2003年广州市初中数学青年教师解题比赛试题

一、填空题（请将答案填在答题卷指定的位置）【第1～6题每小题5分，第7～12题每小题10分，本大题共计90分】1． 将1~8－2．计算（答数用分数表示）：741301.103237.0409÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ＝ 。

3．甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈。

乙反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次。

求乙跑一圈所用的时间是 秒。

4．有一只小蚂蚁在一根弹性充分好的橡皮筋上的A 点，以每秒1厘米的速度向前爬行。

从小蚂蚁开始爬行的时候算起，橡皮筋在第2秒、第4秒、第6秒、第8秒、第10秒、……时均匀的伸长为原来的2倍。

那么，在第9秒时，这只小蚂蚁离A 点 厘米。

5．有一次考试共20题，记分方法是：做对第K 题得K （K ＝1、2、3、…、20）分；做错第K 题则倒扣K 分。

小华做了所有题，得分为100分。

那么小华至多做对了 题。

6．某工厂加工配套的机器零件要经过三道工序。

第一道工序平均每人每小时做20件，第二道工序平均每人每小时做16件，第三道工序平均每人每小时做24件。

现有1332名工人，要使各工序安排合理，那么，第一道工序应安排 名工人。

7．如右图是两个正方形，其边长分别为8cm 和4cm ，问：阴影部分的面积是 。

8．一列火车全长800米，行驶速度为每小时72千米。

铁路上有两个隧道，列车通过第一个隧道用了2分钟，通过第二个隧道用了3分钟，从车头进入第一个隧道到车尾离开第二个隧道共用了6分钟。

两个隧道之间的路程是 米。

9．两个盒子中各有12个大小一样的小球，且都是红、黄、绿色各4个。

闭上眼睛，然后先从第一盒中拿出尽可能少且至少有两个颜色一样的球放入第二个盒中，再从第二个盒中拿出尽可能少的球放入第一个盒中，要使第一个盒中每种颜色的球不少于3个，这时，第一个盒中有 个球，第二个盒中有 个球。

10．如右图是长、宽、高分别为5，4，3的立方体，把这个长方体从上向下切4刀，从左向右切2刀，从前向后切3刀（每个方向上切的几刀都是平行于侧面的，）问：（1）一共切成 个小长方体。

2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛试卷本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷.请将选择题和填空题地答案做在第3页地答卷上.全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题，共44分）一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确地答案代号填在第3页地答题卷上）1、a 是任意实数，下列判断一定正确地是（）. （A ）a a ->（B ）a a<2（C ）23a a >（D ）02≥a 2、已知集合},032|{},4|{22<--=<=x x x N x x M 则集合=⋂N M （ ）. （A ）}2|{-<x x （B ）}3|{>x x （C ）}21|{<<-x x （D ）}32|{<<x x 3、若二次函数2y ax bx c =++地图象如图所示，则点（a ＋b ，ac ）在（ ）. （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4、同圆地内接正十边形和外切正十边形地周长之比等于（ ）.（A ）cos18°（B ）sin18°（C ）cos36°（D ）sin36°5、用黑白两种颜色地正六边形地面砖按如下所示地规律，拼成若干个图案：则第8个图案中有白色地面砖（）块.(A)34(B)36(C)38(D)406、将正方形地四边四等分，包括顶点共有16个点，这16个点可得到地 直线条数是（ ）. (A)120 (B)84 (C)82 (D)807、如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°， 则∠BCO 等于（ ）.（A ）20° （B ）30° （C ）40° （D ）50°8、如果y x ,为实数，且,0)1(22=-+-y x x 则x 地取值范围是（）. (A)任意实数 (B)负实数(C)210≤<x (D)10≤≤x 9、方程012=-+x x 所有实数根地和等于（ ）.(A)1-(B)1 (C)0 (D)510、将四个完全相同地矩形（长是宽地3倍），用不同地方式拼成一个大矩形， 设拼得地大矩形面积是四个小矩形地面积和，则大矩形周长地值只可能是（ ）. (A)1种(B)2种(C)3种(D)4种 11、一次函数b ax x f +=)(（a 为整数）地图象经过点（98，19），它与x 轴 地交点为（p,0）,它与y 轴地交点为（0，q ）,若p 是质数，q 为正整数，则满 足条件地所有一次函数地个数为（）.(A)0 (B)1(C)2 (D)大于2地整数第II 卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在第三页地答题卷上） 12、函数x y lg =在定义域上是函数（填奇或偶）；在区间上是增加地.13、如图，有两个同心圆，大圆地弦AB 与小圆相切于点P ， 大圆地弦CD 经过点P ，且CD ＝13，PD ＝4，两圆组成地圆 环地面积是.14、已知t bac a c b c b a =+=+=+，那么直线t tx x f +=)(一定通过第象限. 15、已知上的点，为上的点，为内一定点，为ON B OM A MON P MON ∠=∠,400则当PAB ∆地周长取最小值时，的度数为APB ∠. 16、已知实数b a ,满足t b a ab t b ab a 那么且,,12222--==++地取值范围是OC B AD .ABCDO17、若c b a ,,为实数，且,2,0==++abc c b a 那么c b a ++地最小值可达到. 三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、（本题8分）若直线0=+-a y x 与圆122=+y x 相交，求实数a 地取值范围.19、（本题8分）菱形ABCD 地边AB=5，对角线BD=6，且AC 与BD 相 交于点O ，沿BD 折叠得四面体ABCD ，已知该四面体地体积等于8， 求二面角A-BD-C 地大小.20、（本题8分）设,0,12≠=++a a x x x求1242++x x x 地值.21、（本题8分）某商场计划销售一批运动衣后可获总利润12000元. 在进行市场调查后，为了促销降低了定价，使得每套运动衣少获利润10元，结果实际销售比计划增加了400套，总利润比计划多了4000元，问实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润多少元？22、（本题10分）已知任意三角形ABC,其面积为S. 作BC地平行线与1AB、AC分别交于D、E . 设三角形BDE地面积为M，求证：M≤S423、（本题11分）已知：如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝a厘米，AC＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=地两根，⑴求a 和b 地值；⑵△'''C B A 与△ABC 开始时完全重合，然后让△ABC 固定不动，将 △'''C B A 以1厘米/秒地速度沿BC 所在地直线向左移动.ⅰ)设x 秒后△'''C B A 与△ABC 地重叠部分地面积为y 平方厘米，求y 与x 之间地函数关系式,并写出x 地取值范围； ⅱ)几秒后重叠部分地面积等于38平方厘米？24、（本题11分）已知：如图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 地弦AC 切⊙P 于点A ，CP 及其延长线交⊙P 于D 、E ，经过E 作EF ⊥CE 交CB 地延长线于F.⑴ 求证：BC 是⊙P 地切线；⑵ 若CD ＝2，CB ＝22，求EF 地长；⑶ 若设k ＝PE:CE,是否存在实数k,使△PBD 恰好是等边三角形?若存在,求出k 地值；若不存在，请说明理由. 25、（本题12分）如图，EFGH 是正方形ABCDA MA'地内接四边形，两条对角线EG 和FH 相交于点O ，且它们所夹地锐角为θ，CFH BEG ∠∠与都是锐角，已知,,l FH k EG ==四边形EFGH 地面积为S ，（1） 求证：klS 2sin =θ （2） 试用S l k 、、来表示正方形ABCD 地面积.25、 （1）证明：θθθθθθθθsin 21sin 21sin 21sin 21sin 21sin 21sin 021sin 021⋅=⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+++=+=∆∆∆∆∆∆kl FH EG OH EG OF EG OH GO OH EO F GO F EO S S S S S S S GOH EOH GOF EOF EHGEFG 所以klS2sin =θ（2）解：PQRT DA CD BC AB H G F E 的垂线，得矩形、、、分别作、、、过.设正方形ABCD 地边长为a,2222,,,a l c a k b c QR b PQ -=-===则, 由PEF BEF TEH AEH S S S S ∆∆∆∆==,， RGH DGH QFG GFC S S S S ∆∆∆∆==, 得S S S PQRT ABCD 2=+，S a l a k a S bc a 2,2222222=-⋅-+=+∴即，2222224)4(S l k a S l k -=-+∴，由（1）知S kl l k S Skl 42,2sin 222>≥+>=所以θ， 故Sl k S l k a S ABCD44222222-+-==2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛参考答案2005-3-20一、选择题答案（每小题4分，共44分）二、填空题答案（每小题5分，共30分）三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、解：（代数方法）由题意，⎩⎨⎧=+-=+0122a y x y x⇒012222=-++a ax x直线与圆相交，∴0>∆即0)2(4)1(84222>--=--=∆a a a则022<-a ，即22<<-a 时，有0>∆直线与圆相交（此题可有几何方法，相应评分）19、解： AO=OC=435BO AB 2222=-=-，易得 θ = ∠ ⊥ ⊥AOC , BD OC , BD AO 为二面角A-BD-C 地平面角. .sin 166sin 38BDS 31V ,sin 8sin 421AOC sin OC AO 21S AOC ABCD 2AOC θ=⋅θ=⋅=θ=θ⋅=∠⋅=∆∆依题意,8sin 16=θ得21sin =θ，又πθ<<0, 656ππθ或所以=, 故所求二面角地大小为656ππ或20、解：分析 已知式和要求值地式子都是分母比分子复杂，不妨考查它们地倒数.因为,0,12≠=++a a x x x故 2 3 4 5 678 9 10 11 C DAABB DC CA区 学校 姓名 考号,0,112≠=++a a x x x 即x+111-=a x , 又11122224++=++x x x x x 222211)11(1)1(a a a x x -=--=-+=所以 aa x x x 2112242-=++21、解：设实际销售运动衣x 套，每套运动衣实际利润为y 元.则 ⎩⎨⎧==+-16000xy 12000)10y )(400x ( 解得.20y ,800x 11⎩⎨⎧== 及⎩⎨⎧-=-=20y 800x 22 （舍去） 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣实际利润20元22、()也是等高三角形，故与又是等高的三角形，故与由于证明：ABE ADE 11ADABAD AD -AB AD BD S M BDE ADEADE ∆∆-===∆∆∆ ()()x ，设此比值为，故又同理，ACAEAB AD BC ||DE 3ACAES S 2AB ADS S ABE ABE ADE ===∆∆∆()()()()S M x x x S M M Sx x x x 4141)21(41)1S 41M 04SM S 0S,1S MAB ADAB AD -1AC AE AB AD 1-AD AB S M3,2,1 222≤⇒≤--=-=≤≥-=∆=+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=（法二：由解之得有实根，故法一：展开得即式相乘，得将23、解:(1)∵△ABC 是Rt △且BC=a ，AC=b ，AB=5 （a>b ）又a 、b 是方程地两根∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>+=⋅>-=+>+--=∆2504010)4(4)1(222b a m b a m b a m m ∴(a+b)2-2ab=25 (m-1)2-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0…………. 得m 1=8 m 2=-4 经检验m=-4不合舍去 ∴m=8…………∴x 2-7x+12=0 x 1=3 x 2=4 ∴a=4，b=3(2)∵△'''C B A 以1厘米/秒地速度沿BC 所在直线向左移动. ∴x 秒后BB ′=x 则B ′C ′=4-x ∵C ′M ∥AC ∴△BC ′M ∽△BCA ∴AC C M BC C B '='∴)4(43x C M -=' ∴)4(43)4(21x x y S M C B --=='∆ 即2)4(83x y -=∴y=63832+-x x (0≤x ≤4)当y=83时 2)4(83x -=83x 1=3 x 2=5(不合舍去)ABCMA'B'C'∴经过3秒后重叠部分地面积等于83平方厘米.24、（1）证明：连结PA 、PB ，∵AC 切⊙P 于A ，PA 是⊙P 地半径，∴AC ⊥PA ，即∠PAC=900，又∵四边形PACB 内接于⊙O ，∴∠PBC+∠PAC=1800.∴∠PBC=900，即PB ⊥CB.又∵PB 是⊙P 地半径，∴BC 是⊙P 地切线.（2）解：由切割线定理，得BC 2=CD*CE. ∴42)22(22===CD BC CE DE=CE-CD=4-2=2. ∴PB=1,在Rt △EFC 和Rt △BPC 中，∠ECF=∠BCP ，∴Rt △EFC ∽Rt △BPC ，22241,=⨯=⋅==∴CB CE BP EF CB CE BP EF . （3）解：存在实数k=31时，△PBD 为等边三角形. 下面证明：分，，，，）知道而由（，，又，11为等边三角形60219012233100 。

