浙江省桐高年第二学期高一年级期中考试模拟(数学必修5)

绍兴县豫才中学2006学年高一年级第二学期数学期中试卷出卷人：傅燕敏 2007年4月一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．不等式24415x x ->的解集是（ ）A ． {}1.5 2.5x x -<< B. {}1.5, 2.5x x x ≤-≥或 C. {}2.5, 1.5x x x <->或 D. {}1.5, 2.5x x x <->或 2．等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若317a a +=10，则19s = （ ） A ．55B ．95C ．100D ．不能确定 3．已知{}n a 是等比数列，na＞0， 465768236a a a a a a ++=，则57a a +等于 （ ）A ．6B ．12C ．18D ．24 4．下列不等式中解集为实数集R 的是（ ）A. 2440x x ++> B.20x > C. 012≥+-x x D. xx 111<-5．等差数列{}n a 中，a1＞0，d≠0，S 3=S11，则Sn 中的最大值是 ( )A ．S 7B ．S 7或S 8C ．S 14D ．S 86．在△ABC 中，45601,B C c ===，，则最短边的边长等于 ( )A ．63 B ．62 C ．12D ．327．已知12=+y x ，则yx 42+的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．22D ．23 8．设{}n a 和{}n b 分别是正数的等差、等比数列，且1a =1b ，2121n n ab ++=，则（ ）A ．1n a += 1n b +B ．1n a +＞1n b +C ．1n a +＜1n b +D ．1n a +≥1n b +9. 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. )2,(-∞B. []2,2-C. ]2,2(-D.)2,(--∞10．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-4二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）. 11．在等差数列{}7s 中，已知公差12d =，且1359960a a a a +++⋅⋅⋅+=，则12399100a a a a a +++⋅⋅⋅++=____________ 12.已知等比数列｛an ｝中，2310,30,m m m s s s ===___________ 13. 设1≥x ，则函数1)3)(2(+++=x x x y 的最小值是 ____________14．在△ABC 中，若32sin a b A =，则B 等于_____________15．已知正数,,a b 且,a b >将22,,,,22a b a b ab a b ++>按从大到小排列为________________________16．等差数列{}n a 中，Sn 是它的前n 项之和，且6s ＜7s ，7s ＞8s ，则①比数列的公差d ＜0 ②9s 一定小于6s③7a 是各项中最大的一项 ④7s 一定是n s 中的最大值其中正确的是_______________________（填入你认为正确的所有序号） 三、解答题(本大题共5小题，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤).17.( 10分)若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，求不等式01522>-+-a x a x 的解集.18、（10分)已知数列{}n a 的首项13a =，且满足13n n a a -=+()1n >，求10s .19．(10分)△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是a, b, c ，且t a n t a n 3t a n t a n 3A B A B +=-，72c =，又△ABC 的面积为332ABC S ∆=. 求（1）角C ； （2）a+b 的值.20.(10分)已知等差数列前三项为a,4,3a,前n 项和为S n , S k =2550 (1)求a 及k 值. (2)求nS S S S 1111321++++21、（12分）甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ；固定成本为a 元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？必修5综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBACAACDCD二、填空题11. 145 12. 70 13. 6 14．3π或23π15．2222a b a ba ab b ++>>>> 16. ①②④三、解答题17.13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 18.105- 19.（1）60 （2）11220. 1231111(1) 11111(11)2(21)3(31)(1)11111122311n nn n n n n n n n s s s s s =+∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++++=-+-+⋅⋅⋅+-=++21. (1)设汽车的运输成本为y ，2()(), (0,].s ay bv a s bv v c v v =+⨯=+∈ (2)由题意知,,,s a b v 都是正数，故有()2,a s bv s ab v+≥当且仅当 abv v=，即 a v b =时，上式中等号成立.若c a b ≤，则当 a v b =时，全程运输成本y 最小；若 >c ab，由函数()a y s bv v=+的单调性可知，v c =时y 有最小值.。

2023-2024学年浙江省高一下册5月期中联考数学模拟试题选择题部分一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若()i 11z -=，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【正确答案】A【分析】根据复数的四则运算求解即可.【详解】由()i 11z -=得，11i iz -==-，所以1i z =+.故选：A.2.若()1,2a = ，(),3b x = 且4a b ⋅= ，则x =（）A.2- B.12-C.12D.10【正确答案】A【分析】由向量数量积的坐标运算可得答案.【详解】因为()1,2a = ，(),3b x = 且4a b ⋅= ，所以12364a b x x ⋅=⨯+⨯=+= ，所以2x =-.故选：A.3.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印机技术制作模型.设模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -所得的几何体（如图），其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==，13cm AA =，3D 打印所用的原料密度为30.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量是（）A.40.5gB.45gC.49.5gD.54g【正确答案】C【分析】先求出四棱锥O −EFGH 和长方体1111ABCD A B C D -的体积，作差后得到该模型的体积，利用密度即可求出所需原料的质量.【详解】由题意得，四边形EFGH 的面积为21336439cm 22S =⨯-⨯⨯⨯=，∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ，∴31939cm 3O EFGH V -=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32366108cm V =⨯⨯=，所以该模型体积为32108999cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.59949.5g ⨯=．故选：C.4.在ABC 中，12BD DC = ，E 为AD 中点，则EB = （）A.4136AB AC +B.2136AB AC -C.5163AB AC - D.7163AB AC +【正确答案】B【分析】根据向量的减法法则和平行四边形法则对向量进行分解转化即可.【详解】因为12BD DC =，E 为AD 中点，所以12EB AB AE AB AD =-=- 121()233AB AB AC =-+ 2136AB AC =-.故选：B.5.在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1AC AA BC ===，120ACB ∠=︒，E 是1BB 的中点，则异面直线CE 与1AC 所成的角的余弦值是（）A.34-B.34C.18D.18-【正确答案】B【分析】根据异面直线所成角的定义，取1CC 中点M ，AC 中点N ，连接11,,,MN MB NB NB ，可得1NMB ∠为异面直线CE 与1AC 所成的角或其补角，结合余弦定理求解即可得答案.【详解】如图，取1CC 中点M ，AC 中点N ，连接11,,,MN MB NB NB在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1AC AA BC ===，所以1AA ⊥平面111A B C ，有11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，则22111122AC AA A C =+=因为,M N 分别为1,CC AC 中点，所以111//,22MN AC MN AC ==又可得11//,MC B E MC B E =，则四边形1MCEB 为平行四边形所以1//CE MB ，则1NMB ∠为异面直线CE 与1AC 所成的角或其补角由1CC ⊥平面111A B C ，11C B ⊂平面111A B C ，可得111CC C B ⊥，所以2211112MB C M C B =+=，在BCN △中，120ACB ∠=︒，1,1NC BC ==，由余弦定理得2212cos12011232NB NC BC NC BC ⎛⎫=+-⋅⋅︒=+-⨯-= ⎪⎝⎭，所以1NB ===，所以在1MNB中，由余弦定理得22211113cos 24MN MB NB NMB MN MB +-∠===-⋅所以异面直线CE 与1AC 所成的角的余弦值34.故选：B .6.在ABC 中，2,4AB AC ==，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，且43AD =，则BC =（）A.B.C.743 D.2743【正确答案】A【分析】设BAD CAD θ∠=∠=，由ABD ACD ABC S S S +=△△△，求得1cos 2θ=，得到π3θ=，结合余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，由ABC 中，2AB =，4AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，且43AD =，设BAD CAD θ∠=∠=，可得142sin 23ABD S θ=⨯⨯ ，144sin 23ACD S θ=⨯⨯ ，且124sin 22ABC S θ=⨯⨯ ，因为ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得sin sin 2θθ=，即sin 2sin cos θθθ=，因为π(0,)2θ∈，所以sin 0θ>，可得1cos 2θ=，所以π3θ=，又由余弦定理得2222π24224cos 283BC =+-⨯⨯=，所以BC =.故选：A.7.在正四棱锥P ABCD -中，Q 是AB 上的动点（不包含端点），M 是AD 上的中点，点N 在线段AD 上且满足2AN ND =，分别记P MQ C --，P NQ C --，P AB C --的平面角为α，β，γ，则（）A.γαβ>>B.γβα>> C.βγα>> D.βαγ>>【正确答案】D【分析】连对角线得底面的中心O ,则PO 垂直底面，根据二面角的定义，结合正切函数的性质进行求解即可.【详解】连接,AC BD 交于O ，因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以有PO ⊥平面ABCD ，过O 作,OE QM OF QN ⊥⊥，垂足为,E F ，连接,PE PF ，因为PO ⊥平面ABCD ，,MQ NQ ⊂平面ABCD ，所以,PO MQ PO NQ ⊥⊥，因为,,OE PO O OE PO ⋂=⊂平面POE ，所以MQ ⊥平面POE ，而PE ⊂平面POE ，所以PE MQ ⊥，因此PEO ∠是二面角P MQ C --的平面角，即PEO α=∠，因此有tan OPOE α=，同理可证：PF QN ⊥，因此PFO ∠是二面角P NQ C --的平面角，即PFO β=∠，因此有tan OPOFβ=，设H 是AB 的中点，连接,PH OH ，则有AB PH ⊥，OH AB ⊥，因此PHO ∠是二面角P AB C --的平面角，即PHO γ=∠，因此有tan OPOHγ=，如图，H 是AB 的中点，所以12OH AB AH ==，Q 是AB 上的动点（不包含端点），M 是AD 上的中点，点N 在线段AD 上且满足2AN ND =，所以OF OE AH <<，所以OH OE OF >>，因此tan tan tan γαβγαβ<<⇒<<，故选：D .8.若O 是ABC 的外心，且()()2222252AC AB AB AO AC AO AO AB AC⋅⋅+⋅⋅= ，则sin 2sin B C +的最大值是（）A.22+B.32+ C.52D.【正确答案】C【分析】将向量全部转化为三角形边角的关系，结合柯西不等式求解即可.【详解】如图所示：设AB c =，AC b =，BAO θ∠=，CAO α∠=，由()()2222252AC AB AB AO AC AO AO AB AC⋅⋅+⋅⋅= ，得()()222225cos cos 2b c c AO b AO AO c b θα⋅⋅+⋅⋅= 化简得225cos cos 2b c AO c b θα⋅+⋅= ，由O 是ABC 的外心可知，O 是三边中垂线交点，得cos 2c AO θ=，cos 2bAOα= 代入上式得225222b c c b AO c b AO AO ⋅+⋅= ，所以2225b c AO +=，根据题意知，AO 是三角形ABC 外接圆的半径，可得sin 2b B AO =，sin 2c C AO= .所以22sin 2sin 222b c b cB C AO AO AO++=+= ，由柯西不等式可得：()()()2222122b c b c ++≥+，所以()22225b c AO +≤ ，所以25b c AO +≤ ，所以525222AO b c AO AO +≤=，当且仅当“2b c =”时，等号成立.