解答不等式(组)问题的常见的数学思想方法

七年级数学下册第九章不等式与不等式组题型总结及解题方法单选题1、对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数．例如：[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，对于后面结论：①[﹣2.3]+[2]＝﹣1；②因为[1.3]+[﹣1.3]＝﹣1，所以[a]+[﹣a]＝﹣1；③若方程x﹣[x]＝0.1有解，则其解有无数多个；④若[a+2]＝2，则a的取值范围是0≤a＜1；⑤当﹣1≤a＜1时，则[1+a]﹣[1﹣a]的值为1或2．正确的是( )A．②③④B．①②④C．①③④⑤D．①③④答案：D分析：①根据取整函数的定义，直接求出值；②取特殊值验证，证实或证伪；③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；④把方程问题转化为不等式问题；⑤分情况讨论，验证[1+a]-[1-a的所有取值．对于①，[-2.3]+[2]=-3+2=-1，故正确；对于②，当a=1时，[a]+[-a]=0，故不正确；对于③，当x=1.1，2.1，3.1，...时，方程均成立，故正确；对于④，由[a+2]=2，得2≤a+2＜3，即0≤a＜1，故正确；对于⑤，当a=-1时，[1+a]-[1-a]=0-2=-2；当-1＜a＜0时，[1+a]-[1-a]=0-1=-1；当0＜a＜1时，[1+a]-[1-a]=1-0=1．故[1+a]-[1-a]的值为-1或1或-2，故⑤不正确．综上所述，正确的是①③④故选：D．小提示：本题考查取整函数与一元一次不等式．解题的关键在于能够把取整函数的等式，转化为一元一次不等式问题去解决．2、斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路，某人行横道全长24米，小明以1.2m/s 的速度过该人行横道，行至13处时，9秒倒计时灯亮了，小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（ ）A ．1.1倍B ．1.4倍C ．1.5倍D ．1.6倍答案：C分析：已经行至13，说明还剩24×(1−13)路程，设提速后的速度为x ，依题意列出不等式并求出解集即可． 解：设提速后的速度为x ，依题意可得9x ≥24×(1−13)， 解得x ≥169，则x ÷1.2≥4027≈1.48，故选：C ． 小提示：本题考查了一元一次不等式的应用，依题意能列出不等式并求出提速后的速度是解决问题的关键．3、关于x 的不等式{2(x −1)＞4a −x ＜0的解集为x ＞3，那么a 的取值范围为（ ） A ．a ＞3B ．a ＜3C ．a ≥3D ．a ≤3答案：D分析：先解第一个不等式得到x ＞3，由于不等式组的解集为x ＞3，则利用同大取大可得到a 的范围． 解：解不等式2（x -1）＞4，得：x ＞3，解不等式a -x ＜0，得：x ＞a ，∵不等式组的解集为x ＞3，∴a ≤3．故选：D小提示：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．4、关于x 的方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m>92B ．m<0C ．m<92D ．m>0答案：A解：方程4x －2m ＋1＝5x －8的解为x ＝9－2m ．由题意得：9－2m ＜0，则m ＞92．故选A ．5、已知a <b ，下列式子不一定成立的是（ ）A ．a −1<b −1B ．−2a >−2bC ．12a +1<12b +1D ．ma >mb答案：D分析：根据不等式的性质解答．解：A 、不等式a ＜b 的两边同时减去1，不等式仍成立，即a−1＜b−1，故本选项不符合题意；B 、不等式a ＜b 的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即−2a >−2b ，故本选项不符合题意；C 、不等式a ＜b 的两边同时乘以12，不等式仍成立，即：12a <12b ，再在两边同时加上1，不等式仍成立，即12a +1<12b +1，故本选项不符合题意；D 、不等式a ＜b 的两边同时乘以m ，当m>0，不等式仍成立，即ma <mb ；当m<0，不等号方向改变，即ma >mb ；当m=0时，ma =mb ；故ma >mb 不一定成立，故本选项符合题意，故选：D ．小提示：本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．6、实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．a <−2B ．|a |<|b |C ．−a <−bD ．ab >0答案：D分析：先根据数轴的性质可得−2<a <b <0，再根据绝对值的性质、不等式的性质、有理数乘法法则逐项判断即可得．解：由数轴的性质得：−2<a<b<0．A、a>−2，此项错误，不符题意；B、|a|>|b|，此项错误，不符题意；C、−a>−b，此项错误，不符题意；D、ab>0，此项正确，符合题意；故选：D．小提示：本题考查了数轴、绝对值、不等式的性质、有理数的乘法法则，熟练掌握数轴的性质是解题关键．7、不等式组{x−2≤0x+3>0的解集是（）A．-3<x≤2B．-3≤x<2C．x≥2D．x<−3答案：A分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解：{x−2≤0①x+3>0②解不等式①得：x ⩽ 2，解不等式②得：x>−3，∴不等式组的解集为：−3<x⩽2，故选：A．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8、已知x=m+15，y=5−2m，若m>−3，则x与y的关系为（）A．x=y B．x>y C．x<y D．不能确定答案：B分析：根据题意，直接利用作差法进行计算，得x−y=3m+10，比较3m+10与0的大小，即可得到答案．解：∵x−y=m+15−(5−2m)=3m+10，∵m>−3，∴3m>−9．∴3m +10>1>0．∴x >y ．故选：B ．小提示：本题考查了有理数的比较大小，以及代数式的变形和不等式的解法，难度适中．解题的关键是熟练掌握作差法比较大小．9、对于三个数字a ，b ，c ，用max{a ，b ，c}表示这三个数中最大数，例如max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}＝{a,(a ≥−1)−1,(a <−1),如果max{3，8﹣2x ，2x ﹣5}＝3，则x 的取值范围是（ ） A ．23≤x≤92B ．52≤x≤4C ．23＜x ＜92D ．52＜x ＜4答案：B分析：根据max{a ，b ，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，8﹣2x ，2x ﹣5}＝3，可得不等式组{3≥8−2x 3≥2x −5，可得结论. ∵max{3，8﹣2x ，2x ﹣5}＝3，则{3≥8−2x 3≥2x −5， ∴x 的取值范围为：52≤x≤4，故选：B ．小提示：本题考查了不等式的应用及新定义问题，理解新定义，得到不等式组是解题的关键．10、在数学表达式：−3<0，a +b ，x =3，x 2+2xy +y 2，x ≠5，x +2>y +3中，是一元一次不等式的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：A分析：一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一分析，即可得出答案．-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；a +b 是整式，不是一元一次不等式；x=3是方程，不是一元一次不等式；x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；x≠5是一元一次不等式；x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；∴是一元一次不等式的有1个故选：A．小提示：本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解．填空题11、某种家用电器的进价为每件800元，以每件1200元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的______折出售．答案：七##7分析：设按标价的x折出售，利用利润=售价-成本，结合利润不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解出不等式取最小值即可．解：设按标价的x折出售−800≥800×5%由题意得：1200×x10解得：x≥7∴最低可按标价的7折出售故答案为7小提示：本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．12、如果不等式2x－m≤0的正整数解共3个，则m的取值范围是________．答案：6≤m＜8分析：先求出不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．解：移项，得：2x＜m，系数化为1，得：x＜m，2∵不等式2x-m ＜0只有三个正整数解，∴3≤m 2＜4， 解得：6≤m ＜8，故答案为6≤m ＜8．小提示：本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解的应用，能得出关于m 的不等式组是解此题的关键．13、不等式12x −3>−14−52x 的最小负整数解______．答案：-3分析：移项，合并同类项，系数化成1，再求出不等式的最小负整数解即可．解：12x −3>−14−52x ， 移项，得12x +52x >−14+3， 合并同类项，得3x ＞-11，系数化成1，得x ＞−113，所以不等式的最小负整数解是-3，所以答案是：-3．小提示：本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．14、有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____．答案：39或44或49分析：可设共有x 间宿舍，则学生数有（5x ＋14）人，列出不等式组为0＜5x ＋14−8（x−1）＜8解出即可． 设共有x 间宿舍，则学生数有（5x ＋14）人，根据题意得：0＜5x ＋14−8（x−1）＜8，解得143＜x ＜223，∵x 为整数，∴x ＝5或6或7，即学生有5x ＋14＝39或5x ＋14＝44或5x ＋14＝49．即，学生人数是39或44人或49；所以答案是：39或44或49．小提示：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确的解不等式组是需要掌握的基本能力．15、a 与b 的差是非负数，列出不等式为_______．答案：a -b ≥0．分析：先作差，然后根据非负列出不等式即可．解：由题意可得：a -b ≥0．故答案为a -b ≥0．小提示：本题主要考查了列不等式，理解非负的意义是解答本题的关键．解答题16、已知关于x 的不等式组{5x +1>3(x -1),12x ≤8-32x +2a 恰有两个整数解,求实数a 的取值范围. 答案：-4≤a<-3.试题分析：首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a 的不等式组求得a 的范围．试题解析：解：由5x +1＞3（x ﹣1）得：x ＞﹣2，由12x ≤8﹣32x +2a 得：x ≤4+a ．则不等式组的解集是：﹣2＜x ≤4+a ．不等式组只有两个整数解，是﹣1和0．根据题意得：0≤4+a ＜1．解得：﹣4≤a ＜﹣3．点睛：本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．17、某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A ，B 两种型号的新型公交车，已知购买1辆A 型公交车和2辆B 型公交车需要165万元，2辆A 型公交车和3辆B 型公交车需要270万元．(1)求A 型公交车和B 型公交车每辆各多少万元？(2)公交公司计划购买A 型公交车和B 型公交车共140辆，且购买A 型公交车的总费用不高于B 型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A 型公交车？答案：(1)A 型公交车每辆45万元，B 型公交车每辆60万元；(2)80分析：（1）设A 型公交车每辆x 万元，B 型公交车每辆y 万元，由题意：购买1辆A 型公交车和2辆B 型公交车需要165万元，2辆A 型公交车和3辆B 型公交车需要270万元．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设该公司购买m 辆A 型公交车，则购买（140-m ）辆B 型公交车，由题意：购买A 型公交车的总费用不高于B 型公交车的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．(1)解：设A 型公交车每辆x 万元，B 型公交车每辆y 万元，由题意得：{x +2y =1652x +3y =270， 解得：{x =45y =60， 答：A 型公交车每辆45万元，B 型公交车每辆60万元；(2)解：设该公司购买m 辆A 型公交车，则购买（140﹣m ）辆B 型公交车，由题意得：45m ≤60（140﹣m ），解得：m ≤80，答：该公司最多购买80辆A 型公交车．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．18、某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱，计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？ 答案：（1）甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料；（2）见解析分析：（1）设甲型货车每辆可装载x 箱材料，乙型货车每辆可装载y 箱材料，根据“若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用m 辆甲型货车，则租用(70−m)辆乙型货车，根据“租用的乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，且要运往工厂的这批材料不超过1245箱”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为整数，即可得出各租车方案．解：（1）设甲型货车每辆可装载x 箱材料，乙型货车每辆可装载y 箱材料，依题意得：{30x +50y =150020x +60y =1400， 解得：{x =25y =15． 答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料．（2）设租用m 辆甲型货车，则租用(70−m)辆乙型货车，依题意得：{25m +15(70−m)≤124570−m ≤3m， 解得：352≤m ≤392． 又∵m 为整数，∴m 可以取18，19，∴该公司共有2种租车方案，方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．。