1. 20XX 年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷2. 20XX 年秋季广州市高中数学青年教师解题比赛试题3. 20XX 年广州市高中数学青年教师解题比赛试题4. 20XX 年广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题5. 20XX 年广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题6.20XX 年常州市武进区高中数学教师解题竞赛试题及参考答案20XX 年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷2002.04.07一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． （1）常数T 满足()x x T cos sin -=+ 和()x x T g ctg t =-,则T 的一个值是（ ）．（A ）π- （B ）π （C ）2π-（D ）2π（2）在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ,则1092a a - 的值为（ ）．（A ）24 （B ）22 （C ）20 （D ）8-（3）设点P 对应复数是i 33+,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）．（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛4323π，（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-4523π， （C ）⎪⎭⎫⎝⎛453π，（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-433π，（4）设A 、B 是两个非空集合，若规定：{}B x A x x B A ∉∈=-且,则()B A A --等于（ ）．（A ）B （B ）B A （C ）B A （D ）A（5）函数()x f y =的图象与直线1=x 的交点个数为（ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）0或1（6）设函数()()ϕω+=x A x f sin （其中R x A ∈>>,0,0ω）,则()00=f 是()x f 为奇函数的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，∠BAC ＝90°，AC BC ⊥1，过1C 作⊥H C 1底面ABC ，垂足为H ，则（ ）． （A ）H 在直线AC 上 （B ）H 在直线AB 上 （C ）H 在直线BC 上 （D ）H 在△ABC 内（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S （元）与通话时间t （分钟）的函数图象可表示为（ ）．（A ）（B ）（C ）（D ）（9）以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相1C 1B 1A ABC切的圆的方程为（ ）．（A ）091022=+-+x y x （B ）091022=--+x y x （C ）091022=-++x y x （D ）091022=+++x y x（10）已知()nx 21+的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含3x 项的系数是（ ）．（A ）56 （B ）80 （C ）160 （D ）180（11）AB 是过圆锥曲线焦点F 的弦，l 是与点F 对应的准线，则以弦AB 为直径的圆与直线l 的位置关系（ ）．（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）由离心率e 决定 （12）定义在R 上的函数()x f y -=的反函数为()x fy 1-=，则()x f y =是（ ）． （A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）非奇非偶函数 （D ）满足题设的函数()x f 不存在第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上． （13）函数)23(sin ππ≤≤=x x y 的反函数是 ． （14）已知抛物线的焦点坐标为()12，，准线方程为02=+y x ,则其顶点坐标为 （15）如图，在棱长都相等的四面体A —BCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，则直线AF 、CE 所成角的余弦值为 ．（16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你 和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析， 5人的名次排列共可能有 种不同情况（用数字作答）. 三、解答题：本大题共6小题，满分74分． （17）（本小题满分10分）已知复数2cos 2cos 2Ci A u +=，其中A 、C 为△ABC 的内角，且三个内角题ABCDEF满足2B ＝A ﹢C .试求i u -的取值范围. （18）（本小题满分12分）已知曲线C 上的任一点M ()y x ,（其中0≥x ）,到点()02，A 的距离减去它到y 轴的距离的差是2，过点A 的一条直线与曲线C 交于P 、Q 两点，通过点P 和坐标原点的直线交直线02=+x 于N .（I ）求曲线C 的方程；（II ）求证：N Q 平行于x 轴.（19）（本小题满分12分）是否存在一个等差数列{}n a ,使对任意的自然数n ，都有212a a n⋅…n n n P a 2=.（20）（本小题满分12分）如图，△ABC 是一个遮阳棚，点A 、B 是地面上 南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点 O 表示）光线OCD 与地面成锐角θ. （I ）遮阳棚与地面成多少度的二面角时， 才能使遮影△ABD 面积最大？（II ）当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，试求出遮影△ABD 的最 大面积.（21）（本小题满分14分）甲、乙、丙三种食物维生素A 、B 含量及成本如下表：某食物营养研究所想用x 千克甲种食物、y 千克乙种食物、z 千克丙种食物 配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000 单位维生素B .试用x 、y 表示混合物的成本M （元）；并确定x 、y 、z 的值， 使成本最低.（22）（本小题满分14分） 定义在()11，-上的函数()x f满足：①对任意x 、()1,1-∈y ,都有()+x f()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=xy y x f y f 1；②当()0,1-∈x 时，有()0>x f .证明：（I ）函数()x f 在()11，-上的图象关于原点对称；（II ）函数()x f 在()0,1-上是单调减函数； （III ）⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛21331131712f n n f f f .()z n ∈20XX 年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题：二、填空题：（13）[]0,1,arcsin -∈-=x x y π （14）⎪⎭⎫⎝⎛21,1 （15）32（16）54 三、解答题：（17）（本小题满分10分）解：由△ABC 的内角关系2602CA B C B A C A B +=︒=⇒⎭⎬⎫=+++=π，又()C i A Ci A u cos 1cos 2cos2cos 2++=+=则22cos 122cos 1cos cos 22CA C A i u +++=+=- ()C A 2cos 2cos 211++= ()C A --=cos 211由()︒<-<︒-⇒⎭⎬⎫︒︒∈-︒=-⇒︒=+12012012002120120C A ，C ，A C C A C A()1cos 21≤-<-⇒C A从而2522<-≤i u 为所求. （18）（本小题满分12分）（I ）解：由题设知：曲线C 上任意一点M ()y x ,到定点()0,2A 距离等于它到直线2-=x 的距离.由抛物线定义知：曲线C 的方程为x y 82=…（注：若不限制0≥x ，抛物线C 还可为()00<=x y ,即x 轴负半轴） （II ）证明：①当过点A 的直线P Q 不与x 轴垂直时，斜率PQ K 存在，设P Q 方程为()2-=x k y由()01682822=--⇒⎩⎨⎧-==y k y x k y x y16-=⇒Q P y y又直线OP 方程为x x y y PP⋅=而点N 在直线OP 上，也在直线2-=x 上()P PP y y y 16282-=-⋅=⎭⎬⎫-=⋅-=⋅1616Q P N P y y y yQ N y y =⇒故NO// x 轴②当过点A 的直线P Q 与x 轴垂直时，结论显然成立 （19）（本小题满分12分）解：若存在一个等差数列{}n a 满足题设，则1=n 时，有121121=⇒=a P a ；()2-=⇒PPN x y y （证Q 、N 点纵坐标相等）2=n 时，有32224212=⇒=a P a a ；3=n 时，有523363213=⇒=a P a a a .∴猜想存在这样的一个数列{}n a 的通项为()N n n a n ∈-=12以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时， 11=a 满足12-=n a n （2）假设()N k k n ∈=满足题设， 即k k k k P a a a 22112=+ 成立当1+=k n 时 , 12121122+++⋅=⋅k k k n k k a P a a a a()k k P k 2122⋅+=即()()()()()12125321221212532121+-⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅+k k k k k k ()()()()12212+⋅+++=k k k k k()()()()()21132++++⋅+++=k k k k k k k()112++=k k P则1+=k n 也成立.综上（1）、（2）知12-=n a n 对N n ∈都有n n k n P a a a 2212= 成立.