所以sin 2sin B C +的最大值为52.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.在ABC 中，若A B <，则sin sin A B<B.在ABC 中，若45,5,4A a b === ，则这样的ABC 有两个C.若a ，b 是非零向量，则a 在b上的投影向量为2a b b⋅bD.若()i ,R z a b a b =+∈，则22||z z =【正确答案】AC【分析】A 选项，由大角对大边结合正弦定理可判断选项正误；B 选项，由余弦定理可判断选项正误；C 选项，由投影向量定义可判断选项正误；D 选项，由复数乘法，复数模定义可判断选项正误.【详解】A 选项，因A B <，由大角对大边，则a b <，又sin sin a bA B=，则sin sin A B <，故A 正确；B选项，由余弦定理，2222290cos a b c bc A c =+-⇒--=，解得c =+或c =-（舍去），即这样的ABC 有且只有一个，故B 错误；C 选项，a 在b 上的投影向量为cos ,a a b e ，其中b e b= 为与b 方向相同的单位向量，则2cos ,a b b a b a a b e a b a b b b⋅⋅=⋅⋅=⋅，故C 正确；D 选项，()2222i 2i z a b a b ab =+=-+，222z a b =+，故D 错误.故选：AC10.a ，b ，l 是不同的直线，α，β是不同的平面，下面条件中能证明a α⊥的是（）A.b α⊂，l ⊂α，a b ⊥r r，a l ⊥，b l O ⋂=B.l αβ= ，αβ⊥，a l ⊥C.αβ⊥，//a βD.l α⊥，//a l 【正确答案】AD【分析】由线面垂直定义，线面垂直判定定理，面面垂直性质定理可判断选项正误.【详解】A 选项，可知直线a 与平面α内两条相交直线垂直，则a α⊥，故A 正确；B 选项，缺少条件a β⊂，不能保证a α⊥，故B 错误；C 选项，此时a 有可能与两平面交线不垂直，此时不能保证a α⊥，故C 错误；D 选项，因l α⊥，a α，则a α⊥，故D 正确.故选：AD11.在OAB 中，1,2,120OA OB AOB ==∠=︒，点P 是等边ABC （点O 与C 在AB 的两侧）边上的一动点，若OP xOA yOB =+，则有（）A.当12x =时，点P 必在线段AB 的中点处 B.x y +的最大值是92C.OP OA ⋅的最小值是1- D.PO PA ⋅的最大值为17【正确答案】BC【分析】对于A ，过AO 的中点作平行线即可判断；对于B ，先利用平面向量的性质得到x OE '=，2E P y ''=，从而结合图形的性质推得x y +取得最大值时点P 的位置，从而利用余弦定理与三角函数的和差公式求得,EC EO ，从而得以判断；对于C ，结合选项B 中的结论，推得点P 与点B 重合时OP OA ⋅取得最小值，由此判断即可；对于D ，举反例排除即可.【详解】对于A ，记D 为AO 的中点，过D 作//DP OB 交BC 于P ，如图，此时存在R λ∈，使得DP OB λ=，则12OP OD DP OA OB λ=+=+ ，显然满足12x =，但点P 不在线段AB 的中点处，故A 错误；对于B ，延长OA ，在OA 上任一点E '作E P ''平行于OB ，如图，则2OE E P E P OP OE E P OA OB OE OA OB OA OB ''''''''''=+=⋅+⋅=⋅+⋅ ，即x OE '=，2E P y ''=，易得60CBO ABO ∠=︒+∠大于120AOB ∠=︒的外角，则AO 与CB 的延长线必交于一点，故E P ''离OB 越远，其值越大，同时，OE '的值也越大，显然，当P '到达P 点与C 点重合时，OE '与E P ''都取得最大值，此时x y +也取得最大值，此时，在OAB 中，22212cos 142272AB OA OB OA OB AOB ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以7AB =，则7AC =，222cos 2277OA AB OB BAO OA AB +-∠===⋅⨯，易知060BAO ︒<∠<︒，所以3sin 7BAO ∠=，则()cos cos 60cos cos60sin sin 60CAO BAO BAO BAO ∠=∠+︒=∠︒-∠︒133227727==，故在OAC 中，2222cos 1727927OC OA AC OA AP CAO ⎛=+-⋅∠=+-= ⎝，所以3OC =，2221971cos 2232OA OC AC AOC OA OC +-+-∠===⋅⨯，又0120AOC ︒<∠<︒，所以60AOC ∠=︒，又//EC OB ，120AOB ∠=︒，所以60CEO ∠=︒，则ECO 为正三角形，所以3EC EO OC ===，所以x y +的最大值为393222EP OE +=+=，故B 正确；对于C ，因为OP xOA yOB =+ ，1cos 1212OA OB OA OB AOB ⎛⎫∠=⨯⨯-=-⋅=⎪⎝⎭⋅ uu r uu u r uu r uu u r ，所以()22E P OP OA OA x OA x xOA yO y OA y OE B OB '''⋅=⋅++⋅==-=- ，由选项B ，结合图像易知OE '的增长速率要比E P ''大，所以要使得2E P OE '''-取得最小值，OE '要取得最小值，此时0OE '=，则2E P OB ''==，即点P 与点B 重合时OP OA ⋅取得最小值，此时20122E P OE '''-=-=-，即OP OA ⋅ 的最小值为1-，故C 正确；对于D ，当点P 与点C 重合时，cos 0CAO ∠=<，60AOC ∠=︒，所以90CAO ∠>︒，18030APO CAO AOC ∠=︒-∠-∠<︒，则3cos cos302APO ∠>︒=，则33211cos 3227P P O PA P O O PA A =∠>⋅=>，故D 错误.故选：BC.关键点睛：本题解决的关键是利用平面向量的三角形法则得到x OE '=，2E P y ''=，从而确定,x y x y +-取得最值时点P 的位置，从而得解.12.如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =E 为AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折成A BE ' ，记二面角A BE C '--的平面角为θ，在翻折过程中，下列结论成立的是（）A.点A '在平面BCDE 的射影必在线段AC 上B.存在点A '使得A E BD '⊥C.πA BA θ∠'+<D.记A E '和AB '与平面BCDE 所成的角分别为α，β，则sin sin αβ-的取值范围是0,3⎡⎢⎣⎦【正确答案】AC【分析】根据题意证得BE ⊥平面A MC '，得到平面A MC '⊥平面BCDE ，结合面面垂直的性质定理，可判定A 正确；由A N '⊥平面BCDE ，得到A N BD '⊥，由A E BD '⊥，证得BD ⊥平面A NE '，得到所以BD NE ⊥，结合A '在平面ABCD 的射影不能时C 点，判定B 不正确；由二面角的定义，得到πA MA θ'+∠=，根据A MA A BA ''∠>∠，可判定C 正确；㓟线面角的定义求得sin sin 1)A N αβ'-=-⋅，结合0A N AM '<≤，可判定D 错误.【详解】在矩形ABCD 中，1,AB BC ==E 为AD 的中点，连接AC ，交BE 于点M ，可得ABC EAB ∽，则ABE ACB ∠=∠且90MBC ABE ∠+∠= ，所以90MBC ACB ∠+∠= ，所以,AM BE MC BE ⊥⊥，即,A M BE MC BE '⊥⊥，因为A M MC M '= 且,A M MC '⊂平面A MC '，所以BE ⊥平面A MC '，又因为BE ⊂平面BCDE ，所以平面A MC '⊥平面BCDE ，过点A '作A N '⊥平面BCDE 于点N ，则点N 必在AC 上，所以A 正确；由A N '⊥平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以A N BD '⊥，若A E BD '⊥，且A N A E A ''= 且,A N A E ''⊂平面A NE '，所以BD ⊥平面A NE '，又由NE ⊂平面A NE '，所以BD NE ⊥，显然EC BD ⊥，因为N 必在AC 上，所以点N 与C 重合，由AME BMC ∽，可得3231AM MC ==，且3CM =在A MC ¢中，CM A M '>，所以A '在平面ABCD 上的射影不可能落在点C 处所以不存在点A '使得A E BD '⊥，所以B 不正确；因为二面角A BE C '--的平面角为θ，即A MC θ'∠=，又因为πA MA θ'+∠=，由.AB AM A B A M ''>>得A MA A BA ''∠>∠，所以πA BA θ∠'+<，所以C 正确；因为A E '、A B '平面BCD 所成的角分别为,αβ，即,A EN A BN αβ''∠=∠=，可得sin ,sin A N A NA E A Bαβ''==''，所以sin sin 1)A N A NN A N A N A E A Bαβ'''''-=-=-=-⋅''，由AME BMC ∽，可得12AM AE MC BC ==，所以12AM MC =，又由AC =AM =，因为在翻折的过程中，可得0A N AM '<≤，即03A N '<≤，所以63(0,13)A N '⋅∈，所以D 错误.故选：AC.非选择题部分三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.13.用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图为直角边长是2的等腰直角三角形（如图），则ABC 的面积是___________.【正确答案】42【分析】根据斜二测画法法的规则，求得水平放置的ABC 的平面图形，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图（1）所示，由水平放置的ABC 的直观图A B C ''' 为直角边长是2的等腰直角三角形，即2A B B C ''''==且90A B C '''∠= ，可得22A C ''=,如图（2）所示，根据斜二测画法法，可得ABC 的平面图形，可得2,42AB AC ==且90BAC ∠= ，所以1242422ABC S =⨯⨯= .故答案为.4214.圆锥的底面半径为2，表面积为10π，则该圆锥为体积为___________.【正确答案】453π【分析】根据题意列出方程求得圆锥的母线长3l =，进而求得高为225h l r =-=，结合体积公式，即可求解.【详解】设圆锥的高为h ，母线长为l ，因为圆锥的底面半径为2，表面积为10π，所以2π2π210πl ⨯+⨯⨯=，可得3l =，所以圆锥的高2222253h l r =-=-=可得圆锥的体积为22115πππ25333V r h =⨯=⨯⨯=.故答案为.45π315.方山双塔位于台州市黄岩区九峰公园内紫云峰之巅.南宋宝章阁直学士章雄飞《游九峰寺》诗中赞道：“九峰突地三千丈，双塔攒空十二层”.为了测量南塔高度，某同学设计了如下测量方法：先在塔底平台A 点处测得塔底中心O 在北偏西70︒方向，塔顶仰角的正切值为32，再走到距离A 点25米的点B 处，测得点O 在北偏东80︒方向，塔顶仰角为6π，则该塔的高度为___________米.【正确答案】757【分析】如图，设塔顶为P ，塔高为PO x =，由题目条件可表示出,OA OB ,可得AOB ∠.在AOB 中利用余弦定理可得答案.【详解】如图，设塔顶为P ，则塔高为PO x =，因在A 点处塔顶仰角正切为32，在B 点处塔顶仰角为π6，则3233233,PO PO AO x BO x AO BO =⇒==⇒=.过A 点作一条与东西方向同向的线段交BO 于C ，因点O 在点B 北偏东80︒方向，在A 点北偏西70︒方向，则10,20150ACO CAO AOC ∠=︒∠=︒⇒∠=︒.又25AB =，则在AOB 中利用余弦定理有：2222cos AB OB OA OB OA AOB=+-⋅⋅∠222423497562532362593297x x x x x x ⎛⎫⇒=+-⋅⋅⋅-⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭.故75716.在三棱锥A BCD -中，底面BCD 是边长为3AB ⊥面BCD ，2AB =，三棱锥A BCD -外接球与内切球球心分别为1,O O ，则1OO =___________.【正确答案】298【分析】取等边BCD △的中心为2O ，根据球的截面的性质，求得2112OO AB ==，再由体积法，求得内切球的半径为38r =，在BG 上取一点P ，过点P 作1O P ⊥平面BCD ，使得138O P =，得到点1O 即为三棱锥A BCD -的内切球的球心，在直角1OO N 中，即可求解.【详解】如图所示，取等边BCD △的中心为2O ，因为BCD △32BG =，则2213BO BG ==，连接2OO ，根据球的性质，可得2OO ⊥平面BCD ，又由AB ⊥平面BCD ，且2AB =，所以2112OO AB ==，由21333244ABC ABD BCD S S AB BC S ==⋅==⨯=，连接AG ，因为G 为CD 中点，且AC AD ==，所以AG CD ⊥，且52AG ==，所以15324ACD S CD AG =⋅= ，所以棱锥的表面积为335344S =+++=，体积为133234V =⨯⨯设内切球的半径为r ，可得112343V r =⨯⨯=⨯，解得38r =，即1O 到平面BCD 和平面ABC 的距离为38d r ==，因为E 的中点，且BD CD =，所以DE BC ⊥，又因为AB ⊥平面BCD 且，DE ⊂平面BCD ，所以DE AB ⊥，因为AB BC B ⋂=且,AB BC ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，在BG 上取一点P ，使得34BP =，过点P 作//PF DE ，可得PF ⊥平面ABC ，在直角BPF △中，可得3sin 308PF BP ==，即点P 到平面ABC 的距离为38d =，过点P 作1O P ⊥平面BCD ，使得138O P =，则点1O 即为三棱锥A BCD -的内切球的球心，过点1O 作12O N OO ⊥，可得12231144O N PO BO BP ==-=-=，222135188ON OO NO OO PO =-=-=-=，在直角1OO N 中，可得2222115129()()848OO ON O N =+=+=，故答案为.298方法点睛：解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式222R r d =+（r 为底面多边形的外接圆的半径，R 为几何体的外接球的半径，d 表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.