2014年12月杭州市十三中、十五中、保俶塔实验、翠园中学四校联考数学试卷

2014学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科 试题（文理合卷）考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）10y +=的倾斜角是（ ▲ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒ 2．下列说法正确的是（ ▲ ）A ．棱柱的底面一定是平行四边形B ．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 C. 圆台平行于底面的截面是圆面 D ．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球3．已知两条直线1(:1)30l kx k y +--=和22:(120)k x l y -+-=互相垂直，则k =（ ▲ ） A ．1或－2 B ．－1或2 C ． 1或2 D ．－1或－2 4．直线l 与直线1y =，直线5x =分别交于P ，Q 两点，PQ 中点为M （1，-1），则直线l 的斜率是（ ▲ ） A ． 12-B ． 12C ． 2D ．－2 5．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若//,//m n αα，则//m n B ．若//,,m n m n αβ⊥⊂，则αβ⊥C ．若//,//m m αβ，则//αβ D. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥6．如图是一个空间几何体的三视图，其正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是一个两直角边长分别为3和1的直角三角形，则此几何体的 体积为 （ ▲ ）A ．33 B ．1 C ． 23 D ．2 7．若直线0(0)ax by c ab ++=≠在两坐标轴上的截距相等，则,,a b c 满足的条件是（ ▲ ） A. a b = B. ||||a b = C. 0c a b ==或 D ．0c a b ==或 8．ABCD 为空间四边形，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M 、N 分别是对角线AC 与BD 的中点， 则MN 与（ ▲ ）A. AC 、BD 之一垂直B. AC 、BD 都垂直 C ．AC 、BD 都不垂直 D. AC 、BD 不一定垂直9．如图，三棱锥P -ABC 的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB <60°.设动点D 、E 分别在线段PB 、PC 上，点D 由P 运动到B ，点E 由P 运动到C ，且满足DE ∥BC ，则下列结论正确的是（ ▲ ）A ．当点D 满足AD ⊥PB 时，△ADE 的周长最小 B ．当点D 为PB 的中点时，△ADE 的周长最小C ．当点D 满足13PD PB =时，△ADE 的周长最小 D ．在点D 由P 运动到B 的过程中，△ADE 的周长先减小后增大 10. 在正方体''''ABCD A B C D - 中，P 为棱'AA 上一动点，Q 为 底面ABCD 上一动点，M 是PQ 的中点，若点P ，Q 都运动时， 点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ▲ ）A. 棱柱B. 棱台C. 棱锥D.球的一部分二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11.在正方体1111ABCD A B C D -中， E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1， B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为 ▲ .12．已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是 ▲ . 13．已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为 ▲ .14．如左下图，在三棱柱'''ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，'AA ⊥底面ABC ， 且AB ＝1，'AA ＝2，则直线'BC 与平面''ABB A 所成角的正弦值为 ▲ .A第B'15．已知一个三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如右上图所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图．．． 面积为 ▲ .16．已知实数a b c 、、满足0a b c --=则原点(0,0)O 到直线0ax by c ++=的距离的最大值为 ▲ .17．若当(1,)x ∈-+∞时，(1)21()k x x k k R +<++-∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ▲ .三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）如图多面体中，正方形ADEF 所在的平面与直角梯形ABCD 所在的平面垂直， 且12AD AB CD ==，//AB CD ，M 为CE 的中点. （1）证明：//BM 平面ADEF ； （2）证明：平面BCE ⊥平面BDE .19.（本小题满分12分）已知点A （2，2），直线:21l y x =+. (1)求点A 关于直线l 的对称点'A 的坐标；(2)当点B ，C 分别在x 轴和直线l 上运动时，求ABC ∆周长的最小值.F20．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，90ABC APB ∠=∠=︒，4AB MB =，且CD PM ⊥，22AB BC PB AD ===．（1）证明：面⊥PAB 面ABCD ；（2）求直线DM 与平面PCD 所成角的正弦值．21.（本小题满分14分）在等边三角形ABC 中，AB =2，E 是线段AB 上的点(除点A 外），过点E 作EF AC ⊥于点F ，将AEF ∆ 沿EF 折起到PEF ∆(点A 与点P 重合，如图)，使得3PFC π∠=，(1) 求证：EF PC ⊥；(2) 试问，当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -EB -C 的大小是否为定值？ 若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由.C BB二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．060 12．50π 13． 2 14 15 1617．(,2][0,1]-∞- 三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. （本小题满分12分）解析：（1）（解法一）取DE 的中点N ，连结MN ，AN . 在DEC ∆中，因为M ，N 分别为EC ，ED 的中点， 所以//MN CD ，且12MN CD =. 又因为//AB CD ，12AB CD =，F所以//MN AB ，且MN AB =. 所以四边形ABMN 为平行四边形，故//MB NA ， 又因为MB ⊄平面ADEF ，NA ⊂平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF . （5分） （解法二）取DC 的中点P ，连结,MP BP . 在直角梯形ABCD 中，因为//AB CD ，12AB CD =，12DP DC =， 所以//AB DP ，且AB DP ＝，故四边形ABPD 为平行四边形，所以//BP AD .在DEC ∆中，因为M ，P 分别为EC ，DC 的中点，所以//MP ED . 又因为MPPB P =，ED DA D =，所以平面//MPB 平面EDA ，又因为M B ⊂平面MPB ，所以//BM 平面ADEF . （5分） （2）直角梯形ABCD 中，//AB CD ，设12AD AB CD a ===，所以BD BC ==，2CD a =，故222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥. （8分）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 又平面ADEF平面ABCD AD =，ED AD ⊥，所以ED ⊥平面ABCD ，故ED BC ⊥. （10分） 又因为BDED D =，所以BC ⊥平面BDE . （11分）又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面BDE . （12分）19.（本小题满分12分）1'(,),222-,21522-2116--225216'(-,).(655A a b b a a b b a A ⎧++⎧==⨯+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩∴⋯⋯⋯解：（）设则有解得点的坐标为分）22222'(12A x A A A ABC ==∆⋯⋯⋯（）点关于轴的坐标为（，－）则分）20. （本小题满分14分） 解：（1）由BM PB AB 42==，得AB PM ⊥，又因为CD PM ⊥，且CD AB ，所以⊥PM 面ABCD ， 且⊂PM 面PAB ． 所以，面⊥PAB 面ABCD .………（6分） （2）过点M 作CD MH ⊥，连结HP ， 因为CD PM ⊥，且M MH PM = ，所以⊥CD 平面PMH ，又由⊂CD 平面PCD ，得到平面⊥PMH 平面PCD ， 平面 PMH 平面PH PCD =，过点M 作PH MN ⊥，即有⊥MN 平面PCD ， 连结DN ，则MDN ∠为直线DM 与平面PCD 所成角． ………（10分）在四棱锥ABCD P -中，设t AB 2=， 则t DM 213=，t PM 23=，t MH 1057=，∴t PH 554=，t MN 1637=， 从而104397sin ==∠DM MN MDN ，………（13分） 即直线DM 与平面PCD 所成角的正弦值为104397.………（14分）21. （本小题满分14分）(1),,,.,.(5EF PF EF FC PF FC F EF PFC PC PFC EF PC ⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥证明：平面又平面分）21,.,,(10EF PFC BCFE PFC PH FC FC H PH BCFE HG BE BE G PG BE PG PGH ⊥∴⊥⊥⊥⊥⊥∠（）由（）知平面平面平面作交于点则平面作交于点，连结，则所以就是二面角的平面角分）0,0 1.60,,,21,42tan .(1332.(143AF x x x PFC FH PH x GH x PH PGH GH E AB P EB C =<≤∠=∴=∴-==∴∠==-当点在线段上移动时，二面角的大小定值，这个二面角的平面角的正切设据题意有在图形（）中可求得分值）为分）备注：对于简答题的其他解法，请参照评分标准评分.。

实用文档年浙江省杭州市中考数学试卷2014分）3分，共30一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题2）1．3a?（﹣2a）=（3233B．DC．．A．6a12a﹣12a ﹣6a）2．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（2222 D ．A．C．B．15πcm 30πcm24πcm12πcm），则AC=（°，∠3．在直角三角形ABC中，已知∠C=90A=40°，BC=3 °．D 3tan50 B．3sin50°C．3tan40°3sin40 A．°，则下列说法中，错误的是a的正方形的面积为8杭州）已知边长为4．（3分）（2014?）（2 B．A．a是无理数是方程x8=0﹣的解a C．a是8的算术平方根D．a满足不等式组5．（3分）（2014?杭州）下列命题中，正确的是（）A．梯形的对角线相等B．菱形的对角线不相等C．矩形的对角线不能相互垂直D．平行四边形的对角线可以互相垂直6．（3分）（2014?杭州）函数的自变量x满足≤x≤2时，函数值y满足≤y≤1，则这个函数可以是（）A．B．C．D．y= y=y= y=杭州）若（2014分）（7．3（?）（w=，则w=1?）+实用文档≠﹣a﹣2（）D．﹣aaa（≠2）C．﹣2（a≠2 ）（．A a+2a≠﹣2 B．﹣a+2 ）2 年杭州市小学学校数量（单位：所）和在20122001年至分）（2014?杭州）已知8．（3 校学生人数（单位：人）的两幅统计图．由图得出如下四个结论：2006年更稳定；2012年比2001～2007①学校数量年～②在校学生人数有两次连续下降，两次连续增长的变化过程；；年的2009大于③10002012～年，相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是2011～④20092012 年．）其中，正确的结论是（实用文档杭州）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个?分）（20149．（3的倍数的概率等于3指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或（）D．．CB．．A10．（3分）（2014?杭州）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F 关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A．2BC=5CF C．∠AEB+22°=∠DEF D．B．4cos ∠AGB= ∠1+tanADB= 二、认真填一填（本题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2014?杭州）2012年末统计，杭州市常住人口是880.2万人，用科学记数法表示为_________ 人．12．（4分）（2014?杭州）已知直线a∥b，若∠1=40°50′，则∠2= _________ ．实用文档．满足方程组，则x+y= _________ 201413．（4分）（?杭州）设实数x、y 14．（4分）（2014?杭州）已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是_________ ℃．2三点，，C，3），0，2）B（40201415．（4分）（?杭州）设抛物线y=ax+bx+c（a≠）过A（，则抛物线的函数解析式1到抛物线的对称轴的距离等于x=2上，且点C其中点C在直线．为_________，垂足为BCAD⊥直线，C都在半径为r的圆上，直线201416．（4分）（?杭州）点A，B所对，则∠ABC．若BH=AC与AC，垂足为E，直线ADBE相交于点H，直线DBE⊥直线．_________ （长度单位）的弧长等于分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，667小题，共三、全面答一答（本题共如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．2）个球，分别是＞12a?6（分）（2014杭州）一个布袋中装有只有颜色不同的a（．17个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红b6个白球，4个黑球，个红球和．请补全该统计图并求出的值．球的概率绘制成统计图（未绘制完整）18．（8分）（2014?杭州）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．2222）﹣yk，使得代数式（x﹣y）（4x，是否存在实数（19．8分）（2014?杭州）设y=kx4222的值；若不能，请说明理k（4x﹣y）能化简为x？若能，请求出所有满足条件的+3x 由．个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成分）（2014?杭州）把一条12（20．10 为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角（1 ；形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹））中所作三角形外接圆的周长．2）求出（1（xy=y=﹣x，，函数杭州）在直角坐标系中，设分）21．（10（2014?x轴为直线l中的两条相，lllP，圆l的图象分别是直线，lP（以点为圆心，1为半径）与直线，2211切．例如（，1）是其中一个圆的圆心坐标．P 的圆心坐标；P1（）写出其余满足条件的圆（）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．2实用文档，动，AC=4BD=4BD相交于点O，分）（2014?杭州）菱形ABCD的对角线AC，（22．12对称，四边形关于BD于点F，四边形PFBG上从点B向点D运动，PF⊥AB点P在线段BD，未被这两个四边形盖住部分的面积为SAC对称．设菱形ABCDQEDH与四边形PEBG关于1．S，BP=x被盖住部分的面积为2；S，S（1）用含x的代数式分别表示21的值．，求x（2）若S=S212k+1x﹣）?杭州）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx﹣（4kx+12014（23．12分）（是实数）．