2012年--二模数学试卷(定稿A3版)+答案-东城03

乌鲁木齐地区2012年高三年级第二次诊断性测验文理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（文科）选B .【解析】()()()()31324121112i i i i i ii i ----===-++-．（理科）选D .【解析】()()()()()21234432543434325i i i i z i ii i ---+-====---+．2．选A .【解析】运行此程序后输出的值1133y -==．3．选B . 【解析】若l ∥α，则l 与α内的直线平行或异面，排除A 、C ；若l ∥m ，l 不 在平面α内，则l ∥α，故排除D ． 4．（文科）选C .【解析】由已知易得12⋅=-a b ，∴1cos ,2〈〉=-a b ，2,3π〈〉=a b ．（理科）选B .【解析】由题知：3322882C a C a =，解得1a =．5．选C ．【解析】不妨设正方形的边长为2，则22c =，21a =-，∴离心率22c e a=12=.6．选C . 【解析】直线34240x y +-=与坐标轴的两个交点为()8,0A ，()0,6B ，由题知A B 为圆的直径，且10AB =，∴圆的半径是5．7．（文科）选A .【解析】原式11sin cos sin 2cos 244222πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()21112sin24α-=．（理科）选B .【解析】()f x 的最小正周期为6，由题意知：5= ，解得2A =．8．选D .【解析】作出可行区域，如图，由题可知点()22,a 应在点()2,4的上方或与其重合，故2a ≥4，∴a ≥2或a ≤-2，又0a >且1a ≠，∴a ≥2.9．选B .【解析】可知21=x x π-，31=2x x π+，∵2231=x x x ，∴()()2111=2x x x ππ-⋅+，解得1=4x π，∴sin42b π==．10．（文科）选B .【解析】设切点1,ln 2a a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，112y x '=-+，∴11122a -+= ，1a =，故切点11,2⎛⎫-⎪⎝⎭在直线12y x b =+上，有1122b -=+，∴1b =-. （理科）选C .【解析】设切点(),2ln a a +，1y x'=，∴12ln a k aa+==，∴1a e -=，k e =．11．选D .【解析】方程可化为2211x x x --=+或2211x x x --=--，即2320x x --=或20x x -=，所有解之和为4．12．选A ．【解析】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设211,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y Q y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭12()y y ≠.由抛物线定义及||||PF QF =，得22221212122222y y p p y y y y pp+=+⇒=⇒=-，∴1||2||2PQ y ==⇒1||1y =，又1||2222p PF p p=+=⇒=±．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.（文科）填13.【解析】由正弦定理得134sin 53B π==．（理科）填79.【解析】由正弦定理得sin 134sin 53B π==，2cos 212sin B B =-2171239⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭．14．（文科）填41n -.【解析】由题n ≥2时，1n n n a S S -=-22n n =+-22(1)n -(1)n --=41n -，又13411a ==⨯-，∴41n a n =-.（理科）填6.【解析】∵()199599182a a S a +===，∴52a =．设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()()1311111121034a a a a a d a d a d ++=++++=+=536a =．15．填3π.【解析】底面正三角形内切圆半径就是球O的半径1322R =⋅=，∴球O 的表面积243S R ππ==．16．（文科）填500.【解析】设这个学校高一年级的学生人数为x ，有1001260x=，解得500x =.（理科）填12.【解析】记A C B D 、的交点为O ，由于PQ PO O Q =+，∴A P P Q ⋅=()AP PO O Q AP PO ⋅+=⋅，而当P 在线段O C （不含端点O ）上时，AP PO ⋅< 0，∴考虑P 在线段A O上有AP PO +=AP PO AP PO ⋅⋅=≤22AP PO ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭12=，当且仅当2AP PO ==时等号成立．