人教版初中八年级数学上册专题整式的混合运算讲义及答案

专题全等三角形与角平分线知识点名师点晴全等三角形全等图形理解全等图形的定义，会识别全等图形全等三角形的判定理解并掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，并会判定两个三角形全等直角三角形的判定会利用HL判定两个三角形全等角平分线角平分线的性质理解并掌握角平分线的性质角平分线的判定利用角平分线的判定解决有关的实际问题☞2年中考【2015年题组】1．（2015六盘水）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【答案】D．【解析】试题分析：A．可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B．可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C．利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D．SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选D．考点：全等三角形的判定．2．（2015贵阳）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE【答案】B．考点：全等三角形的判定与性质．3．（2015义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C 画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D．【解析】试题分析：在△ADC和△ABC中，∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选D．考点：全等三角形的应用．4．（2015泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D．考点：1．全等三角形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰三角形的性质；4．综合题．5．（2015宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=12AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D．【解析】试题分析：在△ABD与△CBD中，∵AD=CD，AB=BC，DB=DB，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，∵AD=CD，∠ADB=∠CDB，OD=OD，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故①②正确；故选D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．新定义；3．阅读型．6．（2015宜昌）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．考点：全等三角形的判定．7．（2015荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．综合题；4．压轴题．8．（2015柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：2GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中，∵AG=CE，∠GAE=∠CEF，AE=EF，∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．9．（2015柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF= ．【答案】5．【解析】试题分析：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，则EF=5．故答案为：5．考点：全等三角形的性质．10．（2015盐城）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．【答案】DC=BC或∠DAC=∠BAC．考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．11．（2015贵港）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为．【答案】30°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．正方形的性质；4．综合题．12．（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．【答案】（400，800）．【解析】试题分析：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用．13．（2015福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．【答案】13．考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．角平分线的性质；4．等边三角形的判定与性质；5．等腰直角三角形；6．综合题．14．（2015鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=12∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．【答案】4．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．综合题．15．（2015长春）如图，在平面直角坐标系中，点P 在函数6y x =（0x >）的图象上．过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，取线段OB 的中点C ，连结PC 并延长交x 轴于点D ．则△APD 的面积为 ．【答案】6． 【解析】试题分析：∵PB ⊥y 轴，PA ⊥x 轴，∴APBDS 矩形=|k|=6，在△PBC 与△DOC 中，∵∠PBC=∠DOC=90°，BC=BC ，∠PCB=∠DCO ，∴△PBC ≌△DOC ，∴S △APD=S 矩形APBO=6．故答案为：6．考点：1．反比例函数系数k 的几何意义；2．全等三角形的判定与性质． 16．（2015江西省）如图，OP 平分∠MON ，PE ⊥OM 于E ，PF ⊥ON 于F ，OA=OB ，则图中有 对全等三角形．【答案】3．考点：1．全等三角形的判定；2．角平分线的性质；3．综合题．17．（2015贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=3 4．有以下的结论：①△ADE ∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或214；④0＜BE≤245，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．【答案】②③．若△BDE为直角三角形，则有两种情况：（1）若∠BED=90°，∵∠BDE=∠CAD，∠B=∠C，∴△BDE∽△CAD，∴∠CDA=∠BED=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=12BC=12；（2）若∠BDE=90°，如图2，设BD=x，则DC=24－x，∵∠CAD=∠BDE=90°，∠B=∠C=∠α，∴cos∠C=cosB=45，∴154245ACDC x==-，解得：214x=，∴若△BDE为直角三角形，则BD为12或214，故③正确；设BE=x，CD=y，∵△BDE∽△CAD，∴BE CDBD CA=，∴2415x yy=-，∴21524x y y=-，∴215144(12)x y=--，∴15144x≤，∴485x≤，∴0＜BE≤485，∴故④错误；故答案为：②③．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．18．（2015南宁）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是矩形．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的判定．19．（2015崇左）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：BE=CD．【答案】证明见试题解析．【解析】试题分析：根据两边及其夹角对应相等可以判断△ADE≌△AEB，再由全等三角形对应边相等可说明结论．证明：在△ADE和△AEB中，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ADE≌△AEB，∴BE=CD．考点：全等三角形的判定与性质．20．（2015来宾）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE、BF，（1）写出图中所有的全等三角形；（2）求证：DE∥BF．【答案】（1）△ABC≌△CDA，△ABF≌△△CDE，△ADE≌△CBF；（2）证明见试题解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．21．（2015百色）如图，AB∥DE，AB=DE，BF=EC．（1）求证：AC∥DF；（2）若CF=1个单位长度，能由△ABC经过图形变换得到△DEF吗？若能，请你用轴对称、平移或旋转等描述你的图形变换过程；若不能，说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）能，△ABC先向右平移1个单位长度，再绕点C旋转180°即可得到△DEF．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．几何变换的类型；3．网格型．22．（2015常州）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．【答案】（1）证明见试题解析；（2）60°．【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质得到∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，根据等边三角形的性质得到BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，即可证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，由SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；（2）根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，在△ABE和△FDA中，∵AB=DF，∠ABE=JIAO FDA，BE=AD，∴△ABE≌△FDA（SAS），∴AE=AF；（2）∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD，∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°，∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°﹣60°=60°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的性质．23．（2015乐山）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）43 3．试题解析：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，∴∠DBC=∠BDF，∴BE=DE，在△DCE和△BFE中，∵∠BEF=∠DEC，∠F=∠C，BE=DE，∴△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD中，∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，∴BC=23，在Rt△BCD中，∵CD=2，∠EDC=30°，∴DE=2EC，∴222(2)EC EC CD-=，∴233，∴BE=BC﹣433．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．全等三角形的判定与性质；3．综合题．24．（2015潜江）已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．【答案】（1）①MN=BM+DN；②成立；（2）直角三角形．（2）如图3，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连结NE．由旋转的性质得到DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°．先证明△AMN≌△AEN．得到MN=EN．由DN，DE，NE为直角三角形的三边，得到以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP=BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．在△ABM与△ADP中，∵AB=AD，∠ABM=∠ADP，BM=DP，∴△ABM≌△ADP（SAS），∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）=360°﹣135°﹣90°=135°．在△ANM与△ANP中，∵AM=AP，∠MAN=∠PAN，AN=AN，∴△ANM≌△ANP（SAS），∴MN=PN，∵PN=DP+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；（2）以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：如图3，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连结NE．由旋转的性质得：DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°．∵∠MAN=135°，∴∠EAN=360°-∠MAN-∠EAM =135°，∴∠EAN =∠MAN．在△AMN与△AEN中，∵AM=AE，∠MAN=∠EAN，AN=AN，∴△AMN≌△AEN．∴MN=EN．∵DN，DE，NE为直角三角形的三边，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．考点：1．几何变换综合题；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理的逆定理；4．和差倍分；5．探究型；6．综合题；7．压轴题．【2014年题组】1．（2014年贵州黔西南）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°【答案】C．考点：全等三角形的判定．2．（2014年湖南益阳）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（）A ．AE=CFB ．BE=FDC ．BF=DED ．∠1=∠2【答案】A ．【解析】试题分析：根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别作出判断：A 、当AE=CF 时，构成的条件是SSA ，无法得出△ABE ≌△CDF ，故此选项符合题意；B 、当BE=FD 时，构成的条件是SAS ，可得△ABE ≌△CDF ，故此选项不符合题意；C 、当BF=ED 时，由等量减等量差相等得BE=FD ，构成的条件是SAS ，可得△ABE ≌△CDF ，故此选项不符合题意；D 、当∠1=∠2时，构成的条件是ASA ，可得△ABE ≌△CDF ，故此选项不符合题意． 故选A ．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．3．（2014年江苏连云港）如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为1S 、2S ，则（ ）A ．1212S S =B ．1272S S =C ．12S S =D ．1285S S =【答案】C ．考点：1．全等三角形的判定和性质；2．等底等高三角形的性质．4．（2014年福建福州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC到点F，使12 CFBC=．.若AB=10，则EF的长是_______ ．【答案】5．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，AB=10，∴AD=5，AE=EC，12DE BC=，∠AED=90°．∵12CF BC=，∴DE=FC．在Rt△ADE和Rt△EFC中，∵AE=EC，DE=FC，∴Rt△ADE≌Rt△EFC（SAS）．∴EF=AD=5．考点：1．三角形中位线定理；2．全等三角形的判定和性质．5．（2014年湖南长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= __________ ．【答案】6．考点：1．平行的性质；2．全等三角形的判定和性质．6．（2014年湖南常德）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为______．【答案】60°．【解析】试题分析：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO=∠BCO．在△COD和△COB中，∵CD=CB，∠OCD=∠OCB，CO=CO，∴△COD≌△COB（SAS）．∴∠D=∠CBO．∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∠BAO=40°．∴∠DAO=140°．∵AD=AO，∴∠D=20°．∴∠CBO=20°．∴∠ABC=40°．∴∠BCA=60°．考点：1．角的平分线定义；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰三角形的性质．7、（2014年福建福州7分）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【答案】证明见试题解析．考点：全等三角形的判定和性质．8．（2014年湖北宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．【答案】（1）30°；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质和角平分的性质进行解答．（2）由ASA证明△ACD≌△ECD来推知DA=DE．试题解析：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=12∠CAB=30°，即∠CAD=30°．（2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，∴∠ECD=90°．∴∠ACD=∠ECD．在△ACD与△ECD中，∵AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS）．∴DA=DE．考点：1．直角三角形两锐角的关系；2．全等三角形的判定与性质．☞考点归纳归纳1：全等三角形的性质基础知识归纳：全等三角形的对应边相等，对应角相等基本方法归纳：利用全等三角形的性质解决有关线段相等和角的计算的有关问题注意问题归纳：利用全等三角形的性质时，关键是找准对应点，利用对应点得到相应的对应边以及对应角．【例1】如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为．【答案】60°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质．归纳2：全等三角形的判定方法基础知识归纳：三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．基本方法归纳：证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．注意问题归纳：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例2】如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F【答案】C．考点：全等三角形的判定与性质．归纳3：角平分线基础知识归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上．基本方法归纳：角平分线的性质是证明线段相等的重要工具，角平分线的性质经常用来解决点到直线的距离以及三角形的面积问题．注意问题归纳：注意区分角平分线的性质与判定，角平分线的性质和判定都是由三角形全等得到的．【例3】如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．【答案】证明见试题解析．考点：1．全等三角形的判定和性质；2．角平分线的性质．☞1年模拟1．（2015届北京市平谷区中考二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB '''∠=∠的依据是（ ）A ．（SAS ）B ．（SSS ）C ．（AAS ）D ．（ASA ）【答案】B ．【解析】试题分析：由题意可知，利用尺规作图法，可知OC=O ′C ′，OD=O ′D ′，CD=C ′D ′，根据全等三角形的判定定理（SSS ）可得△OCD ≌△O ′C ′D ′，得出A O B AOB '''∠=∠．故选B ．考点：1．全等三角形的判定；2．尺规作图．2．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上的一点，当PA=CQ 时，连接PQ 交AC 于点D ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．PD=DQB ．DE=21AC C ．AE=21CQ D ．PQ ⊥AB【答案】D ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．平行线的性质．3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），设BE=m ，CD=n ．下列结论：（1）图中有三对相似而不全等的三角形；（2）m•n=2；（3）BD2+CE2=DE2；（4）△ABD ≌△ACE ；（5）DF=AE ．其中正确的有（ ）A、2个B、3个C、4个D、5个【答案】A．（5）当AF与AB重合时，AE=12AF，22AF，得到DF≠12AF，于是由AE与DF 不一定相等；试题解析：（1）△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA，故（1）错误；（2）∵△ABE∽△DCA，∴BE BAAC CD=，由题意可知CA=BA=2，∴22mn=，∴m=2n，∴mn=2；（1＜n＜2）；故（2）正确；（3）证明：将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．连接HD，在△EAD和△HAD中，∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD，∴△EAD≌△HAD，∴DH=DE．又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，∴BD2+CE2=DH2，即BD2+CE2=DE2；故（3）正确；（4）若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，∴∠BAD≠∠CAE，∴△ABD与△ACE不一定全等，∴（4）错误；（5）当AF与AB重合时，AE=12AF，22AF，∴DF≠12AF，∴AE与DF不一定相等；∴（5）错误．故选A．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形．4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【答案】A．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．5．（2015届河北省中考模拟二）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定【答案】A．考点：1．角平分线的性质；2．全等三角形的判定与性质．6．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，点A，B，D，E在同一直线上，AB=ED，AC ∥EF，∠C=∠F．求证：AC=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：根据全等三角形的片对于性质，再由原子条件即可证明△ABC≌△EDF（AAS），推出AC=EF即可．试题解析：证明：∵AC∥EF，∴∠A=∠E．在△ABC和△DEF中，A EC FAB ED∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△EDF．∴AC=EF．考点：全等三角形的判定与性质．7．（2015届北京市门头沟区中考二模）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC 的中点，连接DF并延长至E，使得EF=DF，连接AE和EC．（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；（2）如果DF=22，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）223+．（2）解：如图，过点F作FG⊥DC与G．∵四边形ADCE为平行四边形，∴AE∥CD．∴∠FDG=∠AED=45°，在Rt△FDG中，∠FGD=90°，∠FDG=45°，DF=2cos∠FDG=DGDF，∴DG=GF=cosDF FDG⋅∠=2cos45︒=2．在Rt△FCG中，∠FGC=90°，∠FCG=30°，GF=2，∵tan∠FCG=FG GC，∴223tan tan 30FG CG FCG ===∠︒，∴DC=DG+GC=223+．考点：1．解直角三角形；2．平行四边形的判定与性质；3．全等三角形的判定与性质．8．（2015届北京市门头沟区中考二模）如图1，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC=135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ．（1）①依题意补全图形；②请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案；（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB=2，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A 到BP 的距离．【答案】（1）①作图见解析；②∠ADC+∠CDE=180°；（2）AE=BE+2CM ，理由解析；（3）312-（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°．又∵∠ADC=135°，∴∠ADC+∠CDE=180°，∴A、D、E三点在同一条直线上，∴AE=AD+DE．又∵∠ACB=90°，∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE．∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE，∴DE=2CM，∴AE=BE+2CM．（3）点A到BP 312．考点：1．作图—旋转变换；2．探究型；3．和差倍分；4．全等三角形的判定与性质．9．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN．试判断△DMN的形状，并说明理由．【答案】△DMN为等边三角形，理由见解析．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．10．（2015届山东省日照市中考一模）如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．（1）求证：AM=BN；（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）13．（2）∵MA∥CN，∴∠ACN=∠CAM，∵∠ACN+∠ACM=90°，∴∠CAM+∠ACM=90°，∴∠AMC=90°，∴cosα=13 CM CEAC AC==．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．旋转的性质；3．锐角三角函数的定义．11．（2015届山东省日照市中考模拟）已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【答案】证明见解析．∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE=1 2BE，CF=12BF；∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF=12BE+12BF=BE=EF；则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△KBF和△EBF中，BK BEKBF EBF BF BF⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．和差倍分；3．存在型；4．探究型；5．综合题．12．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．【答案】（1）证明见解析，（2）四边形ABCD是矩形，理由见解析．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质；3．矩形的判定；4．探究型．13．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．【答案】（1）BD=DP成立．证明见解析；（2）BD=DP．证明见解析．∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，∴∠1=∠2．在△BDF 与△PDA 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠4521DAP DFB DADF ，∴△BDF ≌△PDA （ASA ），∴BD=DP ．（2）BD=DP ．证明如下：如答图3，过点D 作DF ⊥MN ，交AB 的延长线于点F ，则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF ．在△BDF 与△PDA 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=︒=∠=∠PDA BDF DA DF PAD F 45，∴△BDF ≌△PDA （ASA ），∴BD=DP ． 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．平行四边形的性质；4．探究型．14．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，在△ABC 与△ABD 中，BC 与AD相交于点O，∠1=∠2，CO=DO．求证：∠C=∠D．【答案】证明见解析．考点：全等三角形的判定与性质．15．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）已知：如图，在▱ABCD中，线段EF分别交AD．AC．BC于点E、O、F，EF⊥AC，AO=CO．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）在本题的已知条件中，有一个条件如果去掉，并不影响（1）的证明，你认为这个多余的条件是（直接写出这个条件）．【答案】（1）证明见解析；（2）EF⊥AC．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．16．（2015届河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．（1）求证：BE=2CF；（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN 为菱形，证明如下：∵MN ⊥EF ，∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN ，∴∠ABN+∠E=90°，∵BF=EF ，∴∠E=∠EBF ，∴∠ABN+∠EBF=90°，又∵∠EBC=90°，∴∠CBF+∠EBF=90°，∴∠ABN=∠CBF ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC ，∠NAB=∠CBF=90°，在△ABN 和△CBF 中ABN CBF AB BC NAB BCF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABN ≌△CBF （ASA ），∴BF=BN ，又由旋转可得EF=FG=BF ，∴BN=FG ，∵∠GFM=∠BME=90°，∴BN ∥FG ，∴四边形BFGN 为菱形．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．。

