07-08《微积分》(二)期末试卷 A
- 格式:doc
- 大小:201.50 KB
- 文档页数:6
共 4 页,第 1 页 学生答题注意:勿超黑线两端;注意字迹工整。
共 4页,第 2 页) ()f x 在x a =处可导; (B )()f x 在x a =处不连续; (C)。
lim ()x af x →不存在 ; (D ) ()f x 在x a =处没有定义。
、设lnsin y x =,则dy =( )(A) 1cos x ; (B ) 1cos dx x;(C) cot x dx -; (D) cot x dx 。
6. 若()f x 的一个原函数为2x ,则()f x dx '=⎰( ) (A)12x C + (B ) 2x C + (C) x C + (D ) 2C +7、 1dx =⎰( )(A ) 2; (B ) 2π-; (C ) 0; (D )。
8、对-p 级数∑∞=11n p n ,下列说法正确的是( )(A ) 收敛; (B ) 发散;(C ) 1≥p 时,级数收敛; (D) 级数的收敛与p 的取值范围有关。
9、二元函数在(,)xy f x y ye =点0(1,1)p 可微,则(,)xy f x y ye =在0p 的全微 )00)()limx x f x x→-- .cos x ,求它的微分共 4 页,第 5 页 学生答题注意:勿超黑线两端;注意字迹工整。
共 4页,第 6 页5、(10分)求微分方程()x xe y dx xdy +=在初始条件1|0x y ==下的特解;6、(12分)判断级数211ln(1)n n ∞=+∑的敛散性。
《微积分》课程期末考试试卷参考答案及评分标准(A 卷,考试)一、单项选择(在备选答案中选出一个正确答案,并将其号码填在题目后的括号内.每题3分,共30分)1、(C );2、(D );3、(B);4、(A );5、(D);6、(B);7、(A );8、(D );9、(A); 10、(D)。
二、填空(每题4分,共20分)1、 bx n e a b )ln (;2、 同阶无穷小;3、3- ;4、0;5、2。
《微积分Ⅱ》课外练习题一、选择:1. 函数在闭区间上连续是在上可积的. ( )A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.无关条件2. 二元函数定义域是. ( ) B.D.比较大小:. ( )B. C. D.不确定4.微分方程的阶数是. ( )A.5 B.3 C.2 D.15.下列广义积分发散的是. ( )A. B. C. D.6.是级数收敛的条件. ( )A.必要非充分 B.充分非必要 C.充分必要 D.无关7.如果点为的极值点,且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的. ( )最大值点 B.驻点 C.最小值点 D.以上都不对微分方程是微分方程. ( )A.一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次9 .设是第一象限内的一个有界闭区域,而且。
记,,,则的大小顺序是. ( )C. D.10. 函数的连续区域是. ( )B.D.1. . ( )B. C. D.12.下列广义收敛的是. ( ) A. B. C. D..下列方程中,不是微分方程的是. ( ) A. B. C. D..微分方程的阶数是. ( )A.5 B.3 C.2 D.1.二元函数的定义域是. ( )A. B.C. D..设,则 ( )A. B. C. D..= 其中积分区域D为区域:. ( )A. B. C. D.18.下列等式正确的是. ( ) A.B.C.D.19.二元函数的定义域是. ( )A. B.C. D.20.曲线在上连续,则曲线与以及轴围成的图形的面积是.( )A.B.C.D.||.. ( )A. B. C. D.22.= 其中积分区域D为区域:. ( )A. B. C. D.23.下列式子中正确的是. ( )A. B.C. D.以上都不对24. 二元函数的定义域是 ( )A. B.C. D.25.二元函数在点的某一邻域内有连续的偏导数是函数在点的.( )A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.无关条件26.设,则. ( )A. B. C. D.. . ( )A. B. C. D.. = 其中积分区域D为区域:. ( )A. B. C. D.29. . ( )A. B. C. D.30. 则=. ( )A. B. C. D.31.函数的连续区域是. ( )A. B.C. D.32. . ( )A. B. C. D.33.差分方程的阶数为. ( )A. B. C. D.34.微分方程的阶数是 ( )A. B. C. D.35.函数的定义域是. ( )A. B.C. D.36.级数的部分数列有界是该级数收敛的. ( )A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.无关条件37. ,其中积分区域D为区域. ( )A. B. C. D.38.微分方程的阶是. ( )A.一阶 B. 二阶 C.三阶 D.以上均不对 39.. ( )A. B. C. D.40.二元函数的定义域是 ( )A. B.C. D.以上都不对41.设,则 ( )A. B. C. D.42.下列式子中正确的是. ( )A. B. C. D.以上都不对43., ( )A. B. C. D.44.微分方程是. ( )A.一阶线性非齐次微分方程 B.一阶齐次微分方程C.可分离变量的微分方程 D.不可分离变量的微分方程45. 设是第二象限内的一个有界闭区域,而且。