（k 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：，①存在函数，其图象经过（10）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；随x的增大而增大就是yx的增大而减小；随时，不是＞③当x1y ④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．实用文档年浙江省杭州市中考数学试卷2014参考答案与试题解析30分）10个小题，每小题3分，共一、仔细选一选（本题有2）=（?杭州）3a?（﹣2a）1．（3分）（20143332．．D．B．C A 6a 12a ﹣12a ﹣6a考单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方．点：分首先利用积的乘方将括号展开，进而利用单项式乘以单项式求出即可．析：322解4a=12a．（﹣2a）=3a×解：3a?答：故选：C．杭州）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为2014?．（3分）（2 ）2222 DC．．B．．A ππ12cm cm24πcm 15πcm 30 4，解：∵底面半径为3，高为解，5答：∴圆锥母线长为2．2=15πcm∴侧面积=2πrR÷．故选B，则°，BC=3中，已知∠ABCC=90°，∠A=40（3．3分）（2014?杭州）在直角三角形）AC=（3tan50°°D．．3sin50 ．3sin40°B．°C 3tan40A=50°°，A=90解解：∠B=90°﹣∠°﹣40答：，又∵tanB= tanB=3tan50AC=BC ∴?°．实用文档D．故选，则下列说法中，错误的是8分）4．（3（2014?杭州）已知边长为a的正方形的面积为）（2．A．a是无理数B 8=0的解a是方程x﹣D．是8的算术平方根C． a a满足不等式组2解的算术平方根8=0的解，是8a是无理数，a是方程x﹣，则a是解：a==2 答：都正确；3，故错误．＜4，而解不等式组2＜a，得：3＜故选D．）杭州）下列命题中，正确的是（?5．（3分）（2014 ．菱形的对角线不相等A．梯形的对角线相等B D 矩形的对角线不能相互垂直．平行四边形的对角线可以互相垂直C．解解：A选项错误；A、等腰梯形的对角线相等，所以、菱形的对角线不一定相等，若相等，则菱形变为正方形，所以BB选项错误；答：选项C、矩形的对角线不一定相互垂直，若互相垂直，则矩形变为正方形，所以C 错误；选项正、平行四边形的对角线可以互相垂直，此时平行四边形变为菱形，所以DD 确．故选D．，则≤满足y≤12满足2014（6．3分）（?杭州）函数的自变量x≤x≤时，函数值y ）这个函数可以是（．．A B ．DC．y= y= y= y=解、把Ax=y=，故此选项正确；x=2代入y=代入y=可得可得y=1，把解：答：，故此选项错误；可得y=1y=y=可得y=4，把x=2代入x=B、把代入，故此选项错误；可得代入y=y=，把代入C、把x=y=可得y=x=2y=4可得，故此选项错误；y=x=2y=16y=x=D、把代入可得，把代入A故选：．实用文档（）杭州）若（（2014?+）?w=1，则w=7．（3分）a+2（a≠﹣2）B．﹣a+2（a≠2）C．a﹣2（≠﹣﹣．D ﹣a2（aaA．≠2）2）解解：根据题意得：W==答：=﹣（a+2）=﹣a﹣2．故选：D．8．（3分）（2014?杭州）已知2001年至2012年杭州市小学学校数量（单位：所）和在校学生人数（单位：人）的两幅统计图．由图得出如下四个结论：①学校数量2007年～2012年比2001～2006年更稳定；②在校学生人数有两次连续下降，两次连续增长的变化过程；③2009年的大于1000；④2009～2012年，相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是2011～2012年．其中，正确的结论是（）实用文档③④．．①②D A．①②③④B．①②③C135年下降幅度较大，最200解：①根据条形统计图可知，学校数200所以下4440所以上200年201年学校数量都是答所，最60所，故结论正确年两年200年200年200②由折线统计图可知，在校学生人数200年两次连续增长的变化过程，故结年201年200年200连续下降200正确41所年的在校学44519人，学校数③由统计图可知2009，故结论正确；=1067＞1000年的所以2009=年学校数量增长率为20102009～④∵≈﹣2.16%，年学校数量增长率为2011 2010～≈0.245%，年学校数量增长率为≈2012 2011～1.47%，2.16%，1.47%＞0.245%＞﹣2012年；年，相邻两年的学校数量增长最快的是2011～2009∴～2012，年在校学生人数增长率为≈1.96%∵2009～2010 2.510%年在校学生人数增长率为，≈20112010～2011～1.574%，≈2012年在校学生人数增长率为，＞1.574%1.96%2.510%＞2011～年，201020122009∴～年，相邻两年的在校学生人数增长最快的是故结论错误．综上所述，正确的结论是：①②③．实用文档故选B．杭州）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个9．（3?（2014分）的倍数的概率等于32的倍数或指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是）（．B ．．A ．D C解解：列表如下：答：42 3 1），（41（3，1））1 （1，1 （2，1））4，2，2）（（，2）2，2）（32 （1），3）（4，（23）（3，3（3 1，3）4）（4，（3，4）），4 （14）（2，4 种，3的倍数情况有10种，其中两个数的和是所有等可能的情况有162的倍数或．则P==C 故选BC，射线分别在射线AD，点∥ADBC，AB⊥AD，点EF2014（10．3分）（?杭州）已知，则GBD对称，AC与BD相交于点关于对称，点与点上．若点EB关于ACE与点F （）2BC=5CF B．C．∠AEB+22°=∠．A DEF D．∠1+tanAGB=∠ADB=4cos实用文档B相交于解：如图，连C，EAB=A，设答由轴对称性得，则BE== 对称，F关于BD∵点E与点，∴DE=BF=BE=，∴AD=1+ ，，AB=AEBC，AB⊥AD ∵AD∥是正方形，∴四边形ABCE ，∴BC=AB=1A选项结论正确；﹣ADB=1+=1+1=，故1+tan∠1，CF=BF﹣BC=﹣1=2，∴2BC=2×），（﹣15CF=5 B选项结论错误；≠5CF，故∴2BC °，+22°=67∠AEB+22°=45°，==中，在Rt△ABDBD=∠DEF===，sin C选项结论错误；67∴∠DEF≠°，故222）=（由勾股定理得，OE=，）﹣（，∴OE= °，EBG+∠AGB=90∵∠°，∠BEF=90∠EGB+ BEF，∴∠AGB=∠，BEF=∠DEF又∵∠D选项结论错误．AGB=，故==∠∴4cos A．故选实用文档分）6个小题，每小题4分，共24二、认真填一填（本题共万人，用科学记数?杭州）2012年末统计，杭州市常住人口是880.2201411．（4分）（6人．×10 法表示为8.8026解10，解：880.2万=880 2000=8.802×答：6 10故答案为：8.802×．139°10′．2= a．12（4分）（2014?杭州）已知直线∥b，若∠1=40°50′，则∠′，3=∠501=40°解解：∠∵a∥b，答：∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°50′=139°10′．故答案为：139°10′．13．（4分）（2014?杭州）设实数x、y满足方程组，则x+y= 8 ．解答：解：，①+②得：x=6，即x=9；①﹣②得：﹣2y=2，即y=﹣1，实用文档∴方程组的解为，﹣则．x+y=91=88故答案为：杭州）已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个?分）（201414．（4 15.6 整点时气温的中位数是℃．，4.5，10.5，15.3，15.9，19.620.1，解解：把这些数从小到大排列为：答：最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2=15.6（℃），则这六个整点时气温的中位数是15.6℃；．故答案为：15.62三点，C），4（+bx+c（a≠0）过A0，2），B（，3y=ax（．15（4分）2014?杭州）设抛物线，则抛物线的函数解析式到抛物线的对称轴的距离等于1C其中点在直线x=2上，且点C22 +x+2 ．﹣﹣y=xx+2或y=x为上，且到抛物线的对称轴的距离等于C在直线x=21，解：∵点解，x=1或x=3答：∴抛物线的对称轴为直线2 1y=a当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为（x﹣）+k，则，，解得22 x=﹣，x+2）﹣（所以，y=x1+2 y=ax=3当对称轴为直线时，设抛物线解析式为（，+k3﹣x）则，实用文档，解得22 x+2所以，xy=）﹣（x﹣3+，=+﹣22 y=﹣x+x+2．﹣综上所述，抛物线的函数解析式为y=xx+2或22 +x+2．故答案为：y=x﹣x+2或y=﹣x，垂足为BCAD杭州）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线⊥直线．16（4分）（2014?所对H与BE相交于点．若BH=AC，则∠ABCACD，直线BE⊥直线，垂足为E，直线AD的弧长等于πr或r （长度单位）．BC，BE⊥AC，⊥解解：如图1，∵AD DBH=90°，∴∠H+∠答：°，C+∠DBH=90∠∠H=C，∴∠∠ADC=90°，又∵∠BDH= BHD，∴△ACD∽△，∴=BH=∵AC，=∴，∴∠ABC=30°，°，30所对的弧长所对的圆心角为°×2=60∴∠ABCr．=∴∠ABC所对的弧长=π，∠如图2ABC所对的弧长所对的圆心角为300°，π=r所对的弧长∴∠ABC=．r故答案为：πr或．实用文档分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，小题，共三、全面答一答（本题共667如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．2）个球，分别是（a＞126．（分）（2014?杭州）一个布袋中装有只有颜色不同的a17个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红6个黑球，个红球和b个白球，4球的概率绘制成统计图（未绘制完整）．请补全该统计图并求出的值．，解：球的总数：4÷0.2=20（个）解答：2+4+6+b=20，解得：b=8，，2摸出白球频率：÷20=0.1 ÷20=0.3，6摸出红球的概率：===0.4．实用文档18．（8分）（2014?杭州）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．ACE中，解：在△ABF和△解答：，，（ACESAS）∴△ABF≌△，∠ACE（全等三角形的对应角相等）∴∠ABF= ，∴BF=CE（全等三角形的对应边相等），AB=AC，AE=AF ∵，∴BE=BF 中，BEP和△CFP在△，，AAS）∴△BEP≌△CFP（，∴PB=PC ，∵BF=CE ，∴PE=PF ．，BE=CF∴图中相等的线段为PE=PF2222）y），使得代数式（x﹣y（4x﹣杭州）设19．（8分）（2014?y=kx，是否存在实数k4222的值；若不能，请说明理x4x﹣y）能化简为？若能，请求出所有满足条件的k+3x（由．解解：能．2222222答：y）﹣（）4x﹣y）+3x（4x（x﹣y22222 x）（﹣y+3x）﹣=（4xy222，y）﹣=（4x4222222 4=x﹣（，原式当y=kx=4xk）（﹣xk），实用文档22，），解得=1k=令（±4或±﹣k4．即当k=±或±时，原代数式可化简为x个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成12分）（2014?杭州）把一条20．（10 为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角（1 形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．）由题意得：三角形的三边长分别为解个不全等的三角形，如图所示答即不同分段得到的三条线段能组）如图所示，可知三角形为直角三角形，此时外接圆的半当三边的单位长度分别2.；．三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为当三边的单位长度分别为4，4，4，π×2.5=5π；4∴当三条线段分别为3，，5时其外接圆周长为：2π．2当三条线段分别为4，4，4时其外接圆周长为：π×=x，y=，函数x轴为直线ly=﹣x杭州）在直角坐标系中，设分）21．（10（2014?中的两条相l，llP，圆l的图象分别是直线，lP（以点为圆心，1为半径）与直线，2112P切．例如（，1）是其中一个圆的圆心坐标．的圆心坐标；P1（）写出其余满足条件的圆（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．实用文档解）①若与直都相切答当在第四象限时过P轴，垂足，连O，如所示设y=x的图象与x轴的夹角为α．当x=1时，y=．∴tanα=．∴α=60°．∴由切线长定理得：∠POH=（180°﹣60°）=60°．∵PH=1，∴tan∠POH===．OH=．∴∴点P．，﹣1）的坐标为（同理可得：当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣，1）；当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，﹣1）；②若圆P与直线l和l都相切，如图2所示．1同理可得：当点P在第一象限时，点P的坐标为（，1）；P的坐标为（﹣；，1）P当点在第二象限时，点当点P在第三象限时，点P）1；，﹣的坐标为（﹣当点P在第四象限时，点P的坐标为（，﹣1）．③若圆P与直线l和l都相切，如图3所示．21同理可得：实用文档；，P的坐标为（0）当点轴的正半轴上时，点P在x的坐标为（﹣在x轴的负半轴上时，点P；，0）P当点；，2）P在y轴的正半轴上时，点P的坐标为（0当点2）．y在轴的负半轴上时，点P的坐标为（0，﹣当点P 综上所述：其余满足条件的圆P的圆心坐标有：、（﹣，﹣1），1，﹣（1）、（﹣）、1）、（1，﹣），1、（﹣）、，1）（﹣、（，﹣．，﹣（2）0、0，）（﹣2、，0）（0，）、（4所示．2（）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等．=8﹣=12∴该图形的周长×（）．实用文档，动，，AC=4BD=4相交于点的对角线201412分）（?杭州）菱形ABCDAC，BDO（22．对称，四边形PFBGFABPFDBBDP点在线段上从点向点运动，⊥于点，四边形关于BD实用文档，未S对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为QEDH与四边形PEBG关于AC1．S，BP=x被盖住部分的面积为2；，SS（1）用含x的代数式分别表示21的值．，求x（2）若S=S21解：（1）①当点P在BO上时，如图解1所示．答：∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=4，∴AC⊥BD，BO=BD=2，AO=AC=2，?AC=8．且S=BD ABCD菱形=∴tan∠ABO=．∴∠ABO=60°．在Rt△BFP中，∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，∴sin∠FBP===sin60°=．∴FP=x．∴BF=．∵四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，∴S=S=S=S．DHQ△DEQ△BGP△BFP△∴S=4S BFP1△实用文档?×x×=4．=．=8﹣∴S2 2所示．P在OD上时，如图②当点BF=，∵AB=4，﹣．AF=AB﹣BF=4∴AFM中，在Rt△﹣．FAM=30°，AF=4∵∠AFM=90°，∠．=tan30°=tan∴∠FAM=．4﹣）（∴FM=FM ?S=AF∴AFM△）4﹣（（4﹣）?=2．﹣）=（4 对称，关于BD∵四边形PFBG 对称，关于AC四边形QEDH与四边形PEBG =S．=S∴S=S CGN△△△AFMCHN△AEM S=4S∴AFM2△2）（4﹣×=42 8）．（x=﹣2=8S﹣8）．∴=8﹣S﹣（x12综上所述：﹣；，上时，S=S=8当点P在BO2122=S8）．SP当点在OD上时，=8，（x ﹣﹣）（x﹣821．≤＜x2上时，）①当点（2P在BO0，+S，∵S=SS=82121=4S∴．1实用文档∴=4S．=1．x=﹣2，解得：x=221，2＜02∵＞2，﹣=S上时，S的情况不存在．∴当点P在BO21≤4．在OD上时，2＜x②当点P=8，S=S，S+S∵2112．=4∴S22）=4．x∴S=（﹣822．﹣解得：x=8+2，x=821，2＜4﹣，∵8+2＞42＜82．﹣∴x=828x，则=S综上所述：若S的值为﹣．21实用文档2k+1x﹣x的函数y=2kx﹣（4kx+1）201423．（12分）（?杭州）复习课中，教师给出关于是实数）．（k 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：）点；①存在函数，其图象经过（1，0 ②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；y随x的增大而减小；＞③当x1时，不是y随x的增大而增大就是④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．﹣（4k+1）﹣k+1=0，2k1解解：①真，将（，0）代入可得：．解得：k=0 答：运用方程思想；时，只有两个交点．运用举反例的方法；②假，反例：k=0时，先减后增；运用举反例的方法；1x=k=1③假，如，﹣，当＞④真，当k=0时，函数无最大、最小值；实用文档=﹣，k=≠0时，y最时，有最小值，最小值为负；＞∴当k0 0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．＜当k。

