【江苏省南京市、盐城市】2017届高三年级第一次模拟考试数学(理)试卷及答案

绝密★启用前江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试考试范围：集合、函数、复数、概率、统计、算法、平面向量、三角函数、解三角形、数列、不等式、立体几何、解析几何、导数；附加：几何证明、矩阵、参数方程与极坐标、不等式、随机变量概率与数学期望、组合数性质；考试时间：120+30分钟； 【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，填空题重点内容重点考查：如第1-13题等，第14题注重考查三角形中最值问题，既考思想又考方法，有一定难度；解答题重视数学思想方法的考查，如第15题考查了空间想象能力、逻辑论证能力，第18题考查实际应用能力，第16，17,19题考查了等价转化的思想、方程的思想，第20题考查新情境下数列知识运用，难度较大．本卷一轮复习使用．附加常规：四选二，第22题注重考查概率，第23题考查组合数性质,有难度. 一、填空题1．已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则A B =I .2．设复数z 满足(1i)2z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 .3．已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 .4．如图是一个算法流程图，则输出的x 值是 .. 5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 .6．已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则yx 的最小值是 .7．设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线倾斜角为30︒，则双曲线的离心率为 .8．设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S = .9．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ= .10．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱， 3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值是 .11．在ABC ∆中，已知AB =，3C π=，则CA CB ⋅uu r uu r的最大值为 .12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线)1y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +∆都是等边三角形，则101011A B A ∆的边长是 .13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图象与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点,,O P M ，则()y f x =的最大值为 .14．在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ． 三、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点． （1）求证： 11B C ∥平面1A DE ； （2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．16．在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =． （1）求角C ； （2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b+=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.18．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=. （1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？ （2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x-=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于x 的方程()0x g e =（其中e 为自然对数的底数）； （2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈）20．若存在常数*(,2)k k N k ∈≥、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N k a n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列{}n b 为“段比差数列”. （1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3.①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.21（A ）．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.21（B ）．设矩阵 22 3m ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求m 与λ的值.21（C ）．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.21（D ）若实数,,x y z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值.22．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. （1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E(X).23．设*n N ∈，3n ≥，*k N ∈. （1）求值：①11k k n n kC nC ---；②()221211kk k n n n k C n n C nC -------（2k ≥）；（2）化简：()()2220212212311k nn n n n nC C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++.。

密封线____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________校学(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试（一）·数学 第页(共6页）(这是边文，请据需要手工删加)南京，盐城高三第一次模拟考试2017届高三年级第一次模拟考试(一)数学（总分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体体积公式：V ＝13Sh ,其中S 为底面积，h 为高； 柱体体积公式：V ＝Sh ，其中S 为底面积,h 为高．样本数据x 1，x 2，…,x n 的方差s 2＝错误!错误! （x i －x )2，其中x ＝错误!错误!x i 。

一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分,计70分．不需写出解答过程)1. 已知集合A ＝{－1，0,1},B ＝（－∞,0)，则A ∩B ＝________.2. 设复数z 满足z(1＋i ）＝2,其中i 为虚数单位，则z 的虚部为________．3. 已知样本数据x 1,x 2,x 3，x 4，x 5的方差s 2＝3，则样本数据2x 1，2x 2,2x 3，2x 4,2x 5的方差为________。

4。

如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是________.5. 在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________．6. 已知实数x ，y 满足错误!，则错误!的最小值是________．7. 设双曲线错误!－y 2＝1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________．8。

设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21,则S 9＝________.9. 将函数y ＝3sin 错误!的图象向右平移φ错误!个单位后,所得函数为偶函数，则φ＝________．10。

将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3,BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG 体积的最大值是________．11. 在△ABC 中，已知AB ＝错误!，C ＝错误!，则错误!·错误!的最大值为________.12. 如图,在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y＝错误!(x＋1）上从左向右依次取点A k、B k，k＝1,2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k＋1都是等边三角形,则△A10B10A11的边长是________。

江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知集合A={T,0,l},3=(-8,0),则A B=.2.设复数z满足(l+i)z=2,其中i为虚数单位，则z的虚部为.3.已知样本数据X,,x2,x3,x4,x5的方差s2=3,则样本数据2X],2x2,2x3,2x4,2x5的方差为.4.如图是一个算法流程图，则输出的x的值是.开始)—95.在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为.x>06.己知实数X,，满足<x+y<7,则/的最小值是.x+2<2y X7.设双曲线二-》2=1怎>0)的一条渐近线的倾斜角为30。

，则该双曲线的离心率为.a8.设{%}是等差数列，若a4+a5+a6=21,则S9=.9.将函数y=3sin(2x+：)的图象向右平移^(0<^<|)个单位后，所得函数为偶函数，则"10.将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3,BC=2,圆柱上底面圆心为。

，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG体积的最大值是.11.在/XABC中，己知AB=也,C=|,则CA C3的最大值为.12.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线>=季3+1)上从左向右依次取点A*侦，k=l,2,…,其中A是坐标原点，使aa,b,4+1都是等边三角形，则AAoSwAi的边长是.13.在平面直角坐标系xQy中，已知点P为函数y=21nr的图象与圆M:(X-3)2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=/W的图象经过点。

，P,M,则y=fM的最大值为.14.在中，A、B、。

所对的边分别为a、b、c,若a2+b2+2c2=8,则ZVIBC面积的最大值为.二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)15.如图，在直三棱柱A3C-A0G中，BC±AC,D,E分别是A3,AC的中点.(1)求证：B\CJ/平面A.DE；(2)求证：平面A.DE1.平面ACC,4.16.在AA3C中，a,b,c分别为内角*,B,。