专题12.2整式的乘除法【十大题型】【华东师大版】【题型1由整式乘除法求代数式的值】【题型2由整式乘除法求字母的值】【题型3利用整式乘除法解决不含某项问题】【题型4利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】【题型5利用整式乘除法解决污染问题】【题型6利用整式乘除法解决误看问题】【题型7整式乘除法的应用】【题型8整式乘除法中的规律问题】【题型9整式乘除法中的新定义问题】【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】知识点：整式的乘法、除法1．单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．【注意】（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．2．单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．【注意】（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．3．多项式与多项式相乘（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．【注意】（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．4．单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．5．多项式除以单项式多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【注意】（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．【题型1 由整式乘除法求代数式的值】【例1】（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）1．已知210a a +-=，则代数式()()()222a a a a +-++值为 ．【变式1-1】（23-24八年级·福建泉州·期中）2．若3a b -=，4ab =-，则()()22a b -+值为 .【变式1-2】（23-24八年级·山东聊城·期中）3．如果()()5612a a -+=，那么2228a a --+的值为 ．【变式1-3】（23-24八年级·福建·期中）4．已知2310x x --=，则代数式3102019x x -+值为 ．【题型2 由整式乘除法求字母的值】【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期中）5．已知(x +a )(x +b )=2x +mx +12，m 、a 、b 都是整数，那么m 的可能值的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．8【变式2-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）6．若()()2133x x x mx +-=+-，则m 值是 ．【变式2-2】（23-24八年级·浙江杭州·期中）7．不论x 为何值，()()()2222222x x a x ax x a x a x a ++=+++=+++,226()()x x a x kx ++=++，则k = ．【变式2-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）8．关于x 的整式21A x =+，它的各项系数之和为∶213+=(常数项系数为常数项本身)．已知B 是关于x 的整式，最高次项次数为2，系数为1．若(3),B x C C ×+=是一个只含两项的多项式，则B 各项系数之和的最大值为 ．【题型3 利用整式乘除法解决不含某项问题】【例3】（23-24八年级·山东聊城·期末）9．已知多项式236M x ax =-+，3N x =+，且MN A =，当多项式A 中不含x 的2次项时，a 的值为（ ）A ．1-B ．13-C ．0D ．1【变式3-1】（23-24八年级·河南商丘·期末）10．已知关于x 的多项式ax b -与232x x ++的乘积的展开式中不含x 的二次项，且一次项系数为5-，则a 的值为（ ）A ．13-B ．13C ．-3D ．3【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）11．小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：2(32)()x x x a +--．(1)小万在做题时不小心将x a -中的x 写成了2x ，结果展开后的式子中不含x 的二次项，求a 的值；(2)小鹿在做题时将232+-x x 中的一个数字看错成了k ，结果展开后的式子中不含x 的一次项，则k 的值可能是多少？【变式3-3】（16-17八年级·四川成都·期末）12．已知(x 2+mx +1)(x 2﹣2x +n )的展开式中不含x 2和x 3项．(1)分别求m 、n 的值；(2)化简求值：(m +2n +1)（m +2n ﹣1）+（2m 2n ﹣4mn 2+m 3）÷（﹣m ）【题型4 利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】【例4】（23-24八年级·湖南常德·期中）13．知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式6351ax y x y -++-- 的值与x 的取值无关，求a 的值”，通常的解题方法是：把x y 、看作字母，a 看作系数合并同类项，因为代数式的值与x 的取值无关，所以含x 项的系数为0，即原式()365a x y =+-+，所以30a +=，则3a =-．理解应用：(1)若关于x 的多项式()22335m x m x ---的值与x 的取值无关，求m 值；(2)已知()()()213153A x x x y =+--+，2324B x xy -=+，且26A B -的值与x 的取值无关，求y 的值．【变式4-1】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）14．已知23A x x a =+-，B x =-，3235C x x =++，若A B C ×+的值与x 的取值无关，当4x =-时，A 的值为（ ）A ．0B ．4C ．4-D ．2【变式4-2】（23-24八年级·四川成都·期中）15．若代数式()()()223236x x m x x ++-+的值与x 的取值无关，则常数m = ．【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）16．若代数式()()()2253334x kx xy k x y x ----的值与y 无关，则常数k 的值为（ ）A ．2B ．―2C ．4-D ．4【题型5 利用整式乘除法解决污染问题】【例5】（23-24八年级·贵州遵义·期末）17．小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：()()4322222246643x y x y x y x y xy y -+¸-=-+-■，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ）A ．3218x y -B ．3218x y C ．322x y -D ．3212x y 【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）18．右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解.但其中部分代数式被墨水污染看不清了.（1）求被墨水污染的代数式；（2）若被污染的代数式的值不小于4，求x 的取值范围.【变式5-2】（23-24八年级·全国·课后作业）19．小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是338x y -及中间的“¸”，污染后习题形式如下：33(8x y -)¸，小明翻看了书后的答案是“22436x y xy x -+”，你能够复原这个算式吗?请你试一试．【变式5-3】（23-24八年级·上海奉贤·期中）20．小红准备完成题目：计算（x 2x +2）（x 2﹣x ）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x 2+3x +2）（x 2﹣x ）；（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？【题型6 利用整式乘除法解决误看问题】【例6】（23-24八年级·山东菏泽·期中）21．某同学在计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，那么正确的计算结果是（ ）A ．432484x x x -+-B ．432484x x x +-C ．43244x x x -+-D ．432484x x x --【变式6-1】（23-24八年级·江西萍乡·期中）22．小颖在计算一个整式乘以3ac 时，误看成了减去3ac ，得到的答案是12333--bc ac ab ，该题正确的计算结果应是多少？【变式6-2】（23-24八年级·江西九江·阶段练习）23．已知A B 、均为整式，()()221222A xy xy x y =+--+，小马在计算A B ¸时，误把“¸”抄成了“-”，这样他计算的正确结果为22x y -．(1)将整式A 化为最简形式．(2)求整式B ．【变式6-3】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）24．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：()()23x a x b ++，由于甲抄错为()()23x a x b -+，得到的结果为261110x x +-；而乙抄错为()()2x a x b ++，得到的结果为22910x x -+．(1)你能否知道式子中的a ，b 的值各是多少？(2)请你计算出这道整式乘法的正确答案．【题型7 整式乘除法的应用】【例7】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）25．有总长为l 的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a ．(1)如图1，①园子的面积为 （用关于l ，a 的代数式表示）．②当10030l a ==，时，求园子的面积．(2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l ，a 的代数式表示）．【变式7-1】（23-24八年级·重庆·期末）26．某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的12，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．【变式7-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）27．一家住房的结构如图所示，房子的主人打算把卧室铺上地板，卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果这种地砖的价格为a 元/平方米，地板的价格(10)a -元/平方米，那么购买地板和地砖至少共需要多少元？【变式7-3】（23-24八年级·全国·专题练习）28．某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a 、2a 、32a ，小长方体的长、宽、高分别为：2a 、a 、2a ；配件②是一个正方体，其棱长为a(1)生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？(2)若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a 3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？【题型8 整式乘除法中的规律问题】【例8】（23-24八年级·四川成都·期中）29．观察：下列等式()()2111x x x -+=-，()()23111x x x x -++=-，()()324111x x x x x -+++=-…据此规律，当()()65432110x x x x x x x -++++++=时，代数式20242x -的值为 ．【变式8-1】（23-24八年级·广东揭阳·期中）30．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2020年11月份的日历，我们任意用一个22´的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？(1)图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为 ．(2)换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．【变式8-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）31．“九章兴趣小组”开展研究性学习，对两位数乘法的速算技巧进行研究．小明发现“十位相同，个位互补”的两个两位数相乘有速算技巧．例如：()24261002346´=´´+´，结果为624；()42481004528´=´´+´，结果为2016；小红发现“十位互补，个位为5”的两个两位数相乘也有速算技巧．例如：()456510046525´=´´++，结果为2925；()357510037525´=´´++，结果为2625；(1)请你按照小明发现的技巧，写出计算6367´的速算过程；(2)请你用含有字母的等式表示小明所发现的速算规律，并验证其正确性；(3)小颖发现：小红的速算技巧可以推广到“十位互补，个位相同”的两个两位数相乘．请你直接用含有字母的等式表示该规律．友情提示：如果两个正整数和为10，则称这两个数互补．友情提示：如果两个正整数和为10，则称这两个数互补．【变式8-3】（23-24八年级·福建宁德·期中）32．下图揭示了()n a b +（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请观察并解决问题：今天是星期五，再过7天也是星期五，那么再过451天是星期 ．……1()a b a b+=+ (222)()2a b a ab b +=++……()3322333a b a a b ab b +=+++……()4a b +=【题型9 整式乘除法中的新定义问题】【例9】（23-24八年级·陕西榆林·期末）33．【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m ，n ，规定：()m n mn m n =-e ．例如：()1212122=´´-=-e ．【问题推广】（1）先化简，再求值：()()a b a b +-e ，其中12a =，1b =-；【拓展提升】（2）若()2p q q p x y x y x y x y =-e e ，求p ，q 的值【变式9-1】（23-24八年级·浙江宁波·期中）34．定义a bad bc c d =-，如131423224=´-´=-．已知21112x A nx x +=-，1111x x B x x +-=-+（n 为常数）(1)若4B =，求x 的值；(2)若A 中的n 满足12222n +´=时，且2A B =+，求3843x x -+的值．【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期末）35．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi + (a 、b 为实数)的数叫做复数，其中a 叫做这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：()()()()253251372i i i i -++=++-+=+；()()()()()()2121212212213i i i i i i i ii i+´-=´+´-+´+´-=+-+-=+--=+根据以上信息，完成下列问题:(1)计算：3i ， 4i ；(2)计算：()()134i i +´-；(3)计算：23452023i i i i i i ++++++L 【变式9-3】（23-24八年级·内蒙古乌兰察布·期末）36．定义：()L A 是多项式A 化简后的项数，例如多项式223A x x =+-，则()3L A =，一个多项式A 乘多项式B 化简得到多项式C （即C A B =´），如果()()()1L A L C L A ££+．则称B 是A 的“郡园多项式”如果()()L A L C =，则称B 是A 的“郡园志勤多项式”．(1)若2A x =-，3B x =+，则B 是不是A 的“郡园多项式”？请判断并说明理由；(2)若2A x =-，24B x ax =++是关于x 的多项式，且B 是A 的“郡园志勤多项式”，则a =_____；(3)若23A x x m =-+，2B x x m =++是关于x 的多项式，且B 是A 的“郡园志勤多项式”，求m 的值．【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】【例10】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中）37．教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“Ä”，对于任意有理数a ，b ，c ，d ，规定()(),,a b c d ad bc Ä=-，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：()()1,32,414232Ä=´-´=-．请解答下列问题：(1)填空：()()2,34,5-Ä=______；(2)若()()221,15,2x nx x +-Ä-的代数式中不含x 的一次项时，求n 的值；(3)求()()31,22,3x x x x +-Ä+-的值，其中2410x x -+=；(4)如图1，小长方形长为a ，宽为b ，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，其中5AB =，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为1S ，右上角长方形的面积为2S ．当122320S S -=，求()()2,63,36a b b b a b +-Ä--的值．【变式10-1】（23-24八年级·浙江温州·期中）38．小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶(1)用含a ，b 的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积．(2)当224592a b +=，48ab =时，求阴影部分面积．【变式10-2】（23-24八年级·广东佛山·期中）39．如图，长为(cm)y ，宽为(cm)x 的大长方形被分割为7小块，除阴影A ，B 外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm ．(1)小长方形的较长边为 cm （用代数式表示）；(2)阴影A 的一条较短边和阴影B 的一条较短边之和为(24)x y -+cm ，是 的（填正确/错误）；阴影A 和阴影B 的周长值之和与x （填有关/无关），与y （填有关/无关）；(3)设阴影A 和阴影B 的面积之和为S 2cm ，是否存在x 使得S 为定值，若存在请求出x 的值和该定值，若不存在请说明理由．【变式10-3】（23-24八年级·上海青浦·期中）40．如图所示，有4张宽为a ，长为b 的小长方形纸片，不重叠的放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②． 2EF GH =(1)用含a、b的代数式表示：AD=______________；AB=______________．(2)用含a、b的代数式表示区域①、区域②的面积；(3)当a=12，92b=时，求区域①、区域②的面积的差．1．2-【分析】由已知得21a a +=，然后对所求式子展开后进行变形，再整体代入计算即可．【详解】解：∵210a a +-=，∴21a a +=，∴()()()()22222242242142a a a a a a a a a +-++=-++=+-=´-=-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．2．―2【分析】本题主要考查代数式的值及多项式乘以多项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题先把所求整式进行展开，然后再代值求解即可．【详解】解：∵3a b -=，4ab =-，∴()()22a b -+()24ab a b =+--464=-+-2=-；故答案为：―2．3．28-【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出218a a --=-，再根据()--+=--+2222828a a a a 进行求解即可．【详解】解：∵()()5612a a -+=，∴2306512a a a -+-=，∴218a a --=-，∴()--+=--+=-´+=-2222828182828a a a a ，故答案为：28-．4．2022【分析】由x 2−3x−1=0，变形x 2=3x+1，利用此等式进行降次，化简整体代入计算即可．【详解】由x 2−3x−1=0，变形x 2=3x+1，x 2-3x=1，x3−10x+2019，=x(3x+1)-10x+2019，=3x2-9x+2019，=3(x2-3x)+2019，=3+2019，=2022．故答案为：2022．【点睛】本题考查代数式的值，关键是把条件等式变形会降次，会整体代入求值．5．C【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，求得a+b=m，ab=12，再进行分类讨论，从而解决此题．【详解】解：(x+a)(x+b)=2x+bx+ax+ab=2x+(a+b)x+ab．∵(x+a)(x+b)=2x+mx+12，∴a+b=m，ab=12．∵m、a、b都是整数，∴当a=1时，则b=12，此时m=a+b=1+12=13；当a=-1时，则b=-12，此时m=a+b=-1-12=-13；当a=2时，则b=6，此时m=a+b=2+6=8；当a=-2时，则b=-6，此时m=a+b=-2-6=-8；当a=3时，则b=4，此时m=a+b=3+4=7；当a=-3时，则b=-4，此时m=a+b=-3-4=-7；当a=12时，则b=1，此时m=a+b=12+1=13；当a=-12时，则b=-1，此时m=a+b=-12-1=-13；当a=6时，则b=2，此时m=a+b=6+2=8；当a=-6时，则b=-2，此时m=a+b=-6-2=-8；当a=4时，则b=3，此时m=a+b=4+3=7；当a=-4时，则b=-3，此时m=a+b=-4-3=-7．综上：m=±13或±8或±7，共6个．故选：C．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、分类讨论的思想是解决本题的关键．6．2-【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出22323x x x mx -=+--是解题的关键．根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边去括号得到m 的值即可得到答案．【详解】解：∵()()2133x x x mx +-=+-，∴22333x x x x mx +--=+-，∴22323x x x mx -=+--，∴2m =-．故答案为：2-．7．5【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，求出a 的值以及a 与k 的关系，然后可得答案．本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】∵2222222()()()x x a x ax x a x a x a ++=+++=+++，又∵226()()x x a x kx ++=++，∴22226()x a x a x kx +++=++，2a k \+=，26a =，3a \=，325k \=+=．故答案为：5．8．7【分析】本题考查整式的定义，多项式乘多项式，解二元一次方程．根据题意对整式B 的表述，可设2(x ax b a B =++、b 为待求的常数），计算(3)B x ×+，整理后得到关于x 的三次四项式．由于条件说乘积是只有两项，故有两项的系数为0，需分3种情况讨论计算，列得关于a 、b 的方程组，据此求解即可．【详解】解：B Q 是关于x 的整式，最高次项次数为2，二次项系数为1，\设2b B x ax =++，a 、b 为常数，(3)B x \+2()(3)x ax b x =+++322333x ax bx x ax b=+++++32(3)(3)3x a x a b x b =+++++，Q 乘积是一个只含有两项的多项式，①3030a a b +=ìí+=î，解得：39a b =-ìí=î，239B x x \=-+，各项系数之和为1397-+=；②3030a b +=ìí=î，解得：30a b =-ìí=î，23x B x \=-，各项系数之和为132-=-；③3030a b b +=ìí=î，解得：00a b =ìí=î，2x B \=．各项系数之和为1；∵712>>-；则B 各项系数之和的最大值为7．故答案为：7．9．D【分析】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．【详解】解：∵()()2=363MN x ax x -++322=36+3918x ax x x ax -+-+()()32336918x a x a x =+-+-+∴()()32336918A MN x a x a x ==+-+-+∵多项式A 中不含x 的2次项时，∴330a -=∴1a =故选D ．10．C【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含x 的二次项，则二次项的系数为0．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数为零与一次项的系数为5-的要求建立方程组，即可求解．【详解】解：()()232ax b x x -++；3223232ax ax ax bx bx b =++---；()()323322ax a b x a b x b =+-+--；∵多项式ax b -与232x x ++的乘积的展开式中不含二次项，且一次项系数为5-；∴3025a b a b -=ìí-=-î；解得：31a b =-ìí=-î，∴3a =-；故选：C ．11．(1)2a =-(2)1k =或6-【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式计算法则是解题的关键．（1）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令二次系数为0，即可求出答案，（2）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令一次系数为0，即可求出答案．【详解】（1）解：()()2232x x x a +--42323322x ax x ax x a =-+--+4323(2)32x x a x ax a =+-+-+Q 展开后的式子中不含x 的二次项，20a \+=，解得2a =-；（2）解：①若将232+-x x 中的3看成k ，2(2)(2)x kx x +-+3222224x x kx kx x =+++--32(2)(22)4x k x k x =+++--，Q 展开后的式子中不含x 的一次项，220k \-=，1k \=．②若将232+-x x 中的2-看成k ，2(3)(2)x x k x +++3222362x x x x kx k =+++++325(6)2x x k x k =++++，Q 展开后的式子中不含x 的一次项，60k \+=，解得6k =-．③若指数2看作k ，当0k =时，原式(132)(2)x x =+-+2352x x =+-不符合题意；④若指数2看作k ，当1k =时，原式(32)(2)x x x =+-+2464x x =+-，不符合题意；1k =或6-．12．（1）m 的值为2，n 的值为3（2）2mn +8n 2﹣1；83【分析】（1）先将题目中的式子化简，然后根据()()2212x mx x x n ++-+的展开式中不含2x 和3x 项，可以求得m 、n 的值；（2）先化简题目中的式子，然后将m 、n 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（1）()()2212x mx x x n ++-+=4x ﹣23x +n 2x +m 3x ﹣2m 2x +mnx +2x ﹣2x +n=4x +（﹣2+m ）3x +（n ﹣2m +1）2x +（mn ﹣2）x +n∵()()2212x mx x x n ++-+的展开式中不含2x 和3x 项，∴20210m n m +=ìí+=î﹣﹣，解得23m n =ìí=î，即m 的值为2，n 的值为3；（2）（m +2n +1）（m +2n ﹣1）+（22m n ﹣4m 2n +3m ）÷（﹣m ）=[（m +2n ）+1][（m +2n ）﹣1]﹣2mn +42n ﹣2m =2m 2n +（）﹣1﹣2mn +42n ﹣2m =2m +4mn +42n ﹣1﹣2mn +42n ﹣2m =2mn +82n ﹣1当m =2，n =3时，原式=2×2×3+8×23﹣1=83．【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．13．(1)35m =(2)23y =【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，结合多项式的值与x 的取值无关，即可求出答案；（2）先把A 进行化简，然后计算26A B -，结合多项式的值与x 的取值无关，即可求出答案．【详解】（1）解：223(35)m x m x ---22335m x m mx=--+2(53)23m x m m =-+-，Q 其值与x 的取值无关，530m \-=， 解得：35m =， 即：当35m =时，多项式223(35)m x m x ---的值与x 的取值无关；（2）解：(21)(31)(53)A x x x y =+--+Q ，2324B x xy -=+，2262[(21)(31)(53)]6(24)3A B x x x y x xy \-=+---+-+222(623153)121824x x x x xy x xy =-+----+-2212826121824x x xy x xy =----+-12826xy x =--4(32)26x y =--；26A B -Q 的值与x 无关，320y \-=，即23y =．【点睛】本题考查了整式的加减乘混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．14．B【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出A B ×的值是多少，然后用它加上C ，求出A B C ×+的值是多少，最后根据A B C ×+的值与x 的取值无关，可得x 的系数是0，据此求出a 的值，最后代入求值即可．【详解】解：23A x x a =+-Q ，B x =-，3235C x x =++，A B C\×+()()()232335x x a x x x =+--+++3232335x x ax x x =--++++5ax =+，A B C ×+Q 的值与x 的取值无关，2233A x x a x x \=+-=+，当4x =-时，()()24344A =-+´-=，故选：B ．15．3【分析】此题考查整式的混合运算，先运算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并，进而根据与x 的取值无关得到260m -=，解方程即可．【详解】解：()()()()222232366262612262x x m x x x mx x m x x m x m ++-+=+++--=-+，∵代数式的值与x 的取值无关，∴260m -=，解得3m =，故答案为：3．16．A【分析】本题考查整式的四则混合运算，先将题目中的式子化简，然后根据此代数式的值与y 的取值无关，可知关于y 的项的系数为0，从而可以求得k 的值．【详解】解：()()()2253334x kx xy k x y x ----2222225334912kx x y kx y kx x y x =--++-222239612kx y kx x y x =-++-()22236912k x y kx x =-++-∵关于y 的代数式：()()()2253334x kx xy k x y x ----的值与y 无关，∴360k -+=，解得2k =，即当2k =时，代数式的值与y 的取值无关．故选：A.17．B【分析】利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解．【详解】解： ( −4x 2y 2+3xy −y ) • (−6x 2y )=24x 4y 3−18x 3y 2+6x 2y 2，∴■=18x 3y 2．【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法则是解题的关键．18．（1）24x --；（2）4x £-．【分析】（1）根据题意，被墨水污染的代数式=()2()(252236)x x x x ++－－－，再结合整式的乘法法则及加减法则解题，注意运算顺序；（2）由（1）中结果列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解题．【详解】解：（1）由已知可得，()2()(252236)x x x x ++－－－2224510236x x x x x =-+---+=24x -- ；（2）由已知可得，244x -³-28x ³-解得4x £-．【点睛】本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．复原后的算式为()()3322286122x y x y x y xy -+-¸-【分析】先根据被除式的首项和商式的首项可求得除式，然后根据除式乘商式等于被除式求解即可．【详解】解：338x y -Q 对应的结果为：224x y ，\除式为：3322842x y x y xy -¸=-，根据题意得：()()223322243628612x y xy x xy x y x y x y -+×-=-+-，\复原后的算式为()()3322286122x y x y x y xy -+-¸-．【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握运算法则是解题的关键．20．（1）43222x x x x +--；（2）1【分析】（1）根据多项式的乘法进行计算即可；（2）设一次项系数为a ，计算()()222x ax x x ++-，根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0，据此即可求得a 的值，即原题中被遮住的一次项系数．【详解】解：（1）（x 2+3x +2）（x 2﹣x ）433223322x x x x x x=-+-+-43222x x x x=+--（2）设一次项系数为a ，()()222x ax x x ++-4332222x x ax ax x x=-+-+-()()432122x a x a x x=+-+--Q 答案是不含三次项的10a \-=1a \=【点睛】本题考查了多项式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．21．A【分析】设这个多项式为M ，根据题意可得221M x x =-+-，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．【详解】解：设这个多项式为M ，∵计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，∴224321M x x x +=+-，∴222321421M x x x x x =+--=-+-，∴正确的结果为()()22432214484x x x x x x -+-=-+-，故选A ．22．222-abc a bc【分析】本题主要考查了整式乘法运算，根据一个整数减去3ac ，得到的答案是12333--bc ac ab ，得出这个整式为123333bc ac ab ac --+，然后用3ac 乘这个整式得出结果即可．【详解】解：根据题意得：1233333æö--+ç÷èøac bc ac ab ac12333æö=-ç÷èøac bc ab 222=-abc a bc ．故该题正确的计算结果应是222-abc a bc ．23．(1)22x y xy --；(2)B xy =-．【分析】（1）根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简即可；（2）根据题意可得22A y B x -=-，根据整式混合运算顺序和运算法则进行计算即可；本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．【详解】（1）()()221222A xy xy x y =+--+，22222222x y xy xy x y =-+--+，22x y xy =--；（2）由题意，得22A yB x -=-由（1）知22A x y xy =--，∴2222x y xy B x y ---=-，∴B xy =-．24．(1)5a =-，2b =-(2)261910x x -+【分析】（1）按照甲、乙两人抄的错误的式子进行计算，得到2311b a -=①，29b a +=-②，解关于①②的方程组即可求出a 、b 的值；（2）把a 、b 的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【详解】（1）根据题意可知，甲抄错为()()23x a x b -+，得到的结果为261110x x +-，那么()()()222362361110x a x b x b a x ab x x -+=+--=+-，可得2311b a -=①乙抄错为()()2x a x b ++，得到的结果为22910x x -+，可知()()()222222910x a x b x b a x ab x x ++=+++=-+可得29b a +=-②，解关于①②的方程组，可得5a =-，2b =-；（2）正确的式子：()()22041253265106191x x x x x x x --=+-=+--【点睛】本题主要是考查多项式的乘法以及二元一次方程组，掌握多项式乘多项式运算法则是正确解决问题的关键．25．(1)①()2a l a -；②1200(2)增大；22al a a-+【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，正确列出代数式是解题的关键．（1）①先用l 和a 的代数式表示出园子的长，再表示出园子的面积；②把100l =，30a =代入①中的代数式进行计算即可；（2）由园子的宽不变，长增加了，即可判断出园子的面积增大了，表示出园子的长，即可求出园子的面积．【详解】（1）解：①Q 总长为l ，宽为a ，\园子的长为：()2l a -，\园子的面积为：()2a l a -；故答案为：()2a l a -；②当100l =，30a =时，()222a l a al a -=-230100230=´-´30002900=-´30001800=-1200=；（2）解：Q 园子的宽不变，长增加了，。

