六年级下册数学讲义-小升初培优：第02讲 三角形面积——等积变形(上)(解析版)全国通用

2020-2021学年人教版六年级下册小升初专题培优第二讲：三角形等积变形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．如图，D是BC的中点，△ABD与△ACD的面积（______）。

2．如图，已知DC＝2BD，那么△ACD的面积是△ABD面积的（______）倍。

二、解答题3．4．把任意1个三角形分成6个面积相等的三角形，你有几种分法？5．如图，在面积24平方厘米的三角形ABC中，M为BC的中点，AD＝2DM，求三角形ABD的面积。

6．如图，在三角形ABC中，CD＝2BD，E是AC边上的四等分点，三角形ADE的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积是多少？7．如图，在面积为120平方厘米的三角形ABC中，BE＝2EC，3FB＝AF，求阴影部分的面积。

8．如图，在梯形ABCD中，BO＝30厘米，OD＝10厘米，三角形BCO的面积为36平方厘米，求梯形ABCD的面积。

9．如图，在三角形ABC中，D是四等分点，3AM＝AD，求三角形ABC的面积是三角形ABM面积的几倍。

10．如图，D是BC中点，AD＝3DF，3BE＝EF，求三角形ABC面积是三角形AEF面积的几倍？11．一个大长方形被两条平行于它的两条边的线分成a、b、c、d四个小长方形。

已知a 的面积是10平方厘米，b的面积是14平方厘米。

c的面积是35平方厘米，求d的面积。

12．下图一个大长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积如图所示（单位：平方厘米），求阴影部分的面积。

13．如下图，已知D是BC的中点，AE＝2ED，三角形ABC的面积是24平方厘米，求三角形CDE的面积。

14．如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，AD＝6厘米，E、F分别为AB和AC的中点。

那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？15．如图，已知三角形1的面积是6平方厘米，三角形2的面积是30平方厘米，求梯形ABCD的面积。

六年级数学等积变形在六年级数学学习中，等积变形是一个重要的知识点。

通过等积变形，我们可以将一个数学问题转化为另一种形式，从而更容易解决。

本文将介绍等积变形的定义、常用方法和实例，帮助同学们更好地理解和掌握这个概念。

等积变形是指在求解数学问题时，通过对等式两边同时乘以或除以相同的数，使得等式的形式改变，但等式的解并未改变。

常用的等积变形方法包括倍数变形、倒数变形和分解因式等。

首先，我们来看一下倍数变形。

倍数变形是指通过等式两边同时乘以或除以相同的数，从而改变等式中数的大小，但保持等式的成立性。

举个例子，假设有一个等式：2x = 10，我们可以将等式两边同时乘以2，得到4x = 20。

通过倍数变形，我们改变了等式中的系数，但等式的解仍然保持不变。

其次，倒数变形也是一种常用的等积变形方法。

倒数变形是指通过等式两边同时乘以或除以数的倒数，从而改变等式中数的倒数，但保持等式的成立性。

例如，对于一个等式：3y = 9，我们可以将等式两边同时除以3，得到y = 3。

通过倒数变形，我们改变了等式中的系数，但等式的解依然是相同的。

最后，分解因式也是一种常见的等积变形方法。

分解因式是指将等式中的一个或多个数进行因式分解，从而改变等式的形式。

例如，对于一个等式：2x + 4 = 10，我们可以将等式中的2进行因式分解，得到2(x + 2) = 10。

通过分解因式，我们改变了等式的结构，使得解决问题更为简便。

接下来，让我们通过一些实例来进一步理解等积变形的应用。

假设有一个问题：小明买了一些苹果，若每个苹果的价格为2元，总共花费10元。

现在，若每个苹果的价格变为3元，小明只能买到几个苹果？我们可以通过等积变形来解决这个问题。

首先，我们设小明原本买了x个苹果，根据题意，我们可以列出等式：2x = 10。

现在，苹果的价格变为3元，我们可以设小明能够买到的苹果数量为y，列出等式：3y = 10。

通过倍数变形，我们可以得到3(2x) = 2(3y)。

2022-2023学年学校六班级思维拓展举一反三精编讲义专题09 面积计算（等积变形）计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。

这时，假如我们能认真观看图形，分析、争辩已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何学问，适当添加帮助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺当达到目的。

有些平面图形的面积计算必需借助于图形本身的特征，添加一些帮助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

