2022年福建省福州市数学二检试卷（附试卷）

2022-2023学年福建省福州市高二下学期期末质量检测数学试题一、单选题1．设复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则21iz-的虚部为（）A ．i B ．-1C ．1D ．3【答案】C【分析】利用复数的除法运算化简21iz-即可求解【详解】由题意可得2i z =-，所以()()()()()22i 22i 1i 23i 1i 1i 1i 1i z --+===+---+，故其虚部为1，故选:C ．2．若{}2812A x y x x ==-+，(){}ln 32B x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,4B ．(]3,6C ．)22,e ⎡⎣D ．)23e ,∞⎡++⎣【答案】D【分析】求解集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】2812y x x =-+的定义域为28120x x -+≥，则()()260x x --≥，解得：6x ≥或2x ≤，所以(][),26,A ∞∞=-⋃+，由()ln 32x -≥可得：23e 30x x ⎧-≥⎨->⎩，则2e 3x ≥+，则A B = )23e ,∞⎡++⎣.故选：D.3．在Rt ABC △中，1BC =，斜边2AB =，点P 满足2AB PC = ，则PC PA ⋅=（）A ．10-B ．10C ．3-D ．3【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求得10PC PA ⋅=.【详解】因为在Rt ABC △中，1BC =，斜边2AB =，所以3AC =，以C 为坐标原点，CB ，CA 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，所以有()0,3A ，()10B ,，()0,0C ，设(),P x y ，因为点P 满足2AB PC =，所以()()21,3,x y -=--，解得2x =-，23y =，所以()2,23P -，所以()2,23PC =- ，()2,3PA =- ，所以10PC PA ⋅=.故选：B4．“()()22log 2log 21a b x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（）A ．0a b <<B ．1a b <<C ．2a b <<D ．1b a<<【答案】C【分析】由已知条件求得,a b 之间的关系和范围，再根据充分不必要条件的判定，可得选项.【详解】若()()22log 2log 21a b x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则需log 2>0log 2>0log 2>log 2a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩，即>1>1a b a b⎧⎪⎨⎪<⎩，所以1a b <<，所以“()()22log 2log 21a b x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2a b <<，故选：C.【点睛】本题考查方程表示椭圆的条件，以及命题的充分不必要条件的判定，属于中档题.5．中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（）A ．60B ．66C ．72D ．80【答案】C【分析】根据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解.【详解】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有112534C C C 90=种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有111332C C C 18=种，故甲乙不在同一实验舱的种数有901872-=种.故选：C.6．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1:0.618:1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A ，B ，C ，D 表示黄金分割点．若照片长、宽比例为7∶3，设CAB α∠=，则1tan sin 2αα-=（）A ．47B ．37C ．2021D ．121【答案】C【分析】由已知得到3tan 7α=，利用二倍角公式，同角三角函数关系化弦为切，代入求值.【详解】依题意37BC AB =，所以3tan 7α=，所以221sin cos tan tan sin 22sin cos ααααααα+-=-2222231tan 1tan 12tan 1tan 207tan 32tan 2tan 2tan 2127αααααααα⎛⎫- ⎪++--⎝⎭=-====⨯.故选：C7．已知5a <且5e 5e ,4a a b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =，则（）A ．c b a <<B ．b<c<aC ．a c b<<D ．a b c<<【答案】D【解析】令(),0xe f x x x=>，利用导数研究其单调性后可得,,a b c 的大小.【详解】因为5e 5e ,5a a a =<，故0a >，同理0,0b c >>，令(),0xe f x x x =>，则()()21x e x f x x-'=，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，因为5e 5e ,5aa a =<，故5e e 5aa=，即()()5f f a =，而05a <<，故01a <<，同理01b <<，01c <<，()()4f f b =，()()3f f c =因为()()()543f f f >>，故()()()f a f b f c >>，所以01a b c <<<<.故选：D ．【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．8．已知12,F F ,为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥,122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程为A ．2212016x y +=B ．22184x y +=C ．22182x y +=D ．22162x y +=【答案】D【分析】根据面积公式及勾股定理得到点A 坐标，再由椭圆的定义即可求得长轴长，进而求得椭圆方程．【详解】设椭圆半焦距为c ，A （x 0，y 0）（y 0＞0），由122F AF S ∆=得12×2c•y 0=2，∴y 0=2c ，∴x 0=3y 0=23c，又12F AF ∆为直角三角形，则|OA|=12|F 1F 2|=c ，在直角2O AF ∆中，由勾股定理得（2c ）2+（23c）2=c 2，解得c=2，所以A （3，1），F 1（-2，0），F 2（2，0），所以2a=|AF 1|+|AF 2|=()()22321321+++-+=26，∴a=6,a 2=6，∴b 2=2，∴椭圆C 的方程为22162x y +=．故选D ．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，注意平面几何知识的简单应用.二、多选题9．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是（）A ．成绩在[)70,80内的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】ABC【分析】读懂题目提供的直方图，根据图中的数据逐项分析即可.【详解】对于A ，由频率分布直方图可得，成绩在[)70,80内的面积最大，因此考生人数最多，故A 正确；对于B ，由频率分布直方图可得，成绩在[)40,60内的频率为()100.010.0150.25⨯+=，因此不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；对于C ，由频率分布直方图可得，平均分约为：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分），故C 正确；对于D ，因为成绩在[)40,70内的频率为()100.010.0150.020.45⨯++=，在[)70,80内的频率为0.3，所以中位数为0.50.45701071.670.3-+⨯≈，故D 错误；故选：ABC .10．已知函数()()sin 2f x x ωϕ=+（ω为正整数，π2ϕ<）的最小正周期3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数()f x 的说法正确的是（）A ．π6-是函数()f x 的一个零点B ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C ．方程()12f x =在[]0,π上有三个解D ．函数()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】ABD【分析】先由周期范围及ω为正整数求得1ω=，再由()f x 平移后关于原点对称求得π3ϕ=，从而得到()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于AB ，将π6x =-与5π12x =-代入检验即可；对于C ，利用换元法得到1sin 2t =在π7π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦内只有两个解，从而可以判断；对于D ，利用整体法及sin y x =的单调性即可判断.【详解】因为()()sin 2f x x ωϕ=+，3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2π3π422ω<<，解得2433ω<<，又ω为正整数，所以1ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，所以函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数()ππsin 2sin 263g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，（点拨：函数()sin 0y x ωω=>的图象经过平移变换得到()sin y x ωϕ=+的图象时，不是平移ϕ个单位长度，而是平移ϕω个单位长度），由题意知，函数()g x 的图象关于原点对称，故()ππZ 3k k ϕ-=∈，即()ππZ 3k k ϕ=+∈，又π2ϕ<，所以0k =，π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，πππsin 2sin00663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ，5π5πππsin 2sin 1121232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对于A ，令π23t x =+，因为[]0,πx ∈，所以π7π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然1sin 2t =在π7π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦内只有5π6，13π6两个解，即方程()12f x =在[]0,π上只有两个解，故C 错误；对于A ，当ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π2π4ππ3π2,,33322x ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为sin y x =在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()f x 在ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：求解此类问题的关键是会根据三角函数的图象变换法则求出变换后所得图象对应的函数解析式，注意口诀“左加右减，上加下减，横变1ω，纵变A ”在解题中的应用.11．上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE 长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()220x py p =->，则（）A ．200p =B ．Γ的准线方程为100y =C ．Γ的焦点坐标为()0,50-D ．弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为5033【答案】ABD【分析】根据题意，建立以C 为坐标原点，x 轴平行于AB ，y 轴垂直于AB ，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC ；根据题意，求出直线AC 的方程，不妨设CE CE 上一点为Q ，判断出当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大，求解最大值即可.【详解】如图所示，建立以C 为坐标原点，x 轴平行于AB ，y 轴垂直于AB .此时()0,0C ，()200,100E --，()200,100D -，抛物线Γ的方程为()220x py p =->，即()22002100p =-⨯-，解得200p =，故A 正确；抛物线Γ的方程为2400x y =-，准线方程为100y =，焦点坐标为()0,100-，故B 正确，C 错误；因为30CAB ∠= ，()0,0C ，故3tan 303AC k == ，所以直线AC 的方程为33y x =即30x y -=，不妨设CE 上一点为()00,Q x y ，[]0200,0x ∈-，当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大.由21400y x =-可得1200y x '=-，故0132003x -=，解得()00200100,,33Q x y ⎛⎫=--⎪⎝⎭，此时Q 点到直线AC 的距离为()222001003350333313-+=+-，故D 正确.故选：ABD.12．已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，1114AB BC CA ===.若点O 到三棱柱111ABC A B C -的所有面的距离都相等，则（）A ．1BB ⊥平面ABC B ．1AB AA =C ．平面111A B C 截球O 所得截面圆的周长为4πD ．球O 的表面积为24π【答案】AC【分析】根据球的性质可判断111ABC A B C -为直棱柱，即可判断A ，由内切球的性质，结合三棱柱的特征即可判断B ，由勾股定理以及等边三角形的性质可判断CD.【详解】选项A ，三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，根据球的对称性可知三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1BB ⊥平面ABC ，因此A 正确.选项B ：因为1114AB BC CA ===，所以AB BC CA ==.因为点O 到三棱柱111ABC A B C -的所有面的距离都相等，所以三棱柱111ABC A B C -的内切球与外接球的球心重合.设该三棱柱的内切球的半径为r ，与底面以及侧面相切于,H M ,则12,AA r =OM OH r ==,由于M 为矩形BCC B ''的对角线交点，所以HN r =，而三角形ABC 为等边三角形，所以113332HN AN AB ==⨯,所以23AB r =，所以13AB AA =，因此B 错误.选项C ：由14AB =，可知2222214121616BB AB r r r +=+==，解得1r =（负值已舍去），则23AB BC CA ===.易得111A B C △的外接圆的半径22233322r AN AB =⨯==，所以平面111A B C 截球O 所得截面圆的周长为22π4πr =，因此C 正确.选项D ：三棱柱111ABC A B C -外接球的半径222212()2152AA R r =+=+=，所以球O 的表面积24π20πS R ==，因此D 错误.故选：AC三、填空题13．已知向量()()3,1,4,2a b =-=-，且()a ab λ⊥- ，则实数λ的值为．【答案】75/1.4【分析】利用数量积运算律和垂直关系的向量表示求解【详解】因为()a a b λ⊥- ，所以()210140a a b a a b λλλ⋅-=-⋅=-= ，所以75λ=．故答案为：7514．