形60PQB∴∠=︒,3PQ BQ==ABP CBQ≌△△∴30BPA BQC∠=∠=︒,4QC AP==603090PQB PQB BQC∴∠=∠+∠=︒+︒=︒222PC PQ QC∴=+5PC∴==【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键．31。

2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：全等三角形的判定与性质综合（附答案）1．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50B．62C．65D．682．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a23．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM 平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．14．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF ＝b，EF＝c，则AD的长为（）A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c5．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定6．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD ⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF ≌△CDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则这四个结论中正确的有（）①P A平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．A．4个B．3个C．2个D．1个10．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD ＝CD，AB＝CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．112．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF ＝45°，则CF的长为（）A．2B．3C．D．14．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．15．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝°．16．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝6，则四边形ABCD的面积为．18．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC．其中所有正确结论的序号是．19．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝8，则CE＝．20．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD 的长为．21．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC，其中正确的是（填序号）22．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积为24cm2，则AC长是cm．23．如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB ＝4，则三角形ABC的面积是．24．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是．25．如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：①∠BEC＝∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEB+∠ACE＝90°，其中正确的结论有（将所有正确答案的序号填写在横线上）．26．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝80°，则∠BCA的度数为．27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE ＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为．28．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．29．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B ＝∠E＝30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．30．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．31．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．32．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．（1）求证：BD＝CE；（2）求证：∠M＝∠N．33．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．34．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．35．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD；（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数．参考答案1．解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB＝∠EF A＝∠BGA＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°⇒∠EAF＝∠ABG，∴AE＝AB，∠EF A＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG⇒△EF A≌△AGB，∴AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△CHD得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝F A+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故选：A．2．解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM+∠MEQ＝90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN＝S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝a，∵EC＝2AE，∴EC＝a，∴EP＝PC＝a，∴正方形PCQE的面积＝a×a＝a2，∴四边形EMCN的面积＝a2，故选：D．3．解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；∵∠AOB＝∠COD，∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM∵△AOC≌△BOD，∴∠COM＝∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB∴OA＝OC与OA＞OC矛盾，∴③错误；正确的个数有3个；故选：B．4．解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE，∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，∵EF＝c，∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故选：D．5．解：在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠CAD＝∠EAD，在△ACP和△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE＝PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，∴m+n＞b+c．故选：A．6．解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，∴②正确；在△ABP和△DBQ中，，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP＝BQ，∴△BPQ为等边三角形，∴③正确；∵∠DMA＝60°，∴∠AMC＝120°，∴∠AMC+∠PBQ＝180°，∴P、B、Q、M四点共圆，∵BP＝BQ，∴，∴∠BMP＝∠BMQ，即MB平分∠AMC；∴④正确；综上所述：正确的结论有4个；故选：D．7．解：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；∵AE＝2BF，∴AC＝3BF，故④正确．故选：A．8．解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，∴△BDF≌△CDE，故④正确；由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正确；∵AD是△ABC的中线，∴△ABD和△ACD等底等高，∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD∴BF∥CE，故③正确．故选：D．9．解：（1）P A平分∠BAC．∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，AP＝AP，∴△APR≌△APS，∴∠P AR＝∠P AS，∴P A平分∠BAC；（2）由（1）中的全等也可得AS＝AR；（3）∵AQ＝PR，∴∠1＝∠APQ，∴∠PQS＝∠1+∠APQ＝2∠1，又∵P A平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠1，∴∠PQS＝∠BAC，∴PQ∥AR；（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP＝∠CSP，∵PR＝PS，∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．故选：B．10．解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；∴∠ADB＝∠CDB，在△AOD与△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC，∴AC⊥DB，故①②正确；故选：D．11．解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN，∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故（4）错误，故选：B．12．解：当∠D＝∠B时，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS），13．解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝3，CB＝6，∴BE＝＝＝3，∴AE＝3，设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，∴EF＝＝，∴（9﹣x）2＝9+x2，即AF＝4，∴GF＝5，∴DF＝2，∴CF＝＝＝2，故选：A．14．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案为：55°．15．解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．故答案为：135．16．解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD＝AE＝2，AC＝AB＝5，∴CE＝BD＝AB﹣AD＝3，故答案为3．17．解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；∵∠BAD＝∠BCD＝90°∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAN；在△ABM与△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；由勾股定理得：AC2＝AM2+MC2，而AC＝6；∴2λ2＝36，λ2＝18，故答案为：18．18．解：∵△ABO≌△ADO，∴AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，∠AOB＝∠AOD＝90°，OB＝OD，∴AC⊥BD，故①正确；∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴∠COB＝∠COD＝90°，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确；∴BC＝DC，故②正确．故答案为：①②③．19．解：如图，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE＝8，∴CE＝4．故答案为：4．20．解：在AD的上方过点A作AD′⊥AD，使得AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD＝∠DAD′+∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD＝CD′．∠DAD′＝90°由勾股定理得DD′＝，∠D′DA+∠ADC＝90°由勾股定理得CD′＝，∴BD＝CD′＝，故答案为：．21．解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），∴①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，∴②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC，∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，∴EF≠EC，∴③错误；④由③知AD＝AE＝EC，∴④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故答案是：①②④．22．解：延长CD至点E，使DE＝BC，连接AE，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠2+∠B＝180°，∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠B＝180°，∴∠1＝∠B，在△ABC与△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠EAD＝∠BAC，AC＝AE，S△AEC＝S四边形ABCD ∵∠BAD＝90°，∴∠EAC＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形，∵四边形ABCD的面积为24cm2，∴AC2＝24，解得AC＝4或﹣4，∵AC为正数，∴AC＝4．故答案为：4．23．解：∵四边形ACDF是正方形，∴AC＝AF，∠CAF＝90°，∴∠EAC+∠F AB＝90°，∵∠ABF＝90°，∴∠AFB+∠F AB＝90°，∴∠EAC＝∠AFB，在△CAE和△AFB中，，∴△CAE≌△AFB，∴EC＝AB＝4，∴阴影部分的面积＝×AB×CE＝8，故答案为：8．24．解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠FED＝∠EF A＝∠BGA＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°⇒∠EAF＝∠ABG，∴AE＝AB，∠EF A＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG⇒△EF A≌△ABG同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝F A+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故答案为50．25．解：①BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC，∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝ACD，∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠CBE+∠BEC，∴∠EBC+∠BEC＝（∠BAC+∠ABC）＝∠EBC+BAC，∴∠BEC＝∠BAC，故①正确；∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．③BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵GE∥BC，∴∠CBE＝∠GEB，∴BG＝GE，同理CH＝HE，∴BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH，故③正确．④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，∵BE平分∠ABC，∴EM＝ED，∵CE平分∠ACD，∴EN＝ED，∴EN＝EM，∴AE平分∠CAM，设∠ACE＝∠DCE＝x，∠ABE＝∠CBE＝y，∠MAE＝∠CAE＝z，如图，则∠BAC＝180°﹣2z，∠ACB＝180﹣2x，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x＝180°，∴x+z＝y+90°，∵z＝y+∠AEB，∴x+y+∠AEB＝y+90°，∴x+∠AEB＝90°，即∠ACE+∠AEB＝90°，故④正确；故答案为：①③④．26．解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO＝∠BCO，在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB，∴∠D＝∠CBO，∵∠BAC＝80°，∴∠BAD＝100°，∴∠BAO＝40°，∴∠DAO＝140°，∵AD＝AO，∴∠D＝20°，∴∠CBO＝20°，∴∠ABC＝40°，∴∠BCA＝60°，故答案为：60°．27．解：（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM ⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴BN＝CN，∠B＝∠ACB＝30°．在Rt△BAN中，∠B＝30°，AB＝2，∴AN＝AB＝，BN＝＝3，∴BC＝6．∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠CAE＝60°，∴∠F AE＝∠F AC+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝60°．在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE＝FE．∵BD＝2CE，BD＝CF，∠ACF＝∠B＝30°，∴设CE＝2x，则CM＝x，EM＝x，FM＝4x﹣x＝3x，EF＝ED＝6﹣6x．在Rt△EFM中，FE＝6﹣6x，FM＝3x，EM＝x，∴EF2＝FM2+EM2，即（6﹣6x）2＝（3x）2+（x）2，解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），∴DE＝6﹣6x＝3﹣3．故答案为：3﹣3．（方法二）：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝∠B＝∠ACF＝30°，∴∠ECG＝60°．∵CF＝BD＝2CE，∴CG＝CE，∴△CEG为等边三角形，∴EG＝CG＝FG，∴∠EFG＝∠FEG＝∠CGE＝30°，∴△CEF为直角三角形．∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠CAE＝60°，∴∠F AE＝∠F AC+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝60°．在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE＝FE．设EC＝x，则BD＝CF＝2x，DE＝FE＝6﹣3x，在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，CF＝2x，EC＝x，EF＝＝x，∴6﹣3x＝x，x＝3﹣，∴DE＝x＝3﹣3．故答案为：3﹣3．28．证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．又∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．29．解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC＝AB，∴BD＝AD＝AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1＝S2；故答案为：DE∥AC；S1＝S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1＝S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE＝DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1＝S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC＝60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D＝∠ABC＝60°，∵BF1＝DF1，∠F1BD＝∠ABC＝30°，∠F2DB＝90°，∴∠F1DF2＝∠ABC＝60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1＝DF2，∵BD＝CD，∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC＝∠DCB＝×60°＝30°，∴∠CDF1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∠CDF2＝360°﹣150°﹣60°＝150°，∴∠CDF1＝∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×60°＝30°，又∵BD＝4，∴BE＝×4÷cos30°＝2÷＝，∴BF1＝，BF2＝BF1+F1F2＝+＝，故BF的长为或．30．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠E．∵∠DAE＝90°，∴∠E+∠ADE＝90°．∴∠ADB+∠ADE＝90°．即∠BDE＝90°．∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．31．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CF A＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠F AE＝∠F AC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．32．（1）证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAE＝∠2+∠DAE，即∠BAN＝∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M＝∠N．33．（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC＝BE，AC＝DE．∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴∠BCF＝∠BEF＝90°．在Rt△BFC和Rt△BFE中，∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．∴CF＝EF．又∵AF+CF＝AC，∴AF+EF＝DE．（2）解：画出正确图形如图②∴（1）中的结论AF+EF＝DE仍然成立；（3）成立．证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴△BCF≌△BEF（HL），∴CF＝EF；∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，∴AF＝AC+FC＝DE+EF．34．（1）证明：∵点D是AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠CBD＝45°，∴∠CAE＝∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF＝90°，又∵∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACE＝∠CBG，在△AEC和△CGB中，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE＝CG，（2）解：BE＝CM．证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH＝90°，∠BEC+∠MCH＝90°，∴∠CMA＝∠BEC，又∵∠ACM＝∠CBE＝45°，在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE＝CM．35．解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），。