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M=（﹣∞，0）∪[3，+∞），N={0，1，2，3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0≤x≤3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2，3}2．（5分）等比数列{a n}中，若，则a2a8=（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣93．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题4．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）△ABC中，b=7，c=3，B=60°，则a=（）A．5 B．6 C．4 D．86．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）将函数f（x）=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，） C．（，]∪[，） D．[，]∪[，]10．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=．12．（4分）若函数f（2x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是．13．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是．14．（4分）已知实数x，y满足条件，则|y|﹣x的最小值为．15．（4分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=，且a n+2=，则该数列的通项公式a n=．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（，cos2θ）在角α的终边上，点Q （sin2θ，﹣1）在角β 的终边上，且=﹣．则sin（α+β）=．17．（4分）实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3a）2+（c+d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b+d）2的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x+9≥0}．（Ⅰ）当a=10时，求A和B；（Ⅱ）若A⊆B．求a的取值范围．19．（14分）已知单位向量与的夹角是钝角，当t∈R时，||的最小值为．（Ⅰ）若，其中λ∈R，求||的最小值；（Ⅱ）若满足（）（）=，求||的最大值．20．（15分）已知△ABC的三内角A，B，C与所对的边a，b，c满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）如果用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，试求实数p的取值范围．21．（15分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n（n∈N*），等比数列{b n}满足b1=，b n+1+b n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能的乘积a i b j的和．22．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+b．（Ⅰ）设b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：存在x0∈[﹣1，1]，使|f（x0）|≥|a|．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M=（﹣∞，0）∪[3，+∞），N={0，1，2，3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0≤x≤3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【解答】解：∵全集为R，M=（﹣∞，0）∪[3，+∞），N={0，1，2，3}，∴∁R M=[0，3），则（∁R M）∩N={0，1，2}，故选：C．2．（5分）等比数列{a n}中，若，则a2a8=（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9【解答】解：由等比数列的性质得，，解得a5=，所以a2a8==3，故选：A．3．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题【解答】解：A．正确，若“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，∴“p∨q”为真命题；B．正确，若￢p∨q为假命题，则￢p，q都是假命题，∴p是真命题，￢q是真命题，∴p∧￢q为真命题；C．正确，“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为，“若a≤b，则ac2≤bc2”；∵c2≥0，∴由a≤b能得到ac2≤bc2；D．错误，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞0”，方程x2+x﹣m=0有实数根只要△=1+4m≥0，即m，所以不一定得到m＞0．所以错误的是D．故选：D．4．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题p：|x+2|＞2即为x＞0或x＜﹣4；命题p：＞1即为2＜x＜3；所以￢p：﹣4≤x≤0，￢q：x≤2或x≥3；所以￢p成立￢q成立，反之￢q成立￢p不一定成立；所以¬q是¬p成立的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）△ABC中，b=7，c=3，B=60°，则a=（）A．5 B．6 C．4 D．8【解答】解：△ABC中，若c=3，b=7，∠B=60°，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB得：a2﹣3a﹣40=0，解得：a=8或a=﹣5（舍去）．故选：D．6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4＜0，a5＞|a4|，得a 5＞0，a5+a4＞0，，．∴使S n＞0成立的最小正整数n为8．故选：C．7．（5分）将函数f（x）=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数f（x）=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x﹣）图象；再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），可得函数y=sin[2（x+φ）﹣]=sin （2x+2φ﹣）的图象，再根据y=sin（2x+2φ﹣）为偶函数，可得2φ﹣=kπ+，k∈z，即φ=+，则φ的最小值为，故选：C．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则20a（﹣）+15b+12c=（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=．∵、不共线，故有20a﹣15b=0，12c﹣20a=0．∴b=a，c=a，a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，∴a最小，∴cosA==，∴sinA==，即△ABC的最小角的正弦值等于．9．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，） C．（，]∪[，） D．[，]∪[，]【解答】解：因为f（x）=﹣a=0，故=a；分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0．若x＞0，此时[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故＜≤1，即＜a≤1．且随着[x]的增大而增大．若x＜0，此时[x]＜0；若﹣1≤x＜0，则≥1；若x＜﹣1，因为[x]≤x＜﹣1；[x]≤x＜[x]+1，故1≤＜，即1≤a＜，且随着[x]的减小而增大．又因为[x]一定是不同的x对应不同的a值．所以为使函数f（x）=﹣a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=﹣1，﹣2，﹣3．若[x]=1，有＜a≤1；若[x]=2，有＜a≤1；若[x]=3，有＜a≤1；若[x]=4，有＜a≤1；若[x]=﹣1，有a＞1；若[x]=﹣2，有1≤a＜2；若[x]=﹣3，有1≤a＜；若[x]=﹣4，有1≤a＜综上所述，＜a≤或≤a＜，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：若x≠0，则有，取，则有：∵f（x）是偶函数，则由此得于是，故选：A．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=﹣2．【解答】解：∵函数，∴f（）=2+=4．=f（4）==﹣2．故答案为：﹣2．12．（4分）若函数f（2x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是[﹣，] ．【解答】解：由函数f（2x）的定义域是[﹣1，1]，得﹣1≤x≤1．∴﹣2≤2x≤2，即函数f（x）的定义域是[﹣2，2]，再由，解得，∴函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．13．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是4．【解答】解：∵a+b﹣2a2b2=4，∴a+b=4+2a2b2，∴===+2ab≥2=4，当且仅当ab=取等号，故的最小值是4，故答案为：414．（4分）已知实数x，y满足条件，则|y|﹣x的最小值为﹣1．【解答】解：由题意作出其平面区域，由图可知，|y|﹣x的最小值为0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．15．（4分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=，且a n+2=，则该数列的通项公式a n=．=，【解答】解：∵a n+2∴=∴﹣=1，∴数列{}是以==2为首项，以1为公差的等差数列，∴=2+n﹣1=n+1，∴==2，=3，…，=n+1，利用累乘法得∴•…=2×3×4×…×n=n!∴a n=16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（，cos2θ）在角α的终边上，点Q （sin2θ，﹣1）在角β 的终边上，且=﹣．则sin（α+β）=﹣．【解答】解：∵=﹣，∴=﹣∴cos2θ=，sin2θ=∴P（，），Q（，﹣1），∴sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ=，∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ==﹣．故答案为：﹣．17．（4分）实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3a）2+（c+d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b+d）2的最小值是．【解答】解：实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3a）2+（c+d+2）2=0，则有b+a2﹣3a=0，且c+d+2=0，由于（a﹣c）2+（b+d）2的几何意义：两点A（a，b）、B（c，﹣d）的距离的平方，则为求抛物线y=3x﹣x2上点A和直线x﹣y+2=0上点B的距离的最小值，由于联立方程x﹣y+2=0和y=3x﹣x2上，消去y，得到x2﹣2x+2=0，方程无实数解，故直线和抛物线相离，可设直线y=x+t与抛物线相切，则联立抛物线方程，消去y，得，x2﹣2x+t=0，由判别式为0，即有4﹣4t=0，即t=1，则切线为：y=x+1，由于两直线y=x+2与直线y=x+1的距离为d==，即有抛物线y=3x﹣x2上点A和直线x﹣y+2=0上点B的距离的最小值为，则有（a﹣c）2+（b+d）2的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x+9≥0}．（Ⅰ）当a=10时，求A和B；（Ⅱ）若A⊆B．求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，当a=10时，B={x∈R|4x﹣10•2x+9≥0}={x|x≤0，或x≥log29}，（Ⅱ）A={x|1≤x≤2}，A⊆B，则有当1≤x≤2时，2≤2x ≤4，又4x﹣a•2x+9≥0，令2x=t，（2≤t≤4）不等式化为t2﹣at+9≥0对2≤t≤4成立，a≤t+而t+≥2=6，（当且仅当t=3时成立），所以a的取值范围a≤6．19．（14分）已知单位向量与的夹角是钝角，当t∈R时，||的最小值为．（Ⅰ）若，其中λ∈R，求||的最小值；（Ⅱ）若满足（）（）=，求||的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设单位向量与的夹角是α，则||==，∵当t∈R时，||的最小值为，∴|sinα|=，∵单位向量与的夹角是钝角，∴α=，∵，∴||==，∴λ=时，||的最小值为；（Ⅱ）设=（x，y），=（1，0），=（﹣，），∴（）•（）=，∴，∴||的最大值为+=2．20．（15分）已知△ABC的三内角A，B，C与所对的边a，b，c满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）如果用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，试求实数p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC中，∴根据正弦定理，得，即cosA（2sinB﹣sinC）=sinAcosC，化简得2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C），∵在△ABC中，sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，∴2sinBcosA=sinB，可得cosA=，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，∴p2sin2A=sin2B+sin2C，∵A=，得sinA=，∴p2=sin2B+sin2C，可得p2=（sin2B+sin2C），∵sin2B=（1﹣cos2B），sin2C=（1﹣cos2C），C=﹣B，∴p2=[（1﹣cos2B）+（1﹣cos2C）]=（1﹣cos2B）+[1﹣cos（﹣2B）]=sin（2B﹣）+．∵B∈（0，），可得2B﹣∈（﹣，），∴sin（2B﹣），得p2=sin（2B﹣）+∈（1，2]因此，实数p的取值范围是（1，]．21．（15分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n（n∈N*），等比数列{b n}满足b1=，b n+1+b n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能的乘积a i b j的和．【解答】解：（I）∵各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n（n∈N*），∴n=1时，，解得a1=1．当n≥2时，2a n=2（S n﹣S n﹣1）=a n2+a n﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．∵等比数列{b n}满足b1=，b n+1+b n=（n∈N*）．设公比为q，则+=，解得q=．∴．（II）∵i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，所有可能的乘积a i b j的和=++…++a n b n=++…++．=1﹣+++…+（n﹣1）+=﹣，令S n=1+++…+，S n=++…+，∴=1++++…+﹣=1++++…+﹣=﹣=．∴S n=4﹣．∴所有可能的乘积a i b j的和=4﹣﹣=4﹣．22．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+b．（Ⅰ）设b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：存在x0∈[﹣1，1]，使|f（x0）|≥|a|．