在712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含5x 项的系数为．【答案】448【分析】根据二项式定理，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案.【详解】由题意，其展开式的通项为()7271771C 22C rrr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令275r -=，解得6r =，则含5x 的系数为6672C 448=.故答案为：448.15．已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且26S =，314S =，则数列2211log log n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2023项和为．【答案】20232024【分析】先根据26S =，314S =，求出n a ，然后可求2211log log n n a a +⋅，再利用裂项求和求解即可.【详解】因为26S =，314S =，所以112111614a a q a a q a q +⋅=⎧⎨+⋅+⋅=⎩，因为0q >，所以2q =；由2121(1)6S a a a q =+=+=得12a =，所以2n n a =；所以22111log log 2n n a n==，()2211111log log 11n n a a n n n n +==-⋅++，数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2023项和为：111111111120231122334202220232023202420242024-+-+-+-+-=-= .故答案为：20232024.16．已知函数()a f x ax b x =++与函数()221g x x x=+有公共点，则22a b +的最小值为.【答案】45/0.8【分析】将问题转化为方程()()f x g x =有解，即21120x a x b x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解，设()12x t t x+=≥，则220t at b ---=，将关于t 的方程看成关于,a b 的直线方程220at b t ++-=，则22a b +可视为直线上的点(),a b 到原点的距离的平方，即为原点到直线的距离的平方，进而求解即可.【详解】令()()f x g x =，故a ax b x ++221x x =+，即2210a x axb x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭故方程21120x a x b x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解设()12x t t x+=≥，则220t at b ---=将关于t 的方程看成关于,a b 的直线方程220at b t ++-=，则22a b +可视为直线上的点(),a b 到原点的距离的平方，即为原点到直线的距离的平方故()()()22222222222222991621601111t t d t t t t t t ⎛⎫--⎪===++-≥+⋅-= ⎪++++⎝⎭当且仅当22t =时等号成立2t ≥ 24t ∴=时能取得最小值，此时245d =故22a b +的最小值为45故答案为：45.四、解答题17．在△ABC 中，222cos cos 2sin sin sin C A A B B -=-．(1)求C 的大小；(2)已知8a b +=，求△ABC 的面积的最大值．【答案】(1)π4C =(2)42【分析】（1）先把题给条件化为2222a c b ab -+=，再利用余弦定理即可求解C 的值．（2）先用基本不等式求出ab 的最大值，再代入三角形的面积公式即可求得△ABC 的面积的最大值．【详解】（1）∵222cos cos 2sin sin sin C A A B B -=-，∴()2221sin 1sin 2sin sin sin C A A B B ---=-，∴222sin sin 2sin sin sin A C A B B -=-，∴2222a c b ab -+=，∴22222cos 222a b c ab C ab ab +-===，又∵C ∈（0，π），∴C π4=．（2）∵82a b ab =+≥（当且仅当4a b ==时取等号），∴16ab ≤，∴ABC S 的最大值为1π16sin 4224⨯⋅=．18．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与均值．【答案】(1)14(2)分布列见解析；期望为35【分析】（1）根据古典概型公式，结合组合数公式，即可求解;（2）首先确定随机变量的取值，0,1,2X =，再根据古典概型计算公式，列出分布列，求解数学期望.【详解】（1）设事件A =“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有()111231053C C C 1C 4P A ==．（2）X 的所有可能值为0，1，2，且()38310C 70C 15P X ===，()1228310C C 71C 15P X ===，()2128310C C 12C 15P X ===．所以X 的分布列为X012P715715115故()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=．19．已知数列{}n a 为正项等比数列，数列{}n b 满足11b =，23b =，()1122333232n n n a b a b a b a b n ++++=+- ．(1)求n a ；(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：6n S <．【答案】(1)12n n a -=(2)见解析【分析】（1）根据前n 项和的定义，结合题意以及等比数列的定义，可得答案；（2）根据前n 项和的定义，结合数列{}n a 的通项公式，求得数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法，可得答案.【详解】（1）令()1122333232nn n n T a b a b a b a b n ++++=-=+L ，当1n =时，()11132321a b T ==+-⨯=，由11b =，则11a =；当2n =时，()222213223216a b T T =-=+⨯-⨯-=，由23b =，则22a =.由数列{}n a 为正项等比数列，设其公比为q ，则212aq a==，所以1112n n n a a q --==.（2）证明：当2n ≥时，()()()11132323252212n n n n n n n a b T T n n n ---⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，则21n b n =-，显然1n =时也成立，所以()*21N n b n n =-∈.0121135212222n n n S --=++++L ，12311352122222n nn S -=++++L ，两式相减可得：01231112222212222222n n n n S --=+++++-L 111121232212312212n n n n n -⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=+-=--，解得12362n n n S -+=-，因为12302n n -+>，所以6n S <.20．如图，已知圆柱的上、下底面圆心分别为P ，Q ，11AAC C 是圆柱的轴截面，正方形ABCD 内接于下底面圆Q ，AB ＝a ，16AA =．(1)当a 为何值时，点Q 在平面PBC 内的射影恰好是PBC 的重心；(2)在（1）条件下，求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值．【答案】(1)当62a =时，Q 点在平面PBC 内的射影恰好是PBC 的重心.(2)13【分析】（1）取BC 的中点E ，连接,,QE PE PQ ，证得BC ⊥平面PQE ，过点Q 作QF PE ⊥，得到BC QF ⊥，进而证得QF ⊥平面PBC ，得到F 是Q 在平面PBC 内的射影，结合F 恰好是PBC 的重心，得到3PE EF =，在直角PQF △中，即可求解；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAD 和平面PBC 的一个法向量为(0,2,1)m =- 和(0,2,1)n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：取BC 的中点E ，连接,,QE PE PQ ，可得,QE BC PE BC ⊥⊥，且QE PE E ⋂=，,QE PE ⊂平面PQE ，所以BC ⊥平面PQE ，过点Q 作QF PE ⊥，交PE 于点F ，因为QF ⊂平面PQE ，所以BC QF ⊥，又BC PE E ⋂=，,BC PE ⊂平面PBC ，所以QF ⊥平面PBC ，即F 是Q 在平面PBC 内的射影，因为F 恰好是PBC 的重心，所以3PE EF =，在直角PQF △中，1122QE AB a ==，223QE EF PE EF =⋅=，所以33,62EF a PE a ==，所以1262PQ a AA ===，解得62a =，所以62a =时，Q 点在平面PBC 内的射影恰好是PBC 的重心.（2）解：以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，作1//DM AA ，以DM 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(32,32,6),(62,0,0),(62,62,0),(0,62,0)D P A B C ，所以(62,0,0),(32,32,6),(32,32,6),(62,0,0)DA DP PB CB ===-=，设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z = ，则620323260m DA x m DP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，取1z =，可得0,2x y ==-，所以(0,2,1)m =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n a b c = ，则323260620n PB a b c n CB a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1c =，可得0,2a b ==，所以(0,2,1)n =，由图象可得平面PAD 与平面PBC 所成二面角的平面角为锐角，所以11cos ,333m n m n m n ⋅-===⨯ ，即平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值为13．21．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点与抛物线2C ：22y px =，()0p >的焦点重合，1C 的离心率为12，过1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截2C 所得的弦长为4．(1)求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；(2)过点M （3，0）的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为点E ，证明：直线AE 过定点．【答案】(1)椭圆1C 和抛物线2C 的方程分别为：22143x y +=，24y x =；(2)4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可得2pc =，由于椭圆的离心率可得a ，c 的关系，进而可得p ，c 的关系，再由过1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截2C 所得的弦长为4可得c 的值，再由a ，b ，c 的关系求出椭圆的方程及抛物线的方程；（2）设直线AB 的方程，及A ，B 的坐标由题意可得E 的坐标，将直线与椭圆联立可得两根之和及两根之积，求出直线AE 的直线方程，将两根之和及之积代入可得恒过定点.【详解】（1）由1C 的离心率为12，可得12c a =，所以2a c =，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以2pc =，2p c =，过1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截2C 所得的弦长为4，令x c =代入抛物线的方程：可得22y p c =⋅，所以22y pc c ==，即422c =⋅，解得1c =，所以2a =，22p c ==，由222b a c =-可得2413b =-=，所以椭圆1C 和抛物线2C 的方程分别为：22143x y +=，24y x =；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：3x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得()22,E x y -，直线与椭圆联立：22334120x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得：()224318150m y my +++=，()222Δ18443150m m =-+⋅>，可得253m >，1221843m y y m -+=+，1221543y y m =+，直线AE 的方程为：()121112y y y y x x x x +-=--，整理可得：1211211112121212y y y x y x y x y xy x x x x x x x ++-=-+---()()()()()()()()21121222121212123318244343y my y my y y x x m y y m y y y y m y y m ++++-=-=+---+-+()()212184343x y y m -⎛⎫=-⎪-+⎝⎭所以当43x =时，0y =，即过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭，所以可证直线AE 过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.22．已知函数()ln f x x x mx m =-+，其中R m ∈．(1)求()f x 的单调区间；(2)若存在()1,x ∈+∞，使得不等式()ln f x x <-成立，求m 的取值范围．【答案】(1)见解析(2)()2,+∞【分析】（1）求函数()f x 的定义域并求出导数()f x '，解不等式()0f x '<和()0f x ¢>即可作答.（2）由给定不等式变形，构造函数()()()1ln ,1,1m x h x x x x -=-∈+∞+，借助导数分类讨论()0h x <有解即可.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()ln 1f x x m '=+-，令()0f x '=，得1e m x -=，由()0f x '<，解得10e m x -<<，由()0f x ¢>，解得1e m x ->，所以()f x 的单调递减区间为()10,e m -，单调递增区间为()1e ,m -+∞.（2）不等式()ln f x x <-，即()1ln 01m x x x --<+，设()()()1ln ,1,1m x h x x x x -=-∈+∞+，依题意，存在()1,x ∈+∞，()0h x <，而()()()()2222111211x m x m h x x x x x +-+'=-=++，()10h =，当0m ≤时，()0h x >在()1,+∞上恒成立，不满足题意，当02m <≤时，方程()22110x m x +-+=的判别式()()2414420m m m ∆=--=-≤，即()0h x '>在()1,+∞上恒成立，则()h x 在()1,+∞上单调递增，()()10h x h >=，()0h x >在()1,+∞上恒成立，不满足题意，当m>2时，令()0h x '=，得()21111x m m =----，()22111x m m =-+--，由21x >和121=x x 得11<x ，则当()21,x x ∈时，()0h x '<，()h x 在()21,x 上单调递减，此时()()10h x h <=，因此，当()2,m ∈+∞时，存在()01,x ∈+∞，使得不等式()00h x <成立，所以满足题意的m 的取值范围为()2,+∞．【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.。