.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式： 锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则A B =I ▲ . 2．设复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位， 则z 的虚部为 ▲ .3．已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本 数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 ▲ . 4．如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ▲ . 5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字 中至少有一个是偶数的概率为 ▲ .6．已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y x 的最小值是 ▲ .7．设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为 ▲ . 8．设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S = ▲ .9．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，开始 结束x ←1 y ←9x >y x ←x +4 y ←y -2否 是输出x 第4题图+则ϕ= ▲ .10．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值 是 ▲ . 11．在ABC ∆中，已知3AB =3C π=，则CA CB ⋅uu r uu r的最大值为 ▲ .12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线()313y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +∆ 都是等边三角形，则101011A B A ∆的边长 是 ▲ .13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图像与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点O ，P ，M ，则()y f x =的最大值为 ▲ .14．在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点． （1）求证：11B C ∥平面1A DE ； （2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =． （1）求角C ；（2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程； （2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，A B C A 1B 1C 1DE 第15题图 A 1 A 2A 3A 4B 1B 2B 3…xy记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.18．(本小题满分16分)如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=. （1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x -=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于x 的方程()0xg e =（其中e 为自然对数的底数）； （2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间； （3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈）F 第18题图B20．(本小题满分16分)若存在常数*(,2)k k N k ∈≥、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N k a n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列{}n b 为“段比差数列”.（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3.①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.B .（选修4-2：矩阵与变换）P设矩阵 22 3m ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求m 与λ的值.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.D ．(选修4-5：不等式选讲）若实数,,x y z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值.[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. （1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E(X). 23．（本小题满分10分）设*n N ∈，3n ≥，*k N ∈. （1）求值：①11k k n n kC nC ---；②()221211kk k n n n k C n n C nC -------（2k ≥）；（2）化简：()()222212212311knn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1- 2. 1 3. 12 4. 9 5.56 6. 347. 238. 63 9. 512π 10. 4 11. 32 12.512 13. 9814.25二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...............2分又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE . ...............4分又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE，所以11B C ∥平面1A DE . ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC，所以1CC DE ⊥. ...............8分又BC AC⊥，//DE BC，所以DE AC ⊥， ...............10分又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C =I ，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ...............14分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE ⊥平面11ACC A ，类似给分） 16．解：（1）由sin 2sin b C c B =，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C C C B =， …………2分因为sin 0,sin 0B C >>，所以1cos 2C =， …………4分又(0,)C π∈，所以3C π=. …………6分（2）因为3C π=，所以2(0,)3B π∈，所以(,)333B πππ-∈-，又3sin()35B π-=，所以4cos()35B π-==. …………8分又23A B π+=，即23A B π=-，所以2sin sin()3A B π=-sin(())sin cos()cos sin()333333B B B ππππππ=--=--- ………12分4133252510=⨯-⨯=. …………14分17．解：（1）因02b <<，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆222:O x y b+=经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c b =， ……………3分所以224b =，即22b =，所以椭圆E的方程为22142x y +=. ……………6分 （2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4240k x kmx m +++-=， 所以122412km x x k +=-+，又22221m k -=，所以12x x +2k m=-， 所以0k x m=-，012k y m k m m=-⋅=， ……………10分 则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m⋅=⋅===-----+--. ……………14分方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，又1202x x x +=，1202y y y +=，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴()01201202y y y x x x -+=-， 又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线y kx m =+上，∴1212y y k x x -=-，∴0020x ky +=，① 又00(,)T x y 在直线y kx m =+上，∴00y kx m =+，②由①②可得02212kmx k =-+，0212my k=+. ……………10分 以下同方法一.18．解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18AB =，6AD =，所以半圆的圆心为(9,6)H半径9r =．设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +-=， ...............2分 9=，解得24b =或32b =（舍）.故太阳光线所在3244y x =-+， ...............5分令30x =，得 1.5EG =米 2.5<米.所以此时能保证上述采光要求. ...............7分 （2）设AD h =米，2AB r =米，则半圆的圆心为(,)H r h ，半径为r ．方法一：设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+， 即3440x y b +-=r =， 解得2r+或2b h r=-（舍）. ...............9分故太阳光线所在直线方程为324y x h r =-++， 令30x =，得4522EG r h =+-，由52EG ≤，得252h r ≤-. ...............11分所以222133222(252)222S rh r rh r r r r π=+=+⨯≤-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤.当且仅当10r =时取等号.所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，设过点G 的上述太阳光线为1l ，则1l 所在直线方程为y －52＝－34(x －30)，即341000x y +-=． ...............10分由直线1l 与半圆H 相切，得|34100|5r h r +-=．而点H (r ，h )在直线1l 的下方，则3r ＋4h －100＜0， 即341005r h r +-=-，从而252h r =-． ...............13分又221322(252)22S rh r r r r π=+=-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤.当且仅当10r =时取等号.所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分19．解：（1）当2a =时，方程()0xg e =即为1230xxe e +-=，去分母，得 22()310x x e e -+=，解得1x e =或12x e =， ……………2分故所求方程的根为x =或ln 2x =-. ……………4分 （2）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x x ax x xϕ-=+=++->，所以222211(1)((1))(1)()a ax x a ax a x x a x x x x ϕ-+----+'=+-==（0x >）， ……………6分①当0a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；②当1a >时，由()0x ϕ'>，解得1a x a->； ③当01a <<时，由()0x ϕ'>，解得0x >； ④当1a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；⑤当0a <时，由()0x ϕ'>，解得10a x a -<<.综上所述，当0a <时，()x ϕ的增区间为1(0,)a a-；当01a ≤≤时，()x ϕ的增区间为(0,)+∞；1a >时，()x ϕ的增区间为1(,)a a-+∞. .……………10分 （3）方法一：当1a =时，()3g x x =-，()(3)ln h x x x =-，所以3()ln 1h x x x '=+-单调递增，33()ln 12022h '=+-<，3(2)ln 2102h '=+->，所以存在唯一03(,2)2x ∈，使得0()0h x '=，即003ln 10x x +-=， .……………12分当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，所以20min 00000000(3)39()()(3)ln (3)(1)6()x h x h x x x x x x x x -==-=--=-=-+，记函数9()6()r x x x =-+，则()r x 在3(,2)2上单调递增， .……………14分所以03()()(2)2r h x r <<，即031()(,)22h x ∈--， 由322λ≥-，且λ为整数，得0λ≥， 所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. .……………16分方法二：当1a =时，()3g x x =-，所以()(3)ln h x x x =-，由(1)0h =得，当λ=时，不等式2()h x λ≥有解， .……………12分下证：当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立，即证(3)ln 2x x ->-恒成立.显然当(0,1][3,)x ∈+∞U 时，不等式恒成立， 只需证明当(1,3)x ∈时，(3)ln 2x x ->-恒成立. 即证明2ln 03x x +<-.令2()ln 3m x x x =+-，所以2221289()(3)(3)x x m x x x x x -+'=-=--，由()0m x '=，得4x = .……………14分当(1,4x ∈，()0m x '>；当(4x ∈-，()0m x '<；所以max 121()(4ln(4ln(42)ln 21033m x m +==-<--=-<. 所以当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立.综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. .……………16分20．（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，2014201300b b ∴=⨯=，2015201433b b ∴=+=，2016201536b b ∴=+=. ……………3分方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=，…∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列.∴201666b b ==. ……………3分②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴()()()32313131331313126n n n n n n n n b b b d b qb d b q b d d b d +-+-----=+-=+-=++-==⎡⎤⎣⎦，∴{}31n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列，又()()32313313131313n n n n n n n b b b b d b b d b ------++=-+++=Q ，()()()312345632313n n n n S b b b b b b b b b --∴=+++++++++L()()2253113346932n n n b b b n n n --⎡⎤=++=+⨯=+⎢⎥⎣⎦L ， ……………6分133n n S λ-≤⋅Q ，313n n S λ-∴≤，设313nn n S c -=，则()max n c λ≥， 又()()()2221112322913193333n n n n n n n n n n n c c +-----++++-=-=， 当1n =时，23220n n --<，12c c <；当2n ≥时，23220n n -->，1n n c c +<，∴123c c c <>>⋅⋅⋅，∴()2max 14n c c ==， ……………9分∴14λ≥，得[)14,λ∈+∞. ……………10分方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++-=-==，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列，∴()2363176342n n n b b b n n n -+++=+⨯=+L ， 易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，()21245323122121362n n n n b b b b b b n n n ---∴++++++=⨯+⨯=-L ， ()()222334693n S n n n n n n ∴=++-=+， ………………6分以下同方法一.（2）方法一：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，则等比数列{}n b 的公比为1k kb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=， 当m N*∈时，21k m k m b b d++-=，即()11km km km bqbq bq q d +-=-=恒成立， ……………12分①若1q =，则0d =，n b b =； ②若1q ≠，则()1kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-；经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b=或()11n n b b -=-. ……………16分方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，()3b b d q =+，()4b b d q d =++，由2132b b b =，得b d bq +=；由2243b b b =，得()()2b d q b d q d +=++，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或()11n n b b -=-，经检验均合题意. …………13分②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132b b b =，得()()22b d b b d +=+，得0d =，则n b b =，经检验适合题意.综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b=或()11n n b b -=-. ……………16分附加题答案21. A 、解：由切割线定理得：PD PA PC PB ⋅=⋅则4(24)3(3)BC ⨯+=⨯+，解得5BC =， …………4分 又因为AB是半圆O 的直径，故2π=∠ADB , …………6分则在三角形PDB 中有34166422=-=-=PD PB BD . …………10分 B、解：由题意得2112 322m λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………4分 则4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩， …………8分 解得0m =，4λ=-. …………10分C、解：直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)化为普通方程为034=-y x ， …………2分圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为()1122=+-y x ， …………4分则圆C的圆心到直线l 的距离为()5434422=-+=d ， …………6分 所以56122=-=d AB . …………10分D 、解：由柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，即2x y z ++≤， …………5分又因为21x y z ++=，所以61222≥++z y x ， 当且仅当121x y z ==，即11,63x z y ===时取等号.综上，()61min222=++z y x. …………10分22．解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为321333P =-=⨯. …………4分 （2）由题意得1~(5,)3X B ，5512(),0,1,2,3,4,533kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………6分所以X…………8分所以，X 的数学期望为15()533E X =⨯=. …………10分23.解：（1）①()()()()111!!!!1!!k k n n n n kC nC k n k n k k n k ----=⨯-⨯--- ()()()()!!01!!1!!n n k n k k n k =-=----. ……………2分②()()()()()()2212212!!11!!2!!kk k n n n n n k C n n C nC k n n k n k k n k --------=⨯--⨯--- ()()()1!1!!n n k n k --⨯--()()()()()()!!!1!!2!!1!!n n n k k n k k n k k n k =⨯--------()()!1102!!11n k k n k k k ⎛⎫=--= ⎪----⎝⎭. ………………4分（2）方法一：由（1）可知当2k ≥时()()2221212kkkkkn n n n n k C k k C k C kC C +=++=++()()21121211211213k k k k k k kn n n n n n n n n C nC nC C n n C nC C ----------⎡⎤=-+++=-++⎣⎦. ……………6分故()()222212212311knn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()()()()20210121212221111213n n n n n n n n n n C C n n C C C n C C C --------=++-+++++++L L ()23n n n n C C C ++++L ()()()()21141232121n n n n n n n n --=++-+-+--()22254n n n -=++. ……………10分方法二：当3n ≥时，由二项式定理，有()12211nk k n nn n n n x C x C x C x C x +=++++++L L ，两边同乘以x ，得()1223111nkk n n n n n n x x x C x C x C xC x +++=++++++L L ，两边对x求导，得()()()()11221112311nn k k n nn n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++L L ，……………6分两边再同乘以x ，得()()()()12122311112311nn k k n n n n n n x x n x x x C x C x k C x n C x-+++++=++++++++L L ，两边再对x 求导，得()()()()()1212111121nn n n x n x x n n x x n x x ---++++-+++()()222122212311k k n nn n n n C x C x k C x n C x =++++++++L L . ……………8分 令1x =，得()121221222n n n n n n n n ---++-+()()22212212311k nnn n n C C k C n C =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++， 即()()2220212212311k nn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()22254n n n -=++. …………10分。