已知2,1,23a b a b ==-=.（1）求a 与b的夹角；（2）求()()3a b a b -⋅+的值.【正确答案】（1）2π3（2）1-【分析】（1）将2a b -= 两边同时平方可得1a b ⋅=- ，再利用向量数量积公式即可得夹角为2π3；（2）根据平面向量运算法则即可求得()()31a b a b -⋅+=-.【小问1详解】由2a b -= 可得2212a b -= ，即224412a a b b -⋅+= ；将2,1a b == 代入可得1a b ⋅=-，设a 与b的夹角为[],0,πθθ∈，则cos 1a b a b θ⋅==- ，解得1cos 2θ=-，即2π3θ=，所以a 与b 的夹角为2π3；【小问2详解】利用向量运算法则可知，()()223234231a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=--=- ，即()()3a b a b -⋅+的值为1-.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，4AB =，60DAB ∠=︒，PA PD ==PB =M ，N 分别为PB ，DC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求证：面PAD ⊥面ABCD ．【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）取PA 中点E ，连接DE ，ME ，由题意可证得//MN DE ，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，由题意可证得PO OB ⊥，PO AD ⊥，再由线面垂直的判定定理可证得PO ⊥面ABCD ，再由面面垂直的判定定理即可证明.【小问1详解】取PA 中点E ，连接DE ，ME因为ME 是PAB 中位线，所以//ME AB ，且12EM AB =；又ABCD 是菱形，则//DN AB 且12DN AB =，所以,//ME DN ME DN =，即MNDE 是平行四边形.所以//MN DE ，DE ⊂面PAD ，MN ⊄面PAD ，所以//MN 面PAD ．【小问2详解】取AD 中点O ，连接OP ，OB ，因为460AD AB DAB ==∠=，°，所以△ADB 是正角形，OB AD ⊥，且BO =又因为△PAD 是等腰三角形，2PO AD PA AO ⊥==，，可知PO =因为PB =，由勾股定理知PO OB ⊥又因为AD OB O ⋂=，BO ，AD ⊂面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD ，PO ⊂面PAD ，所以面PAD ⊥面ABCD.19.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且()m a A =与(,sin n b B =）平行.（1）若217a C ==，求c 的值；（2）若2BD DC =，且||2AD =，求ABC 面积的最大值.【正确答案】（1）877（2）332【分析】（1）利用数量积的坐标运算得sin cos 0a B A =，利用正弦定理求出角A ，最后利用同角基本函数及正弦定理即可求解；（2）利用向量减法运算得1233AD AB AC =+，两边平方得223642c b bc =++，利用基本不等式求得6bc ≤，代入面积公式即可求解.【小问1详解】因为()m a A =与(,sin n b B =）平行，所以sin cos 0,sin 0a B A B =>，由正弦定理知sin sin cos 0A B B A =，得tan A =0πA <<，所以π3A =，所以sin 2A =，由()21cos ,0,π7C C =∈，得27sin 7C =，又a =，由正弦定理sin sin a c A C=得sin 2787sin 7732a C c A ===；【小问2详解】因为2BD DC =，所以1233AD AB AC =+ ，所以222144999AD AB AB AC AC =+⋅+ ，所以221424999c b bc =++，即223642c b bc =++，由基本不等式知2236426c b bc bc =++≥，当且仅当c b ==6bc ≤，所以1333sin 242ABC S bc A bc ==≤.20.如图，点B 是AC 为直径的半圆上的一动点PA ⊥面ABC ，2,1AC PA ==．（1）若E 为PC 的中点，当ABC 的面积最大时，求AE 与面PBC 所成的角的正弦值；（2）过点A 作平面α，分别交PB ，PC 于点M ，N ，当PC α⊥时，求三棱锥P AMN -外接球的体积．【正确答案】（1）15（2）π6【分析】（1）由PA ⊥面ABC 得PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，则BC ⊥面PAB ，过点A 作⊥AF PB ，又BC ⊥AF ，可得AF ⊥面PBC ，所以∠AEF 就是AE 与面PBC 所成的角．当△ABC 的面积最大时，B 为弧 AC 中点，求出AF ，AE ，即可得解；（2）过A 作AM PB ⊥于M ，作AN PC ⊥于N ，可证得PC ⊥面AMN ，则面AMN 即为面α，取P A 的中点O ，在Rt PNA △，Rt PMA △中，求得ON ＝OP ＝OA ＝OM ＝12PA ，可知O 为三棱锥P AMN -外接球的球心，半径R ＝1122PA =，即可求出外接球的体积.【小问1详解】∵PA ⊥面ABC ，AB ，BC ⊂面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂面PAB ，∴BC ⊥面PAB ，过点A 作⊥AF PB ，垂足为F ，∵BC ⊥面PAB ，AF ⊂面PAB ，∴BC ⊥AF ，又,,PB BC B PB BC ⋂=⊂面PBC ，∴AF ⊥面PBC ，∴∠AEF 就是AE 与面PBC 所成的角．当△ABC 的面积最大时，B 为弧 AC 中点，AB =，在△PAB 中，1,PA AB PB ===，∵PA AB PB AF ⋅=⋅，∴AF =△PAC 中，122AE PC ==，所以sin315AF AEF AE ∠===．【小问2详解】过A 作AM PB ⊥于M ，作AN PC ⊥于N ，连接MN ，∵AM PB ⊥，,,,AM BC PB BC B PB BC ⊥⋂=⊂面PBC ，∴AM ⊥面PBC ，∵PC ⊂面PBC ，∴AM ⊥PC ，又AN ⊥PC ，AM ∩AN ＝A ，AM ，AN ⊂面AMN ，∴PC ⊥面AMN ，则面AMN 即为面α，取PA 的中点O ，连接OM ，ON ，在Rt PNA △中，ON ＝OP ＝OA ＝12PA ，在Rt PMA △中，OM ＝12PA ，∴ON ＝OP ＝OA ＝OM ，∴O 为三棱锥P AMN -外接球的球心，半径R ＝1122PA =，∴三棱锥P AMN -外接球的体积36π4π3V R ==．21.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2sin cos cos c os A b A A C =+.（1）求A 角的大小；（2）若D 为AB 的中点，P 是AC 上的动点，且AP AC λ= .若BP DP +，当BP DP +取最小值时，求λ的取值范围.【正确答案】（1）π3（2）12,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由正弦定理与诱导公式化简已知式子可得sin A A =，从而可求得角A 的大小；（2）作B 关于边AC 的对称点B '，连接AB '，并取其中点D ¢，由堆成求得BP DP +的最小值，结合正弦、余弦定理先确定AP 的长，再转化求λ的取值范围.【小问1详解】由正弦定理得2sin sin cos cos cos B A A A C C A=+所以()()sin sin sin cos sin cos sin sin B A A A C C A A A C A B =+=+=由于π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0B ≠，故sin A A =，即tan A =，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3A =；【小问2详解】如图，作B 关于边AC 的对称点B '，连接AB '，并取其中点D ¢，当BP DP BP D P D B '≥'+=+=120BAB '∠=︒，设AB c =，则2c AD '=由余弦定理可得22714cos 222c c BAB c c +-∠==-⋅⋅'，解得2c =，则在三角形AD B '中，2,1AB AD '==，cos sin 1414D B ABD ABD =⇒∠==⇒∠'=''，则()()11sin sin 18060sin 120sin 22APB ABD D BA D BA D BA ∠=︒-∠-︒=︒-∠∠+∠''''23213211414AP =⇒=，在ABC 中，π,23A c ==，设ππ,,62ABC θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理()21,42πsin 3131sin 3222tan 2AC AC θθθ=⇒==⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以12,63APAC λ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,2AB AC AB AC ⊥==，点D 为线段1CC 中点，侧面11BCC B 为矩形，1A AB θ∠=.（1）若1120A AB ∠=︒，求二面角1A AB C --的正弦值；（2）若14AA =，[]60,120θ∈︒︒，求AD 与平面11BCC B 所成角的正弦值的取值范围.【正确答案】（1）63（2）36⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先证明线面垂直，找出二面角的平面角，结合三角形知识可求答案；（2）先求出点A 到平面11BCC B 的距离，再求AD 的长度，利用线面角的定义可得答案.【小问1详解】分别取11,BC B C 的中点，连接11,//AA EF EF A A 且1EF A A =，所以1AA EF 是平行四边形，因为2AB AC ==，所以AE BC ⊥，因为侧面11BCC B 是矩形，所以1BC BB ⊥，即BC EF ⊥，又AE EF E ⋂=，所以BC ⊥平面1AA EF ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以平面1AA EF ⊥平面ABC .延长EA ，过点1A 作1A O AE ⊥，垂足为O ，过O 作OG AB ⊥，垂足为G ，连接1A G ，由平面1AA EF ⊥平面ABC ，可知1A O ⊥平面ABC ，1OGA ∠就是二面角1A AB C --的补角的平面角.因为1120A AB ∠= ，所以160A AG ∠= ，设11,2AA a AG a ==，则12A G a =，AE 是CAB ∠的平分线，45OAG ∠= ，所以2AO a =，从而12A O a =，故1116sin 3A O OGA A G ∠==.所以二面角1A AB C --的正弦值为63.【小问2详解】由（1）知1A O ⊥平面ABC ，点O 在线段EA或其延长线上，且11cos OA A AO A A θ∠==，又1A AO AEF ∠=∠，所以1sin sin A AO AEF ∠=∠=点A 到平面11BB C C的距离为sin h AE AEF =∠=，1A 的射影O 在BAC ∠的角平分线上，延长CA ，过O 作OH 垂直于CA 的延长线于H ，由角平分线的性质可得OG OH =,由勾股定理可得11AG A H =，AG AH =;所以11Rt Rt AGA A HA ≌，所以11A AG A AH ∠=∠，即11A AB A AC θ∠=∠=，在ACD 中,由余弦定理知AD =，所以直线AD 与平面11BB C C 所成的线面角α的正弦值为sin h AD α===令1cos t θ=+，60120θ︒≤≤︒，则13[,]22t ∈，所以sinα=，13 [,]22t∈，当且仅当22t=时，sinα取得最大值2；当32t=时，sinα取得最大值6；所以sin[6α∈.。

高中数学学习材料唐玲出品浙江省诸暨市湄池中学高一第二学期期中测试数 学 试 卷（人教A 版）（普通班）（附答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 （ ）A ．43-=n a nB ．43+-=n a nC ．()43)1(--=n a n nD ．()43)1(1--=-n a n n2、下列说法正确的是……………………………………………………………………（ ）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3．不等式（2x-1）（3x+1）>0的解集是 （ ） A ．}2131|{>-<x x x 或 B ．}2131|{<<-x x C ．}21|{>x x D ．}31|{->x x4、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为…………………………（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．525、斜线．．与平面所成角θ的取值范围是……………………………………………………（ ） A.（0°，90°）； B. [0°，90°)； C.（0°，90°]； D. [0°，90°]6、垂直于同一条直线的两条直线一定……………………………………………………（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 7、f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是…………………（ ） A ．a ≤0 B ．-<≤40a C ．-<<40a D ． a <-48．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是……………………………………（ ）A. α内所有的直线都与a 异面；B. α内不存在与a 平行的直线；C. α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点. 9、在等比．．数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比．．数列,则n S 等于（ ） (A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -10、右图是正方体平面展开图，在这个正方体中 ①BM 与ED 平行；CMN D②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60º角； ④EM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 ………………………………………………（ ）A.①②③B.②④C.③④D.②③④二、填空题（每小题4分，共28分）11、数列{}n a 中，11,111+==-n n a a a (n )2≥，则=4a .12．说出下列三视图所表示的几何体：正视图 侧视图 俯视图 13、用不等号“>”或”<”填空: 2+37 414．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5,10105-==S S ,则公差为 （用数字作答）。