2022福州市数学初三质检试卷答案解析本次数学二检试卷，整体难度适中。

试卷主要考察了二元一次方程组、一次函数、二次函数、全等三角形、圆、反比例函数、概率与相似相关的知识点。

试卷整体结构和题型设置紧贴考情，知识点考察全面，符合福建中考的出题模式，具有较强的参考价值。

试卷整体以基础题和中档题为主，但更加注重考察学生对于题目关键信息的提取能力。

第10题、第25题两题考察了二次函数的图像与性质以及二次函数的综合计算，需要运用数形结合思想同时还需要具备较强的计算能力，所以这两题容易失分。

第17题考察有理数的混合运算，第19题考查分式的化简求值，难度不大但要注意计算，粗心的同学很容易丢分。

第23题第（3）问重点在于学生对于题目的理解和信息的提取，需要学生具有较强的阅读理解能力，这一题学生很容易丢分。

二、福州二检考点分析：三、三、福州二检试卷分析： 1.【选择题1-10】选择题整体难度较小，1-7题对基础题型进行考察，属于“送分题”，细心答卷即可。

选择题第8题考察绝对值，关键是抓住绝对值的概念来判定原点位置。

第9题考察的是圆与三角函数，根据直角三角形的三边比例关系来确定特殊角度，再利用圆的弧长公式来求解即可。

2.【填空题11-16】填空题整体难度不大，11-13 属于“送分题”，都是简单的二次根式、一元一次不等式和加权平均数，注意避免计算错误即可。

第14 题考察三角形的外角和内角之间的关系，熟练的同学能够快速反应过来并得出答案。

第15 题考察平行四边形的判定，但是要注意的是题目中罗列出来的不全是我们上课学习的判定，还有一些是需要自己证明的，这个地方比较容易出现问题。

第16题将几何与反比例结合在一起，考察60°的特殊菱形的面积、反比例函数上点的坐标、勾股定理、最值还有设而不求的思想，考察的知识点也较为常规。

要求同学们对特殊几何图形比较敏感，熟悉各种计算公式，并且能和函数相结合，综合性较强。

解题方法比较多，可以用相似、不等式、三角函数等。

准考证号：______________ 姓名：_____________(在此卷上答题无效)2022-2023学年第二学期福州市九年级质量抽测数 学(完卷时间120分钟，满分150分)友情提示：请把所有答案填写(涂)到答题纸上!请不要错位、越界答题!!第Ⅰ卷一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.-2的相反数是A.2B.-2C.12D.-122.下列交通标志图案中，是中心对称图形的是A. B. C. D.3.湿地被称为“地球之肾”.福州市现有湿地206800公顷，将数据206.800用科学记数法表示，其结果是A.2068×102B.206.8×1023C.2.068×105D.0.2068×1064.如图所示的几何体，其主视图是A. B. C. D.5.如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1=70°，则∠2的大小是A.70°B.80°C.100°D.110°6.下列运算正确的是A.a3+a2=a5B.a3-a2=aC.a3·a2=a6D.(a3)2=a6应聘者内容文化甲8085乙8580丙9080丁80907.林则徐纪念馆作为“福州古盾”的典型代表，是全国重点文物保护单位．该纪念馆计划招聘一名工作人员，评委从内容、文化两个方面为甲、乙、丙、丁四位应聘者打分(具体分数如表)，按内容占40%，文化占60%计算应聘者综合分，并录用综合分最高者，则最终录用的应聘者是A.甲B.乙C.丙D.丁8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，点A′(-2，4)．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是A.y=2B.y=xC.y=x+2D.y=-x+29.我国名院士策隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400公斤，总产量同为3000公斤的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．设传统水稻亩产量为x公斤，则符合题意的方程是A.3000x+400=3000x-2 B.3000x+400=3000x+2 C.3000x+2=3000x-400 D.3000x+2=3000x+40010.如图，△ABC中，O是BC上一点，以O为圆心，OC长为半径作半圆与AB相切于点D．若∠BCD=20°，∠ACD=30°，则∠A的度数是A.75°B.80°C.85°D.90°第Ⅱ卷二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.如图，点A在数轴上对应的数是a，则实数a的值可以是．(只需写出一个符合条件的实数)12.不等式2x-3>0的解集是．13.四边形的内角和度数是．14.我国数学家祖冲之是第一个将圆周率的计算精确到小数点后七位的人，他将圆周宰精确到3.1415926．若从该数据的8个数字中随机抽取一个数字，则所抽到的数字是1的概率是．15.两个正方形按如图所示的位置放置，若重叠部分是一个正八边形，则这两个正方形边长的比值是．16.已知直线y=-x+b(b>0)与x轴，y轴交于A、B两点，与双曲线y=k x(k>0)交于E、F两点．若AB=2EF，且b<k<3b，则b的取值范围是．三、解答题(本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分8分)计算：4+│-12│-2-1．18.(本小题满分8分)如图，点A、B在CD的同侧，线段AC、BD相交于点E，∠ECD=∠EDC，∠ECB=∠EDA，求证：AD=BC．19.(本小题满分8分)先化简，再求值：1x-1-1x+1÷x x2-1，其中x=2．20.(本小题满分8分)荔枝是一种具有悠久历史的水果，深受广大人民群众喜爱．某超市现售卖桂味和黑叶两种荔枝．已知购买2千克桂味和1千克黑叶需要花费80元，购买1千克桂味和4千克黑叶需要花费96元．求桂味和黑叶每千克的价格．如图，AB 是半圆O 的直径，AC =BC ，D 是BC 上一点，CD =12AB ，E 是AC 的中点，连接OC 、OD 、DE ．(1)求∠COD 的大小；(2)求证：DE ∥AB ．22.(本小题满分10分)某学校食堂计划推行午餐套餐制，现随机抽取中午在学校食堂用餐的20名学生，收集到他们午餐消费金额x (单位：元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：A ．这20名学生午餐消费金额数据如下：4 8 10 9 9 6 9 6 8 87 8 8 6 7 9 10 7 8 5B ．这20名学生午餐消费金额数据的频数分布表：消费金额4≤x <66≤x <88≤x <1010≤x <12频数26m 2C ．这20名学生午餐消费金额数据的平均数，中位数，众数：平均数中位数众数7.6n t根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m 、n 、t 的值；(2)为了合理膳食结构，学校食堂推出A 、B 、C 三种价格不同的套餐．据调查，午餐消费金额在6≤x <8的学生中有50%选择B 套餐，消费金额在8≤x <10的学生中有60%选择B 套餐，其余学生选择A 套餐或C 套餐．若每天中午约有800名的学生在食堂用餐，估计食堂每天中午需准备B 套餐的份数．如图，已知∠MON=90°，A、B为射线ON上两点，且OB<BA．(1)求作菱形ABCD，使得点C在射线OM上(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，连接AC、OD，当△OAC∽△OCB时，求tan∠ODC的值．24.(本小题满分12分)如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，AB=4，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，其中A′是点A 的对应点，且O°<∠ABA'<360°，连接AA'，CC'．(1)求证：CC=34；AA(2)如图2，当点C在线段AA'上时，求△CBC'的面积；(3)直线AA'与直线CC'交于点D，点E是边AB的中点，连接DE，在旋转过程中，求DE的最大值．已知抛物线y=ax2+bx-4与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且OB=OC= 2OA．直线y=kx-2(k>0)与抛物线交于D、E两点(点D在点E的左侧)，连接OD、OE．(1)求抛物线的解析式；(2)若△ODE的面积为42，求k的值；(3)求证：不论k取何值，抛物线上都存在定点F，使得△DEF是以DE为斜边的直角三角形．2022－2023学年第二学期福州市九年级质量抽测数学答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．2．对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂）1．A 2．B 3．C 4．B 5．D6．D 7．D 8．C 9．A 10．B二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置作答）11．3−（任何负数均可） 12．32x >13． 360 14．14 15．116．16163b << 三、解答题（共9小题，满分86分，请在答题卡的相应位置作答）17．（本小题满分8分） 解：原式11222=+− ·········································································································· 6分 2=． ················································································································ 8分18．（本小题满分8分） 证明：∵ECD EDC ∠=∠，∴ED EC =． ········································································································· 2分 在△EAD 和△EBC 中，AED BEC ED EC EDA ECB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，····································································································· 4分 ∴△EAD ≌△EBC ， ································································································· 6分 ∴AD BC =． ········································································································· 8分19．（本小题满分8分） 解：原式2111[](1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+−−=−⋅+−+− ········································································· 3分 221111x x x x x +−+−=⋅− ······························································································ 4分 2x=． ················································································································ 6分 当x =时，原式= ················································································································ 7分 = ·············································································································· 8分D C A B E20．（本小题满分8分）解：设桂味和黑叶每千克的价格分别x 元和y 元． ·································································· 1分根据题意，得280496x y x y +=⎧⎨+=⎩．， ··························································································· 5分 解得3216x y =⎧⎨=⎩．， ············································································································· 7分 答：桂味每千克的价格是32元，黑叶每千克的价格是16元． ············································· 8分21．（本小题满分8分） （1）解：∵12CD AB =， ∴CD OA OC OD ===， ······················································································ 2分 ∴△COD 是等边三角形， ···················································································· 3分 ∴60COD ∠=°． ································································································ 4分 （2）证明：连接OE ．∵ AC BC=， ∴AOC BOC ∠=∠．∵180AOC BOC ∠+∠=°，∴90AOC BOC ∠=∠=°． ················································································· 5分∵E 是AC 中点， ∴12OE AC EC ==， ······················································································· 6分 ∴点E 在OC 的垂直平分线上，∵DC DO =， ∴点D 在OC 的垂直平分线上，∴DE 垂直平分OC ，记垂足为F ， ······································································ 7分∴90OFE ∠=°，∴90OFE BOC ∠=∠=°，∴DE ∥AB ． ··································································································· 8分22．（本小题满分10分） 解：（1）10m =，8n =，8t =； ························································································· 6分 （2）由样本估计总体，得食堂每天中午需准备B 套餐的份数约为650%1060%80036020×+××=． ············································································· 10分23．（本小题满分10分）解：（1）·································································· 4分如图，菱形ABCD 为所求作的图形． ········································································· 5分 （2）∵△OAC ∽△OCB ，∴OAC OCB ∠=∠． ······························································································· 6分 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD ==，AB ∥CD ， ·················································································· 7分 ∴BAC BCA ∠=∠．∵90BOC ∠=°，∴90OCB BCA BAC ∠+∠+∠=°，90OCD ∠=°，∴30OCB BCA BAC ∠=∠=∠=°， ············································································· 8分A B C DMNO A C E D F∴60OBC ∠=°．在Rt △OBC中，sin OC OBC BC ∠==． ···································································· 9分 在Rt △ODC中，tan OC OC ODC CD BC∠=== ··························································· 10分24．（本小题满分8分） 解：（1）在Rt △ABC ，90ABC ∠=°，5AC =，4AB =，∴3BC ==， ····················································································· 1分 记BAC α∠=，则3sin 5α=，4cos 5α=． ∵△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A ′BC ′，∴△ABC ≌△A ′BC ′，CBC ABA ′′∠=∠，4BA BA ′==，3BC BC ′==， ··························· 2分 ∴BA C BAC α′′∠=∠=，34BC BC BA BA ′==′， （180180=22CBC ABA BCC BAA ′′°−∠°−∠′′∠==∠） ∴△CBC ′∽△ABA ′， ···························································································· 3分 ∴34CC AA ′=′． ······································································································· 4分 （2）过点B 作CC ′的垂线，垂足为M ，∴90BMC ∠=°．由（1）可得△CBC ′∽△ABA ′，BA BA ′=， ∴BCC BAA BA A α′′′∠=∠=∠=， ············································································ 5分∴9sin 5BM BC α=⋅=， ························································································ 6分 12cos 5CM BC α=⋅=， ∵BC BC ′=，∴2425CC CM ′==， ···························································································· 7分 ∴1081225CBC S CC BM ′′=⋅=△． ················································································· 8分 （3）由（2）得△CBC ′∽△ABA ′， ∴BCC BAA ′′∠=∠． ·分 当点B ，D 在AC 异侧时，∵180BAA BAD ′∠+∠=°，∴180BCC BAD ′∠+∠=°， ∴180ABC ADC ∠+∠=°，∴90ADC ∠=°．10分 当点B ，D 在AC 同侧时， ∵90ACB CAB ∠+∠=°，∴90ACD BCC CAB ′∠+∠+∠=°， 即90ACD BAA CAB ′∠+∠+∠=°，∴90ACD CAA ′∠+∠=°，∴90ADC ∠=°． 取AC 中点O ，连接OD ，OE ，∴5122OD AC ==．11分 ∵E 为AB 中点，∴OE 为△ABC 的中位线，∴3122OE BC ==， ∴53422DE OD OE +=+= （当且仅当点O 在线段DE 上时等号成立）， 即DE 的最大值为4． ·························································································· 12分A B C A ′C ′A ′′A B C ′C ′ M25．（本小题满分14分）解：（1）∵将0x =代入24y ax bx =+−，得4y =−，∴C （0，4−）， ··································································································· 1分 即4OC =．∵2OB OC OA ==，∴4OB =，2OA =．∵点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，∴A （2−，0），B （4，0）．将A ，B 代入24y ax bx =+−，得424016440a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，， ······························································································· 3分 解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，，∴该抛物线的解析式为2142y x x =−−． ··································································· 4分 （2）记直线DE 交y 轴于点G ．将0x =代入2y kx =−，得2y =−，∴G （0，2−）， ··································································································· 5分 ∴2OG =．将2y kx =−代入2142y x x =−−， 化简得2(22)40x k x −+−=，∴2(22)160k Δ=++>，设D （D x ，D y ），E （E x ，E y ），0D E x x <<，∴22D E x x k +=+，4D E x x ⋅=−． ··········································································· 6分 ∵DOE OGD OGE S S S =+△△△11||||22D E OG x OG x =⋅+⋅ 12()2E D x x =×−E D x x =−=， ·分 ∴2()32E D x x −=，即2()432E D E D x x x x +−⋅=，∴2(22)1632k ++=， 解得11k =，230k =−<（舍去）， ············································································ 8分 ∴若△ODE 的面积为k 的值为1． ······························································· 9分 （3）根据题意，得90DFE ∠=°，设F （m ，n ），∴222DF EF DE +=． ·························································································· 10分 根据勾股定理得222()()D D DF x m y n =−+−，222()()E E EF x m y n =−+−，222()()D E D E DE x x y y =−+−，即222222()()()()()()D D E E E D E D x m y n x m y n x x y y −+−+−+−=−+−，22()()0D E D E D E D E m n m x x n y y x x y y +−+−+++=．∵22D E x x k +=+，4D E x x ⋅=−，∴222()4224D E D E D E y y kx kx k x x k k +=−+−=+−=+−，22(2)(2)2()4844D E D E D E D E y y kx kx k x x k x x k k ⋅=−−=⋅−++=−−+， ···························· 11分 ∴2222(22)(224)48440m n m k n k k k k +−+−+−−−−+=，22224(28)(224)m n m n n k m n k +−+=++++． ························································· 12分 ∵不论k 为何值，该等式始终成立，。