2021年九年级数学中考复习分类专题：等边三角形的判定与性质（一）一．选择题1．关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形2．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（）A．B．C．D．3．如图，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，CD为直径，若AB＝1，则四边形ABCD 的面积的最大值为（）A．B．4C．D．4．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC 边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a5．如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝a，则△MGQ周长是（）A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a6．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为（）A．B．4 C．D．4.57．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④8．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F 分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，1），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2018A2018A2019，则点A2019的纵坐标为（）A．（）2016B．（）2017C．（）2018D．（）2019二．填空题11．已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝，则∠AOD＝，∠COD ＝．12．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为．13．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝米．14．如图，在△ABC中，AB＝1.8，BC＝3.9，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，∠ACB＝60°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠FDE＝60°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是．三．解答题16．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．17．在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP ＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②求证：PA＝PM．18．如图1，图2，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC边上的两个动点（与点A、B、C不重合），始终保持BD＝CE．（1）当点D、E运动到如图1所示的位置时，求证：CD＝AE．（2）把图1中的△ACE绕着A点顺时针旋转60°到△ABF的位置（如图2），分别连接DF、EF．①找出图中所有的等边三角形（△ABC除外），并对其中一个给予证明；②试判断四边形CDFE的形状，并说明理由．19．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．20．已知在平面直角坐标系内A（4，0）、B（2，0），点P是y轴正半轴上一个动点，联结AP．过点O作OD⊥PA，垂足为D．联结BD并延长交y轴于点F．（1）如果OD＝2，求PF的长；（2）如果PD＝PF，求OP的长．21．如图所示，已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n等分（n为大于2的整数），并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形．（1）当n＝5时，共向外作出了个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为，这些小等边三角形的面积和为；（用含S的式子表示）（2）当n＝k时，共向外作出了个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为，这些小等边三角形的面积和为；（用含k和S的式子表示）（3）若大等边三角形的面积为100，则当n＝10时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？参考答案一．选择题1．解：A、等边三角形中，各边都相等，此选项正确；B、等边三角形是特殊的等腰三角形，此选项错误；C、两个角都等于60°的三角形是等边三角形，此选项正确；D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项正确；故选：B．2．解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°∵CE＝CD，CF＝CB∴CE＝CF＝∴△CEF为等边三角形∴S△CEF＝＝故选：D．3．解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF ⊥CD，BG⊥CD于点E、F、G，∵AB＝1，⊙O的半径＝1，∴OH＝，∵垂线段最短，∴HF＜OH，∴HF＝（AE+BG），∴S四边形ABCD＝S△AOC+S△AOB+S△BOD＝×＝，＝，，故选：C．4．解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．5．解：∵△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP∴△MNP是等边三角形．又∵MQ⊥PN，垂足为Q，∴PM＝PN＝MN＝4，NQ＝NG＝2，MQ＝a，∠QMN＝30°，∠PNM＝60°，∵NG＝NQ，∴∠G＝∠QMN，∴QG＝MQ＝a，∵△MNP的周长为12，∴MN＝4，NG＝2，∴△MGQ周长是6+2a．故选：D．6．解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．∵∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE．又∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AE＝5，AD＝3，于是DE＝，∴CD＝DE＝4．故选：B．7．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．8．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．9．解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．10．解：∵三角形OAA1是等边三角形，∴OA1＝OA＝1，∠AOA1＝60°，∴∠O1OA1＝30°．在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1＝90°，∠O1OA1＝30°，∴O1A1＝OA1＝，即点A1的纵坐标为；同理，O2A2＝O1A2＝（）2，O3A3＝O2A3＝（）3，即点A2的纵坐标为（）2，点A3的纵坐标为（）3，…∴点A2019的纵坐标为（）2019．故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：如图，在△AOD中，∵OA2+OD2＝22+22＝8，AD2＝（2）2＝8，∴OA2+OD2＝AD2，∴∠AOD＝90°；连接OC，∵OA＝OC＝AC＝2，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°．∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝60°+90°＝150°或∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°．故答案为：90°；150°或30°．12．解：如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M．由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，∵∠A＝∠B＝60°，△ABC是等边三角形，∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH，∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m．故答案为：200m．13．解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BC＝48米，∴AC＝48米．故答案为：48．14．解：由旋转的性质可得：AD＝AB，∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB，∵AB＝1.8，BC＝3.9，∴CD＝BC﹣BD＝3.9﹣1.8＝2.1．故答案为：2.1．15．解：E的运动路径是线段EE'的长；∵AB＝3，∠ACB＝60°，∴BC＝，当F与A点重合时，在Rt△ADE'中，AD＝，∠ADE'＝60°，∴DE'＝AD＝，∠CDE'＝30°，当F与C重合时，∠EDC＝60°，∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°，在Rt△DEE'中，EE'＝＝＝；故答案为．三．解答题（共6小题）16．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形．17．解：（1）∵△ABC为等边三角形∴∠B＝60°∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°∵AP＝AQ∴∠AQB＝∠APC＝80°，（2）①补全图形如图所示，②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．由△ABC为等边三角形，AP＝AQ，可得∠PAB＝∠QAC，∵点Q，M关于直线AC对称，∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，∵AP＝AM，∴△APM为等边三角形∴PA＝PM．18．证明：（1）∵△ABC是正三角形，∴BC＝CA，∠B＝∠ECA＝60°，又∵BD＝CE，∴△BCD≌△CAE，∴CD＝AE．（2）①图中有2个正三角形，分别是△BDF，△AFE．由题设，有△ACE≌△ABF，∴CE＝BF，∠ECA＝∠ABF＝60°，又∵BD＝CE，∴BD＝CE＝BF，∴△BDF是正三角形，∵AF＝AE，∠FAE＝60°，∴△AFE是正三角形．②四边形CDFE是平行四边形．∵∠FDB＝∠ABC＝60°，∴FD∥EC，又∵FD＝FB＝EC，∴四边形CDFE是平行四边形．19．解：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．20．解：（1）∵OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，∵OD＝2，OA＝4，∴OD＝OA，∴∠OAP＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OB＝2，∴OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBF＝60°，∴OF＝OB＝2，∵OP＝OA＝，∴PF＝OF﹣OP＝；（2）∵PF＝PD，∴∠PFD＝∠PDF，∵OB＝2，OA＝4，∴OB＝AB，∵OD⊥AP，∴BD＝AB，∴∠ADB∠BAD，∵∠PDE＝∠ADB，∴∠PFD＝∠PDF＝∠ADB＝∠BAD，∵∠POD+∠AOD＝AOD+∠OAD＝90°，∴∠POD＝∠OAD，∴∠POD＝∠OFD，∴OD＝DF，∴OD＝BD＝2，∴OD＝OA，∴∠OAD＝30°，∴OP＝OA＝．21．解：（1）当n＝5时，共有3×（5﹣2）＝9个小等边三角形，∴每个小三角形与大三角形边长的比＝，∵大三角形的面积是S，∴每个小三角形的面积为S，这些小等边三角形的面积和为S；（2）由（1）可知，当n＝k时，共有3×（k﹣2）＝3（k﹣2），每个小等边三角形的面积为S，每个小三角形的面积和为S．故答案为：（1）9，S，S；（2）3（k﹣2），S，S；（3）当S＝100，n＝10时，3（n﹣2）＝3×（10﹣2）＝24（个），S ＝×100＝24．即共向外作出了24个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为24．21 / 21。

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_等边三角形的性质，综合题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_三角形_等边三角形的性质，综合题专训1、(2017宿迁.中考模拟) 如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，．求BE的长．2、(2019浙江.中考模拟) 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E.（1）求证：△ABD∽△CED.（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长.3、(2019宁波.中考模拟) 如图（1），P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P 叫做△ABC 的费马点．（1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若 PA=3，PC=4，求PB（2）已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和 BD相交于 P 点．如图（2）①求∠CPD 的度数；②求证：P 点为△ABC 的费马点．4、(2018浙江.中考模拟) 如图，△ABC是边长为2的正三角形，点D在△ABC内部，且满足DB=DC，DB⊥DC，点E在边AC上，延长ED交线段AB于点H．（1） 若ED=EC 请直接写出∠BAD=，∠AEH=，∠AHE=．（2） 若ED=EC ，求EH 的长；（3） 若AE=x ，AH=y ，请利用S =S +S ，求y 关于x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．5、(2017宿州.中考模拟) 如图1，△ABC 与△CDE 都是等腰直角三角形，直角边AC 、CD 在同一条直线上，点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点，连接AE 、BD ．（1） 猜想：PM 与PN 的数量关系是，位置关系是．（直接写出结论）（2） 现将图1中的△CDE 绕着点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE与MP 、BD 分别交于点G 、H ，请判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3） 若图2中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC ，CD=kCE ，如图3，写出PM 与PN 的数量关系，并加以证明．6、(2017微山.中考模拟) 已知如图，△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE=CG ，连接AE 、CD ．（1） 求证：△AGE ≌△DAC ；（2） 过E 做EF ∥DC ．交BC 于F ．连接AF ．判断△AEF 是怎样的三角形．并证明你的结论．7、(2017潍坊.中考真卷) 边长为6的等边△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DE ∥AB ，EC=2△A EH △A ED △A HD（1）如图1，将△DEC 沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC 的交点为M ，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N ，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．（2）如图2，将△DEC 绕点C 旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C ，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP ，当AP 最大时，求AD′的值．（结果保留根号）8、(2017汉阳.中考模拟) 已知二次函数y=x ﹣2mx+4m ﹣8（1） 当x≤2时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围．（2） 以抛物线y=x ﹣2mx+4m ﹣8的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （M ，N 两点在拋物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．（3） 若抛物线y=x ﹣2mx+4m ﹣8与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的最小值．9、(2019香洲.中考模拟) 如图，将等边△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EFC ，∠ACE 的平分线CD 交EF 于点D ，连接A D 、AF ．（1） 求∠CFA 度数；（2） 求证：AD ∥BC ．10、(2019防城.中考模拟) 如图1，在△OAB 中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8.以OB 为边，在△OAB外作等边△OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E.222（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长.11、(2018沙湾.中考模拟) 如图，直线交轴于点，交轴于点 .在内依次作等边三角形使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形第一个是，第二个是 ,第三个是 …（1）的边长等于；（2）的边长等于12、(2019岐山.中考模拟) 问题探究：（1）已知：如图①，△ABC中请你用尺规在BC边上找一点D，使得点A到点BC的距离最短.（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图②，P是正△ABC 外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：PA=PB+PC （3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由.13、(2019邓州.中考模拟) 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN.（1）观察猜想，如图中ΔPMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图，ΔADE绕点A按逆时针方向旋转，则ΔPMN的形状是否发生改变？并就如图说明理由.（3）拓展延伸，若ΔADE绕点A在平面内自由旋转，AD=2，AB=6，请直接写出ΔPMN的周长的最大值.14、(2020丰台.中考模拟) 已知△ABC为等边三角形，点D是线段AB上一点（不与A、B重合）．将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE．连结DE、BE．（1）依题意补全图1并判断AD与BE的数量关系．（2）过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．用等式表示线段EB、DB与AF之间的数量关系并证明．15、(2020阳新.中考模拟) 研究发现，二次函数（）图象上任何一点到定点（0，）和到定直线的距离相等.我们把定点（0，）叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.（1）写出函数图象的焦点坐标和准线方程；（2）等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数图象上，O为坐标原点，求等边三角形的边长；（3） M为抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，P（1，3）为定点，求MP+MF的最小值.备考2021中考数学复习专题：图形的性质_三角形_等边三角形的性质，综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