（20）（本小题满分12分）（I ）解：设H 为点O 在地面的射影，连结HD 交AB 于E . 则θ=∠CDE ，且OH ⊥平面ABDAB ⊂平面ABDAB OH ⊥⇒OHD AB 平面⊥⇒H E又AB 是南北方向，CD 是西东方向，则CD ⊥AB⎩⎨⎧⊥⇒⊥⇒CEAB DE AB 在△ABD 中，要使面积最大，只须DE 最大 而△CDE 中，由正弦定理DCE CEDE ∠⋅=sin sin θ.（目标函数中CE ,sin θ均为定值） 所以，当∠DCE ＝90°时DCE ∠sin 最大，则DE 最大，从而θ-︒=∠90CED 时，遮影△ABD 面积最大.（II ）解：当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，()1252452121max =⋅⋅=⋅⋅=∆DE AB S ABD 为所求. （21）（本小题满分14分） （I ）依题设知：z y x M 4911++= 又y x z z y x --=⇒=++100100代入上式则y x M 57400++=为所求.（II ）由题设得⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x将y x z --=100分别代入①、②得：⎩⎨⎧≥-≥+130316032y x y x 此时y x M 57400++=()()y x y x -+++=3322400 1301602400+⋅+≥850=当且仅当⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 即⎩⎨⎧==2050y x 时取等号答：当50=x 千克，20=y 千克，30=z 千克成本最低为850元.（22）（本小题满分14分）证明：（I ）由条件①可取(),1,1-∈-=x y 则()()()0f x f x f =-+再取(),1,10-∈=y 则()()()x f f x f =+0()()0=-+⇒x f x fDE 是△ABD 中AB 边上的高且∠CED 是C —AB —D 的平面角.①②⇒()x f ⇒在()1,1-上图象关于原点对称（II ）令0121<<<-x x由于()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-212121211x x x x f x f x f x f x f .1121<-<-x x 且()10102121<-<-⇒<-x x x x及()2211102121<+<⇒<<x x x x则由（1）（2）得0112121<--<-x x x x由条件②知012121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x f ,从而()()21x f x f >，故()x f 在()0,1-上单调递减函数.（III ）由奇函数的对称性知：()x f 在()1,0上仍是减函数，且()0<x f ※对()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎭⎫⎝⎛++211121112113312n n n n f n n f n n f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-+-+=21112111211112111n f n f n f n f n n n n f则有⎪⎭⎫⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛331131712n n f f f⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=211141313121n f n f f f f f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121n f f .由※式知：1210<+<n 时有⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+212121021f n f f n f ⇒<<<-01又21x x 条件①故⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f . 高中数学青年教师解题比赛试卷1．若31)sin(=+πα，则)23cos(απ-的值等于 （A ）31 （B ）31- （C ）322 （D ）-3222．若函数y=f （x ）的反函数的图象经过点)1,2(-，则此函数可能是x y D y C y B x y A x x 2log )(2)()21()(21)(-===-=3．双曲线116922=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 (A)3 (B)3 (C) 4 (D) 24．圆台母线与底面成450角，侧面积为π23，则它的轴截面面积是（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）235．若{a n }是无穷等比数列，且a 1＋a 2＋a 3=43, a 2＋a 3＋a 4=－83，则此数列所有项的和为 （A ）31（B ）32 （C ）1 （D ）346．设函数|log |)(x x f a =（10<<a ），则下列各式中成立的是)2()31()41()(41()2(31()()31()2(41()()41(31()2()(f f f D f f f C f f f B f f f A >>>>>>>>7．如图，点P 是正方形ABCD 所在的平面外一点，AD PD ABCD PD =⊥,平面，则PA 与BD 所成角的度数为 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°9. 有5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站在中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也是一个比一个矮，则这样的派法有 (A) 6种 （B ）8种 （C ）12种 （D ）16种10. 设点P 在直线1=x 上变化，O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆，则动点Q 的轨迹是(A)两条平行直线 （B ）一条直线 （C ）抛物线 （D ）圆 11．由(3x+32)100展开所得的x 的多项式中,系数为有理数的共有 (A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项12. 某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ，G，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不建立部分网线，而使得中心与各部门、各院系都能连通（直接或中转），则最小的建网费用是(A)16万元 （B ）14万元 （C ）13万元 （D ）12万元 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)13.如果直线b y x =+与圆222=+y x 相切，则实数b 的值为___________；14.已知,52,4321i z i z --=+=则211arg z z i z +-= ；15.已知αγβα(1sin sin sin 222=++、β、γ均为锐角），那么γβαcos cos cos 的最大值等于____________________；16.定义在R 上的偶函数f （x ）满足：)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f （x ）的判断：（1）f （x ）是周期函数；（2）f （x ）的图象关于直线x=1对称；（3）f （x ）在[0，1]上是增函数；（4）f （x ）在[1，2]上是减函数；（5）f （2）=f （0），其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知函数3)2(cos 32)2sin()(2-+++=θθx x x f⑴ 求函数)(x f 的周期;⑵ 若πθ≤≤0,求θ,使函数)(x f 为偶函数. 18.（本小题满分12分）已知函数)(3)(2a x a x x x f ≠-+=, a 为非零常数，⑴ 解不等式x x f <)(;⑵ 设a x >时，)(x f 的最小值为6,求a 的值.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠APC=600，PA=3，PB=2，ΔPBC 为正三角形 （1） 求证：平面PBC ⊥平面ABC ； （2） 求棱PA 与侧面PBC 所成的角； （3） 求点B 到侧面PAC 的距离.20.（本小题满分12分）已知点A （3-，0）和B （3，0），动点P 到A 、B 两点的距离差的绝对值为2,(1) 求动点P 的轨迹方程;(2) 过点C （1，1）能否作直线l ，使它与动点P 的轨迹交于两点M ，N ，且点C 是线段 MN 的中点，问这样的直线l 是否存在，若存在，求出它的方程，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）国内某大报纸有如下报道：学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密. 在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案. 一是每年年末加一千；二是每半年结束时加300元. 例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000（元）；而第二种方案在第一年加得300+600=900（元），第二年加得900+1200=2100（元），总数也是3000元.⑴ 如果在该公司干十年，问选择第一种还是第二种的方案所加的工资高？高多少？PCA⑵ 如果第二种方案中的每半年加300元改为每半年加a 元，问a 为何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？ 22.（本小题满分14分）已知ax x x f +-=3)(在(0,1)是增函数,求实数a 的取值范围(1) 当3=a 时,定义数列}{n a 满足)1,0(1∈a ,且)(21n n a f a =+,求证:对一切正整数n 均有)1,0(∈n a .2003广州市高中青年教师解题比赛试卷一、选择题：1、下列各式中正确的是（ ） A 、0=φ B 、φ={}0 C 、∈0φ D 、φ{}0⊆2、若x sin >tgx >ctgx ，（2π-<x <2π）。