新人教版福建省福州市2022年初中数学学业质量检查试卷【含答案】一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）（2022•福州质检）计算﹣3+3的结果是（）A．0B．﹣6 C．9D．﹣9考点：有理数的加法分析：根据有理数的加法运算法则计算即可得解．解答：解：∵3与﹣3互为相反数，且互为相反数的两数和为0．∴﹣3+3=0．故选A．点评：本题考查了有理数的加法运算，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．2．（4分）（2022•福州质检）如图，AB∥CD，∠BAC=120°，则∠C的度数是（）A．30°B．60°C．70°D．80°考点：平行线的性质专题：计算题．分析：根据两直线平行，同旁内角互补由AB∥CD得到∠A+∠C=180°，然后把∠BAC=120°代入计算即可．解答：解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°而∠BAC=120°，∴∠C=180°﹣120°=60°．故选B．点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．3．（4分）（2022•福州质检）节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（）A．3.5×107B．3.5×108C．3.5×109D．3.5×1010考点：科学记数法—表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于350 000 000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．解答：解：350 000 000=3.5×108．故选B．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．4．（4分）（2022•福州质检）下列学习用具中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形分析：根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，对各选项判断即可．解答：解：A、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；B、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；C、不是轴对称图形，符合题意，故本选项正确；D、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了轴对称图形的知识，属于基础题，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴．5．（4分）（2022•福州质检）一元二次方程x2+4=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根考点：根的判别式专题：计算题．分析：先计算出△=0﹣4×4×1=﹣16＜0，然后根据△的意义即可得到方程的根的情况．解答：解：∵△=0﹣4×4×1=﹣16＜0，∴方程没有实数根．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6．（4分）（2022•福州质检）不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集分析：根据“向右大于，向左小于，空心不包括端点，实心包括端点”的原则将数轴上不等式的解集写出来，再判断答案．解答：解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的线且﹣1处是空心圆，表示x＞﹣1；从2出发向左画出的线且2处是实心圆，表示x≤2；不等式组的解集是：．故选B．点评：不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．7．（4分）（2022•福州质检）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形（阴影部分）的概率是，则大、小两个正方形的边长之比是（）A．3：1 B．8：1 C．9：1 D．2：1考点：几何概率分析：根据针扎到小正方形（阴影部分）的概率是，求出小正方形与大正方形的面积之比，再根据相似多边形面积之比等于相似比的平方即可求出答案．解答：解：∵针扎到小正方形（阴影部分）的概率是，∴=，∴大、小两个正方形的边长之比是3：1；故选A．点评：此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，相似多边形面积之比等于相似比的平方．8．（4分）（2022•福州质检）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且A、D在BC同侧，连接AD，量一量线段AD 的长，约为（）A．1.0cm B．1.4cm C．1.8cm D．2.2cm考点：作图—复杂作图分析：首先根据题意画出图形，再利用刻度尺进行测量即可．解答：解：如图所示：测量可得AD=1.4cm，故选：B．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是正确理解题意，画出图形．9．（4分）（2022•福州质检）有一种公益叫“光盘”．所谓“光盘”，就是吃光你盘子中的食物，杜绝“舌尖上的浪费”．某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，根据各班级参加该活动的总人次折线统计图，下列说法正确的是（）A．极差是40 B．中位数是58 C．平均数大于58 D．众数是5考点：折线统计图；算术平均数；中位数；众数；极差分析：根据极差的定义，平均数、中位数、众数的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、极差是80﹣45=35，故本选项错误；B、按照从小到大的顺序排列如下：45、50、58、59、62、80，第3、4两个数分别是58、59，所以，中位数是58.5，故本选项错误；C、平均数=（50+80+59+45+58+62）=×354=59＞58，故本选项正确；D、6个数据均是出现一次，所以众数是45、50、58、59、62、80，故本选项错误．故选C．点评：本题考查折线统计图的运用，主要涉及极差、平均数、中位数、众数的定义，熟记概念并根据折线统计图准确获取数据是解题的关键．10．（4分）（2022•福州质检）已知一个函数中，两个变量x与y的部分对应值如下表：x …﹣2﹣…﹣2+…﹣1 …+1 …y …﹣2+…﹣2﹣…+1 …﹣1 …如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是（）A．x轴B．y轴C．直线x=1 D．直线y=x考点：轴对称图形；坐标与图形变化-对称专题：压轴题．分析：根据x、y的值可得y与x的函数关系式，继而可判断出函数图象的对称轴．解答：解：由表格可得：y=，故可得这个函数图象是轴对称图形，对称轴是y=x．故选D．点评：本题考查了轴对称图形及函数表达式，解答本题的关键是确定y与x的函数关系式．二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡的相应位置）11．（4分）（2022•福州质检）分解因式：3mn2﹣12m= 3m（n+2）（n﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用分析：先提取公因式3m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：3mn2﹣12m，=3m（n2﹣4），=3m（n+2）（n﹣2）．点评：本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．（4分）（2022•福州质检）如图，∠A+∠B+∠C+∠D=360 度．考点：多边形内角与外角分析：根据四边形内角和等于360°即可求解．解答：解：由四边形内角和等于360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D=360度．故答案为：360．点评：考查了四边形内角和等于360°的基础知识．13．（4分）（2022•福州质检）在一次函数y=kx+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第四象限．考点：一次函数图象与系数的关系专题：探究型．分析：先根据函数的增减性判断出k的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．解答：解：∵在一次函数y=kx+2中，y随x的增大而增大，∴k＞0，∵2＞0，∴此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．故答案为：四．点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时，函数的图象经过一、二、三象限．14．（4分）（2022•福州质检）若方程组，则3（x+y）﹣（3x﹣5y）的值是24 ．考点：解二元一次方程组专题：整体思想．分析：把（x+y）、（3x﹣5y）分别看作一个整体，代入进行计算即可得解．解答：解：∵，∴3（x+y）﹣（3x﹣5y）=3×7﹣（﹣3）=21+3=24．故答案为：24．点评：本题考查了解二元一次方程组，计算时不要盲目求解，利用整体思想代入计算更加简单．15．（4分）（2022•福州质检）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是 1.5 ．考点：旋转的性质；等边三角形的性质专题：压轴题．分析：取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质可得CD=CG，再求出∠DCF=∠GCE，根据旋转的性质可得CE=CF，然后利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF=EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时最短，再根据∠CAD=30°求解即可．解答：解：如图，取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF=60°，又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∴∠DCF=∠GCE，∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD=BC，∴CD=CG，又∵CE旋转到CF，∴CE=CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF=EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD=×60°=30°，AG=AC=×6=3，∴EG=AG=×3=1.5，∴DF=1.5．故答案为：1.5．点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡的相应位置．作图或添轴助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）16．（14分）（2022•福州质检）（1）计算：（π+3）0﹣|﹣2022|+×（2）已知a2+2a=﹣1，求2a（a+1）﹣（a+2）（a﹣2）的值．考点：整式的混合运算—化简求值；实数的运算；零指数幂专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负数的绝对值等于它的相反数计算，最后一项先利用二次根式的化简公式计算，再约分即可得到结果；（2）所求式子第一项利用单项式乘多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式的值代入计算即可求出值．解答：（1）解：原式=1﹣2022+8×=1﹣2022+1=﹣2022；（2）解：原式=2a2+2a﹣a2+4=a2+2a+4，∵a2+2a=﹣1，∴原式=﹣1+4=3．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．17．（16分）（2022•福州质检）（1）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC 三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．（2）一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？考点：菱形的判定；分式方程的应用分析：（1）D，E，F分别是AB，BC，AC边上的中点，则可以想到三角形的中位线定理，易证四边形ADEF是平行四边形．要证明是菱形，只要再证明它的一组邻边相等即可．（2）设江水流速为v千米/时，则顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速﹣水流速．根据顺流航行100千米所用时间，与逆流航行60千米所用时间相等，列方程求解．解答：（1）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE∥AC，DE=AC，EF∥AB，EF=AB，∴四边形ADEF为平行四边形．又∵AC=AB，∴DE=EF．∴四边形ADEF为菱形；（2）解：设江水的流速为x千米/时，依题意，得：=，解得：x=5．经检验：x=5是原方程的解．答：江水的流速为5千米/时．点评：（1）本题主要应用了菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（2）本题考查了方式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．此题中涉及的公式：顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速﹣水流速，时间=路程÷速度．18．（10分）（2022•福州质检）有一个袋中摸球的游戏．设置了甲、乙两种不同的游戏规则：甲规则：乙规则：红1 红2 黄1 黄2第一次第二次红1 （红1，红1）（红2，红1）（黄1，红1）②红2 （红1，红2）（红2，红2）（黄1，红2）（黄2，红2）黄1 （红1，黄1）①（黄1，黄1）（黄2，黄1）黄2 （红1，黄2）（红2，黄2）（黄1，黄2）（黄2，黄2）请根据以上信息回答下列问题：（1）袋中共有小球 4 个，在乙规则的表格中①表示（红2，黄1），②表示（黄2，红1）；（2）甲的游戏规则是：随机摸出一个小球后不放回（填“放回”或“不放回”），再随机摸出一个小球；（3）根据甲、乙两种游戏规则，要摸到颜色相同的小球，哪一种可能性要大，请说明理由．考点：列表法与树状图法分析：（1）观察树状图与表格，即可得袋中共有小球4个，在乙规则的表格中①表示（红2，黄1），②表示（黄2，红1）；（2）由树状图可得甲的游戏规则是：随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球；（3）分别由树状图与表格，求得摸到颜色相同的小球的概率，比较大小，即可知哪一种可能性要大．解答：解：（1）∵由树状图可得袋中共有2个红色小球与2个黄色小球，∴袋中共有小球4个；在乙规则的表格中①表示：（红2，黄1）；②表示（黄2，红1）．故答案为：4；（红2，黄1）；（黄2，红1）；（3分）（2）甲的游戏规则是：随机摸出一个小球后不放回（填“放回”或“不放回”），再随机摸出一个小球；故答案为：不放回；…（5分）（3）乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大．理由：∵在甲游戏规则中，从树形图看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相同，而颜色相同的两个小球共有4种．…（6分）∴P（颜色相同）==．…（7分）∵在乙游戏规则中，从列表看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相同，而颜色相同的两个小球共有8种．（8分）∴P（颜色相同）==．…（9分）∵＜，∴乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大．…（10分）点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．19．（12分）（2022•福州质检）如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网格．小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点．已知小矩形较短边长为1，△ABC的顶点都在格点上．（1）格点E、F在BC边上，的值是；（2）按要求画图：找出格点D，连接CD，使∠ACD=90°；（3）在（2）的条件下，连接AD，求tan∠BAD的值．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义分析：（1）根据图形即可得出AF=2BE，代入求出即可；（2）根据图形找出D点即可；（3）求出AB和BD值，求出∠ABD=90°，根据锐角三角函数的定义求出即可．解答：解：（1）由图形可知：==，故答案为：．（2）如图点D，连接CD．（3）解：连接BD，∵∠BED=90°，BE=DE=1，∴∠EBD=∠EDB=45°，BD===，由（1）可知BF=AF=2，且∠BFA=90°，∴∠ABF=∠BAF=45°，AB==2，∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=45°+45°=90°．∴tan∠BAD===．点评：本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．20．（12分）（2022•福州质检）如图，半径为2的⊙E交x轴于A、B，交y轴于点C、D，直线CF交x轴负半轴于点F，连接EB、EC．已知点E的坐标为（1，1），∠OFC=30°．（1）求证：直线CF是⊙E的切线；（2）求证：AB=CD；（3）求图中阴影部分的面积．考点：圆的综合题分析：（1）首先过点E作EG⊥y轴于点G，由点E的坐标为（1，1），可得EG=1．继而可求得∠ECG的度数，又由∠OFC=30°，∠FOC=90°，可求得∠FCE=∠OCF+∠ECG=90°．（2）首先过点E作EH⊥x轴于点H，易证得Rt△CEG≌Rt△BEH，又由EH⊥AB，EG⊥CD，则可证得AB=CD；（3）连接OE，可求得OC=+1与∠OEB+∠OEC=210°，继而可求得阴影部分的面积．解答：解：（1）过点E作EG⊥y轴于点G，∵点E的坐标为（1，1），∴EG=1．在Rt△CEG中，sin∠ECG==，∴∠ECG=30°．∵∠OFC=30°，∠FOC=90°，∴∠OCF=180°﹣∠FOC﹣∠OFC=60°．∴∠FCE=∠OCF+∠ECG=90°．即CF⊥CE．∴直线CF是⊙E的切线．（2）过点E作EH⊥x轴于点H，∵点E的坐标为（1，1），∴EG=EH=1．在Rt△CEG与Rt△BEH中，∵，∴Rt△CEG≌Rt△BEH（HL）．∴CG=BH．∵EH⊥AB，EG⊥CD，∴AB=2BH，CD=2CG．∴AB=CD．（3）连接OE，在Rt△CEG中，CG==，∴OC=+1．同理：OB=+1．∵OG=EG，∠OGE=90°，∴∠EOG=∠OEG=45°．又∵∠OCE=30°，∴∠OEC=180°﹣∠EOG﹣∠OCE=105°．同理：∠OEB=105°．∴∠OEB+∠OEC=210°．∴S阴影=﹣×（+1）×1×2=﹣﹣1．点评：此题考查了切线的判定、三角函数、勾股定理以及扇形的面积．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．21．（12分）（2022•福州质检）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，DE=2，线段DE 在AC边上运动（端点D从点A开始），速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．（1）求证：四边形MFCN是矩形；（2）设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；（3）在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值．考点：相似形综合题专题：压轴题．分析：（1）根据平行线的性质可以证得四边形MFCN的三个角是直角，则可以证得是矩形；（2）利用t表示出MN、MF的长，然后根据S=S△MDE+S△MNE=DE•MF+MN•MF即可得到关于t的函数，利用函数的性质即可求解；（3）当△NME∽△DEM时利用相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值；当△EMN∽△DEM时，根据相似三角形的对应边的比相等可以得到=即EM2=NM•DE．然后在Rt△MEF中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求解．解答：解：（1）证明：∵MF⊥AC，∴∠MFC=90°．∵MN∥AC，∴∠MFC+∠FMN=180°．∴∠FMN=90°．∵∠C=90°，∴四边形MFCN是矩形．（2）解：当运动时间为t秒时，AD=t，∵F为DE的中点，DE=2，∴DF=EF=DE=1．∴AF=t+1，FC=8﹣（t+1）=7﹣t．∵四边形MFCN是矩形，∴MN=FC=7﹣t．又∵AC=BC，∠C=90°，∴∠A=45°．∴在Rt△AMF中，MF=AF=t+1，∴S=S△MDE+S△MNE=DE•MF+MN•MF=×2（t+1）+（7﹣t）（t+1）=﹣t2+4t+∵S=﹣t2+4t+=﹣（t﹣4）2+∴当t=4时，S有最大值．（3）∵MN∥AC，∴∠NME=∠DEM．①当△NME∽△DEM时，∴=．∴=1，解得：t=5．②当△EMN∽△DEM时，∴=．∴EM2=NM•DE．在Rt△MEF中，ME2=EF2+MF2=1+（t+1）2，∴1+（t+1）2=2（7﹣t）．解得：t1=2，t2=﹣6（不合题意，舍去）综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．点评：本题考查了矩形的判定，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，正确分情况讨论是关键．22．（14分）（2022•福州质检）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、BC．（1）求抛物线解析式；（2）BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；（3）若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．考点：二次函数综合题分析：（1）将A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）中，列方程组求a、b、c的值即可；（2）如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x 轴于F．可得△BMF∽△BCO，根据相似三角形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理可求直线DE上两点M、N的坐标，再根据待定系数法可求直线DE的解析式；（3）①如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G（，2），以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P1，以N为圆心，NB长为半径的⊙N与⊙G关于直线BC 对称，⊙N交抛物线对称轴于点P2，从而确定P点坐标．解答：解：（1）由题意，得：解得：．故这个抛物线的解析式为y=x2﹣x+2．（2）解法一：如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．∴△BMF∽△BCO，∴===．∵B（4，0），C（0，2），∴CO=2，BO=4，∴MF=1，BF=2，∴M（2，1）…（5分）∵MN是BC的垂直平分线，∴CN=BN，设ON=x，则CN=BN=4﹣x，在Rt△OCN中，CN2=OC2+ON2，∴（4﹣x）2=22+x2，解得：x=，∴N（，0）．设直线DE的解析式为y=kx+b，依题意，得：，解得：．∴直线DE的解析式为y=2x﹣3．解法二：如图2，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点C作CF∥x轴交DE于F．∵MN是BC的垂直平分线，∴CN=BN，CM=BM．设ON=x，则CN=BN=4﹣x，在Rt△OCN中，CN2=OC2+ON2，∴（4﹣x）2=22+x2，解得：x=，∴N（，0）．∴BN=4﹣=．∵CF∥x轴，∴∠CFM=∠BNM．∵∠CMF=∠BMN，∴△CMF≌△BMN．∴CF=BN．∴F（，2）．设直线DE的解析式为y=kx+b，依题意，得：，解得：．∴直线DE的解析式为y=2x﹣3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=x2﹣x+2，∴它的对称轴为直线x=．①如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G（，2），以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P1，则∠CP1B=∠CAB．GA=，∴点P1的坐标为（，﹣）．②如图4，由（2）得：BN=，∴BN=BG，∴G、N关于直线BC对称．∴以N为圆心，NB长为半径的⊙N与⊙G关于直线BC对称．⊙N交抛物线对称轴于点P2，则∠CP2B=∠CAB．设对称轴与x轴交于点H，则NH=﹣=1．∴HP2==，∴点P2的坐标为（，）．综上所述，当P点的坐标为（，﹣）或（，）时，∠CPB=∠CAB．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件由待定系数法求函数解析式，以及相似三角形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理的运用，综合性较强，有一定的难度．。