2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A ∩B= ． 2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ． 3．（5分）已知样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差s 2=3，则样本数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的方差为 ．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ．5．（5分）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ．6．（5分）已知实数x ，y 满足，则的最小值是 ．7．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为 ．8．（5分）设{a n }是等差数列，若a 4+a 5+a 6=21，则S 9= ． 9．（5分）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ．10．（5分）将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值是 ． 11．（5分）在△ABC 中，已知，，则的最大值为 ．12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点A k 、B k ，k=1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y=2lnx 的图象与圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y=f （x ）的图象经过点O ，P ，M ，则y=f （x ）的最大值为 ．14．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1?k2的值．18．（16分）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大（注：计算中π取3）19．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）?g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．20．（16分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{bn }的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{bn }为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C 交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCn k﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cn k﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn 0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）（2017?盐城一模）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B= {﹣1} ．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017?盐城一模）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为﹣1 ．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）（2017?盐城一模）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12 ．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4．（5分）（2017?盐城一模）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9 ．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．【点评】本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）（2017?盐城一模）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6．（5分）（2017?盐城一模）已知实数x，y满足，则的最小值是．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．【点评】本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7．（5分）（2017?盐城一模）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）（2017?盐城一模）设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= 63 ．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{an }是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2017?盐城一模）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10．（5分）（2017?盐城一模）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是 4 ．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG ）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S △EFG ）max =，∴三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值V max ==．故答案为：4．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）（2017?盐城一模）在△ABC 中，已知，，则的最大值为．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a 2+b 2≥2ab 即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a 2+b 2≥2ab 的运用．12．（5分）（2017?盐城一模）如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点A k 、B k ，k=1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是 512 ． 【分析】设直线与x 轴交点坐标为P ，由直线的倾斜角为300，又△A 1B 1A 2是等边三角形，求出△A 2B 2A 3、…找出规律，就可以求出△A 10B 10A 11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣1，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=1，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理 B2A2=PA3=4，…以此类推B 10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．【点评】本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13．（5分）（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．【分析】设P（x0，y），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x），即为x﹣y+y﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy=r2，即有（x0﹣3）x+yy+9﹣3x﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x）=2y，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2017?盐城一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式，从而可求S2≤﹣（c2﹣）2，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤（4﹣c2）2﹣=﹣+c2=﹣（c2﹣）2，当且仅当a=b时等号成立，∴当c2=时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）（2017?盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017?盐城一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC ＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B ﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…（2分）因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…（4分）又C∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，所以，所以，又，所以．…（8分）又，即，所以=sin[﹣（B﹣）]…（12分）=．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（14分）（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1?k2的值．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1?k2的值．【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x，y），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…（10分）则．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18．（16分）（2017?盐城一模）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大（注：计算中π取3）【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…（2分）则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…（5分）令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．所以此时能保证上述采光要求…（7分）（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…（9分）故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…（11分）所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30），即3x+4y﹣100=0…（10分）由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h﹣100＜0，即，从而h=25﹣2r…（13分）又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）（2017?盐城一模）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）?g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，∴x=﹣ln2或0；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=?x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x）=0，即lnx=﹣1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x，+∞）上单调递增，∴h（x）min =h（x）=﹣（x+）+6，∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x∈（，2），∴h（x）∈（﹣，﹣），∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）（2017?盐城一模）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{bn }的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{bn }为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．【分析】（1）①方法一：由{bn }的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b 2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{bn }的首项、段长、段比、段差，?b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b 5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…?bn}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{bn }的首项、段长、段比、段差，?b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，?{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n方法二：由{bn }的首项、段长、段比、段差?b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，?等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d 即可．【解答】（1）①方法一：∵{bn }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…（3分）方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…（3分）②方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…（6分）∵，∴，设，则λ≥（cn）max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（cn）max=c2=14，…（9分）∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{bn }中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…（6分）以下同方法一．（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{bn}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，…（12分）①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；经检验，满足条件的{bn }的通项公式为bn=b或．…（16分）方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则bn=b或，经检验均合题意．…（13分）②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，则bn=b，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{bn }的通项公式为bn=b或．…（16分）【点评】本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲] 21．（2017?盐城一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【分析】由切割线定理得：PD?PA=PC?PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．【解答】解：由切割线定理得：PD?PA=PC?PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…（4分）又因为AB是半圆O的直径，故，…（6分）则在三角形PDB中有．…（10分）【点评】本题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017?盐城一模）设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m=0，λ=﹣4．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…（2分）圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为，…（6分）所以．…（10分）【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017?盐城一模）若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）?（x2+y2+z2），即，…（5分）又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即时取等号．综上，．…（10分）【点评】本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解决．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（2017?盐城一模）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：X012345P…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型的概率，独立重复试验的分布列、期望，属于中档题．26．（2017?盐城一模）设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCn k﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cn k﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn 0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．【解答】解：（1）①=．…（2分）②==．…（4分）（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．（6分）故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…（6分）两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．…（8分）令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，即=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）【点评】本题考查了组合数的计算公式及其性质、利用导数的运算法则化简证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；zlzhan；lcb001；qiss；w3239003；wkl197822；陈远才；双曲线；刘老师；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年3月4日。