三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分） （文科）（1）()22sin sin cos sin 1f x x x x x =++=+， ∴()f x 的最小正周期为2π；…5分（2）()f x 在,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，又263f f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴6x π=-时，()f x 有最小值1sin 1662f ππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 2x π=时，()f x 有最大值sin 1222f ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. …12分 （理科）（1）请参照（文科）（2）的解答； …6分（2）由题知A 、B 为锐角，∴24sin 25A =，4sin 5B =，()243744sin sin sin cos cos sin 2552555C A B A B A B =+=+=⨯+⨯=，∴()9sin 15f C C =+=. …12分18．（本小题满分12分）（1）过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连结C F ，112B F B E BC ===，∴45BCF ABD ∠==∠，∴BD C F ⊥.∵ AD PAB ⊥平面，∴EF AD ⊥，∴EF ABCD ⊥面， ∴EF BD ⊥，∴BD CEF ⊥面，∴B D C E ⊥； …6分 （2）（文科）取A B 的中点G ，连结P G ，则P G ⊥A B ，又P G A D ⊥, ∴P G ⊥平面A B C D ，四棱锥P A B C D -的体积1()1(41)432323AD BC AB V PG +⋅+=⋅⋅=⋅⨯=…12分 （理科）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -，可取(1,0,0)=m 为平面A B C D 的一个法向量．设平面EAC 的一个法向量为(,,)l m n =n ．则0AC ⋅= n ，0AE ⋅=n ，其中(0,4,1)A C =，3,0)AE =，∴40,30.m n m +=⎧⎪+=∴,4.l n m ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 不妨取1m =-，则1,4)=-n ．cos ,10⋅〈〉===⋅m n m n m n．∴二面角E A C B --10…12分19．（本小题满分12分）（1）6名男应征者的平均身高是181cm ，9名女应征者身高的中位数为168cm ；…4分 （2）（文科）能进入下一环节的男生有3人，女生有4人．记满足条件的3名男生分别为123,,a a a ，4名女生分别为1234,,,b b b b ，则从中任取2人可以表示为：()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()14,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()24,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()33,a b ，()34,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()14,b b ，()23,b b ，()24,b b ，()34,b b ，即基本事件共21个．∴至多有一位男生的概率186217P ==． …12分（理科）能进入下一环节的男生3人，女生4人．X 的可能取值是0，1，2． 则()2427207C P X C===；()114327417C C P X C===；()2327127C P X C===．∴X 的分布列为2416=0+1+2=7777E X ⨯⨯⨯． …12分20.（本小题满分12分） （文科） （1）由题知c =2a ==，∴a =222862b a c =-=-=，∴椭圆C 的方程为22182xy+=； …6分（2）过点(2,1)P 的直线1l 或2l 的方程可设为()12y k x -=-，由()2212,1.82y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()()22221482161640k x k k x k k ++-+--= （*） 其判别式△()()()()2222282414161641621k kk k k k ⎡⎤=--+--=+⎣⎦. ①当点A 、B 中有一点与P 重合，不妨设B 与P 重合，则直线2l 与椭圆C 只有一个交点，∴ 由△()216210k =+=，解得12k =-为2l 的斜率. 由于直线1l 、2l 倾斜角互补，∴12A B A P k k k ==-=.②当点A 、B 中没有点与P 重合，不妨设直线1l 的方程为()12y k x -=-，1l 与椭圆C 相交于不同两点()2,1P 、()11,A x y ，则由（*）式得21216164214k k x k--=+，∴21288214k k x k--=+．同理2l 与椭圆C 相交于不同两点()2,1P 、()22,B x y ，得22288214k k x k+-=+，于是1221614k x x k--=+，()121228414k y y k x x k k--=+-=+，∴212122811416214AB ky y k k k x x k --+===--+． 综合①②，都有12AB k =. …12分（理科）（1）请参照文科（2）的解答； …6分（2）当点A 、B 中有一点与P 重合，不妨设B 与P 重合， 由（1）知1l 的方程为()1122y x -=-，即12yx =，此时椭圆与直线都是关于原点对称的图形，由对称性知()2,1A --，∴AB = 当点A 、B 中没有点与P 重合，14AB k ===+14kk==+≤14k k=，即12k =时取等号）等号取得就是点A 、B中有一点与P 重合的情况，∴AB <综上，A B 取最大值为A B 的方程为12y x =，由对称性知此时焦点到直线A B 的距离为5． …12分21.