2022年福建省福州市中考数学二检试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）在实数，，0，1中，最大的数是（）A．B．C．0D．12．（4分）氢被认为是21世纪理想的清洁能源，在助力北京2022年冬奥会实现碳中和目标的过程中扮演了重要角色．北京和延庆两大赛区，312辆氢燃料电池汽车自2月4日到2月14日，累计用氢约42040kg．将数据42040用科学记数法表示，其结果是（）A．42.04×103B．42.04×104C．4.204×104D．4.204×105 3．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正七边形4．（4分）在以下关于某射击运动员射击环数的统计量中，能反映该运动员射击成绩稳定情况的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差5．（4分）某几何体的主视图是矩形，则这个几何体可能是（）A．三棱锥B．圆锥C．圆柱D．球6．（4分）计算（1﹣）0的结果为（）A．0B．1C．2D．﹣17．（4分）如图，在⊙O中，点C在上，，若∠BOD＝114°，则∠ACD的大小是（）A．114°B．66°C．57°D．52°8．（4分）已知双曲线与直线y＝kx+b（k≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．若x1+x2＝0，则y1+y2的值是（）A．0B．正数C．负数D．随k的变化而变化9．（4分）根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“************”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，得余数4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界环境日（6月5日）是（）A．星期一B．星期二C．星期四D．星期六10．（4分）已知函数y1＝3x+1，y2＝ax（a为常数），当x＞0时，y1＞y2，则a的取值范围是（）A．a≥3B．a≤3C．a＞3D．a＜3二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）计算：﹣1﹣2＝．12．（4分）某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果都是正面朝上，则他第11次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率是．13．（4分）在半径为6的圆中，150°的圆心角所对的弧长是．14．（4分）若m﹣n2＝0，则m+2n的最小值是．15．（4分）将抛物线y＝x2沿直线y＝3x方向移动个单位长度，若移动后抛物线的顶点在第一象限，则移动后抛物线的解析式是．16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，角平分线AD，BE交于点M．现给出以下结论：①∠AMB＝120°；②ME＝MD；③AE+BD＝AB；④点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解不等式组：．18．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在CD上，若DF＝CE．求证：∠DAF＝∠CBE．19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．20．（8分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家的喜爱．奥林匹克官方旗舰店有出售“冰墩墩”和“雪容融”的手办玩具和摆件，玩具A和摆件B是其中的两款产品．据了解，购买2个玩具A和3个摆件B用了410元，购买3个玩具A和2个摆件B用了420元．求每个玩具A和每个摆件B的价格．21．（8分）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAD+∠ACB＝90°．O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O．求证：AB为⊙O的切线．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为底作等腰三角形BCD，且∠ABD＝90°，直线l⊥BC，垂足为B．（1）在直线l上确定一点E，使得△ABE是以AB为底的等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的情况下，连接DE交AB于点F，求证：F是DE的中点．23．（10分）某学校计划对九年级学生的综合实践能力进行测评，从该年级学生中随机抽取100名进行测评，将得分最高的分数折算为10分，最低的分数折算为5分，其余分数按某函数关系折算得到对应的折算分数，再将这100名学生对应的折算分数整理成如下统计表．折算分数x（单位：分）频数5≤x＜666≤x＜7197≤x＜8a8≤x＜9319≤x≤1023（1）从这100个折算分数中随机抽取一个折算分数，估计抽取到的折算分数x满足7≤x ＜8的概率；（2）若该校以这100名学生的情况对该年级综合实践能力进行评价，将折算分数不低于7分的学生成绩记为合格，当合格率不少于70%，且合格学生的平均折算分数超过8分时，认定该年级综合实践能力优秀．请用统计的知识估计该年级综合实践能力是否可以认定为优秀．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D，E分别是边BA，BC的中点，连接DE．将△BDE绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△BFG，点D的对应点是点F，连接AF，CG．（1）求证：∠BFA＝∠BGC；（2）若∠BFA＝90°，求sin∠CBF的值．25．（14分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1﹣m，0），B（1+m，0）．点A在点B的左侧，且与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）已知D为该抛物线的顶点，E为抛物线第四象限上一点，若过点E的直线l与直线BD关于直线y＝﹣x对称．①求点E的坐标；②直线y＝2kx+k﹣（k＞0）与这条抛物线交于点M，N，连接ME，NE，判断ME，NE，MN之间的数量关系，并说明理由．2022年福建省福州市中考数学二检试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）在实数，，0，1中，最大的数是（）A．B．C．0D．1【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．【解答】解：∵﹣﹣＜0＜1，∴最大的数是1，故选：D．【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2．（4分）氢被认为是21世纪理想的清洁能源，在助力北京2022年冬奥会实现碳中和目标的过程中扮演了重要角色．北京和延庆两大赛区，312辆氢燃料电池汽车自2月4日到2月14日，累计用氢约42040kg．将数据42040用科学记数法表示，其结果是（）A．42.04×103B．42.04×104C．4.204×104D．4.204×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：42040＝4.204×104．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正七边形【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：等边三角形、正五边形、正七边形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，正方形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（4分）在以下关于某射击运动员射击环数的统计量中，能反映该运动员射击成绩稳定情况的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的意义判断即可．【解答】解：平均数、中位数及众数是反映数据集中趋势的量，方差是反映稳定情况的量，故选：D．【点评】考查了统计量的选择，解题的关键是了解各种统计量的意义，难度不大．5．（4分）某几何体的主视图是矩形，则这个几何体可能是（）A．三棱锥B．圆锥C．圆柱D．球【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形．某几何体的主视图是矩形，结合选项易判断这个几何体可能是圆柱．【解答】解：某几何体的主视图是矩形，则这个几何体可能是圆柱．故选：C．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．6．（4分）计算（1﹣）0的结果为（）A．0B．1C．2D．﹣1【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案．【解答】解：（1﹣）0＝1，故选：B．【点评】本题考查了零指数幂，非零的零次幂等于1是解题关键．7．（4分）如图，在⊙O中，点C在上，，若∠BOD＝114°，则∠ACD的大小是（）A．114°B．66°C．57°D．52°【分析】连接BC，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，先求出∠BCD 的度数，再利用等弧所对的圆周角相等，即可解答．【解答】解：连接BC，∵∠BOD＝114°，∴∠BCD＝∠BOD＝57°，∵，∴∠ACD＝∠BCD＝57°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．8．（4分）已知双曲线与直线y＝kx+b（k≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．若x1+x2＝0，则y1+y2的值是（）A．0B．正数C．负数D．随k的变化而变化【分析】由题意得方程kx2+bx﹣1＝0的两个根为x1，x2，根据根与系数的关系以及x1+x2＝0，即可判断A、B关于原点对称，从而得出y1+y2＝0．【解答】解：由题意得方程kx2+bx﹣1＝0的两个根为x1，x2．∴x1+x2＝﹣，∵x1+x2＝0，∴﹣＝0，即b＝0，∴直线为y＝kx，∵双曲线与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于原点对称，∴y1+y2＝0，故选：A．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，把函数问题转化成一元二次方程的问题是解题的关键．9．（4分）根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“************”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，得余数4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界环境日（6月5日）是（）A．星期一B．星期二C．星期四D．星期六【分析】根据题意得出6月5日对应第六个数字4，将数字4加上日期5，和为9，用9除以7求出商和余数，再根据余数即可求解．【解答】解：依题意得：6月5日对应第六个数字4，将数字4加上日期5，和为9，9÷7＝1……2，故2035年的世界环境日（6月5日）是星期二．故选：B．【点评】本题考查了推理与论证，关键是求出6月5日对应第六个数字4．10．（4分）已知函数y1＝3x+1，y2＝ax（a为常数），当x＞0时，y1＞y2，则a的取值范围是（）A．a≥3B．a≤3C．a＞3D．a＜3【分析】根据题意和不等式的性质，可以得到a的取值范围．【解答】解：∵y1＝3x+1，y2＝ax，∴y1＞y2，则3x+1＞ax，可得（3﹣a）x＞﹣1，∵当x＞0时，y1＞y2，∴3﹣a≥0，解得a≤3，故选：B．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确一次函数的性质和解不等式的方法．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）计算：﹣1﹣2＝﹣3．【分析】根据有理数的减法运算法则，减去一个是等于加上这个数的相反数进行计算．【解答】解：﹣1﹣2＝﹣1+（﹣2）＝﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个是等于加上这个数的相反数是解题的关键．12．（4分）某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果都是正面朝上，则他第11次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率是．【分析】利用概率的意义直接得出答案．【解答】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第11次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．13．（4分）在半径为6的圆中，150°的圆心角所对的弧长是5π．【分析】利用弧长公式计算即可．【解答】解：弧长＝＝5π，故答案为：5π．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝，属于中考常考题型．14．（4分）若m﹣n2＝0，则m+2n的最小值是﹣1．【分析】根据m﹣n2＝0，可以得到m＝n2，然后代入所求式子，再将式子配方，即可得到所求式子的最小值．【解答】解：∵m﹣n2＝0，∴m＝n2，∴m+2n＝n2+2n＝（n+1）2﹣1≥﹣1，∴m+2n的最小值是﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是将所求式子写成二次函数顶点式的形式．15．（4分）将抛物线y＝x2沿直线y＝3x方向移动个单位长度，若移动后抛物线的顶点在第一象限，则移动后抛物线的解析式是y＝（x﹣1）2+3．【分析】设移动后的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+k，再根据移动的距离和勾股定理列出方程可得答案．【解答】解：设移动后的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+k，∵移动距离是，移动后抛物线的顶点在第一象限，∴k＝3h，∴h2+（3h）2＝（）2，解得h＝1，k＝3h＝3，∴移动后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，故答案为：y＝（x﹣1）2+3．