六年级下册数学讲义-小升初培优：第02讲 三角形面积——等积变形(上)(解析版)全国通用

2020-2021学年人教版六年级下册小升初专题培优第二讲：三角形等积变形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．如图，D是BC的中点，△ABD与△ACD的面积（______）。

2．如图，已知DC＝2BD，那么△ACD的面积是△ABD面积的（______）倍。

二、解答题3．4．把任意1个三角形分成6个面积相等的三角形，你有几种分法？5．如图，在面积24平方厘米的三角形ABC中，M为BC的中点，AD＝2DM，求三角形ABD的面积。

6．如图，在三角形ABC中，CD＝2BD，E是AC边上的四等分点，三角形ADE的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积是多少？7．如图，在面积为120平方厘米的三角形ABC中，BE＝2EC，3FB＝AF，求阴影部分的面积。

8．如图，在梯形ABCD中，BO＝30厘米，OD＝10厘米，三角形BCO的面积为36平方厘米，求梯形ABCD的面积。

9．如图，在三角形ABC中，D是四等分点，3AM＝AD，求三角形ABC的面积是三角形ABM面积的几倍。

10．如图，D是BC中点，AD＝3DF，3BE＝EF，求三角形ABC面积是三角形AEF面积的几倍？11．一个大长方形被两条平行于它的两条边的线分成a、b、c、d四个小长方形。

已知a 的面积是10平方厘米，b的面积是14平方厘米。

c的面积是35平方厘米，求d的面积。

12．下图一个大长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积如图所示（单位：平方厘米），求阴影部分的面积。

13．如下图，已知D是BC的中点，AE＝2ED，三角形ABC的面积是24平方厘米，求三角形CDE的面积。

14．如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，AD＝6厘米，E、F分别为AB和AC的中点。

那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？15．如图，已知三角形1的面积是6平方厘米，三角形2的面积是30平方厘米，求梯形ABCD的面积。

六年级数学等积变形在六年级数学学习中，等积变形是一个重要的知识点。

通过等积变形，我们可以将一个数学问题转化为另一种形式，从而更容易解决。

本文将介绍等积变形的定义、常用方法和实例，帮助同学们更好地理解和掌握这个概念。

等积变形是指在求解数学问题时，通过对等式两边同时乘以或除以相同的数，使得等式的形式改变，但等式的解并未改变。

常用的等积变形方法包括倍数变形、倒数变形和分解因式等。

首先，我们来看一下倍数变形。

倍数变形是指通过等式两边同时乘以或除以相同的数，从而改变等式中数的大小，但保持等式的成立性。

举个例子，假设有一个等式：2x = 10，我们可以将等式两边同时乘以2，得到4x = 20。

通过倍数变形，我们改变了等式中的系数，但等式的解仍然保持不变。

其次，倒数变形也是一种常用的等积变形方法。

倒数变形是指通过等式两边同时乘以或除以数的倒数，从而改变等式中数的倒数，但保持等式的成立性。

例如，对于一个等式：3y = 9，我们可以将等式两边同时除以3，得到y = 3。

通过倒数变形，我们改变了等式中的系数，但等式的解依然是相同的。

最后，分解因式也是一种常见的等积变形方法。

分解因式是指将等式中的一个或多个数进行因式分解，从而改变等式的形式。

例如，对于一个等式：2x + 4 = 10，我们可以将等式中的2进行因式分解，得到2(x + 2) = 10。

通过分解因式，我们改变了等式的结构，使得解决问题更为简便。

接下来，让我们通过一些实例来进一步理解等积变形的应用。

假设有一个问题：小明买了一些苹果，若每个苹果的价格为2元，总共花费10元。

现在，若每个苹果的价格变为3元，小明只能买到几个苹果？我们可以通过等积变形来解决这个问题。

首先，我们设小明原本买了x个苹果，根据题意，我们可以列出等式：2x = 10。

现在，苹果的价格变为3元，我们可以设小明能够买到的苹果数量为y，列出等式：3y = 10。

通过倍数变形，我们可以得到3(2x) = 2(3y)。

2022-2023学年学校六班级思维拓展举一反三精编讲义专题09 面积计算（等积变形）计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。