等边三角形1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的角平分线BD和CE相交于点O，则图中的全等三角形共有( )A．4对 B．3对 C．2对 D．1对2. 下列说法：①等边三角形的每一个内角都等于60°；②等边三角形三条边上的高都相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合．其中说法正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于( )A．20° B．25° C．30° D．35°4. 如图，点D是等边△ABC的边AC上一点，以BD为边作等边△BDE，若BC ＝10，BD＝8，则△ADE的周长为( )A．25 B．20 C．18 D．155. 在下列三角形中：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角都相等；④一边上的高也是这边上的中线；⑤一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是( )A．①②③ B．①②③⑤ C．①②④ D．①②④⑤6. 在△ABC中，∠A＝60°，若要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件，下面三种说法：①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB，BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．正确的说法有( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD等于( )A．3 B．2 C．1 D．58. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．79. 若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角的度数为10. 如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，△ADE是等边三角形，下列结论中：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD；④∠ABE＝60°.其中正确的有个11. 如图，已知四边形ABCD是正方形，△FAD是等边三角形，则∠BFC的度数是12. 如图，△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝____度．13. 如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D 恰好落在BC上，AP的长是14. 在下列三角形中：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角都相等；④一边上的高也是这边上的中线；⑤一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是（填序号）15. 如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是．16. 如图是屋架设计图的一部分，其中BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A＝30°，AB＝7.4m，则BC＝____ m，DE＝____ m.17. 如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则△ABC的面积为____cm218. 如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边△CDE，使点E，A在直线DC同侧．连接AE，求证：AE∥BC.19. 如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．20. 如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN ⊥AC.(1) 求证：△PMN是等边三角形；(2) 若AB＝9 cm，求CM的长度．21. 如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．22. 在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC. (1)如图①，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF.求证：①△ABE≌ACF；②△AEF是等边三角形；(2)如图②，若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF 是等边三角形？证明你的结论．答案：1---8 BDACB ABD9. 50°10. 411. 30°12. 1513. 614. ① ② ③ ⑤15. 等边三角形16. 3.7 1.8517. 2518. 证明：∵△ABC ，△CDE 是等边三角形，∴∠BCD ＋∠ACD ＝∠ACE ＋∠ACD ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE.在△BCD 和△ACE 中，BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ， ∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴∠B ＝∠CAE.∵∠B ＝∠ACB ，∴∠CAE ＝∠ACB ， ∴AE ∥BC19. 解：∵△ABC 是等边三角形，BF 是高，∴∠ABO ＝12∠ABC＝30°， 根据SAS 证明△AOE≌△AOB，得∠E＝∠ABO＝30°20. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝60°，∵PN ⊥AC ，∴∠APN ＝30°，又∵MP⊥AB，∴∠MPN ＝60°，同理可得∠PMN＝∠MNP＝∠MPN＝60°，∴△PMN 是等边三角形(2)MC ＝3 cm 点拨：可证△APN≌△BMP≌△CNM，∴AN ＝BP ＝CM ，∵在Rt △APN 中，∠APN ＝30°，∴AN ＝12AP ，则BP ＝12AP ， ∵AB ＝9cm ，∴CM ＝BP ＝3cm21. 解：根据SAS 可证△ABE≌△CAD，∴BE ＝AD ，∠ABE ＝∠CAD.∵∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD，∠BAC ＝∠CAD＋∠BAD，∴∠BPQ ＝∠BAC＝60°，又∵BQ⊥AD，∴∠BQP ＝90°，∴∠PBQ ＝90°－∠BPQ＝30°，∴PQ ＝12BP ，∴BP ＝2PQ ＝2×3＝6，∴BE ＝BP ＋PE ＝7， ∴AD ＝BE ＝722. 解：(1)①∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．同理可得△ACD 是等边三角形．∵AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ＝60°，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS) ②由△ABE ≌△ACF 得AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°，∴∠CAF ＋∠CAE ＝60°，即∠EAF ＝60°，∴△AEF 是等边三角形 (2)存在．证明：当BE ＝CF 时，与(1)同理证△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，∴∠CAF －∠CAE ＝∠BAE －∠CAE ，∴∠EAF ＝∠BAC ＝60°，∴△AEF 是等边三角形。

中考数学复习----《等边三角形》知识点总结与练习题（含答案解） 知识点总结1. 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形是等边三角形。

2. 等边三角形的性质：①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。

②等边三角形三条边都存在“三线合一”③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。

④等腰三角形的面积等于243a （a 为等腰三角形的边长）。

3. 等腰三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。

③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。

④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

练习题1、（2022•鞍山）如图，直线a ∥b ，等边三角形ABC 的顶点C 在直线b 上，∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A ＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝60°，∵∠A +∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．2、（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A．是轴对称图形B．对称轴的交点是其重心C．是中心对称图形D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合【分析】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，故A选项不符合题意；三条高线的交点为等边三角形的重心，∴对称轴的交点是其重心，故B选项不符合题意；等边三角形不是中心对称图形，故C选项符合题意；等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，故D选项不符合题意，故选：C．3、（2022•海南）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．4、（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝3，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A ．43B ．23C ．433D ．3【分析】将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°得△CDB ，连接OD ，可得△BOD 是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得∠COD ＝90°，从而解决问题．【解答】解：将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°得△CDB ，连接OD ，∴OB ＝BD ，∠OBD ＝60°，CD ＝OA ＝2，∴△BOD 是等边三角形，∴OD ＝OB ＝1，∵OD 2+OC 2＝12+（）2＝4，CD 2＝22＝4，∴OD 2+OC 2＝CD 2，∴∠DOC ＝90°，∴△AOB 与△BOC 的面积之和为S △BOC +S △BCD ＝S △BOD +S △COD ＝×12+＝， 故选：C ．。