浙江省桐乡市高级中学2014学年第二学期高一年级期中试卷数学试题（2015.4）一．选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 1．直角坐标系中, 4πα=,︒-=45β，两角始边为x 轴的非负半轴,则α与β的终边（ ▲ ）A ．关于x 轴对称 B. 关于y=x 对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于原点对称2．角α的终边上一点的坐标为)32cos 2,32sin2(ππ，则αs i n 等于 （ ▲ ）A. 21- B. 1- C. 23- D. 213． y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是 （ ▲ ）A. 2π3B. π3 C ．π D.4π34．已知函数)0)(cos()(>=ωωx x f ,其图象关于点)0,76(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，则ω的值为 （ ▲ ） A.47 B. 47,87或127 C. 47,或127 D. 675．已知534sin )6cos(=+-απα,则)67sin(πα+的值是 （ ▲ ） A.－235B.235C ．45D.－456．△ABC 中，cb c A 22sin2-= (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为 （ ▲ ）A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 7．如图所示，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆上的一个动点，以PC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，则四边形OPDC 面积的最大值为（ ▲ ） A. 2＋433 B. 2＋435 C.4 +435 D.2+328．在ABC ∆中， 212tan =A ，135)sin(=+B A 则B cos 的值为 （ ▲ ） A ．6556-B ．6556或6561-C ．6561-D ．6556-或6561二．填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）9．在数2与1之间插入10个数，使这12个数成递减的等差数列，则公差为 ▲ ． 10．在单位圆中，大小为2弧度的圆心角所对弦的长度为 ▲ ． 11．定义在R 上的偶函数)(x f 对任意x 满足)()(x f x f =+π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 ▲ ． 12．关于x 的方程m x x =-2cos sin 2的解集是空集，则实数m 的取值范围是 ▲ . 13．现给出下列结论：（ 1）在ABC ∆中，若B A sin sin >则b a >；（2）)4sin(4sinππ+x 是x sin 和x cos 的等差中项；（3）函数x x y cos 2sin +=的值域为]3,3[-；（4）振动方程)82sin(2π+-=x y )0(≥x 的初相为8π;(5)锐角三角形ABC 中,可能有C B A C B A sin sin sin cos cos cos ++>++.其中正确结论的个数为 ▲ ．14．关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在(0,2π)内有两相异实根α、β，则α＋β的值为 ▲ .三、解答题（共44分） 15．（本题10分） (1)求函数)23sin(x y -=π，],[ππ-∈x 的单调递减区间；(2)求函数)46tan(3xy -=π的周期及单调区间． 16．（本题10分）设函数x x x f 2sin )32cos()(++=π.(1)求函数)(x f 的最大值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若31cos =B ，41)2(-=C f ，且C 为锐角， 求sin A .17．（本题12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知bac B C A -=-2cos cos 2cos ．（1）求A C sin sin 的值； （2）若41cos =B ，2=b ，ABC ∆的面积S .18．（本题12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若01<a ,02009=S . (1)求n S 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使n n S a ≥.桐乡市高级中学2014学年度第二学期期中考试高一数学 参考答案及评分标准9、111-； 10、1sin 2； 11、23； 12、),2()2,(+∞⋃--∞； 13、2 ; 14、3π或37π三、解答题（共44分）15．（本题10分）解 (1)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，得y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，∴－π≤x≤－712π，－π12≤x≤512π，1112π≤x≤π.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－712π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，512π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π，π. (2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期 T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＝4π. 由y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4 得y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， 由－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π得－43π＋4k π<x<83π＋4k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z)． 16．（本题10分）解 (1)f(x)＝cos 2xcos π3－sin 2xsin π3＋1－cos 2x2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝12－32sin 2x. 所以，当2x ＝－π2＋2k π，k∈Z，即x ＝－π4＋k π (k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)max ＝1＋32. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14， 解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3. 由cos B ＝13求得sin B ＝223.因此sin A ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C) ＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.17．（本题12分）（I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C ===则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B ---==所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C AB B --=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=， 所以sin 2sin C A =因此sin 2.sin CA =（II ）由sin 2sin CA =得2.c a =由余弦定理22222212cos cos ,2,4144.4b a c ac B B b a a =+-==+-⨯及得4=a解得a=1。

数学必修模块5期中试题第Ⅰ卷 选择题 共40分（出题人：唐宁 卢军科 王庆 晁群彦 李海强）一．选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、 已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 A . 15 B . 30C. 31D. 642、若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 值是 A.－10 B.－14 C. 10 D. 143、在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是A ．14B ．16C ．18D ．204、对于任意实数a 、b 、c 、d ，命题①bc ac c b a >≠>则若,0,；②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22；④ba b a 11,<>则若；⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0．其中真命题的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)45、已知数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，则在 “(1){a n a n ＋1}， (2){a n ＋1－a n }， (3){a n 3}，(4){na n }”这四个数列中，成等比数列的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6、下列结论正确的是(A)当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且 (B)21,0≥+>xx x 时当(C)21,2的最小值为时当x x x +≥ (D)无最大值时当xx x 1,20-≤< 7、若a,b,c 成等比数列，m 是a,b 的等差中项，n 是b,c 的等差中项，则=+ncm a(A)4 (B)3 (C)2 (D)18、等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n－1，则a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于(A)2)12(-n(B))12(31-n (C)14-n(D) )14(31-n9、某人朝正东方向走x 千米后，向右转o 150并走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为(A) 3 (B) 32 (C) 3或32(D) 310、某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2m 2、3 m 2，用A 种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B 种金属板可造甲、乙产品各6个，则A 、B 两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省？(A) A 用3张，B 用6张 (B)A 用4张，B 用5张 (C)A 用2张，B 用6张 (D)A 用3张，B 用5张二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上） 11、在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是 12、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ． 13、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ ________________.14、已知⎩⎨⎧<-≥=01;01)(x x x f ，，，则不等式()5)2(2≤+⋅++x f x x 的解集是__________三、解答题（本大题共4 小题，共40分。