【解答】解：数f（x）=x2+ax+b，（1）∵b=a，∴f（x）=x2+ax+a，△=a2﹣4a，x=为对称轴，①当a=0时，f（x）=x2，∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a=0符合题意，②当a=4时，f（x）=（x+2）2，∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a=4符合题意，③当a＞0，a≠4时f（0）=a＞0，x=＜0，∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a＞0，a≠4，符合题意，④当a＜0时，△=a2﹣4a＞0，f（0）=a＜0，x0为f（x）=0，的左边的一个零点，x0＜0，∴|f（x）|在x∈[x0，]上单调递增，即只需满足1≤a≤﹣2∴a≤﹣2，符合题意，综上a≥0或a≤﹣2，（Ⅱ）证明：函数f（x）=x2+ax+b，|f （1）|=|1+a +b |，|f （﹣1）|=|1﹣a +b |， ∵当1+b ≥0，a ≥0时，f （1）=|1+a +b |≥|a |， 当1+b ＞0，a ＜0时，|f （﹣1）|=|1﹣a +b |≥|a |， 当1+b ＜0，a ＜0时，|f （1）|=|1+a +b |≥|a |， 当1+b ＜0，a ＞0时，|f （﹣1）|=|1﹣a +b |≥|a |， ∴存在x 0∈[﹣1，1]，使|f （x 0）|≥|a |．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x+y+=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解答：解：直线x+y+=0的斜率为：﹣，所以直线x+y+=0的倾斜角为α，则tan，所以α=120°．故选：D．点评：本题考查直线的斜率以及直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2．（4分）下列说法正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥C．圆台平行于底面的截面是圆面D．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱的结构特征．专题：规律型．分析：根据柱、锥、台、球的定义，可得结论．解答：解：根据柱、锥、台、球的定义，可得圆台平行于底面的截面是圆面，故选：C．点评：本题考查柱、锥、台、球的定义，比较基础．3．（4分）已知两条直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或﹣2考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：根据直线的一般式方程垂直的条件，直接代入即可求解K的值解答：解：∵直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直∴k（k﹣1）+2（1﹣k）=0∴k2﹣3k+2=0∴k=2或k=1故选：C．点评：本题主要考查了直线方程是一般式垂直的条件（A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直的条件A1A2+B1B2=0）的应用，属于基础试题4．（4分）直线l与直线y=1，直线x=5分别交于P，Q两点，PQ中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率是（）A．﹣B．C．2D．﹣2考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：通过直线l与直线y=1，x=7分别交于点P、Q，推出坐标，利用中点坐标公式可求得a，b的值，从而可求直线l的斜率．解答：解：∵直线l与直线y=1，x=5分别交于点P，Q，∴P，Q点的坐标分别为：P（a，1），Q（5，b），∵线段PQ的中点坐标为M（1，﹣1），∴由中点坐标公式得：=1，=﹣1，∴a=﹣3，b=﹣3；∴直线l的斜率k===﹣．故选：A．点评：本题考查中点坐标公式的应用，直线的斜率的求法，设出P（a，1），Q（5，b）是关键，考查分析运算能力，属于中档题．5．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，n⊂β，则α⊥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：操作型；空间位置关系与距离．分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交、异面，即A不正确；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，m∥n，∴α⊥β．故B成立；若m∥α，m∥β，则α∥β或m与α、β交线平行，即C不正确；若m∥α，α⊥β，则m可以与β垂直、平行，相交或m⊂β，即D不正确．故选：B．点评：本题考查直线与平面的位置关系的合理运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．．6．（4分）（2010•深圳二模）如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，则此几何体的体积为（）A．B．1C．D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题意可得：几何体是一个三棱锥，如图所示，AC⊥平面BCD，AB=AD=BD=2，AC=，由左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，可得△BCD 的高为1，再根据三棱锥的体积公式可得答案．解答：解：由题意可得：几何体是一个三棱锥，如图所示，AC⊥平面BCD，AB=AD=BD=2，AC=，因为左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，所以△BCD的高为1．所以三棱锥的体积为：=．故选A．点评：本题主要考查几何体的三视图，以及几何体的体积公式，考查学生的空间想象能力与推理论证能力．7．（4分）若直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足的条件是（）A．a=b B．|a|=|b| C．c=0或a=b D．c=0或|a|=|b|考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：当c=0时，直线ax+by+c=0（ab≠0）过原点，在两坐标轴上的截距相等，当c≠0时，直线在两坐标轴上的截距分别为﹣和﹣，由题意可得﹣=﹣，故a=b，由此得出结论．解答：解：当c=0时，直线ax+by+c=0（ab≠0）过原点，在两坐标轴上的截距相等．当c≠0时，直线在两坐标轴上的截距分别为﹣和﹣，由题意可得﹣=﹣，故a=b．综上，当c=0或c≠0且a=b时，直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，故选C．点评：本题主要考查直线的一般式方程，直线在两坐标轴上的截距的定义，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．（4分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．A C、BD之一垂直 B．A C、BD都垂直C．A C、BD都不垂直 D．A C、BD不一定垂直考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：连接AM、CM，由SSS可得△ABD≌△CDB，进而根据全等三角形对应边上的中线相等，可得AM=CM，即△ACM是等腰三角形，进而根据等腰三角形三线合一，可得MN⊥AC；同理，MN⊥BD解答：解：连接AM、CM，在△ABD与△CDB中，∴△ABD≌△CDB又∵AM、CM分别为两全等三角形对应边BD上的中线，∴AM=CM∵△ACM是等腰三角形，又∵MN为△ACM底边AC上的中线，∴MN⊥AC．同理，MN⊥BD故MN与AC、BD都垂直故选B点评：本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间直线与直线位置关系的定义，几何特征及证明方法是解答的关键．9．（4分）如图，三棱锥P﹣ABC的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB＜60°．设动点D、E分别在线段PB、PC上，点D由P运动到B，点E由P运动到C，且满足DE∥BC，则下列结论正确的是（）A．当点D满足AD⊥PB时，△ADE的周长最小B．当点D为PB的中点时，△ADE的周长最小C．当点D满足=时，△ADE的周长最小D．在点D由P运动到B的过程中，△ADE的周长先减小后增大考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥P﹣ABC的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB＜60°，可得△ADE 是一个等腰三角形，AD=AE，由于在D点由P到B的运动过程中，两腰长先减小后增大，故可得△ADE周长也会先减小后增大．解答：解：由题意得△ADE是一个等腰三角形，AD=AE，∵在D点由P到B的运动过程中，两腰长先减小后增大，故可得△ADE周长也会先减小后增大，故选D点评：本题以棱锥的结构特征为载体考查△ADE的周长，其中分析出△ADE周长在D点由P到B的运动过程中的变化趋势是解答的关键．10．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：分别取P、Q为特殊位置，得到M的部分轨迹，然后靠空间想象得到M点的其它位置，得到点M构成的点集是一个棱柱体．解答：解：由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段（靠近AA′），当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段（靠近AA′），当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AB），当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AD），当P在A处，Q在BC上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段（靠近AB），当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段（靠近AB），同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；P在A′处，Q 在C处，P在AA′上运动；P、Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其它情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选：A．点评：本题考查了轨迹方程问题，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于60°．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：利用异面直线夹角的定义，将EF平移至MG（G为A1B1中点），通过△MGH为正三角形求解．解答：解：取A1B1 中点M连接MG，MH，则MG∥EF，MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角．容易知道△MGH为正三角形，∠MGH=60°∴EF与GH所成的角等于60°故答案为：60°点评：本题考查异面直线夹角的计算，利用定义转化成平面角，是基本解法．找平行线是解决问题的一个重要技巧，一般的“遇到中点找中点，平行线即可出现”．12．（4分）已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是50π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：用长方体的对角线的公式，求出长方体的对角线长，即为外接球的直径，从而得到外接球的半径，用球的表面积公式可以算出外接球的表面积．解答：解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为：=5，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，∴球半径为R=，可得球的表面积为4πR2=50π．故答案为：50π．点评：本题给出长方体的长、宽、高，求长方体外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积公式，属于基础题．13．（4分）已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为2．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可．解答：解：设母线长为x，根据题意得2πx÷2=2π×1，解得x=2．故答案为：2．点评：本题的关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．14．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D′，BD．利用等边三角形的性质及AA′⊥底面ABC，可得C′D⊥侧面ABB′A′，于是∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成角．利用勾股定理、直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D′，BD．∵底面△A′B′C′是正三角形，∴C′D⊥A′B′．∵AA′⊥底面ABC，∴A′A⊥C′D．又AA′∩A′B′=A′，∴C′D⊥侧面ABB′A′，∴∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成角．∵等边△A′B′C′的边长为1，C′D=．在Rt△BB′C′中，BC′==．∴直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值==．故答案为：．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、等边三角形的性质、线面角、勾股定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）如图1，已知三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图面积为．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：求出三棱锥的高为h，底面三角形的高，得到：侧视图为等腰三角形，底面边长为AB=，BC=，C到AB的高为：，利用面积公式计算即可．解答：解：∵三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，∴三棱锥的高为h==，∴侧视图为等腰三角形，底面边长为AB=，BC=，C到AB的高为：，∴=故答案为：，点评：本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力，准确计算．16．（4分）已知实数a、b、c满足a﹣b﹣c=0则原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值为．考点：点到直线的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：根据直线方程和a﹣b﹣c=0，得直线过定点（﹣1，1），所以原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值即为原点到定点的距离．解答：解：因为直线ax+by+c=0，又a﹣b﹣c=0，所以直线过定点（﹣1，1），所以原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值即为原点到定点的距离：．故答案为：点评：本题主要考查点到直线的距离公式．17．（4分）若当x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣20，1hslx3y3h．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：对k+1的正负进行分类讨论，但k+1≥0时直接把绝对值去掉即可；当k+1＜0时根据图象数形结合．解答：解：要使x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立（1）当k+1≥0时，x+k+2≥0，故命题化为：kx+k＜x+k+2﹣1，即kx＜x+1对x∈（﹣1，+∞）时恒成立，只要0≤k≤1即可如图（1）．图（1）（2）当k+1＜0时，∵x∈（﹣1，+∞）时，∴x+1＞0，令t=x+1，则t∈（0，+∞）故命题化为：kt＜|t+k+1|﹣1，对t∈（0，+∞）恒成立，再用x表示t则命题化为：kx+1＜|x+k+1|，对x∈（0，+∞）恒成立，只要x∈（0，+∞）时，y=kx+1在y=|x+k+1|的上方即可，如图（2）．只要﹣k﹣1≥1即可，∴k≤﹣2图（2）综上，k的取值范围是（﹣∞，﹣20，1hslx3y3h点评：本题考查含有绝对值的恒成立问题，属于高难题目．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD=AB=CD，AB∥CD，M为CE的中点．