2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项（三）练习一1．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝度；（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE＝90°，连结AE．（1）如图①，当点D在线段AB上，点E与点A在CD同侧．求证：AE＝BD．（2）如图②，当点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE＝1，AB＝4，则AD＝．（3）如图③，当点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧时，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系：．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，动点P从点A出发（动点P不与△ABC的顶点重合），沿折线AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB的长；（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；（3）当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长；（4）设Q为边DE的中点，作射线CQ，当CQ将△PDE分成面积比为1：3两部分时，直接写出t的值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不与B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝105°时，∠BAD＝°，∠DEC＝°；（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．5．已知△ABC是等边三角形，点P，Q分别为边AB，BC上的动点（端点除外）点P，Q 以相同的速度，同时从点A，点B出发，直线AQ，CP相交于点M．（Ⅰ）如图①，求证：△ABQ≌△CAP；（Ⅱ）如图①，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小；（Ⅲ）如图②，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．练习二6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、F是线段AB上两点，连结CD，过A作AE⊥CD于点E，过点F作FM⊥CD于点M．（1）如图1，若点E是CD的中点，求∠CAE的大小；（2）如图2，若点D是线段BF的中点，求证：CE＝FM；（3）如图3，若点F是线段AB的中点，AE＝，CE＝1，求FM的值．7．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1．且AD＝AE＝1．（1）如图1，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE．直接写出DE的值，BC的值；（2）现将△ADE如图2放置，连接CE，BE，CD，求证：CD＝BE；（3）现将△ADE如图3放置，使C，A，E三点共线，延长CD交BE于点F，求证：CF垂直平分BE．8．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l 于点D．（1）如图l，点P在线段AB上，依题意补全图形．①求证：∠BDP＝∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．9．定义：点P是△ABC内部的一点，若经过点P和△ABC中的一个顶点的直线把△ABC 平分成两个面积相等的图形，则称点P是△ABC关于这个顶点的均分点，例如图1中，点P是△ABC关于顶点A的均分点．（1）下列图形中，点D一定是△ABC关于顶点B的均分点的是；（填序号）（2）在△ABC中，BC＝2，AB＝AC且AB＞BC，点P是△ABC关于顶点A的均分点，且≤BP≤2，直接写出∠BPC的范围；（3）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，点P是△ABC关于顶点A的均分点，直线AP与BC交于点D，当BP⊥AD时，BP＝4，求CP的长．10．在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC＝时，求的值．练习三11．如图，△AOB是等边三角形，以直线OA为x轴建立平面直角坐标系，若B（a，b）且a、b满足+（b﹣5）2＝0，D为y轴上一动点，以AD为边作等边△ADC，CB交y轴于E．（1）如图1，求A点坐标；（2）如图2，D为y正半轴上一点，C在第二象限，CE的延长线交x轴于M，当D 点在y轴正半轴上运动时，M点坐标是否变化，若不变，求M点的坐标，若变化，说明理由；（3）如图3，D在y轴负半轴上，以DA为边向右构造等边△DAC，CB交y轴于E 点，如果D点在y轴负半轴上运动时，仍保持△DAC为等边三角形，连BE，试求CE，OD，AE三者的数量关系，并证明你的结论．12．【教材呈现】数学课上，胡老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【试一试】如图1，∠AOB为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线．第一步：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于线段DE长的一半）为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C；第三步：作射线OC．射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线．【问题1】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．【问题2】小萱同学发现只利用直角三角板也可以作∠AOB的角平分线，方法如下（如图2）：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．（1）请写出小萱同学作法的完整证明过程．（2）当∠MON＝60°时，量得MN＝4cm，则△MON的面积是cm2．13．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，AB＝6时，AC＝，BC＝；如图2，当sin∠PAB＝，AB＝4时，AC＝，BC＝；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长．14．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC ＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．15．阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△AC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．小明的想法：因为CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE（如图2）．（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：①△DEC和△DAC的关系是，判断的依据是；②△BDE是三角形；③BC的长为．（2）参考小明的想法，解决下面问题：已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC ＝2，求AD的长．参考答案1．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．2．（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD；（2）解：如图②，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，∴AD＝AB+BD＝AB+AE＝5，故答案为：5；（3）解：同（2）的证明方法可得，△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，∴AB+BD＝BD＝AE，故答案为：AB+AD＝AE．3．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，∴AB＝＝＝25；（2）如图1，P在AC上时，点E在BC上，DE∥AC，∵DE∥AC，∴∠CPE＝∠DEP，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，由题意得：AP＝5t，sin A＝，即，∴PD＝3t，∴AD＝4t，BD＝25﹣4t，∵∠DPE＝90°，∴∠APD+∠CPE＝90°＝∠APD+∠A，∴∠CPE＝∠A＝∠DEP，∴sin∠DEP＝，∴DE＝5t，∵DE∥AC，∴，即，解得：t＝；如图2，P在BC上时，点E在AC上，DE∥BC，由题意得：CP＝5t﹣20，PB＝15﹣（5t﹣20）＝35﹣5t，∵∠EPD＝∠PDB＝90°，∴EP∥AB，∵DE∥BC，∴四边形EPBD是平行四边形，∴DE＝PB＝35﹣5t，∵∠CEP＝∠A＝∠PDE，∴sin∠CEP＝sin∠PDE，∴＝，即，∴EP＝，∴＝，解得：t＝；综上，t的值是或；（3）如图3，P在AC上，△PDE与△ABC重叠部分图形是△PDE，设直线PE与BC 交于点F，∵AP∥DE，AD∥PE，∴四边形APED是平行四边形，∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，∵△ADP≌△PCF，∴PC＝AD＝4t，∵AC＝AP+CP，即20＝5t+4t，∴t＝，∴△PDE的周长＝PD+PE+DE＝3t+4t+5t＝12t＝12×＝，即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是；如图4，P在BC上，△PDE与△ABC重叠部分的图形是△PDE，设直线PE与AC交于点G，同理得：四边形DEPB是平行四边形，∴DE＝PB，∵△GCP≌△PDB，∴PC＝BD＝5t﹣20，Rt△PDB中，cos B＝＝，∴＝，解得：t＝，∴PB＝35﹣5×＝，∵∠C＝∠PDB＝90°，∠B＝∠B，∴△PDB∽△ACB，∴＝，∴△PDB的周长＝×（15+20+25）＝，∴△PDE的周长＝，即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是；综上，△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为或；（4）分两种情况：①如图5，P在AC上，设PE与CQ交于点O，连接PQ，∵Q是DE的中点，∴DQ＝EQ＝t，∴S△PDQ＝S△PQE，Rt△PDE中，PD＝3t，PE＝4t，DE＝5t，∵＝＝，∴＝，∴＝，∴＝1，∵DE∥CP，∴，即＝1，解得：t＝；②如图6，P在BC上，＝，同理得：＝1，∵CP＝5t﹣20，PB＝35﹣5t，由上题知：四边形DEPB是平行四边形，∴DE＝PB＝35﹣5t，∴EQ＝，∵ED∥PC，∴＝1，∴EQ＝CP，∴＝5t﹣20，解得：t＝5；综上，t的值是或5．4．解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠50°，∠BDA＝105°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣50°﹣105°＝25°；∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°，∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣50°﹣25°＝105°，故答案为：25，105；（2）∵∠B＝∠C＝50°，∴∠DEC+∠EDC＝130°，又∵∠ADE＝50°，∴∠ADB+∠EDC＝130°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）．（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，①∠BDA＝100°时，则∠ADC＝80°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝50°，∴∠DAC＝∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形；②∠BDA＝115°时，则∠ADC＝65°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝65°，∵∠ADE＝50°，∴∠AED＝65°，∴∠DAC＝∠AED，∴△ADE的形状是等腰三角形．