2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A ∩B= ．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ． 3．（5分）已知样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差s 2=3，则样本数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的方差为 ．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ．5．（5分）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ．6．（5分）已知实数x ，y 满足，则的最小值是 ．7．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为 ． 8．（5分）设{a n }是等差数列，若a 4+a 5+a 6=21，则S 9= ．9．（5分）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ． 10．（5分）将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值是 ．11．（5分）在△ABC 中，已知，，则的最大值为 ．12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点A k 、B k ，k=1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y=2lnx 的图象与圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y=f （x ）的图象经过点O ，P ，M ，则y=f （x ）的最大值为 ．14．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．18．（16分）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈，ln3≈）．20．（16分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{bn }的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{bn }为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l 与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCn k﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cn k﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn 0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）（2017•盐城一模）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B= {﹣1} ．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017•盐城一模）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为﹣1 ．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）（2017•盐城一模）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12 ．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4．（5分）（2017•盐城一模）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9 ．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．【点评】本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）（2017•盐城一模）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6．（5分）（2017•盐城一模）已知实数x，y满足，则的最小值是．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．【点评】本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7．（5分）（2017•盐城一模）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）（2017•盐城一模）设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= 63 ．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n }是等差数列，a 4+a 5+a 6=21， ∴a 4+a 5+a 6=3a 5=21，解得a 5=7， ∴=63． 故答案为：63．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2017•盐城一模）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k ∈Z ，进而可得答案． 【解答】解：把函数f （x ）=3sin （2x+）的图象向右平移φ个单位， 可得函数y=3sin[2（x ﹣φ）+]=3sin （2x+﹣2φ）的图象， 若所得函数为偶函数， 则﹣2φ=+kπ，k ∈Z ， 解得：φ=﹣+kπ，k ∈Z ， 当k=1时，φ的最小正值为． 故答案为：．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10．（5分）（2017•盐城一模）将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值是 4 ．【分析】三棱锥O ﹣EFG 的高为圆柱的高，即高为ABC ，当三棱锥O ﹣EFG 体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF 为直径，且G 在EF 的垂直平分线上时，（S△EFG）max =，由此能求出三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG ）max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值Vmax==．故答案为：4．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）（2017•盐城一模）在△ABC中，已知，，则的最大值为．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．12．（5分）（2017•盐城一模）如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点A k 、B k ，k=1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是 512 ．【分析】设直线与x 轴交点坐标为P ，由直线的倾斜角为300，又△A 1B 1A 2是等边三角形，求出△A 2B 2A 3、…找出规律，就可以求出△A 10B 10A 11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x 轴交点坐标为P （﹣1，0）， 又∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴∠B 1A 1A 2=600，B 1A 1=1，PA 2=2， ∴△A 2B 2A 3的边长为PA 2=2，同理 B 2A 2=PA 3=4，…以此类推 B 10A 10=PA 10=512，∴△A 10B 10A 11的边长是512， 故答案为：512．【点评】本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13．（5分）（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y=2lnx 的图象与圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y=f （x ）的图象经过点O ，P ，M ，则y=f （x ）的最大值为 ．【分析】设P （x 0，y 0），求得y=2lnx 的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x （3﹣x ），满足经过点P ，O ，M ，即可得到所求最大值．【解答】解：设P （x 0，y 0），函数y=2lnx 的导数为y′=， 函数y=2lnx 在点P 处的切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0）， 即为x ﹣y+y 0﹣2=0；圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的上点P 处的切线方程为（x 0﹣3）（x ﹣3）+yy 0=r 2， 即有（x 0﹣3）x+yy 0+9﹣3x 0﹣r 2=0； 由切线重合，可得 ==，即x0（3﹣x）=2y，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2017•盐城一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式，从而可求S2≤﹣（c2﹣）2，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤（4﹣c2）2﹣=﹣+c2=﹣（c2﹣）2，当且仅当a=b时等号成立，∴当c2=时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）（2017•盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017•盐城一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB ＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…（2分）因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…（4分）又C∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，所以，所以，又，所以．…（8分）又，即，所以=sin[﹣（B﹣）]…（12分）=．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（14分）（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x，y），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…（10分）则．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18．（16分）（2017•盐城一模）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=米＜米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，即可求出截面面积最大【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…（2分）则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…（5分）令x=30，得EG=米＜米．所以此时能保证上述采光要求…（7分）（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…（9分）故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…（11分）所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点G为（30，），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30），即3x+4y﹣100=0…（10分）由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l的下方，则3r+4h﹣100＜0，1即，从而h=25﹣2r…（13分）又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）（2017•盐城一模）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈，ln3≈）．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，∴x=﹣ln2或0；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=•x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x）=0，即lnx=﹣1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x，+∞）上单调递增，∴h（x）min =h（x）=﹣（x+）+6，∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x∈（，2），∴h（x）∈（﹣，﹣），∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）（2017•盐城一模）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an }满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{bn }的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{bn }为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．【分析】（1）①方法一：由{bn }的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{bn }的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b 5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒bn}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{bn }的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n +d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n方法二：由{bn }的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n }是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d 即可．【解答】（1）①方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…（3分）方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…（3分）②方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…（6分）∵，∴，设，则λ≥（cn）max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（cn）max=c2=14，…（9分）∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{bn }中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…（6分）以下同方法一．（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{bn}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，…（12分）①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；经检验，满足条件的{bn }的通项公式为bn=b或．…（16分）方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则bn=b或，经检验均合题意．…（13分）②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，则bn=b，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{bn }的通项公式为bn=b或．…（16分）【点评】本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．（2017•盐城一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【分析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．【解答】解：由切割线定理得：PD•PA=PC•PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…（4分）又因为AB是半圆O的直径，故，…（6分）则在三角形PDB中有．…（10分）【点评】本题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•盐城一模）设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m=0，λ=﹣4．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…（2分）圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为，…（6分）所以．…（10分）【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017•盐城一模）若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）•（x2+y2+z2），即，…（5分）又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即时取等号．综上，．…（10分）【点评】本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解决．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（2017•盐城一模）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：X012345P…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型的概率，独立重复试验的分布列、期望，属于中档题．26．（2017•盐城一模）设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCn k﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cn k﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn 0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．【解答】解：（1）①=．…（2分）②==．…（4分）（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．（6分）故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…（6分）两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．…（8分）令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，即=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）【点评】本题考查了组合数的计算公式及其性质、利用导数的运算法则化简证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；zlzhan；lcb001；qiss；w3239003；wkl197822；陈远才；双曲线；刘老师；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年3月4日。