（1）证明：BM∥平面ADEF；（2）证明：平面BCE⊥平面BDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；（2）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，进而ED⊥BC，由勾股定理，我们易判断出△BCD中，BC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BCE⊥平面BDE．解答：证明：（1）取DE中点N，连接MN，AN在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，所以BC⊥BD．所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE．点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．19．（12分）已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．（1）求点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：：（1）设A′（a，b），则由点A关于直线l的对称点A′，利用垂直、和中点在对称轴上这两个条件求得a、b的值，可得A′的坐标．（2）由于点A关于x轴的对称点A2（2，﹣2），由线段的中垂线的性质可得|A′A2|即为△ABC的周长的最小值，计算求得结果．解答：解：（1）设A′（a，b），则由点A关于直线l的对称点A′，可得，解得，故A′的坐标为（﹣，）．（2）由于点A关于x轴的对称点A2（2，﹣2），|A′A2|==，∴△ABC的周长的最小值为．点评：本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，以及线段的中垂线的性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，=4，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线DM与平面PCD所成角的正弦值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明PM⊥面ABCD，且PM⊂面PAB，可得面PAB⊥面ABCD；（2）过点M作MH⊥CD，连结HP，连结DN，则∠MDN为直线DM与平面PCD 所成角，即可求直线DM与平面PCD所成角的正弦值．解答：（1）证明：由AB=2PB=4BM，得PM⊥AB，又因为PM⊥CD，且AB，CD相交，所以PM⊥面ABCD，且PM⊂面PAB．所以，面PAB⊥面ABCD．…（6分）（2）解：过点M作MH⊥CD，连结HP，因为PM⊥CD，且PM∩MH=M，所以CD⊥平面PMH，又由CD⊂平面PCD，得到平面PMH⊥平面PCD，平面PMH⊥平面PCD=PH，过点M作MN⊥PH，即有MN⊥平面PCD，连结DN，则∠MDN为直线DM与平面PCD所成角．…（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，设AB=2t，则DM=t，PM=t，MH=t，∴PH=t，MN=t，从而sin∠MDN==，…（13分）即直线DM与平面PCD所成角的正弦值为．…（14分）点评：本题考查线面、面面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）在图1等边三角形ABC中，AB=2，E是线段AB上的点（除点A外），过点E 作EF⊥AC于点F，将△AEF 沿EF折起到△PEF（点A与点P重合，如图2），使得∠PFC=．（1）求证：EF⊥PC；（2）试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣EB﹣C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由线面垂直的判定定理定理，易得EF⊥平面PFC，再由线面垂直的定义，即可得到EF丄PC；（2）作PH⊥FC，则PH⊥平面BCFE，作HG⊥BE，连接PG，则BE⊥PG，可得∠PGH 是个二面角的平面角，即可得出结论．解答：（1）证明：∵EF⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC=F∴EF⊥平面PFC又∵PC⊂平面PFC∴EF⊥PC；（2）解：由（1）知，EF⊥平面PFC，∴平面BCFE⊥平面PFC作PH⊥FC，则PH⊥平面BCFE，作HG⊥BE，连接PG，则BE⊥PG∴∠PGH是个二面角的平面角，设AF=x，则0＜x≤1，∵∠PFC=60°，∴FH=，PH=x，∵GH=x，∴tan∠PGH==，∴二面角P﹣EB﹣C的大小是定值．点评：本题主要考查直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想，函数与方程思想等．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；刘长柏；wubh2011；haichuan；翔宇老师；sxs123；zwx097；孙佑中；sdpyqzh；张玲；csyzlg；caoqz（排名不分先后）菁优网2014年12月21日。

2013学年第二学期期中杭州地区六校联考高一年级数学试题考生须知：1.本卷满分100分，考试时间90分钟2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。

一．选择题:本大题共10小题；每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知(2sin 35,2cos35)a =︒︒，(cos5,sin5)b =︒-︒，则a b ⋅＝( ▲ ) A.12B ．1C ．2D ．2sin 40° 2. 若{a n }为等差数列，且a 2＋a 5＋a 8＝π，则)tan(73a a +的值为( ▲ )A ．33 B ．33- C ．3 D ．3-3．设(,0)2x π∈-且4cos 5x =，则=x 2tan （ ▲ ）A ．247-B ．724-C ．724D ．2474．在△ABC 中，B=135︒，C=15︒，a =5，则此三角形的最大边长为( ▲ )A ． 35B ．34C ．D ．245.函数22()cos 33f x x x ππ=+的最小正周期是 (▲ ) A .π3B . 3C .23πD .236．在ABC ∆中, 若sin 2sin cos B A C =,那么ABC ∆一定是 （ ▲ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 7. 若a ，b ，c ∈R ，且b ＜a ＜0，则下列四个不等式：(1)a b ab +< (2)a b > (3)a c b c +>+ (4)22c c a b< 其中正确的是（ ▲ ）A ． （1）（2）B ． （2）（3）C ． （1）（3）D ． （3）（4）8．数列{}n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+)121(12)210(21n n n n n a a a a a 若761=a ，则17a = (▲ )A ．76 B ．75C ． 73D ．719.若三角形ABC的三条边长分别为2=a ，3=b ，4=c ，则=++C ab B ca A bc cos 2cos 2cos 2( ▲ )A ．29B ． 30C ．9D ．1010．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＞S 8＞S 6，则满足S n •S n+1＜0的正整数n 的值为（ ▲ ） A ． 11B ． 12C ． 13D ． 14二.填空题:本大题共5个小题，每小题4分，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上. 11. 不等式125<-x 的解集为： . 12. 在各项都为正项的等比数列{a n }中a 1 = 3, S 3 = 21 , 则a 3+ a 4+ a 5 = .13. 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－ 1114，且α、β∈)2,0(π，则cos β的值为14．在ABC ∆中，3=a ，1=b ， 30=B ，则ABC ∆的面积为____________15．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n =911，则n=三.填空题:本大题共5个小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题8分）已知函数2()1,()f x x ax a a R =+++∈． （Ⅰ）当5a =时，解不等式：()0f x <；（Ⅱ）若不等式()0f x >对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．17．（本题10分）已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++ ， （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的最大值和最小值．18．（本题10分）等比数列{}n a 中，已知16,252==a a （1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）若等差数列{}n b ，2851,a b a b ==，求数列{}n b 前n 项和n S ，并求n S 最大值．19.( 本题满分10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a, b, c ，若21=-C sin B sin C cos B cos ． （Ⅰ）求A.（Ⅱ）若432=+=c b ,a ，求△ABC 的面积．20．( 本题满分12分)已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n na ab a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．2013学年第二学期期中杭州地区六校联考高一年级数学学科参考答案一．选择题：（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDACBBCBAD二．填空题：（每小题4分，共20分）11．{x|x<2或x>7} 不写集合扣2分 12．84 13．2114.33或只写一个答案扣2分 15．471三．解答题：（本大题共5小题，共50分）16 解：（Ⅰ）当a=5时，不等式即 f （x ）=x 2+5x+6＜0，解得﹣3＜x ＜﹣2，所以，不等式的解集为（﹣3，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分 （Ⅱ）f （x ）=x 2+ax+a+1＞0的解集为R ，则有△=a 2﹣4（a+1）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） 解得，即实数a 的取值范围为（﹣2+2，2+2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）17、解 ：（Ⅰ）由题设得：f （x ）=（sinx+cosx ）2+2cos 2x=1+sin2x+2cos 2x =sin2x+cos2x+2=， --------------------------- （2分）∴f （x ）的最小正周期为π，---------------------------------------------------（3分） 令（k ∈Z ）得，≤x ≤，k ∈z∴f （x ）的单调递减区间为[，]（k ∈Z ）．----------------------（5分） （Ⅱ）∵x ∈[0，]，∴，----------------------（6分）∴，----------------------（8分）∴，∴当x=时，f （x ）取到最小值为1，----------------------（9分） 当x=时，f （x ）取到最大值为2+．----------------------（10分）18、解：（1）由{}n a 等比数列，得12,1q a == ……………2分12n n a -= …………4分（2）由{}n b 等差数列，得2d =- ……………5分217n S n n =- ……………7分当8n =或9时n S 有最大值 （少一个扣一分） ……………9分 所以，8972S S == ……………10分 19、(10分)Ⅰ)原式可化为： 12021cos 21=∴-==+A A C B cos 即：）（ ……………………3分Ⅱ) 由余弦定理可知：bc 16bc c b bc c b 120bc 2c b 32222222-=-+=++=-+=)(cos )(∴bc = 4， ……………………7分323421120421A bc 21S =⋅⋅=⋅⋅==∆ sin sin ……………………10分 20、解：（Ⅰ）由题知2317a a a =，设{}n a 的公差为d ，则()()211126a d a a d +=+，212a d d =，0d ≠∴12a d =． ………………2分又23a =，∴13a d +=12,1a d == ……………… 3分1n a n ∴=+． ……………… 4分（Ⅱ）11121122112n n n n n a a n n b a a n n n n ++++=+=+=+-++++． ……………… 6分 12111111222233412n n S b b b n n =++=+-++-+++-++ 1122222(2)nn n n n =+-=+++． ……………… 8分 （III ）1(2)2()=2()n n n n a n c n nλλ++=--，使数列{}n c 是单调递减数列， 则12(3)22()01n n n n n c c n nλ+++-=--<+对*∈N n 都成立 ………… 9分即max 2(3)22(3)20()11n n n n n n n nλλ++++--<⇒>-++………… 10分设2(3)2()1n n f n n n++=-+ 2(4)32(3)2(1)()211n n n n f n f n n n n n +++++-=--++++ 2(4)23(3)21n n n n n n +++=+-++ 42621321n n n =+++--++ ()()()2212n n n n -=++ ……………… 11分 (1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ∴<=>>>当2n =或3n =时，max 4()3f n =所以max 2(3)24()13n n n n ++-=+ 所以43λ>． ……………… 12分。

2014-2015学年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校九年级（上）期中数学试卷一、仔细选一选1．（3分）已知，则的值是（）A．B．C．D．2．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放《十二在线》C．射击运动员射击一次，命中十环D．方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根3．（3分）如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°4．（3分）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：则该函数图象过点（）A．（﹣4，﹣6）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣5，﹣2）D．（﹣5，﹣3）5．（3分）⊙O的半径为10cm，两平行弦AC，BD的长分别为12cm，16cm，则两弦间的距离是（）A．2cm B．14cm C．6cm或8cm D．2cm或14cm6．（3分）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB 绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2） C．（，2）D．（2，）7．（3分）如图，抛物线y=x2+m与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x 的不等式+x2+m＜0的解集是（）A．x＞1 B．x＜﹣1 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜08．（3分）已知k===，则y=kx﹣k一定经过第（）象限．A．一、二B．一、三C．一、四D．三、四9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是AC的中点，过D作DE⊥AB于点E，连结BD．若AD=5，AE=4，则BD的长为（）A．2B． C．D．10．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③二、认真填一填11．（3分）已知实数a=4，b=16，则a，b的比例中项c=．12．（3分）已知二次函数y=﹣x2+n，则此二次函数图象的对称轴为．13．（3分）在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数．14．（3分）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是．15．（3分）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是．16．