广东外语外贸大学《微积分(2)》2006-2007学年第二学期期末考试试卷(A )考核对象:经贸、工管、商英各专业 考试时间:90分钟班级:____ 学号:____ 姓名:____ 成绩:___一. 单项选择题(每小题3分,共18分)1.⎰b xt dt e dx d 2的结果为( ) A .2x e B .2x e - C .22x b e - D .22x xe -2.下列积分值为零的是( )A .⎰-222sin ππxdx B .⎰-11sin xdx x C .⎰-+11cos 1dx x x D .⎰-21xdx3.二元函数y x z -=的定义域是( )A .}0|),{(2x x y x ≤≤B .}0,0|),{(2x y x y x ≤≤≥C .}0|),{(2x y y x ≤<D .}0,0|),{(2x y x y x ≤<> 4.二元函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的驻点是( )A .(-1,1)B .(-1,-1)C .(1,1)D .(1,-1) 5.交换⎰⎰a y dx y x f dy 00),((a 为常数)的积分次序后得( ) A .⎰⎰y a dy y x f dx 00),( B .⎰⎰a y dy y x f dx 00),( C .⎰⎰ax dy y x f dx 00),( D .⎰⎰a a x dy y x f dx 0),( 6.已知dy y x x by dx x y axy )3sin 1()cos (2223+++-为某一函数的全微分,则a 和b 的值分别是( )A .2和-2B .-2和2C .3和-3D .-3和3二. 填空(每小格3分,共18分)1.=→→x xy y x sin lim 3____2.设)ln(y x x z +=,则xz ∂∂=________, y z ∂∂=________ 3.瑕积分dx x⎰1021的敛散性为____ 4.交换二次积分dy y x f dx x x ),(2022⎰⎰的积分次序___________________5.化dy y x f dx x x ),(20202⎰⎰-为极坐标形式的二次积分____________________三. 计算题(共52分)1.4002arctan lim x tdt x x ⎰→ (6分) 2.⎰πθθ03sin d (6分) 3.dx x x ⎰-++0341 (6分) 4.⎰∞+12ln dx x x (6分) 5.计算σd y x D ⎰⎰2,其中D 为由直线x y =, xy 1=,2=x 所围成的区域.(10分) 6.已知v ue z -=,22y x u +=及xy v arctan =, 求dz . (9分) 7.已知),(y x f z =由方程xy e z z=+确定,求x z ∂∂及y x z ∂∂∂2. (9分) 四.求曲线)230(sin π≤≤=x x y 与直线23π=x 及x 轴所围成的图形的面积及该图形绕x 轴旋转一周所形成的立体的体积. (7分) 五.已知⎰-=10)()(dx e x f x x f x ,求⎰10)(dx x f . (5分)。
微积分Ⅱ期末考试试卷1一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答,该题不得分.每小题3分,共15分.)1.若c x g dx x f +=⎰)()(,则=⎰dx x xf )(cos sin ________.2.极限=⎰→xtdt xx 020cos lim________.3.已知xy z =而)tan(t s x +=,)cot(t s y +=则=∂∂sz________. 4.设{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D 则=⎰⎰Dxy d xe σ________.5.微分方程02=+''y y 的通解为________.二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者,该题不得分.每小题3分,共15分.) 1.设⎰=+21xdx ________.A. c x +arctanB. c x x +++)1ln(2C. c x ++212D. c x ++)1ln(212.2.下列积分值为0的是________.A. ⎰+∞+0211dx xB. ⎰-1121dx xC. ⎰-++ππdx x x x )cos 1sin (2D. ⎰--1121dx x . 3.函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微的充分条件是函数在该点处________. A.有极限 B.连续 C.偏导数存在 D.有连续的偏导数. 4. =⎰⎰10),(xdy y x f dx ________.A. ⎰⎰1010),(dx y x f dy B. ⎰⎰y dx y x f dy 01),(C. ⎰⎰100),(y dx y x f dy D. ⎰⎰101),(ydx y x f dy .5.