2017年江苏省南京市、盐城市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，则 ______．2. 设复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为______．3. 已知样本数据，，，，的方差，则样本数据，，，，的方差为______．4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是______．5. 在数字，，，中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为______．6. 已知实数，满足则的最小值是______．7. 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为______．8. 设是等差数列，若，则 ______．9. 将函数的图象向右平移个单位后，所得函数为偶函数，则______．10. 将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值是______．11. 在中，已知，，则的最大值为______．12. 如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线上从左向右依次取点，，，其中是坐标原点，使都是等边三角形，则的边长是______．13. 在平面直角坐标系中，已知点为函数的图象与圆的公共点，且它们在点处有公切线，若二次函数的图象经过点，，，则的最大值为______．14. 在中，，，所对的边分别为，，，若，则面积的最大值为 ______．二、解答题（共12小题；共156分）15. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面．16. 在中，，，分别为内角，，的对边，且．（1）求角；（2）若，求的值．17. 在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于，两点，为弦的中点，，，记直线，的斜率分别为，，当时，求的值．18. 如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足．（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求?（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大?（注：计算中取）19. 设函数，．（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：，）．20. 若存在常数，，，使得无穷数列满足，则称数列为“段比差数列”，其中常数，，分别叫做段长、段比、段差、设数列为“段比差数列”．（1）若的首项、段长、段比、段差分别为，，，．①当时，求；②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由．21. 如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，，分别交半圆于点，．若，，，求的长．22. 设矩阵的一个特征值对应的特征向量为，求与的值．23. 在平面直角坐标系中，已知直线（为参数）．现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点，求弦的长．24. 若实数，，满足，求的最小值．25. 某年级星期一至星期五每天下午排节课，每天下午随机选择节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为，求的概率分布表与数学期望．26. 设，，．（1）求值：①；②；（2）化简：．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）因为，分别是，的中点，所以，又因为在三棱柱中，，所以．又平面，平面，所以 平面．（2）在直三棱柱中，底面，又底面，所以．又，，所以，又平面，且，所以平面．又平面，所以平面平面．16. （1）由，根据正弦定理，得，因为，，所以，又，所以．（2）因为，所以，所以，又，所以．又，即，所以17. （1）因，所以椭圆的焦点在轴上，又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距，所以，即，所以椭圆的方程为．（2）设，，，联立消去，得，所以，又，所以，所以，，则．18. （1）如图所示，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．，，所以半圆的圆心为，半径．设太阳光线所在直线方程为，即，则由，解得或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，令，得米米．所以此时能保证上述采光要求．（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即，由，解得或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，令，得，由，得．所以截面积当且仅当时取等号．所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大．方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长恰为米，则此时点为，设过点的上述太阳光线为，则所在直线方程为，即．由直线与半圆相切，得．而点在直线的下方，则，即，从而．又当且仅当时取等号．所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大．19. （1）当时，，可得或，，可得或，所以或；（2），①，，函数的单调递增区间是；②，，函数的单调递增区间是；③，，函数的单调递增区间是；④，，函数的单调递增区间是；⑤，，函数的单调递增区间是；（3），，，恒成立，所以在上单调递增，所以存在，，即，在上单调递减，上单调递增，所以，因为，，所以，所以，所以存在的最小值，使得关于的不等式有解．20. （1）①方法一：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，所以，所以，方法二：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，，，，，，，，所以当时，是周期为的周期数列．所以．②方法一：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以所以是以为首项、为公差的等差数列，又因为，所以因为，所以，设，则，又，当时，，；当时，，，所以，所以，所以，得．方法二：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，所以，所以是首项为、公差为的等差数列，所以，易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为公差为的等差数列，所以，所以，以下同方法一．（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为，，，则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，当时，，即恒成立，①若，则，，②若，则，则为常数，则，为偶数，，，经检验，满足条件的的通项公式为或．方法二：设的段长、段比、段差分别为，，，①若，则，，，，由，得；由，得，联立两式，得或则或，经检验均合题意．②若，则，，，由，得，得，则，经检验适合题意．综上①②，满足条件的的通项公式为或．21. 由切割线定理得：，则，解得，又因为是半圆的直径，故，则在三角形中有．22. 因为矩阵的一个特征值对应的特征向量为，所以解得，．23. 直线（为参数）化为普通方程为，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，则圆的圆心到直线的距离为，所以．24. 由柯西不等式，得，即，又因为，所以，当且仅当，即，时取等号．综上，．25. （1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．（2）由题意得，所以的概率分布表为：所以，的数学期望为．26. （1）①②（2）方法一：由（1）可知当时故方法二：当时，由二项式定理，有，两边同乘以，得两边对求导，得两边再同乘以，得两边再对求导，得令，得即第11页（共11 页）。