高中数学不等式解题技巧思考沈子儒(安徽省利辛县第一中学ꎬ安徽亳州２３６７００)摘㊀要:不等式知识应用范围广ꎬ涉及到的题型更是复杂多变ꎬ文章通过举例详细剖析了不等式的反证解题技巧㊁不等式的换元解题技巧㊁不等式的性质解题技巧和线性规划题的解题技巧等.关键词:高中数学ꎻ不等式ꎻ解题技巧中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２２－００４６－０３收稿日期:２０２３－０５－０５作者简介:沈子儒(１９８７.９－)ꎬ男ꎬ安徽省亳州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀不等式是用符号大于㊁小于㊁大于等于㊁小于等于等表示大小关系的一类式子.在高中数学中ꎬ涉及题型比较广泛ꎬ包括选择题㊁填空题与计算题等ꎬ假如学生没有透彻理解不等式知识ꎬ难以熟练掌握解题技巧ꎬ他们就无法很好地解题.高中数学教师应高度重视不等式解题技巧的思考ꎬ利用各种常见的题型组织学生进行集中训练ꎬ使其结合具体题目使用相应的技巧分析和解答ꎬ不断提高他们的解题水平ꎬ反过来辅助对理论知识的深化理解.１不等式的反证解题技巧不等式作为高中数学教学中比较重要的一部分内容ꎬ通常以各种题型出现在平常练习与考试当中.解答有关不等式的题目时往往要用到各种技巧ꎬ其中反证方式应用的较为广泛ꎬ这是以正难则反为基础形成的ꎬ在证明类的问题中使用有着不错的效果.对此ꎬ高中数学教师可指导学生在处理不等式证明类题目时采用反证法ꎬ使其将整个证明过程变得更为便捷与简单ꎬ将不等式证明问题的解答变得更为高效ꎬ帮助他们掌握不等式证明题的解题技巧[１].例１㊀已知ａ＋ｂ＋ｃ>０ꎬａｂ＋ｂｃ＋ａｃ>０ꎬａｂｃ>０ꎬ请结合以上条件证明ａ>０ꎬｂ>０ꎬｃ>０.解析㊀根据题干中提供的条件ａｂｃ>０ꎬ能够得出ａꎬｂꎬｃ均不可能是０ꎬ这里要用到反证的方式.假设ａ<０ꎬ则ｂｃ<０ꎬ又因为ａ＋ｂ＋ｃ>０ꎬ所以ｂ＋ｃ>－ａꎬ由此可以得到ａ(ｂ＋ｃ)<０.所以ａ(ｂ＋ｃ)＋ｂｃ<０.不过这一式子明显同题干中提供的信息相冲突ꎬ所以说这个假设是无法成立的ꎬ也就是表明ａ>０ꎬｂ>０ꎬｃ>０.２不等式的换元解题技巧处理部分数学问题时ꎬ把其中一个式子当作一个整体来看待ꎬ且运用一个变量进行替换ꎬ从而将问题变得更为简单ꎬ这就是常用的换元法ꎬ广泛适用于方程㊁函数㊁不等式等解题实践中ꎬ根本思想是转化ꎬ关键在于构建 元 与设置 元 .在高中数学不等式解题训练中ꎬ教师可以引导学生采用换元解题技巧ꎬ把研究对象进行变换ꎬ问题转移至新对象上面ꎬ目的是让非标准的问题变得标准化ꎬ复杂问题变得简单化ꎬ最终让他们轻松解答不等式问题[２].例２㊀已知ａꎬｂꎬｃɪＲ＋ꎬ请证明ａｂｃȡ(ｂ＋ｃ－ａ)(ｃ＋ａ－ｂ)(ａ＋ｂ－ｃ).解析㊀使用换元法假设ｘ＝ｂ＋ｃ－ａꎬｙ＝ｃ＋ａ－６４ｂꎬｚ＝ａ＋ｂ－ｃꎬ这时可以转变为证明(ｘ＋ｙ)(ｙ＋ｚ)(ｘ＋ｚ)ȡ８ｘｙｚ.由于ｘ＝ｂ＋ｃ－ａꎬｙ＝ｃ＋ａ－ｂꎬｚ＝ａ＋ｂ－ｃꎬ则ａ＝１２(ｙ＋ｚ)ꎬｂ＝１２(ｘ＋ｚ)ꎬｃ＝１２(ｘ＋ｙ).因为ａꎬｂꎬｃɪＲ＋ꎬ所以当ｘｙｚ<０时ꎬ可以得到(ｘ＋ｙ)(ｙ＋ｚ)(ｘ＋ｚ)ȡ８ｘｙｚ.当ｘｙｚ>０时ꎬ有ｘꎬｙꎬｚɪＲ＋ꎬ假如ｘꎬｙꎬｚ三者当中有任意两个比０小ꎬ那么ｃɤ０与ｃ>０是相矛盾的ꎬ由此得到ｘ＋ｙȡ２ｘｙ>０ꎬｙ＋ｚȡ２ｙｚ>０ꎬｘ＋ｚȡ２ｘｚ>０.则(ｘ＋ｙ)(ｙ＋ｚ)(ｘ＋ｚ)ȡ８ｘｙｚ.然后把ｘꎬｙꎬｚ代入到原式中可以得到ａｂｃȡ(ｂ＋ｃ－ａ)(ｃ＋ａ－ｂ)(ａ＋ｂ－ｃ).３用不等式性质解题技巧在高中数学不等式解题教学中ꎬ教师应关注学生对不等式基本性质的合理运用ꎬ这是一项最基础的解题方式与技巧ꎬ可以应用至各种类型的不等式试题中ꎬ不少题目都要用到不等式的基本性质.如:不等式具有传递性ꎬ也就是如果ａ>ｂꎬｂ>ｃꎬ则ａ>ｃꎻ不等式还有可加性特点ꎬ假如ａ>ｂꎬ就表明ａ＋ｃ>ｂ＋ｃꎬｃ>０时ꎬａｃ>ｂｃ.所以ꎬ学生可以利用不等式的基本性质进行解题ꎬ能够快速找到解题的切入口ꎬ继而提高他们解题的准确率[３].例３㊀平面上有ｎ个圆ꎬ其中每两个圆都相交于两点ꎬ每三个圆都不相交于同一个点ꎬ请证明ｎ个圆将平面分成ｆ(ｎ)＝ｎ２－ｎ＋２个部分.解析㊀(１)归纳法ꎬ当ｎ＝１时ꎬ一个圆可以把平面分成两个部分ꎬ即ｆ(１)＝１２－１＋２＝２ꎬ故命题成立.(２)假设ｎ＝ｋꎬ该命题成立ꎬ也就是说ｋ个圆将平面分成ｆ(ｋ)＝ｋ２－ｋ＋２个部分ꎬ则设第ｋ＋１个圆的圆心为Ｏꎬ根据题意可知它与ｋ个圆中每个圆相交于两个点ꎬ又无三个圆相交于同一点ꎬ那么与其它ｋ个圆相交于２ｋ个点ꎬ以此结合题目中提供的条件有效证明出命题的结论ꎬ这是对不等式基本性质的充分运用.