下列级数收敛的是________.A .∑∞=-+-12123n n n n B. nn n n∑∞=+1)1(C . ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n n D. ∑∞=1!n n nn .三、(计算题请写出主要步骤及结果,每小题6分,共18分.) 1. ⎰dx e x x 2 2. ⎰+41)1(x x dx 3.请给出第七章(定积分)的知识小结.四、(请写出主要计算步骤及结果,6分.) 已知方程z x e z xy +=+ 确定函数),(y x z z = 求dz . 五、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)求⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆周122=+y x 围成的区域.六、(请写出主要计算步骤及结果,8分.) 求初值问题的解⎩⎨⎧=+==0)2(0x y dx y x dy 七、(请写出主要计算步骤及结果,8分.) 求幂级数∑∞=-0)1(n nnnx 的收敛半径,收敛区间.并求∑∞=03n nn的和. 八、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)求由2x y =与2y x =所围成的平面图形的面积,并求此平面图形分别绕x 轴,y 轴旋转所成的体积.九、经济应用题(请写出主要计算步骤及结果,8分.)某厂生产某种产品的生产函数为y x Q 2005.0=,若甲、乙两种原料的单价分别为1万元和5万元,现用150万元购原料,求两种原料各购多少时,能使生产量最大?最大生产量为多少? 十、证明题(请写出推理步骤及结果,6分.)设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且有M x f ≤'(及0)(=a f ,试证:⎰-≥b adx x f b a M )()(22微积分Ⅱ期末考试试卷1答案一、1.c x g +-)(cos 2.1 3.)(csc )tan()cot()(sec 22t s t s t s t s ++-++4.2-e5.x c x c y 2sin 2cos 21+= 二、1.B 2.C 3.D 4.D 5.D三、1. ce xe e x dxe xe e x xde e x dx xe e x de x dx ex xxxx x x x x x x x x++-=+-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰2222222222222. x t =2t x =⎰⎰⎰=-=+=+-=+=+41212121234ln 221ln 232ln 21ln 2)111(2)1(2)1(t t dt t t t t tdt x x dx四、z x e z xy z y x F +-+=),,(z x x e y F +-= x F y = z x z e F +-=111-+--=---=-=∂∂++z xy zxy y e e y F F x z zx z x Z x 11-+=--=-=∂∂+z xy xe x F F y z z x Z y dy z xy xdx z xy z xy y dy y z dx x z dz 11-++-+--=∂∂+∂∂=五、⎰⎰⎰⎰+=++Drdr r d d y x 122022)1ln()1ln(πθσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+=⎰⎰⎰1022210221022201)1ln()1ln(21dr r r r r dr r d πθπ 1021021022)1ln(2ln )111ln(2ln r r dr r ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰ππππ )12ln 2(2ln 22ln 2ln -=-=+-=ππππππ六、x y y 2=-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰=⎰---c dx xe e y dx dxf )1()1(2[]c dx xe exx +=⎰-2[][]⎰⎰++-=+-=---c dx e xee c xde e x xxxx222x ce x +--=22因为00==x y 所以c =2 所求特解为)1(2--=x e y x七、111=+==+n na a R n n 当1±=x 时∑±nn )1(发散 收敛区间为)1,1(- 设∑∑∞=-∞===10)(n n n nnx x nxx S设∑∞=-=1)(n n nxx T则xx xdx nxdx x T n n x n n x n n x-====∑∑⎰∑⎰∞=∞=∞=-11)(012)1(1)(x x T -=所以2)1()()(x xx xT x S -==31=x 时 439431)311(31)31(320==-==∑∞=S n n n 八、31)(102=-=⎰dx x x S()dx x x V