江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试数学注意事项:1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={-1,0,1},B=(-∞,0),则A∩B= .2.设复数z满足z(1+i)=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为.(第4题)3.已知样本数据x1,x2,x3,x4,x5的方差s2=3,那么样本数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差为.4.如图是一个算法流程图,则输出的x的值是.5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地选择两个数,则选中的两个数中至少有一个是偶数的概率为.6.若变量x,y满足约束条件则的最小值是.7.设双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为30°,则该双曲线的离心率为.8.设{a n}是等差数列,S n是其前n项和,若a4+a5+a6=21,则S9= .9.将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位长度后,若所得图象对应的函数为偶函数,则实数φ=.10.在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱,点A为圆柱上底面的圆心,△EFG为圆柱下底面的一个内接直角三角形,则三棱锥A-EFG体积的最大值是.11.在△ABC中,已知AB=,C=,那么·的最大值为.(第12题)12.如图,在平面直角坐标系xOy中,分别在x轴与直线y=(x+1)上从左向右依次取点A k,B k,k=1,2,…,其中A1是坐标原点,使△A k B k A k+1都是等边三角形,则△A10B10A11的边长是.13.在平面直角坐标系xOy中,已知点P为函数y=2ln x的图象与圆M:(x-3)2+y2=r2的公共点,且它们在点P处有公切线,若二次函数y=f(x)的图象经过点O,P,M,则y=f(x)的最大值为.14.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2+2c2=8,则△ABC面积的最大值为.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.(1) 求证:B1C1∥平面A1DE;(2) 求证:平面A1DE⊥平面ACC1A1.(第15题)16. (本小题满分14分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b sin 2C=c sin B. (1) 求角C的大小;(2) 若sin-=,求sin A的值.17. (本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=b2经过椭圆E:+=1(0<b<2)的焦点.(1) 求椭圆E的标准方程;(2) 设直线l:y=kx+m交椭圆E于P,Q两点,T为弦PQ的中点,M(-1,0),N(1,0),记直线TM,TN 的斜率分别为k1,k2,当2m2-2k2=1时,求k1·k2的值.(第17题)18. (本小题满分16分)如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30 m.活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看,活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD,上部分是以DC为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5 m,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ=.(1) 若设计AB=18 m,AD=6 m,问:能否保证上述采光要求?(2) 在保证上述采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中π取3)(第18题)19. (本小题满分16分)设函数f(x)=ln x,g(x)=ax+--3(a∈R).(1) 当a=2时,解关于x的方程g(e x)=0(其中e为自然对数的底数);(2) 求函数φ(x)=f(x)+g(x)的单调增区间;(3) 当a=1时,记h(x)=f(x)·g(x),是否存在整数λ,使得关于x的不等式2λ≥h(x)有解?若存在,请求出λ的最小值;若不存在,请说明理由.(参考数据:ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6)20. (本小题满分16分)若存在常数k(k∈N*,k≥2),q,d,使得无穷数列{a n}满足a n+1=则称数列{a n}为“段比差数列”,其中常数k,q,d分别叫做段长、段比、段差.设数列{b n}为“段比差数列”.(1) 若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,q,3.①当q=0时,求b2 016;②当q=1时,设{b n}的前3n项和为S3n,若不等式S3n≤λ·3n-1对n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.(2) 设{b n}为等比数列,且首项为b,试写出所有满足条件的{b n},并说明理由.江苏省南通市、泰州市2017届高三第一次模拟考试数学注意事项:1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.函数y=2sin-的最小正周期为.2.设集合A={1,3},B={a+2,5},A∩B={3},则A∪B= .(第5题)3.已知复数z=(1+2i)2,其中i为虚数单位,则z的实部为.4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球,从中摸出一只球.已知摸出红球的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,则摸出蓝球的概率为.5.如图所示是一个算法的流程图,则输出的n的值为.6.若实数x,y满足则z=3x+2y的最大值为.7..则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为(第8题)8.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3 cm,AA1=1 cm,则三棱锥D1-A1BD的体积为cm3.9.在平面直角坐标系xOy中,直线2x+y=0为双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,则该双曲线的离心率为.10.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积为3 L,下面的3节的容积为4 L,则该竹子最上面一节的容积为 L.11.在△ABC中,若·+2·=·,则的值为.12.已知两曲线f(x)=2sin x,g(x)=a cos x,x∈相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直,则实数a的值为.13.已知函数f(x)=|x|+|x-4|,则不等式f(x2+2)>f(x)的解集用区间表示为.14.在平面直角坐标系xOy中,已知B,C为圆x2+y2=4上两点,点A(1,1),且AB⊥AC,则线段BC的长的取值范围为.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边作锐角α,其终边与单位圆交于点A,以OA为始边作锐角β,其终边与单位圆交于点B,AB=.(1) 求cos β的值;(2) 若点A的横坐标为,求点B的坐标.(第15题)16. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC,BD相交于点O,点E为PC的中点,OP=OC,PA⊥PD.(1) 求证:直线PA∥平面BDE;(2) 求证:平面BDE⊥平面PCD.(第16题)17. (本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,焦点到相应准线的距离为1.(1) 求椭圆的标准方程;(2) 若P为椭圆上的一点,过点O作OP的垂线交直线y=于点Q,求+的值.(第17题)18. (本小题满分16分)如图,在某机械厂要将长6 m,宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪.已知点F为AD的中点,点E在边BC上,裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE 处(点C,D分别落在直线BC下方点M,N处,FN交边BC于点P),再沿直线PE裁剪.(1) 当∠EFP=时,试判断四边形MNPE的形状,并求其面积;(2) 若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由.(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)=ax2-x-ln x,a∈R.(1) 当a=时,求函数f(x)的最小值;(2) 若-1≤a≤0,求证:函数f(x)有且只有一个零点;(3) 若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.20. (本小题满分16分)已知等差数列{a n}的公差d不为0,且,,…,,…(k1<k2<…<k n<…)成等比数列,公比为q.(1) 若k1=1,k2=3,k3=8,求的值;(2) 当为何值时,数列{k n}为等比数列?(3) 若数列{k n}为等比数列,且对于任意的n∈N*,不等式a n+>2k n恒成立,求a1的取值范围.江苏省无锡市2017届高三第一次模拟考试数学注意事项:1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.设集合A={x|x>0},B={x|-1<x≤2},则A∩B= .2.若复数z=-(其中i是虚数单位),则复数z的共轭复数为.3.命题“∀x≥2,x2≥4”的否定是“,x2<4”.4.从3男2女共5名学生中任选2名学生参加座谈会,则选出的2人恰好为1男1女的概率为.(第5题)5.根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为.6.已知向量a=(2,1),b=(1,-1),若a-b与ma+b垂直,则实数m的值为.7.设不等式-表示的平面区域为M,若直线y=kx-2上存在M内的点,则实数k的取值范围为.8.已知f(x)=-是奇函数,则f(g(-2))= .9.设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3=-,且a2,a4,a3成等差数列,则数列{a n}的前4项和为.10.设f(x)=sin2x-cos x cos,则f(x)在上的单调增区间为.11.已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形,则该圆锥的体积等于.12.设P是有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且PF1⊥PF2,椭圆C1的率心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,若e2=3e1,则e1= .13.若函数f(x)在[m,n](m<n)上的值域恰好是[m,n],则称[m,n]为函数f(x)的一个“等值映射区中,存在唯一一个“等值映射区间”的函间”.下列函数:①y=x2-1,②y=2+log2x,③y=2x-1,④y=-数有个.14.已知a>0,b>0,c>2,且a+b=2,则+-+的最小值为.-二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A+cos2=1,D 为BC上一点,且=+.(1) 求sin A的值;(2) 若a=4,b=5,求AD的长.16. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AP⊥平面PCD,E,F分别为PC,AB的中点.(1) 求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2) 求证:EF∥平面PAD.(第16题)17. (本小题满分14分)某地拟在一个U形水面PABQ上修一条堤坝EN(E 在AP上,N在BQ上),围出一个封闭区域EABN,用以种植水生植物.为美观起见,决定从AB 上点M处分别向点E,N拉2条分隔线ME,MN将所围区域分成3个部分(如图),每部分种植不同的水生植物.