高一数学必修五期中考试试卷一、单选题 （本大题共10小题; 共40分．）1.下列数列中，是等比数列的个数是 (1)－1，－2，－4，－8；(3)3，3，3，3； (4)b ，b ，b ，b ． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则c ＝A ．1B ．2 C．D．3.若a ＜b ＜0，则下列结论中不恒成立的是 A ．|a|＞|b| B．C ．a 2＋b 2＞2ab D．4.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 A ．S 6 B ．S 11 C ．S 12 D ．S 135.设，则a ，b ，c 的大小顺序是A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a6.不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是 A ．{x|x ≤－2或x ≥1} B ．{x|－2＜x ＜1} C ．{x|－2≤x ≤1} D ．7.已知a n ＝n 2＋n ，那么 A ．0是数列中的一项 B ．21是数列中的一项 C ．702是数列中的一项 D ．以上都不对 8.数列{}的前n 项和(n N ＋)，则…等于A ．B ．C ．D ．9.设Sn=1－2+3－4+…+(－1)n －1n ，则S 4m +S 2m+1+S 2m+3(n N *)的值是 A ．0 B ．3 C ．4D ．随m 的变化而变化10.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1a 2a 3…a 30＝230则a 3a 6a 9…a 30＝ A ．220 B ．210 C ．216 D ．215--学校：________________班级：________________姓名：________________学号：________________ ------------------------------------密-------------封-------------线-------------内-----------请-------------不-------------要-------------答-------------题------------------------------------二、填空题（本大题共5小题; 共20分．）11.设{an}是各项均为正数的等比数列，前4项之和等于其前2项和的10倍，则该数列的公比为______．12.不等式(2x+1)≥0的解集是________．13.设Sn 、Tn分别为两个等差数列的前n项之和，若对任意n∈N*都有，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项之比的比值为________．14.已知数列a的前n项和s＝n ＋n＋1，则通项a＝________15.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，若则△ABC的形状一定是________三角形三、解答题（本大题共4小题; 共40分．）16.已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝2，c2＋d2＝2，求证|ac＋bd|≤2．17.(1)已知x＞0，求函数y＝x2＋的最小值；(2)求函数y＝3x2＋的最小值；(3)已知0＜x ＜，求函数y＝x2(5－2x)的最大值．18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A，B是锐角，c＝10，且(1)证明∠C＝90°；(2)求△ABC的面积．19.已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1(1)设bn＝an+1－2an(n＝1，2，…)求证：数列{bn}为等比数列(2)设(n＝1，2，…)，求证：数列{Cn}为等差数列(3)求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn。

浙江省诸暨市湄池中学高一第二学期期中测试数 学 试 卷（人教A 版）（普通班）（附答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 （ ）A ．43-=n a nB ．43+-=n a nC ．()43)1(--=n a n nD ．()43)1(1--=-n a n n2、下列说法正确的是……………………………………………………………………（ ）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3．不等式（2x-1）（3x+1）>0的解集是 （ ） A ．}2131|{>-<x x x 或 B ．}2131|{<<-x x C ．}21|{>x x D ．}31|{->x x4、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为…………………………（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．525、斜线．．与平面所成角θ的取值范围是……………………………………………………（ ） A.（0°，90°）； B. [0°，90°)； C.（0°，90°]； D. [0°，90°]6、垂直于同一条直线的两条直线一定……………………………………………………（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 7、f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是…………………（ ） A ．a ≤0 B ．-<≤40a C ．-<<40a D ． a <-48．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是……………………………………（ ）A. α内所有的直线都与a 异面；B. α内不存在与a 平行的直线；C. α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点. 9、在等比．．数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比．．数列,则n S 等于（ ） (A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -10、右图是正方体平面展开图，在这个正方体中C MN D①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60º角； ④EM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 ………………………………………………（ ）A.①②③B.②④C.③④D.②③④二、填空题（每小题4分，共28分）11、数列{}n a 中，11,111+==-n n a a a (n )2≥，则=4a .12．说出下列三视图所表示的几何体：正视图 侧视图 俯视图 13、用不等号“>”或”<”填空: 2+37 414．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5,10105-==S S ,则公差为 （用数字作答）。

2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（共七套）2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（一）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．94．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=85．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.507．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p=．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.314．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．16．（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？17．（10分）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．22．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．23．（12分）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ【考点】B3：分层抽样方法；B2：简单随机抽样．【分析】由题意知①的总体中个体明显分层两，用分层抽样，②的总体中个体的数目不大用简单分层抽样．【解答】解：①、总体中个体明显分层两层：来自城镇的学生和来自农村的学生，故用分层抽样来抽取样本；②，总体中个体的数目是100，不是很大，故用简单分层抽样来抽取样本．故选B．【点评】本题的考点是选择抽样方法，即根据总体的特征和抽样方法适用的条件进行选择最佳方法．3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．9【考点】BK：线性回归方程．【分析】由表中数据计算、，根据线性回归方程过样本中心点求出，写出线性回归方程，利用回归方程计算x=11时的值．【解答】解：由表中数据，计算=×（4+6+8+10）=7，=×（3+5+6+8）=5.5，且线性回归方程=x+过样本中心点（，），∴=5.5﹣×7=﹣0.1=﹣，∴线性回归方程为=x﹣；当x=11时，=×11﹣=8.7，即某儿童的记忆能力为11时，他的识图能力约为8.7．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．4．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=8【考点】EA：伪代码．【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据S=1×10×8×6=480得到程序中UNTIL后面的条件．【解答】解：因为输出的结果是480，即S=1×10×8×6，需执行3次，所以程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜8．故选：C．【点评】本题主要考查了直到型循环语句问题，语句的识别是一个逆向性思维过程，是基础题．5．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，再根据α的范围求得sinα的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵=﹣cosα，∴cosα=．又，∴sinα=﹣=﹣，∴sin（2π﹣α）=﹣sinα=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.50【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析所给的数据可得表示三天下雨的数据组数，根据概率公式，计算可得结果．【解答】解：根据题意，用随机模拟试验模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析可得：20组数据中表示三天中恰有两天下雨的有191、271、932、812、393、027、730，共7组，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为=0.35；故选：B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．7．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图得，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90；设污损的数字为x，则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=．故选：D．【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义有sinα=，cosα=，从而可知选项．【解答】解：由于sinα=，cosα=﹣，根据三角函数的定义：sinα=，cosα=，可知x=﹣4，y=3，故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的定义．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．【考点】CF：几何概型．【分析】分别求出集合A，B对应区域的面积，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：区域Ω1对应的面积S1=4π，作出平面区域Ω2，则Ω2对应的平面区域如图，则对应的面积S=2π+4，则根据几何概型的概率公式可知若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为P==．故选；D【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．【分析】由题意可得sin（+φ）=﹣1，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，从而可求y=f（﹣x）=﹣Asinx，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由x=时函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，∴﹣A=Asin（+φ），可得：sin（+φ）=﹣1，∴+φ=2kπ﹣，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，∴f（x）=Asin（x﹣），∴y=f（﹣x）=Asin（﹣x﹣）=﹣Asinx，∴函数是奇函数，排除B，D，∵由x=时，可得sin取得最大值1，故C错误，图象关于直线x=对称，A正确；故选：A．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合能力，属于基础题．二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】由已知中，扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是2弧度，我们可设计算出弧长与半径的关系，进而求出弧长和半径，代入扇形面积公式，即可得到答案【解答】解：∵扇形圆心角2弧度，可得扇形周长和面积为整个圆的．弧长l=2πr•=2r，故扇形周长C=l+2r=4r=6，∴r=，扇形面积S=π•r2•=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是扇形面积公式，弧长公式，其中根据已知条件，求出扇形的弧长及半径，是解答本题的关键，属于基础题．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为c＞b＞a．【考点】GA：三角函数线．【分析】分别作出三角函数线，比较可得．【解答】解：∵a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，作出三角函数线结合图象可得c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．【点评】本题考查三角函数线，数形结合是解决问题的关键，属基础题．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p= 65．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.3【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率=，得第一组人数为200，由频率分布直方图得第一组的频率为0.2，从而n=1000，进而a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，求出P==0.65，由此能求出a•P．【解答】解：由频率=，得第一组人数为：=200，由频率分布直方图得第一组的频率为：0.04×5=0.2，n==1000，∴a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，∴P==0.65，∴a•P=100×0.65=65．