2003年广东省初中数学竞赛初赛试卷（考试时间60分钟，满分100分）A 卷一、选择题（每小题2分，满分20分）1、如果0)(=-+a a ，则a 是（ ）A 、正数B 、负数C 、非正数D 、非负数2、如果2-=a ，那么2-a 的算术平方根（ ）A 、是a 的相反数B 、是a 的倒数C 、是a 的倒数的相反数D 、没有算术平方根3、某工厂原来平均每天用煤n 吨，注意节约能源后每天少用煤2吨，那么现存的m 吨煤比以前多用的天数是（ ）A 、)2(-n n mB 、)2(+n n mC 、)2(2-n n mD 、)2(2+n n m 4、不等式11254<-x 的正整数解有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个5、已知点)8,(a 在抛物线2ax y =上，则a 的值是（ ）A 、2B 、2-C 、2±D 、22±6、如图，已知线段AB=5cm ，C 、D 、E 、F 、把AB 五等分，则小于3cm 的线段有（ ）A 、4条B 、5条C 、9条D 、12条7、下列命题中错误的是（ ）A 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形D 、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形8、在RT △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列关系中错误的是（ ）A 、b=c.cosB B 、b=a.tanBC 、a=c.sinAD 、Bb a tan = 9、若∠A 是锐角，则sinA+cosA 的值（ ）A 、大于1B 、等于1C 、小于1D 、可能大于1，也可能小于110、两圆圆心距为3，其半径分别是方程0232=+-x x 的两根，那么两圆的位置关系是（ ）A 、相离B 、相交C 、内切D 、外切二、填空题（每小题2分，满分20分）11、81＝ ；12、已知22=+b a ，则)44(4122b ab a ++的值是 ； 13、如果a:b:c=2:3:4，则c b a c b a -++-= ； 14、已知1，2，2三个数，请你再添上一个数，写成比例式 ；15、设甲、乙两人在一次赛跑中，路程S 与时间t 的关系如图，那么从图象可以看到：（1）这是一次 米赛跑；（2）甲、乙两人先到达终点的是 ；16、夏季高山上的温度从山脚起每升高100米降低C 07.0，已知山脚的温度是C 020，山顶的温度是C 04.14，那么山的高度是 米；17、如图，A D ∥BC ，∠D ＝100°，CA 平分∠BCD ，则∠DAC ＝ 度；18、某同学带50元去购书中心买某种数学辅导书，已知该书每册定价9元4角，该同学买书后余下的钱数y 元和买的册数x 之间的函数关系式是 ；19、点),2(a -在第二象限的角平分线上，则a = ;20、如图，矩形ABCD 中，O 点是两对角线交点，A E ⊥BD 于点E ，OE ：OD ＝1：2，AE ＝cm 3，则DE ＝ 。