已知AB=a,EM=BM,∠MEN=,设所拉分隔线总长度为l.(1) 设∠AME=2θ,求用θ表示l的函数表达式,并写出定义域;(2) 求l的最小值.(第17题)18. (本小题满分16分)已知椭圆+=1,动直线l与椭圆交于B,C两点(点B在第一象限).(1) 若点B的坐标为,求△OBC面积的最大值;(2) 设B(x1,y1),C(x2,y2),且3y1+y2=0,求当△OBC面积最大时,直线l的方程.19. (本小题满分16分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,S n=a n(r∈R,n∈N*).(1) 求r的值及数列{a n}的通项公式.(2) 设b n=(n∈N*),记{b n}的前n项和为T n.①当n∈N*时,λ<T2n-T n恒成立,求实数λ的取值范围;②求证:存在关于n的整式g(n),使得-(T i+1)=T n·g(n)-1对一切n≥2,n∈N*都成立.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)=x2+mx+1(m∈R),g(x)=e x.(1) 当x∈[0,2]时,F(x)=f(x)-g(x)为增函数,求实数m的取值范围;(2) 若m∈(-1,0),设函数G(x)=,H(x)=-x+,求证:对任意x1,x2∈[1,1-m],G(x1)≤H(x2)恒成立.江苏省苏州市2017届高三第一次模拟考试数学注意事项:1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={x|x>1},B={x|x<3},则集合A∩B= .2.已知复数z=-,其中i是虚数单位,则复数z的虚部是.3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的离心率是.4.用分层抽样的方法从某高中在校学生中抽取一个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,已知该校高二年级共有学生300人,则该校学生总数为.(第6题)5.一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,则目标受损但未完全击毁的概率为.6.阅读如图所示的流程图,如果输出的函数f(x)的值在区间内,那么输入的实数x的取值范围是.7.已知实数x,y满足约束条件-则目标函数z=2x-y的最大值是.8.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a2=7,S7=-7,则a7的值为.9.在平面直角坐标系xOy中,已知过点M(1,1)的直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=5相切,且与直线ax+y-1=0垂直,则实数a= .10.已知一个长方体的三条棱长分别为3,8,9,若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化,则圆孔的半径为.11.已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为.12.若2tan α=3tan,则tan-= .13.已知函数f(x)=--若关于x的方程|f(x)|-ax-5=0恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数a的取值集合为.14.已知A,B,C是半径为1的圆O上的三点,AB为圆O的直径,P为圆O内一点(含圆周),则·+·+·的取值范围为.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知函数f(x)=sin 2x-cos2x-.(1) 求f(x)的最小值,并写出取得最小值时的自变量x的集合;(2) 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=,f(C)=0,若sin B=2sin A,求a,b的值.16. (本小题满分14分)如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F是BB1的中点,M是线段AC1的中点.(1) 求证:直线MF∥平面ABCD;(2) 求证:平面AFC1⊥平面ACC1A1.(第16题)17. (本小题满分14分)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(2,-1).(1) 求椭圆C的方程;(2) 设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.(第17题)18. (本小题满分16分)某湿地公园内有一条河,现打算建一座桥(如图(1))将河两岸的路连接起来,剖面设计图纸如图(2)所示,其中点A,E为x轴上关于原点对称的两点,曲线段BCD是桥的主体,C为桥顶,且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=(x∈[-2,2]),曲线段AB,DE均为开口向上的抛物线段,且A,E分别为两抛物线的顶点.设计时要求:保持两曲线在各衔接处(B,D)的切线的斜率相等.(1) 求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域.(2) 车辆从A经B到C爬坡.定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为M P=(点P与桥顶间的水平距离)×(设计图纸上点P处的切线的斜率),其中M P的单位:m.若该景区可提供三种类型的观光车:①游客踏乘;②蓄电池动力;③内燃机动力,它们的爬坡能力分别为0.8 m,1.5 m,2.0 m,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1 m,试问:三种类型的观光车是否都可以顺利过桥?图(1)图(2)(第18题)19. (本小题满分16分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-2(n∈N*).(1) 求数列{a n}的通项公式.(2) 若数列{b n}满足=-+-…+(-1)n+1,求数列{b n}的通项公式.(3) 在(2)的条件下,设c n=2n+λb n,问:是否存在实数λ使得数列{c n}(n∈N*)是单调递增数列?若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)=(ln x-k-1)x(k∈R).(1) 当x>1时,求f(x)的单调区间和极值;(2) 若对于任意x∈[e,e2],都有f(x)<4ln x成立,求k的取值范围;(3) 若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1x2<e2k.江苏省苏北四市2017届高三第一次模拟考试数学注意事项:1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={-2,0},B={-2,3},则A∪B= .2.已知复数z满足(1-i)z=2i,其中i为虚数单位,则z的模为.3.某次比赛甲得分的茎叶图如图所示.去掉一个最高分,去掉一个最低分,则剩下4个分数的方差为.(第3题)(第4题)4.根据如图所示的伪代码,则输出的S的值为.5.从1,2,3,4,5,6这6个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和能被3整除的概率为.6.若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线-=1(a>0)的右焦点,则a的值为.7.已知圆锥的底面直径与高都是2,则该圆锥的侧面积为.8.若函数f(x)=sin-(ω>0)的最小正周期为,则f的值为.9.已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=2a2+3,S3=2a3+3,则公比q的值为.10.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-3,则不等式f(x)≤-5的解集为.的最小值是.11.若实数x,y满足xy+3x=3,则+-12.已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,则a与2a-b的夹角的余弦值为.13.已知A,B是圆C1:x2+y2=1上的动点,AB=,P是圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,则|+|的取值范围为.14.已知函数f(x)=-若函数f(x)的图象与直线y=x有三个不同的公共点,则实数a的取值集合为.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos A(b cos C+c cosB)=a.(1) 求角A的大小;(2) 若cos B=,求sin(B-C)的值.16. (本小题满分14分)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面EAB⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,EA⊥EB,M,N分别为AE,CD的中点.(第16题)(1) 求证:直线MN∥平面EBC;(2) 求证:直线EA⊥平面EBC.17. (本小题满分14分)如图,已知A,B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B 处,点C在A的正西方向1 km处,tan∠BAN=,∠BCN=.现计划铺设一条电缆联通A,B两镇.有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设;②在湖岸MN上选一点P,先沿线段AP在地下铺设,再沿线段PB在水下铺设.预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km.(第17题)(1) 求A,B两镇间的距离;(2) 应该如何铺设,才能使总铺设费用最低?18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线的距离为6.(1) 求椭圆C的标准方程.(2) 设A为椭圆C的左顶点,P为椭圆C上位于x轴上方的点,直线PA交y轴于点M,过点F 作MF的垂线,交y轴于点N.①当直线PA的斜率为时,求△FMN的外接圆的方程;②设直线AN交椭圆C于另一点Q,求△APQ的面积的最大值.(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)=-ax,g(x)=ln x-ax,a∈R.(1) 解关于x(x∈R)的不等式f(x)≤0.(2) 求证:f(x)≥g(x).(3) 是否存在常数a,b,使得f(x)≥ax+b≥g(x)对任意的x>0恒成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.20. (本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且a1=a,(a n+1)·(a n+1+1)=6(S n+n),n∈N*.(1) 求数列{a n}的通项公式;(2) 若对任意的n∈N*,都有S n≤n(3n+1),求实数a的取值范围;(3) 当a=2时,将数列{a n}中的部分项按原来的顺序构成数列{b n},且b1=a2,求证:存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n}.江苏省常州市2017届高三第一次模拟考试数学注意事项:1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={3,4},B={1,4,5},则A∪(∁U B)= .2.已知x>0,若(x-i)2是纯虚数(其中i为虚数单位),则x= .3.某单位有老年人20人,中年人120人,青年人100人,现采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n的样本,已知从青年人中抽取的人数为10人,则n= .4.双曲线-=1的右焦点与左准线之间的距离是.5.函数y=-+lg(x+2)的定义域为.(第6题)6.执行如图所示的流程图,若输入a=27,则输出的b的值为.7.满足等式cos 2x-1=3cos x(x∈[0,π])的x的值为.8.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a3=4,S9-S6=27,则S10= .9.已知男队有号码为1,2,3的三名乒乓球运动员,女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员,现两队各出一名运动员比赛一场,则出场的两名运动员号码不同的概率是.10.