【典例分析01】已知图，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。

【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。

由于AE=ED,连接DF ，可知S △AEF =S △EDF （等底等高），接受移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。

由于BD=23 BC ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。

又由于AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。

因此，S △ABC ＝5 S △DCF 。

由于S △ABC ＝8平方厘米，所以S △DCF ＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。

【典例分析02】两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？学问精讲典例分析【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。

所以△AOD的面积为6÷2＝3。

由于S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO＝6由于S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍所以△AOD＝6÷2＝3。

第02讲三角形面积——等积变形（下）教学目标：1、能正确运用等积变形的思想方法解决三角形面积的计算问题，并解决一些简单的实际问题，培养学员的图形认知能力；2、把等积变形的知识点与生活实际问题结合起来，并加强计算能力和综合能力；3、在操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动过程中，进一步体会等积变形、转化等数学思想方法，发展空间观念，发展初步的推理能力。

教学重点：掌握等积变形的思想方法。

教学难点：等积变形在实际问题中的应用。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）等积变形一般指三角形的等积变形，就是使三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：1.等底等高的两个三角形面积相等；2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等；3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形面积也是另一个三角形面积的几倍；4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）如图，三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？解析部分：把△AED的面积看成一份，根据题目条件，可以知道△ACD的面积是4份，同理可得△ABD的面积是2份。

故而△ABC的面积是6份。

给予新学员的建议：对图形进行认真观察，然后在图形上进行实际的尝试操作。

哈佛案例教学法：引导学员多多进行纸上的亲自动手操作，提升画图能力并进行综合处理。

参考答案：20×6=120（平方厘米）【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）如图，在三角形ABC中，BE=2EC，AD=BD，已知三角形ABC的面积是18平方厘米，求四边形ADEC的面积。

解析部分：连结AE，如下图所示，根据已知条件可以知道三角形ACE的面积是三角形ABC的三分之一，而三角形ADE的面积是三角形ABE面积的一半。

第五节 等积变换【知识要点】1．等积形： 面积相等的两个图形称为等积形． 2．三角形的等积变换：三角形的等积变换指的是使三角形面积相等的变换． 3．三角形等积变形中常用到的几个重要结论： （1）平行线间的距离处处相等． （2）等底等高的两个三角形面积相等．（3）底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的顶点是同一个，这样的两个三角形面积相等． （4）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．（5）若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等．【典型例题】例1 用五种以上的方法将三角形ABC 分解成面积相等的四个小三角形．你能找出十种以上的方法吗？例，是例例2，求△DBE 的面积？例5 ABC ∆中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点．若224cm S ABC =∆，则=∆MCN S ？例6 如图：将一个三角形（有阴影的）两条边分别延长 2倍，得到一个大三角形的面积是原三角形，这个大三角 形的面积是原三角形面积的多少倍？练习 成绩：1．ABC ∆中，D 是BC 边中点，连接AD ，ABC ∆与ACD ∆的面积有什么关系？ 2．△ACD 的面积为4cm 2,CD=2BD,求△ABC 的面积．3．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AC 的三等分点．已知△ABC 的面积是108平方厘米， 求△CDE 的面积．C B C B CDA C A A C4．下图中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F 是AE 的中点，△ABC 的BC 边上的高是4厘米，阴影面积是多少 平方厘米？5．在△ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的 面积是20平方厘米．求△ABC 的面积．6．已知三角形ABC 面积为8，2BD=AB ，BE=CE ， 求三角形DBE 的面积．7．如图中：如果△ABC 中的BD ＝DE ＝EC ，BF ＝FA ， △EDF 的面积是1个面积单位，△ABC 的面积是多少？作业1．图中CD ＝3BD ，ABD ∆的面积为2cm 2，求ABC ∆2．如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AE 的中点，图中与△ADE 等积的三角形有哪几个？3．图中阴影部分面积是10平方厘米，AD=DB， CE=EB ，求ABC ∆的面积．4．如图中：如果三角形ABC 中的BD=DE=EC ，2BF=FA ， 三角形EDF 的面积是1个面积单位，三角形ABC 的面积 是多少？5．将一个正方形分成六个等腰直角三角形，已知ABC 面积 为2，求正方形的面积．6．边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的 正三角形的多少倍？7．下图中三角形ABC 的面积为12cm ，其中AE=4AB ， BD=3BC ，求三角形BED 的面积．【图形】。