专题14.3整式的乘法（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）【要点提示】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.【知识点2】单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【要点提示】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【知识点3】单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.【要点提示】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质利用乘法分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【知识点4】多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.知识点与题型目录【知识点一】同底数幂的除法【题型1】同底数幂的除法运算及逆运算.........................................3;【知识点二】单项式相乘【题型2】单项式相乘.........................................................4;【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值...................................5;【知识点三】单项式乘以多项式【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值.......................................7;【题型5】单项式乘以多项式的应用.............................................8;【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值....................................10;【知识点四】多项式相乘【题型7】计算多项式乘以多项式..............................................11;【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值......................................12;【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘.........................................14;【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题.....................................15;【题型11】多项式相乘中的几何问题...........................................16;【知识点五】多项式除以单项式【题型12】多项式除以单项式.................................................18;【知识点六】多项式除以单项式【题型13】整式乘法混合运算.................................................19;【直通中考与拓展延伸】【题型14】直通中考.........................................................21;【题型15】拓展延伸.........................................................22.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数的除法运算及逆运算【例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算：()()23432253339xy x x y xy x y ⎡⎤-÷⎢⎥⎦⋅-⋅⎣．【答案】523y y -【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可．解：()()23432253339xyx x y xy x y ⎡⎤-÷⎢⎥⎦⋅-⋅⎣()2832233539279x y x x y x y x y =⋅-⋅÷()5855539279x y x y x y ÷=-523y y =-．【变式1】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）若4m a =，8n a =，则32m n a -的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】B【分析】本题考查了逆用同底数幂除法法则和幂的乘方的运算法则，先逆用同底数幂除法法则、然后再运用幂的乘方的运算法则将32m n a -化成含有m a 和n a 的形式，然后代入即可解答．解：()()32323232481m n m n m n a a a a a -=÷=÷=÷=，故选：B ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知2320x y --=，则()()231010x y ÷=．【答案】100【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法计算，先根据题意得到232x y -=，再根据幂的乘方计算和同底数幂除法计算法则得到()()2323101010x y x y -÷=，据此求解即可．解：∵2320x y --=，∴232x y -=∴()()231010x y ÷231010x y =÷2310x y -=210=100=，故答案为：100．【题型2】单项式相乘【例2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算：(1)()2243623a a a a ⋅+-；(2)()()23225x x y -⋅-【答案】(1)0；(2)820x y-【分析】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握公式是解题的关键．（1）根据单项式乘以单项式，幂的乘方，合并同类项解答即可．（2）根据积的乘方，单项式乘以单项式解答即可．解：（1）()2243623a a a a ⋅+-66623a a a =+-0=．（2）()()23225x x y -⋅-()6245x x y=⋅-820x y =-．【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算()222133x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果为（）A ．45x y -B ．4513x y C ．3213x y -D ．4513x y -【答案】D【分析】本题考查整混合运算，熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则、单项式乘以单项式法则是解题的关键．先计算乘方，再计算运用单项式乘以单项式法则计算即可．解：()222133x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭()224139x y x y =-⋅4513x y =-，故选：D ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：()()3222324623418ab a b a b a b -⋅+⋅=．【答案】0【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，合并同类项，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可．解：()()3222324623418ab a b a b a b -⋅+⋅3642788972a b a b a b =-⋅+78787272a b a b =-+0=，故答案为：0．【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值【例3】（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值：2332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0.4x =，2.5y =-．【答案】7533944x y x y -，16325【分析】此题考查了整式的混合运算，首先根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则化简，然后代入求解即可，解题的关键掌握运算法则．解：2332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33423394416x y x y x y +-⋅=7533944x y x y =-当20.45x ==，52.52y =-=-时，原式753349252545252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-3757592525445252⎛⎫=-⨯⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭9425=-+16325=．【变式1】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，则m ，n 的值为（）A ．43m =-，4n =B ．12=-m ，2n =-C ．43m =-，3n =D ．12=-m ，3n =【答案】A【分析】此题考查了单项式的乘法运算，按照单项式乘单项式计算单项24xy 与313x y -的积，再根据单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，即可求得答案．解：∵234314433xy x y x y ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，∴43m =-，4n =，故选：A ．【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若()()1221253m n n n a b a b a b ++-⋅=，则m n +的值为．【答案】143/243【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到1212253m n n n a b a b ++-++=，据此可得25323m n n +=⎧⎨+=⎩，解之即可得到答案．解：∵()()1221253m n n nababa b++-⋅=，∴1212253m n n n a b a b ++-++=，∴25323m n n +=⎧⎨+=⎩，∴13313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴143m n +=，故答案为：143．【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值【例4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）先化简，再求值：()()223243234a a a a a -+-+，其中1a =-．【答案】2209a a -+，29-【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．先根据单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，即可化简，然后把1a =-代入化简式计算即可．解：()()223243234a a a a a -+-+，3232612968a a a a a =-+--，2209a a =-+．当1a =-时，原式()()22019129=-⨯-+⨯-=-．【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算132xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果是（）A ．223x y xy +B ．22332x y xy --C ．22332x y xy -+D ．22132x y xy -+【答案】C【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．解：132xy x y ⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭22332x y xy =-+．故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若220240a a +-=，代数式()()220241a a -+的值是．【答案】2024-【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．首先根据220240a a +-=，可得22024a a -=-，把22024a a -=-代入()()220241a a -+，然后把22024a a +=代入化简后的算式计算即可．解：∵220240a a +-=，∴22024a a -=-，∴()()220241a a -+()1a a =-+()2a a =-+．∵220240a a +-=，∴22024a a +=，∴原式()2a a =-+2024=-．故答案为：2024-．【题型5】单项式乘以多项式的应用【例5】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）小红的爸爸将一块长为322455a b ⎛⎫+⎪⎝⎭分米、宽55a 分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为412a 分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．(1)用含a ，b 的整式表示盒子的外表面积；(2)若1a =，0.2b =，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？【答案】(1)8522325a a b +（平方分米）；(2)360元【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；（2）把a 与b 的值代入计算，再根据每平方分米喷漆价格为15元，求出喷漆的费用即可．解：（1）根据题意得：2325424155452a b a a ⎛⎫⎛⎫+⋅-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭85282425a a b a =+-8522325a a b =+（平方分米）∴盒子的外表面积为()8522325a a b +平方分米；（2）当1a =，0.2b =时，85285223252312510.224a a b +=⨯+⨯⨯=（平方分米）则喷漆的费用为1524360⨯=（元）．答：喷漆共需要360元．【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，那么正确的计算结果是（）A ．432484x x x -+-B ．432484x x x +-C ．43244x x x -+-D ．432484x x x --【答案】A【分析】设这个多项式为M ，根据题意可得221M x x =-+-，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．解：设这个多项式为M ，∵计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，∴224321M x x x +=+-，∴222321421M x x x x x =+--=-+-，∴正确的结果为()()22432214484x x x x x x -+-=-+-，故选A ．【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）已知：2210x x --=，则352020x x -+=．【答案】2022【分析】本题考查了整式的乘法的应用，熟练掌握求高次式子时的思路：降次是解题的关键．将2210x x --=变形为221x x =+，利用降次的思想求352020x x -+即可．解：∵2210x x --=，∴221x x =+，∴352020x x -+252020x x x =⋅-+()2152020x x x =+-+2252020x x x =+-+()22142020x x =+-+2022=故答案为：2022．【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值【例6】（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知x （x ﹣m ）+n （x +m ）＝2x +5x ﹣6对任意数都成立，求m （n ﹣1）+n （m +1）的值．【答案】-7【分析】把x （x ﹣m ）+n （x +m ）去括号、合并同类项，然后根据与2x +5x -6对应项的系数相同，即可求得m 、n 的值，然后代入求值即可．解：x （x ﹣m ）+n （x +m ）＝2x ﹣mx +nx +mn ＝2x +（n ﹣m ）x +mn ，∴56n m mn -=⎧⎨=-⎩，则m （n ﹣1）+n （m +1）＝n ﹣m +2mn ＝5﹣12＝﹣7．【点拨】此题考查单项式乘多项式和代数式求值，解题关键在于掌握运算法则．【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若()24x ax x x +=+，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】C【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出()4x x +的结果即可得到答案．解：∵()24x ax x x +=+，∴224x ax x x +=+，∴4a =，故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）要使()32412x x ax x -+++中不含有x 的四次项，则a =．【答案】2【分析】本题主要考查了多项式的混合运算．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有x 的四次项，可得20a -=，即可求解．解：()32412xxax x -+++45432x x a x x --+=-()4352x x a x =-+--，∵()32412xxax x -+++中不含有x 的四次项，∴20a -=，∴2a =．故答案为：2【题型7】计算多项式乘以多项式【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：(1)()()()222323x x x x +---+；(2)22(1)(1)x x x x ++-+；(3)2(1)(2)(2)x x x x +-++【答案】(1)312x -；(2)421x x ++；(3)4244x x x ---.【分析】本题考查了多项式的乘法：（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；（3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．解：（1）()()()222323x x x x +---+222436226x x x x x =+---+-312x =-．（2）22(1)(1)x x x x ++-+4323221x x x x x x x x =-++-++-+421x x =++．（3）2(1)(2)(2)x x x x +-++22(2)(2)x x x x =--++43232222224x x x x x x x x =++------4244x x x =---．【变式1】（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（）A ．()()324242ab ab a b ⋅-=B ．()()22356m m m m +-=--C ．()()245920y y y y +-=+-D ．()()21454x x x x ++=++【答案】D【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．解：A 、()()324248ab ab a b =-⋅-，原式计算错误，不符合题意；B 、()()22233266m m m m m m m +-=-+-=--，原式计算错误，不符合题意；C 、()()2245452020y y y y y y y +-==-+---，原式计算错误，不符合题意；D 、()()22144454x x x x x x x ++=+++=++，原式计算正确，符合题意；故选：D ．【变式2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如果()()()()32912x x x x ---+-=，那么x 的值是．【答案】1【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及解一元一次方程，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的法则进行计算，然后解一元一次方程即可．解：()()()()3291x x x x ---+-22236(99)x x x x x x =--+--+-1315x =-+∴13152x -+=，解得1x =，故答案为：1．【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值【例8】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：()()()222112a a a a a a +--+-，其中3a =-．【答案】2-a a ，12【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的计算法则，多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．解：()()()222112a a a a a a +--+-()3232222222a a a a a a a =+--+--3232222222a a a a a a a=+---++2a a =-，当3a =-时，原式()()2339312=---=+=．【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定a b ad bc cd=-，例如121423234=⨯-⨯=-，已知2523m n nm n m n+=-+-，则代数式2261m n --的值是（）A ．4B ．5C ．8D ．9【答案】D【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得()()()2235m n m n n m n +---+=，从而得到235m n -=，再代入，即可求解．解：根据题意得：()()()2235m n m n n m n +---+=，∴22222235m mn mn n mn n n +---+-=，即235m n -=，∴()22232610m n m n -=-=，∴22611019m n --=-=．故选：D【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知235a ab +=，则2()(2)2a b a b b ++-的值为．【答案】5【分析】本题考查整式的化简求值，把要求的式子展开化简后，利用整体思想求值即可．解：∵235a ab +=，∴22222()(2)222235a b a b b a ab ab b b a ab ++-=+++-=+=．故答案为：5．【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘【例9】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值：()()()()()23333442x x x x x +-++---，其中2x =．【答案】1361x -，35-【分析】本题考查了整式的化简求值．熟练掌握平方差公式，完全平方公式，多顶式乘多项式法则，是解题的关键．先根据平方差公式，完全平方公式，多顶式乘多项式法则展开，合并同类项化简，最后将字母的值代入求解即可．解：()()()()()23333442x x x x x +-++---()()2229312444x x x x x =-+----+2229333641616x x x x x =-+---+-1361x =-，当2x =时，原式1326135=⨯-=-．【变式1】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若()()2315x x n x mx ++=+-，则mn 的值为（）A ．5-B ．5C ．10D ．10-【答案】C【分析】此题考查了多项式的乘法，根据多项式的乘法法则展开对比得到3,315n m n +==-，求出m 、n 的值，即可得到答案.解：∵()()()2333x x n x n x n ++=+++，()()2315x x n x mx ++=+-，∴3,315n m n +==-，解得2,5m n =-=-∴()()2510mn =-⨯-=，故选：C【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若()()228x m x x nx +-=+-，则2m n +=．【答案】8【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，进而求出,m n 的值，进一步求出代数式的值即可．解：()()()222228x m x x m x m x nx +-=+--=+-，∴2,28m n m -==，∴4,2m n ==，∴24228m n +=+⨯=；故答案为：8．【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题【例10】（22-23七年级下·四川达州·期中）已知代数式()22mx x +与()232x nx ++积是一个关于x 的三次多项式，且化简后含2x 项的系数为1，求m 和n 的值．【答案】0m =，16n =【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，运用多项式乘多项式的运算法则进行求解即可．解：()()22232mx x x nx +++4323232264mx mnx mx x nx x=+++++()()43232264mx mn x m n x x =+++++，由题意得，0m =，261m n +=，解得0m =，16n =．【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式x a -与221x x +-的乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4，则常数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则得()()()()23221212x a x x x a x a x a -+-=+--++，然后根据“乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4”，据此得到()()2124a a --+=，解此方程即可求出a ．解：()()221x a x x -+-32222x x x ax ax a=+---+()()32212x a x a x a =+--++，乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4，∴()()2124a a --+=，∴1a =-，故答案为：A ．【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若()()23x m x x n +-+的积中不含2x x 、项，则m =，n =．【答案】39【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出()()23x m x x n +-+的结果，再根据乘积中不含2x x 、项，即含2x x 、项的系数为0进行求解即可．解：()()23x m x x n +-+32233x x nx mx mx mn =-++-+()()3233x m x n m x mn =+-+-+，∵()()23x m x x n +-+的积中不含2x x 、项，∴3030m n m -=-=，，∴39m n ==，，故答案为：3；9．【题型11】多项式相乘中的几何问题【例11】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）学校需要设计一处长方形文化景观，分为中央雕塑区和四周绿化区．中央雕塑区的长边为（33m -）米，短边为2m 米，绿化区外边沿的长边为（42m -）米，短边为（31m -）米．试比较雕塑区和绿化区的面积大小．（m 为正数）【答案】绿化区面积大于雕塑区面积．【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与图形面积，先分别列式计算绿化区面积，雕塑区面积，再作差比较大小即可．解：绿化区面积为()()()4231233m m m m ----221246266m m m m m =--+-+2642m m =-+．雕塑区面积为()223366m m m m -=-．因为()()226426622m m m m m -+--=+，由m 为正数，所以得220m +>，即2264266m m m m -+>-，所以，绿化区面积大于雕塑区面积．【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能．．表示图中阴影部分面积的是（）A ．(4)(3)3x x x ++-B ．24(3)x x ++C ．24x x +D ．(4)12x x ++【答案】C【分析】本题主要考查整式与图形，根据题意，结合图形，分别判断得到答案即可．解：A ．图中阴影部分面积用整个长方形的面积-空白部分的面积，即(4)(3)3x x x ++-，故该选项不符合题意；B ．图中阴影部分面积用右边阴影部分长方形的面积+左边阴影部分正方形的面积，即24(3)x x ++，故该选项不符合题意；C ．24x x +只有左边阴影部分正方形的面积+右边上面阴影部分长方形的面积，缺少右边下面长方形的面积，故该选项符合题意；D ．图中阴影部分面积用上面阴影长方形的面积+右边下面长方形的面积，即(4)12x x ++故该选项不符合题意；故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片．如果要拼成一个长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形，那么需要C 类卡片张．【答案】7【分析】本题考查了多项式乘以多项式，计算出长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形的面积以及A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片的面积，即可得出答案．解：长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形的面积为()()22222326432672a b a b a ab ab b a ab b ++=+++=++，A 类卡片的面积为：2a ，B 类卡片的面积为：2b ，C 类卡片的面积为：ab ，∴要拼成一个长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形，需要6块A 类卡片，2块B 类卡片，7块C 类卡片，故答案为：7．【题型12】多项式除以单项式【例12】（22-23七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，2211322xy x y xy xy ⨯=-+(1)求所捂的多项式；(2)若2132x y ==，，求所捂多项式的值．【答案】(1)621x y -+;(2)4.【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式除以单项式：（1）根据乘除法互为逆运算，只需要计算出2211322x y xy xy xy ⎛⎫⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果即可得到答案；（2）把2132x y ==，代入（1）所求结果中计算求解即可．解：（1）2211322x y xy xy xy ⎛⎫⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭621x y =-+，∴所捂的多项式为621x y -+；（2）当2132x y ==，时，21621621411432x y -+=⨯-⨯=-+=．【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若22233241216m x y x y x y ⨯=-，则m =（）A ．43x y -B ．43x y-+C ．43x y+D ．43x y--【答案】B【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据一个因数等于积除以另一个因数，即可解答．解：∵22233241216m x y x y x y ⨯=-，∴()233222121643443m x y x y x y y x x y =-÷=-=-+，故选：B ．【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若223615xy A x y xy =- ，则A 代表的整式是．【答案】25x y-【分析】本题考查的是多项式除以单项式，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的的运算转化为单项式的除法运算．根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．解：()226153A x y xy xy-÷=2263153x y xy xy xy=÷-÷25x y =-．故答案为：25x y -．【题型13】整式乘法混合运算【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值：(1)()()()()22224x y x y x y x x y -+-+--，其中1x =-，2y =．(2)已知2210x x +-=，求代数式()()()()21433x x x x x ++++-+的值．【答案】(1)2243x y +；16;(2)5-.【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．（1）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可；（2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再整体代入进行计算即可．解：（1）()()()()22224x y x y x y x x y-+-+--222224444x xy y x y x xy =-++--+2243x y =+，当1x =-，2y =时，原式()224132=⨯-+⨯412=+16=．（2）()()()()21433x x x x x ++++-+2222149x x x x x =+++++-2368x x =+-，∵2210x x +-=，∴221x x +=，∴原式()2328x x =+-318=⨯-38=-=5-．【变式1】（21-22六年级下·全国·单元测试）等式()()324322xyz x y z y ⎡⎤÷-⋅=⎣⎦中的括号内应填入（）A ．6538x y z B ．228x y zC ．222x y zD ．222x y z±【答案】C【分析】运用整式的乘法运算法则、乘除法互为逆运算及幂的运算法则求解．解：由原式，得()()32432224366322322428(2)y xyz x y z y x y z x y z x y z x y z ⎡⎤=⋅-⋅=⋅⋅==⎣⎦∴括号中式子应为222x y z ．故选C ．【点拨】本题主要考查整式的乘法运算、乘除法互为逆运算、幂的运算法则等知识；能够运算乘、除法互为逆运算的性质，对原等式进行变形是解题关键．【变式2】（2024·福建厦门·二模）已知11x x-=-，则()()22131x x x +-+的值为．【答案】2【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键．先根据11x x -=-得出21x x +=，然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可．解：∵11x x-=-，∴21x x +=，()()22131x x x +-+2244133x x x x=++--21x x =++11=+2=．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型14】直通中考【例1】（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（）A ．223a a a +=B ．523a a a ÷=C ．235()a a a -⋅=-D ．()23622a a =【答案】B【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．解：A 、23a a a +=，该选项错误，不合题意；B 、523a a a ÷=，该选项正确，符合题意；C 、235()a a a -⋅=，该选项错误，不合题意；D 、()23624a a =，该选项错误，不合题意；故选：B ．【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，7()a b +展开的多项式中各项系数之和为．【答案】128【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．解：根据题意得：()5a b +展开后系数为：1,5,10,10,5,1，系数和：515101051322+++++==，()6a b +展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1，系数和：61615201561642++++++==，()7a b +展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1，系数和：71721353521711282+++++++==，故答案为：128．【点拨】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．【题型15】拓展延伸【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；…根据规律计算：202220212020201943222222222-+-+⋯⋯+-+-的值是（）A ．2023223-B ．202321-C ．20232-【答案】A 【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为()()12321111n n n n x x x x x x x x --+-+++++++=- ，利用规律，当2x =-，2022n =时，代入其中即可求解．本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．解：由2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；…观察发现：()()12321111n n n n x x x x x x x x --+-+++++++=- ，当2x =-，2022n =时，得202220212020201943220232122222222121()()()---+-+-+-+=-- ，∴2023202320232022202120202019432212121222222221333()----+-+-+-+-+===-- ，∴202320232022202120202019432212222222222133+--+-+-+-=-= ．故选：A ．【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x 的值是3-，则第2024次计算后输出的结果为．【答案】8-【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值，仔细计算，观察出即从第2次开始，以5-、8-、3-为一个循环组循环出现，是解题的关键．总结规律后结合202436742÷=⋅⋅⋅，即可得到答案．解：第1次输出的结果为：()33191522⨯----==-；第2次输出的结果为：()351151822⨯----==-；第3次输出的结果为：8232-+=-；第4次输出的结果为：()33191522⨯----==-；第5次输出的结果为：()351151822⨯----==-；第6次输出的结果为：8232-+=-…，则从第1次输出开始，以5-、8-、3-为一个循环组循环出现，∵202436742÷=⋅⋅⋅，∴第2024次输出的结果为8-．故答案为：8-．。