以一个圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高,则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为.11.在△ABC中,∠C=45°,O是△ABC的外心,若=m+n(m,n∈R),则m+n的取值范围是.12.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点F是椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,若P,Q是椭圆与抛物线的公共点,且直线PQ经过焦点F,则该椭圆的离心率为.13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=3b2+3c2-2bc sin A,则角C= .14.若函数f(x)=-(a∈R)在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+c=8,cos B=.(1) 若·=4,求b的值;(2) 若sin A=,求sin C的值.16. (本小题满分14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都相等,且∠ABB1=60°,D为AC的中点.(1) 求证:B1C∥平面A1BD;(2) 求证:AB⊥B1C.(第16题)17. (本小题满分14分)已知圆C:(x-t)2+y2=20(t<0)与椭圆E:+=1(a>b>0)的一个公共点为B(0,-2),F(c,0)为椭圆E的右焦点,直线BF与圆C相切于点B.(1) 求t的值以及椭圆E的方程;(2) 过点F任作与坐标轴都不垂直的直线l与椭圆E交于M,N两点,在x轴上是否存在一定点P,使得PF恰为∠MPN的角平分线?18. (本小题满分16分)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为- L,其中k为常数,且60≤k≤100.(1) 若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,求x的取值范围;(2) 求该汽车行驶100 km的油耗的最小值.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)=ax2ln x+bx+1.(1) 若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x-2y+1=0,求f(x)的单调区间;(2) 若a=2,且关于x的方程f(x)=1在上恰有两个不相等的实根,求实数b的取值范围;(3) 若a=2,b=-1,当x≥1时,关于x的不等式f(x)≥t(x-1)2恒成立,求实数t的取值范围.(其中e 是自然对数的底数,e=2.718 28…)20. (本小题满分16分)已知数列{a n}满足a1=10,a n-10≤a n+1≤a n+10(n∈N*).(1) 若{a n}是等差数列,S n=a1+a2+…+a n,且S n-10≤S n+1≤S n+10(n∈N*),求公差d的取值集合;(2) 若a1,a2,…,a k成等比数列,公比q是大于1的整数,且a1+a2+…+a k>2 017,求正整数k的最小值;(3) 若a1,a2,…,a k成等差数列,且a1+a2+…+a k=100,求正整数k的最小值以及k取最小值时公差d的值.江苏省镇江市2017届高三第一次模拟考试数学注意事项:1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为.2.已知复数z=(1-2i)(3+i),其中i为虚数单位,则|z|= .3.若圆锥底面半径为2,高为,则其侧面积为.4.袋中有形状、大小都相同的5只球,其中3只白球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.5.将函数y=5sin的图象向左平移φ个单位长度后,所得函数图象关于y 轴对称,则φ=.6.已知数列{a n}为等比数列,且a1+1,a3+4,a5+7成等差数列,那么公差d= .7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x)>x的解集为.8.已知双曲线-=1的焦点到相应准线的距离等于实轴长,那么双曲线的离心率为.9.圆心在直线y=-4x上,且与直线x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的标准方程为.10.已知椭圆+=1(m,n为常数,m>n>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点,则·= .11.定义在上的函数f(x)=8sin x-tan x的最大值为.12.若不等式log a x-ln2x<4(a>0且a≠1)对任意x∈(1,100)恒成立,则实数a的取值范围为.13.已知函数y=与函数y=的图象共有k(k∈N*)个公共点:A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,A k(x k,y k),则(x i+y i)= .14.已知不等式(m-n)2+(m-ln n+λ)2≥2对任意m∈R,n∈(0,+∞)恒成立,那么实数λ的取值范围为.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知向量m=(cosα,-1),n=(2,sinα),其中α∈,且m⊥n.(1) 求cos2α的值;(2) 若sin(α-β)=,且β∈,求角β的大小.16. (本小题满分14分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=EC=AA1.(1) 求证:AC1∥平面BDE;(2) 求证:A1E⊥平面BDE.(第16题)17. (本小题满分14分)如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=200 m,斜边AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC三条大道上嬉戏,所在位置分别记为点D,E,F.(1) 若甲、乙两人都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟2 min出发,当乙出发1 min后,求此时甲、乙两人之间的距离;(2) 设∠CEF=θ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍,且∠DEF=,请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数,并求甲、乙之间的最小距离.(第17题)18. (本小题满分16分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点-在椭圆C上.(1) 求椭圆C的方程;(2) 若直线l与椭圆C交于点P,Q,线段PQ的中点为H,O为坐标原点且OH=1,求△POQ面积的最大值.19. (本小题满分16分)已知n∈N*,数列{a n}的各项均为正数,前n项的和为S n,且a1=1,a2=2,设b n=a2n-1+a2n.(1) 如果数列{b n}是公比为3的等比数列,求S2n;(2) 如果对任意的n∈N*,S n=恒成立,求数列{a n}的通项公式;(3) 如果S2n=3(2n-1),数列{a n a n+1}也为等比数列,求数列{a n}的通项公式.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)=x ln x,g(x)=λ(x2-1)(λ为常数).(1) 已知函数y=f(x)与y=g(x)在x=1处有相同的切线,求实数λ的值;(2) 如果λ=,且x≥1,求证:f(x)≤g(x);(3) 若对任意x∈[1,+∞),不等式f(x)≤g(x)恒成立,求实数λ的取值范围.江苏省扬州市2017届高三第一次模拟考试数学注意事项:1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={x|x≤0},B={-1,0,1,2},则A∩B= .=a+b i(i为虚数单位,a,b∈R),则ab= .2.设-3.某学校共有师生3 200人,现采用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是.(第4题)4.如图是一个求函数值的算法流程图,若输入的x的值为5,则输出的y的值为.5.已知直线l:x+y-2=0与圆C:x2+y2=4交于A,B两点,则弦AB的长度为.6.已知A,B∈{-3,-1,1,2}且A≠B,则直线Ax+By+1=0的斜率小于0的概率为.7.若实数x,y满足---则z=2x+3y的最大值为.8.若正四棱锥的底面边长为2 cm,侧面积为8 cm2,则它的体积为cm3.9.已知抛物线y2=16x的焦点恰好是双曲线-=1的右焦点,则双曲线的渐近线方程为.10.已知cos=,那么sin(π+α)= .11.已知x=1,x=5是函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)两个相邻的极值点,且f(x)在x=2处的导数f'(2)<0,则f(0)= .12.在正项等比数列{a n}中,若a4+a3-2a2-2a1=6,则a5+a6的最小值为.13.已知△ABC是边长为3的等边三角形,点P是以A为圆心的单位圆上一动点,点Q满足=+,则||的最小值是.14.已知一个长方体的表面积为48 cm2,12条棱的长度之和为36 cm,则这个长方体的体积的取值范围是cm3.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在△ABC中,AB=6,AC=3,·=-18.(1) 求BC的长;(2) 求tan2B的值.16. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,点E,F分别是棱PC 和PD的中点.(1) 求证:EF∥平面PAB;(2) 若AP=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求证:AF⊥平面PCD.(第16题)17. (本小题满分14分)如图,矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图,点E在AB上,在梯形BCDE区域内部展示文物,DE是玻璃幕墙,游客只能在△ADE区域内参观.在AE上点P 处安装一可旋转的监控摄像头,∠MPN为监控角,其中M,N在线段DE(含端点)上,且点M在点N的右下方.经测量得知:AD=6 m,AE=6 m,AP=2 m,∠MPN=.记∠EPM=θ(rad),监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S m2.(1) 求S关于θ的函数关系式,并写出θ的取值范围;参考数据(2) 求S的最小值.(第17题)18. (本小题满分16分)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0),圆O:x2+y2=b2,过椭圆C的上顶点A的直线l:y=kx+b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P,Q,设=λ.(1) 若点P(-3,0),点Q(-4,-1),求椭圆C的方程;(2) 若λ=3,求椭圆C的离心率e的取值范围.(第18题)19. (本小题满分16分)已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为A n和B n,且对任意的n∈N*,a n+1-a n=2(b n+1-b n)恒成立.(1) 若A n=n2,b1=2,求B n.(2) 若对任意的n∈N*,都有a n=B n及+++…+<成立,求正实数b1的取值范围.(3) 若a1=2,b n=2n,是否存在两个互不相等的整数s,t(1<s<t),使得,,成等差数列?若存在,求出s,t的值;若不存在,请说明理由.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)=g(x)·h(x),其中函数g(x)=e x,h(x)=x2+ax+a.(1) 求函数g(x)在(1,g(1))处的切线方程;(2) 当0<a<2时,求函数f(x)在x∈[-2a,a]上的最大值;(3) 当a=0时,对于给定的正整数k,问:函数F(x)=e·f(x)-2k(ln x+1)是否有零点?请说明理由.(参考数据:e≈2.718,≈1.649,e≈4.482,ln2≈0.693)江苏省南京市、盐城市、连云港市2017届高三第二次模拟考试数学注意事项:1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.的定义域为.1.函数f(x)=ln-。