（本小题满分12分）（1）显然()f x 在R 上连续，且()1x m f x e -'=-，令()0f x '=，得x m =．当(),x m ∈-∞时，1x m e -<，()0f x '<； 当(),+x m ∈∞时，1x m e ->，()0f x '>． 所以，当x m =时，()f m 为极小值，也是最小值．令()1f m m =-≥0，得m ≤1时，有()f x ≥0； …6分 （2）当1m >时，()10f m m =-<，由（1）知()f x 在[]0,2m 上至多有两个零点．因为(0)0m f e -=>，()()00f f m ⋅<，所以()f x 在()0,m 上有一个零点； 又(2)2m f m e m =-，令()2mg m em =-，因为()20mg m e '=->在1m >时成立，所以()g m 在(1,)+∞上单调递增，()(1)20g m g e >=->，即(2)0f m >．∴ ()(2)0f m f m ⋅<，所以()f x 在(),2m m 上也有一个零点；故()f x 在[]0,2m 上有两个零点． …12分22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲（1）连结A C ，由O D 是半径，A D D C =O D AC ⇒⊥，又∵=90BCA ∠⇒B C A C ⊥，于是有O D ∥B C ． …5分（2）由（1）及E A A O =，2ED =，知23O D E D E O B CE CE B===，∴3E C =.∵23ED EC EA EB EA ⋅=⋅=，∴2323EA =⨯，即EA =1C D E C E D =-=，33222BC O D EA ===.∴周长=22AD C D BC BA +++=+. …10分23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（1）l 表示过点()3,0倾斜角为120的直线，曲线C 表示以(),0C a '为圆心，a 为半径的圆．∵l 与C 相切，∴()132a a =-，1a ⇒=．于是曲线C 的方程为2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=，于是222x y x +=故所求C 的直角坐标方程为2220x y x +-=； …5分 （2）∵30POC OPC ''∠=∠=，∴O P =．∴切点P的极坐标为,6π⎛⎫⎪⎝⎭． …10分24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）不等式可化为：1x +≤2，解得：3-≤x ≤1．故不等式()f x ≤2的解集为{|3x -≤x ≤}1； …5分 （2）()()f x f x +-=2,2,11,2,.x x x x x ⎧⎪-<<⎨⎪-⎩≥1,≤-1 当x ≥1时，()()f x f x +-=22x ≥， 当11x -<<时，()()f x f x +-=2， 当1x -≤时，()()f x f x +-=22x -≥，故()()f x f x +-2≥(“=”在11x -≤≤时成立).∴a ≤2，即a 的最大值为2. …10分以上各题的其它解法，限于篇幅，从略.请相应评分.。

2012年江苏省南通市某校高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14题，每小题5，共70请直接在答题卡上相应位置填写答案.1. 抛物线y2=4x的焦点坐标为________．2. “存在x∈R，x2+2>0”的否定是________．3. 已知椭圆的短轴大于焦距，则它的离心率的取值范围是________．4. 在等差数列{a n}中，a1=3，11a3=5a8，则a10=________．5. 在△ABC中，a=7，b=5，c=3，则A=________．6. 若关于x的不等式：x2+2x+a+2>0的解集为R，则实数a的取值范围为________．7. 若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5=0，则S6S3=________．8. 焦点坐标为(±5, 0)，渐近线的方程为y=±43x的双曲线的标准方程为________．9. 实数x，y满足，x−y≥0，x+y≤1，x+2y≥1，则z=6x+3y的最小值为________．10. 在△ABC中，已知a=1，b=2，A=30∘，则B=________．11. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=f′(π9)sin3x+cos3x，则f′(π9)=________．12. 若正实数a，b，c满足：3a−2b+c=0，则√acb的最大值为________．13. 在等差数列{a n}中，若任意两个不等的正整数k，p，都有a k=2p+1，a p=2k+1，设数列{a n}的前n项和为S n，若k+p=m，则S m=________（结果用m表示）．14. 若函数f(x)=x3+x2−ax−4在区间(−1, 1)恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．二、解答题：本大题共6个小题.共90解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知p:−x2+6x+16≥0，q:x2−4x+4−m2≤0(m>0)．（1）若p为真命题，求实数x的取值范围．（2）若p为q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．16. 在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60∘．