【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，应用勾股定理得到移动后顶点的坐标是解题关键．16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，角平分线AD，BE交于点M．现给出以下结论：①∠AMB＝120°；②ME＝MD；③AE+BD＝AB；④点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上．其中正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA＝60°，推出∠AMB＝120°．②正确，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理解决问题；③正确．在AB上取一点T，使得AT＝AE，利用全等三角形的性质证明BD＝BT，可得结论；④错误，无法判断∠M′与∠ABC互补．【解答】解：如图，∵∠C＝60°，∴∠CAB+∠CBA＝120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝60°，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝120°，故①正确，∵∠EMD＝∠AMB＝120°，∴∠EMD+∠ECD＝180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE＝∠MCD，∴＝，∴EM＝DM，故②正确，在AB上取一点T，使得AT＝AE，在△AME和△AMT中，，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME＝∠AMT＝60°，EM＝MT，∴∠BMD＝∠BMT＝60°，MT＝MD，在△BMD和△BMT中，，∴△BMD≌△BMT，∴BD＝BT，∴AB＝AT+TB＝AE+BD，故③正确，∵M，M′关于AC对称，∴∠M′＝∠AMC，∵∠AMC＝90°+∠ABC，∴∠M′与∠ABC不一定互补，∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故④错误，故答案为：①②③．【点评】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x＞1，解不等式②，得：x≤4，则不等式组的解集为1＜x≤4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在CD上，若DF＝CE．求证：∠DAF＝∠CBE．【分析】求出DF＝CE，根据矩形的性质得出AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，根据全等三角形的判定定理得出△DAF≌△CBE，再根据全等三角形的性质定理得出即可．【解答】证明：∵DE＝CF，∴DE+EF＝CF+EF，即DF＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，在△DAF和△CBE中，，∴△DAF≌△CBE（SAS），∴∠DAF＝∠CBE．【点评】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质定理，能熟记矩形的对边相等和矩形的每一个角都是直角是解此题的关键．19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝，当x＝+1时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（8分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家的喜爱．奥林匹克官方旗舰店有出售“冰墩墩”和“雪容融”的手办玩具和摆件，玩具A和摆件B是其中的两款产品．据了解，购买2个玩具A和3个摆件B用了410元，购买3个玩具A和2个摆件B用了420元．求每个玩具A和每个摆件B的价格．【分析】设每个玩具A的价格为x元，每个摆件B的价格为y元，由题意：购买2个玩具A和3个摆件B用了410元，购买3个玩具A和2个摆件B用了420元．列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设每个玩具A的价格为x元，每个摆件B的价格为y元，由题意得：，解得：，答：每个玩具A的价格为88元，每个摆件B的价格为78元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．21．（8分）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAD+∠ACB＝90°．O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O．求证：AB为⊙O的切线．【分析】连接BO，并延长BO交CD于E，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，根据平行线的性质得到∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA，∠ABE＝∠BEC，根据垂直的定义得到OB⊥AB，于是得到AB为⊙O的切线．【解答】证明：连接BO，并延长BO交CD于E，∵O在BC垂直平分线上，∴OB＝OC，∴OB是⊙O的半径，∠ACB＝∠CBE，∵AC是▱ABCD的对角线，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA，∠ABE＝∠BEC，∵∠BAD+∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠DAC+∠ACB＝90°，∴∠DCA+∠BCA+∠CBE＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BEC＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE＝90°，∴OB⊥AB，∴AB为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为底作等腰三角形BCD，且∠ABD＝90°，直线l⊥BC，垂足为B．（1）在直线l上确定一点E，使得△ABE是以AB为底的等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的情况下，连接DE交AB于点F，求证：F是DE的中点．【分析】（1）作AB的垂直平分线交直线l于E点，则△ABE是以AB为底的等腰三角形；（2）AB的垂直平分线交AB于H，连接CH、DH，如图，根据斜边上的中线性质得HB ＝HC，而DB＝DC，则可判断DH垂直平分BC，所以BE⊥BC，所以DH∥BE，接着证明BD∥EH，则可判断四边形BEHD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到结论．【解答】（1）解：如图，点E为所作；、（2）证明：AB的垂直平分线交AB于H，连接CH、DH，如图，∵H点为斜边AB的中点，∴HB＝HC，∵△BCD为等腰三角形，∴DB＝DC，∴DH垂直平分BC，∵BE⊥BC，∴DH∥BE，∵∠DBA＝90°，EH⊥AB，∴BD∥EH，∴四边形BEHD为平行四边形，∴F点为DE的中点．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．23．（10分）某学校计划对九年级学生的综合实践能力进行测评，从该年级学生中随机抽取100名进行测评，将得分最高的分数折算为10分，最低的分数折算为5分，其余分数按某函数关系折算得到对应的折算分数，再将这100名学生对应的折算分数整理成如下统计表．折算分数x（单位：分）频数5≤x＜666≤x＜7197≤x＜8a8≤x＜9319≤x≤1023（1）从这100个折算分数中随机抽取一个折算分数，估计抽取到的折算分数x满足7≤x ＜8的概率；（2）若该校以这100名学生的情况对该年级综合实践能力进行评价，将折算分数不低于7分的学生成绩记为合格，当合格率不少于70%，且合格学生的平均折算分数超过8分时，认定该年级综合实践能力优秀．请用统计的知识估计该年级综合实践能力是否可以认定为优秀．【分析】（1）先根据各组频数之和等于数据总数求出a的值，再根据概率公式即可求解；（2）求出样本合格率，以及合格学生的平均分，即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，a＝100﹣（6+19+31+23）＝21，则抽取到的折算分数x满足7≤x＜8的概率为；（2）样本合格率为×100%＝75%＞70%，解法1：合格学生的平均折算分＝＝＞8，解法2：合格学生的平均折算分＞＝＞8，解法3：合格学生的平均分为≈8.53＞8，故估计该年级综合实践能力可以认定为优秀．【点评】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了合格率，平均数．掌握定义与公式是解题的关键．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D，E分别是边BA，BC的中点，连接DE．将△BDE绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△BFG，点D的对应点是点F，连接AF，CG．（1）求证：∠BFA＝∠BGC；（2）若∠BFA＝90°，求sin∠CBF的值．【分析】（1）通过证明△CBG∽△ABF，可得结论；（2）通过证明△AFN∽△BFH，可得AN＝BH，FN＝FH，设BH＝（2﹣）x，FH＝（2+1）x，由勾股定理可求BF的长，即可求解．【解答】（1）证明：∵D，E分别是边BA，BC的中点，∴DE∥AC，BD＝AB，∴∠BED＝∠BCA＝90°，∴cos∠ABC＝，∵将△BDE绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△BFG，∴BE＝BG，BD＝BF，∠DBE＝∠FBG，∴，∠ABF＝∠CBG，∴△CBG∽△ABF，∴∠BFA＝∠BGC；（2）解：如图，过点F作FN⊥CA，交CA的延长线于点N，FN⊥BC于H，∵∠AFB＝90°，∴sin∠BAF＝＝，∴∠BAF＝30°，∴AF＝BF，∵∠AFB＝∠C＝90°，∴∠FAC+∠CBF＝180°，又∵∠FAC+∠FAN＝180°，∴∠FAN＝∠CBF，又∵∠FHB＝∠N＝90°，∴△AFN∽△BFH，∴＝＝，∴AN＝BH，FN＝FH，∵FN⊥AC，FH⊥BC，∠C＝90°，∴四边形FNCH是矩形，∴CN＝FH，CH＝FN，∴BC﹣BH＝FN，AC+AN＝FH，∴2AC﹣BH＝FH，AC+BH＝FH，∴＝，∴设BH＝（2﹣）x，FH＝（2+1）x，∴BF＝2x，∴sin∠CBF＝＝＝．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．25．（14分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1﹣m，0），B（1+m，0）．点A在点B的左侧，且与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）已知D为该抛物线的顶点，E为抛物线第四象限上一点，若过点E的直线l与直线BD关于直线y＝﹣x对称．①求点E的坐标；②直线y＝2kx+k﹣（k＞0）与这条抛物线交于点M，N，连接ME，NE，判断ME，NE，MN之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）可求得抛物线的对称轴，从而求得b，根据点C坐标求得c；（2）①求得BD关于y＝﹣x的两个对称点：点B的对称点，BD与y＝﹣x的交点，进而求得直线l的解析式，进一步求得结果；②将抛物线的解析式和MN的解析式联立得出一元二次方程，根据根与系数的关系得出两个之和和两根的积，进而就算k ME•k NE＝﹣1，进而得出结果．【解答】解：（1）∵对称轴x＝﹣＝得，b＝﹣2，∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴这条抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，①设BD和CE的交点为F，∵点B（3，0）关于直线y＝﹣x的对称点是C（0，﹣3），∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∴，∴，∴y＝2x﹣6，由2x﹣6＝﹣x得，x＝2，当x＝2时，y＝﹣x＝﹣2，∴F（2，﹣2），∴直线CE的解析式为：y＝，由x2﹣2x﹣3＝得，∴x1＝0（舍去），x2＝，当x＝时，y＝×﹣3＝﹣，∴E（，﹣）；②ME2+NE2＝MN2，理由如下：（方法一）先证明：在坐标系中，直线y1＝kx+b与直线y2＝mx+n，当k•m＝﹣1，则y1⊥y2，如图，将y1＝kx+b和y2＝﹣x+n平移到l1和l2，取P（1，﹣），Q（﹣1，﹣k），∴OH＝1，QH＝﹣k，OG＝1，PG＝﹣，∵＝﹣k，∠QHO＝∠PGO＝90°，∴△QHO∽△OGP，∴∠HQO＝∠POG，∵∠HQO+∠QOH＝90°，∴∠POG+∠QOH＝90°，∴∠POQ＝90°，∴上述命题得证，由得，x2﹣（2k+2）x﹣（k+）＝0，∴x1+x2＝2k+2，x1•x2＝﹣（k+），∴y1+y2＝2k•x1+2k﹣+2k•x2+2k﹣＝4k2+6k﹣，y1•y2＝（2k•x1+2k﹣）•（2k•x2+2k﹣）＝4k2•x1•x2+2k•（k﹣）•（x1+x2）+（k﹣）2＝4k2•（k+）+2k•（2k+2）•（k﹣）+（k﹣）2，＝﹣7k2﹣k+，∵（y1+）•（y2+）+（x1﹣）（x2﹣）＝y1•y2+（y1+y2）++x1•x2+（x1+x2）+＝﹣7k2﹣k++（4k2+6k﹣）﹣（k+）+•（2k+2）+＝0，∴＝﹣1，∴k ME•k NE＝﹣1，∴ME⊥NE，∴ME2+NE2＝MN2，方法（二）如图，过点E作GH∥x轴，作MG⊥EH于G，作NH⊥EG于H，∴NH＝y2+，EH＝x2﹣，EG＝﹣x1，MG＝y1+，∴NH•MG﹣EG•EH＝（y2+）•（y1+）﹣（x2﹣）•（﹣x1）＝（y1•y2+（y1+y2）++（x1•x2）﹣（x1+x2）+∵x1+x2＝2k+2，x1•x2＝﹣（k+），y1+y2＝4k2+6k﹣，y1•y2＝﹣7k2﹣k+，∴NH•MG﹣EG•EH＝（﹣7k2﹣k+）+（4k2+6k﹣）+﹣（k+）﹣（2k+2）+＝0，∴NH•MG＝EG•EH，∴，∵∠H＝∠G＝90°，∴△NHE∽△EGM，∴∠NEH＝∠GME，∵∠GME+∠MEG＝90°，∴∠NEH+∠MEG＝90°，∴∠MEN＝90°，∴ME2+NE2＝MN2．【点评】本题考查了求一次函数的解析式、二次函数的解析式，求两个函数图象的交点，一元二次方程根与系数关系等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．。