5．解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．6．（1）解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵AE⊥CD，EC＝ED，∴AC＝AD，∴∠CAE＝∠DAE＝22.5°，∴∠CAE＝22.5°．（2）证明：过点B作BN⊥CD交CD的延长线于点N．∴∠BNC＝90°，∵AE⊥CD，∴∠CEA＝∠BNC＝90°，∴∠CAE+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCN＝90°，∴∠CAE＝∠BCN，在△AEC和△CNB中，，∴△AEC≌△CNB（AAS），∴CE＝BN，∵FM⊥CD，BN⊥CD，∴∠FMD＝∠BND＝90°，∵点D是线段BF的中点，∴FD＝BD，在△FMD和△BND中，，∴△FMD≌△BND（AAS），∴FM＝BN，∴CE＝FM．（3）解：在线段AE上取点G，使得AG＝CE，连结CF、EF，如图3所示：∵AF＝FB，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，CF＝AF，∵∠FAG+∠ADE＝90°，∠ADE+∠FCE＝90°，∴∠GAF＝∠ECF，在△AGF和△CEF中，，∴△AGF≌△CEF（SAS），∴FG＝EF，∠AFG＝∠CFE，∴∠EFG＝∠AFC＝90°∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG＝EF，∠GEF＝45°，∴∠MEF＝90°﹣45°＝45°，∴△EFM是等腰直角三角形，∴EF＝FM，∴AE﹣CE＝AE﹣AG＝EG＝EF＝2FM＝﹣1，∴FM＝．7．（1）解：在Rt△ADE中，∠A＝90°，AD＝AE＝1，∴DE＝＝＝，同理，BC＝＝2+，故答案为：；2+；（2）证明：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠CAB﹣∠DAB＝∠DAE﹣∠DAB，即∠CAD＝∠BAE，在△CAD和△BAE中，，∴△CAD≌△BAE（SAS），∴CD＝BE；（3）证明：∵C，A，E三点共线，∴CE＝CA+AE＝+2，∴CE＝CB，∴点C在线段BE的垂直平分线上，∵BD＝AB﹣AD＝，DE＝，∴BD＝DE，∴点D在线段BE的垂直平分线上，∴CF垂直平分BE．8．解：（1）①补全图形如图1，证明：如图1，设PD与BC的交点为点E，根据题意可知，∠CPD＝90°，∵BC⊥l，∴∠DBC＝90°，∴∠BDP+∠BED＝∠PCB+∠PEC＝90°，∴∠BDP＝∠PCB；②BC﹣BD＝BP．证明：如图2，过点P作PF⊥BP交BC于点F，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝45°，∴BP＝BF，∠PFB＝45°，∴∠PBD＝∠PFC＝135°，又∵∠BDP＝∠PCF，∴△BPD≌△FPC（AAS），∴BD＝FC，在等腰直角△BPF中，BF＝BP，∴BC﹣BD＝BP．（2）BD﹣BC＝BP．证明：如图3，过点P作PM⊥PB交BD于点M，由（1）可知∠ABC＝∠PBM＝45°，∴∠PBM＝∠PMB＝45°，∴PB＝PM，∠PBC＝∠PCB＝135°，同（1）可得∠PDB＝∠PCB，∴△PMD≌△PBC（AAS），∴DM＝BC，∵PB＝PM，∠BPM＝90°，∴BM＝PB，∴BD﹣DM＝BM＝BD﹣BC＝PB．9．解：（1）在图①中，∵∠BAE＝∠CAE，∴点D不一定是△ABC关于顶点B的均分点；在图②中，∵BE＝CE，∴点D一定是△ABC关于顶点A的均分点，但点D不一定是△ABC关于顶点B的均分点．在③中，∵∠ABE＝∠CBE，AB≠BC，∴点D不一定是△ABC关于顶点B的均分点；④∵AE＝CE，∴点D一定是△ABC关于顶点B的均分点．故答案为：④．（2）60°≤∠BPC≤90°．如图1，点P是△ABC关于顶点A的均分点，∵AB＝AC，点P是△ABC关于顶点A的均分点，∴BD＝CD，∴AD⊥BC，∵BC＝2，∴BD＝1，∴当∠BED＝45°时，BE＝，当∠BFD＝30°时，BF＝2BD＝2，∵点P在AD上运动，且≤BP≤2，∴60°≤∠BPC≤90°．（3）解：如图2，过C点作CE⊥AP，交直线AP于点E．∵点P是△ABC关于顶点A的均分点，BC＝10，∴BD＝CD＝5．在Rt△BPD中，∵∠BPD＝90°，∴BP2+PD2＝BD2．∵BP＝4，BD＝5，∴PD＝3．∵BP⊥AP，CE⊥AP，∴∠BPD＝∠CED＝90°．∵∠BDP＝∠CDE，∴△BPD≌△CDE（AAS）．∴PD＝DE，PB＝CE＝4．∴PE＝2PD＝6．在Rt△PEC中，∵∠PEC＝90°，∴PE2+CE2＝CP2．∴CP＝＝＝．10．（1）证明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△ABC和△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°．∵∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．∴∠A＝∠ECB；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴，∴，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，设DM＝MC＝a，∴a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DN＝DC＝2a，∵tan∠DEC＝，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴，∵CE∥DN，∴△CEF∽△NDF，∴．11．解：（1）如图1中，作BF⊥AO于F．∵+（b﹣5）2＝0，∴a＝﹣5，b＝5，∴B（﹣5，5），∵BA＝BO，BF⊥OA，∴FA＝FO＝5，∴OA＝10，∴A（﹣10，0）．（2）点M的坐标不发生变化．理由：如图2中，∵△ABO，△ADC都是等边三角形，∴∠OAB＝∠DAC，OA＝OB，AD＝AC，∴∠OAD＝∠BAC，∴△OAD≌△BAC，∴∠AOD＝∠CBA＝90°，在Rt△ABM中，∵∠ABM＝90°，AB＝OA＝10，∠BAM＝60°，∴AM＝2AB＝20，∴OM＝AM﹣OA＝10，∴M（10，0）．（3）结论：OD＝CE+AE．理由：如图3中，取AE的中点R，连接BR、OR．∵∠ABE＝∠AOE＝90°，AR＝ER，∴BR＝AR＝RE＝OR，∴A、B、E、O四点共圆，∴∠BAE＝∠BOE＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AE，∵△ABO，△ADC都是等边三角形，∴∠OAB＝∠DAC，OA＝OB，AD＝AC，∴∠OAD＝∠BAC，∴△OAD≌△BAC，∴OD＝BC＝CE+BE＝CE+AE．即OD＝CE+AE．12．解：【问题1】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS，故答案为：SSS；【问题2】（1）在Rt△OPN和Rt△OPM中，，∴Rt△OPN≌Rt△OPM（HL），∴∠NOP＝∠MOP，∴OP为∠AOB的平分线；（2）∵∠MON＝60°，OM＝ON，∴△MON为等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝4（cm），∵OM＝ON，OP为∠AOB的平分线，∴NH＝HM＝MN＝2（cm），由勾股定理得，OH＝＝＝2（cm），∴△MON的面积＝×MN×OH＝×4×2＝4（cm2），故答案为：4．13．（1）解：如图1，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，∵∠PAB＝45°，AB＝6，∴AP＝PB＝6，如图1，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB．且EF＝AB，∴，∴PE＝PF＝3，由勾股定理得：AE＝BF＝＝＝3，∴AC＝BC＝2AE＝6，如图2，∵sin∠PAB＝，AB＝4，AF⊥BE，∴∠PAB＝30°，∴BP＝AB＝2，AP＝2，∵AF、BE是△ABC的中线，∴PE＝PB＝1，PF＝AP＝，由勾股定理得：AE＝＝＝，BF＝＝＝，∴AC＝2AE＝2，BC＝2BF＝2，故答案为：6，6，2，2；（2）解：猜想：AB2、BC2、AC2三者之间的关系是：AC2+BC2＝5AB2，证明：如图3，设PF＝m，PE＝n则AP＝2m，PB＝2n，在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝AB2①，在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（）2②，在Rt△BPF中，m2+（2n）2＝（）2③，由①得：m2+n2＝，由②+③得：5（m2+n2）＝，∴AC2+BC2＝5AB2；（3）解：如图4，连接CG，EF，过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q，∵FN∥BG，BG⊥AC，∴FN⊥AC，∵F是BC的中点，∴N是CG的中点，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝FC，DE∥FC，∵ED＝EG，∴EG＝FC，EG∥FC，∴四边形EFCG是平行四边形，∴Q是FG的中点，∴△FCG是中垂三角形，∵AB＝4，BC＝2，∴CG＝EF＝BD＝2，FC＝，由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，即5×5＝（2）2+FG2，∴GF＝．14．（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠BCD+∠ACE＝120°，∵∠AEC＝60°，∴∠ACE+∠EAC＝120°，∴∠BCD＝∠EAC，∵∠AEC＝∠BDC＝60°，∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD＝CE，∵∠AEF＝∠AFH＝60°，∴∠AFE+∠FAE＝∠AFE+∠GFH＝60°，∴∠FAE＝∠GFH，∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，∴∠HGF≌△FEA（AAS），∴GH＝EF，∴CF＝EF+CE＝HG+BD；（3）解：HG＝CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED＝60°，连接AE，在l上取一点M，使BM＝BD，∵∠BDC＝60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠DBM＝60°，∴∠CBM+∠ABM＝∠ABM+∠ABD，∴∠ABD＝∠CBM，∵∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ANC＝∠DNB，∴∠ACE＝∠ABD＝∠CBM，∵∠ACE+∠BCE＝∠ACE+∠CAE＝60°，∴∠CAE＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBM（ASA），∴CE＝BM＝BD，∵∠AFH＝120°，∴∠AFC+∠GFH＝∠AFC+∠FAE＝60°，∴∠GFH＝∠FAE，∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH＝FE，∵EF＝CF+CE∴HG＝CF+BD．故答案为：HG＝CF+BD．15．解：（1）如答图1，①在△ACD与△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS）；②由①知，△ACD≌△ECD，∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形；③由①知，△ACD≌△ECD，则EC＝AC＝3.6，DE＝AD＝2.2．又∵BE＝DE，∴BE＝AD＝2.2．∴BC＝BE+EC＝2.2+3.6＝5.8．故答案是：①△ACD≌△ECD；SAS；②等腰；③5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°∠BDC＝60°，如答图2，在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，则△DEB≌△DBC，∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，则△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．。