第1页共6页整式的混合运算（习题）
例题示范
例1：先化简再求值：2(32)(32)5()(2)x y x
y x x y x y ，其中13x ，1y ．【过程书写】
解：原式22222(94)(55)(44)x
y x xy x xy y 22222945544x
y x xy x xy y 295xy y 当1
3
x ，1y 时，原式2
19
(1)5(1)3
352例2：若2m n x ，2n x ，则m n x =_______________．
【思路分析】①观察所求式子，根据同底数幂的乘法，m n m n x
x x ，我们需要求出m x ，n x 的值；
②观察已知条件，由2m n m n x
x x ，2n x ，可求出4m x ；③代入，求得8m n x
x ，即8m n x ．例3：若249x mx 是一个完全平方式，则m=________．
【思路分析】
①完全平方公式是由首平方，尾平方，二倍的乘积组成，观察式子结构，首尾
两项是平方项．
②将24x ，9写成平方的形式224(2)x
x ，293，故mx 应为二倍的乘积．③对比完全平方公式的结构，完全平方公式有两个．222
()2a b a ab b 因此223mx x ，所以12m ．
巩固练习
1.计算：
①2(3)(3)(3)23a b a b a b a b ；。

整式的乘除及几何表示（讲义）课前预习1. 整式乘除运算法则：单×单：_______乘以________，_________乘以________．单×多：根据________________，转化为单×单．多×多：握手原则．单÷单：__________________，__________________．多÷单：借用________________________．2. 两大公式：平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．口诀：_________________________．3. 动手操作：画出一个边长为(a +b )的正方形（a >0，b >0），则它的面积是________；再画两个正方形，他们的边长分别为a ，b ，则这两个正方形的面积之和为________；剪下来拼一拼，由此可以得到222()_____a b a b ++（填“>”，“<”或“≠”）．知识点睛符号问题：乘方看奇偶，公式辨符号；去添括号看正负，整体处理加括号．公式的几何表示：①以两个多项式为边，构造长方形；②由面积关系可知，特定几何图形的个数与计算结果中的各项系数对应相等．精讲精练1. 计算下列各式：（1）323322()(2)3()()a a a a a a ⎡⎤⋅--⋅-+--÷-⎣⎦；（2）522323(2)(3)()(2)2a a a a a a ----+-⋅；（3）(2)(2)(2)y y x y x y x -⋅+-+-；（4）(32)(32)x y z x y z --++；（5）22(3)(32)m m n ---+；（6）(3)(3)(3)(3)m n m n m n m n -+---+；（7）222(2)()()2(2)a a b a b a b -----+--；（8）222()()()3()m m n m n m n m n ----+---．2. 计算下列各式：（1）22251(2)()(2)2a b ab b a b ⎛⎫-⋅-÷--- ⎪⎝⎭；（2）(23)(23)(32)(32)a b a b a b a b --+----；（3）332(32)()(2)(2)(2)a b ab ab a b a b a --÷-----+--；（4）2(2)(2)(2)(32)(32)x y x y x x y x y ---+--+--+．3. 计算下列各式：（1）2120112(3)23--⎛⎫⎛⎫-⨯π---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）20162221(1)(3)3(2)(2)2---÷-+÷-⨯--．4. 请你观察图形，不再添加辅助线，依据图形面积间的关系，便可验证一个等式，这个等式是______________________．5. 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为(a +2b )的正方形，则需要A 类卡片______张，B 类卡片______张，C 类卡片______张． bb b aaa C 类B 类A 类6. 如图，正方形卡片A 类、C 类和长方形卡片B 类若干张，若要拼一个长为(a +2b )，宽为(a +b )的大长方形，则需要B 类卡片________张．请通过拼接的方法说明(a +2b )(a +b )的结果为_______________．bb b aaa C 类B 类A 类7. 请你用几何图形直观地解释22(3)9b b ．8. 试用直观的方法说明222(3)30a a a +≠+≠（）．9. 请用直观的方法说明22(3)(2)273a b a b a ab b ++=++．10. 请画出相应的几何图形，并根据几何图形直接写出(22)(2)a b c a b +++的计算结果．【参考答案】课前预习1. 系数，系数；字母，字母乘法分配律系数除以系数；字母除以字母乘法分配律2. 22()()a b a b a b +-=-222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+首平方，尾平方，二倍乘积放中央 3. 2()a b +；22a b +；>精讲精练1. （1）528a （2）55a（3）2225x xy y -- （4）222944x y yz z --- （5）2124mn n -（6）2186m mn - （7）223a b -+（8）2244m n -+ 2. （1）510a b（2）2251213a ab b +- （3）2222a b -+（4）2212128x xy y --- 3. （1）72- （2）1324. 222(3)69a b a ab b +=++5. 1 4 46. 32232a ab b ++ 7. 略8. 略9. 略10. 图略，2225242a ab ac bc b ++++。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯人教版八年级上册：整式的混合运算—化简求值强化训练一．选择题1．当a＝时，代数式（a+2）2+（1﹣a）（1+a）的值为（）A．5B．4C．3D．22．若x＝﹣2，y＝，则y（x+y）+（x+y）（x﹣y）﹣x2的值等于（）A．﹣2B．C．1D．﹣13．如果x2+x＝3，那么代数式（x+1）（x﹣1）+x（x+2）的值是（）A．2B．3C．5D．64．若a2+4a＝5，则代数式2a（a+2）﹣（a+1）（a﹣1）的值为（）A．1B．2C．4D．65．已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）的值为（）A．﹣1B．﹣3C．1D．3二．填空题6．若a＝2019，b＝2020，则[a2（a﹣2b）﹣a（a﹣b）2]÷b2的值为．7．已知x＝﹣2，y＝，化简（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y）＝．8．若x2﹣2x﹣6＝0，则（x﹣3）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣2x2的值为．9．已知：a+b＝，ab＝1，式子（a﹣1）（b﹣1）的结果是．三．解答题10．先化简，再求值：（x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）+x（x﹣4），其中x＝3．11．先化简，再求值：（2x+2）（2﹣2x）+5x（x+1）﹣（x﹣1）2，其中x＝﹣2．12．先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（2x+y）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．13．先化简再求值：（a+2）2+（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣1），其中a＝﹣．14．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣3（x+y）（x﹣y）+2x2，其中，x＝1，y＝﹣1．15．先化简，再求值：[（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2﹣2b（a﹣b）]÷2b，其中a＝1，b ＝﹣2．16．先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x，y满足|x﹣2|+（y+1）2＝0．17．化简求值（1）（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1），其中x＝；（2）[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝．18．先化简，再求值：（1）（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（3xy）+（2y+x）（2y﹣x），其中x＝﹣1，y＝﹣2．（2）（2a+1）（2a﹣1）﹣（a﹣1）2+（2a）3÷（﹣8a），其中a是方程a2+a﹣2＝0的解．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵a＝﹣，∴（a+2）2+（1﹣a）（1+a）＝a2+4a+4+1﹣a2＝4a+5＝4×（﹣）+5＝2，故选：D．2．解：原式＝xy+y2+x2﹣y2﹣x2＝xy，当x＝﹣2，y＝时，原式＝﹣1．故选：D．3．解：（x+1）（x﹣1）+x（x+2）＝x2﹣1+x2+2x＝2x2+2x﹣1＝2（x2+x）﹣1，∵x2+x＝3，∴原式＝2×3﹣1＝5．故选：C．4．解：原式＝2a2+4a﹣a2+1＝（a2+4a）+1，∵a2+4a＝5，∴原式＝5+1＝6．故选：D．5．解：原式＝ab﹣a+b﹣1＝ab﹣（a﹣b）﹣1，把a﹣b＝5，ab＝3代入得：原式＝3﹣5﹣1＝﹣3，故选：B．二．填空题6．解：原式＝（a3﹣2a2b﹣a3+2a2b﹣ab2）]÷b2＝﹣a，当a＝2019时，原式＝﹣2019．故答案为：﹣20197．解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣y2）＝x2+4xy+4y2﹣x2+y2＝5y2+4xy，当x＝﹣2，y＝时，原式＝5×﹣4＝，故答案为：8．解：∵x2﹣2x﹣6＝0，∴x2﹣2x＝6，∴（x﹣3）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣2x2＝x2﹣6x+9+4x2﹣1﹣2x2＝3x2﹣6x+8＝3（x2﹣2x）+8＝3×6+8＝26，故答案为：26．9．解：∵a+b＝，ab＝1，∴原式＝ab﹣（a+b）+1＝﹣1+1＝，故答案为：三．解答题10．解：原式＝x2﹣2x+1﹣2（x2﹣9）+x2﹣4x＝x2﹣2x+1﹣2x2+18+x2﹣4x＝﹣6x+19．当x＝3 时，原式＝﹣18+19＝1．11．解：当x＝﹣2时，原式＝4﹣4x2+5x2+5x﹣x2+2x﹣1＝7x+3＝﹣14+3＝﹣1112．解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣2xy﹣y2）÷2x＝（4x2﹣6xy）÷2x＝2x﹣3y．当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2﹣3×（﹣1）＝7．13．解：原式＝a2+4a+4+a2﹣1﹣2a2+a＝5a+3，当a＝﹣时，原式＝5×（﹣）+3＝﹣1．14．解：（x﹣2y）2﹣3（x+y）（x﹣y）+2x2＝x2﹣4xy+4y2﹣3（x2﹣y2）+2x2＝x2﹣4xy+4y2﹣3x2+3y2+2x2＝7y2﹣4xy，当x＝1，y＝﹣1时，原式＝7×（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝7+4＝13．15．解：原式＝（a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2﹣2ab+2b2）÷2b ＝（2ab﹣6b2）÷2b＝a﹣3b，当a＝1，b＝﹣2时，原式＝1+6＝7．16．解：原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣（4x2﹣4xy+y2），＝5x2﹣4xy﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2，∵|x﹣2|+（y+1）2＝0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，∴x＝2，y＝﹣1，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝22﹣2×（﹣1）2＝4﹣2＝2．17．解：（1）（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1）＝4x2+4x+1﹣4x2+4＝4x+5，当x＝时，原式＝4×+5＝6；（2）[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（2x）＝（x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2﹣5y2）÷（2x）＝（﹣2x2+2xy）÷（2x）＝﹣x+y，当x＝﹣2，y＝时．原式＝2+＝．18．解：（1）（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（3xy）+（2y+x）（2y﹣x）＝9x3y÷3xy﹣12xy3÷3xy+3xy2÷（3xy）+4y2﹣x2＝3x2﹣4y2+y+4y2﹣x2＝2x2+y，当x＝﹣1，y＝﹣2时，原式＝2×1﹣2＝0；（2）（2a+1）（2a﹣1）﹣（a﹣1）2+（2a）3÷（﹣8a）＝4a2﹣1﹣a2+2a﹣1+8a3÷（﹣8a）＝4a2﹣1﹣a2+2a﹣1﹣a2＝2a2+2a﹣2，∵a2+a﹣2＝0，∴a2+a＝2，∴原式＝2（a2+a）﹣2＝2．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