这时，假如我们能认真观看图形，分析、争辩已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何学问，适当添加帮助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺当达到目的。

有些平面图形的面积计算必需借助于图形本身的特征，添加一些帮助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

【典例分析01】已知图，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。

【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。

由于AE=ED,连接DF ，可知S △AEF =S △EDF （等底等高），接受移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。

由于BD=23 BC ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。

又由于AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。

因此，S △ABC ＝5 S △DCF 。

由于S △ABC ＝8平方厘米，所以S △DCF ＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。

【典例分析02】两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？学问精讲典例分析【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。

所以△AOD的面积为6÷2＝3。

由于S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO＝6由于S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍所以△AOD＝6÷2＝3。

第02讲三角形面积——等积变形（下）教学目标：1、能正确运用等积变形的思想方法解决三角形面积的计算问题，并解决一些简单的实际问题，培养学员的图形认知能力；2、把等积变形的知识点与生活实际问题结合起来，并加强计算能力和综合能力；3、在操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动过程中，进一步体会等积变形、转化等数学思想方法，发展空间观念，发展初步的推理能力。

教学重点：掌握等积变形的思想方法。

教学难点：等积变形在实际问题中的应用。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）等积变形一般指三角形的等积变形，就是使三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：1.等底等高的两个三角形面积相等；2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等；3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形面积也是另一个三角形面积的几倍；4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）如图，三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？解析部分：把△AED的面积看成一份，根据题目条件，可以知道△ACD的面积是4份，同理可得△ABD的面积是2份。

故而△ABC的面积是6份。

给予新学员的建议：对图形进行认真观察，然后在图形上进行实际的尝试操作。

哈佛案例教学法：引导学员多多进行纸上的亲自动手操作，提升画图能力并进行综合处理。

参考答案：20×6=120（平方厘米）【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）如图，在三角形ABC中，BE=2EC，AD=BD，已知三角形ABC的面积是18平方厘米，求四边形ADEC的面积。

解析部分：连结AE，如下图所示，根据已知条件可以知道三角形ACE的面积是三角形ABC的三分之一，而三角形ADE的面积是三角形ABE面积的一半。

第五节 等积变换【知识要点】1．等积形： 面积相等的两个图形称为等积形． 2．三角形的等积变换：三角形的等积变换指的是使三角形面积相等的变换． 3．三角形等积变形中常用到的几个重要结论： （1）平行线间的距离处处相等． （2）等底等高的两个三角形面积相等．（3）底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的顶点是同一个，这样的两个三角形面积相等． （4）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．（5）若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等．【典型例题】例1 用五种以上的方法将三角形ABC 分解成面积相等的四个小三角形．你能找出十种以上的方法吗？例，是例例2，求△DBE 的面积？例5 ABC ∆中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点．若224cm S ABC =∆，则=∆MCN S ？例6 如图：将一个三角形（有阴影的）两条边分别延长 2倍，得到一个大三角形的面积是原三角形，这个大三角 形的面积是原三角形面积的多少倍？练习 成绩：1．ABC ∆中，D 是BC 边中点，连接AD ，ABC ∆与ACD ∆的面积有什么关系？ 2．△ACD 的面积为4cm 2,CD=2BD,求△ABC 的面积．3．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AC 的三等分点．已知△ABC 的面积是108平方厘米， 求△CDE 的面积．C B C B CDA C A A C4．下图中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F 是AE 的中点，△ABC 的BC 边上的高是4厘米，阴影面积是多少 平方厘米？5．在△ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的 面积是20平方厘米．求△ABC 的面积．6．已知三角形ABC 面积为8，2BD=AB ，BE=CE ， 求三角形DBE 的面积．7．如图中：如果△ABC 中的BD ＝DE ＝EC ，BF ＝FA ， △EDF 的面积是1个面积单位，△ABC 的面积是多少？作业1．图中CD ＝3BD ，ABD ∆的面积为2cm 2，求ABC ∆2．如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AE 的中点，图中与△ADE 等积的三角形有哪几个？3．图中阴影部分面积是10平方厘米，AD=DB， CE=EB ，求ABC ∆的面积．4．如图中：如果三角形ABC 中的BD=DE=EC ，2BF=FA ， 三角形EDF 的面积是1个面积单位，三角形ABC 的面积 是多少？5．将一个正方形分成六个等腰直角三角形，已知ABC 面积 为2，求正方形的面积．6．边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的 正三角形的多少倍？7．下图中三角形ABC 的面积为12cm ，其中AE=4AB ， BD=3BC ，求三角形BED 的面积．【图形】。