福建省福州市2022届数学高二(下)期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。

丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．若x ，y 满足约束条件22420x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．-2B ．-1C ．2D ．43．25(2)x x +-的展开式中含3x 项的系数为（ ） A ．-160B ．-120C ．40D ．2004．若x∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c5．下列命题错误的是A ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 平行B ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 异面C ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 垂直D ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 相交6．若曲线2y x mx n =++在点（0，n ）处的切线方程x-y+1=0，则（ ） A ．m 1=，n 1= B ．1m =-，n 1= C ．m 1=，n 1=-D ．m 1=-，n 1=-7．若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．13a ≤≤ B ．13a ≤≤－ C ．33a ≤≤－ D ．11a ≤≤－8．已知函数()ln f x x =，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ） A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +< D12+>9．下列推理是归纳推理的是（ ）A ．A ，B 为定点，动点P 满足2PA PB a AB +=>，得P 的轨迹为椭圆. B ．由11a =，31n a n =-，求出1S ，2S ，3S ，猜想出数列的前n 项和n S 的表达式.C ．由圆222x y r +=的面积2r π，猜出椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=.D ．科学家利用鸟类的飞行原理制造飞机.10．在极坐标系中，O 为极点，曲线2cos 1ρθ=与3πθ=射线的交点为A ，则OA =（ ）A ．2B ．2C ．12D ．2211．已知函数()y f x =是可导函数，且()'12f =，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆-=∆( )A ．12B ．2C ．1D ．1-12．下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．cos y x =二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知等比数列{}n a 中，有135a a +=，1534a a a =，数列{}n b 前n 项和为n S ，11b a =且4(1)n n S m b =+-则n b =_______．14．函数()x f x a b =+()0,1,a a b R >≠∈的图象如图所示，则+a b 的取值范围是__________．15．在6(2x x+二项式展开式中，第五项为________. 16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”外接球表面积为________三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的22⨯列联表，已知在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为1249. 认为作业量大认为作业量不大 合计 男生 18 女生 17 合计50（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？（Ⅲ）若视频率为概率，在全校随机抽取4人，其中“认为作业量大”的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望. 附表：20()P K k ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k2.7063.8415.0246.63510.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++18．设函数()ln (1)x f x x a x e =--，其中a R ∈. （Ⅰ）若0a ≤，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e<<， （i ）证明()f x 恰有两个零点（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->.19．（6分）某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生. 由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队. （Ⅰ）求1班至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）设X 表示代表队中男生的人数，求X 的分布列和期望.20．（6分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据,求出y 关于x 的线性回归方程ˆybx a =+； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?（参考公式: ()()()1122211n ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-）参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16=112513*********⨯+⨯+⨯+⨯=1092，112+132+122+82=498. 21．（6分）甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团，游戏规则为： ①先将一个圆8等分（如图），再将8个等分点12345678,,,,,,,A A A A A A A A ，分别标注在8个相同的小球上，并将这8个小球放入一个不透明的盒子里，每个人从盒内随机摸出两个小球、然后用摸出的两个小球上标注的分点与圆心O 构造三角形.若能构成直角三角形，则两个社团都参加；若能构成锐角三角形，则只参加美术社团；若能构成钝角三角形，则只参加音乐社团；若不能构成三角形，则两个社团都不参加. ②前一个同学摸出两个小球记录下结果后，把两个小球都放回盒内，下一位同学再从盒中随机摸取两个小球．（1）求甲能参加音乐社团的概率；（2）记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差22．（8分）某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为34；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为45.每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额（元）10001002003000（1）求每台仪器能出厂的概率；（2）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；（3）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．C【解析】【分析】通过假设法来进行判断。