故答案为：65．【点评】本题考查频率率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率=及频率分布直方图的合理运用．14．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为4033．【考点】3O：函数的图象；3T：函数的值．【分析】根据题意，求出f（2﹣x）的解析式，分析可得f（x）+f（2﹣x）=2，将f（）+f（）+f（）+…+f（）变形可得[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…[f（）+f（）]+f （1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x+sinπx，f（2﹣x）=（2﹣x）+sin[π（2﹣x）]=（2﹣x）﹣sinx，则有f（x）+f（2﹣x）=2，f（）+f（）+f（）+…+f（）=[f（）+f（）]+[f （）+f（）]+…[f（）+f（）]+f（1）=4033；故答案为：4033．【点评】本题考查了利用函数的对称性求函数值的应用问题，关键是依据函数的解析式确定函数的对称中心．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）（2017春•台江区校级期中）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，利用古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P=．（4分）（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．…（6分）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．…（8分）因此，A1被选中且B1未被选中的概率为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（10分）（2017春•黄山期末）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值．（Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数．（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15户，月平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数．【解答】（本小题10分）解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…（3分）（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…（4分）因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…（6分）（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…（8分）抽取比例==，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…（10分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17．（10分）（2017春•台江区校级期中）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；GI：三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用“切化弦”及其平方关系可得sinx•cosx的值；（Ⅱ）根据诱导公式化简，利用“弦化切”可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵tanx=﹣3，即=﹣3，且﹣＜x＜﹣π，sin2x+cos2x=1，∴cosx=﹣，sinx=．那么：sinx•cosx=．（Ⅱ）原式====﹣3．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，利用列举法求出满足恰有一男一女抽到同一题目的事件个数，由此能求出其中恰有一男一女抽到同一道题的概率．【解答】解：现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个男教师抽取的题目，第3个表示女教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种，故其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：因为y=是偶函数，排除A，当x=1时，y=＞1，排除C，当x=时，y=＞1，排除B、C，故选D．【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的寄偶性及特殊点来判断．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是[，] ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos （2x﹣）；再利用条件以及余弦函数的单调性，求得a的范围．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2cos（2x﹣）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，∴a＞0．由2kπ﹣π≤0﹣≤2kπ，且2kπ﹣π≤2•﹣≤2kπ，k∈Z，求得k=0，﹣π≤a≤①．由2nπ﹣π≤4a﹣≤2nπ，且2nπ﹣π≤2•﹣≤2nπ，求得n=1，≤a≤②，由①②可得，≤a≤，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）（2017春•黄山期末）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率．（Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S△OMN=×8×8=32，满足条件的区域的面积为S△POM=×8×=，故所求的事件的概率为P=，运算求得结果．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a ＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个，所以，所求概率．…（6分）（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以，所求概率．【点评】本题考查了等可能事件的概率与二次函数的单调区间以及简单的线性规划问题相结合的问题，画出实验的所有结果构成的区域，Ⅰ是古典概型的概率求法，Ⅱ是几何概型的概率求法．22．（12分）（2017春•台江区校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H5：正弦函数的单调性．【分析】（1）根据函数f（x）的部分图象，求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；（2）根据函数图象平移法则，写出f（x）左移m个单位后的函数解析式，根据函数y是偶函数，求出m的最小正数；（3）根据f（x）在[0，]上是单调递增函数，得出﹣≤φ≤ω+φ≤，求出ω≤﹣，再根据φ的取值范围求出ω的最大值．【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，\A=3，=﹣=，∴T=π，ω==2；根据五点法画图知，2×+φ=，解得φ=﹣，∴f（x）=3sin（2x﹣）；（2）f（x）=3sin（2x﹣），函数f（x）的图象向左平移m个单位后，所对应的函数是y=3sin[2（x+m）﹣]=3sin（2x+2m﹣）的图象，又函数y是偶函数，∴2m﹣=+kπ，k∈Z，解得m=+，k∈Z，∴m的最小正数是；（3）f（x）=Asin（ωx+φ）在[0，]上是单调递增函数，A＞0，ω＞0，∴﹣≤φ≤ω+φ≤，解得ω≤﹣；又﹣π＜φ＜0，∴﹣≤φ＜0，∴0＜﹣≤，∴ω≤+=3，即ω的最大值为3．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是综合题．23．（12分）（2017春•台江区校级期中）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3O：函数的图象．【分析】（I）根据正弦函数的性质可知正格点交点坐标为（10，1），从而求出m的值，根据图象判断交点个数．（II）令y=log a x的最小值大于f（x）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）若y=sinmx与函数y=lgx的图象有正格点交点，则此交点必为（10，1），∴sin10m=1，即10m=+2kπ，m=+，k∈Z．∵m∈（3，4），∴．作出y=sinmx与y=lgx的函数图象，如图所示：根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为10个．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x∈（0，]，i）当a＞1时，不等式log a x＜0，而sin＞0，故不等式log a x＞sinmx 无解．ii）当0＜a＜1时，由图函数y=log a x在上为减函数，∵关于x的不等式log a x＞sinmx在（0，]上恒成立，∴log a＞1，解得：．综上，．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的关系，函数恒成立问题与函数最值计算，属于中档题．2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（二）一、选择题1、集合A={x|3x+2＞0}，B={x| ＜0}，则A∩B=（）A、（﹣1，+∞）B、（﹣1，﹣）C、（3，+∞）D、（﹣，3）2、已知a，b，c为实数，且a＞b，则下列不等式关系正确的是（）A、a2＞b2B、ac＞bcC、a+c＞b+cD、ac2＞bc23、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b= ，a=2，B= ，则c=（）A、B、C、2D、4、在数列{a n}中，已知a1=0，a n+2﹣a n=2，则a7的值为（）A、9B、15C、6D、85、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=2x+2﹣xB、y=sinx+ （0＜x＜）C、y=x+D、y=log3x+ （1＜x＜3）6、若点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A、（0，10）B、（﹣1，2）C、（0，1）D、（1，10）7、在等比数列{a n}中，3a5﹣a3a7=0，若数列{b n}为等差数列，且b5=a5，则{b n}的前9项的和S9为（）A、24B、25C、27D、288、若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A、9B、4C、6D、39、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若（a+c+b）（b+a﹣c）=3ab，则C=（）A、150°B、60°C、120°D、30°10、在等差数列{a n}中，a1=﹣2012，其前n项和为S n，若﹣=2002，则S2017=（）A、8068B、2017C、﹣8027D、﹣201311、设x＞0，y＞0，满足+ =4，则x+y的最小值为（）A、4B、C、2D、912、已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n= ，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，b n≥T恒成立，则T的最大值为（）A、1B、2C、4D、3二、填空题13、在△ABC中，若a=18，b=24，A=30°，则此三角形解的个数为________．14、设关于x的不等式x+b＞0的解集为{x|x＞2}，则关于x的不等式＞0的解集为________．15、若△ABC的内角A，C，B成等差数列，且△ABC的面积为2 ，则AB边的最小值是________．16、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为4万元、3万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元甲乙原料限额A（吨） 2 5 10B（吨） 6 3 18三、解答题17、如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4，AC=2 ，DC=2(1)求cos∠ADC(2)求AB．18、已知数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，满足a1=b1=1，b2﹣a3=2b3，a3﹣2b2=﹣1。