等边三角形的判定和性质（参考用时:30分钟）基础达标1.下列三角形，①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60。

的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是（A）（A）3个（B）2个（C）l个（D）0个2.如图，在RtAABC中,CM平分NACB交AB于点M,过点M作MX//BC 交AC于点N,且MN平分/AMC.若AN=1,则BC的长为（B）(A)4(B)6(C)4a/3(D)8第2题图3.如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则ZBAD=30°第3题图4.如图，己知ZA0B=30°，点P在边0A上，点M,N在边0B上,且PM=PN=10,MN=12,则0P二16.第4题图5.如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，匕BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将AABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150度.第5题图6.如图，等边AABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC,求证:AD=BE.证明：在等边△A BC41,ZBAC=ZACB=60°,AB=AC,所以ZBAE=ZACD=120°.因为AE=CD,所以△A BE^ACAD.所以AD=BE.7.己知:如图，点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.ft证明：过点D作DM/7BE交AC于点M,则有ZMDF=ZE.在ZXMDF与Z\CEF中，因为NMFD=NCFE,FD二FE, ZMDF=ZE,所以△M DF^ACEF,所以DM=CE.因为AABC为等边三角形，所以ZA=ZB=60&.因为DM〃BE,所以ZADM=ZB=60w,ZADM=ZA=60°,所以AADM为等边三角形，所以DM=AD,所以AD=CE.8.如图所示，己知a〃b,c〃b,试用反证法证明：a〃c.证明：假设a与c不平行，即a与c相交,不妨设交点为P,由于a〃b,c 〃b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行，这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，故假设不成立.所以a〃c.9.如图，在RtAABC中，NACB=90°,ZB=30°,AC=3,AD是Z\ABC的角平分线,DE±AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是AABC的角平分线，所以NEAD=/CAD.因为ZACB=90°,DE_LAB,所以ZACD=ZAED.在Z\ACD与Z\AED中，ZACD=ZAED=90°,ZEAD=ZCAD,AD=AD,所以△A CD竺△AED,所以AE=AC.因为ZB=30。

2021年九年级数学中考复习分类专题：全等三角形的判定综合练一．选择题1．在△ABC和△DEF中，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F；其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组2．下列说法正确的是（）A．全等三角形是指面积相等的三角形B．全等三角形是指能完全重合的三角形C．周长相等的三角形是全等三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形3．下列各图中a、b、c为△ABC的边长，根据图中标注数据，判断甲、乙、丙、丁四个三角形和如图△ABC不一定全等的是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不正确的是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．AC＝DC，∠A＝∠D D．BC＝EC，∠A＝∠D5．已知：如图，AC＝DE，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DFE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是（）A．∠A＝∠D（ASA）B．AB＝DF（SAS）C．BC＝FE（SSA）D．∠B＝∠F（ASA）6．点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于点O，已知AE＝AD，添加以下哪一个条件不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．∠BEA＝∠CDA C．BE＝CD D．AB＝AC7．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论：①EM＝NF；②NC＝FN；③∠FAN ＝∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在如图所示的6×6网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（）A．3个B．4个C．6个D．7个9．如图，AC＝BC，AD＝BD，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：①△ACD≌△BCD；②AO＝BO；③AB⊥CD；④△AOC≌△BOC；⑤“筝形”是轴对称图形．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．如图，△ABC、△ADE、△DFG均为等边三角形，C、E、F三点共线，且E是CF的中点，下列结论：①△ADG≌△EDF；②△AEC为等腰三角形；③DF＝AD+GE；④∠BAG＝∠BCE；⑤∠GEB＝60°，其中正确的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题11．如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知AB＝DE，AC＝DF，请你添加一个适当的条件，根据SSS可判定△ABC≌△DEF．12．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：．①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．13．在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是．14．如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、AC边上的点，EF∥BC，点D在BC边上，连接DE、DF，请你添加一个条件，使△BED≌△FDE．15．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．16．在直角坐标系中，已知A（6，0）、F（3，0），C（0，2），在△AOC的边上取两点P、Q（点Q是不同于点F的点），若以O、P、Q为顶点的三角形与△OFP全等，则符合条件的点P的坐标为．三．解答题17．在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．（1）如图1，求证：△ABE≌△ACD；（2）如图2，BE与CD交于点O，连接AO，直接写出图中所有的全等三角形（△ABE≌△ACD除外）．18．已知：点A，D，C在同一条直线上，AB∥CE，AC＝CE，∠ACB＝∠E，求证：△ABC≌△CDE．19．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB＝AC，AD＝AE，连结BD、CE；求证：△ABD与△ACE全等．20．如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上截取BF＝AC，延长CE至点G使CG＝AB，连接AF，AG．（1）如图1，求证：AG＝AF；（2）如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连结AD．AE∥BD，∠BAC＝∠DAE，连接CE交AD于点F．（1）若∠D＝36°，求∠B的度数；（2）若CA平分∠BCE，求证：△ABD≌△ACE．参考答案一．选择题1．解：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，可根据SSS判定△ABC≌△DEF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，可根据SAS判定△ABC≌△DEF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F，可根据ASA判定△ABC≌△DEF；④∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，不能判定△ABC≌△DEF；故选：C．2．解：A、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，本说法错误；B、全等三角形是指能完全重合的三角形，故本选项正确；C、所有周长相等的三角形不一定都是全等三角形，本说法错误；D、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三角形，本说法错误；故选：B．3．解：∵∠B＝70°，∠C＝50°，∴∠A＝180°﹣70°﹣50°＝60°，根据“SAS”判断图乙中的三角形与△ABC全等；根据“AAS”判断图丙中的三角形与△ABC全等；根据“SSS”判断图丙中的三角形与△ABC全等．根据“SSA”无法判断图甲中的三角形与△ABC全等．故选：A．4．解：∵AB＝DE，∴当BC＝EC，∠B＝∠E时，满足SAS，可证明△ABC≌△DEC，故A可以；当BC＝EC，AC＝DC时，满足SSS，可证明△ABC≌△DEC，故B可以；当AC＝DC，∠A＝∠D时，满足SAS，可证明△ABC≌△DEC，故C可以；当BC＝EC，∠A＝∠D时，在△ABC中是ASS，在△DEC中是ASS，故不能证明△ABC≌△DEC，故D不可以；故选：D．5．解：A、添加条件∠A＝∠D判定△ABC≌△DFE用的判定方法是ASA，故原题说法正确；B、添加条件AB＝DF不能判定△ABC≌△DFE，故原题说法错误；C、添加条件BC＝FE判定△ABC≌△DFE用的判定方法是SAS，故原题说法错误；D、添加条件∠B＝∠F判定△ABC≌△DFE用的判定方法是AAS，故原题说法错误；故选：A．6．解：A．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠B＝∠C可依据“AAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；B．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠BEA＝∠CDA可依据“ASA”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；C．由BE＝CD、AE＝AD、∠A＝∠A不能判定△ABE≌△ACD，此选项符合题意；D．由AE＝AD、∠A＝∠A、AB＝AC可依据“SAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；故选：C．7．解：在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（AAS），∴∠EAB＝∠FAC，EB＝CF，AB＝AC，∴∠EAM＝∠FAN，故③正确，在△AEM和△AFN中，，∴△AEM≌△AFN（ASA），∴EM＝FN，AM＝AN，故①正确，∵AC＝AB，∴CM＝BN，得不出△ANC与△AFN全等，故②错误，在△ACN和△ABM中，，∴△ACN≌△ABM，故④正确，故①③④正确，故选：C．8．解：如图所示：一共有7个符合题意的点．故选：D．9．解：在△ACD和△BCD中，，∴△ACD≌△BCD（SSS），①结论正确；∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD是线段AB的垂直平分线，∴AO＝BO，AB⊥CD，②③结论正确；在△AOC和△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SSS），④结论正确；“筝形”沿直线CD折叠，直线两旁的部分能够互相重合，∴“筝形”是轴对称图形，⑤结论正确；故选：D．10．解：∵△ADE、△DFG，△ABC为等边三角形，∴DA＝DE，DG＝DG，∠ADE＝∠FGD＝∠AED＝∠ACB＝∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠ADG＝∠EDF，∠DAB＝∠CAE，∴△ADG≌△EDF（SAS），故①正确∴∠DEF＝∠DAG，∵∠DEF+∠AED＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+∠ABC﹣∠BCF，∴∠EAC﹣∠DEF＝∠BCF，∵∠BAG＝∠DAB﹣∠DAG＝∠CAE﹣∠DEF，∴∠BAG＝∠BCF，故④正确，∵DF+EG＝DG+GE≥DE，∴DF+GE≠AD，故③错误．设AG交CF于点O，DG交CF于K．∵△ADG≌△EDF，∴∠OGK＝∠FKD，EF＝AG，∵∠GKO＝∠FKD，∴∠GOK＝∠FDK＝60°，∴∠AOC＝∠GOK＝∠ABC＝60°，∴∠BAG＝∠BCE，∵EF＝CE，∴AG＝CE，∵AB＝CB，∴△BAG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，∠ABG＝∠CBE，∴∠EBC＝∠ABC＝60°，∴△EBG是等边三角形，∴∠EGB＝60°，故⑤正确，无法判断AC＝EC或AE＝EC或AE＝EC，故△ACE不一定是等腰三角形，故②错误，故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：适合的条件是BC＝EF，理由是：∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），故答案为：BC＝EF．12．解：∵AB＝DE，∠B＝∠E，∴添加①∠A＝∠D，利用ASA得出△ABC≌△DEC；∴添加②BC＝EC，利用SAS得出△ABC≌△DEC；∴添加④∠BCE＝∠ACD，得出∠ACB＝∠DCE，利用AAS得出△ABC≌△DEC；故答案为：②．13．解：如图所示：在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是：（﹣2，﹣2）或（4，﹣2）．故答案为：（﹣2，﹣2）或（4，﹣2）．14．解：由题意：DE＝ED，∠DEF＝∠EDB，∴根据SAS可以添加DB＝EF，根据AAS，ASA可以添加∠BED＝∠EDF或DF∥AB或∠B＝∠EFD，故答案为BD＝EF（或∠BED＝∠EDF或DF∥AB或∠B＝∠EFD）15．解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°，∴∠C＝∠PAQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝10时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当AP＝CA＝20时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；故答案为：10或20．16．解：①如图1，过点F作FP⊥OA，垂足为P，过点P作PQ⊥OC，垂足为Q，连接OP，此时△OFP≌PQO，∵A（6，0）、F（3，0），∴PF、PQ是△OAC的中位线，∴PQ＝OA＝3，PF＝OC＝，∴P（3，），②如图2，由①可知，点P、Q位置互换，亦满足题意，此时，P（0，），③如图3，作∠AOC的平分线交AC于点P，在OC上截取OQ＝OF＝3，连接PF、PQ，此时△OFP≌OQP，过点P作PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则PM＝PN，由三角形面积公式得，OA•PM+OC•PN＝AO•OC，即，6PM+2PM＝6×2，∴PM＝PN＝3﹣3，∴点P（3﹣3，3﹣3），④如图4，在AC上截取AP＝6＝OA，取AP的中点Q，则PQ＝OF＝3，过点P作PB⊥OA，垂足为B，在Rt△ABP中，PB＝AP＝3，AB＝×AP＝3，∴OB＝OA﹣AB＝6﹣3，∴点P（6﹣3，3），故答案为：（3，）或（0，）或（3﹣3，3﹣3）或（6﹣3，3）．三．解答题（共5小题）17．（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CE，∴AB﹣BD﹣AC﹣CE，∴AD＝AE，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABE和Rt△ACD中，∴Rt△ABE≌Rt△ACD（HL）；（2）解：∵Rt△ABE≌Rt△ACD，∴∠ABE＝∠ACD，在△DOB和△EOC中，∴△DOB≌△EOC（AAS），∴OB＝OC，DO＝EO，∴∠EBC＝∠DCB，OD+OC＝OE+OB，∴DC＝BE，在△BEC和△CDB中，∴△BEC≌△CDB（SAS），在△ABOHE△ACO中，∴△ABO≌△ACO（SSS），在△ADO和△AEO中，∴△ADO≌△AEO（SSS），即全等三角形有：△DOB≌△EOC，△BEC≌△CDB，△ABO≌△ACO，△ADO≌△AEO．18．证明：∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECD．∵在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）．19．证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB＝AC，AD＝AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），即△ABD与△ACE全等．20．证明：（1）∵BD、CE分别是AC、AB两条边上的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠ACG，在△AGC与△FAB中，，∴△AGC≌△FAB（SAS），∴AG＝AF；（2）图中全等三角形有△AGC≌△FAB，由得出△CGH≌△BAD，由得出Rt△AGH≌Rt△FAD，△ABD≌△CBD；△CBD≌△GCH．21．解：（1）∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠BAC，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠D＝∠BAC＝36°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝＝＝72°．（2）证明：∵CA平分∠BCE，∴∠BCA＝∠ACE，∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠ACE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（ASA）．。