2022年福建省福州市小升初数学必刷经典应用题测试二卷含答案及解析姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选150道题；要求一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目的意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用楷书，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版；四、π一律取值3.14。

)1.舞蹈队有6个男生和4个女生，一对一搭配跳双人舞?共有几种搭配方案?2.一批货物有200吨，第一次运走20%，第二次运走25%，剩下的货物占这批货物的多少%．3.为庆祝儿童节，实验小学组织了大型团体操表演．参加表演的学生每行站80人，可以站50行．变换队形后，变成了40行，此时每行多少人？4.甲、乙两辆汽车从相距650千米的A、B两地同时出发相向而行，经过5小时相遇，已知甲车每小时行70千米，则乙车每小时行多少千米？5.一只小船逆流而行，一顶小红帽从船上落入水中被发现时，小红帽一遇校船相距600米，已知小船在静水中的速度是每分钟120米，水流的速度是每分钟20米，问小船掉头后需要多少分时间可追溯到小红帽？6.两辆汽车从相距600千米的两地同时相向开出，已知小汽车的速度是卡车的1.25倍，行驶3小时后，两车还相距60千米，求两车的速度．（用方程解）7.一块地，种白菜用去它的4/15，种萝卜用去它的7/15，其余的种青菜．种青菜用去这块地的几分之几？8.一桶油连桶的质量是31.6千克，卖出一半后，连桶的质量是16.2千克．请算一算，油的质量是多少千克？桶的质量是多少千克？9.一个底面积为51平方分米的长方体鱼缸里放了一个假山石，水面上升了3cm．这个假山石的体积是多少立方分米．10.化肥厂去年下半年生产化肥600吨，比上半年的3倍少60吨．去年全年共生产化肥多少吨？11.一个长方体底面积是25平方厘米，体积是200立方厘米，高是多少厘米．12.食堂运来8筐青菜，每筐重12千克．吃掉26千克后，还剩多少千克？13.养鸡场原来长60米，宽50米．现准备将养鸡场的长缩短20米，宽缩短10米，养鸡场缩小了多少平方米？14.一桶油两天卖完．第一天卖了36%，第二天卖了32千克．这桶油多少千克？15.小麦的出粉率是85%，500千克小麦可以磨面粉多少千克？磨面粉340千克，需要小麦多少千克？16.一辆汽车上午行了224.6千米，下午行了2.5小时，平均每小时行64千米．求这辆汽车一天共行了多少千米？17.师徒两人共加工零件156个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用8分钟，师傅和徒弟分别加工了多少个？18.甲、乙两车同时从相距1120千米的甲乙两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行48千米，经过几小时两车相距202千米？19.建筑工地要运122吨水泥，用一辆载重4吨的汽车运了18次后，余下的用一辆载重2.5吨的汽车运，还要运多少次？20.商店里进香蕉24箱，桔子比香蕉的3倍多10箱，两种水果共进多少箱？（用两种方法做）21.一个长方形的周长是64厘米，长与宽的比是5：3，这个长方形的面积是多少平方厘米．22.甲、乙两艘轮船从相距680千米的两个港口相对而行，甲船出发1小时后乙船才开始航行。

2023年福建省福州市鼓楼区重点中学中考数学二检试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. −2的相反数是( )A. 2B. −2C. −12D. 122. 从福州市电子商务中心获悉，近年来电子商务产业蓬勃发展截止到2023年3月，我市电商从业人员已达8730000人，数字8730000可用科学记数法表示为( )A. 8.73×103B. 87.3×104C. 8.73×106D. 0.873×1063. 直线y=2x−4与x轴的交点坐标为( )A. (2,0)B. (0,2)C. (−2,0)D. (0,−2)4.将一副三角板(厚度不计)如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的角度为( )A. 100°B. 105°C. 110°D. 120°5.如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的三视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. 主视图和俯视图B. 俯视图C. 俯视图和左视图D. 主视图6.如图，在△ABC中，D为AC上一点，把△DBC沿BD折叠，使点C落在AC上的点E处，则BD是( )A. 中线B. 高线C. 角平分线D. 对角线7. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数.设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为( )A. 100x=150(x+5)B. 100(x−5)=150xC. 100x =150x+5D. 100x−5=150x8.如图所示，△ABC的三个顶点分别为A(2,3)，B(4,3)，C(4,5)，若反比例函数y=kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是( )A. 6≤k≤12B. 6≤k≤20C. 12≤k≤20D. k≤209.“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6)，是采用“三分损益法”通过数学方法获得.现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是( )A. 125B. 120C. 110D. 1510. 已知二次函数y=mx2−4m2x−3(m为常数，m≠0)，点P(x p,y p)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤−3，则m的取值范围是( )A. m≥1或m<0B. m≥1C. m≤−1或m>0D. m≤−1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 计算(3−π)0=______．12.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD=2：3，则△ABC与△DEF的周长比是______．13. 已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为______ ．14. 已知直线y 1=x−1与y 2=kx +b 相交于点(2,1).当x >2时，y 1>y 2，请写出一个满足条件的b 的值______ (写出一个即可)．15.如图，在正五边形ABCDE 中，BF ⊥DE 于点D ，连接BD ，则∠DBF 的度数为______ ．16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB边相交于点D 、E .若DE =CD +BE ，则线段CD 的长为 ．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。

2022年福建省福州市高考数学质检试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若复数z满足z（1﹣i）＝4i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知A（−√3，0），B（√3，0），C（0，3），则△ABC外接圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝2B．（x﹣1）2+y2＝4C．x2+（y﹣1）2＝2D．x2+（y﹣1）2＝43．（5分）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，如图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：则下列结论中不正确的是（）A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上C．这一星期内甲的日步数的平均值大于乙D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙4．（5分）“0＜a＜b”是“a−1a＜b−1b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知P是半径为3cm的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向做圆周运动，角速度为π2rad /s ．如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy ，若∠P 0Ox =π3，则点P 的纵坐标y 关于时间t （单位：s ）的函数关系式为（ ）A ．y ＝3sin （4t +π3） B ．y ＝3sin （π2t +π3）C ．y ＝3sin （4t −π3）D ．y ＝3sin （π2t −π3）6．（5分）从集合{1，2，3}的非空子集中任取两个不同的集合A 和B ，若A ∩B ≠∅，则不同的取法共有（ ） A ．42种B ．36种C ．30种D ．15种7．（5分）已知平面向量a →，b →，c →均为单位向量，且|a →−b →|＝1，则（a →−b →）•（b →−c →）的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．328．（5分）折纸是我国民间的一种传统手工艺术．现有一张长10cm 、宽8cm 的长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S 1，S 2．若S 1：S 2＝1：3，则折痕长的最大值为（ ） A ．√89cmB ．10cmC ．2√29cmD ．2√34cm二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年5月福州市高三二模数学一、单选题1.已知集合A={2,3,4}，B={1,3,4,5}，全集U=AUB，则GA=()A.{2}B.{15}C.{2,3,4}D.{1,3,4,5}2.设复数z满足(1-i)z=3+i，则复平面内与z对应的点位于()A.第一限B.第二限C.第三限D.第四象限3.已知向量a，b为单位向量，且alb，则b4a-3b=()A.-3B.3C.-5D.54.某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音(如图)，已知噪音的声波曲线y=Asin(ox+φ)(其中A>0，@>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为π，初相为一，则用来降噪的声波曲线的解析式为()噪音的声波曲线用来降噪的声波曲线两者叠加后A.y=sin2xB.y=cos2xC.y=-sin2xD.y=-cos2x5.已知函数f(x)-COS，以下结论中错误的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)有无数个零点c.(x)的最小值为一2D.f(x)的最大值为16.在底面半径为1的圆柱00中，过旋转轴O0作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是BC的中点，F是AB的中点，则()A.AE=CF，AC与EF是共面直线B.AE≠CF，AC与EF是共面直线C.AE=CF，AC与EF是异而直线D.AE≠CF，AC与EF是异面直线7.定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=2-f(x)若f(x)的图象关于直线x=3对称，则下列选项中一定成立的是()A.f(-3)=1B.f(0)=0c.f(3)=2D.f(5)=-18.已知数列a，{b的通项分别为a=2n，b=2"+1，现将{a}和{b}中所有的项，按从小到大的顺序排成数列{c}，则满足g+cz+c;+…+c_>20c的n的最小值为()A.2 1B.38C.43D.44二、多选题9.若-1<a<b<0，则()B.a²+b²>2abC.a+b>2VabD.a+->bt言10.某质量指标的测量结果服从正态分布N(80)，则在一次测量中()A.该质量指标大于80的概率为0.5Bσ越大，该质量指标落在(7090)的概率越大C0与大100概率相等D.该质量指标落在(7590与落在(8095的概率相等11.已知抛物线y=2px(p>0)的准线为l，点M在抛物线上，以M 为圆心的圆与l相切于点N，点A(50)与抛物线的焦点F不重合，且MN=MA，ZNMA=120°，则()A.圆M的半径是4B.圆M与直线y=-1相切C.抛物线上的点P到点A的距离的最小值为4D，抛物线上的点P到点A，F的距离之和的最小值为4三、解答题12.一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫、6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件A表示“第k只出笼的猫是黑猫”，k=1,2,…10，则()A.P(44)-号B.P(4+4.)-3C.P(414)-3D.P(A014)=313.已知数列1a的各项均为正数，记s为a的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立①a₂=2a;②数列lna}是等差数列;③数列|S+a}是等比数列:注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。