４线性规划题的解题技巧不等式与线性规划结合到一起也是高中数学中一类比较常见的题目ꎬ与其它题型相比解题难度稍大ꎬ主要求解的是目标最大值与最小值ꎬ但是学生在处理这类试题时十分容易出现错误ꎬ教师需给予格外关注ꎬ帮助他们扫除解题障碍ꎬ使其掌握相应的解题技巧.具体来说ꎬ处理不等式与线性规划结合类的题目时ꎬ学生应当精准掌握求解面积与定义域的相关知识ꎬ了解不等式性质与线性规划两者之间的内在联系ꎬ从而帮助他们学会准确解答此类试题[４－５].例４㊀已知ａ>０ꎬ参数ｘꎬｙ会满足以下三个条件ꎬｘ＋ｙɤ３ꎬｘȡ１ꎬｙȡａ(ｘ－３)ꎬ如果ｚ＝２ｘ＋ｙ的最小值为１ꎬ那么ａ的值是什么?解析㊀可以根据题意画出图１所示的坐标轴示意区ꎬ当所求的目标函数经过Ａ区域时ꎬ点Ａ坐标是(１ꎬ－２ａ)ꎬ然后把函数的目标值代入就能求出ａ＝１２.㊀图１㊀坐标轴示意图５用数形结合解不等式题数形结合指的是 数 与 形 之间的有机结合ꎬ这是数学思想方法中最为常用的一种ꎬ不仅可以用来解答不等式相关的试题ꎬ还能够运用至其它数学试题的解答中ꎬ与其它解题技巧相比ꎬ数形结合能够将题目变得更为形象与直观ꎬ有助于学生快速找到解题思路ꎬ让他们高效解题.当运用数形结合思想解决不等式类题目时ꎬ高中生要注重 以形助数 的应７４用ꎬ将 数 由 形 的形式呈现出来ꎬ使其找到更简便的解题方法ꎬ锻炼他们的解题技巧[６].例５㊀已知关于ｘ的不等式ｘ２ɤ４－｜２ｘ＋ｍ｜ꎬ如果至少存在一个ｘȡ０使得该不等式成立ꎬ那么ｍ的取值范围是什么?解析㊀对原不等式进行整理后得到｜２ｘ＋ｍ｜ɤ－ｘ２＋４ꎬ将不等式的左右两边均看作成函数ꎬ即为ｙ＝｜２ｘ＋ｍ｜与ｙ＝－ｘ２＋４ꎬ这里要从反面思考问题ꎬ即:如果对于任意的ｘȡ０ꎬ均有｜２ｘ＋ｍ｜>－ｘ２＋４ꎬ在同一个平面直角坐标系中画出两个函数图象ꎬ如图２所示ꎬ根据图片信息能发现当ｍ的值发生变化时ꎬ函数ｙ＝｜２ｘ＋ｍ｜的图象将会沿着ｘ轴进行运动ꎬ图２中两个临界条件ꎬ分别对应于ｍ>４ꎬ或者ｍ<－５ꎬ由此表明要想满足题意ｍ的取值范围应该是[－５ꎬ４].图２㊀函数图象示意图６不等式高次题解题技巧在高中数学不等式相关内容教学中ꎬ高次不等式问题不仅属于一项重要教学内容ꎬ还是一大难点ꎬ处理此类不等式问题时ꎬ最经常出现错误的地方就是划分区域时容易混乱ꎬ无法准确判断出特殊的区域或者特殊点.对此ꎬ高中数学教师可以结合高次不等式开展专题训练ꎬ指引学生采用因式分解的方法进行解题ꎬ借此把高次不等式转变为低次不等式ꎬ复杂问题作简化处理ꎬ将问题变得更为清晰明了ꎬ使其极易找到解题的切入点ꎬ继而掌握解题技巧[７].例６㊀求解不等式(ｘ－１)(ｘ－２)(ｘ－３)>０.解析㊀结合题目中给出的三次不等式方式能够画出如图３所示的图象ꎬ第一步ꎬ画出一个坐标轴ꎬ在坐标轴上面标出１ꎬ２ꎬ３三个点的位置ꎬ由此将坐标轴划分为４个区间ꎻ第二步ꎬ把靠近右边区间看作为正ꎬ其它的看作为正负相间ꎬ在各个区间内标出正负号ꎻ第三步ꎬ用 ＋ 表示不等式大于０ꎬ用 － 表示不等式小于０ꎬ这样能更为形象地观察到不等式的区域ꎬ可明显得出ｘ的取值范围是１<ｘ<２或者ｘ>３.图３㊀不等式曲线图使用 穿根法 进行解题时ꎬ应先画出一个坐标轴ꎬ再在坐标轴上面绘制出不等式的情况ꎬ结合所画坐标轴及穿线顺序判断不等式的大小情况ꎬ这一解题技巧显得简单㊁直观ꎬ解题难度有所降低.总而言之ꎬ在高中数学教学活动中ꎬ解题训练是相当关键的构成部分ꎬ是学生运用所学知识处理问题的主要途径与渠道ꎬ尤其是在不等式教学实践中ꎬ教师要充分考虑到不等式知识的广泛运用ꎬ精心设计多种多样的题型展开不等式解题训练ꎬ使其通过亲身实践掌握大量的不等式解题技巧ꎬ逐渐树立起学习数学的自信心ꎬ全面提升他们的数学解题水平.参考文献:[１]鲁亚萍.核心素养下高中数学不等式的解题思路研究[Ｊ].中学课程辅导ꎬ２０２２(１７):９－１１.[２]李光星.基于高中数学基本不等式解题技巧分析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(１９):１６－１７.[３]古智良.高中数学不等式易错题型及解题技巧分析[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２１(５２):７５－７６.[４]陈大祥.浅析新课改下高中数学基本不等式解题技巧[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(１２):４８－４９.[５]黄细盈.高中数学不等式难点有效解题方法分析[Ｊ].数学大世界(上旬)ꎬ２０２１(０２):８１.[６]祝永华.高中数学不等式易错题型解题技巧分析[Ｊ].中学教学参考ꎬ２０２０(３５):２９－３０.[７]丁晓军.数学思想在高中不等式解题教学中的应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２０(３０):１２－１３.[责任编辑:李㊀璟]８４。