第02讲三角形面积——等积变形（上）教学目标：1、让学员理解并掌握等积变形的思想方法；2、把等积变形的知识点与生活实际问题结合起来；3、让学员在操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动过程中，体会等积变形、转化等数学思想方法，发展空间观念，发展初步的推理能力。

教学重点：掌握等积变形的思想方法。

教学难点：等积变形在实际问题中的应用。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，可以用符号“□”表示。

从□ABCD的一边AD上一点向对边BC画垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形BC边上的高，边BC叫做平行四边形的底；2.平行四边形的对边相等、对角相等；平行四边形四条边确定了，它的形状、大小还不能完全确定；3.如果用字母S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那么平行四边形的面积公式为：S=ah。

（其中h是底a上的高）。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边分为9个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为99cm2，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为19 cm2，求四边形ABCD的面积。

解析部分：把四边形ABCD的面积分为阴影部分和周围空白的4个三角形来看。

仔细观察，可以发现：周围空白的4个三角形分别占所在平行四边形（由2个小平行四边形组成）的一半，则4个三角形的面积等于周围8个小平行四边形面积的一半。

给予新学员的建议：对于图形进行纸上的多多操作并有所思考，画图尽可能的精确。

哈佛案例教学法：鼓励学员积极参与小组内的讨论，并积极发言进行回答，带动起课堂氛围。

参考答案：S=（99-19）÷2+19=59（cm2）【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？解析部分：求三角形的面积一般需要知道三角形的底和高，而本题这些条件都未知。

我们已经知道三角形的面积公式为： S ∆ =21⨯ 底⨯高 。

这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：【结论 1】等底等高------若两个三角形等底等高，则这两个三角形的面积相同（图①）；【结论 2】同底看高------若两个三角形等底，但高不等，则这两个三角形面积比等于高之比（图②）；【结论 3】同高看底------若两个三角形等高，但底不等，则这两个三角形面积比等于底之比（图③）；=∆∆DBC ABC s s : ;=∆∆DBC ABC s s : ;=∆∆ADC ABD s s :【例1】用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．【例2】如图，在△ABC 中， FC : DF : BD = 4 : 3 : 2 ，已知△AFC 的面积为 48cm 2，E 为 AF 的中点。

求阴影部分的面积。

专题：三角形之等积变形【例 3】如右图，长方形 ADEF 的面积是 16 平方厘米，三角形 ADB 的面积是 3 平方厘米，三角形 ACF 的面积是 4 平方厘米，则三角形 ABC 的面积是多少？AFC DBE1、如图，△ABC 的每边长都是 96cm ，用折线把这个三角形分割成面积相等的 4 个三角形，求线段 CE 和 CF 的长度和为 。

2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4。

3、如图，△ABC 的面积为 1，且 BD =21DC , AF = 21FD , CE = EF ,则△DEF 的面积是多少？4、如图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为 1 平方厘米．求三角形 ABC 的面积．1、如图，怎样把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形？（作图说明）2、如图，在△ABC 中，BD = 2AD ，AG = 2CG ，BE = EF = FC = 31BC ，求阴影部分面积占△ABC面积的几分之几？3、如图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E ，交 DA 延长线于 F ，若 S △ADE =1，求△BEF 的面积．4。

小升初几何重点考查内容(★★★)已知三角形DEF 的面积为 18，AD∶BD＝2∶3，AE∶CE＝1∶2，BF∶CF＝3∶2，则三角形ABC 的面积为(★★★如图，已知三角形ABC 面积为 1，延长AB 至D，使BD＝AB；延长BC 至E，使CE＝2BC；延长CA 至F，使AF＝3AC，求三角形DEF 的面积。

(★★★★)如图将四边形ABCD 四条边AB、CB、CD、AD 分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD 的面积为 5cm，则四边形EFGH 的面积是多少(★★★)图中三角形ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的 3 倍，EF的长是BF 长的 3 倍。

那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米(★★★★)如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成。

求阴影部分的面积。

(2009 年“学而思杯”六年级)如图 BC ＝45，AC ＝21，△ABC 被分成 9 个面积相等的小三角形，那么 DI ＋FK ＝。

在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1.★★★★设 AD1AB , BE1BC , FC 1AC , 如果三角形 DEF的面积为 19 平方厘米，34 5那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米 A ．B ．C ．D ．(★★★★★2.★★★如下图，将三角形ABC 的BA 边延长 1 倍到D，CB 的边延长 2 倍到E，AC 边延长1 倍到F。