（1）求a+bsinA+sinB的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．17. 如图，某单位准备修建一个面积为600平方米和矩形场地（图中ABCD）的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设AB＝x米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为800元每平方米，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．（1）求出y关于x的函数解析式；（2）当x为何值时，设围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中．椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点为F ，右准线为l ．（1）求到点F 和直线l 的距离相等的点G 的轨迹方程．（2）过点F 作直线交椭圆C 于点A ，B ，又直线OA 交l 于点T ，若OT →=2OA →，求线段AB 的长； （3）已知点M 的坐标为(x 0, y 0)，x 0≠0，直线OM 交直线x 0x 2+y 0y =1于点N ，且和椭圆C 的一个交点为点P ，是否存在实数λ，使得OP →2=λOM →⋅ON →？，若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由．19. 已知函数f(x)=alnx −1x ，a 为常数．（1）若曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线与直线x +2y −5=0垂直，求实数a 的值； （2）求f(x)的单调区间；（3）当x ≥1时，f(x)≤2x −3恒成立，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{x n }和{y n }的通项公式分别为x n =a n 和y n =(a +1)n +b ，n ∈N +． （1）当a =3，b =5时，①试问：x 2，x 4分别是数列{y n }中的第几项？②记c n =x n 2，若c k 是{y n }中的第m 项(k, m ∈N +)，试问：c k+1是数列{y n }中的第几项？请说明理由；（2）对给定自然数a ≥2，试问是否存在b ∈{1, 2}，使得数列{x n }和{y n }有公共项？若存在，求出b 的值及相应的公共项组成的数列{z n }，若不存在，请说明理由．2012年江苏省南通市某校高考数学二模试卷答案1. (1, 0)2. 任意x ∈R ，x 2+2≤03. (0,√22) 4. 20113 5. 120∘6. a >−17. −78. x 29−y 216=19. 310. 90∘11. 3√312. √3313. m214. [1, 5)15. 解：（1）∵ P:−2≤x≤8，∴ p为真命题时，实数x的取值范围[−2, 8]．（2）Q:2−m≤x≤2+m∵ P是Q的充分不必要条件，∴ [−2, 8]是[2−m, 2+m]的真子集．∴ {m>02−m≤−2 2+m≥8∴ m≥6．∴ 实数m的取值范围为m≥6．16. 解：（1）由正弦定理可设asinA =bsinB=csinC=2sin60∘=√32=4√33，所以a=4√33sinA，b=4√33sinB，所以a+bsinA+sinB =4√33(sinA+sinB)sinA+sinB=4√33．…（2）由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC，即4=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，又a+b=ab，所以(ab)2−3ab−4=0，解得ab=4或ab=−1（舍去）所以S△ABC=12absinC=12×4×√32=√3．…17. 设AD＝t米，则由题意得xt＝600，且t>x，故t=600x>x，可得0<x<10√6，则y=800(3x+2t)=800(3x+2×600x )=2400(x+400x)，所以y关于x的函数解析式为y=2400(x+400x)(0<x<10√6)．y=2400(x+400x )≥2400×2√x⋅400x=96000，当且仅当x=400x，即x＝20时等号成立．故当x为20米时，y最小．y的最小值为96000元．18. 解：（1）由椭圆方程为x22+y2=1可得a2=2，b2=1，c=1，F(1, 0)，l:x=2．设G(x, y)，则由题意可知√(x −1)2+y 2=|x −2|， 化简得点G 的轨迹方程为y 2=−2x +3．… （2）由题意可知x A =x F =c =1， 故将x A =1代入x 22+y 2=1， 可得|y A |=√22，从而AB =√2． …（3）假设存在实数λ满足题意． 由已知得OM ：y =y0x 0x①x 0x 2+y 0y =1②椭圆C:x 22+y 2=1③由①②解得x N =2x 0x 02+2y 02，y N =2y 0x 02+2y 02．由①③解得x P2=2x 02x 02+2y2，y P 2=2y 02x 02+2y 02． …∴ OP →2=x P 2+y P 2=2x 02x 02+2y 02+2y 02x 02+2y 02=2(x 02+y 02)x 02+2y 02，OM →⋅ON →=x 0x N +y 0y N =2x 02x 02+2y 02+2y 02x 02+2y 02=2(x 02+y 02)x 02+2y 02．∵ OP →2=λOM →⋅ON →∴ 可得λ=1满足题意． … 19. 