广州市初中数学青年教师解题比赛决赛试卷本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷．请将选择题和填空题的答案做在第3页的答卷上．全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共44分）一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上．）1．对于实数a ，下列运算正确的是（ ）．（A ）)2(121a a÷=- （B ）3232a a a =+（C ）623)(a a a -=⋅- （D ）422)()(a a a -=-⨯-2．给出以下三个命题：①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的和有可能是有理数；③两个无理数的和一定是实数．其中正确的命题是（ ）．（A ）①和②（B ）①和③（C ）②和③（D ）③3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,7,384==S S 则12S 的值是（ ） ．（A ）8 （B ）11 （C ）12（D ）154．如果b a ,为实数，则“b a =”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切” 的（ ） ． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ） 充要条件（D ）既不充分又不必要条件5．已知AB 是圆O 的直径，弦AD 和BC 相交于点P , 那么ABCD等于（）． （A ）BPD ∠sin （B ）cos BPD ∠ （C ）tan BPD ∠ （D ）cot 6．如图，三个天平的托盘中相同的物体质量相等．图⑴、三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）．(3)(2)(1)（A ）3个球 （B ）4个球 （C ）5个球 （D ）6个球7．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面上都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b ca-的值等于（ ）． （A ）43- （B ）6- （C ）43（D ）6 8．已知集合}3,2,0{=A ，},,|{A b a ab x x B ∈==且，则集合B 的子集的个数是（ ）．（A ）4 （B ）8 （C ）15 （D ）16 9．如图，ABC ∆的角,,A B C 所对边分别为,,a b c ， 点是O ABC ∆的外心，，于，于E AC OE D BC OD ⊥⊥，于F AB OF ⊥ 则OD OE OF =∶∶（ ） ．第5题图第7题图（A ）a b c ∶∶ （B ）cb a 1:1:1 （C ）C B A cos :cos :cos （D ）C B A sin :sin :sin10．设a b >，在同一平面直角坐标系内，一次函数a bx y +=与b ax y +=的图象最有可能的是（ ）．（A ）13- （B ）12- （C ）－1 （D ）－2第II 卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上．）12．随机掷一枚均匀的正方体骰子（正方体骰子的六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），每次实验掷两次，则每次实验中掷两次骰子的点数之和为6的概率是__________． 13．如果关于x 的方程()012122=++++a x a x 有一个小于1的正数根，那么实数a 的 取值范围是 ．14．在矩形ABCD 中，已知两邻边AD =12，AB =5，P 是AD 边上异于D A 和的任意一点，且BD PE ⊥，F E AC PF 、,⊥分别是垂足，那么=+PF PE ___________．15．已知012=--x x ,那么代数式123+-x x 的值是 ．16．已知z y x ,,为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，则z 的取值范围为 ．17．已知正方形ABCD 的面积35平方厘米, E 、F 分别为边AB 、BC 上的点, AF 和CE 相交于点G ,并且ABF ∆的面积为5平方厘米,BCE ∆的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF 的面积是___________平方厘米．y第9题图第11题图第14题图第17题图2007年广州市初中数学青年教师解题决赛答题卷2007-4-1512． 13． 14．15． 16． 17．三、解答题（共8小题，满分76分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）18．（本小题8分）已知01<<-a ，21a A +=，21a B -=，aC +=11，试比较A 、B 、C 的大小，并说明理由．19．（本小题8分）设)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，并且x x x g x f -=-2)()(，求)(x f 和)(x g ．区 学校 姓 考20．（本小题10分）已知⊥PA 矩形ABCD所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． （1）求证：CD MN ⊥；（2）若=∠PDA 45°，求证MN ⊥面PCD ．21．（本小题10分）在ABC ∆中，,60,40==AC AB 以A 为圆心，AB 的长为半径作圆交BC 边于D ，若DC BD 和的长均为正整数，求BC 的长．第20题图第21题图22．（本小题10分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，1=AB ，=∠A 900，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且BE FE ⊥，求CEF ∆的面积．23．（本小题10分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程k x x kx x +=-++3132的解，求实数k 的取值范围．第22题图24．（本小题10分）如图，在梯形PMNQ 中，MN PQ //，对角线MQ PN 和相交于点O ，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为4321S S S S 、、、．试判断21S S +和43S S +的大小关系，并证明你的结论．第24题图25．（本小题10分）已知42++=m m y ,若m 为整数，在使得y 为完全平方数的所有m 的值中，设m 的最大值为a ，最小值为b ，次小值为c ．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．） （1）求c b a 、、的值；（2）对c b a 、、另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2007？证明你的结论．密封线 密封线2007年广州市初中数学青年教师解题决赛试题参考答案及评分标准3．选C [解析]：∵｛a n ｝等差数列，∴2(S 8 －S 4)= S 4＋(S 12－S 8)，且S 4=3，S 8=7，则S 12=12. 4．选A [解析]： 若a =b ，则直线与圆心的距离为22|2|=+-a a 等于半径，∴2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切．若2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切，则22|2|=+-b a ，∴40-=-=-b a b a 或．故“a =b ”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切”的充分不必要条件.8．选C [解析]：如果b a ,中至少有1个为零，则0=ab ；如果2==b a ，则4=ab ；如果3==b a ，则9=ab ；如果2332a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或，则6=ab ，于是B ＝{0，4，6，9}，∴B 有42＝16个子集. 10．选B [解析]：由方程组⎩⎨⎧+=+=bax y abx y 的解知两直线的交点为),1(b a +，而图A 中交点横坐标是负数，故图A 不对；图C 中交点横坐标是2≠1，故图C 不对；图D 中交点纵坐标是大于a ，小于b 的数，不等于b a +，故图D 不对；故选B.11．选B [解析]：设),0,(),0,(21x B x A 由,22=++c bn an 且222AB BQ AQ =+，得21-=a . 二、填空题答案（每小题5分，共6小题，共30分）12．365. 13. 211-<<-a . 因式分解得()()0121=+++a x x ，因此“小于1的正数根”是12--a.由1120<--<a 得211-<<-a .14.1360. 如图，过A 作AG ⊥BD 于G ．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE ＋PF =AG ．因为AD =12，AB =5，所以BD =13，所以,136013512=⨯=AG 所以1360=+PF PE . 15. 2. 2)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x 22)1()1(22=+--+--=x x x x x .16. 3131≤≤-z . 3,5=++--=zx yz xy z x y 代入由，得0)35()5(22=+-+-+z z x z x ，因为x 为实数，所以0≥∆，解得3131≤≤-z . 17．27204.∵72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理54=BA BE ,如图，连BG . 记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S FGC =∆. 由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，解之得2728=b ，27100=c . ∴)(2720427128平方厘米==+=c b S BEGF .三、解答题答案（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）18．解：它们的大小关系为C A B <<. ………………………2分 由01<<-a 得01>+a ，02)1()1(222>=--+=-a a a B A 得B A >，…………4分 0143)21(1)1()1(11222>+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+++-=+-+=-aa a a a a a a a A C ，得A C >， ………………6分即得C A B <<. (8)分19．解： )(x f 为奇函数 )()(x f x f -=-∴)(x g 为偶函数 )()(x g x g =-∴ …………………2分由x x x g x f x x x g x f +=---∴-=-22)()( )()(…………………4分从而 x x x g x f x x x g x f --=++=--22)()(,)()( …………………6分⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧--=+-=-222)()()()()()(x x g xx f x x x g x f x x x g x f …………………8分20．证明：分平面平面面平面为平行四边形，四边形且又则中点为，又、连中点取5.//,//,21,//.21,//,,)1(CD MN AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA AE MN AMNE NE AM NE AM CD AM CD AM CD NE CD NE PC N AE NE E PD ⊥∴⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥∴∴=∴==分平面又则为等腰直角三角形时当10.,,//,,45)2( PCD MN D CD PD PD MN AE MN PD AE PAD Rt PDA ⊥∴=⋂⊥∴⊥∆=∠21．设BD ＝a ，CD ＝b ，（a ，b 为正整数）作AE ⊥BD ，垂足为E ，则AB ＝AD ＝40，BE ＝DE ＝2a ． ∵ 222)2(40a AE -=，222)2(60b aAE +-=， ∴ 2222)2(60)2(40b aa +-=-， ∴ 34522000)(⨯==+b b a ， …………………6分 ∵ 20＜b a +＜100，∴ 只有⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯=+,52,5232b b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=+.5,5224b b a ………………9分 故BC 的长为50或80． …………………10分22．解法1：如图，过C 作CD ⊥CE 与EF 的延长线交于D ． …… ……2分因为∠ABE ＋∠AEB =90°，∠CED ＋∠AEB =90°，所以∠ABE =∠CED ． 于是Rt △ABE ∽Rt △CED ， …………………4分 所以2412====∆∆AE AB CD CE AB CE S S EAB CDE ，）（． ………………6分又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF 是∠DCE 的平分线，点F 到CE 和CD 的距离相等， 所以2==∆∆CDCES S CDF CEF ． ……………8分 所以241214132413232=⨯⨯=⨯==∆∆∆∆ABC ABE CDE CEF S S S S ．………10分 解法2： 如图，作FH ⊥CE 于H ，设FH=h ． ………………2分因为∠ABE ＋∠AEB ＝90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以 ∠ABE=∠FEH ，于是Rt △EHF ∽Rt △BAE ． (4)分 因为，即h EH AE AB FH EH 2.== 所以h HC 221-=． 又因为,FH HC =所以,61,221=-=h h h …………………8分 所以24161212121=⨯⨯=⨯=∆FH EC S CEF ． ………………10分 23．解：原方程可化为0)3(322=+--k x x ，① …………………1分（1）当△＝0时，833-=k ，4321==x x 满足条件； …………………2分 （2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122=+-⨯-⨯k ，4-=k ．此时方程①的另一个根为21，故原方程也只有一根21=x ； …………………4分 （3）当方程①有异号实根时，02)3(21<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有一个正实数根；………7分（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为23=x ，此时原方程也只有一个正实根． …………9分综上所述，满足条件的k 的取值范围是833-=k 或4-=k 或3-≥k ．…………………10分 24．解：设,,n MN m PQ == PMN ∆ 和QMN ∆同底等高,Q MN PMN S S ∆∆=∴，，2423S S S S +=+∴ , 即：43S S =. ………2分POQ ∆ ∽NOM ∆，,:):(:22221n m OM OQ S S ==∴1222S m n S ⋅=∴．………4分 ,:::31n m OM OQ S S == 13S mn S ⋅=∴． ……………6分 1122143212)()(S m n S m n S S S S S ⋅⋅-⋅+=+-+∴21221)1()21(m n S m n mn S -=⋅-+= ．…9分43212,0)1(S S S S m n +>+∴>- ． …………………10分(本题只写对结论而没有过程的只得1分)25. 解：（1）设224k m m =++（k 为非负整数），则有0422=-++k m m ，…………1分 由m 为整数知其△为完全平方数（也可以由△的公式直接推出）， …………………2分 即22)4(41p k =--（p 为非负整数），得,15)2)(2(=-+p k p k 显然：p k p k ->+22,所以21521k p k p +=-=⎧⎨⎩或2523k p k p +=-=⎧⎨⎩，解得7=p 或1=p ， 所以12pm -±=，得：1,0,4,34321-==-==m m m m ， …………………5分 所以1,4,3-=-==c b a ． …………………6分（2）因为222222a b a b c a b c ++=+++-， ………………8分 即操作前后，这三个数的平方和不变， 而222222200620052004)1()4(3++≠-+-+． ………………9分所以，对c b a 、、进行若干次操作后，不能得到2004，2005，2006这三个数．………10分。