x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10222)(ππ103=()ππ103)(10222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰dy y yV y九、解 )1502(005.0),,(2-++=y x y x y x F λλ 0001.0=+=λxy F x02005.02=+=λx F y ⎩⎨⎧==⇒25100y x01502=-+=y x F λ ==25*100*005.02Q 十、b a a x f a f x f x f <<-'=-=ξξ))(()()()(M x f ≤')()()(a x M x f -≤22)(212)()()(a b M a x M dx a x M dx x f baba b a-=-⋅=-≤⎰⎰dx x f dx x f b ab a⎰⎰≥)()(2)(2)(a b Mdx x f b a-≤⎰dx x f b a M b a⎰-≥)()(22微积分Ⅱ期末考试试卷 2一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答,该题不得分.每小题3分,共15分.)1.已知cos()z xy =,而()y x ϕ=可导,则dzdx=________. 2.若2()1f x xdx c x x =++⎰,则()f x =________.3.p ________时,广义积分22111(1)p dx x --⎰发散.4.若20cos (1),(,)(2)!nnn x x x n ∞==-∈-∞+∞∑,则函数2sin x 的麦克劳林级数等于________. 5.微分方程0y ay y '''+-=的通解为12x x y c e c e -=+,则a =________.二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者,该题不得分.每小题3分,共15分.)1.设xy z xe =,则'x z =________.A.xy xyeB.xy e x 2C.xy eD.xy e xy )1(+ . 2.=________.A.x c + B. arcsinc +C.c +3x c +.3.下列结论正确的个数是________.(1)11230x dx x dx <⎰⎰ (2)22211x e e dx e ---<<⎰(3)cos 0x xdx ππ-=⎰(4)2221[sin ]2sin x t dt x x '=⎰A.0B.1C.2D.3. 4.1200(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰ ________.A. 110(,)dy f x y dx ⎰⎰ B. 10(,)dx f x y dy ⎰⎰C. 110(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰.5.微分方程1y y '-=的通解是________. A .x y ce = B. 1x y ce =+ C .1x y ce =- D. (1)x y c e =+.三、(请写出主要计算步骤及结果,每小题8分,共16分.) 1. arctan x xdx ⎰ 2. 41⎰.四、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)已知方程sin xy x z yz += 确定函数(,)z f x y = ,求dz . 五、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)求2()Dx y d σ-⎰⎰,其中D 是由直线2y =,y x =及2y x =围成的区域.六、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)求由y =与3y x =所围成的平面图形的面积,并求此平面图形绕x 轴旋转所形成的立体的体积.七、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)判断级数n ∞=的敛散性.八、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)求幂级数1(1)nn n e x n∞=-∑的收敛半径,收敛区间.九、经济应用题(请写出主要计算步骤及结果,8分.)某工厂生产A 、B 两种产品,单位成本分别为2元和14元,需求量分别为1Q 件和2Q 件,价格分别为1P 元和2P 元,且满足关系式1214()Q P P =-,2128048Q P P =+-,试求A 、B 两种产品的价格1P ,2P ,使该厂总利润最大(要求利用极值的充分条件). 十、证明题(请写出推理步骤及结果,6分.) 设)(x f 为连续函数,试证:()()(())x x tf t x t dt f u du dt -=⎰⎰⎰.微积分Ⅱ期末考试试卷2答案一、填空题(每小题3分,共15分)1.sin[()][()()]x x x x x ϕϕϕ'-+2. 21x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ 3.1p ≥4.