不等式问题中的数学思想
不等式是数学中的重要概念之一，它描述了数之间的相对大小关系。

解决不等式问题需要运用一些数学思想和方法，下面就来介绍一下不等式问题中常用的数学思想。

1. 分析问题：解决不等式问题首先要对问题进行分析，理解问题的背景和条件。

通过仔细阅读题目，理解题目的要求以及给出的条件，将问题进行抽象和形式化，确定问题的目标和约束，从而明确解题的思路和方法。

2. 探索性思维：在解决不等式问题时，可以运用探索性思维，通过试错和推理来发现问题的规律和性质。

可以尝试不同的数值代入不等式，观察不等式的变化情况，从而找出不等式的一般解法。

3. 逻辑推理：在解决不等式问题时，需要进行一系列的逻辑推理和推导。

通过运用数学定义、性质和定理，进行逻辑的推理和推导，得出问题的解答。

逻辑推理可以帮助我们从已知条件出发，推理出不等式的解集，从而解决问题。

4. 数量关系的转化：在解决不等式问题时，可以将不等式转化为等价形式，以便更好地进行分析和求解。

可以利用等价不等式的性质，通过加减乘除等基本运算，将复杂的不等式转化为简单的等价不等式，从而求解问题。

5. 图形分析：在解决不等式问题时，可以利用图形的分析方法，通过画图来帮助理解问题，并解答问题。

可以将不等式转化为图形的几何问题，分析图形的位置和形状，从而推理出不等式的解集。

6. 反证法：在解决不等式问题时，可以运用反证法来证明不等式的解集。

通过假设不等式的解集不存在，然后推理出矛盾的结论，从而得出不等式的解集存在的结论。

解决不等式问题中的数学思想方法把握数学思想有利于学生对数学概念和性质的深刻理解和掌握，从而更加灵活地运用所学知识解答相关问题，培养创新能力应用能力。

下面是对解决不等式问题中举例说明几种数学思想方法的运用。

一、类比思想问题1：解方程： + =1问题2：类比方程的解法，尝试着解一元一次不等式+ ≥1，并归纳解题步骤？思路:根据学生非常熟悉的解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，来完成一元一次不等式的解法，但最后一步一定结合不等式的性质来确定解集。