历年各地初中数学青年教师解题竞赛试题及参考答案(上)1.2002年秋季广州市初中数学青年教师解题比赛试题及解答2.常州市武进区初中数学教师解题竞赛试题及参考答案3.2003年广州市初中数学青年教师解题比赛试题4.2005年武进区初中数学教师解题竞赛试题初中数学青年教师解题竞赛试卷一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分）更多内容尽在/susuh15更多内容尽在/susuh151．函数112-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 . 2．圆锥的母线长为5cm ，高为3 cm ，在它的侧面展开图中，扇形的圆心 角是 度.3．已知3=xy ，那么yxyx y x+的值是 . 4．△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE//BC ，BE 与CD 相交 于点O ，在这个图中，面积相等的三角形有 对. 5．不等式x x 4115≥+的正整数解的共有 个． 6．函数13++=x x y 的图象在 象限．7．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝5，D 是BC 上的一点，且BD ：DC ＝2：3，则AD 的取值范围是 .8．关于自变量x 的函数c bx ax y ++=2是偶函数的条件是 . 9．若关于未知数x 的方程x p x =-有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是 .10．AB 、AC 为⊙O 相等的两弦，弦AD 交BC 于E ，若AC ＝12，AE ＝8， 则AD ＝ . 二、（本题满分12分）11．如图，已知点A 和点B ，求作一个圆⊙O ， 和一个三角形BCD ，使⊙O 经过点A ，且使所作的 图形是对称轴与直线AB 相交的轴对称图形．（要求 写出作法，不要求证明）三、（本题满分12分）12．梯子的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级 的宽成等差数列，计算与最低一级最接近的一级的宽． 四、（本题满分13分）13．已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A （0，2）的距离减去它到..AB更多内容尽在/susuh15x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程． 五、（本通满分13分）14．池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为︒20，测得碑顶在水中倒影的俯角为︒30（研究问题时可把碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，747.270tan ≈︒）. 六、（本题满分14分）.15．若关于未知数x 的方程022=-+q px x （p 、q 是实数）没有实数根， 求证：41<+q p . 七、（本题满分14分）16．如果⊙O 外接于正方形ABCD ，P 为劣弧AD 上的一个任意点，求：PBPCPA +的值. 八、（本题满分16分）17．试写出m 的一个数值，使关于未知数x 的方程08242=+--m x x 的 两根中一个大于1，另一个小于1. 九、（本题满分16分）18．点P 在锐角△ABC 的边上运动，试确定点P 的位置，使PA +PB ＋PC 最小，并证明你的结论.参考答案一、1. 2≤x 且1≠x 2.288 3. 32± 4.4 5.6 .一、二、三 7. 4<AD <8 8.b =0 9. 410<≤p 10.18. 二、作法：11.1、作直线OB 与直线AB 相交于点B ；2、以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ；3、过点O 作直线CD ⊥OB 交⊙O 于..A BDCO更多内容尽在/susuh15点C 和点D ；4、分别连结CB 和DB .则⊙O 和△BCD 就是所求. 三、12.解：用{}n a 表示题中的等差数列，由已知条件有12,110,33121===n a a().1133即110,112112d d a a +=-+=解得 7=d().1037033111111=+=-+=∴d a a答：与最低一级最接近的一级的宽103cm.四、13.解：设点M （x ,y ）是曲线上的任一点，MB ⊥x 轴，垂足为B ， 那么点M 属于集合{}2=-=MB MA M P . 由距离公式，得()2222=---y y x ,化简，得281x y =. Θ曲线在x 轴的上方，y >0,∴所求的曲线的方程是()0812≠=x x y 五、14.解：如图，DE 表示水面，A 表示观测点，B 为碑顶，B '在水中的倒影，由题意： ()m 13020=︒='∠︒=∠，AD AC B ，BAC︒='∠︒=∠∴60,70B B设x BE =,则.1,1+='-=x C B x BC在Rt △ABC 中，()︒-=⋅=70tan 1tan x B BC AC ○1在Rt △A B 'C 中，()︒+='⋅'=60tan 1tan x B C B AC ○2 B 'EA BC D更多内容尽在/susuh15由○1、○2得()()︒+=︒-60tan 170tan 1x x ()︒+︒=︒-︒∴60tan 70tan 60tan 70tan x41.4479.4015.1≈∴=x x 米答：水面到碑顶的高度4.41米.六、15. 证：由题意，令0442<-=∆q p得2p q -<41412122≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-<+p pp q p即41<+q p七、16.解：如图，BP Θ平分直角APC ∠，︒=∠=∠∴4521在△APB 中，由余弦定理，得：2222AB PB PA PB PA =⋅-+同理，在△BPC 中，有2222BC PC PB PC PB =⋅-+22222AC PC AP BC AB =+=+Θ().20222=+∴=+-∴PB PC PA PC PA PB PB当点P 与点A 或点D 重合时.2=+PBPCPA 八、17.A CDP12更多内容尽在/susuh15解法1：设()()062=-+x x ，则01242=--x x ,令1282-=+-m ，得10=m ，∴当10=m 时，所给方程两根中，一个大于1，另一个小于1.解法2：设21,x x 是方程的两根，则m x ，x x x 2842121-=⋅=+，依题意，()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧<-->---=∆.25,21.011,02844212m m x x m 解得：25>m .∴当3=m 时，所给的方程的两根中，一个大于1，另一个小于1. 九、18.解：当点P 在锐角△ABC 最短边上的高的垂足的位置时，PA +PB ＋PC 最小.证明：如图，P 为△ABC 一边BC 边上的高的垂足，而Q 为BC 边上的任一点，+++=++QB QA PC PA PC PB PA ,ΘQA PA BC QA QC <+=,QC QB QA PC PB PA ++<++∴又设AC 为△ABC 最短边，作这边上的高P B '（如图），可知AP P B >'.在P B '上截取AP P B o =',在BC 上截取AC C B ='，作AC P B o ⊥'.垂足为o P ,连 结o B B '.APC ∆Rt Θ≌=∴'∆AP C P B o RtP B P B o o '='.Θ四边形o o P P B B ''是矩形，︒='∠∴90B B B o ，在B B B o '∆中，+='+'+'>'o o BB C P B P A P BB B B ΘAC AP +，PC PB PA C P B P A P AP AC B B PC PB PA ++<'+'+'∴++'=++.2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷2002.04.07ABCQPoP B 'oB P 'A BCP更多内容尽在/susuh15一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．函数1142-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 ．2．若一个半径为32㎝的扇形面积等于一个半径为2㎝的圆的面积，则扇形的圆心角为 ． 3．分式方程11-x －()11-x x ＝2的解是 ．4．代数式x 2－2xy ＋3y 2―2x ―2y ＋3的值的取值范围是 ．5．⊙O 1、⊙O 2的半径分别为2和3，O 1O 2＝9，则平面上半径为4且与⊙O 1、⊙O 2都相切的圆有个．6、若关于未知数x 的方程＋＋＋＋＋＝()0522=++++m x m x 的两根都是正数，则m 的取值范围是 ．7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC ＝a a BC =，＝βB =∠，则AD ＝ ．8．平面内一个圆把平面分成两部分，现有5个圆，其中每两个圆都相交，每三个圆都不共点，那么这5个圆则把平面分成 部分．更多内容尽在/susuh159．在平坦的草地上有甲、乙、丙三个小球．若已知甲球与乙球相距5米，乙球与丙球相距3米，问甲球与丙球距离的取值范围？答： ． 10．计算12003200220012000+⨯⨯⨯所得的结果是 ．二、（本题满分12分）11．如图，已知A 是直线l 外的一点，B 是l 上的一点．求作：（1）⊙O ，使它经过A ，B 两点，且与l 有交点C ；（2）锐角△BCD ，使它内接于⊙O ．（说明：只要求作出符合条件的一个圆和一个三角形，要求写出作法，不要求证明） 三、（本题满分12分） 12．如图，己知正三棱锥S —ABC 的高SO ＝h ，斜高SM ＝l ．求经过SO 的中点平行于底面的截面△A ´B ´C ´的面积．四、（本题满分13分）13．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．· ·lAB·A 'B 'C 'AB CMO S五、（本题满分13分）14．甲、乙两船从河中A地同时出发，匀速顺水下行至某一时刻，两船分别到达B地和C地．已知河中各处水流速度相同，且A地到B地的航程大于A 地到C地的航程.两船在各自动力不变情况下，分别从B地和C地驶回A地所需的时间为t1和t2．试比较t1和t2的大小关系．六、（本题满分14分）15．如图，在锐角θ内，有五个相邻外切的不等圆，它们都与θ角的边相切，θ且半径分别为r1、r2、r3、r4、r5．若最小的半径r1＝1，最大的半径r5＝81。