解：（1）函数f(x)的定义域为{x|x >0}，f′(x)=ax+1x 2．又曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线与直线x +2y −50垂直， 所以f ′(1)=a +1=2，即a =1． … （2）由f′(x)=ax+1x 2，当a ≥0时，f ′(x)>0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0, +∞)．当a <0时，由f ′(x)>0，得0<x <−1a，所以f(x)的单调增区间为(0,−1a)；由f ′(x)<0，得x >−1a，所以f(x)的单调减区间为(−1a，+∞)． …（3）设g(x)=alnx −1x−2x +3，x ∈[1, +∞),∴ g′(x)=−2x 2+ax+1x 2设ℎ(x)=−2x 2+ax +1，ℎ(0)=1>0当a ≤1时，ℎ(x)=−2x 2+ax +1的对称轴为x =a4<1，ℎ(x)在[1, +∞)上是减函数，ℎ(x)≤ℎ(1)=a −1≤0∴ g′(x)≤0，g(x)在[1, +∞)上是减函数 ∴ g(x)≤g(1)=0，即f(x)≤2x −3当a >1时，令ℎ(x)=−2x 2+ax +1=0得x 1=a+√a 2+84>1，x 2=a−√a 2+84<0当x∈[1, x1)时，ℎ(x)>0，g′(x)>0，g(x)在[1, x1)上是增函数；当x∈(x1, +∞)时，ℎ(x)<0，g′(x)<0，g(x)在(x1, +∞)上是减函数；∴ g(1)<g(x1)，即f(x1)>2x−3，不满足题意综上，实数a的取值范围为a≤120. 解：（1）由条件可得x n=3n，y n=4n+5．①令x2=9=y m=4m+5，得m=1，故x2是数列{y n}中的第1项．令x4=81=y k=4k+5，得k=19，故x4是数列{y n}中的第19项．…②由题意知，c n=32n，由c k为数列{y n}中的第m项，则有32k=4m+5，那么c k+1=32(k+1)=9×32k=9×(4m+5)=36m+45=4(9m+10)+5，因9m+10∈N∗，所以c k+1是数列{y n}中的第9m+10项．…（2）设在{1, 2}上存在实数b使得数列{x n}和{y n}有公共项，即存在正整数s，t使a s=(a+1)t+b，∴ t=a s−ba+1，因自然数a≥2，s，t为正整数，∴ a s−b能被a+1整除．①当s=1时，t=a s−ba+1<aa+1∉N∗．②当s=2n(n∈N∗)时，当b=1时，a s−ba+1=a2n−1a+1=−1−a2n1−(−a)=−[1+(−a)+(−a)2+⋯+(−a)2n−1]=(a−1)[1+a2+a4...+a2n−2]∈N∗，即a s−b能被a+1整除．此时数列{x n}和{y n}有公共项组成的数列{z n}，通项公式为z n=a2n(n∈N∗)．显然，当b=2时，a s−ba+1=a2n−2a+1=a2n−1a+1−1a+1∉N∗，即a s−b不能被a+1整除．③当s=2n+1(n∈N∗)时，t=a s−ba+1=a(a2n−ba)a+1，若a>2，则a2n−ba ∉N∗，又a与a+1互质，故此时t=a(a2n−ba)a+1∉N∗．若a=2，要a2n−ba ∈N∗，则要b=2，此时a2n−ba=a2n−1，由②知，a2n−1能被a+1整除，故t=a(a 2n−ba)a+1∈N∗，即a s−b能被a+1整除．当且仅当b=a=2时，a S−b能被a+1整除．此时数列{x n}和{y n}有公共项组成的数列{z n}，通项公式为z n=22n+1(n∈N∗)．综上所述，存在b∈{1, 2}，使得数列{x n}和{y n}有公共项组成的数列{z n}，且当b=1时，数列z n=a2n(n∈N∗)；当b=a=2时，数列z n=22n+1(n∈N∗)．…。

绝密★启用前 试卷类型：A2012理科数学模拟卷本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：柱体体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高锥体的体积为13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为椎体的高如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()；如果事件在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率记为()|P B A ，那么|P AB P A P B A =()()()；一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．集合*{|}n i n N ∈（其中i 是虚数单位）中元素的个数是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．无穷多个2．设随机变量()21,3X N ，若()()P X c P X c ≤=>，则c 等于A ．0B ．1C ．2D ．33．已知命题p ：“存在正实数a ，b ，使得()lg lg lg a b a b +=+”；命题q ：“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内”．则它们的真假是 A ．p ，q 都是真命题 B ．p 是真命题，q 是假命题C ．p ，q 都是假命题D ．p 是假命题，q 是真命题4．在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这 六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有 A ．6种 B ．36种 C ．72种 D ．