类比思想在中学数学中的概念、公式、性质及解题中无处不在，通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。

二、数形结合思想例x克x克1．图中表示的不等式的解集是（）-2 -1 0 1 2 3A、x>2B、x≥2C、x<2D、x≤2例2.如图，天平向左倾斜，当天平中x取（）时，天平会向右倾斜。

8A、x>4B、x≥4C、x<4D、x≤4例3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )例4.已知点p(3-m,m-1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )数轴是学习、研究实数的重要工具，借助数轴可以把数与数之间的关系转化为点和点之间的位置关系，不等式组求解集时通过建立数轴的数形结合思想，可以更直观的看出两个解集的公共部分，深刻理解不等式公共解的概念，可以迅速解决相关问题。

三、分类思想分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。

利用不等式组解决方案类问题，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决再结合数形思想形象直观。

分类讨论及数形结合思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力还有形象直观简化解决能力。

例5.某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元.（1）该校初三年级共有多少人参加春游？（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．解(1)设租36座的车辆.据题意得:解得:由题意应取8则春游人数为:36 8=288(人).(2) 方案①：租36座车8辆的费用:8 400=3200元,方案②：租42座车7辆的费用:元方案③：因为，租42座车6辆和36座车1辆的总费用:6×440+1×400=3040元。

不等式问题中的数学思想不等式是数学中一个非常重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。

不等式可以用来表示一个数与另一个数之间的大小关系，并且可以进一步推广到一般的函数形式，用来描述函数值之间的大小关系。

通过研究不等式的性质，可以深刻理解数学中的一些重要思想和方法，这些思想和方法具有很强的普适性，在许多领域中都有着广泛的应用。

一、关于不等式的基本定义不等式是指两个数之间的大小关系的表达式。

这两个数可以相等，也可以不相等。

在一般情况下，不等式可以写成a < b或a > b的形式，其中a和b是任意的实数或复数。

对于不等式，我们可以利用一些基本的性质进行推导和证明。

例如，如果a < b，那么a + c < b + c，其中c是任意实数。

这个性质是不等式的加法性质，它表示不等式的两边都加上一个实数，不等式的大小关系不会发生改变。

二、不等式的解法和应用在解决不等式问题时，我们需要根据不等式的具体形式，采用不同的方法来求解。

下面列举几种常见的不等式类型和它们的解法方法。

1. 一元一次不等式一元一次不等式指的是只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的不等式。

它的形式通常为ax + b < c或ax + b > c，其中a、b、c是已知实数，x是未知数。

对于这类不等式，我们可以通过移动未知数和常数的位置，把不等式化为x < k或x > k的形式，其中k是一个确定的实数。

例如，对于ax + b < c，我们可以先把b移到不等式的另一边，得到ax < c - b，然后把a除掉，得到x < (c - b) / a。

对于这类不等式，我们可以利用求解二次方程的方法来解决。

首先，我们要求出二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根。

然后，我们把x取在这两个根之间，即x在两个根之间时，不等式是小于0或大于0的。

如果不等式是小于0，那么x在两个根之间的区间就是不等式的解集。

不等式（组）中蕴含的数学思想不等式（组）是初中数学的重要内容，其中蕴含了很多数学思想，在解答与不等式（组）相关的问题时，要重视相关数学思想方法的把握与提炼。

其中主要有：一、整体思想根据不同的需要把问题中的某个部分看作一个整体，从而解决问题，就是整体思想。

例1：若方程组⎩⎨⎧=++=+3y 3x 2k y x 3 的解为x 、y ，且2＜k ＜4，求y x -的取值范围。

解：①—②，得1k y x 2-=-）（， 所以 1y x 2k +-=）（ ， 因为 2＜k ＜4，所以 2＜2（x - y ）+1＜4， 解得21＜x - y ＜23。

二、消元思想根据未知数系数的特点，将未知数的个数由多化少，逐一解决的方法，就是消元思想。

例2：在关于x 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+313232121nx x n x x n x x 中，已知n 1＞n 2＞n 3，那么将x 1、x 2、x 3从大到小排列起来应该是 。

①② ① ② ③解：由①—②得2131n n x x -=-， 因为n 1＞n 2 ，所以n 1 －n 2＞0， 所以31x x -＞0，即x 1＞x 3 。

同理，②—③得，x 2＞x 1 ，故x 2＞x 1＞x 3 。

三、数形结合思想借助数轴直观表示出不等式（组）的解集，所体现的就是数形结合思想，往往可化难为易，化繁为简。

例3：若不等式组⎩⎨⎧--≤+-1m x9x 1x 36）（的解集是x ≥3，则m 的取值范围是 。

解：解不等式6－3（x+1）≤x －9，得x ≥3，又因为⎩⎨⎧-≥1m x 3x 的解集是x ≥3，如图（1）可知： m －1＜3，所以m ＜4.四、转化思想由难化易，由繁化简，由未知转化为已知，所体现出的就是转化的数学思想。

例4：先阅读理解下面例题，再按要求完成作业。

例：解一元二次不等式6x 2－x －2＞0.解：因为6x 2－x －2 = （3x-2）（2x+1）＞0，所以由有理数乘法法则“两数向乘，同号得正”得（1）⎩⎨⎧+-1x 22x 3 或（2）⎩⎨⎧+-1x 22x 3 解不等式组（1），得x ＞32，＞ ＞＜0＜0 ＞0 ＞0图（1）解不等式组（2），得x ＜21- 。