注塑模具工程图“公差”规范第一部分：配合公差部分备注：重复配合部分，不重复说明（精度到千分位0.001）一、定位圈：与浇口套配合（实际按三维是否需要）：H9/f9与T上固定板配合（小径）：H9/f9二、浇口套：与T上固定板配合：H7/m6（过渡）与R脱料板配合：锥度配合，采用基本尺寸三、T上固定板：与部分拉料针配合：H7/f6与导柱配合：H7/m6 ，其中导套与导柱配合：导柱固定端与模座之间一般采用H7/m6或H7/k6的过度配合，导柱的导向部分通常采用H7/f7或H8/f7的间隙配合。

四、R脱料板：与部分拉料针配合：H7/g6五、侧面限位拉板：与侧圆柱定位销配合：N7/h6（略紧）六、A母模板：与侧圆柱定位销配合：H7/h6（略松）与模仁配合：H7/m6与零度定位块：K7 ，其中槽深公差：+0.1mm与导套配合：H7七：S活动板：与模仁配合：H7/m6与零度定位块：K7 ，其中槽深公差：+0.1mm与导套配合：H7八、B母模板：与模仁配合：H7/m6与导套配合：H7与EF板的中托司导套配合：H7九、E上顶针板：与导套（中托司）配合：H7 ，其中导套与导柱配合：间隙配合（标准）与回针配合：十、F下顶针板：与垃圾钉配合：H7/p6顶针孔深度公差：与中托司孔位配合：K7十一、斜导柱、侧滑块：与导滑槽配合：H8/f8；与成型部分接触，防止溢料，采用H8/f7或H8/g7；十二、顶针：与模架（或模仁）配合：H8/f8（直径大、材料流动性差）；反之H8/f7与型芯配合（八连管盖）配合：H5/g6十三、尼龙拉钉：与之相配合的孔位，均给配合：H7十四、键：键公差：h8与键槽轴的配合：H9（松）/N9（正常）/P9（紧）与毂（gu）的配合：JS9十五、轴承：与模架配合：M7与轴配合：k6第二部分：几何公差部分一、各块模板：平面度：0.015mm侧边与平面垂直度：0.01mm上下平行度：0.01mm模仁配合侧边与平面垂直度：0.01mm孔：位置度0.015mm二、顶针、复位杆等长轴类：直线度：0.01mm圆度：0.01mm同轴度：0.015mm三、定位圈：面轮廓度：0.01mm四、带锥度型芯：面轮廓度：0.01mm，2个锥度标注一个直径尺寸同轴度：0.015mm第三部分：技术要求部分模仁的技术要求：1.工件除模具成型部位外，其余锐边均须倒圆角:R1；2.工件中所有的公差孔以及公差尺寸边的粗糙度为Ra1.6；上下两面须磨加工；3.工件中外形定位面应保证其与基准C的相互垂直以及其对应边与基准A、B的相互平行；4.未注尺寸公差为IT13级,未注圆角为R1；5.模具成型部位及四周10度斜面须抛光，抛光后粗糙度为Ra0.4，抛光加工时请勿刮伤其余工件表面；6.材料粗加工单边须留0.8-1mm余量，粗加工后工件淬火热处理，硬度至48-52HRC，热处理后再精加工到图纸尺寸；7.其余未注尺寸请参照三维图或咨询设计人员。

2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛试卷2005-3-20本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷。

请将选择题和填空题 的答案做在第3页的答卷上。

全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共44分）一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上）1、a 是任意实数，下列判断一定正确的是（）2、已知集合 M 二{x|x 2 ：：4}, N 二{x|x 2 -2x -3 ：： 0},则集合 M 一 N 二（）(A ) a *「a(B) - ::: a(C ) a 3 - a 2(D ) a 2 _ 02(A) {x|x ：：：—2} (B) {x | x 3} （C ） {x| -1 ：：x :：: 2} （ D ）{x|2 ：：x :：: 3}3、若二次函数y =ax 2，bx c 的图象如图所示，则点（a + b ，&。