等边三角形的性质和判定练习题
等边三角形是一种特殊的三角形，它有以下性质：三条边相等，内角都相等且等于60°，各边上中线、XXX对角的平
分线都三线合一，是轴对称图形，有三条对称轴。

我们可以通过以下方法来判定等边三角形：三边都相等的三角形是等边三角形（定义），三个角都相等的三角形也是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形也是等边三角形。

在练中，我们可以通过具体的问题来巩固研究。

比如，已知一个等边三角形ABC和其中一条中线BD，延长BC到E使CE=CD，求DE的长度。

又比如，已知等边三角形ABC和
DE∥BC，交AB、AC于D、E，要证明△ADE是等边三角形。

还可以通过分割方法，将一个等边三角形分割成四个等腰三角形，并注明角度。

更进一步的练可以考虑以下问题：在等边三角形ABC中，P为内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长度。

又如，在等边三角形ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E、F，要证明DE=DF，并求出当∠A=60°且
BD=1时△XXX的周长。

最后，还可以考虑等边三角形ABC 中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD的问题。

2021年九年级数学中考复习分类专题：等边三角形的判定与性质（二）一．选择题1．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（）A．2 B．6 C．9 D．152．在下列结论中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，连结AD、AE，则下列结论中不成立的是（）A．AD∥BE，AD＝BE B．∠ABE＝∠DEFC．ED⊥AC D．△ADE为等边三角形4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABD＝60°，∠ADB＝78°，∠BDC＝24°，则∠DBC ＝（）A．18°B．20°C．25°D．15°5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，0），点P 为线段AB外一动点且PA＝1，以PB为边作等边△PBM，则当线段AM的长取到最大值时，点P的横坐标为（）A．﹣1 B．C．D．6．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB＝（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（0，），B（﹣1，0），平行于AB的直线l交y轴于点C，若直线l上存在点P，使得△PAB是等边三角形，则点C的坐标为（）A．（1，0）或（﹣3，0）B．（0，1）或（0，﹣）C．（0，﹣）或（0，3）D．（﹣，0）或（3，）9．如图是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，直角顶点C恰好落在三角板△A1B1C1的斜边A1B1上．当∠A＝30°，B1C＝2时，则此时AB的长为（）A．6 B．8 C．9 D．1010．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°11．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有（）A．5条B．6条C．7条D．8条12．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝（）A．B．2 C．D．2二．填空题13．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝cm．14．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠D＝60°，∠A＝105°，∠B＝120°，则的值为．15．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠EDC＝∠BAC，且D为BC中点，DE＝CE，则AE：AB 的值为．16．已知如图等腰△ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP ＝OC ，下面结论：①∠APO +∠DCO ＝30°；②△OPC 是等边三角形；③AC ＝AO +AP ；④S △ABC ＝S 四边形ADCP ；其中正确的有 （填上所有正确结论的序号）17．如图，已知△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的一个动点（异于点B 、C ），过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G ，连接FD ，FE ．当点D 在BC 边上移动时，有下列三个结论：①△DEF 一定为等腰三角形，②△CFG 一定为等边三角形，③△FDC 可能为等腰三角形．其中正确的是 ．（填写序号）三．解答题18．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ． （1）求证：△ADE 是等边三角形． （2）求证：AE ＝AB ．19．如图①，在凸四边形中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ．（1）如图②，若连接AC，则△ADC的形状是三角形．你是根据哪个判定定理？答：．（请写出定理的具体内容）（2）如图③，若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE，并连接AE，请问：BD 与AE相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由．（3）在第（2）题的前提下，请你说明BD2＝AB2+BC2成立的理由．20．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D 放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．（1）△BDF是什么三角形？请说明理由；（2）设AD＝x，CF＝y，试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）（3）当移动点D使EF∥AB时，求AD的长．22．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA ＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝；如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB ＝；如图3，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝；（2）如图4，若∠ACD＝α，则∠AFB＝（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝5，BD＝3，∴AD＝AB﹣BD＝2，∴△ADE的周长为6，故选：B．2．解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．故选：C．3．解：∵△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，∴AD∥BE，AD＝BE，A选项的结论正确；∠ABC＝∠DEF，B选项的结论正确；∵△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，∴AB∥DE，而AB⊥AC，∴DE⊥AC，C选项的结论正确；∵AB＝DE，AD＝BE，没有条件得出DE＝AD，D选项的结论错误．故选：D．4．解：如图延长BD到M使得DM＝DC，∵∠ADB＝78°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝102°，∵∠ADB＝78°，∠BDC＝24°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝102°，∴∠ADM＝∠ADC，在△ADM和△ADC中，，∴△ADM≌△ADC，∴AM＝AC＝AB，∵∠ABD＝60°，∴△AMB是等边三角形，∴∠M＝∠DCA＝60°，∵∠DOC＝∠AOB，∠DCO＝∠ABO＝60°，∴∠BAO＝∠ODC＝24°，∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，∴24°+2（60°+∠CBD）＝180°，∴∠CBD＝18°，故选：A．5．解：如图，将△MPA绕点P顺时针旋转60°，得到△BPN，连接AN．根据旋转不变性可知：PA＝PN，∠MPB＝∠APN＝60°，AM＝BN，∴△PAN是等边三角形，∴AN＝PA＝1，∵BN≤AN+AB，∴当N，A，B共线时，BN的值最大，此时点N在BA的延长线上，可得点P的横坐标为﹣1﹣＝﹣，故选：C．6．解：根据题意得：OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴cos∠AOB＝cos60°＝．故选：B．7．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∵BE＝6cm，DE＝2cm，∴DM＝4cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝2cm，∴BN＝4cm，∴BC＝2BN＝8cm．故选：C．8．解：如图，∵A（0，），B（﹣1，0），∴OA＝，OB＝1，∴tan∠ABO＝，∴∠ABO＝60°，∴AB＝2OB＝2，在x轴正半轴上取一点P（1，0），连接PA，则△APB是等边三角形，∵直线AB的解析式为y＝x+，∴直线PC的解析式为y＝x﹣，∴C（0，﹣），作点P关于直线AB的对称点P′（﹣2，），过P′平行AB的直线的解析式为y＝x+3，∴可得C′（0，3），综上所述，满足条件的点C坐标为（0，﹣）或（0，3）．故选：C．9．解：连接C1C，∵M是AC的中点，△ABC，△A1B1C1是两块完全一样的含30°角三角板重叠在一起的，∴AM＝CM＝A1C1，即CM＝A1M＝C1M，∴∠A1＝∠1，∠2＝∠3，∴∠A1+∠3＝∠1+∠2＝90°＝∠A1CC1，∴△B1C1C为直角三角形，∵∠A1＝30°，∴∠B1＝60°，∴∠B1C1C＝30°，∴BC＝B1C1＝2B1C＝4，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8．故选：B．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ＝BP＝4，∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，∵△BPQ是等边三角形，∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，∵∠PQC＝90°，PQ≠QC，∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°，∴选项A、B、C正确，选项D错误．故选：D．11．解：如图，连接EF．∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠ADE＝∠ADF＝30°，△AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形，∴∴BD＝DC＝DE＝BE＝AE＝AF＝FC＝FD，即图中与BD相等的线段有7条．故选：C．12．解：如图1，∵AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝90°，∴四边形ABCD是正方形，连接AC，则AB2+BC2＝AC2，∴AB＝BC＝＝＝，如图2，∠B＝60°，连接AC，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝BC＝．二．填空题（共5小题）13．解：在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD．∴∠BAD＝∠CAD．又∵AB＝AC，∴BE＝EC＝3cm．∴BC＝6cm．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝6cm．故答案为：6．14．解：如图，连接AC，作CE⊥AB的延长线于点E，∵AD＝CD，∠D＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60°，∵∠DAB＝105°，∴∠CAE＝105°﹣60°＝45°，∴∠ACE＝45°，∴AE＝CE，∴＝，∴AC＝AD＝，∵∠ABC＝120°，∴∠CBE＝60°，∴＝，BC＝，∴＝＝．故答案为．15．解：∵DE＝CE∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EDC＝∠BAC＝∠C，∵∠B＝60°，∴△ABC及△DCE是等边三角形，∵D为BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AE：AB＝1：2．故答案为：1：2．16．解：如图，①连接OB，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD是BC垂直平分线，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，∵∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；②∵△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，∴∠POC＝2∠ABD＝60°，∵PO＝OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确；③在AB上找到Q点使得AQ＝OA，则△AOQ为等边三角形，则∠BQO＝∠PAO＝120°，在△BQO和△PAO中，，∴△BQO≌△PAO（AAS），∴PA＝BQ，∵AB＝BQ+AQ，∴AC＝AO+AP，故③正确；④作CH⊥BP，∵∠HCB ＝60°，∠PCO ＝60°，∴∠PCH ＝∠OCD ，在△CDO 和△CHP 中，，∴△CDO ≌△CHP （AAS ），∴S △OCD ＝S △CHP∴CH ＝CD ，∵CD ＝BD ，∴BD ＝CH ，在Rt △ABD 和Rt △ACH 中，，∴Rt △ABD ≌Rt △ACH （HL ），∴S △ABD ＝S △AHC ，∵四边形OAPC 面积＝S △OAC +S △AHC +S △CHP ，S △ABC ＝S △AOC +S △ABD +S △OCD∴四边形OAPC 面积＝S △ABC ．故④错误．故答案为：①②③．17．解：∵DE 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G ，∴FE ＝FD ，∴△DEF 为等腰三角形，故①正确；∵DE ⊥AB ，DE ⊥FG ，∴AB ∥FG ，∴∠FGC ＝∠B ＝60°，又∵△ABC 是等边三角形，∴∠C ＝60°，∴△CFG中，∠C＝∠CFG＝∠CGF，∴△CFG是等边三角形，故②正确；∵∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，∴△CDF不可能是等腰三角形，故③错误；故答案为：①②．三．解答题（共5小题）18．证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．19．解：（1）∵在△ADC中，AD＝AC，∴△ADC是等腰三角形，又∵∠ADC＝60°，∴△ADC是等边三角形（一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形）；故答案是：等边；一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；（2）∵由（1）知，△ADC是等边三角形，∴DC＝AC，∠DCA＝60°；又∵△BCE是等边三角形，∴CB＝CE，∠BCE＝60°，∴∠DCA+∠ACB＝∠ECB+∠ACB，即∠DCB＝∠ACE，∴△BDC≌△EAC（SAS），∴BD＝EA（全等三角形的对应边相等）；（3）证明：∵由（2）知，△BCE是等边三角形，则BC＝CE，∠CBE＝60°．∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＝AB2+BE2．又∵BD＝AE，∴BD2＝AB2+BC2．20．解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，x×1+12＝2x，解得：x＝12；（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t＝12﹣2t，解得t＝4，∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．21．解：（1）△BDF是等边三角形，证明如下：∵ED⊥AB，∠EDF＝30°，∴∠FDB＝60°，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴∠DFB＝60°，∴△BDF是等边三角形．（2）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AB＝2BC＝2，∵CF＝y，∴BF＝1﹣y，又△BDF是等边三角形，∴BD＝BF＝1﹣y，∴x＝2﹣（1﹣y）＝1+y，∴y＝x﹣1，（3）当EF∥AB时，∠CEF＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°，∴CF＝EF，EF＝DF，∵DF＝BF＝1﹣y，∴y＝（1﹣y），∴y＝，∴x＝y+1＝，即AD＝．22．解：（1）如图1，CA＝CD，∠ACD＝60°，所以△ACD是等边三角形．∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，所以△ECB是等边三角形．∵AC＝DC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠BCD＝∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD．∵AC＝DC，CE＝BC，∴△ACE≌△DCB．∴∠EAC＝∠BDC．∠AFB是△ADF的外角．∴∠AFB＝∠ADF+∠FAD＝∠ADC+∠CDB+∠FAD＝∠ADC+∠EAC+∠FAD＝∠ADC+∠DAC＝120°．如图2，∵AC＝CD，∠ACE＝∠DCB＝90°，EC＝CB，∴△ACE≌△DCB．∴∠AEC＝∠DBC，又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°，∴∠EFD＝90°．∴∠AFB＝90°．如图3，∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD﹣∠DCE＝∠BCE﹣∠DCE．∴∠ACE＝∠DCB．又∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB．∴∠EAC＝∠BDC．∵∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB＝180°﹣（180﹣∠ACD）＝120°，∴∠FAB+∠FBA＝120°．∴∠AFB＝60°．故填120°，90°，60°．（2）∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE．∴∠ACE＝∠DCB．∴∠CAE＝∠CDB．∴∠DFA＝∠ACD．∴∠AFB＝180°﹣∠DFA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣α．（3）∠AFB＝180°﹣α；证明：∵∠ACD＝∠BCE＝α，则∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，则△ACE≌△DCB（SAS）．则∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和知∠EFB＝∠ECB＝α．∠AFB＝180°﹣∠EFB＝180°﹣α．。