不等式的解法学科： 数学教学内容：6.4 不等式的解法【基础知识精讲】1.解不等式的差不多思想我们已学过的一元一次不等式、一元二次不等式的解法是学习本节的基础.在解其它类型的不等式时，通过转化，将它们等价变形为一次、二次不等式(组).转化思想为：假如不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；假如代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；假如有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；假如整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为一次、二次不等式(组).注意：每一步变形，都应是不等式的等价变形. 2.不等式的解法①一元一次不等式的解法一元一次不等式ax>b 的解集情形是：1°当a>0时，解集为｛x ｜x>a b ｝ 2°当a<0时，解集为｛x ｜x<ab｝3°当a ＝0时， b ≥0时，解集为φb<0时，解集为R.②一元二次不等式的解法： 设a>0，x 1，x 2是方程.2注：当a<0时，可在不等式两边乘-1转化为二次项系数为正的情形，再按上表进行. ③高次不等式的解法：高次不等式用根轴法求解，其步骤是： 1°将f(x)的最高次项的系数化为正数. 2°将f(x)分解为若干个一次因式的积.3°将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次穿过每一个根点画曲线. 4°依照曲线显现出f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集. ④分式不等式的解法：先将不等式整理成)()(x g xf >0或)()(x g x f ≥0的形式，再转化为整式不等式求解. 即)()(x g x f >0⇔f(x)·g(x)>0 )()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥•0)(0)()(x g x g x f⑤无理不等式的解法：转化为有理不等式求解.)(x f >g(x) ⇔⎩⎨⎧≥≥2)]x (g [)x (f 0)x (g 或⎩⎨⎧≥<0)x (f 0)x (g)(x f <g(x) ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x f x g)(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)x (g )x (f 0)x (f 0)x (g ⇔f(x)>g(x)≥0⑥指数不等式的解法. 1°同底法 af(x)>ag(x)⇔⎩⎨⎧>><<<)()(1)()(10x g x f a x g x f a 2°取对数法 af(x)>bg(x)⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<<>>babax g x f a x g x f a log )()(10log )()(1 3°换元法⑦对数不等式的解法.1°同底法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>>>⎩⎨⎧><<<⇔>0)()()(10)()()(10log log )()(x g x g x f a x f x g x f a x g ax f a 2°换元法3.本节学习要求(1)解各种变型的不等式，关键要把它们变形为一次、二次不等式(组).(2)求函数的定义域、值域、二次方程的根的分布、讨论参变量的取值范畴等均可化为解不等式的问题.通过本节学习，培养学生的运算能力，使学生明白得把握等价转化的致学思想方法. 【重点难点解析】知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性、逻辑性.因此，建议同学们在学习本节时，应复习初中的一元一次不等式、一元二次不等式的解法，在此基础上，连续学习高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式及对数不等式的解法.例1 解关于x 的不等式：2)1(--x x a >1 (a ≠1)分析 这是一个分式不等式，应先移项，再通分进行因式分解变形.切忌两边同乘以(x-2)而转化为整式不等式，因为(x-2)的正负未知.另外，注意对参数a 的正确的分类讨论.解：原不等式等价于2)2()1(----x x x a >0即为 2)2()1(----x a x a >0⇔ ［(a-1)x-(a-2)］(x-2)>0⇔ (a-1)(x-12--a a )(x-2)>0 ① 当a>1时，式①⇔ (x-12--a a )(x-2)>0 ∵ 12--a a -2＝-11-a -1<0∴1a 2a --<2. ∴ 原不等式的解集为(-∞，12--a a )∪(2,+∞). 当a<1时，式①⇔(x-12--a a )(x-2)<0 由 2-12--a a ＝1-a a知 当0<a<1时，1a 2a -->2，则原不等式解集为(2，12--a a ) 当a ＝0时，原不等式(x-2)2<0，解集为φ.当a<0时，12--a a <2，则原不等式解集为(12--a a ,2). 综上所述：当a<0时，原不等式解集为(12--a a ,2) 当a ＝0时，原不等式解集为φ. 当0<a<1时，原不等式解集为(2，12--a a )当a>1时，原不等式解集为(-∞，12--a a )∪(2,+∞) 点评：本题需要两级分类，第一级按a>1和a<1分为两级，多数学生都能做到，在a<1的情形下，又要按两根12--a a 与2的大小关系分为a<0,a ＝0和0<a<1三类，这时就有许多学生找不到分类的依据，甚至缺乏分类讨论的意识.例2 解不等式222322xx x x -+-+<x 分析 此题是分式不等式，可按分式不等式的解法求解.即需先移项通分，整理成)()(x g x f 0的形式，再转化为它们的整式不等式求解.解：移项整理，将原不等式转化为：)1)(3()1)(2(2+-++-x x x x x >0∵ x 2+x+1>0恒成立. ∴ 原不等式等价于)1)(3(2+--x x x >0解之，得原不等式解集为｛x ｜-1<x<2或x>3｝.注：此题也可用列表法或数轴标根法求解，但用根轴法更简捷. 例3 解不等式log 2)12(-x·log 21)22(1-+x >-2.分析 此题为对数不等式，(可通过换元)，由log 21)22(1-+x ＝21log)]12(2[1x -+＝-1-log 2)12(-x，因此可通过换元令t ＝log 2)12(-x，则可转化为代数不等式求解.解：原不等式可化为： log 2)12(-x·［-1-log 2)12(-x］>-2令log 2)12(-x＝t,则上面不等式可化为：t(-1-t)>-2.即t 2+t-2<0即 (t+2)(t-1)<0 ∴ -2<t<1 从而有 -2<log 2)12(-x<1则 2-2<2x-1<2 即45<2x<3∴ log 245<x<log 23∴ log 25-2<x<log 23∴ 原不等式解集为｛x ｜log 25-2<x<log 23｝ 【难题巧解点拨】例1 关于x 的二次方程x 2+(m-1)x+1＝0在区间［0，2］上有解，求实数m 的取值范畴. 分析 此题为含参的一元二次方程解的情形，可由二次方程的实根分布来解.则可设f(x)＝x 2+(m-1)x+1题意即为f(x)＝0在［0，2］上有解，其中包括两种情形：1°有一解，2°有两解.解：设f(x)＝x 2+(m-1)x+1 x ∈［0，2］，则： (1)f(x)＝0在区间［0，2］上有一解： 因为f(0)＝1>0 因此只需f(2)≤0 即 4+2(m-1)+1≤0⇒m ≤-23 (2)f(x)＝0在区间［0，2］上有二解.则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤≤-⇒≤-≤≥0)2(12322100f m m △综上由(1)(2)可知：m ≤-1.例2 若关于x 的方程4x +a ·2x+a+1＝0有实数解，求实数a 的取值范畴?解法一：令t ＝2x (t>0)，则原方程化为t 2+at+a+1＝0(1)则问题转化为方程(1)在(0，+∞)上有实数解，求a 的取值范畴.