（3分）在△ABC中，AB=4cm，AC=6cm，Q是直线AB上一点且AQ=1cm，P 从点C出发，以2cm/s的速度沿着射线CA方向运动，则当P点运动的时间t为时，△AQP与△ABC中正好有两个内角相等．三、全面答一答17．如图，四边形BDEF是直角三角形ABC的内接正方形，如果AB=6，BC=4，求此内接正方形的边长DE．18．甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣1，2，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣4，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A 的坐标为（x，y）．（1）请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况；（2）求点A落在y=x2+x﹣4的概率．19．如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC+8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）设BP=x，CM=y，求y与x的函数解析式；（3）当△APM为等腰三角形时，求PB的长．20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，BC=8，AB=10，动点M 在线段BC上从点C向点B运动．MN∥AB交AC于点N，四边形CMEN关于MN 对称，△ABC与△ABD及四边形CMEN与四边形DPFQ都关于直线AB对称．（1）求四边形ACBD的面积；（2）若E在PQ上方（包括在PQ上），且设MN=x，△EMN和△FPQ与六边形ANMBPQ不重叠部分的面积为S，求S与x函数关系式；（3）在（2）的条件下，当x为何值时，S有最小值，并求出S的最小值．2014-2015学年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选1．（3分）（2012•凉山州）已知，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：令a，b分别等于13和5，∵，∴a=13，b=5∴==；故选D．2．（3分）（2014•黔南州）下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放《十二在线》C．射击运动员射击一次，命中十环D．方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根【解答】解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，随机事件，故本选项错误；B、打开电视频道，正在播放《十二在线》，随机事件，故本选项错误；C、射击运动员射击一次，命中十环，随机事件，故本选项错误；D、因为在方程x2﹣2x﹣1=0中△=4﹣4×1×（﹣1）=8＞0，故本选项正确．故选：D．3．（3分）（2014秋•西湖区校级期中）如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°【解答】解：连接BC，∵AB是半圆的直径，∴∠C=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，∵D是的中点，∴∠DAC=∠ABC=35°．故选：B．4．（3分）（2014秋•西湖区校级期中）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：则该函数图象过点（）A．（﹣4，﹣6）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣5，﹣2）D．（﹣5，﹣3）【解答】解：∵x=﹣3、x=﹣1时的函数值都是﹣3，相等，∴函数图象的对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2），∴当x=﹣4时的函数值与x=0时的函数值相等，∴该函数图象过点（﹣4，﹣6），故选A．5．（3分）（2014秋•西湖区校级期中）⊙O的半径为10cm，两平行弦AC，BD 的长分别为12cm，16cm，则两弦间的距离是（）A．2cm B．14cm C．6cm或8cm D．2cm或14cm【解答】解：如图①作OE⊥AC垂足为E，交BD于点F，∵OE⊥AC AC∥BD，∴OF⊥BD，∴AE=AC=6cm BF=BD=8cm，在Rt△AOE中OE===8cm同理可得：OF=6cm∴EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm；如图②同理可得：EF=OE+OF=8+6=14cm综上所述两弦之间的距离为2cm或14cm．故选D．6．（3分）（2013•淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2） C．（，2）D．（2，）【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，∴4=a×（﹣2）2，解得：a=1∴解析式为y=x2，∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），∴OB=OD=2，∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD∥x轴，∴点D和点P的纵坐标均为2，∴令y=2，得2=x2，解得：x=±，∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：（，2）故选：C．7．（3分）（2014秋•西湖区校级期中）如图，抛物线y=x2+m与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+m＜0的解集是（）A．x＞1 B．x＜﹣1 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0【解答】解：如图作抛物线y=x2+m关于x轴对称的抛物线y=﹣x2﹣m，设抛物线y=﹣x2﹣m与y=的交点为A′，由对称性可知，A与A′关于原点对称（两个抛物线、一个反比例函数的图象关于原点成中心对称），∴A′点的横坐标为﹣1，由图象可知＜﹣x2﹣m时，x的取值范围为﹣1＜x＜0，∴+x2+m＜0的解集为﹣1＜x＜0；8．（3分）（2014秋•西湖区校级期中）已知k===，则y=kx﹣k一定经过第（）象限．A．一、二B．一、三C．一、四D．三、四【解答】解：1）当a+b+c=0时，b+c=﹣a，∴k==﹣1，则直线是：y=﹣x+1，则经过一、二，四象限；2）当a+b+c≠0时，k==，则直线是：y=x﹣，一定经过第一、三、四象限∴直线y=kx+2k一定经过第一、四象限．故选C．9．（3分）（2014秋•西湖区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是AC的中点，过D作DE⊥AB于点E，连结BD．若AD=5，AE=4，则BD的长为（）A．2B． C．D．【解答】解：连接BC，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∵AD=5，AE=4，∴DE=3，∵D是AC的中点，AD=5，∴AC=2AD=10，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，即，∴BC=，∴BD===，故选C．10．（3分）（2013•义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，∴=﹣3，则a=﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a=﹣，﹣=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选D．二、认真填一填11．（3分）（2014秋•西湖区校级期中）已知实数a=4，b=16，则a，b的比例中项c=±8．【解答】解：∵c是a、b的比例中项，∴c2=ab=64，∴c=±8，故答案为：±8．12．（3分）（2014秋•西湖区校级期中）已知二次函数y=﹣x2+n，则此二次函数图象的对称轴为x=0．【解答】解：二次函数y=﹣x2+n中a=﹣1，b=0，所以对称轴为x=﹣=0，故答案为：x=0．13．（3分）（2015•枣庄）在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数6．【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得=，解得x=6，所以黄球的个数为6个．故答案为6．14．（3分）（2013•兰州）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k 与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是﹣2＜k＜．【解答】解：由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x，联立消掉y得，x2﹣2x+2k=0，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，即k=时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（，），∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k=0，解得k=﹣2，∴要使抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜．故答案为：﹣2＜k＜．15．（3分）（2013•南昌）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是2，3，4．【解答】解：如图1，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，∴∠ACB=∠AOB=60°，∴点C在以点O为圆心的圆上，且在优弧AB上．∴OC=AO=BO=2；如图2，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，∴∠AOB+∠ACB=180°，∴四个点A、O、B、C共圆．设这四点都在⊙M上．点C在优弧AB上运动．连接OM、AM、AB、MB．∵∠ACB=60°，∴∠AMB=2∠ACB=120°．∵AO=BO=2，∴∠AMO=∠BMO=60°．又∵MA=MO，∴△AMO是等边三角形，∴MA=AO=2，∴MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4，∴OC可以取整数3和4．综上所述，OC可以取整数2，3，4．故答案是：2，3，4．16．（3分）（2014秋•西湖区校级期中）在△ABC中，AB=4cm，AC=6cm，Q是直线AB上一点且AQ=1cm，P从点C出发，以2cm/s的速度沿着射线CA方向运动，则当P点运动的时间t为，，，时，△AQP与△ABC中正好有两个内角相等．【解答】解：由题意可知：CP=2t，当Q在△ABC的外部时，如图所示，∴AP=2t﹣6，由于△AQP∽△ABC，∴或解得：t=或当Q在△ABC的内部时，如图所示，∴AP=2t，由于△AQP∽△ABC，∴或∴t=或故答案为：，，，三、全面答一答17．（2014秋•西湖区校级期中）如图，四边形BDEF是直角三角形ABC的内接正方形，如果AB=6，BC=4，求此内接正方形的边长DE．【解答】解：如图，∵四边形BDEF是正方形，∴∠B=∠BDE=∠BFE=90°，BD=DE=BF=EF，BD∥EF，BF∥DE，∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CAB，∴，，∴=1，∴=1，∴DE=．18．（2016秋•龙游县期末）甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣1，2，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣4，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为（x，y）．（1）请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况；（2）求点A落在y=x2+x﹣4的概率．【解答】解：（1）列表如下：总共有9种等可能的结果；（2）∵（﹣1，﹣4），（2，2）在函数y=x2+x﹣4上，∴点A落在y=x2+x﹣4的概率P=．19．（2014秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC+8，点P 为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）设BP=x，CM=y，求y与x的函数解析式；（3）当△APM为等腰三角形时，求PB的长．【解答】（1）证明：∵∠APC=∠B+∠BAP，即∠APM+∠CPM=∠B+∠BAP，而∠APM=∠B，∴∠BAP=∠CPM，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCM；（2）解：BP=x，则PC=8﹣x，∵△ABP∽△PCM，∴PB：CM=AB：PC，即x：y=5：（8﹣x），∴y=﹣x2+x；（3）解：当AP=AM时，则∠APM=∠AMC=∠B，而∠AMC＞∠C，不合题意舍去；当PA=PM时，∴△ABP≌△PCM，∴BP=CM，即x=y，∴﹣x2+x=x，解得x1=0，x2=3，此时PB的长为3；当MA=MP时，∴∠APM=∠PAM，∵∠APM=∠B=∠C，∴△MAP∽△ABC，PA=PC=8﹣x∴MA：AB=PA：BC，即（6﹣y）：6=（8﹣x）：8，∴4y=3x，即4（﹣x2+x）=3x，整理得4x2﹣17x=0，解得x1=0，x2=，此时PB的长为，综上所述，PB的长为3或．20．（2014秋•西湖区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，BC=8，AB=10，动点M在线段BC上从点C向点B运动．MN∥AB交AC 于点N，四边形CMEN关于MN对称，△ABC与△ABD及四边形CMEN与四边形DPFQ都关于直线AB对称．（1）求四边形ACBD的面积；（2）若E在PQ上方（包括在PQ上），且设MN=x，△EMN和△FPQ与六边形ANMBPQ不重叠部分的面积为S，求S与x函数关系式；（3）在（2）的条件下，当x为何值时，S有最小值，并求出S的最小值．【解答】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AB=10，BC=8，∴AC===6，=•BC•AC=×8×6=24．∴S△ABC由题意可知S=2•S△ABC=48．四边形ACBD（2）①如图1中，连接CD交MN于G，交PQ于H，交AB于L．∵•AB•CL=•AC•BC，∴CL=，由△CMN∽△CAB，可得=，∴=，∴CG=EG=FH=DH=x，如果4×x=，解得x=5∴当0＜x≤5时，S=48﹣4××x×x=48﹣x2．②如图2中，当5＜x≤时，S=四边形AMRP的面积+四边形BNFQ的面积=2××（8﹣x）×（﹣x）+2××（6﹣x）（﹣x）=x2﹣x+96．综上所述，S=．（3）由（2）可知，当0＜x≤5时，S=48﹣x2．当x=5时，S有最小值，最小值为24．当5＜x≤时，S=x2﹣x+96=（x﹣10）2，∴x=时，S有最小值，最小值为．综上所述，S的最小值为．参与本试卷答题和审题的老师有：lantin；qingli；家有儿女；张其铎；73zzx；sjzx；弯弯的小河；王学峰；dbz1018；gsls；星期八；神龙杉；zcx（排名不分先后）菁优网2017年5月12日。