第02讲三角形面积——等积变形（上）教学目标：1、让学员理解并掌握等积变形的思想方法；2、把等积变形的知识点与生活实际问题结合起来；3、让学员在操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动过程中，体会等积变形、转化等数学思想方法，发展空间观念，发展初步的推理能力。

教学重点：掌握等积变形的思想方法。

教学难点：等积变形在实际问题中的应用。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，可以用符号“□”表示。

从□ABCD的一边AD上一点向对边BC画垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形BC边上的高，边BC叫做平行四边形的底；2.平行四边形的对边相等、对角相等；平行四边形四条边确定了，它的形状、大小还不能完全确定；3.如果用字母S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那么平行四边形的面积公式为：S=ah。

（其中h是底a上的高）。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边分为9个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为99cm2，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为19 cm2，求四边形ABCD的面积。

解析部分：把四边形ABCD的面积分为阴影部分和周围空白的4个三角形来看。

仔细观察，可以发现：周围空白的4个三角形分别占所在平行四边形（由2个小平行四边形组成）的一半，则4个三角形的面积等于周围8个小平行四边形面积的一半。

给予新学员的建议：对于图形进行纸上的多多操作并有所思考，画图尽可能的精确。

哈佛案例教学法：鼓励学员积极参与小组内的讨论，并积极发言进行回答，带动起课堂氛围。

参考答案：S=（99-19）÷2+19=59（cm2）【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？解析部分：求三角形的面积一般需要知道三角形的底和高，而本题这些条件都未知。

我们已经知道三角形的面积公式为： S ∆ =21⨯ 底⨯高 。

这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：【结论 1】等底等高------若两个三角形等底等高，则这两个三角形的面积相同（图①）；【结论 2】同底看高------若两个三角形等底，但高不等，则这两个三角形面积比等于高之比（图②）；【结论 3】同高看底------若两个三角形等高，但底不等，则这两个三角形面积比等于底之比（图③）；=∆∆DBC ABC s s : ;=∆∆DBC ABC s s : ;=∆∆ADC ABD s s :【例1】用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．【例2】如图，在△ABC 中， FC : DF : BD = 4 : 3 : 2 ，已知△AFC 的面积为 48cm 2，E 为 AF 的中点。

求阴影部分的面积。

专题：三角形之等积变形【例 3】如右图，长方形 ADEF 的面积是 16 平方厘米，三角形 ADB 的面积是 3 平方厘米，三角形 ACF 的面积是 4 平方厘米，则三角形 ABC 的面积是多少？AFC DBE1、如图，△ABC 的每边长都是 96cm ，用折线把这个三角形分割成面积相等的 4 个三角形，求线段 CE 和 CF 的长度和为 。

2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4。

3、如图，△ABC 的面积为 1，且 BD =21DC , AF = 21FD , CE = EF ,则△DEF 的面积是多少？4、如图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为 1 平方厘米．求三角形 ABC 的面积．1、如图，怎样把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形？（作图说明）2、如图，在△ABC 中，BD = 2AD ，AG = 2CG ，BE = EF = FC = 31BC ，求阴影部分面积占△ABC面积的几分之几？3、如图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E ，交 DA 延长线于 F ，若 S △ADE =1，求△BEF 的面积．4。