由⎩⎨⎧≥0)1(0的较大根大于方程△ 即⎪⎩⎪⎨⎧>+-≥+-020)1(42△a a a解得：a ≤2-22解法二：令t ＝2x(t>0)，则原方程化为t 2+at+a+1＝0，变形为：a ＝-tt ++112＝-12)1(2++-t t＝-［(t-1)+12+t ］ ＝-［(t+1)+ 12+t -2］≤-(22-2)＝2-22例3 已知f(x)是定义在区间(-∞，4)上的减函数，是否存在实数m ，使得 f(m-sinx)≤f(m 21+-47+cos 2x)对定义域内的一切实数x 均成立.若存在，求出m 的取值范畴，若不存在，说明理由.解：假设存在实数m ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧--≥++-≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+≥++-≤-22)21(sin 21214sin sin cos 47214sin x m m x m x x m m x m ∵sinx 的最小值为-1，且-(sinx-21)2的最大值为0，要满足题意，则须有： ⎪⎩⎪⎨⎧-=≥≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥++--≤-212330212114m m m m m m 或∴m 的取值范畴是｛m ｜m ＝21或23≤x ≤3｝【命题趋势分析】平常要求：1.按解各类不等式的解法来求解不等式. 2.含参的不等式问题，能对参数进行正确的分类讨论.3.应用不等式可求函数的定义域、值域、讨论函数的单调区间、讨论函数的一元二次方程根的存在和根的分布.【典型热点考题】例1 实数m 在什么范畴时方程x 2+(m-3)x+m ＝0的两根满足：(1)差不多上正根；(2)都在(0，2)内.解：(1)依题意，满足⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥--=00304)3(2m m m m △时，即m ∈(0,1)时两根均为正.(2)设f(x)＝x 2+(m-3)x+m ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<-≤≥⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥32031190)2(0)0(22300m m m m m f f m 或△⇒32<m ≤1，即m ∈(32，1)时，两根都在(0，2)内. 例2 关于实数x 的不等式｜x-21(a+1)2｜≤21(a-1)2与x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0 (a ∈R)的解集分别为A 和B ，求使A ⊆B 的a 的取值范畴.解：由｜x-21(a+1)2｜≤21(a+1)2得2a ≤x ≤a 2+1,∴A ＝｛x ｜2a ≤x ≤a 2+1,a ∈R ｝. 由x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0，可得(x-2)［x-(3a+1)］≤0，当3a+1≥2即a ≥31时，B ＝｛x ｜2≤x ≤3a+1 a ∈R ｝， 当3a+1<2即a<31时，B ＝｛x ｜3a+1≤x ≤2 a ∈R ｝,∴当a ≥31时，若A ⊆B ，则有⎩⎨⎧+≤+≤131222a a a ，解不等式组得1≤a ≤3. 当a<31时，若A ⊆B ，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≤+211221322a a a a a ，解不等式组得：a ＝-1，故使A ⊆B 的a 的取值范畴是｛a ｜1≤a ≤3或a ＝-1｝. 例3 设y ＝]1)(2[2122log +-+x x x b ab a (a>0,b>0)，求使y 为负值的x 的取值范畴.解：要y<0，只要a 2x +2(ab)x -b 2x >0，即b 2x［(b a )2x +2·(ba )x-1］>0, ∵b 2x>0,∴［(b a )x ］2+2(b a )x-1>0. 解那个关于(b a )x 的二次不等式得：(b a )x >2-1或(b a )x <-2-1，但(b a )x>0，∴只有(ba )x>2-1,∴当a ＝b>0时，x ∈R. 当a>b>0时，b a >1，两边取以b a 为底的对数，得x>)12(log -ba .当0<a<b 时，0<b a <1，两边取以b a 为底的对数，得x<)12(log -ba ，因此x 的取值范畴是：当a ＝b>0时，x ∈R.当a>b>0时，x ∈()12(log -ba,+∞).当0<a<b 时，x ∈(-∞，)12(log -ba).【同步达纲练习】A一、选择题1.若x 满足x 1<2与x 1>-3则x 的取值范畴是( ) A. -31<x<21 B .x>21C. x<-31 D. 0<x<21 2.函数y ＝)23(31log x -的定义域为( )A.｛x ｜x ≥-3｝B.｛x ｜-3≤x ≤23｝ C.｛x ｜1≤x ＜23D.｛x ｜x ≥-1｝ 3.与不等式xx --45≥0同解的不等式是( )A.(x-5)(4-x)≥0B.lg (x-4)≤0C.xx --45≥0 D.lg (x-5)≥0 4.设0<a<1，给出下面四个不等式： ①)1(2log +a a <)1(3log +a a②2a a >(2a )a③(2a )a >a a ④a a >2a a 其中不成立的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个5.已知方程mx 2-2(m+2)x+(m+5)＝0有两个不同的正根，则m 的取值范畴是( ) A.m<4 B.0<m<4C.m<-5或0<m<4D.m<-2或0<m<4 二、填空题6.不等式21x -≥x 的解集为 .7.不等式(31)82-x >3-2x的解集为 . 8.不等式lg )22(2++x x <1的解集为 .三、解答题9.若不等式49)1(220822+++++-m x m mx x x <0的解集为R ，求实数m 的取值范畴.10.解不等式lg )1(xx -<0AA 级一、选择题1.已知I ＝R ，集合M ＝｛x ｜20012000--x x ≤0,x ∈R ｝，N ＝｛x ｜(x-2000)(x-2001)≥0，x∈R ｝，P ＝｛x ｜10(x-2000)(x-2001)≥1，x ∈R ｝，则( )A.M ∩N ＝PB.M ∪P ＝NC.M ∩N ∪P ＝MD.M ∪N ∪P ＝R2.已知不等式x 2-4x+3<0① x 2-6x+8<0② 2x 2-9x+m<0③，要使同时满足①②的x 也满足③，则有( )A.m>9B.m ＝9C.m ≤9D.0<m ≤93.若函数f(x)＝)2(212log ++kx x 的值域为(-∞,+∞)，则实数k 的取值范畴是( )A.(-22，22)B.［-22,22］C.(-∞，-22)∪(22,+∞)D.(-∞,-22)∪［22,+∞］4.关于x 的不等式(k 2-2k+25)x <(k 2-2k+25)1-x的解集为( ) A.｛x ｜x<21｝ B.｛x ｜x>21｝C.｛x ｜x>2｝D.｛x ｜x<2｝ 5.若ax 2+bx+c>0的解集为｛x ｜x<-2或x>4｝，那么关于函数f(x)＝ax 2+bx+c 会有( ) A.f(5)<f(2)<f(-1) B.f(2)<f(5)<f(-1) C.f(-1)<f(2)<f(5) D.f(2)<f(-1)<f(5) 二、填空题6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-0492x x 的解集是 .7.不等式ax 2+bx+2>0的解集为(-21，31)，则a+b 的值是 . 8.4x(x+2)-8·32x >0的解集为 . 三、解答题9.已知A ＝｛x ｜5-x ≥21-x ｝B ＝｛x ｜x 2-ax ≤x-a ｝，当A ⊂B 时，求a 的取值范畴.10.设关于x 的二次方程px 2+(p-1)x+p+1＝0有两个不等的正根，且其中一根大于另一根的两倍，求p 的取值范畴.【素养优化训练】 一、选择题1.