杭州市保俶塔实验学校2014年中考二模数学试题卷考生须知:1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分. 满分120分，考试时间100分钟.2. 答题时，不能使用计算器,在答题卡指定位置内写明校名，姓名和班级，填涂考生号.3. 所有答案都必须做在答题卡标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应.4. 考试结束后, 只需上交答题卡.一. 仔细选一选 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分) 下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的, 请把正确选项前的字母在答题卡中相应的方框内涂黑. 注意可以用多种不同的方法来选取正确答案. 1．以下值可能．．为负数的是（ ） （A ）1-2 （B ）x 2+x （C（D ）x 2-2x +12．如图，直线a 、b 被直线c 所截，若图中8个角的平均数为A ，则A 的值为（ ） （A ）45A = （B ）4590A << （C ）90A = （D ）90180A <<3．如图，直线l 与半径为5的⊙O 相交于A 、B 两点，且与半径OC 垂直，垂足为H ．若AB =8cm ，l 要与⊙O 相切，则l 应沿OC 所在直线向下平移（ ）cm ． （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 4．关于x 的一元二次方程32=++c bx ax 的一个根为2， 且二次函数c bx ax y ++=2的对称轴是直线2=x ，则此抛物线的顶点坐标为（ ）（A ） (2,-3) （B ） (2,1) （C ） (2,3) （D ）(2,0)5．如图，将△ABC 沿直线AB 翻折后得到△1ABC ，再将△ABC 绕点A 旋转后得到△22C AB ，对于下列两个结论：①“△1ABC 能绕一点旋转后与△22C AB 重合”；②“△1ABC 能沿一直线翻折后与△22C AB 重合”的正确性是（ ） （A ）结论①、②都正确 （B ）结论①、②都错误 （C ）结论①正确、②错误 （D ）结论①错误、②正确 6．已知某几何体的三视图，则该几何体的全面积是（ ） （A ）15π （B ）21π （C ）24π （D ）39π（第5题）Cl27．设函数2(41)1y kx k x =+++ (0k <)，若当x <m 时，y 随着x 的增大而增大，则m 的值可以是（ ）.（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）-28．有B A ,两粒质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）， 小王掷A , 朝上的数字记作x ；小张掷B ,朝上的数字记作y . 在平面坐标系中有一矩形, 四个点的坐标分别为(0，0)，(6，0)，(6，4)和(0，4). 小王小张各掷一次所确定的点P 落在矩形内的概率是（ ）（A ）13 （B ）512 （C ）12 （D ）7129．如图，一次函数24y x =-+的图像与坐标轴分别交于A 、B 两点，点P 在直线AB 上运动（点P 不与A ，B 两点重合），反比例函数ky x=过点P ，则k 的最大值是（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）810．用列表法画二次函数2y ax bx c =++的图象时先列一个表,当表中对自变量的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）（A ）506 （B ）380 （C ）274 （D ）182二. 认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)要注意认真看清题目的条件和要填写的内容, 尽量完整地填写答案.11．在实数范围内分解因式：822-x = ▲ ．12．为了解某校九年级女生1分钟仰卧起坐的次数，从中随机抽查了50名女生参加测试，被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起坐的次数在40～45的频率是 ▲ ．13．若方程组⎩⎨⎧=+=-5212y ax y ax 的解是⎩⎨⎧==b y a x ，则b a = ▲ ． 14．当x 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧-<--<+)4(31)4(21331x x x x 时，方程2250x x --=的根是▲ ．15．有一个ABC Rt ∆，090=∠A ，060=∠B ，1=AB ，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数xy 3=的图象上，则点C 的坐标 ▲ ．16．△ABC 中，AB = 12，AC = 8，P 是BC 上的一点，且BP = 2PC ，设Q 是△ABC 某边上的一点，如果PQ 截得的三角形与原三角形相似，且它们的面积比是1：4，则AQ 的长为 ▲ ．（每组可含最小值，不含最大值）（第12题）九年级数学 第3页 共4页三. 全面答一答 (本题有7个小题, 共66分) 解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难, 那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.17．（本题满分6分）如图：已知△ABC ．（1）画出△ABC 沿着BC 的方向平移后的△ECF （其中点B 平移到点C ）．（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）用（1）中的图形证明“三角形内角和等于180°”． 18．（本题满分8分）如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB =2，∠B =30°，C 是弦AB 上任意一点 （不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD .（1）弦长AB （结果保留根号）； （2）当∠D =20°时，求∠BOD 的度数．19．（本题满分8分）某住宅小区的物业管理部门为解决住户停车困难，将一条道路辟为停车场，停车位置如图所示．已知矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位，其中AB=5.4米，BC=2.2米，∠DCF =40°．请计算一个停车位所占道路的“竖直宽度”EF 的大小和“水平宽度”CG 的大小（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84 ）．20．（本题满分10分）2013年，中国经济社会发展克服了重重困难，坚毅前行．全年国内生产总值达亿元，四个季度国内生产总值同比增长率如表：（1）求这四个季度的同比增长率的众数和中位数； （2）求这四个季度的平均同比增长率（精确到0.1％）；（3）十二届全国人大二次会议的《政府工作报告》中，把2014年国内生产总值增长目标确定为7.5％左右，请利用提供的数据，预测2014年国内生产总值是否会突破亿元?21．（本题满分10分）已知在△ABC 中，∠ABC =90°，延长AB 到点P ，使得BP =AB ， 过点P 作PQ ⊥AC ，垂足为Q ，连接PC ． （1）求证：△ABC ≌△PBC ； （2）求证：△AQP ∽△ABC ； （3）连接BQ ，若BQ =2，且ABBC=3，求PQ 的长． C A422．（本题满分12分）设k ≠0，若函数y 1=kx +3，y 2=（x -k ）2+k 和y 3=（x +k ）2-k 的图象与y 轴依次交于A ，B 和C 三点，函数y 2，y 3的图象的顶点分别为D ，E ．（1）当k =1时，请在直角坐标系中，分别画出函数y 1，y 2，y 3的草图．并根据图象，写出你发现的两条结论；（2）BC 长与k 之间是正比例函数关系吗?请作出判断，并说明理由； （3）若△ADE 的面积等于9，求y 2随x 的增大而减小时，x 的取值范围．23．（本题满分12分）如图：已知，∠MON =α，点P 是∠MON 的平分线OT 上的一动点，射线P A 交直线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB ＋∠MON ＝180°． （1）如图1，当点A 在射线OM 上时, 请直接写出P A 与PB 的数量关系，并用含α的代数式表示∠PBA ；（2）在（1）的条件下，若点C 是直线AB 与直线OP 的交点，当PB =2PC ，S △PCB = 4时，求S △POB 的值； （3）若∠MON ＝60°，直线P A 交射线ON 于点D ，且满足∠PBD ＝∠ABO ，设OB ＝x（x ＞0），OP = y ，求y 关于x 的函数关系式．（第22题）图1 B M TN O P A MTNO 备用图 M T N O 备用图九年级数学 第5页 共4页F E C BA2014年中考二模数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）1．B ； 2．C ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ．7．D ； 8．B ； 9．A ； 10．C ． 二．填空题：（本大题共6题，满分24分） 11．)2)(22-+x x （； 12．0.62； 13． 14．115．（0.5，0），（-0.5,0），（3.5，0），（-3.5，0）； 16．2或7.5． 三、（本大题共7题, 满分66分）17．（1）画图正确得3分 或用画平行线的方法进行（但需作角相等）（2）∵AB ∥EC ，∴∠A=∠ACE ，∠B=∠ECF …………1分又∵∠ACE+∠ECF+∠ACB=180° …………1分 ∴∠A+∠B+∠ACB=180° …………1分 18．解：（1） ………………………………………………………4分 （2）连接OA ，∵OA=OB ，OA=OD ，∴∠BAO=∠B ，∠DAO=∠D ，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D ，……………………………2分 又∵∠B=30°，∠D=20°， ∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100° …………………………………………2分 19．解：由题意知∠DFC = 90°，∠DEA = 90°，∠DCF = 40° 又∵ABCD 是矩形∴AB = CD = 5.4 米 BC = AD = 2.2米 且∠ADC = 90° ∵∠DCF + ∠CDF = 90°且∠ADE + ∠CDF = 90° ∴∠DCF =∠ADE = 40° ……………………………………1分在Rt △DCF 中，sin ∠DCF =CD DFDF = CD sin ∠DCF=5.4×sin40°≈5.4×0.64=3.456 在Rt △DAE 中，COS ∠ADE =ADDEDE = AD cos ∠ADE=2.2×cos40°≈2.2×0.77=1.694EF=DE+DF ≈3.456+1.694=5.2 ……………………………………3分∵AG//CD ∴ ∠BGC=DCF= 40°…………………………………1分在Rt △BGC 中，sin ∠BGC =CGBCCG =64.02.240sin BGC sin BC ==∠BC ≈3.4 ……………………………2分6∴停车位所占道路的“竖直宽度”EF 约为5.2米，“水平宽度”CG 约为3.4米．…………1分 20．解：（1）众数是7.7%，中位数是7.7%…………4分 （2）平均数是7.675%≈7.7%…………3分 （3）会突破因为560000+%=⨯（17.5）602000亿元>600000亿元…………3分21．解：（1）∵90ABC ∠=︒，延长AB 到点P ∴90AQP ABC ∠=∠=︒ ∵,BP AB BC CB == ∴ABC PBC △≌△…………3分 （2）∵PQ AC ⊥ ∴90AQP ABC ∠=∠=︒∵A A ∠=∠ ∴△AQP ∽△ABC …………3分 （3）∵RT △APQ 中，AB=BP ∴12BQ =AP ∴AP =4，AB =2∵3BCAB= ∴BC =6，AC= …………2分 ∵△AQP ∽△ABC ∴AC BC AP PQ =∴PQ = …………2分 22．解：（1）当1k =时，如图. …………2分结论：答案不唯一，如：点D 和点E 关于点C 中心对称；C 即为原点；1=AB ；2==CE CD ；BC AB 21=等. …………2分 （2）2222y x kx k k =-++，2232y x kx k k =++-则2BC k =，…………2分即BC 不是关于k 的正比例函数. …………2分 （3）A （0，3），D （k ，k ），E （k -，k -），则12332ADE S k k ∆=⋅⋅=，则39k =，解得3k =±，…………2分所以当3k =时，y 2=（x -3）2+3中，当3≤x 时，y 2随x 的增大而减小； …………1分九年级数学 第7页 共4页所以当3k =-时，y 2=（x+3）2+3中，当3x ≤-时，y 2随x 的增大而减小. …………1分23.解：（1）P A =PB …………2分 ，∠PBA =12α …………2分（2）如图（1），由（1）得：∠PBA =12α，∵OT 平分∠MON∴∠BOP =12α ∴∠PBA =∠BOP ∵∠BPO =∠BPO∴△PBC ∽△POB ∴221124PBC POB S PC S PB ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴S △POB = 4 S △PCB =16. …………4分（3）当点A 在射线OM 上时，如图（2） ∵∠APB +∠MON =180°，∠MON =60° ∴∠APB =120° ∵P A =PB ∴∠P AB =∠PBA =30° ∵∠PBD ＝∠ABO ∴∠PBD ＝∠ABO =75° 作BE ⊥OP 于点E ∵∠MON =60° ∴∠BOE =30°∵OB = x ∴BE =12x OEx∵∠EBP =∠EPB =45° ∴PE =BE =12x∴y x = ………2分当点A 在MO 延长线上时，如图（3）此时∠AOB =∠APB =120°∵∠PBD ＝∠ABO ∠PBA =30° ∴∠PBD ＝∠ABO =15°作BE ⊥OP 于点E则∠BOE =30° ∵OB = x ∴BE =12x ， OEx∵∠EBP =∠EPB =45°∴PE =BE =12xy x =…………2分M TNO图2AP D EMTNO 图3PAB DE MTNOPACB 图1。

2014年省市中考数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．3a•（﹣2a）2=（）A．﹣12a3B．﹣6a2C．12a3D．6a32．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm23．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°4．（3分）（2014•）已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（）A．a是无理数B．a是方程x2﹣8=0的解C．a是8的算术平方根D．a满足不等式组5．（3分）（2014•）下列命题中，正确的是（）A．梯形的对角线相等B．菱形的对角线不相等C．矩形的对角线不能相互垂直D．平行四边形的对角线可以互相垂直6．（3分）（2014•）函数的自变量x满足≤x≤2时，函数值y满足≤y≤1，则这个函数可以是（）A．y=B．y=C．y=D．y=7．（3分）（2014•）若（+）•w=1，则w=（）A．a+2（a≠﹣2）B．﹣a+2（a≠2）C．a﹣2（a≠2）D．﹣a﹣2（a≠﹣2）8．（3分）（2014•）已知2001年至2012年市小学学校数量（单位：所）和在校学生人数（单位：人）的两幅统计图．由图得出如下四个结论：①学校数量2007年～2012年比2001～2006年更稳定；②在校学生人数有两次连续下降，两次连续增长的变化过程；③2009年的大于1000；④2009～2012年，相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是2011～2012年．其中，正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．①②D．③④9．（3分）（2014•）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于（）A．B．C．D．10．（3分）（2014•）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A．1+tan∠ADB=B．2BC=5CF C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB=二、认真填一填（本题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2014•）2012年末统计，市常住人口是880.2万人，用科学记数法表示为_________ 人．12．（4分）（2014•）已知直线a∥b，若∠1=40°50′，则∠2= _________ ．13．（4分）（2014•）设实数x、y满足方程组，则x+y= _________ ．14．（4分）（2014•）已知市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是_________ ℃．15．（4分）（2014•）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为_________ ．16．（4分）（2014•）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH=AC，则∠ABC所对的弧长等于_________ （长度单位）．三、全面答一答（本题共7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）（2014•）一个布袋中装有只有颜色不同的a（a＞12）个球，分别是2个白球，4个黑球，6个红球和b个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整）．请补全该统计图并求出的值．18．（8分）（2014•）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．19．（8分）（2014•）设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．20．（10分）（2014•）把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．21．（10分）（2014•）在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣x，y=x的图象分别是直线l1，l2，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l1，l2中的两条相切．例如（，1）是其中一个圆P的圆心坐标．（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．22．（12分）（2014•）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=4，动点P 在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP=x．