在（ （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4、 同圆的内接正十边形和外切正十边形的周长之比等于（ ）. （A ） cos18°（ B ） sin18° （C ） cos36°（ D ） sin36°5、 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案:第1个 第2个 第3个则第8个图案中有白色地面砖（ ）块.（A ）34 （B ）36 （C ）38 （D ）406、将正方形的四边四等分，包括顶点共有 16个点，这16个点可得到的直线条数是（ ）(A)120 (B)84 (C)82 (D)80 7、如图，O O 中，弦 AD // BC ，DA = DC ,/ AOC = 160 (A ) 20° (B ) 30 ° (C ) 40° (D ) 50°，则/ BCO 等于（ ）)O8如果x,y为实数，且x^x (y-1)2 =0,则x的取值范围是(1(A)任意实数(B负实数(C) XX违(D) 0二淞19、方程x2十x -1=0所有实数根的和等于( )(A) -1 (B)1 (C)0 (D) ,510、将四个完全相同的矩形(长是宽的3倍),用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能是( ).(A)1 种(B)2 种(C)3 种(D)4 种11、一次函数f(x)=ax+b( a为整数)的图象经过点(98，19)，它与x轴的交点为(p,0),它与y 轴的交点为(0，q),若p是质数，q为正整数，则满足条件的所有一次函数的个数为( ).(A)0 (B)1 (C)2 (D) 大于2 的整数第II卷(非选择题，共106 分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在第三页的答题卷上 )12、函数y =lgx在定义域上是________ 函数(填奇或偶)；在区间__________ 上是增加的.13、如图，有两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P,且CD = 13，PD = 4,两圆组成的圆环的面积是.14、已知□二口二口=t，那么直线f(x) =tx t 一定通过第____________________ 象限.cab15、已知.MON =40°,P为.MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，则当PAB的周长取最小值时，• APB的度数为__________________________________ .16、已知实数a, b满足a2 ab b2-1,且t=ab-a2 - b2,那么t的取值范围是17、若a ,b ,c为实数，且a+b+c=0, abc =2,那么a + b + c的最小值可达到_________________2005年广州市初中数学青年教师解题决赛答题卷2005-3-20、选择题答案（每小题4分，共44 分）题号1\234567891011答案、填空题答案（每小题5分，共30分；其中第12小题填对一空得3分，填对二空得5 分）12. _________ , ____________ 13._________________ 14. ______________15. _________ 16. _______________ 17. ________________三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）18、（本题8分）若直线x - y +a =0与圆x2+ y2 =1相交，求实数a的取值范围. 号考19、（本题8分）菱形ABC的边AB=5对角线BD=6且AC与BD相交于点O,沿BD折叠得四面体ABCD已知该四面体的体积等于8, 求二面角A-BD-C的大小.2——二 a , a = 0 ,求的值.x 2x 1x x 121、（本题8分）某商场计划销售一批运动衣后可获总利润 12000元.在进行市场调查后， 为了促销降低了定价，使得每套运动衣少获利润 10元，结果实际销售比计划增加了 400 套，总利润比计划多了 4000元，问实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润多少元？20、 （本题8 分）22、（本题10分）已知任意三角形ABC,其面积为S.作BC的平行线与1AB、AC分别交于D、E .设三角形BDE的面积为M，求证：M < - S4A23、（本题11分）已知：如图，在Rt△ ABC中，斜边A吐5厘米，BC= a厘米，AO b厘米，a>b, 且a、b是方程x2-（m -1）x • m • 4 = 0的两根，⑴求a和b的值；⑵厶A'B'C'与厶ABC开始时完全重合，然后让厶ABC固定不动，将△ A'B'C'以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动.i ）设x秒后△ A'B'C'与厶ABC的重叠部分的面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；ii）几秒后重叠部分的面积等于3平方厘米？824、（本题11分）已知：如图，。

ABCD初中数学教师竞赛试题学校 姓名本试卷共8页,共三大题22小题,满分120分,考试时间90分钟. 一、选择题（每小题3分,共24分）1、如果a ＜0,b ＞0, +<0a b ,那么下列关系式中正确的是（ ）A ．a b b a >>->-B ．a a b b >->>-C ．b a b a >>->-D ．a b b a ->>->2、如图,⊙O 的圆心在梯形ABCD 的底边AB 上,并与其它 三边均相切,若AB=10,AD=6,则CB 长为 ( )A 、4B 、5C 、6D 、无法确定 3、已知>a b ,且≠≠+≠0，0，0a b a b ,则函数y ax b =+与+=a b y x在同一坐标系中的图象不可能是 （ ）4、如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转︒30到正方形'''AB C D ,则图中阴影部的面积为（ ） A ．12B ．33C ．-314D ．-3135、若--123135(，)、(1，)、(，)43A yB yC y 为二次函数245y x x =--+的图象上的三点,则123、、y yy 的大小关系是 （ ）A ．312<<y y yB ．321<<y y yC ．123<<y y yD ．213<<y y yO x y A ． O x y B ． O x y C ． O x y D ．D CA O B(第2题图)6、已知实数a 、b 、c 满足<0a ,-+>0a b c ,则一定有 （ ）Ａ．-24≥0b ac Ｂ．->240b ac Ｃ．-24≤0b acＤ．-<240b ac7、把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角,剩下的部分是一个四边形,那么这张纸片原来的形状不可能是 （ ） Ａ．六边形 Ｂ．五边形 Ｃ．四边形 Ｄ．三角形 8、下列图形中,阴影部分的面积相等的有 （ ）Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．④① 二、填空题（每小题4分,共32分）9、化简：22242442a a a a a a a a ⎛⎫----÷⎪++++⎝⎭ ,结果为 . 10、已知：221121x x x x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭（x ∈R ）,那么11x x ++的值等于___ .11、不等式组2425x a x b +>⎧⎨-<⎩的解集是02x <<,那么a b +的值等于 .12、如图,四边形ABCD 是一个矩形,C 的半径是2cm ,CE = 23cm ,2cm EF =．则图中阴影部分的面积约为 2cm .13、一青蛙在如图88⨯的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点第13题图①②③④第12 题图上跳跃,青蛙每次所跳的最远距离为5,青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到点A,则所构成的封闭图形的面积的最大值是 .14、如图,依次连结第一个．．．正方形各边的中点得到第二个正方形,再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形,按此方法继续下去．若第一．．个．正方形边长为１,则第．n个．正方形的面积是 .15、如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A C、到直线l的距离分别是1和2,则正方形的边长是 .第16题16、如图, 已知⊙O的周长是△ABC周长的一半, ⊙O从边上一点P出发,绕△ABC的边滚动一周回到点P,则⊙O共滚过圈．三、解答题：（每题10分,共40分）17、计算：122++13223++14334++…+12006200520052006+18、已知x、y均为实数,且满足xy+x+y=17,x2y+xy2=66,求x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．……12第15题图19、（本题满分10分）如图,在梯形中,,对角线相交于点,并把梯形分成四部分,记这四部分的面积分别为． 试判断和的大小关系,并证明你的结论．20．（本题满分10分）已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧,并且AB试求m 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ,并且 △MNC 的面积等于27,试求m 的值.PMNQ MN PQ //MQ PN 和O 4321S S S S 、、、21S S +43S S +第19题图四、解答题：（每题12分,共24分）21、（本题满分12分）如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=3cm,CB=4cm,设点P、Q为AB、CB上动点,它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动,移动速度为1cm/秒,设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤4）.①当∠CPQ=90°时,求t的值.②是否存在t,使△CPQ成为正三角形？若存在,求出t的值；若不存在,能否改变Q的运动速度（P的速度不变）,使△CPQ成为正三角形？如何改变？并求出相应的t值.APC Q B（第21题）22、（本题满分12分）已知抛物线1C ：22y x mx n =-++（m ,n 为常数,且0m ≠,0n >）的顶点为A ,与y 轴交于点C ；抛物线2C 与抛物线1C 关于y轴对称,其顶点为B ．（1）写出抛物线2C 的解析式 ；（2分） （2）当1m =时,判定ABC △的形状,并说明理由；（5分）（3）抛物线1C 上是否存在点P ,使得四边形ABCP 为菱形？如果存在,求出m 的值；如果不存在,请说明理由．（5分）y。