假如不等式a x +≥x 的解集在数轴上构成长度为2a 的区间，则a 的值等于( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设命题P:关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集相同；命题Q ：21a a ＝21b b ＝21c c，则命题Q 是命题P 的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设x 1<x 2…<x n ,n ∈N 且n ≥2.｛x ｜(x-x 1)(x-x 2)…(x-x n )>0｝⊃｛x ｜x 2-(x 1+x n )x+x 1x n >0｝，则n( )A.等于2B.是大于2的任意奇数C.是大于2的任意偶数D.是大于1的任意自然数4.在x ∈(31,3)上恒有｜log a x｜<1成立，则实数a 的取值范畴是( ) A.a ≥3 B.0<a ≤31C.a ≥3或0<a ≤31D.a ≥3或0<a<315.已知f(x)、g(x)差不多上奇函数，f(x)>0的解集为(a 2-b),g(x)>0的解集为(22a ，b)，则f(x)·g(x)>0的解集为( )A.(22a ,2b ) B.(-b,-a 2)C.(a 2, 2b )∪(-2b ,-a 2) D.(22a ,b)∪(-b 2,-a 2)二、填空题6.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范畴是 .7.设函数f(x)＝122++x bax ,x ∈(-∞，+∞)的最大值为4，最小值为-1，则a 、b 的值为 .8.已知函数f(x)＝ax+2a+1的值在-1≤x ≤1时有正有负，则a 的取值范畴为 .三、解答题9.已知F(x)＝f(x)-g(x)，其中f(x)＝log a (x-b)，当且仅当点(x 0，y 0)在f(x)的图像上时，点(2x 0,2y 0)在y ＝g(x)的图像上.(b>0,a>0且a ≠1)(1)求y ＝g(x)的解析式. (2)当F(x)≥0时，求x 的范畴.10.汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车时还要连续向滑行一段距离才能停住，称这段距离为刹车距离，刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速为40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发觉情形不对时，同时刹车，但依旧相撞了.事故后，现场测得甲车的刹车距离是略超过12米，乙车的距离略超过10米，又已知甲、乙两种车型刹车距离s 米与车速x 千米/小时之间有如下关系：S 甲＝0.1x+0.01x 2，S 乙＝0.05+0.005x 2，问超速应负责任的是谁?答案：A 级1.D2.C3.B4.B5.B6.｛x ｜x ≤22｝ 7.｛x ｜-2<x<4｝ 8.｛x ｜-4<x<2｝ 9.解：∵x 2-8x+20＝(x-4)2+4>0恒成立，∴原不等式等价于mx 2+2(m+1)x+9m+4<0恒成立，则只须⎩⎨⎧<<00△m 即⎩⎨⎧<+-+<<0)49(4)1(402m m m m △，因此可得m ∈(-∞,- 21). 10.解：由对数函数的性质和定义知：0<x-x 1<1，即0<x x 12-<1,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-110122xx xx 即⎪⎩⎪⎨⎧<-->-0)1(0)1(22x x x x x ，当x>0时，有⎪⎩⎪⎨⎧<-->->0101022x x x x ，∴解集为｛x ｜1<x<251+｝,当x<0时，有⎪⎩⎪⎨⎧>--<-<0101022x x x x ,∴解集为｛x ｜-1<x<251-｝,∴原不等式解集为｛x ｜-1<x<251-｝∪｛x ｜1<x<251+｝. AA 级1.D2.C3.D4.A5.D6.［3，5］7.-148.｛x ｜x>23或x<-1｝ 9.解：A ＝｛x ｜1≤x ≤3｝，B ＝｛x ｜(x-a)(x-1)≤0｝，要使A ⊂B ，则只需a>3即可，故a 的取值范畴为a>3.10.解：方程有两不等正根的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>>+>0002121x x x x △，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>->+--=01010)1(4)1(2pp pp p p p △解得：0<p<332-1，证x 1＝p p p p 216312+----,x 2＝pp p p 216312+--+-，由x 2>2x 1并注意p>0得：31632+--p p >1-p>0,∴28p 2+52p-8<0，即7p 2+13p-2<0,∴-2<p<71,综上得p 的取值范畴为｛P ｜0<p<71｝. 【素养优化训练】1.B2.D3.C4.C5.C6.a>-17. ⎩⎨⎧==32b a 或⎩⎨⎧=-=32b a 8.-1<a<-319.解：(1)易知y 0＝log a)(0b x -，令2x 0＝u,2y 0＝v,则x 0＝2u ，y 0＝2v代入得v ＝2log a )2(b u-，又因为点(u 、v)在y ＝g(x)图象上，∴y ＝g(x)＝2log a)2(b x -.(2)F(x)＝f(x)-g(x)＝log a)(b x --2log a)2(b x-，由F(x)≥0得log a)(b x --2log a )2(b x-≥0①，当a>1时，不等式①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->--≥-020)2(2b xb x b x b x ⇒⎩⎨⎧>≤+++-b x b b x b x 2044)44(22⇒⎩⎨⎧>+++≤≤+-+bx b b x b b 244224422⇒2b<x ≤2b+2+21+b .当0<a<1时，不等式①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->--≤-020)2(2b xb x b x b x ⇒x ≥2b+2+21+b ，∴当a>1，2b<x ≤2b+2+21+b 时F(x)≥0，当0<a<1，x ≥2b+2+21+b 时，F(x)≥0.10.解：依题意⎪⎩⎪⎨⎧>+>+10005.005.01201.01.022乙乙甲甲x x x x ②① 由①解得x 甲<-40或x 甲>30，由②解得x 乙<-50或x 乙>40，∴乙车超速，应负事故的要紧责任.。

不等式的解法高考要求不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论一．解不等式中的简易逻辑思想例1 已知)0(012:2|311:|22>≤-+-≤--m m x x q x p ，；¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 30≤<m二、解不等式中的换元思想例2．解不等式11111261x x x +-≤≤+。

解集是[3，8] 三、解不等式中的数形结合思想例3．设a<0为常数，解不等式22a ax x a -+>。

解集是(34a,+∞) 四、解不等式中的函数方程思想例4 求a ，b 的值，使得关于x 的不等式a 2x +bx+2a -1≤0的解集分别是： (1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．五、解不等式中的分类类讨论思想解不等式2221011xx x x -+>++ x ＞33- 六、解不等式中的构造思想例6、解不等式 05110)1(833x ＞x x x --+++ －1＜x ＜2或x ＜－2 七、解不等式中的转化化归思想例7 对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p-3恒成立，试求x 的取值范围.(-∞,-1)∪(3,＋∞)八、解不等式中的整体思想例8、已知f(x)=ax 2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的范围。