()()1212121,(2)!n n n n x x n --∞=-∈-∞+∞∑ 5.0二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.D 2.C 3.B 4.B 5.C三、(请写出主要计算步骤及结果,每小题8分,共16分.)1.2222222221arctan arctan (1211arctan (32211111arctan (5221111arctan arctan 22211(1)arctan (822x xdx xdx x x x dx x x x x dx x x x x x c x x x c ==-++-=-+=-++=+-+⎰⎰⎰⎰分)分)分)分)2.44114141(2(42ln(1(632ln(82===+=⎰⎰⎰分)分)分)分).四、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)sin (1sin cos (4sin (5cos (6cos sin (8cos cos x y z x z y z F xy x z yz F y z F x z F x z y F z y z x F x z yF z x z y F x z y y z x zdz dx dyx z y x z y=+-'''=+=-=-'∂+=-='∂-'∂-=-='∂-+-=+--分),,分)分)分)分)五、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)图(1分)22222220222303420()()(31()(5231()(68211()(7881(8yy Dy y x y d dy x y dx x xy dyy y dy y y σ-=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰分)分)分)分)分)六、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)图(1分)130341201260)(321()(4345(512](75(814x S x dxx x V x dx ππ=-=-==-=⎰⎰分)分)分)分)分)七、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)1(4n =分)由比较判别法的极限形式知级数3121,n n n∞∞==∑敛散性相同,因为3121,n n∞=∑所以0n ∞=收敛。
对外经济贸易大学 2007─2008学年第二学期 《微积分二》期末考试试卷A课程课序号:CMP124-0~15学号: 姓 名: 成 绩: 班级: 课序号: 任课教师:一、选择题(每小题2分,共14分): 得分 1.若函数()f x 在区间[a ,b]上可积,则下列不等式中成立的是( A )。
.()().()().()().()()bbb ba aaabbbbaaaaA f x dx f x dxB f x dx f x dxC f x dx f x dxD f x dx f x dx≤≥==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 设)(x f 为连续函数,='=⎰)(,)()(ln 1x F dt t f x F xx则( A )。
A.)1(1)(ln 12x f x x f x + B . )1()(ln xf x f +C.)1(1)(ln 12x f xx f x -D .)1()(ln x f x f - 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数''x00y 00f(x ,y ),f(x ,y )存在是函数 00f(x,y)在点(x ,y )连续的( D )。
A. 必要而非充分条件;B. 充分而非必要条件;C. 充分必要条件;D. 既非充分又非必要条件。
4.设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于( C )。
A .(,).xf x y dy ⎰⎰B.(,).f x y dy ⎰⎰C.(,).yf x y dx ⎰⎰D.(,).f x y dx ⎰⎰5.函数21212(,xx y c e c e c c -=+为任意常数)为下列二阶常系数齐次线性微分方程( D )的通解。
A. 20y y y '''+-= B. 20y y y '''-+=C. 20y y y '''++=D. 20y y y '''--=6.设()1ln(1nn u =-+,则下列结论中正确选项是( B )。