（1）用含x的代数式分别表示S1，S2；（2）若S1=S2，求x的值．23．（12分）（2014•）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k 是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．2014年省市中考数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2014•）3a•（﹣2a）2=（）A．﹣12a3B．﹣6a2C．12a3D．6a3考点：单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方．分析：首先利用积的乘方将括号展开，进而利用单项式乘以单项式求出即可．解答：解：3a•（﹣2a）2=3a×4a2=12a3．故选：C．2．（3分）（2014•）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2解答：解：∵底面半径为3，高为4，∴圆锥母线长为5，∴侧面积=2πrR÷2=15πcm2．故选B．3．（3分）（2014•）在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°解答：解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，又∵tanB=，∴AC=BC•tanB=3tan50°．故选D．4．（3分）（2014•）已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（）A．a是无理数B．a是方程x2﹣8=0的解C．a是8的算术平方根D．a满足不等式组解答：解：a==2，则a是a是无理数，a是方程x2﹣8=0的解，是8的算术平方根都正确；解不等式组，得：3＜a＜4，而2＜3，故错误．故选D．5．（3分）（2014•）下列命题中，正确的是（）A．梯形的对角线相等B．菱形的对角线不相等C．矩形的对角线不能相互垂直D．平行四边形的对角线可以互相垂直解答：解：A、等腰梯形的对角线相等，所以A选项错误；B、菱形的对角线不一定相等，若相等，则菱形变为正方形，所以B选项错误；C、矩形的对角线不一定相互垂直，若互相垂直，则矩形变为正方形，所以C选项错误；D、平行四边形的对角线可以互相垂直，此时平行四边形变为菱形，所以D选项正确．故选D．6．（3分）（2014•）函数的自变量x满足≤x≤2时，函数值y满足≤y≤1，则这个函数可以是（）A．y=B．y=C．y=D．y=解答：解：A、把x=代入y=可得y=1，把x=2代入y=可得y=，故此选项正确；B、把x=代入y=可得y=4，把x=2代入y=可得y=1，故此选项错误；C、把x=代入y=可得y=，把x=2代入y=可得y=，故此选项错误；D、把x=代入y=可得y=16，把x=2代入y=可得y=4，故此选项错误；故选：A．7．（3分）（2014•）若（+）•w=1，则w=（）A．a+2（a≠﹣2）B．﹣a+2（a≠2）C．a﹣2（a≠2）D．﹣a﹣2（a≠﹣2）解解：根据题意得：W==答：=﹣（a+2）=﹣a﹣2．故选：D．8．（3分）（2014•）已知2001年至2012年市小学学校数量（单位：所）和在校学生人数（单位：人）的两幅统计图．由图得出如下四个结论：①学校数量2007年～2012年比2001～2006年更稳定；②在校学生人数有两次连续下降，两次连续增长的变化过程；③2009年的大于1000；④2009～2012年，相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是2011～2012年．其中，正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．①②D．③④解答：解：①根据条形统计图可知，学校数量2001～2006年下降幅度较大，最多1354所，最少605所，而2007年～2012年学校数量都是在400所以上，440所以下，故结论正确；②由折线统计图可知，在校学生人数有2001年～2003年、2006年～2009年两次连续下降，2004年～2006年、2009年～2012年两次连续增长的变化过程，故结论正确；③由统计图可知，2009年的在校学生445192人，学校数量417所，所以2009年的==1067＞1000，故结论正确；④∵2009～2010年学校数量增长率为≈﹣2.16%，2010～2011年学校数量增长率为≈0.245%，2011～2012年学校数量增长率为≈1.47%，1.47%＞0.245%＞﹣2.16%，∴2009～2012年，相邻两年的学校数量增长最快的是2011～2012年；∵2009～2010年在校学生人数增长率为≈1.96%，2010～2011年在校学生人数增长率为≈2.510%，2011～2012年在校学生人数增长率为≈1.574%，2.510%＞1.96%＞1.574%，∴2009～2012年，相邻两年的在校学生人数增长最快的是2010～2011年，故结论错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选B．9．（3分）（2014•）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于（）A．B．C．D．解答：解：列表如下：1 2 3 41 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是2的倍数或3的倍数情况有10种，则P==．故选C10．（3分）（2014•）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A．1+tan∠ADB=B．2BC=5CF C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB=解答：解：如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，由轴对称性得，AB=AE，设为1，则BE==，∵点E与点F关于BD对称，∴DE=BF=BE=，∴AD=1+，∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，∴四边形ABCE是正方形，∴BC=AB=1，1+tan∠ADB=1+=1+﹣1=，故A选项结论正确；CF=BF﹣BC=﹣1，∴2BC=2×1=2，5CF=5（﹣1），∴2BC≠5CF，故B选项结论错误；∠AEB+22°=45°+22°=67°，在Rt△ABD中，BD===，sin∠DEF===，∴∠DEF≠67°，故C选项结论错误；由勾股定理得，OE2=（）2﹣（）2=，∴OE=，∵∠EBG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BEF=90°，∴∠AGB=∠BEF，又∵∠BEF=∠DEF，∴4cos∠AGB===，故D选项结论错误．故选A．二、认真填一填（本题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2014•）2012年末统计，市常住人口是880.2万人，用科学记数法表示为8.802×106人．解答：解：880.2万=880 2000=8.802×106，故答案为：8.802×106．12．（4分）（2014•）已知直线a∥b，若∠1=40°50′，则∠2= 139°10′．解答：解：∠3=∠1=40°50′，∵a∥b，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°50′=139°10′．故答案为：139°10′．13．（4分）（2014•）设实数x、y满足方程组，则x+y= 8 ．解答：解：，①+②得：x=6，即x=9；①﹣②得：﹣2y=2，即y=﹣1，∴方程组的解为，则x+y=9﹣1=8．故答案为：814．（4分）（2014•）已知市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是15.6 ℃．解答：解：把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2=15.6（℃），则这六个整点时气温的中位数是15.6℃；故答案为：15.6．15．（4分）（2014•）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2 ．解答：解：∵点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3，当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+k，则，解得，所以，y=（x﹣1）2+=x2﹣x+2，当对称轴为直线x=3时，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+k，则，解得，所以，y=﹣（x﹣3）2+=﹣x2+x+2，综上所述，抛物线的函数解析式为y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．故答案为：y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．16．（4分）（2014•）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH=AC，则∠ABC所对的弧长等于πr或r （长度单位）．解答：解：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠H+∠DBH=90°，∠C+∠DBH=90°，∴∠H=∠C，又∵∠BDH=∠ADC=90°，∴△ACD∽△BHD，∴=，∵BH=AC，∴=，∴∠ABC=30°，∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2=60°，∴∠ABC所对的弧长==πr．如图2，∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°，∴∠ABC所对的弧长==πr．故答案为：πr或r．三、全面答一答（本题共7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）（2014•）一个布袋中装有只有颜色不同的a（a＞12）个球，分别是2个白球，4个黑球，6个红球和b个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整）．请补全该统计图并求出的值．解答：解：球的总数：4÷0.2=20（个），2+4+6+b=20，解得：b=8，摸出白球频率：2÷20=0.1，摸出红球的概率：6÷20=0.3，===0.4．18．（8分）（2014•）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．解答：解：在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的对应角相等），∴BF=CE（全等三角形的对应边相等），∵AB=AC，AE=AF，∴BE=BF，在△BEP和△CFP中，，∴△BEP≌△CFP（AAS），∴PB=PC，∵BF=CE，∴PE=PF，∴图中相等的线段为PE=PF，BE=CF．19．（8分）（2014•）设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．解答：解：能．（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，令（4﹣k2）2=1，解得k=±或±，即当k=±或±时，原代数式可化简为x4．20．（10分）（2014•）把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．解答：解：（1）由题意得：三角形的三边长分别为：4，4，4；3，4，5；即不同分段得到的三条线段能组成2个不全等的三角形，如图所示：（2）如图所示：当三边的单位长度分别为3，4，5，可知三角形为直角三角形，此时外接圆的半径为2.5；当三边的单位长度分别为4，4，4．三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为，∴当三条线段分别为3，4，5时其外接圆周长为：2π×2.5=5π；当三条线段分别为4，4，4时其外接圆周长为：2π×=π．21．（10分）（2014•）在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣x，y=x的图象分别是直线l1，l2，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l1，l2中的两条相切．例如（，1）是其中一个圆P的圆心坐标．（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．解答：解：（1）①若圆P与直线l和l2都相切，当点P在第四象限时，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，连接OP，如图1所示．设y=x的图象与x轴的夹角为α．当x=1时，y=．∴tanα=．∴α=60°．∴由切线长定理得：∠POH=（180°﹣60°）=60°．∵PH=1，∴tan∠POH===．∴OH=．∴点P的坐标为（，﹣1）．同理可得：当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣，1）；当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，﹣1）；②若圆P与直线l和l1都相切，如图2所示．同理可得：当点P在第一象限时，点P的坐标为（，1）；当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣，1）；当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，﹣1）；当点P在第四象限时，点P的坐标为（，﹣1）．③若圆P与直线l1和l2都相切，如图3所示．同理可得：当点P在x轴的正半轴上时，点P的坐标为（，0）；当点P在x轴的负半轴上时，点P的坐标为（﹣，0）；当点P在y轴的正半轴上时，点P的坐标为（0，2）；当点P在y轴的负半轴上时，点P的坐标为（0，﹣2）．综上所述：其余满足条件的圆P的圆心坐标有：（，﹣1）、（﹣，1）、（﹣，﹣1）、（，1）、（﹣，1）、（﹣，﹣1）、（，﹣1）、（，0）、（﹣，0）、（0，2）、（0，﹣2）．（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4所示．由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等．∴该图形的周长=12×（﹣）=8．22．（12分）（2014•）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=4，动点P 在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP=x．（1）用含x的代数式分别表示S1，S2；（2）若S1=S2，求x的值．解答：解：（1）①当点P在BO上时，如图1所示．∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=4，∴AC⊥BD，BO=BD=2，AO=AC=2，且S菱形ABCD=BD•AC=8．∴tan∠ABO==．∴∠ABO=60°．在Rt△BFP中，∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，∴sin∠FBP===sin60°=．∴FP=x．∴BF=．∵四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ．∴S1=4S△BFP=4××x•=．∴S2=8﹣．②当点P在OD上时，如图2所示．∵AB=4，BF=，∴AF=AB﹣BF=4﹣．在Rt△AFM中，∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4﹣．∴tan∠FAM==tan30°=．∴FM=（4﹣）．∴S△AFM=AF•FM=（4﹣）•（4﹣）=（4﹣）2．∵四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN．∴S2=4S△AFM=4×（4﹣）2=（x﹣8）2．∴S1=8﹣S2=8﹣（x﹣8）2．综上所述：当点P在BO上时，S1=，S2=8﹣；当点P在OD上时，S1=8﹣（x﹣8）2，S2=（x﹣8）2．（2）①当点P在BO上时，0＜x≤2．∵S1=S2，S1+S2=8，∴S1=4．∴S1==4．解得：x1=2，x2=﹣2．∵2＞2，﹣2＜0，∴当点P在BO上时，S1=S2的情况不存在．②当点P在OD上时，2＜x≤4．∵S1=S2，S1+S2=8，∴S2=4．∴S2=（x﹣8）2=4．解得：x1=8+2，x2=8﹣2．∵8+2＞4，2＜8﹣2＜4，∴x=8﹣2．综上所述：若S1=S2，则x的值为8﹣2．23．（12分）（2014•）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k 是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．解答：解：①真，将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，﹣=，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最==﹣，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．。