2022-2023学年浙江省高一下册期中联考数学模拟试题（含解析）选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}13A x x =-≤≤，{}04B x x =<<，则A B ⋃=（）A.[]1,3- B.(),4-∞ C.(]0,3 D.[)1,4-【正确答案】D【分析】由集合的并集即可得出答案.【详解】集合{}13A x x =-≤≤，{}04B x x =<<，则A B ⋃=[)1,4-故选：D .2.已知复数()i ,z a b a b =+∈R 是复数21i+的共轭复数，则3a b +=（）A.4- B.2- C.4D.2【正确答案】C【分析】化简结合已知可得1i z =+，即可得出,a b 的值，进而得出答案.【详解】因为()()()21i 21i 1i 1i 1i -==-++-，所以1i z =+，所以1a b ==，所以34a b +=.故选：C.3.已知R a ∈，则()()021a a +-<是01a <<成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】解一元二次不等式，再由充分必要条件的定义判断即可.【详解】由()()021a a +-<可得：1a 2-<<，因为1a 2-<<推不出01a <<，而01a <<能推出1a 2-<<，所以()()021a a +-<是01a <<成立的必要不充分条件故选：B .4.在ABC 中，3AD DC =，记BA a = ，BD b = ，则BC = （）A.1433a b -B.4133a b +C.1433a b-+ D.4133a b-+ 【正确答案】C【分析】利用平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可.【详解】因为3AD DC =，所以13DC AD = ，所以BC BD DC=+13BD AD=+ ()13BD BD BA=+- 1433BA BD =-+，因为BA a = ，BD b = ，所以BC = 1433a b -+ ，故选：C5.已知函数()e e xxf x -=+，()sing x x =，则图象为如图的函数可能是（）A.()()g x y f x =B.()()14y f x g x =--C.()()f x yg x =D.()()14y f x g x =+-【正确答案】A【分析】由函数的奇偶性可排除B 、D ，利用函数在原点处没有意义排除C ，即可得解.【详解】对于B ，()()11e e sin 44x x y f x g x x -=--=+--，该函数定义域为R ，但是()()()()111e e sin 444x x f x g x x f x g x -----=++-≠--，所以该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C 当0x =时，sin 0x =，函数()()e e sin x xf x yg x x -+==在0x =处无意义，故函数()()f x yg x =不过原点，与函数图象不符，排除C.对于D ，()()11e e sin 44x x y f x g x x -=+-=++-，该函数定义域为R ，但是()()()()111e e sin 444x x f x g x x f x g x --+--=+--≠+-，所以该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除D ；故选：A.6.由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为514，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为（）A.2B.14C.12D.4【正确答案】B【分析】设底面的正方形的边长为4x ，由棱锥的性质求棱锥的高，由此确定以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比.【详解】如图P ABCD -为正四棱柱，PE 为侧面三角形PAD 底边上的高，设4AD x =，由已知侧面三角形PAD 底边上的高与底面正方形边长的比值为514+，所以)51PE x =+，连接,AC BD ，设其交点为O ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为,AC BD 的中点，因为PA PB PC PD ===，,PO AC PO BD ⊥⊥，又AC BD O = ，,AC BD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OE ⊂平面ABCD ，所以PO OE ⊥，即POE △为以PE 为斜边的直角三角形，因为)51PE x =+，2OE x =，所以()222514252PO x x x =+-=+，所以以四棱锥P ABCD -的高为边长的正方形面积()2252S x '=+，四棱锥P ABCD -的侧面积))2144518512S x x x =⨯⨯⨯=，所以14S S '=，所以以四棱锥P ABCD -的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为14，故选：B.7.记函数()()πsin 04f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若2ππ3T <<，且()y f x =的图像关于点3π,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则π5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.322B.1C.222+ D.3【正确答案】C【分析】由三角函数的图像与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足2ππ3T <<，得2π2ππ3ω<<，解得23ω<<，又因为函数图像关于点3π,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3πππ,Z 24k k ω+=∈，且2b =，所以12,Z 63k k ω=-+∈，所以52ω=，5π()sin 224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以π5ππ2sin 2225425f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.8.扇形中，2OA =，90AOB ∠=︒，M 是OB 的中点，P 是弧AB 上的动点，N 是线段OA 上的动点，则PM PN ⋅的最小值为（）A.425-B.254-C.25D.25【正确答案】A【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设(2cos ,2sin ),(0,1),(,0)P t t M N m ，借助02m ≤≤，所以4(2sin 2cos )PM PN t m t ⋅=-+，再借助三角形变换公式求得其最小值．【详解】建立如图所示平面直角坐标系，设π(2cos ,2sin ),[0,],(0,1),(,0)2P t t t M N m ∈，则(2cos ,12sin ),(2cos ,2sin )PM t t PN m t t =--=--，故4(2sin 2cos )PM PN t m t ⋅=-+，因为02m ≤≤，所以4(2sin 2cos )4(2sin 4cos )PM PN t m t t t ⋅=-+≥-+；又因为4(2sin 4cos )4)4)(tan 2)t t t t ϕϕϕ-+=-+=-+=，所以4)4t ϕ-+≥-（当且仅当sin()1t ϕ+=取等号），故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列四个命题中，假命题为（）A.若复数z 满足R z ∈，则R z ∈B.若复数z 满足1R z∈，则R z ∈C.若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈D.若复数1z ，2z 满足12R z z ⋅∈，则12z z =【正确答案】CD【分析】根据复数的相关概念，即可判断A 、B 项；取特殊值，即可判断C 、D 项.【详解】对于A 项，根据共轭复数的概念，实数共轭为自身，可知A 项正确；对于B 项，设()i ,R z a b a b =+∈，则2211i i a b z a b a b -==++.因为1R z∈，所以0b =，所以R z ∈，故B 项正确；对于C 项，取i z =，则22i 1R z ==-∈，故C 项错误；对于D 项，取1i z =，22i z =，则122R 2i 2z z =⋅=-∈，故D 项错误.故选：CD.10.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.设a ，b 为非零向量，则“a b ⊥ ”是“a b a b +=- ”的充要条件B.在ABC 中，222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A=+-C.设向量()1,2a =- ，()2,b λ= ，若a 与b的夹角为钝角，则实数1λ<D.点M 是ABC 所在平面中的一点，若AM BM CM -=-，则点M 是ABC 的重心【正确答案】ABD【分析】利用向量数量积的运算可判断A ，利用余弦定理可判断B ，利用数量积定义可判断C ，利用向量的线性运算可判断D .【详解】对于A ，因为22()()0a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=所以“a b ⊥ ”是“a b a b +=- ”的充要条件，故A 正确；对于B ，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，则由正弦定理可得：222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-，故B 正确；对于C ，向量()1,2a =- ，()2,b λ= ，若a 与b的夹角为钝角，则2201404λλλλ-+<<⎧⎧⇒⎨⎨--≠≠-⎩⎩，故实数1λ<且4λ≠-，故C 不正确；对于D，点M 是ABC 所在平面中的一点，若AM BM CM -=- ，AM MB MC=+ ，取BC 的中点D ，所以2MB MC MD +=，所以2AM MD =，故点M 是ABC 的重心，故D 正确.故选：ABD11.已知正实数a ，b 满足221a b a b ab +--+=，则下列选项不正确的是（）A.a b +的最大值为4B.a b +的最小值为12C.22a b +的最大值为3D.22a b +的最小值为2【正确答案】ABC【分析】利用基本不等式可得出关于a b +的不等式，解出a b +的取值范围，可判断AB 选项；由已知可得出()()22222a b a b a b +=-++++，利用二次函数的基本性质结合a b +的取值范围，可得出22a b +的取值范围，可判断CD 选项.【详解】因为正实数a 、b 满足()221a b a b ab +-++=，则()()221112a b a b a b ab +⎛⎫<+-+=+≤+ ⎪⎝⎭，因为0a b +>，解得122a b <+≤，当且仅当1a b ==时，a b +取最大值2，则A 、B 错；因为()()()()222222212a b a b a b a b ab a b a b +-++-++=+-++=，所以，()()22222a b a b a b +=-++++，令15,22t a b ⎛⎤+=+∈ ⎥ ⎝⎦，因为函数222y t t =-++在15,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，所以，()()22235222,2a b a b a b ⎡⎫+=-++++∈⎪⎢⎪⎣⎭，C 错D 对.故选：ABC12.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S =（其中a 、b 、c 、S 为三角形的三边和面积）表示.在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若2b =，1tan C =，则下列命题正确的是（）A.ABCB.c =C.b=D.ABC面积的最大值是【正确答案】AB【分析】1tan C=，即可推得sin C A=.根据正弦定理角化边，即可得出B项；代入面积公式，结合二次函数的性质，即可得出面积的最大值，进而判断A、D 项.1costan sinCC C==，)sin cos sin cos sinC B B C C+=，()sinC B C+=.因为πB C A+=-，所以()sin C C B A=+=.对于B项，根据正弦定理角化边可得，c=，故B项正确；对于A、D项，由已知可得S===当24a=，即2a=A项正确，D项错误；对于C项，因为,a c不是确定的数值，故C项错误.故选：AB.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：31log20230.25π-++=______.【正确答案】5【分析】由指数幂的性质和对数的运算性质求解即可【详解】()3112log202230.25π20.512215⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭++=++=++=.故5.14.已知向量()2,3m = ，()1,2n =-，则向量m 在向量n上的投影向量是______（坐标表示）.【正确答案】48,55⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】根据投影向量的公式计算直接得出答案.【详解】因为向量()2,3m = ，()1,2n =-，所以264m n ⋅=-=-，n ==所以m 在n上的投影向量的坐标为：48,55m n n nn ⋅⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，故答案为.48,55⎛⎫-⎪⎝⎭15.圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的母线长是___________.【正确答案】20【分析】利用圆台得侧面展开图，两圆半径之差即为所求【详解】如图所示,设圆台的上底面周长为C ,因为扇环的圆心角是180 ,所以C SA π=⨯又102C π=⨯,所以20SA =.同理40SB =.所以20AB SB SA =-=故答案为:20.16.对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得7αβ-≤，则称函数()f x 和()g x 互为“零点相伴函数”，若函数()()ln 89f x x x =-+-与()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+互为“零点相伴函数”，则实数a 的取值范围为______.【正确答案】151,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由()f x 的单调性结合()90f =，得9α=，则可得216β≤≤，则由已知可得方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t +=+，2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，然后结合对勾函数的性质可求出结果.【详解】因为()()ln 89f x x x =-+-在(8,)+∞上单调递增，且()90f =，所以9α=，由7αβ-≤，得97β-≤，得216β≤≤，所以由题意可知()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+在区间[2,16]上存在零点，即方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，由()()222log 1log 30x a x -+⋅+=，得()22222log 331log log log x a x x x ++==+，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t +=+，根据对勾函数的性质可知函数3()h t t t =+在上递减，在4]上递增，因为19(1)4,(4)4h h h ===，所以19()4h t ≤≤，所以1914a ≤+≤，解得1514a -≤≤，即实数a 的取值范围为151,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：151,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确理解“零点相伴函数”的定义，结合零点的定义和对勾函数的性质可求得答案，考查数学转化思想，属于较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量(a = ，1b = ，且a 与b 夹角为2π3，（1）求2a b +；（2）若()()+⊥- a kb b a ，求实数k 的值.