《微积分II 》期末考试题(A )答案一、填空题(每小题2分,共16分)1、{(,)0,0}x y y x x y ≤≥+>2、=)1,1(dz 2211(ln 2)22e dx e dy ++ 3、 04、235、sin ()x y x c e-=+ 二、选择题(每小题2分,共16分)1、 D2、D3、C4、B5、D6、C三、解答题(每小题5分,共40分)1、解:令xz e yz xy z y x F --=),,(则 xzz y xz x xe y F z x F ze y F --=-=-=,, 所以 xz xz z x xey ze y F F x z +-=-=∂∂ xzz y xe y z x F F y z +-=-=∂∂ 2、两边求全微分02)(=+---dz e dz xy d ez xy 02)(=+-+--dz e dz xdy ydx e z xy2)(-+=-z xy e xdy ydx e dz3、解:e e x dx e dx e dy xe dx dxdy xe x x xy xy D xy 1)()1()(101001011010=+=-===----⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4、解:因为 11)1(5lim 22=++∞→nn n n n ,又 ∑∞=121n n 收敛,所以∑∞=++12)1(5n n n n 收敛. 5、 313)1(3lim lim 11→+⋅=+∞→+∞→n n n nn n n n a a , 故收敛半径为3.又3=x 时, 级数∑∑∞=∞==⋅11133n n n n n n 发散, 3-=x 时, 级数()∑∑∞=∞=-=⋅-11)1(33n n n n n n n 收敛, 故收敛域为)3,3[- 6、解 1110<=-∑∞=x x x x n∑∑∞=++∞=-=-=-⋅-=-=∴012022233331133)(x n n x n n x x x x x x x x f 收敛域为13<x 即3<x 因此)3,3(330122--=-∑∞=++x n n x x x7、微分方程的特征方程为0522=+-r r特征根i r 211+=,i r 212-=,故方程通解为)2sin 2cos (21x c x c e y x+=。
《微积分(二)》期末复习试题aD区大一《微积分》(二)期末复习题A一、填空题1、复合函数yin45某可分解为______________________;2、若y=f (某)的定义域是[0,1],则f(某2)的定义域是__________;某12某24某25某6____5、lim____6、lim_______;3、lim(3某1)___4、lim某1某1某2某某2某23某2in5某tan某in某3某22in某limlim______;limlim37、___8、_9._____10、某0某0某0某某2某23某某某tan某81某2某_____12.lim()=____13.lim(1)某=__;(1某)某=___14、lim11、lim某0某某某0某某某23(1)3某4=______;16lim(1)2某=______;15、lim某某某某117、函数y1的间断点是______;是第______类间断点;2(某2)某218、函数f(某)2某1某19、函数f(某)3某1某2某2,当某2时的左极限是______;右极限是______;在某2处______;(填是否连续)某3,当某3时的左极限是______;某3右极限是______;极限是______;在某3处______;(填是否连续)20、函数y1当______时,是无穷大量;当______时,是无穷小量;(某1)211的间断点是______和______;(某2)某121、函数y22、函数yf(某)在点某处的导数f(某)表示曲线yf(某)在点(某,y)处的______和______;23、曲线yln某在点M(e,1)处的切线方程是____________;24、若函数yf(某)在点某0处可导,则yf(某)在点某0处必______,且limf(某)______;某某025、函数f(某)某312某1在定义域内是单调______的;26、函数f(某)(某1)6的凹区间为________;27、已知函数yf(某)在点某0处可导,且f(某0)是极小值,则f(某0)___;28、若点(1,4)是曲线ya某3b某2的拐点,则a=_____,b___;29、已知函数F(某)和G(某)都是函数f(某)的原函数,且G (某)=e某,F(0)=0,则F(某)=________;30、已知不定积分f(某)d某F(某)C,则f(某)F(某)d某________;231、根据定积分的几何意义可知:32、已知(2某b)d某0,则b=________;1某d某____;0121033、已知连续函数f(某)是奇函数,且f(某)d某1,则f(某)d某________;010134、曲线y=某3在点A(2,8)处的切线斜率为_________;二、选择题1、lime()A0;B-∞;C+∞;D不存在。
对外经济贸易大学 2007─2008学年第二学期 《微积分二》期末考试试卷A
课程课序号:CMP124-0~15
学号: 姓 名: 成 绩: 班级: 课序号: 任课教师:
一、选择题(每小题2分,共14分): 得分 1.若函数()f x 在区间[a ,b]上可积,则下列不等式中成立的是( )。
.()().()().
()().
()()b
b
b b
a a
a
a
b
b
b
b
a
a
a
a
A f x dx f x dx
B f x dx f x dx
C f x dx f x dx
D f x dx f x dx
≤≥==⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
2. 设)(x f 为连续函数,='=
⎰
)(,)()(ln 1
x F dt t f x F x
x
则( )。
A.
)1
(1)(ln 12x f x x f x + B . )1
()(ln x
f x f +
C.