专题 因式分解☞解读考点☞2年中考【2015年题组】 1．（2015北海）下列因式分解正确的是（ ）A ．24(4)(4)x x x -=+-B ．221(2)1x x x x ++=++C ．363(6)mx my m x y -=-D ．242(2)x x +=+ 【答案】D ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．2．（2015贺州）把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）A ．34()xy x y x --B ．2(2)x x y --C ．22(44)x xy y x -- D ．22(44)x xy y x --++ 【答案】B ． 【解析】试题分析：原式=22(44)x x xy y --+=2(2)x x y --，故选B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．（2015宜宾）把代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．23(44)x x x -+B ．23(4)x x -C ．3(2)(2)x x x +-D ．23(2)x x -【答案】D ． 【解析】试题分析：原式=23(44)x x x -+=23(2)x x -，故选D ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 4．（2015毕节）下列因式分解正确的是（ ） A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+ B ．2211()42x x x -+=-C ．2224(2)x x x -+=- D ． 224(4)(4)x y x y x y -=+- 【答案】B ．【解析】试题分析：A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+=22(3)a b a -，错误；B ．2211()42x x x -+=-，正确；C ．224x x -+不能分解，错误；D ．224(2)(2)x y x y x y -=+-，错误； 故选B ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．5．（2015临沂）多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ）A ．1x -B ．1x +C ．21x- D ．()21x -【答案】A ．考点：公因式．6．（2015枣庄）如图，边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ）A ．140B ．70C ．35D ．24 【答案】B ． 【解析】试题分析：根据题意得：a+b=14÷2=7，ab=10，∴22a b ab +=ab （a+b ）=10×7=70；故选B ． 考点：因式分解的应用． 7．（2015烟台）下列等式不一定成立的是（ ）A 0)b =≠B ．3521a a a -∙= C ．224(2)(2)a b a b a b -=+- D ．326(2)4a a -= 【答案】A ．考点：1．二次根式的乘除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．因式分解-运用公式法；4．负整数指数幂． 8．（2015杭州）下列各式的变形中，正确的是（ ）A ．22()()x y x y x y ---+=- B ．11x x xx --= C ．2243(2)1x x x -+=-+ D ．21()1x x x x ÷+=+【答案】A ．【解析】试题分析：A ．22()()x y x y x y ---+=-，正确；B ．211x x x x --=，错误； C ．2243(2)1x x x -+=--，错误； D ．21()1x x x x ÷+=+，错误；故选A ．考点：1．平方差公式；2．整式的除法；3．因式分解-十字相乘法等；4．分式的加减法． 9．（2015南京）分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是 ．【答案】2(2)a b -．【解析】试题分析：()(4)a b a b ab --+=2254a ab b ab -++=2244a ab b -+=2(2)a b -．故答案为：2(2)a b -．考点：因式分解-运用公式法．10．（2015巴中）分解因式：2242a a -+= ．【答案】22(1)a -．【解析】试题分析：原式=22(21)a a -+=22(1)a -．故答案为：22(1)a -．考点：提公因式法与公式法的综合运用．11．（2015绵阳）在实数范围内因式分解：23x y y -= ． 【答案】)3)(3(-+x x y ． 【解析】试题分析：原式=2(3)y x -=)3)(3(-+x x y ，故答案为：)3)(3(-+x x y ．考点：实数范围内分解因式．12．（2015内江）已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b +=，则2015a b-|= ．【答案】1．考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂；3．条件求值；4．综合题；5．压轴题． 13．（2015北京市）分解因式：325105x x x -+= ．【答案】25(1)x x -．【解析】试题分析：原式=25(21)x x x -+=25(1)x x -．故答案为：25(1)x x -． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．14．（2015甘南州）已知210a a --=，则322015a a a --+= ． 【答案】2015．【解析】 试题分析：∵210a a --=，∴21a a -=，∴322015a a a --+=2()+2015a a a a --=2015a a -+=2015，故答案为：2015．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值；3．代数式求值；4．综合题．15．（2015株洲）因式分解：2(2)16(2)x x x ---= ．【答案】(2)(4)(4)x x x -+-． 【解析】试题分析：原式=2(2)(16)x x --=(2)(4)(4)x x x -+-．故答案为：(2)(4)(4)x x x -+-．考点：提公因式法与公式法的综合运用．16．（2015东营）分解因式：2412()9()x y x y +-+-= ．【答案】2(332)x y -+．考点：因式分解-运用公式法．17．（2015菏泽）若2(3)()x x m x x n++=-+对x恒成立，则n= ．【答案】4．【解析】试题分析：∵2(3)()x x m x x n++=-+，∴22(3)3x x m x n x n++=+--，故31n-=，解得：n=4．故答案为：4．考点：因式分解-十字相乘法等．18．（2015重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．【答案】（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；（2）y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．考点：1．因式分解的应用；2．规律型：数字的变化类；3．新定义．【2014年题组】1．（2014年常德中考）下面分解因式正确的是（）A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B. （x2﹣4）x=x3﹣4xC. ax+bx=（a+b）xD. m2﹣2mn+n2=（m+n）2【答案】C．【解析】试题分析：A、x2+2x+1=x（x+2）+1，不是因式分解，故错误；B、（x2﹣4）x=x3﹣4x，不是因式分解，故错误；C、ax+bx=（a+b）x，是因式分解，故正确；D、m2﹣2mn+n2=（m ﹣n）2，故错误．故选C．考点：1.因式分解-运用公式法；2.因式分解-提公因式法．2.（2014年海南中考）下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．()2a4a21a a421+-=+-B．()()2a4a21a3a7+-=-+C．()()2a3a7a4a21-+=+-D．()22a4a21a225+-=+-【答案】B．考点：因式分解的意义．3.（2014年无锡中考）分解因式：x3﹣4x= ．【答案】()() x x2x2+-．【解析】试题分析：()()() 32x4x x x4x x2x2 -=-=+-．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．4.（2014年株洲中考）分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=【答案】（x﹣3）（4x+3）．【解析】试题分析：x2+3x（x﹣3）﹣9=x2﹣9+3x（x﹣3）=（x﹣3）（x+3）+3x（x﹣3）=（x﹣3）（x+3+3x）=（x﹣3）（4x+3）．考点：因式分解．5.（2014年徐州中考）若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于．【答案】﹣2．【解析】试题分析：∵ab=2，a﹣b=﹣1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2．考点：1.求代数式的值；2.提公因式法因式分解；3.整体思想的应用．6.（2014年眉山中考）分解因式：225xy x-=__________________．【答案】x（y+5）（y﹣5）．【解析】试题分析：原式=x（y2﹣25）=x（y+5）（y﹣5）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．7.（2014年绍兴中考）分解因式：2a a-= ．【答案】() a a1-．【解析】试题分析：() 2a a a a1-=-．考点：提公因式法因式分解．8.（2014年台州中考）因式分解3a4a-的结果是．【答案】()() a a2a2+-．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．9.（2014年泸州中考）分解因式：23a 6a 3++= .【答案】()23a 1+．【解析】 试题分析：()()2223a 6a 33a 2a 13a 1++=++=+．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．10.（2014年北海中考）因式分解：x2y ﹣2xy2= ． 【答案】()xy x 2y -．【解析】 试题分析：()22x y 2xy xy x 2y -=-．考点：提公因式法因式分解． ☞考点归纳归纳 1：因式分解的有关概念 基础知识归纳：因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算． 注意问题归纳：符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式． 2.因式分解与整式乘法是互逆运算．【例1】下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）()2a 4a 21a a 421+-=+- B ．()()2a 4a 21a 3a 7+-=-+ C ．()()2a 3a 7a 4a 21-+=+- D ．()22a 4a 21a 225+-=+-【答案】B ．考点：因式分解的有关概念．归纳 2：提取公因式法分解因式 基础知识归纳：将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂．提取公因式法：ma＋mb－mc=m（a+b-c）注意问题归纳：提公因式要注意系数；要注意查找相同字母，要提净．【例2】若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于．【答案】﹣2．考点：因式分解-提公因式法．【例3】因式分解：2a3ab+=．【答案】() a a3+．【解析】() 2a3ab a a3+=+．考点：因式分解-提公因式法．归纳3：运用公式法分解因式基础知识归纳：运用平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）；运用完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2．注意问题归纳：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解．【例4】3x2y－27y= ；【答案】3y（x+3）（x-3）．【解析】原式=3y（x2-9）=3y（x+3）（x-3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．【例5】将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是．【答案】n（m-1）2．【解析】m2n-2mn+n，=n（m2-2m+1），=n（m-1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．归纳4：综合运用多种方法分解因式基础知识归纳：因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．注意问题归纳：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底．【例6】分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=【答案】（x﹣3）（4x+3）．考点：因式分解-分组分解法．【例】7分解因式：x3－5x2＋6x=【答案】x（x-3）（x-2）．【解析】x3-5x2+6x=x（x2-5x+6）=x（x-3）（x-2）．考点：因式分解-十字相乘法．☞1年模拟1．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若多项式x4+mx3+nx-16含有因式（x-2）和（x-1），则mn的值是（）A．100 B．0 C．-100 D．50【答案】C．【解析】试题分析：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b．比较系数得：a-3=m，b-3a+2=0，2a-3b=n，2b=-16，解得：a=-2，b=-8，m=-5，n=20，所以mn=-5×20=-100．故选C．考点：因式分解的意义．2．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）因式分解2x2-8的结果是（）A．（2x+4）（x-4）B．（x+2）（x-2）C．2 （x+2）（x-2）D．2（x+4）（x-4）【答案】C．【解析】试题分析：2x2-8=2（x2-4）2（x+2）（x-2）．故选C．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．（2015届河北省中考模拟二）现有一列式子：①552-452；②5552-4452；③55552-44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017【答案】D．考点：1．因式分解-运用公式法；2．科学记数法—表示较大的数．4．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）分解因式：2x2﹣12x+32= ．【答案】2（x﹣8）（x+2）．【解析】试题分析：原式提取2，再利用十字相乘法分解，原式=2（x2﹣6x+16）=2（x﹣8）（x+2）．故答案为：2（x﹣8）（x+2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．5．（2015届北京市平谷区中考二模）把a ﹣4ab2分解因式的结果是 ．【答案】a （1+2b ）（1﹣2b ）．【解析】试题分析：先提取公因式，再利用平方差公式法，进而分解因式得出即可．考点：提公因式法与公式法的综合运用．6．（2015届北京市门头沟区中考二模）分解因式：29ax a -= ．【答案】(3)(3)a x x -+．【解析】试题分析：29ax a - =2(9)a x -=(3)(3)a x x -+．故答案为：(3)(3)a x x -+． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．7．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若a2-3a+1=0，则3a3-8a2+a+231a += ．【答案】2．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值．8．（2015届安徽省安庆市中考二模）因式分解：﹣3x2+3x ﹣= ．【答案】﹣3（x ﹣21）2．【解析】试题分析：原式=﹣3（x2﹣x+41）=﹣3（x ﹣21）2．故答案为：﹣3（x ﹣21）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．9．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ．【答案】ab （a-b ）2．【解析】试题解析：a3b-2a2b2+ab3=ab （a2-2ab+b2）=ab （a-b ）2．故答案为：ab （a-b ）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．10．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）分解因式：3ax2-3ay2= ．【答案】3a （x+y ）（x-y ）．【解析】试题分析：3ax2-3ay2=3a（x2-y2）=3a（x+y）（x-y）．故答案为：3a（x+y）（x-y）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．11．（2015届山东省聊城市中考模拟）因式分解：4a3-12a2+9a= ．【答案】a（2a-3）2．【解析】试题分析：4a3-12a2+9a=a（4a2-12a+9）=a（2a-3）2．故答案为：a（2a-3）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．12．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）把3x3-6x2y+3xy2分解因式的结果是．【答案】3x（x-y）2．考点：提公因式法和公式法的综合运用．13．（2015届广东省广州市中考模拟）分解因式：x2+xy= ．【答案】x（x+y）．【解析】试题分析：x2+xy=x（x+y）．故答案为：x（x+y）．考点：因式分解-提公因式法．14．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）因式分解：2a3-8a= ．【答案】2a（a+2）（a-2）．【解析】试题分析：2a3-8a=2a（a2-4）=2a（a+2）（a-2）．故答案为：2a（a+2）（a-2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．15．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）若a-b=3，ab=2，则a2b-ab2= ．【答案】6．【解析】试题分析：∵a-b=3，ab=2，∴a2b-ab2=ab（a-b）=2×3=6．故答案为：6．考点：因式分解-提公因式法．16．（2015届河北省中考模拟二）若M=（2015-1985）2，O=（2015-1985）×（2014-1986），N=（2014-1986）2，则M+N-2O的值为．【答案】4．【解析】试题分析：∵M=（2015-1985）2，O=（2015-1985）×（2014-1986），N=（2014-1986）2，∴M+N-2O=（2015-1985）2-2（2015-1985）×（2014-1986）+（2014-1986）2=[（2015-1985）-（2014-1986）]2=4．故答案为：4．考点：因式分解-运用公式法．17．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）分解因式：a3﹣9a= ．【答案】a（a+3）（a﹣3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）分解因式：xy2﹣2xy+x=__________．【答案】x（y-1）2．【解析】试题分析：先提公因式x，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．即xy2-2xy+x=x（y2-2y+1）=x（y-1）2．故答案为：x（y-1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．19．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．（1）这个几何体模型的名称是．（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）若h=a+b，且a，b满足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．【答案】（1）长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）图形略；（3）62．考点：1．因式分解的应用；2．由三视图判断几何体；3．作图-三视图．。

初中数学整式的混合运算—化简求值(含答案)1．求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x=．考点：整式的混合运算—化简求值。

分析：先去括号，然后合并同类项，在将x的值代入即可得出答案．解答：解：原式=x3﹣x2﹣x3﹣x2+x=﹣2x2+x，将x=代入得：原式=0．故答案为：0．点评：本题考查了整式的混合运算化简求值，是比较热点的一类题目，但难度不大，要注意细心运算．2．先化简，再求值：（1）a（a﹣1）﹣（a﹣1）（a+1），其中．（2）[（2a+b）2+（2a+b）（b﹣2a）﹣6ab]÷2b，且|a+1|+=0．考点：整式的混合运算—化简求值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根。

专题：计算题。

分析：（1）先将代数式化简，然后将a的值代入计算；（2）先将代数式化简，然后将a、b的值代入计算．解答：解：（1）a（a﹣1）﹣（a﹣1）（a+1）=a2﹣a﹣a2+1=1﹣a将代入上式中计算得，原式=a+1=+1+1=+2（2）[（2a+b）2+（2a+b）（b﹣2a）﹣6ab]÷2b=（4a2+4ab+b2﹣4a2+2ab﹣2ab+b2﹣6ab）÷2b=（2b2﹣2ab）÷2b=2b（b﹣a）÷2b=b﹣a由|a+1|+=0可得，a+1=0，b﹣3=0，解得，a=﹣1，b=3，将他们代入（b﹣a）中计算得，b﹣a=3﹣（﹣1）=4点评：这两题主要题考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．3．化简求值：（a+1）2+a（a﹣2），其中．考点：整式的混合运算—化简求值。

专题：计算题。

分析：先按照完全平方公式、单项式乘以多项式的法则展开，再合并，最后把a的值代入计算即可．解答：解：原式=a2+2a+1+a2﹣2a=2a2+1，当a=时，原式=2×（）2+1=6+1=7．点评：本题考查了整式的化简求值，解题的关键是公式的使用、合并同类项．4．，其中x+y=3．考点：整式的混合运算—化简求值。