【正确答案】（1）2（2）52k =【分析】（1）转化为求平面向量的数量积，对2a b +平方再开方可求出结果；（2）根据()()0+⋅-= a kb b a 以及平面向量数量积的运算律和定义可求出结果.【小问1详解】因为(a = ，∴2a = ，又1b = ，a 与b 的夹角为2π3， ∴1a b ⋅=- ，∴2a b +==2==；【小问2详解】由()()+⊥- a kb b a ，得()()0+⋅-= a kb b a ，即()()220⋅-+-⋅= a b a k b ka b ，所以140k k --++=，解得52k =.18.用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知4A B ''=，1B C ''=，52A D ''=，且//A DBC ''''.（1）求原平面图形ABCD 的面积；（2）将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.【正确答案】（1）14（2）表面积为76π，体积为64π【分析】（1）根据直观图及其边长，得出平面图形的边长，然后根据梯形的面积，即可得出答案；（2）根据题意得出几何体是一个以AB 为底面半径的圆柱减去一个以EC 为底面半径的圆锥和组成，进而根据组合体的性质结合圆柱以及圆锥的表面积、体积公式，即可得出答案.【小问1详解】如图所示：还原平面图形ABCD ，作CE AD ⊥交AD 于点E ，因为5AD =，4AB =，2BC =，所以2AE =，所以3DE =，4EC =，5DC =，故()254142ABCD S +⨯==.【小问2详解】将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，所得几何体是一个以AB 为底面半径的圆柱减去一个以EC 为底面半径的圆锥和组成，所以所形成的几何体的表面积为S S S S =++圆锥侧圆柱侧圆柱下底22π2πππ452π54π476πEC CD AB AD AB =⨯⨯+⨯⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯=；所形成的几何体的体积为V V V =-圆柱圆锥222211πππ45π4364π33AB AD EC DE =⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=.19.已知函数()()2cos sin sin 1f x x x x x =-++，()R x ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）函数()f x 的图像沿x 轴向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图像，求()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.【正确答案】（1）πT =，()2πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦（2）()max 1g x =()min 1g x =-【分析】（1）利用三角恒等变换化简()f x ，再求其最小正周期和单调增区间即可；（2）根据（1）中所求，结合函数图像平移求得()g x ，再利用整体法即可求得函数的最值.【小问1详解】()πcos212cos 213f x x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，∴最小正周期2ππ2T ==，当π2ππ22π3k x k -≤+≤即2ππππ,Z 36k x k k -+≤≤-+∈时()f x 单调递增，∴函数()f x 的增区间为2ππ,π(Z)3π6k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】由题可知：()ππ2π2cos 212cos 21633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当π1212π7x ≤≤时，5π2π11π2636x ≤+≤，2π1cos 232x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭，()max 1g x ∴=+，()min 1g x =-.20.在①sin sin sin sin B A c C A a b-=-+；②2sin tan b A a B =；③()()sin sin sin a c A c A B b B -++=；这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______（1）若2b =，求ABC 的外接圆面积；（2）若1b =，且ABC 的面积30,12S ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，求ABC 的周长l 的取值范围.【正确答案】（1）43S π=（2）()1+【分析】（1）若选①，可利用正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理可求得cos B ；若选②，可根据正弦定理与同角关系sin tan cos B B B =对条件进行化简，可求得cos B ；若选③，利用正弦定理与三角形的内角和为π即有sin()sin A B C +=对条件进行化简，可求得cos B ，最后再根据正弦定理2sin b R B =可求解出外接圆的半径，即可求得结果；（2）利用面积公式1sin 2S ac B =可得ac 的取值范围，结合余弦定理，将a c +用ac 进行表示，即可求得结果.【小问1详解】选① sin sin sin sin B A c C A a b-=-+，由正弦定理可得，b ac c a a b -=-+，∴222b a c ac =+-，结合余弦定理可知，2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ()0,πB ∈，∴π3B =，由正弦定理可知，2sin 332b R B ===∴3R =，24ππ3S R ==.选②，2sin tan b A a B =，由正弦定理可得，sin 2sin sin sin cos B B A A B=⨯，即2sin sin cos sin sin B A B A B =， ()0,πA ∈，()0,πB ∈，∴sin 0A ≠，sin 0B ≠∴1cos 2B =，∴π3B =，由正弦定理可知，432sin 332b R B ===∴3R =，24ππ3S R ==.选③，()()sin sin sin a c A c A B b B -++=，又()()sin sin πsin A B C C +=-=，∴()sin sin sin a c A c C b B -+=，由正弦定理可得，()22a c a cb -+=，即222ac b ac +-=，结合余弦定理可知，2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ()0,πB ∈，∴π3B =，由正弦定理可知，2sin 332b R B ===∴3R =，24ππ3S R ==【小问2详解】ABC 的面积13sin 24S ac B ac ==，∴0412ac <<，∴103ac <<， 1b =，∴()222213b a c ac a c ac ==+-=+-，∴a c +=，ABC的周长1l a b c =++=，且103ac <<，∴21l <<，即ABC 的周长l的取值范围为()1+.21.如图，为了迎接亚运会，某公园修建了三条围成一个直角三角形的观光大道AB ，BC ，AC ，其中直角边200m BC =，斜边400m AB =，现有一个旅游团队到此旅游，甲、乙、丙三位游客分别在AB ，BC ，AC 这三条观光大道上行走游览.（1）若甲以每分钟40m 的速度、乙以每分钟120m 的速度都从点B 出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E ，甲到达D ，求此时甲、乙两人之间的距离；（2）甲、乙、丙所在位置分别记为点D ，E ，F .设CEF θ∠=，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且π3DEF ∠=，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离.【正确答案】（1）120m （2）503πsin 3y θ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，π02θ≤≤，.【分析】（1）由题意120BD =，120BE =，BDE △中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；（2）BDE △中，由正弦定理可得2002cos si si 0n n 6y y θθ-=︒，可将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离.【小问1详解】依题意得120BD =，120BE =，在ABC 中，1cos 2BC B AB ==，所以π3B =.在BDE △中，由余弦定理得22222cos 120DE BD BE BD BE B =+-⋅=，所以120DE =.答：甲、乙两人之间的距离为120m .【小问2详解】由题意得22EF DE y ==，BDE CEF θ∠=∠=，在Rt CEF △中，cos 2cos CE EF CEF y θ=⋅∠=，在BDE △中，由正弦定理得sin sin BE DE BDE DBE =∠∠，即2002cos sin sin60y y θθ-=︒，所以503πsin 3y θ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，π02θ≤≤，所以当π6θ=时，y有最小值.答：甲、乙之间的最小距离为.22.已知函数()()e R x f x x =∈，其中e 为自然对数的底数，记()()()g x f x f x =+-.（1）解不等式()()228f x f x +≤；（2）若存在(0x ∈，使得()()20021g x k gx =⋅-成立，求实数k 的取值范围.【正确答案】（1）(],ln 2-∞（2）37,49⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据给定条件，解指数不等式；（2）求出0e x 的范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域，即可得出答案.【小问1详解】因为函数()()e R x f x x =∈，则不等式()()228f x f x +≤化为2e 2e 8x x +≤，即()2e 2e 80x x +-≤，()()e 4e 20x x +-≤，而e 0x >，因此0e 2x <≤，解得ln2x ≤，所以原不等式的解集是(],ln 2-∞.【小问2详解】依题意，()e e x x g x -=+，当(0x ∈时，(0e x ∈，()()()()000000222220021e e e e 1e e 1x x x x x x g x k g x k ---=⋅-⇔+=++=+-，易知000e ex x -+≠，则()00211e e x x k -=-+，令(0 e x t =∈，()001e e x x h t t t-+==+，1t ∀，(2t ∈，12t t <，()()()12121212121111h t h t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为121t t <<，则120t t -<，12110t t ->，因此()()120h t h t -<，即()()12h t h t <，则有函数()h t在(上单调递增，于是当(t ∈时，122t t <+≤，即002e e 2x x -<+≤，()00294e e 2x x -<+≤，()00221194e e x x -≤<+，从而3749k <≤，所以实数k 的取值范围为37,49⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

高中数学学习材料唐玲出品第二学期期中联考试卷高一数学考试时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

1．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则a 8的值等于( )A ．13B ．14C ．15D ．162．函数y=)1(-x x +x 的定义域为( )A ．{}0≥x xB ．{}1≥x xC ．{}{}01 ≥x xD ．{}10≤≤x x3．若a ＜0，0＜b ＜1，那么( )A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a4．一元二次不等式ax 2+bx+2＞0的解集是(-21，31)，则a+b 的值是( ) A ．10 B ．-10 C ．14 D ．-145．已知等差数列{}n a 中，前n 项和为S n ，若a 3+a 9=6，则S 11=( )A ．12B ．33C ．66D ．99 6．若实数x 、y 满足条件A ．-3B ．5C ．2D ．-17．下列结论正确的是( ) x-y+1≥0 y+1≥0 x+y-1≤0 ，则2x-y 的最大值为( )2 A ．当x ＞0且x≠1时，lgx +x lg 1≥2 B ．当x ＞0时，21≥+xx C ．当x≥2时，x+x 1的最小值为2 D ．当0＜x≤2时，x -x1无最大值 8．在△ABC 中，若tanA·tanB ＞1，那么△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形9．用单位立方体搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )A ．9，13B ．7，10C ．10，16D ．10，15正视图 俯视图10．把正偶数列{2n}的各项从小到大依次排成如图所示的 2三角形状数表，设M(r,t)表示表中第r 行的第t 个数，则表 4 6中的数2008对应于（ ） 8 10 12 Ａ.Ｍ(45,14） Ｂ.Ｍ(45,24) 14 16 18 20 Ｃ.Ｍ(46,14) Ｄ.Ｍ(46,15) … … … … …二、填空题: 本大题共7个小题，每小题4分，共28分。