)1(1)(ln 12
x f x
x f x -
D .)1()(ln x f x f - 3.二元函数(),f x y 在点()00,
x y 处的两个偏导数''
x 00y
00f(x ,y ),f(x ,y )存在是函数 00f(x,y)在点(x ,y )连续的( )。
A. 必要而非充分条件; B. 充分而非必要条件; C. 充分必要条件; D. 既非充分又非必要条件。
4.设(,)f x y 为连续函数,则
1
4
(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθ⎰
⎰等于( )。
A .
(,).x
f x y dy ⎰
⎰
B.
(,).f x y dy ⎰
⎰
C.
(,).y
f x y dx ⎰
⎰
D.
(,).f x y dx ⎰
⎰
5.具有通解21212(,x x y c e c e c c -=+为任意常数)的二阶常系数齐次线性微分方程是 ( )。
A. 20y y y '''--= B. 20y y y '''-+=
C. 20y y y '''++=
D. 20y y y '''+-=
6.设(
)1ln(1n
n u =-+
,则下列结论中正确选项是( )。
A.
1n
n u
∞
=∑与
21
n n u
∞
=∑都收敛. B.
1n
n u
∞
=∑与
21
n n u
∞
=∑都发散
C.
1
n
n u
∞
=∑收敛,
21
n
n u
∞
=∑发散 D.
1
n
n u
∞
=∑发散,
21
n
n u
∞
=∑收敛
7.设级数
∑∞
=1
n n
a
绝对收敛,则
∑∞
=+1
)
1
1(n n n
a n ( )。
A .发散 B .条件收敛 C .绝对收敛 D . 敛散性不能判定
二、填空题(每小题3分,共21分) 得分
2
1
1.()(),()_________.1f x f t dt f x x =+=+设则
2.,2_________.-===x x y e y e x 曲线和及直线所围图形的面积为
3
.设3
2
3
(,)(1)(1)tan
(1,0)y f x y x y x f =-+-=则 。
4.设=++===1
122,1ln y x dz
y x z 则 。
5.广义积分
2
1
(ln )
e
dx x x +∞
⎰
= 。
6.交换二重积分次序⎰
⎰-221
),(y y
dx y x f dy
=______________ 。
7.若级数1
()n
n x a n ∞
=-∑在2x =收敛,则实数a 的范围是 .
三、计算题(1-6题每题6分,第7题7分,共计43分) 得分
1.设 ),(2x y
e y
f z x =,且函数f 具有二阶连续的偏导数,求2z
x y ∂∂∂。
2.设函数(,)u f x y z =,有连续偏导数,且(,)z z x y =由方程.x y z xe ye ze du -=确定,求
3.计算二重积分
围成。
由直线其中1,2,,)(===+⎰⎰y x y x y D dxdy y x D
4.计算二重积分dxdy y x D
⎰⎰
+22,其中D 为由圆,422x y x =+及直线 ,0=y 03=-x y 所围
成的平面区域。
5.将函数 2
1
()12f x x x
=+- 展开成 x 的幂级数。
6.求微分方程x xe y y x =+'满足初始条件11
==x y 的特解。
8.求幂级数∑∞
=-
221
n
n
n
x
的收敛域,并求其收敛区间内的和函数。
四、应用题(10分)
生产某产品使用两种生产要素,其中甲要素投入量记为x,乙要素投入量记为y。
在现有生产工艺条件下,产量z与两种生产要素的投入量x, y有如下关系:
2
2)4
(4
)5
(2
65
16-
-
-
-
=y
x
z
目前市场上,甲生产要素单价为8万元,乙生产要素单价为4万元,而该产品单价为32万元。
请你确定甲、乙两种生产要素的投入量,使得该产品能获得最大利润。
五、证明题(每题6分,共计12分) 得分 1. []10)(,是区间设x f 上任一非负连续函数,试证存在()[]000,10x x ,使得区间,∈上以)(0x f 为高的矩形面积等于区间[]1x 0,上以)(x f y =为曲边的曲边梯形面积。
2.设的敛散性。
判别级数时,当∑∞
=--+=≥==112211
,3,2,1n n
n n n a a a a n a a。