小升初几何重点考查内容(★★★)已知三角形DEF 的面积为 18，AD∶BD＝2∶3，AE∶CE＝1∶2，BF∶CF＝3∶2，则三角形ABC 的面积为(★★★如图，已知三角形ABC 面积为 1，延长AB 至D，使BD＝AB；延长BC 至E，使CE＝2BC；延长CA 至F，使AF＝3AC，求三角形DEF 的面积。

(★★★★)如图将四边形ABCD 四条边AB、CB、CD、AD 分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD 的面积为 5cm，则四边形EFGH 的面积是多少(★★★)图中三角形ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的 3 倍，EF的长是BF 长的 3 倍。

那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米(★★★★)如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成。

求阴影部分的面积。

(2009 年“学而思杯”六年级)如图 BC ＝45，AC ＝21，△ABC 被分成 9 个面积相等的小三角形，那么 DI ＋FK ＝。

在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1.★★★★设 AD1AB , BE1BC , FC 1AC , 如果三角形 DEF的面积为 19 平方厘米，34 5那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米 A ．B ．C ．D ．(★★★★★2.★★★如下图，将三角形ABC 的BA 边延长 1 倍到D，CB 的边延长 2 倍到E，AC 边延长1 倍到F。

如果三角形ABC 的面积等于 1，那么三角形DEF 的面积是多少A．10 B．8 C．9 D．113.★★★★★如图，把四边形ABCD 的各边都延长3 倍，得到一个新四边形EFGH，如果ABCD 的面积是6，则EFGH 的面积是( )A．130 B．145 C．160 D．1504.★★★★如图，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3 倍，EF 的长是BF 长的3倍．三角形AEF 的面积是18 平方厘米，三角形ABC 的面积是( )平方厘米A．144 B．168 C．72 D．1005.★★图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部分的面积是( )A．50 B．48 C．56 D．456.★★★如图，S 1 ，BC 5BD ，AC 4EC ，DG GS SE ，AF FG 。

小升初几何重点考查内容————(五大模型——三角形等积变形、共角模型)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1小升初几何重点考查内容(★★★)已知三角形DEF 的面积为 18，AD∶BD＝2∶3，AE∶CE＝1∶2，BF∶CF＝3∶2，则三角形ABC 的面积为如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使 BD ＝AB ；延长 BC 至 E ，使 CE ＝2BC ； 延长 CA 至 F ，使 AF ＝3AC ，求三角形 DEF 的面积。

(★★★★)如图将四边形 ABCD 四条边 AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点 E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为 5cm ，则四边形 EFGH 的面积是多少(★★★)图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的 3 倍，EF 的长是 BF 长的 3 倍。

那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米(★★★★)如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成。

求阴影部分的面积。

(★★★)(2009 年“学而思杯”六年级) 如图 BC ＝45，AC ＝21，△ABC 被分成 9 个面积相等的小三角形，那么 DI ＋FK ＝。

在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1.★★★★设 AD 1 AB , BE 1 BC , FC 1AC , 如果三角形 DEF 的面积为19 平方厘米，345那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米 A ． B ． C ． D ．(★★★★★)FESG2. ★★★如下图，将三角形 ABC 的 BA 边延长 1 倍到 D ，CB 的边延长 2 倍到 E ，AC 边延长 1 倍到 F 。

如果三角形 ABC 的面积等于 1，那么三角形 DEF 的面积是多少 A ．10 B ．8 C ．9 D ．113. ★★★★★如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 3倍，得到一个新四边形EFGH，如果ABCD 的面积是 6，则 EFGH 的面积是()A ．130B ．145C ．160D ．1504. ★★★★如图， D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的 3 倍，EF 的长是 BF 长的 3倍． 三角形 AEF 的面积是 18 平方厘米，三角形 ABC 的面积是( )平方厘米 A ．144 B ．168 C ．72 D ．1005. ★★图中的 E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部分的面积是( ) A ．50 B ．48C ．56D ．456.★★★如图， S 1 ， BC 5BD ， AC 4EC ， DG GS SE ， AFFG 。