如果三角形ABC 的面积等于 1，那么三角形DEF 的面积是多少A．10 B．8 C．9 D．113.★★★★★如图，把四边形ABCD 的各边都延长3 倍，得到一个新四边形EFGH，如果ABCD 的面积是6，则EFGH 的面积是( )A．130 B．145 C．160 D．1504.★★★★如图，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3 倍，EF 的长是BF 长的3倍．三角形AEF 的面积是18 平方厘米，三角形ABC 的面积是( )平方厘米A．144 B．168 C．72 D．1005.★★图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部分的面积是( )A．50 B．48 C．56 D．456.★★★如图，S 1 ，BC 5BD ，AC 4EC ，DG GS SE ，AF FG 。

小升初几何重点考查内容————(五大模型——三角形等积变形、共角模型)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1小升初几何重点考查内容(★★★)已知三角形DEF 的面积为 18，AD∶BD＝2∶3，AE∶CE＝1∶2，BF∶CF＝3∶2，则三角形ABC 的面积为如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使 BD ＝AB ；延长 BC 至 E ，使 CE ＝2BC ； 延长 CA 至 F ，使 AF ＝3AC ，求三角形 DEF 的面积。

(★★★★)如图将四边形 ABCD 四条边 AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点 E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为 5cm ，则四边形 EFGH 的面积是多少(★★★)图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的 3 倍，EF 的长是 BF 长的 3 倍。

那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米(★★★★)如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成。

求阴影部分的面积。

(★★★)(2009 年“学而思杯”六年级) 如图 BC ＝45，AC ＝21，△ABC 被分成 9 个面积相等的小三角形，那么 DI ＋FK ＝。

在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1.★★★★设 AD 1 AB , BE 1 BC , FC 1AC , 如果三角形 DEF 的面积为19 平方厘米，345那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米 A ． B ． C ． D ．(★★★★★)FESG2. ★★★如下图，将三角形 ABC 的 BA 边延长 1 倍到 D ，CB 的边延长 2 倍到 E ，AC 边延长 1 倍到 F 。

如果三角形 ABC 的面积等于 1，那么三角形 DEF 的面积是多少 A ．10 B ．8 C ．9 D ．113. ★★★★★如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 3倍，得到一个新四边形EFGH，如果ABCD 的面积是 6，则 EFGH 的面积是()A ．130B ．145C ．160D ．1504. ★★★★如图， D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的 3 倍，EF 的长是 BF 长的 3倍． 三角形 AEF 的面积是 18 平方厘米，三角形 ABC 的面积是( )平方厘米 A ．144 B ．168 C ．72 D ．1005. ★★图中的 E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部分的面积是( ) A ．50 B ．48C ．56D ．456.★★★如图， S 1 ， BC 5BD ， AC 4EC ， DG GS SE ， AFFG 。

六年级下册数学试题-⼩升初专题培优：等积变形（含答案）全国通⽤我们已经知道三⾓形⾯积的计算公式：三⾓形⾯积＝底×⾼÷2从这个公式我们可以发现：三⾓形⾯积的⼤⼩，取决于三⾓形底和⾼的乘积。

如果三⾓形的底不变，⾼越⼤(⼩)，三⾓形⾯积也就越⼤(⼩)；如果三⾓形的⾼不变，底越⼤(⼩)，三⾓形⾯积也就越⼤(⼩)；这说明当三⾓形的⾯积变化时，它的底和⾼之中⾄少有⼀个要发⽣变化。

但是，当三⾓形的底和⾼同时发⽣变化时，三⾓形的⾯积不⼀定变化。

⽐如当⾼变为原来的3倍，底变为原来的，则三⾓形⾯积与原来的⼀样。

这就是说：⼀个三⾓形的⾯积变化与否取决于它的⾼和底的乘积，⽽不仅仅取决于⾼或底的变化。

同时也告诉我们：⼀个三⾓形在⾯积不改变的情况下，可以有⽆数多个不同的形状。

在实际问题的研究中，我们还会常常⽤到以下结论：①等底等⾼的两个三⾓形⾯积相等；②两个三⾓形⾼相等，⾯积⽐等于它们的底之⽐；两个三⾓形底相等，⾯积⽐等于它们的⾼之⽐；如左图S1∶S2＝a∶b③夹在⼀组平⾏线之间的等积变形，如右下图S△ACD＝S△BCD；反之，如果S△ACD＝S△BCD，则可知直线AB平⾏于CD。