专题 整式的运算☞2年中考【2015年题组】 1．（2015北海）下列运算正确的是（ ）A ．3412a b a +=B ．326()ab ab = C ．222(5)(42)3a ab a ab a ab --+=- D ．1262x x x ÷=【答案】C ．【解析】试题分析：A ．3a 与4b 不是同类项，不能合并，故错误；B ．3226()ab a b =，故错误； C ．正确；D ．1266x x x ÷=，故错误；故选C ．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项；3．去括号与添括号；4．同底数幂的除法． 2．（2015南宁）下列运算正确的是（ ）A ．ab a ab 224=÷B ．6329)3(x x = C ．743a a a =• D ．236=÷【答案】C ．考点：1．整式的除法；2．同底数幂的乘法；3．幂的乘方与积的乘方；4．二次根式的乘除法． 3．（2015厦门）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）A ．22xy -B ．23xC ．32xyD ．32x【答案】D ． 【解析】试题分析：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．A ．22xy -系数是﹣2，错误；B ．23x 系数是3，错误；C ．32xy 次数是4，错误；D ．32x 符合系数是2，次数是3，正确； 故选D ．考点：单项式．4．（2015厦门）32-可以表示为（ ）A ．2522÷ B ．5222÷ C ．2522⨯ D ．(2)(2)(2)-⨯-⨯-【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．2522÷=252-=2522÷，故正确；B ．5222÷=32，故错误； C ．2522⨯=72，故错误；D ．(2)(2)(2)-⨯-⨯-=3(2)-，故错误；故选A ．考点：1．负整数指数幂；2．有理数的乘方；3．同底数幂的乘法；4．同底数幂的除法．5．（2015镇江）计算3(2)4(2)x y x y --+-的结果是（ ） A ．2x y - B ．2x y + C ．2x y -- D ．2x y -+ 【答案】A ．考点：整式的加减． 6．（2015广元）下列运算正确的是（ ）A ．23222()()ab ab ab -÷=-B ．2325a a a +=C ．22(2)(2)2a b a b a b +-=-D ．222(2)4a b a b +=+ 【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．23222()()ab ab ab -÷=-，正确；B ．325a a a +=，故错误；C ．22(2)(2)4a b a b a b +-=-，股错误； D ．222(2)44a b a b ab +=++，故错误． 故选A ．考点：1．平方差公式；2．合并同类项；3．同底数幂的除法；4．完全平方公式．7．（2015十堰）当x=1时，1ax b ++的值为－2，则()()11a b a b +---的值为的值为（ ）A ．﹣16B ．﹣8C ．8D ．16 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵当x=1时，1ax b ++的值为﹣2，∴12a b ++=-，∴3a b +=-，∴()()11a b a b +---=（﹣3﹣1）×（1+3）=﹣16．故选A ．考点：整式的混合运算—化简求值． 8．（2015黄冈）下列结论正确的是（ ）A ．2232a b a b -= B ．单项式2x -的系数是1-C ．使式子2+x 有意义的x 的取值范围是2x >-D ．若分式112+-a a 的值等于0，则1a =±【答案】B ．考点：1．合并同类项；2．单项式；3．分式的值为零的条件；4．二次根式有意义的条件．9．（2015佛山）若n mx x x x ++=-+2)1()2(，则m n +=（ ） A ．1 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．2【答案】C ． 【解析】试题分析：∵(2)(1)x x +-=2+2x x -=2x mx n ++，∴m=1，n=﹣2．∴m+n=1﹣2=﹣1．故选C ．考点：多项式乘多项式． 10．（2015天水）定义运算：a ⊗b=a （1﹣b ）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗（﹣2）=6，②a ⊗b=b ⊗a ，③若a+b=0，则（a ⊗a ）+（b ⊗b ）=2ab ，④若a ⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（ ）A ．①④B ．①③C ．②③④D ．①②④ 【答案】A ．考点：1．整式的混合运算；2．有理数的混合运算；3．新定义． 11．（2015邵阳）已知3a b +=，2ab =，则22a b +的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵3a b +=，2ab =，∴22a b +=2()2a b ab +-=9﹣2×2=5，故选C ．考点：完全平方公式．12．（2015临沂）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2015个单项式是（）A．2015x2015 B．4029x2014 C．4029x2015 D．4031x2015【答案】C．【解析】试题解析：系数的规律：第n个对应的系数是2n﹣1．指数的规律：第n个对应的指数是n．故第2015个单项式是4029x2015．故选C．考点：1．单项式；2．规律型．13．（2015日照）观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b+=++；33223()33a b a a b ab b+=+++；4432234()464a b a a b a b ab b+=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b+=+++++；…请你猜想10()a b+的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66 【答案】B．考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．14．（2015连云港）已知m n mn +=，则(1)(1)m n --= ． 【答案】1． 【解析】试题分析：(1)(1)m n --=mn ﹣（m+n ）+1，∵m+n=mn ，∴（m ﹣1）（n ﹣1）=mn ﹣（m+n ）+1=1，故答案为：1．考点：整式的混合运算—化简求值．15．（2015珠海）填空：2+10x x + =2(_____)x +．【答案】25；5． 【解析】试题分析：∵10x=2×5x ，∴2+1025x x +=2(5)x +．故答案为：25；5．考点：完全平方式． 16．（2015郴州）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为 ．【答案】12．考点：1．列表法与树状图法；2．完全平方式． 17．（2015大庆）若若52=na ，162=nb ，则()nab = ．【答案】45± 【解析】试题分析：∵52=n a ，162=n b ，∴2280n na b ⋅=，∴2()80nab =，∴()n ab =5±，故答案为：45±考点：幂的乘方与积的乘方．18．（2015牡丹江）一列单项式：2x -，33x ，45x -，57x ，…，按此规律排列，则第7个单项式为 ． 【答案】213x -．【解析】试题分析：第7个单项式的系数为﹣（2×7﹣1）=﹣13，x 的指数为8，所以，第7个单项式为213x -．故答案为：213x -． 考点：1．单项式；2．规律型．19．（2015安顺）计算：201320111(3)()3-⋅-= ．【答案】9．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．同底数幂的乘法．20．（2015铜仁）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则6()a b += ．【答案】654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++． 【解析】试题分析：6()a b +=654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++．故本题答案为：654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++．考点：1．完全平方公式；2．规律型：数字的变化类；3．综合题． 21．（2015南宁）先化简，再求值：(1)(1)(2)1x x x x +-++-，其中12x =．【答案】2x ，1． 【解析】试题分析：先利用乘法公式展开，再合并得到答案，然后把12 x=代入计算即可．试题解析：原式=22121x x x-++-=2x，当12x=时，原式=2×12=1．考点：整式的混合运算—化简求值．22．（2015无锡）计算：（1）02(5)(3)3--+-；（2）2(1)2(2)x x+--．【答案】（1）1；（2）25x+．考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算；3．零指数幂．23．（2015内江）填空：()()a b a b-+= ；22()()a b a ab b-++= ；3223()()a b a a b ab b-+++= ．（2）猜想：1221()(...)n n n na b a a b ab b-----++++= （其中n为正整数，且2n≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222 (222)-+-+-+．【答案】（1）22a b-，33a b-，44a b-；（2）n na b-；（3）342．【解析】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；（2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -；3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -； 3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；故答案为：22a b -，33a b -，44a b -；（2）由（1）的规律可得：原式=n n a b -，故答案为：n na b -；（3）令98732222...222S =-+-+-+，∴987321222...2221S -=-+-+-+- =98732[2(1)](222...2221)3---+-+-+-÷=10(21)3(10241)3341-÷=-÷=，∴S=342．考点：1．平方差公式；2．规律型；3．阅读型；4．综合题．24．（2015咸宁）（1）计算：128(2)-++-；（2）化简：2232(2)()a b ab b b a b --÷--． 【答案】（1）32；（2）22b -．考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算；3．零指数幂．25．（2015随州）先化简，再求值：5322(2)(2)(5)3()a a a a b a b a b +-+-+÷-，其中12ab =-．【答案】42ab -，5．【解析】 试题分析：利用平方差公式、单项式乘以多项式法则、单项式除法运算，合并得到最简结果，把ab 的值代入计算即可求出值．试题解析：原式=22453a a ab ab -+-+=42ab -，当12ab =-时，原式=4+1=5．考点：整式的混合运算—化简求值．26．（2015北京市）已知22360a a +-=． 求代数式3(21)(21)(21)a a a a +-+-的值．【答案】7． 【解析】试题分析：利用单项式乘以多项式法则、平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 试题解析：∵22360a a +-=，即2236a a +=，∴原式=226341a a a +-+=2231a a ++=6+1=7． 考点：整式的混合运算—化简求值．27．（2015茂名）设y ax =，若代数式()(2)3()x y x y y x y +-++化简的结果为2x ，请你求出满足条件的a 值． 【答案】a=﹣2或0． 【解析】试题分析：因式分解得到原式=2()x y +，再把当y ax =代入得到原式=22(1)a x +，所以当2(1)1a +=满足条件，然后解关于a 的方程即可．试题解析：原式=2()x y +，当y ax =时，代入原式得222(1)a x x +=，即2(1)1a +=，解得：a=﹣2或0．考点：1．整式的混合运算；2．平方根． 28．（2015河北省）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：（1）求所捂的二次三项式； （2）若16+=x ，求所捂二次三项式的值．【答案】（1）221x x -+；（2）6．考点：整式的混合运算—化简求值．【2014年题组】 1．（2014年百色中考） 下列式子正确的是（ ） A ．（a ﹣b ）2=a2﹣2ab+b2 B ． （a ﹣b ）2=a2﹣b2 C ．（a ﹣b ）2=a2+2ab+b2 D ．（a ﹣b ）2=a2﹣ab+b2 【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．（a ﹣b ）2=a2﹣2ab+b2，故A 选项正确；B ．（a ﹣b ）2≠a2﹣b2，故B 选项错误；C ．（a ﹣b ）2≠a2+2ab+b2，故C 选项错误；D ．（a ﹣b ）2≠a2﹣ab+b2，故D 选项错误；故选A ．考点：完全平方公式．2.（2014年镇江中考）下列运算正确的是（ ） A.()339x x = B.()332x 6x -=- C.22x x x -= D.632x x x ÷=【答案】A ．考点：1.幂的乘方和积的乘方；2.合并同类项；3.同底幂乘除法． 3.（2014年常州中考）下列运算正确的是（ ）A. 33a a a ⋅= B.()33ab a b = C. ()236aa = D. 842a a a ÷=【答案】C ．【解析】试题分析：根据同底幂乘法，同底幂乘除法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断： A. 31343a a aa a+⋅==≠，选项错误； B.()3333ab a b a b=≠，选项错误；C.()23326a a a ⨯==，选项正确； D. 848442a a aa a -÷==≠，选项错误.故选C ．考点：1.同底幂乘法；2.同底幂乘除法；3.幂的乘方和积的乘方． 4.（2014年抚顺中考）下列运算正确的是（ ） A ．-2（a-1）=-2a-1B ．（-2a ）2=-2a2C ．（2a+b ）2=4a2+b2 D ． 3x2-2x2=x2 【答案】D ． 【解析】 试题分析：A 、-2（a-1）=-2a+2，故A 选项错误；B 、（-2a ）2=4a2，故B 选项错误；C 、（2a+b ）2=4a2+4ab+b2，故C 选项错误；D 、3x2-2x2=x2，故D 选项正确．故选D ．考点：1.完全平方公式；2.合并同类项；3.去括号与添括号；4.幂的乘方与积的乘方． 5.（2014年眉山中考）下列计算正确的是（ ）A ．235x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．236()x x =D ．632x x x ÷=【答案】C ．考点：1.同底数幂的除法；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法；4.幂的乘方与积的乘方．6.（2014年资阳中考）下列运算正确的是（ ） A ．a3+a4=a7 B ． 2a3•a4=2a7 C ． （2a4）3=8a7 D ． a8÷a2=a4 【答案】B ． 【解析】 试题分析：A 、a3和a4不能合并，故A 错误；B 、2a3•a4=2a7，故B 正确；C 、（2a4）3=8a12，故C 错误；D 、a8÷a2=a6，故D 错误； 故选B ．考点：整式的运算．7.（2014年镇江中考）化简：()()x 1x 11+-+=．【答案】2x ．【解析】试题分析：第一项利用平方差公式展开，去括号合并即可得到结果：()()22x 1x 11x 11x +-+=-+=．考点：整式的混合运算．8.（2014年吉林中考）先化简，再求值：x （x+3）﹣（x+1）2，其中x=+1．【答案】x ﹣1；2．【解析】 试题分析：先利用整式的乘法和完全平方公式计算，再进一步合并化简，最后代入数值即可． 试题解析：原式=x2+3x ﹣x2﹣2x ﹣1=x ﹣1，当x=2+1时，原式=2+1﹣1=2． 考点：1．整式的运算；2．化简求值．9.（2014年绍兴中考）先化简，再求值：()()()2a a 3b a b a a b -++--，其中1a 1b 2==-，．【答案】a2+b2,54．考点：整式的混合运算—化简求值．10.（2014年杭州中考）设y kx =，是否存在实数k ，使得代数式2222222(x y )(4x y )3x (4x y )--+-能化简为4x ？若能，请求出所有满足条件的k 值，若不能，请说明理由． 【答案】能． 【解析】试题分析：化简代数式，根据代数式恒等的条件列关于k 的方程求解即可 试题解析：∵y kx=，∴222222222222222(x y )(4x y )3x (4x y )(4x y )(x y 3x )(4x y )--+-=--+=- ()2222242(4x k x )x 4k=-=-．∴要使代数式22222224(x y )(4x y )3x (4x y )x --+-=，只要()224k 1-=．∴24k 1-=±，解得k=3k=5．考点：1. 代数式的化简；2. 代数式恒等的条件；3.解高次方程．☞考点归纳归纳 1：整式的有关概念 基础知识归纳：整式：单项式与多项式统称整式． （1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是单项式）.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项．2. 同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.基本方法归纳：要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同． 注意问题归纳：1、单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独一个非0数的次数是0；2、多项式的次数是指次数最高的项的次数．3、同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同． 【例1】下列式子中与3m2n 是同类项的是（ ） A.3mn B.3nm2 C.4m D.5n 【答案】B ．考点：同类项． 归纳 2：幂的运算 基础知识归纳：（1）同底数幂相乘：am ·an ＝am ＋n （m ，n 都是整数，a ≠0） （2）幂的乘方：（am ）n ＝amn （m ，n 都是整数，a ≠0） （3）积的乘方：（ab ）n ＝an ·bn （n 是整数，a ≠0，b ≠0） （4）同底数幂相除：am ÷an ＝am －n （m ，n 都是整数，a ≠0） 注意问题归纳：（1）幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；（2）在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理． 【例2】下列运算正确的是（ ）A. 33a a a ⋅= B.()33ab a b = C.()236a a = D. 842a a a ÷=【答案】C ．考点：幂的运算． 归纳 3：整式的运算 基础知识归纳：1.整式的加减法:，实质上就是合并同类项 1.整式乘法①单项式乘多项式：m （a ＋b ）＝ma+mb ； ②多项式乘多项式：（a ＋b ）（c ＋d ）＝ac+ad+bc+bd ③乘法公式：平方差公式:（a+b ）（a-b ）=a2-b2；完全平方公式：（a ±b ）2=a2±2ab+b2． 3.整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．注意问题归纳：注意整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．【例3】下列计算正确的是（ ） A ．2x －x ＝x B ．a3·a2＝a6C ．（a －b ）2＝a2－b2D ．（a ＋b ）（a －b ）＝a2＋b2 【答案】A ．【解析】A 、原式=x ，正确；B 、原式=x5，错误；C 、原式=a2-2ab+b2，错误；D 、原式=a2-b2，故选A ．考点：整式的运算．【例4】先化简，再求值：()()()22a b a b b a b b +-++-，其中1a =、2b =-．【答案】-1．【解析】原式222222a b ab b b a ab =-++-=+； 当1a =、2b =-时，原式()2112121=+⨯-=-=-．考点：整式的混合运算—化简求值．【例5】计算21()(21)(41)2x x x +-÷- 【答案】12．【解析】原式=12（2x+1）（2x ﹣1）÷[（2x ﹣1）（2x+1）]=12．考点：整式的混合运算． ☞1年模拟 1、（2015届云南省剑川县九上第三次统一模拟考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）A ．6a ÷2a ＝3aB ．22532a a a -= C ．235()a a a -⋅= D ．527a b ab +=【答案】C ．考点：整式的运算． 2．（2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）．A ．623a a a =⋅B ．6223)(b a ab =C ．222)(b a b a -=-D ．235=-a a【答案】B ．【解析】试题分析：因为32235a a a a +⋅==，所以A 错误；因为6223)(b a ab =，所以B 正确；因为222()2a b a ab b -=-+，所以C 错误；因为532a a a -=，所以D 错误；故选B ．考点：1.幂的运算；2.整式的加减． 3．（2015届重庆市合川区清平中学等九年级模拟联考数学试卷）下列运算正确的是（ ）A ．23a a ⋅＝6aB ．33()y y xx = C ．55a a a ÷= D ．326()a a = 【答案】D ．考点：1．同底数幂的除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．同底数幂的乘法．4．（2015届云南省腾冲县九年级上学期五校联考摸底考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）A ．642a a a =+B ．523)(a a =C ．2328=+D ．222))((b ab a b a b a ---=---【答案】C ．【解析】试题分析：A ．2a 和4a 不能合并，故错误；B ．3265()a a a =≠，故错误；C 8222232==D ．2222()()()a b a b a b a b ---=--=-+，故错误；故选C ．考点：1．二次根式的混合运算；2．整式的混合运算． 5．（2015届山东省日照市中考一模）观察下列各式及其展开式： （a+b ）2=a2+2ab+b2（a+b ）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b ）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b ）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …请你猜想（a+b ）10的展开式第三项的系数是（ ）A ．36B ．45C ．55D ．66 【答案】B ．考点：完全平方公式．6．（2015届云南省腾冲县九年级上学期五校联考摸底考试数学试卷）若3223y xmm -与3852y x m +-能够进行加减运算，则21m +=_________________；【答案】－1或9． 【解析】试题分析：∵3223y x mm -与3852y x m +-能够进行加减运算，∴2258m m m -=+，即：2340m m --=，解得：1m =-或4m =，①当1m =-时，21m +=－1，②当4m =时，21m +=9．故答案为：－1或9．考点：1、同类项；2、解一元二次方程-因式分解法；3、分类讨论．7．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）已知a2-2a-3=0，求代数式2a （a-1）-（a+2）（a-2）的值． 【答案】7．考点：整式的混合运算—化简求值．。

专题 分式方程☞2年中考【2015年题组】1．（2015海南省）方程322x x =-的解为（ ）A ．2x =B ．6x =C ．6x =-D ．无解【答案】B ．【解析】试题分析：方程两边同乘以x （x ﹣2），得3（x ﹣2）=2x ，解得x=6，将x=6代入x （x ﹣2）=24≠0，所以原方程的解为：x=6，故选B ．考点：解分式方程．2．（2015遵义）若x=3是分式方程0212=---x x a 的根，则a 的值是（ ）A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣3【答案】A ．【解析】试题分析：∵x=3是分式方程0212=---x x a 的根，∴210332a --=-，∴213a -=，∴a ﹣2=3，∴a=5，即a 的值是5．故选A ．考点：分式方程的解．3．（2015济宁）解分式方程22311x x x ++=--时，去分母后变形为（ ）A ．2+（x+2）=3（x ﹣1）B ．2﹣x+2=3（x ﹣1）C ．2﹣（x+2）=3（1﹣x ）D ．2﹣（x+2）=3（x ﹣1）【答案】D ．【解析】试题分析：方程两边都乘以x ﹣1，得：2﹣（x+2）=3（x ﹣1）．故选D ．考点：解分式方程．4．（2015齐齐哈尔）关于x 的分式方程52a x x =-有解，则字母a 的取值范围是（ ）A ．a=5或a=0B ．a≠0C ．a≠5D ．a≠5且a≠0【答案】D ．考点：分式方程的解．5．（2015枣庄）关于x 的分式方程211x a x -=+的解为正数，则字母a 的取值范围为（ ）A ．1a ≥-B ．1a >-C ．1a ≤-D ．1a <-【答案】B ．【解析】试题分析：分式方程去分母得：2x ﹣a=x+1，解得：x=a+1，根据题意得：a+1＞0且a+1+1≠0，解得：a ＞﹣1且a≠﹣2．即字母a 的取值范围为a ＞﹣1．故选B ．考点：分式方程的解．6．（2015南宁）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号Max{a ，b}表示a 、b 中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程{}21x Max x x x +-=，的解为（ ）A ．21-B ．22-C ．12+21-D ．12+或﹣1【答案】D ．考点：1．解分式方程；2．新定义；3．综合题．7．（2015岳阳）岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x 元，则下列所列方程正确的是（ ）A ．2003503x x =-B ． 2003503x x =+C ．2003503x x =+D ．2003503x x =- 【答案】B ．【解析】试题分析：设每个笔记本的价格为x 元，则每个笔袋的价格为（x+3）元，由题意得：2003503x x =+，故选B ．考点：由实际问题抽象出分式方程．8．（2015鄂尔多斯）小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ）A ．120224=-+x xB ．122420=+-x xC ．=1 D ．=1【答案】B ．【解析】 试题分析：设他上月买了x 本笔记本，则这次买了（x+2）本，根据题意得：2020412x x +-=+，即：122420=+-x x ．故选B ．考点：由实际问题抽象出分式方程．9．（2015襄阳）分式方程2110051025x x x -=--+的解是 ．【答案】15x =．【解析】试题分析：去分母得：5100x --=，解得：15x =，经检验15x =是分式方程的解．故答案为：15x =．考点：解分式方程．10．（2015龙东）关于x 的分式方程02142=+--x x m 无解，则m= ． 【答案】0或﹣4．考点：1．分式方程的解；2．分类讨论．11．（2015毕节）关于x 的方程2430x x -+=与121x x a =-+有一个解相同，则a= ．【答案】1．【解析】试题分析：由关于x 的方程2430x x -+=，得：（x ﹣1）（x ﹣3）=0，∴x ﹣1=0，或x ﹣3=0，解得x=1或x=3；当x=1时，分式方程121x x a =-+无意义；当x=3时，12313a =-+，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．考点： 1．分式方程的解；2．解一元二次方程-因式分解法；3．分类讨论．12．（2015淄博）为充分利用雨水资源，幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法．已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水的量如表： 小明家 爷爷家屋顶收集雨水面积（m 2） 160120 蓄水池容积（m 3）50 13 蓄水池已有水量（m 3）34 11.5 气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？【答案】6．考点：分式方程的应用．13．（2015嘉兴）小明解方程121xx x--=的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．【答案】小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，正确解法见试题解析．【解析】试题分析：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，写出正确的解题过程即可．试题解析：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；正确解法为：方程两边乘以x，得：1﹣（x﹣2）=x，去括号得：1﹣x+2=x，移项得：﹣x﹣x=﹣1﹣2，合并同类项得：﹣2x=﹣3，解得：32x=，经检验32x=是分式方程的解，则方程的解为32x=．考点：1．解分式方程；2．阅读型．14．（2015宜宾）列方程或方程组解应用题：近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？【答案】0.6万元，0.4万元．考点：1．分式方程的应用；2．应用题．15．（2015贵港）某工厂通过科技创新，生产效率不断提高．已知去年月平均生产量为120台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量增长了m%，二月份的生产量又比一月份生产量多50台机器，而且二月份生产60台机器所需要时间与一月份生产45台机器所需时间相同，三月份的生产量恰好是去年月平均生产量的2倍．问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m 的值是多少？【答案】590，m 的值是25．【解析】试题分析：今年一月份生产量为：120（1+m%）；二月份生产量：120（1+m%）+50；根据题意列出方程并解答．试题解析：设去年月平均生产效率为1，则今年一月份的生产效率为（1%m +），二月份的生产效率为51%12m ++．根据题意得：604551%1%12m m =+++，解得：m%=14，即25m =．经检验可知25m =是原方程的解．∴m=25．∴第一季度的总产量=120×1.25+120×1.25+50+120×2=590．答：今年第一季度生产总量是590台，m 的值是25．考点：1．分式方程的应用；2．综合题．16．（2015连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．【答案】（1）400；（2）10%．考点：1．一元二次方程的应用；2．分式方程的应用；3．增长率问题．17．（2015成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【答案】（1）120件；（2）150元．考点：1．分式方程；2．一元一次不等式的应用；3．应用题．18．（2015德阳）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．（1）求面料和里料的单价；（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．①设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润=销售价﹣布料成本﹣固定费用）②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对VIP 客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个VIP客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．【答案】（1）面料的单价为50元/米，里料的单价为20元/米；（2）①8；②5%．【解析】试题分析：（1）设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米，根据题意列方程求解即可；（2）①设打折数为m，根据题意列不等式求解即可；②设vip客户享受的降价率为x，然后根据VIP客户与普通用户批发件数相同列方程求解即可．考点：1．分式方程的应用；2．一元一次方程的应用；3．一元一次不等式的应用；4．最值问题．19．（2015咸宁）在“绿满鄂南”行动中，某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数解析式．（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．【答案】（1）甲工程队每天能完成绿化的面积是100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是50m2；（2）y=36﹣2x；（3）安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低．【解析】试题分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意列方程求解即可；（2）由题意得到100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x，即可解答．（3）由甲乙两队施工的总天数不超过26天，得到x≥10，设施工总费用为w元，由题意得：w=0.1x+9，根据一次函数的性质，即可解答．试题解析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：40040042x x-=，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2）；答：甲工程队每天能完成绿化的面积是100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是50m2；（2）根据题意，得：100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x，∴y与x的函数解析式为：y=36﹣2x；（3）∵甲乙两队施工的总天数不超过26天，∴x+y≤26，∴x+36﹣2x≤26，解得：x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9，∵k=0.1＞0，∴w随x减小而减小，∴当x=10时，w有最小值，最小值为0.1×10+9=10，此时y=36﹣20=16．答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低．考点：1．一次函数的应用；2．分式方程的应用；3．方案型；4．最值问题；5．综合题．20．（2015牡丹江）夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调．已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：（1）求甲、乙两种空调每台的进价；（2）若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买1100元/台的A型按摩器和700元/台的B型按摩器．直接写出购买按摩器的方案．【答案】（1）甲种空调每台进价为2000元，乙种空调每台进价为1500元；（2）y=200x+6000；（3）有两种购买方案：①A型0台，B型12台；②A型7台，B型1台．考点：1．一次函数的应用；2．分式方程的应用；3．一元一次不等式组的应用；4．应用题；5．最值问题；6．方案型．21．（2015赤峰）李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟．（1）求李老师步行的平均速度；（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．【答案】（1）李老师步行的平均速度为76m/分钟；（2）李老师能按时上班．考点：1．分式方程的应用；2．行程问题．22．（2015泰安）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？【答案】（1）甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；（2）5960元．【解析】考点：分式方程的应用．23．（2015葫芦岛）某中学要进行理、化实验加试，需用九年级两个班级的学生整理实验器材．已知一班单独整理需要30分钟完成．（1）如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成任务，求二班单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）如果一、二的工作效率不变，先由二班单独整理，时间不超过20分钟，剩余工作再由一班独立完成，那么整理完这批器材一班至少还需要多少分钟？ 【答案】（1）60；（2）20． 【解析】 试题分析：（1）设二班单独整理这批实验器材需要x 分钟，根据题意列方程：111515()130x x ++=，求出x 的值，再进行检验即可；（2）设一班需要m 分钟，则2013060m +≥，解不等式即可．试题解析：（1）设二班单独整理这批实验器材需要x 分钟，则111515()130x x ++=，解得x=60．经检验，x=60是原分式方程的根．答：二班单独整理这批实验器材需要60分钟；（2）方法一：设一班需要m 分钟，则2013060m +≥，解得m≥20，答：一班至少需要20分钟．方法二：设一班需要m 分钟，则2013060m +=，解得m=20．答：一班至少需要20分钟．考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．应用题． 24．（2015抚顺）某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 【答案】（1）甲礼品100元，乙礼品60元；（2）5．考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．最值问题．【2014年题组】1.（2014年广西贵港3分）分式方程213x 1x 1=--的解是（ ）A ．x=﹣1B ．x=1C ．x=2D ．无解 【答案】C ． 【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：x+1=3，解得：x=2． 经检验x=2是分式方程的解． 故选C ．考点：解分式方程．2．（2014年广西来宾3分）将分式方程12x x 2=-去分母后得到的整式方程，正确的是（ ）A ．x ﹣2=2xB ．x2﹣2x=2xC ．x ﹣2=xD ．x=2x ﹣4 【答案】A ． 【解析】试题分析：分式方程两边乘以最简公分母x （x ﹣2）即可得到结果： 去分母得：x ﹣2=2x ，故选A ． 考点：解分式方程的去分母法则．3.（2014年黑龙江龙东地区3分）已知关于x 的分式方程m 31x 11x +=--的解是非负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m≥2C ．m≥2且m≠3D ．m ＞2且m≠3【答案】C．考点：1. 解分式方程；2.解一元一次不等式．4.（2014年山东德州3分）分式方程()() x31x1x1x2-=--+的解是（）A. x=1B. x15=-+ C. x=2 D. 无解【答案】D．【解析】试题分析：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．故选D．考点：解分式方程．5.（2014年福建福州4分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．600450x50x=+B．600450x50x=-C．600450x x50=+D．600450x x50=-【答案】A．【解析】试题分析：要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系.本题等量关系为：生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，即600450x5x=+. 故选A．考点：由实际问题抽象出分式方程（工程问题）．6.（2014年甘肃天水4分）若关于x的方程ax110x1+-=-有增根，则a的值为．【答案】﹣1．考点：分式方程的增根．7.（2014年四川巴中3分）若分式方程x m 2x 11x -=--有增根，则这个增根是 _．【答案】x=1．【解析】试题分析：分式方程的增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．因此，根据分式方程有增根，得到x 10-=，即x=1，则方程的增根为x=1．考点：分式方程的增根．8.（2014年贵州安顺4分）小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x 袋牛奶，则根据题意列得方程为 ．【答案】()10x 20.512x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭．【解析】试题分析：要列方程，首先要根据题意找出关键描述语，确定相等关系．本题关键描述语为：“每袋比周三便宜0.5元”；等量关系为：周日买的奶粉的单价×周日买的奶粉的总数=总钱数．因此，根据题意，得出方程：()10x 20.512x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭．考点：由实际问题抽象出分式方程．9.（2014年广西南宁6分）解方程：2x 21x 2x 4-=--．【答案】x 1=-．【解析】试题分析：首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x+2）（x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解． 试题解析：去分母得：()2x x 22x 4+-=-，解得：x 1=-．经检验x 1=-是分式方程的根．∴原方程的解为x 1=-．考点：解分式方程．10.（2014年贵州贵阳10分）2014年12月26日，西南真正意义上的第一条高铁﹣贵阳至广州高速铁路将开始试运行，从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1800km ，高铁开通后，高铁列车的行程约为860km ，运行时间比特快列车所用的时间减少了16h ．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的2.5倍，求特快列车的平均速度． 【答案】特快列车的平均速度为91km/h考点：分式方程的应用（行程问题）．☞考点归纳归纳1：分式方程的有关概念基础知识归纳：1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2、分式方程的增根分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳：未知数的系数必须不能为零；判断一个数增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根，2、使最简公分母为零．【例1】方程112=+-xx的解是（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．0 D．1【答案】D．考点：解分式方程．归纳2：分式方程的解法基础知识归纳：1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