专题1.2等边三角形的性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•丰南区期中）等边三角形的两个内角平分线所成的锐角是（）A．30°B．50°C．60°D．90°【分析】画出图形，根据内角平分线的定义求出∠OBC和∠OCB的度数，再根据三角形的外角的性质可得结论．【解析】如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BO、CO是两个内角的平分线，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，在△OBC中，∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝30°+30°＝60°．故选：C．2．（2020秋•覃塘区期中）如图，△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，则下列结论错误是（）A．CE=12AB B．BD＝ED C．∠BDE＝∠DCE D．∠ADE＝120°【分析】根据线段中点的定义得到CD=12AC，根据等边三角形的性质得到AB＝AC，等量代换判断A；根据等边三角形的内角是60°判断B；根据三角形的外角性质求出∠E，判断C；根据邻补角的定义判断D．【解析】∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，∴AB＝AC，CD=12AC，∴CD=12AB，∵CE＝CD，∴CE=12AB，A选项结论正确，不符合题意；∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵D是AC边的中点，∴∠DBC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠EDC=12∠ACB＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝ED，B选项结论正确，不符合题意；∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，∴∠BDC＝90°，∴∠BDE＝120°，∵∠DCE＝120°﹣∠ACB＝120°，∴∠BDE＝∠DCE，C选项结论正确，不符合题意；∠ADE＝180°﹣30°＝150°，D选项错误，符合题意；故选：D．3．（2020秋•沧州期中）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（）A．90°B．70°C．45°D．30°【分析】由平角的性质可得∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，将∠1+∠2＝110°代入可求解．【解析】如图，∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝70°，故选：B．4．（2020秋•香坊区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，边长为6，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点F，过点F作BC的平行线交AB于D，交AC于E，则△ADE的周长是（）A．6B．8C．10D．12【分析】利用等边三角形的定义可得出AB，AC的长，由BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，利用角平分线的定义可得出∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，由DE∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，进而可得出∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，利用等角对等边可得出DB＝DF，EC＝EF，再利用三角形周长的计算公式可求出△ADE的周长．【解析】∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴AB＝AC＝6．∵BF 平分∠ABC ，CF 平分∠ACB ， ∴∠DBF ＝∠FBC ，∠ECF ＝∠FCB ． ∵DE ∥BC ，∴∠DFB ＝∠FBC ＝∠DBF ，∠EFC ＝∠FCB ＝∠ECF ， ∴DB ＝DF ，EC ＝EF ，∴△ADE 的周长＝AD +DF +EF +AE ＝AD +BD +EC +AE ＝AB +AC ＝12． 故选：D ．5．（2020秋•浦北县期中）如图，在等边△ABC 中，点O 是BC 上任意一点，OE ，OF 分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE +OF 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】三角形ABC 的面积等于三角形AOB 的面积+三角形AOC 的面积，根据△ABC 是等边三角形，所以三个三角形是等底的三角形，且高OF +高OE 等于三角形ABC 的高． 【解析】如图，连接AO ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ， ∵OE ⊥AB ，OF ⊥AC ， ∵S △ABC ＝S △AOB +S △AOC ， ∴12BC ×2=12AB ⋅OE +12AC ⋅OF ，即12×2=12(OE +OF)，∴OE +OF ＝2； 故选：D ．6．（2020春•富平县期末）如图，△ABC 是等边三角形，BC ＝BD ，∠BAD ＝20°，则∠BCD 的度数为（ ）A．50°B．55°C．60°D．65°【分析】由等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝60°，由等腰三角形的性质可求∠ABD＝140°，可求解．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BC＝BD，∴AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝20°，∴∠ABD＝140°，∴∠CBD＝80°，又∵BC＝BD，∴∠BCD＝50°＝∠BDC，故选：A．7．（2020春•瑶海区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝160°，∠BCD＝80°，△PDC为等边三角形，则∠ADC的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°【分析】由等边三角形求得∠PCD＝∠DPC＝∠CDP＝60°，且PC＝CD＝PD，进而求得∠BCP，再证明四边形ABCP为平行四边形，得AP＝DP，由三角形内角和与等腰三角形性质得∠ADP，进而求得∠ADC．【解析】∵△PDC为等边三角形；∴∠PCD＝∠DPC＝∠CDP＝60°，且PC＝CD＝PD，∵AB＝BC＝CD，∴AB＝CP，∵∠BCD＝80°，∴∠BCP＝∠BCD﹣∠DCP＝80°﹣60°＝20°，∵∠ABC＝160°，∴∠ABC+∠BCP＝180°，∴PC∥AB，∵AB＝CP，∴四边形ABCP为平行四边形，∴∠APC＝∠ABC＝160°，AP＝BC，∴AP＝DP，∠APD＝360°﹣∠CPD﹣∠APC＝140°，∴∠PDA＝∠P AD=180°−∠APD2=20°，∴∠ADC＝∠CDP+∠ADP＝60°+20°＝80°，故选：C．8．（2019秋•濉溪县期末）如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE ∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（）A．12B．8C．4D．3【分析】过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可．【解析】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，∴PG＝BD，PE＝HC，又△ABC是等边三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，又△ABC的周长为12，∴PD +PE +PF ＝DH +HC +BD ＝BC =13×12＝4， 故选：C ．9．（2019秋•张家港市期末）如图，若BD 为等边△ABC 的一条中线，延长BC 至点E ，使CE ＝CD ＝1，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．√32B ．√3C ．√52D ．√5【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD ＝DE ，求出BC ，在Rt △BDC 中，由勾股定理求出BD 即可．【解析】∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝BC ， ∵BD 为中线，∴∠DBC =12∠ABC ＝30°， ∵CD ＝CE ， ∴∠E ＝∠CDE ， ∵∠E +∠CDE ＝∠ACB ， ∴∠E ＝30°＝∠DBC ， ∴BD ＝DE ，∵BD 是AC 中线，CD ＝1， ∴AD ＝DC ＝1， ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ＝1+1＝2，BD ⊥AC ，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD=√22−12=√3，即DE＝BD=√3，故选：B．10．（2019秋•余姚市期末）如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，且∠ADC的度数为（5x﹣20）°，则x的值可能是（）A．10B．20C．30D．40【分析】根据等边三角形的性质列出有关x的不等式后求得x的取值范围即可确定正确的选项．【解析】∵△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，∠ADC的度数为（5x﹣20）°，∴60≤5x﹣20≤120，解得：16≤x≤28，∴只有20适合，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•浦东新区期末）边长为6cm的等边三角形的面积是9√3cm2．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．【解析】如图，等边三角形高线即中线，故D为BC中点，∵AB＝6cm，∴BD＝3cm，∴AD=√AB2−BD2=3√3，∴等边△ABC的面积=12BC•AD=12×6×3√3=9√3（cm2）．故答案为：9√3cm2．12．（2020秋•集贤县期末）如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝3cm．【分析】求CE的长，题中给出DB＝DE，由角相等可求出CD＝CE，所以CE为边长AC的一半．【解析】∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°∴∠CDE＝30°∴∠CDE＝∠E，即CE＝CD=12AC＝3cm．故填3．13．（2020秋•松桃县月考）如图，等边△ABC中，BE和CD分别是AC和AB边上的高，且相交于点F，则∠BFC度数为120°．【分析】根据等边三角形的性质求出∠A＝60°，根据高的定义得出∠BEC＝90°，∠ADC＝90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝30°，根据三角形的外角性质求出答案即可．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵BE和CD分别是AC和AB边上的高，∴∠BEC＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴∠BFC＝∠BEC+∠ACD＝90°+30°＝120°，故答案为：120°．14．（2020秋•泰兴市期中）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝24°，则∠1＝36°．【分析】先利用平行线的性质得∠1＝∠ACD，再根据等边三角形的性质得∠BDC＝60°，然后根据三角形外角性质计算出∠ACD即可．【解析】∵a∥b，∴∠1＝∠ACD，∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣24°＝36°，∴∠1＝36°．故答案为36．15．（2020秋•石阡县月考）观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2020这个数在第674个第三角形的上顶点处（第二空填：上，左下，右下）．【分析】由每个三角形有三个顶点结合2020÷3＝673……1，即可得出2020这个数所在的位置．【解析】∵2020÷3＝673……1，673+1＝674，∴2020这个数在第674个三角形上，且所在的位置与1所在的位置相同，∴2020这个数在第674个第三角形的上顶点处．故答案为：第674；上．16．（2020秋•淮滨县月考）如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A5B5A6的周长为48．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2，进而得出答案．【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，∴△A5B5A6的周长为48，故答案为：48．17．（2020秋•朝阳区校级期中）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC 到E，使CE＝CD，则BE＝9．【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC＝30°，AD＝CD=12AC，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE．【解析】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴AD＝CD=12AC，∠DBC=12∠ABC＝30°，∵CE＝CD，∴CE=12AC＝3，∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．故答案为：9．18．（2020秋•铁东区期中）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点P为AB边上一点，EF 垂直平分线段BP，EF与线段AD交于F，连接CF、PF，以下结论：①PF＝CF；②∠PFC＝120°，③∠PFE+∠ACF＝90°；④∠PF A＝∠DCF．其中一定正确的有①②③．（填序号即可）【分析】如图，利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，AD垂直平分BC，AD平分∠BAC，则根据线段垂直平分线的性质得FB＝FC，FB＝FP，则可对①进行判断；利用三角形内角和计算出∠PFB+∠BFC＝240°，然后利用周角的定义对②进行判断；由于∠ACF＝60°﹣∠1，∠PFE＝90°﹣∠3，则∠ACF+∠PFE＝90°，则可对③进行判断；由于∠AFP＝∠4﹣30°＝∠3﹣30°，∠DCF＝∠1，而∠1与∠3的度数不能确定，从而可对④进行判断．【解析】如图，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AD垂直平分BC，AD平分∠BAC，∴FB＝FC，∠5＝30°，∵EF垂直平分线段BP，∴FB＝FP，∴FP＝FC，所以①正确；∵FP＝FB，FB＝FC，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝2（∠1+∠3）＝2×60°＝120°，∴∠PFB+∠BFC＝180°+180°﹣120°＝240°，∴∠PFC＝360°﹣240°＝120°，所以②正确；∵∠ACF＝60°﹣∠2＝60°﹣∠1，∠PFE＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3，∴∠ACF+∠PFE＝60°﹣∠1+90°﹣∠3＝60°﹣（∠1+∠3）+90°＝90°，所以③正确；∵∠4＝∠5+∠AFP，∴∠AFP＝∠4﹣30°＝∠3﹣30°，∵∠DCF＝∠1，而∠1+∠3＝60°，∴只有当∠3＝45°，∠1＝15°，∠PF A＝∠DCF，所以④错误．故答案为①②③．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•晋安区期中）如图，在△ABC 中，以AB 为边作等边△ABD （点C 、D 在边AB 的同侧），连接CD ．若∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，求∠BDC 的度数．【分析】根据全等三角形的判定得出△CBA 与△CDA 全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【解析】∵△ABD 是等边三角形， ∴∠BAD ＝60°，AB ＝AD ， ∵∠BAC ＝30°，∴∠CAD ＝60°﹣30°＝30°， 在△CBA 与△CDA 中， {AB =AD∠BAC =∠DAC AC =AC， ∴△CBA ≌△CDA （SAS ）， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∴∠BDC ＝∠ADC ﹣∠ADB ＝90°﹣60°＝30°．20．（2020春•广丰区期末）在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起． （1）如图1重叠部分∠AOD ＝30°，求∠COB 的大小； （2）如图2重叠部分∠AOD ＝15°，求∠COB 的大小；（3）如图3，若两图形除O 外没有重叠，∠AOD ＝10°，求∠COB 的大小； （4）求∠AOD 和∠COB 的数量关系．【分析】（1）结合图1，由等边三角形的内角均等于60°及∠AOD ＝30°，则∠COB ＝∠COD +∠AOB ﹣∠AOD ，将相关度数代入计算即可；（2）结合图2，方法同（1）；（3）结合图3，由等边三角形的内角均等于60°及∠AOD＝10°，则∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD，将相关度数代入计算即可；（4）分三种情况计算即可：当∠AOD是两个角的重叠的角；当∠AOD是两个角的相离时的角；当∠AOD 是两个角的相离时的角．【解析】（1）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝30°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝60°+60°﹣30°＝90°；（2）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝15°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝60°+60°﹣15°＝105°；（3）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝10°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD＝60°+60°+10°＝130°；（4）当∠AOD是两个角的重叠的角，则∠COB＝120°﹣∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD≤60°，则∠COB＝120°+∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD＞60°，则∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．21．（2020春•和平区期末）如图，△ABC是一个边长为6的等边三角形，BD是△ABC的高，求BD的长．【分析】根据等边三角形的性质和勾股定理解答即可．【解析】∵△ABC是一个边长为6的等边三角形，BD是△ABC的高，∴AD＝DC=12AC＝3，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√62−32=3√3．22．（2019秋•永安市期末）已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF ＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答即可；（2）根据三角形的内角和和平角的定义以及平行线的判定解答即可．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∠1＝∠3，∴∠FDE＝∠DEB，∴DF∥BC．23．（2019秋•和平区期末）如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F为BC中点，连接AF．（1）直接写出∠BAE的度数为90°；（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．【分析】（1）分别求出∠BAC，∠CAE即可解决问题．（2）证明AF⊥BCEC⊥BC即可判断．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵EA＝EC，∠AEC＝120°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°．故答案为90°．（2）结论：AF∥EC．理由：∵AB＝AC，BF＝CF，∴AF⊥BC，∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴EC⊥BC，∴AF∥EC．24．（2019秋•辛集市期末）如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？【分析】（1）首先设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合，表示出M ，N 的运动路程，N 的运动路程比M 的运动路程多10cm ，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形△AMN ，然后表示出AM ，AN 的长，由于∠A 等于60°，所以只要AM ＝AN 三角形ANM 就是等边三角形；（3）首先假设△AMN 是等腰三角形，可证出△ACM ≌△ABN ，可得CM ＝BN ，设出运动时间，表示出CM ，NB 的长，列出方程，可解出未知数的值． 【解析】（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合， x ×1+10＝2x ， 解得：x ＝10；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形△AMN ，如图①， AM ＝t ×1＝t ，AN ＝AB ﹣BN ＝10﹣2t ， ∵三角形△AMN 是等边三角形， ∴t ＝10﹣2t ， 解得t =103， ∴点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形△AMN ．（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形， 由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处， 如图②，假设△AMN 是等腰三角形， ∴AN ＝AM ， ∴∠AMN ＝∠ANM ， ∴∠AMC ＝∠ANB ， ∵AB ＝BC ＝AC ，∴△ACB 是等边三角形， ∴∠C ＝∠B ，在△ACM 和△ABN 中， ∵{∠C =∠B∠AMC =∠ANB AC =AB ， ∴△ACM ≌△ABN （AAS ）， ∴CM ＝BN ，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形， ∴CM ＝y ﹣10，NB ＝30﹣2y ，CM ＝NB ， y ﹣10＝30﹣2y ，解得：y =403．故假设成立．∴当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰△AMN ，此时M 、N 运动的时间为403秒．。