④等底等⾼的两个平⾏四边形⾯积相等(长⽅形和正⽅形可以看作特殊的平⾏四边形)；⑤三⾓形⾯积等于与它等底等⾼的平⾏四边形⾯积的⼀半；⑥两个平⾏四边形⾼相等，⾯积⽐等于它们的底之⽐；两个平⾏四边形底相等，⾯积⽐等于它们的⾼之⽐。

图中三⾓形ABC的⾯积是160平⽅厘⽶，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍。

那么三⾓形AEF的⾯积是多少平⽅厘⽶？例1⼩升初——等积变形在边长为6厘⽶的正⽅形ABCD内任取⼀点P，将正⽅形的⼀组对边⼆等分，另⼀组对边三等分，分别与P点连接，求阴影部分⾯积。

如图，⼤长⽅形由⾯积是12平⽅厘⽶、24平⽅厘⽶、36平⽅厘⽶、48平⽅厘⽶的四个⼩长⽅形组合⽽成。

求阴影部分的⾯积。

(2009年第七届”希望杯”⼆试六年级)如图，在三⾓形ABC中，已知三⾓形ADE、三⾓形DCE、三⾓形BCD的⾯积分别是89，28，26。

第2讲几何问题——等积变形、加减法、旋转法思维启航一、训练目标知识传递：学习如何巧妙的计算组合图形的面积，运用不同方法去解决复杂的面积问题。

能力强化：通过该讲培养学生分析能力、综合能力、观察能力、操作能力、空间思维能力。

思想方法：等积变形、加减法、旋转法。

二、知识方法归纳组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。

组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。

由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。

要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：1、切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；2、仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。

3、对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。

有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。

思维进阶例1.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。

阴影部分的面积是多少？例2.如图19－14所示，阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）。

思维训练1.如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，阴影部分的面积是多少？例3.如图是个对称图形，阴影部分的面积是多少？例4.如图，已知ABC为扇形，BDF为扇形，CBDE为长方形。

CE=8厘米，CB=10厘米，图中阴影部分的面积是多少？例5.如图，已知AC=4厘米，CB=6厘米，阴影部分的面积是多少？思维训练2.下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）是多少？例6.如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 思维深化 （训练时间： 满分：120分，训练得分： ）1.计算题。

（每小题10分，共20分）（1）31243119.421427.1÷⨯+÷）（（2）595491474371353241÷+÷+÷（3）（1847 +1449 ）÷（37 ＋39 ）＋523（4）12 +14 +18 +116 +132 +164 +11282.填空题。

第03讲复杂的梯形面积（上）教学目标：1、理解梯形面积公式，会应用公式正确计算梯形的面积，并会计算一些简单的有关梯形面积的实际问题；2、通过梯形面积的知识点的学习，加深对于其与其它数学知识的联系的把握和认识；3、渗透旋转、平移的数学思想，体现对学员数学思想的教育。

教学重点：探究并推导梯形的面积公式，并能正确运用。

教学难点：会用等积变形的思想解决涉及梯形的复杂图形问题；初步学会添加辅助线的分析方法。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）等积变形一般指三角形的等积变形，就是使三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：1.等底等高的两个三角形面积相等；2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等；3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形面积也是另一个三角形面积的几倍；4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）如图所示的正方形中，B、C、D、E、F是所在线段上的5个四等分点。

若大正方形面积为64，则△DEF的面积是多少？解析部分：C是四等分点，那么△ABC的面积等于大正方形面积一半的四分之三；D是四等分点，所以△BCD的面积等于△ABC面积的四分之三；E是四等分点，△CDE的面积等于△BCD面积的四分之三；F是四等分点，△DEF的面积等于△DEF面积的四分之三。

给予新学员的建议：找到三角形对应的适当的“底”和“高”，然后做出相应的计算。

哈佛案例教学法：引导学员多多进行纸上的亲自动手画一画图形，提升基础的画图能力。

参考答案：S △ABC =64÷2÷4×3=24S △BCD =24÷4×3=18S △CDE =18÷4×3=13.5S △DEF =13.5÷4×3=10.125【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）下图中，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，请根据图中所给的数据，求这个四边形的面积。