分式的混合运算这节课我们学什么1.理解分式的加减运算法则2.掌握分式的混合运算3.掌握分式的化简求值知识点梳理1．通分：把几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分。

注：（1）通分的过程中分式的值不变；（2）分母必须相同；（3）通分的依据是分式的基本性质；（4）通分的关键在于确定最简公分母。

2．最简公分母的确定方法：（1）最简公分母的系数，取分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积。

3．分式加减法的法则：（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。

即a b a bc c c±±=。

（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

即a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。

典型例题分析1、 分式的加减运算；例1、计算：（1）222125282828x x x x x x x x x ++--------- （2）2222222222(2)54999x a x a a ax x a a x x a---++---【答案：（1）12x -+ （2）0】例2、计算：（1）34659281224b c a b a c bc ab ac +-+-- （2）255520920x x x x ++--+ 【答案：（1）13a（2）25(4)(5)x x x -- 】例3、计算：（1）222274418714x x x x x x x -++--+- （2）22211442428x x x x x x -----++-【答案：（1）1(21)(1)x x --- （2）72(2)(2)x x -+ 】例4、计算：3722448811248y y y x y x y x y x y x y -----++++ 【答案：15161616y x y- 】例5、计算：（1）12212112x x x x +---+-+ （2）11111234x x x x --+++++ 【答案：421254x x -+；410(1)(2)(3)(4)x x x x x +++++】2、 分式的混合运算；例6、计算：35(2)242a a a a -÷---- 【答案：12(3)a -+】例7、计算：22214()244x x x x x x x x+---÷--+ 【答案：21(2)x -】例8、计算：44()()xy xy x y x y x y x y-++--+【答案：22x y -】例9、计算：2111211aa a a a +-+--+ 【答案：2a 】3、 分式的化简求值；例10、若114a b -=，求2272a ab b a ab b --+-的值【答案：6 】例11、已知：2343212x a b x x x x -=+-+--，求,a b 的值【答案：1,2a b ==】例12、化简111(1)(1)(2)(2010)(2011)x x x x x x ++⋅⋅⋅⋅++++++，并求1x =时的值 【答案：2011(2011)x x +；20112012】 例13、已知0a b c ++=,0abc ≠，求证111111()()()3a b c b c c a a b +++++=- 【答案：111111()()()3a b c b c c a a b++++++ 111111()()()a b c a b c b c a c a b a b c++++++++，111111111()()()a b c b c a c a b a b c++++++++】例14、1xyz =，求111x y z xy x yz y zx z ++++++++的值 【答案：1】课后练习练1． 化简2()()()()x xy x y x y y x y x --+---的结果为________. 【答案：x x y+】练2． 计算23311211x x x x x x --÷--++- 【答案：221x x x +-】练3． 计算2411111111x x x x ⋅⋅⋅-+++ 【答案：811x-】 练4． 若3(1)(1)11x A B x x x x -=+-++-，则,A B 为多少？ 【答案：2；-1】练5． 已知3421(2)(1)A B x x x x x -+=----，则求A B +的值. 【答案：3】练6． 计算：11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)x x x x x x x +++⋅⋅⋅+------- 【答案：1100x -】 练7． 当133x =-时，代数式211(2)()111x x x x x +-÷+-+-的值是 【答案：35-】 练8． 计算（1）22222222()(22)(2)x y x y x y xy x xy y x y x y+⋅+--÷-+--【答案：x y -】练9． 已知：234410a b b ++++=，求22222234244a b a b a ab a b a ab b a ab ---÷⋅++++的值【答案：167】 练10． 先化简，再求值：22122()121x x x x x x x x ----÷+++，其中210x x --= 【答案：1】课后小测验1. 已知13x x +=,求2421x x x ++的值 . 【答案：18】 2. 若3(1)(3)13x A B x x x x -=+-+-+，则2008()A B +的值为多少【答案：1】3. 计算：.222235124(1)()111a a a a a a a -+--⋅----+【答案：810a -+；】4. 计算：222111111x x x x x x x ---+-+-+【答案：0】5. 已知22221111x x x y x x x x+++=÷-+--，试说明y 的值与x 取值无关 【答案：2(1)(1)11(1)(1)1x x x y x x x x +-=⋅-+=-++】 本章小结。

第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法一、同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，a m ·a n =()m aa a a ⋅⋅⋅个·()n aa a a ⋅⋅⋅个=()m n aa a a +⋅⋅⋅个=m n a +．语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．m n p a a a ⋅⋅⋅=m n pa +++（m ，n ，…，p 都是正整数）．2．同底数幂的乘法法则的逆用：a m +n =a m ·a n （m ，n 都是正整数）． 二、幂的乘方1．幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a 5）3是三个a 5相乘，读作a 的五次幂的三次方，（a m ）n 是n 个a m 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方． 2．幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，()=mn mm n m m m m m mmn n a a a a a a a +++=⋅⋅⋅=个个．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数__________．【拓展】1．幂的乘方的法则可推广为[()]m n p mnpa a =（m ，n ，p 都是正整数）．2．幂的乘方法则的逆用：()()mn m n n m a a a ==（m ，n 都是正整数）． 三、积的乘方1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab ）3，（ab ）n 等．3()()()()ab ab ab ab =⋅⋅（积的乘方的意义）=（a ·a ·a ）·（b ·b ·b ）（乘法交换律、结合律）=a 3b 3．2．积的乘方法则：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，()()()()=n n nn an bn ab ab ab ab ab a a a b b b a b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个个．因此，我们有()nn nab a b =．语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别__________，再把所得的幂相乘． 四、单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别__________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．1．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． 2．单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． 3．单项式乘单项式的结果仍然是单项式．【注意】1．积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． 2．相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． 五、单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积__________．用式子表示：m （a +b +c ）=ma +mb +mc （m ，a ，b ，c 都是单项式）．【注意】1．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．2．计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． 3．对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 六、多项式与多项式相乘1．法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积__________．2．多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m +n ）（a +b +c ），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m （a +b +c ）与n （a +b +c ），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m +n ）（a +b +c ）=m （a +b +c ）+n （a +b +c ）=ma +mb +mc +na +nb +nc ． 【注意】1．运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．2．多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 七、同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：一般地，我们有m n m n a a a -÷=（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：m n p m n p a a a a --÷÷=（a ≠0，m ，n ，p 都是正整数，并且m >n +p ）． 2．同底数幂的除法法则的逆用：m n m n a a a -=÷（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）． 八、零指数幂的性质 零指数幂的性质：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如a m ÷a m ，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有a m ÷a m =a m -m =a 0． 于是规定：a 0=1（a ≠0）．语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于__________． 【注意】1．底数a 不等于0，若a =0，则零的零次幂没有意义． 2．底数a 可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x 2+y 2+1）0=1等． 3．a 0=1中，a ≠0是极易忽略的问题，也易误认为a 0=0． 九、单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别__________作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性． 十、多项式除以单项式多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商__________．【注意】1．多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．2．多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． 3．多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．一、相加 二、相乘 三、乘方四、相乘五、相加六、相加七、相减八、1九、相除十、相加1．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用． （2）单个字母或数字可以看成指数为1的幂．（3）底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式．计算m 2·m 6的结果是A ．m 12B ．2m 8C ．2m 12D ．m 8【答案】D【解析】m 2·m 6=m 2+6=m 8，故选D ．计算-（a -b ）3（b -a ）2的结果为A ．-（b -a ）5B ．-（b ＋a ）5C ．（a -b ）5D ．（b -a）5【答案】D【解析】-（a-b ）3（b -a ）2=（b -a ）3（b -a ）2=（b -a ）5，故选D ．2．幂的乘方与积的乘方（1）每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式．（2）要注意系数应连同它的符号一起乘方，尤其是当系数是-1时，不可忽略．计算24()a 的结果是A ．28aB ．4aC ．6aD ．8a【答案】D【解析】24()a =248a a ⨯=，故选D ．下列等式错误的是A ．（2mn ）2=4m 2n 2B ．（-2mn ）2=4m 2n 2C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6D ．（-2m 2n 2）3=-8m 5n 5【答案】D【解析】A ．（2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； B ．（-2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6，该选项正确；D ．（-2m 2n 2）3=-8m 6n 6，该选项错误．故选D ．3．整式的乘法（1）单顶式与单顶式相乘，系数是带分数的一定要化成假分数，还应注意混合运算的运算顺序：先乘方，再乘法，最后加减．有同类顶的一定要合并同类顶．（2）单顶式与多顶式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式．计算：3x 2·5x 3的结果为A ．3x 6B ．15x 6C ．5x 5D ．15x 5【答案】D【解析】直接利用单项式乘以单项式运算法则，得3x 2·5x 3=15x 5．故选D ．下列各式计算正确的是A ．2x （3x -2）=5x 2-4xB ．（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2C ．（x +2）2=x 2+2x +4D ．（x +2）（2x -1）=2x 2+5x -2【答案】B【解析】A 、2x （3x -2）=6x 2-4x ，故本选项错误； B 、（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2，故本选项正确； C 、（x +2）2=x 2+4x +4，故本选项错误；D 、（x +2）（2x -1）=2x 2+3x -2，故本选项错误．故选B ．4．同底数幂的除法多顶式除以单项式可转化为单项式除以单顶式的和，计算时应注意逐项相除，不要漏项，并且要注意符号的变化，最后的结果通常要按某一字母升幂或降幂的顺序排列．计算2x 2÷x 3的结果是 A ．xB ．2xC ．x -1D ．2x -1【答案】D【解析】因为2x 2÷x 3=2x -1，故选D ．计算：4333a b a b ÷的结果是 A ．aB ．3aC ．abD ．2a b【答案】A【解析】因为43334333a b a b a b a --÷==．故选A ．计算：22(1510)(5)x y xy xy --÷-的结果是A ．32x y -+B ．32x y +C ．32x -+D ．32x --【答案】B【解析】因为2221111121(1510)(5)3232x y xy xy xyx y x y ------÷-=+=+．故选B ．5．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来．先化简，再求值：2[()(4)8]2x y y x y x x -+--÷，其中8x =，2018y =．【解析】原式222(248)2x xy y xy y x x =-++--÷2(28)2x xy x x =+-÷142x y =+-． 当8x =，2018y =时，原式182018420182=⨯+-=．1．计算3(2)a -的结果是 A ．38a -B ．36a -C ．36aD ．38a2．下列计算正确的是 A ．77x x x ÷=B ．224(3)9x x -=-C ．3362x x x ⋅=D ．326()x x =3．如果2(2)(6)x x x px q +-=++，则p 、q 的值为 A ．4p =-，12q =- B ．4p =，12q =- C ．8p =-，12q =-D ．8p =，12q =4．已知30x y +-=，则22y x ⋅的值是 A ．6B ．6-C ．18D ．85．计算3n ·（-9）·3n ＋2的结果是 A ．-33n -2B ．-3n ＋4C ．-32n ＋4D ．-3n ＋66．计算223(2)(3)m m m m -⋅-⋅+的结果是 A ．8m 5B ．–8m 5C ．8m 6D ．–4m 4+12m 57．若32144m nx y x y x ÷=，则m ，n 的值是 A ．6m =，1n = B ．5m =，1n = C ．5m =，0n =D ．6m =，0n =8．计算（-x ）2x 3的结果等于__________． 9．（23a a a ⋅⋅）³=__________．10．3119(1.210)(2.510)(410)⨯⨯⨯=__________． 11．计算：（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=__________．12．若1221253()()m n n m a b a b a b ++-= ，则m +n 的值为__________． 13．计算：（1）21(2)()3(1)3x y xy x -⋅-+⋅-； （2）23(293)4(21)a a a a a -+--． （3）（21x 4y 3–35x 3y 2+7x 2y 2）÷（–7x 2y ）．14．先化简，再求值：（1）x （x -1）+2x （x +1）-（3x -1）（2x -5），其中x =2； （2）243()()m m m -⋅-⋅-，其中m =2-．15．“三角”表示3xyz ，“方框”表示-4a b d c ．求×的值．16．下列运算正确的是A ．326a a a ⨯=B ．842a a a ÷=C ．3(1)33a a --=-D ．32911()39a a =17．计算5642333312(3)2a b c a b c a b c ÷-÷，其结果正确的是A ．2-B ．0C ．1D ．218．计算：(7)(6)(2)(1)x x x x +---+=__________． 19．如果1()()5x q x ++展开式中不含x 项，则q =__________． 20．已知：2x =3，2y =6，2z =12，试确定x ，y ，z 之间的关系．21．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x +a ）（3x +b ），由于甲抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x 2+11x -10；由于乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x 2-9x +10． （1）试求出式子中a ，b 的值；（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．22．（2019•镇江）下列计算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．734a a a ÷=C ．358()a a =D ．22()ab ab =23．（2019•泸州）计算233a a ⋅的结果是A ．54aB ．64aC ．53aD ．63a24．（2019•柳州）计算：2(1)x x -=A ．31x -B ．3x x -C ．3x x +D ．2x x -25．（2019•天津）计算5x x ⋅的结果等于__________． 26．（2019•绥化）计算：324()m m -÷=__________． 27．（2019•乐山）若392m n ==，则23m n +=__________． 28．（2019•武汉）计算：2324(2)x x x -⋅． 29．（2019•南京）计算：22()()x y x xy y +-+．1．【答案】A【解析】33(2)8a a -=-，故选A ． 2．【答案】D【解析】A 、76x x x ÷=，故此选项错误； B 、224(3)9x x =-，故此选项错误； C 、336x x x ⋅=，故此选项错误； D 、326()x x =，故此选项正确， 故选D ． 3．【答案】A【解析】已知等式整理得：x 2-4x -12=x 2+px +q ，可得p =-4，q =-12，故选A ．4．【答案】D【解析】∵x +y -3=0，∴x +y =3，∴2y ·2x =2x +y =23=8．故选D ．5．【答案】C【解析】3n ·（-9）·3n ＋2=-3n ·32·3n ＋2=-32n +4，故选C ．6．【答案】A【解析】原式=4m 2·2m 3=8m 5，故选A ．7．【答案】B 【解析】因为33121444m n m n x y x y x y x --÷==，所以32m -=，10n -=，5m =，1n =，故选B ． 8．【答案】x 5【解析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法法则可得：（-x ）2x 3=x 2·x 3=x 5．故答案为：x 5． 9．【答案】a 18【解析】（23a a a ⋅⋅）³=（6a ）³=a 18．故答案为：a 18． 10．【答案】241.210⨯【解析】原式=1.2×103×（2.5×1011）×（4×109）=12×1023=1.2×1024．故答案为：1.2×1024． 11．【答案】1b -【解析】（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=（a 2b 3-a 2b 2）÷a 2b 2=a 2b 3÷a 2b 2-a 2b 2÷a 2b 2=1b -．故答案为：1b -． 12．【答案】2【解析】（a m +1b n +2）（a 2n –1b 2m ）=a m +1+2n –1·b n +2+2m =a m +2n ·b n +2m +2=a 5b 3， ∴25223m n n m +=++=⎧⎨⎩， 两式相加，得3m +3n =6，解得m +n =2，故答案为：2．13．【解析】（1）原式=2x 2y +3xy -x 2y=x 2y +3xy ．（2）原式=6a 3-27a 2+9a -8a 2+4a=6a 3-35a 2+13a ．（3）原式=21x 4y 3÷（–7x 2y ）–35x 3y ÷（–7x 2y ）+7x 2y 2÷（–7x 2y ）=–3x 2y 2+5xy –y ．14．【解析】（1）原式=x 2-x +2x 2+2x -6x 2+17x -5=（x 2+2x 2-6x 2）+（-x +2x +17x ）-5=-3x 2+18x -5．当x =2时，原式=19．（2）原式=-m 2·m 4·（-m 3）=m 2·m 4·m 3=m 9．当m =-2时，则原式=（-2）9=-512．15．【解析】由题意得×=（3mn ·3）×（–4n 2m 5） =[]526333(4)()()36m m n n m n ⨯⨯-⋅⋅⋅=-．16．【答案】C【解析】A 、2326a a a ⨯=，故本选项错误；B 、844a a a ÷=，故本选项错误；C 、()3133a a --=-，正确；D 、32611()39a a =，故本选项错误， 故选C ．17．【答案】A【解析】因为5642333352363341312(3)222a b c a b c a b c ab c ------÷-÷=-=-，故选A ． 18．【答案】2x -40【解析】原式=（x 2+x -42）-（x 2-x -2）=2x -40．故答案为：2x -40．19．【答案】15- 【解析】1()()5x q x ++=211()55x q x q +++，由于展开式中不含x 的项，∴105q +=，∴15q =-．故答案为：15-．20．【解析】因为2x =3，所以2y =6=2×3=2×2x =2x ＋1， 2z =12=2×6=2×2y =2y ＋1．所以y =x +1，z =y +1．两式相减，得y -z =x -y ，所以x +z =2y ．21．【解析】（1）由题意得：（2x -a ）（3x +b ）=6x 2+（2b -3a ）x -ab ，（2x +a ）（x +b ）=2x 2+（a +2b ）x +ab ， 所以2b -3a =11①，a +2b =-9②，由②得2b =-9-a ，代入①得-9-a -3a =11，所以a =-5，2b =-4，b =-2．（2）由（1）得（2x +a ）（3x +b ）=（2x -5）（3x -2）=6x 2-19x +10．22．【答案】B【解析】A 、a 2·a 3=a 5，故此选项错误；B 、a 7÷a 3=a 4，正确；C 、（a 3）5=a 15，故此选项错误；D 、（ab ）2=a 2b 2，故此选项错误，故选B ．23．【答案】C【解析】23533a a a ⋅=，故选C ．24．【答案】B【解析】23(1)x x x x -=-，故选B ．25．【答案】6x【解析】56⋅=x x x ，故答案为：6x ．26．【答案】2m【解析】原式64642m m m m ÷－＝＝＝，故答案为：m 2．27．【答案】4【解析】∵23=9=32=m n n ，∴2233339224+=⨯=⨯=⨯=m n m n m n ，故答案为：4．28．【解析】2324(2)x x x -⋅=668x x -67x =．29．【解析】22()()x y x xy y +-+322223x x y xy x y xy y =-++-+ 33x y =+．。

专题 分式及其运算☞2年中考【2015年题组】1．（2015常州）要使分式23-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．2x <C ．2x ≠-D ．2x ≠ 【答案】D ． 【解析】试题分析：要使分式23-x 有意义，须有20x -≠，即2x ≠，故选D ．考点：分式有意义的条件．2．（2015济南）化简2933m m m ---的结果是（ ）A ．3m +B ．3m -C ．33m m -+D ．33m m +-【答案】A ．考点：分式的加减法．3．（2015百色）化简222624x x x x x --+-的结果为（ ） A ．214x - B ．212x x + C ．12x - D ．62x x --【答案】C ． 【解析】试题分析：原式=262(2)(2)x x x x --++-=2(2)(6)(2)(2)x x x x ---+-=2(2)(2)x x x ++-=12x -．故选C ．考点：分式的加减法． 4．（2015甘南州）在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（ ）A ．13B ．23C ．16D ．34【答案】B ． 【解析】试题分析：分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率=46=23．故选B ．考点：1．概率公式；2．分式的定义；3．综合题．5．（2015龙岩）已知点P （a ，b ）是反比例函数1y x =图象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，则1111a b +++=（ ）A ．2B ．1C ．32 D ．12【答案】B ．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分式的化简求值；3．条件求值．6．（2015山西省）化简22222a ab b ba b a b ++---的结果是（ ） A ．a a b - B ．b a b - C ．a a b + D ．ba b +【答案】A ． 【解析】试题分析：原式=2()()()a b b a b a b a b +-+--=a b b a b a b +---=a b b a b +--=a a b -，故选A ．考点：分式的加减法．7．（2015泰安）化简：341()(1)32a a a a -+---的结果等于（ ）A ．2a -B ．2a +C ．23a a --D ．32a a --【答案】B ． 【解析】 试题分析：原式=(3)342132a a a a a a -+---⋅--=24332a a a a --⋅--=(2)(2)332a a a a a +--⋅--=2a +．故选B ． 考点：分式的混合运算．8．（2015莱芜）甲乙两人同时从A 地出发到B 地，如果甲的速度v 保持不变，而乙先用12v的速度到达中点，再用2v 的速度到达B 地，则下列结论中正确的是（ ） A ．甲乙同时到达B 地 B ．甲先到达B 地C ．乙先到达B 地D ．谁先到达B 地与速度v 有关 【答案】B ．考点：1．列代数式（分式）；2．行程问题．9．（2015内江）已知实数a，b满足：211aa+=，211bb+=，则2015a b-|= ．【答案】1．【解析】试题分析：∵2110aa+=>，2110bb+=>，∴0a>，0b>，∴()10ab a b++>，∵211aa+=，211bb+=，两式相减可得2211a ba b-=-，()()b aa b a bab-+-=，[()1]()0ab a b a b++-=，∴0a b-=，即a b=，∴2015a b-=02015=1．故答案为：1．考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂；3．条件求值；4．综合题；5．压轴题．10．（2015黄冈）计算)1(22baabab+-÷-的结果是________．【答案】1a b -．【解析】试题分析：原式=()()b a b aa b a b a b+-÷+-+=()()b a ba b a b b+⋅+-=1a b-．故答案为：1a b-．考点：分式的混合运算．11．（2015安徽省）已知实数a、b、c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：①若c≠0，则111 a b+=；②若a＝3，则b＋c＝9；③若a＝b＝c，则abc＝0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a ＋b＋c＝8．其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）．【答案】①③④．考点：1．分式的混合运算；2．解一元一次方程．12．（2015梅州）若1212)12)(12(1++-=+-n bn a n n ，对任意自然数n 都成立，则=a ，=b ；计算：=⨯++⨯+⨯+⨯=21191751531311Λm ．【答案】12；12-；1021．【解析】试题分析：1(21)(21)n n -+=2121a bn n +-+=(21)(21)(21)(21)a n b n n n ++-+-=(22)(21)(21)a b n a b n n ++-+-，可得(22)1a b n a b ++-=，即：01a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：a=12，b=12-；m=111111(1...)23351921-+-++-=11(1)221-=1021，故答案为：12；12-；1021． 考点：1．分式的加减法；2．综合题．13．（2015河北省）若02≠=b a ，则ab a b a --222的值为 ．【答案】32．【解析】试题分析：∵2a b =，∴原式=2222442b b b b --=32，故答案为：32．考点：分式的化简求值．14．（2015绥化）若代数式25626x x x -+-的值等于0，则x=_________．【答案】2． 【解析】试题分析：由分式的值为零的条件得2560x x -+=，2x ﹣6≠0，由2560x x -+=，得x=2或x=3，由2x ﹣6≠0，得x≠3，∴x=2，故答案为：2． 考点：分式的值为零的条件．15．（2015崇左）化简：2221(1)2a a a a +--÷． 【答案】12-a ．考点：分式的混合运算．16．（2015桂林）先化简，再求值：2269392x x x x -+-÷-，其中23x =-． 【答案】23x +2．【解析】试题分析：分解因式后，利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．试题解析：原式=2(3)2(3)(3)3x x x x -⨯+--=23x +，当23x =-时，原式233-+22．考点：分式的化简求值．17．（2015南京）计算：22221()aa ba ab a b -÷--+．【答案】21a ．【解析】试题分析：首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可． 试题解析：原式=21[]()()()a b a b a b a a b a +-⨯+--=2[]()()()()a a b a ba ab a b a a b a b a ++-⨯+-+- =2()()()a ab a b a a b a b a -++⨯+-=21a ． 考点：分式的混合运算．18．（2015苏州）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中31x =-． 【答案】11x +，33考点：分式的化简求值．19．（2015盐城）先化简，再求值：)()(131112+÷-+a aa ，其中a=4．【答案】31aa -，4．【解析】试题分析：根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x 的值代入进行计算即可．试题解析：原式=2113(1)(1)(1)a a a a a -++⋅+-=23(1)(1)(1)a a a a a +⋅+-=31aa -；当a=4时，原式=3441⨯-=4．考点：分式的化简求值．20．（2015成都）化简：211()242a a a a a -+÷+-+． 【答案】12a a --．【解析】试题分析：括号内先通分，同时把除法转化为乘法，再用分式乘法法则计算机即可．试题解析：原式=()()()22221212214412212a a a a a a a a a a a a a -⎛⎫-++-+⨯=⨯= ⎪---+---⎝⎭．考点：分式的加减法．21．（2015资阳）先化简，再求值：2112()111x x x x +-÷-+-，其中x 满足260x -=． 【答案】22x +，25．考点：1．分式的混合运算；2．分式的化简求值．22．（2015达州）化简2221432a a a a a a +⋅----，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数．【答案】13a -，1．【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a 的值代入计算即可求出值．试题解析：原式=21(2)(2)(3)2a a a a a a a +⋅++---=11(2)(3)2a a a +---=13 (2)(3)aa a+---=2(2)(3)aa a---=13a-，∵a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，∴1＜a＜5，即a=2，3，4，当a=2或a=3时，原式没有意义，则a=4时，原式=1．考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．23．（2015广元）先化简：222222()1211x x x x xx x x x+--÷--++，然后解答下列问题：（1）当3x=时，求原代数式的值；（2）原代数式的值能等于1-吗？为什么？【答案】（1）2；（2）不能．考点：分式的化简求值．24．（2015凉山州）先化简：222122(1)1211x x x xx x x x++-+÷+--+-，然后从22x-≤≤的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．【答案】241xx-+；当x=2时，原式=0，当x=－2时，原式=8．【解析】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时根据除法法则变形，约分得到最简结果，将x=0代入计算即可求出值．试题解析：原式=211(1)2(1)1(1)(1)(1)x x x xx x x x x++---⋅+-++-=22(1)21(1)1x xx x x x-⋅--++=2(1)211xx x--++=241 xx-+，∵满足22x-≤≤的整数有±2，±1，0，而x=±1，0时，原式无意义，∴x=±2，当x=2时，原式=22421⨯-=+，当x=－2时，原式=2(2)4821⨯--=-+．考点：分式的化简求值．25．（2015广州）已知A=222111x x xx x++---．（1）化简A；（2）当x满足不等式组1030xx-≥⎧⎨-<⎩，且x为整数时，求A的值．【答案】（1）11x-；（2）1．考点：1．分式的化简求值；2．一元一次不等式组的整数解．26．（2015白银）有三张卡片（形状、大小、颜色、质地都相等），正面分别下上整式21x+，22x--，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为B，于是得到代数式AB．（1）请用画树状图或列表的方法，写出代数式AB所有可能的结果；（2）求代数式AB恰好是分式的概率．【答案】（1）答案见试题解析；（2）23．【解析】 试题分析：（1）画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果能组成分式的情况，利用概率公式求解即可求得答案． 试题解析：（1）画树状图：（2）代数式A B 所有可能的结果共有6种，其中代数式AB 是分式的有4种，所以P （是分式）=46=23．考点：1．列表法与树状图法；2．分式的定义．【2014年题组】1．（2014年无锡中考） 分式22x -可变形为（ ）A. 22x +B.22x -+ C. 2x 2- D. 2x 2--【答案】D ．考点：分式的基本性质．2.（2014年杭州中考）若241()w 1a 42a +⋅=--，则w=（ ）A.a 2(a 2)+≠-B. a 2(a 2)-+≠C. a 2(a 2)-≠D. a 2(a 2)--≠-【答案】D ． 【解析】试题分析：∵()()()()()2414a 22a 1a 42a a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2+-+=-==---+--++-+，∴w=a 2(a 2)--≠-．故选D ． 考点：分式的化简．3.（2014年温州中考）要使分式x 1x 2+-有意义，则x 的取值应满足（ ）A. x 2≠B. x 1≠-C. x 2=D. x 1=- 【答案】A ． 【解析】试题分析：根据分式分母不为0的条件，要使x 1x 2+-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠．故选A ．考点：分式有意义的条件．4.（2014年牡丹江中考）若x ：y=1：3，2y=3z ，则的值是（ ）A ．﹣5B ． ﹣C ．D ． 5【答案】A ． 【解析】试题分析：∵x ：y=1：3，∴设x=k ，y=3k ，∵2y=3z ，∴z=2k ，∴532322-=-+=-+k k kk y z y x ．故选A ．考点：比例的性质．5.（2014年凉山中考）分式x 3x 3-+的值为零，则x 的值为（ ） A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 任意实数 【答案】A ．考点：分式的值为零的条件．6.（2014年常德中考）计算：2111a a a -=--【答案】211a -．【解析】试题分析：原式=1(1)(1)(1)(1)a a a a a a +-+-+-=1(1)(1)a a +-=211a -.考点：分式的加减法．7.（2014年河池中考）计算：m 1m 1m 1-=-- ．【答案】1． 【解析】试题分析：根据分式加减法运算法则直接计算：m 1m 11m 1m 1m 1--==---．考点：分式加减法．8.（2014年镇江中考）化简：1x 1x x 23x 6-⎛⎫+÷⎪--⎝⎭． 【答案】3x 3-．考点：分式的混合运算．9.（2014年苏州中考）先化简，再求值：22x 11x 1x 1⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中x 21=-． 2【解析】试题分析：先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简. 然后代x 的值，进行二次根式化简． 试题解析：原式=x x 11x x x x 11()(x 1)(x 1)x 1x 1(x 1)(x 1)x 1(x 1)(x 1)x x 1--÷+=÷=⋅=-+---+--++．当x21=-时，原式=11222112===-+．考点：1.分式的化简求值；2. 二次根式化简．10.（2014年抚顺中考）先化简，再求值：（1-11x+）÷221xx x++，其中x=（3+1）0+（12）-1•tan60°．【答案】23+2．【解析】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、负指数幂法则以及特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．试题解析：原式=2211(1)(1)111x x x xxx x x x+-++==+++g g，∵x=（3+1）0+（12）-1•tan60°=1+23，∴当1+23时，原式=23+2．考点：1.分式的化简求值；2.零指数幂；3.负整数指数幂；4.特殊角的三角函数值．☞考点归纳归纳1：分式的有关概念基础知识归纳：分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．注意问题归纳：分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．【例1】使分式21x-有意义，则x的取值范围是（）x≠1 B．x=1 C．x≤1 D．x≥1【答案】A．【解析】根据题意得：x-1≠0，解得：x≠1．故选A．考点：分式的有关概念．【例2】分式x3x3-+的值为零，则x的值为（）A. 3B. ﹣3C. ±3D. 任意实数【答案】A．考点：分式的有关概念． 归纳2：分式的性质 基础知识归纳：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为)0()0(≠÷÷=≠⋅⋅=C C B C A B A C CB C A B A注意问题归纳：分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．【例3】化简2244xy y x x --+的结果是（ ） 2x x +B ．2x x -C ．2y x +D ．2y x -【答案】D ．考点：分式的性质．【例4】已知x+y=xy ，求代数式11x y +-（1-x ）（1-y ）的值．【答案】0．【解析】∵x+y=xy ，∴11x y +-（1-x ）（1-y ）=x y xy +-（1-x-y+xy ）=x yxy +-1+x+y-xy=1-1+0=0．考点：分式的性质．归纳 3：分式的加减运算 基础知识归纳：加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变,分子相加减② 异分母的分式相加减：先通分,变为同分母的分式,然后再加减 ． 注意问题归纳：1.分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．【例5】计算：1a a 11a +--的结果是 ．【答案】1-．【解析】1a 1a 1a1a 11a a 1a 1a 1-+=-==------．考点：分式的加减法．【例6】化简21639x x ++-的结果是 【答案】13x -．考点：分式的加减法．归纳 4：分式的乘除运算 基础知识归纳:1.乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.乘方法则：分式的乘方,把分子、分母分别乘方．2.除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．注意问题归纳：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．【例7】计算：222x 1x x.x 1x 2x 1--⋅+-+【答案】x ．【解析】原式()()()()2x 1x 1x x 1xx 1x 1+--=⋅=+-．考点：分式的乘除法．归纳5：分式的混合运算基础知识归纳：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意问题归纳：注意运算顺序，计算准确．【例8】化简：222x 2x 6x 3x 1x 1x 2x 1++-÷+--+ 【答案】2x 1+．考点：分式的混合运算．☞1年模拟1．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）要使1321xx-+-有意义，则x应满足（）A．12≤x≤3 B．x≤3且x≠12C．12＜x＜3 D．12＜x≤3【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，3210xx--≥⎧⎨⎩①＞②，解不等式①得，x≤3，解不等式②的，x＞12，所以，12＜x≤3．故选D．考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．2．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）计算（-12）-1=（）A．-12B．12C．-2 D．2【答案】C．【解析】试题解析：11()22--=．故选C．考点：负整数指数幂．3．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）分式211xx-+的值为0，则（）A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0 【答案】B．考点：分式的值为零的条件．4．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）化简111xx x+--的结果是（）A．-1 B．1 C．1+x D．1-x【答案】A．【解析】试题分析：原式=11111111x x xx x x x---==-=-----．故选A．考点：分式的加减法．5．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）计算a3•（1a）2的结果是（）A．a B．a5 C．a6 D．a8【答案】A．【解析】试题分析：原式=a3•21a=a，故选A．考点：分式的乘除法．6．（2015届河北省中考模拟二）已知a=52+，b=52-，则（22a bab b ab a---）÷22a bab+的值为（）A．1 B．14C52D510【答案】B．考点：分式的化简求值．7．（2015届北京市平谷区中考二模）分式2aa-有意义的条件是．【答案】a≠2．【解析】试题分析：根据分式有意义的条件可知分母a-2≠0，所以a≠2．8．（201511 xx+－x+1）0都有意义，则x的取值范围为．【答案】x＞-1且x≠1．【解析】试题分析：根据题意得：101010xxx+⎧≥-≠+≠⎪⎨⎪⎩解得：x＞-1且x≠1．故答案为：x＞-1且x≠1．考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件；3．零指数幂．9．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）若分式||11xx--的值为零，则x的值为．【答案】x=-1．【解析】试题分析：根据题意，得|x|-1=0，且x-1≠0，解得x=-1．故答案为：x=-1．考点：分式的值为零的条件．10．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）在函数y=11x-中，自变量x的取值范围是．【答案】x≠1．【解析】试题分析：根据题意得1-x≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．考点：1．函数自变量的取值范围；2．分式有意义的条件．11．（2015届北京市门头沟区中考二模）已知31m=-，求222442111m m mm m m-+-+÷+--的值．【答案】33．12．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）计算题（1）先化简，再求值：22222()2a ab a ba ba ab b b+---÷++，其中a=sin45°，b=cos30°；（2）若关于x的方程311x ax x--=-无解，求a的值．【答案】（1）265-；（2）a=1．【解析】试题分析：（1）原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x的值，代入计算即可求出a 的值．试题解析：（1）原式=2()()a a ba b++-（a-b）•()()ba b a b+-=a b a ba b a b a b--=+++，当a=sin45°22，b=cos30°32时，原式232322(526)265232322--==--=-++；（2）去分母得：x2-ax-3x+3=x2-x，解得：x=32a+，由分式方程无解，得到x（x-1）=0，即x=0或x=1，若x=0，a无解；若x=1，解得：a=1．考点：1．分式的化简求值；2．分式方程的解；3．特殊角的三角函数值．13．（2015届安徽省安庆市中考二模）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．【答案】3+xx，1﹣3．考点：分式的化简求值．14．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）化简代数式22112x xx x x--÷+，并判断当x满足不等式组⎧⎨⎩x+2＜12(x-1)＞6时该代数式的符号．【答案】负号．【解析】试题分析：做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分化简为12xx++；再分别求出一元一次不等式组中两个不等式的解，从而得到一元一次不等式组的解集，依此分别确定x+1＜0，x+2＞0，从而求解．试题解析：原式=(1)(1)(2)1x x xx x x+-⨯+-=12xx++；不等式组⎧⎨⎩x+2＜1①2(x-1)＞6②，解不等式①，得x＜-1．解不等式②，得x＞-2，∴不等式组⎧⎨⎩x+2＜12(x-1)＞6的解集是-2＜x＜-1，∴当-2＜x＜-1时，x+1＜0，x+2＞0，∴12xx++＜0，即该代数式的符号为负号．考点：1．分式的化简求值；2．解一元一次不等式组．15．（2015届山东省日照市中考模拟）先化简，再求值：2211()()x y x yx y x y x y+----+g，其中23x=+，23y=-【答案】-4．考点：分式的化简求值．16．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）先化简再求值2 2213211143a a aa a a a+-+-⨯+-++，已知a2+2a﹣7=0．【答案】2221a a++，14．考点：分式的化简求值．。

证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。

而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。

在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即BF=CE。

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。

∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

求证：AE=CE。

证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。

在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。

二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。

求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。

例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。