120种5．设,,,a b c d R ∈，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式 恒成立的是A ．2a b cd +≤B ．2a b cd +≥C ．||2a b cd +≤D ．||2a b cd +≥6．设函数若()f x 的值域为R ，则常数a 的取值范围是7．如图1，直线l 和圆c ，当l 从0 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过900）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是8．如果函数||1y x =-的图象与方程221x y λ+=的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是A ．(,1][0,1)-∞-B ．[1,1)-C ．{}1,0-D ．()[1,0]1,-+∞二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．在实数范围内，方程|||1|1x x ++=的解集是 ． 10．某机器零件的俯视图是直径为24mm 的圆（包括圆心），主 视图和侧视图完全相同，如图2所示．则该机器零件的体积 是______3mm （结果保留π）．11．已知平面向量a ，b 满足条件()()0,1,1,2a b a b +=-=- ，则a b ⋅＝＿＿＿＿＿．12．执行图3中程序框图表示的算法，若输入5533,2012m n ==，则输出d ＝＿＿＿． （注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验． 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程．现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径， 弦AD 和BC 相交于点P ，连接CD ．若120APB ∠=︒， 则CDAB等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数（1）求()f x 的最大值；（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若2B A =，且26b af A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 求角C 的大小． 17．（本小题满分12分）深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．18．（本小题满分14分）如图 5，已知正方形ABCD 在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形''''A B C D ，其中A 与'A 重合，且'''BB DD CC <<．（1）证明'//AD 平面''BB C C ，并指出四边形'''AB C D 的形状； （2）如果四边形中'''AB C D ’中，，正方形的边长为，求平面ABCD 与平面AB'C'D ’所成的锐二面角的余弦值．19．（本小题满分14分） 已知数列满足：，且（1）求通项公式n a （2）设的前n 项和为n S ，问：是否存在正整数m 、n ，使得若存在，请求出所有的符合条件的正整数对(),m n ，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）如图6，已知动圆M 过定点()1,0F 且与x 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为'F ， 动点'F 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程； （2）设是曲线C 上的一个定点，过点A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q ． ①证明：直线PQ 的斜率为定值；②记曲线C 位于P 、Q 两点之间的那一段为l ．若点B 在l 上，且点B 到直线PQ 的 距离最大，求点B 的坐标．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x x =-，()()()'g x f x xf a =- ，其中()'f a 表示函数()f x 在x a=处的导数，a 为正常数． （1）求()g x 的单调区间；（2）对任意的正实数12,x x ，且12x x <，证明：()()()()()()21221211''x x f x f x f x x x f x -<-<-（3）对任意的2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBACDADB二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．9．]0,1[- 10．π2880 11．1- 12．503 13．68 （注：第9题答案也可以写成}01|{≤≤-x x ，如果写成01≤≤-x ，不扣分．） （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）1- 15．（几何证明选讲选做题）21三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)6cos(sin )(π-+=x x x f ，R ∈x ．（1）求)(x f 的最大值；（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若A B 2=且)6(2π-=A f a b ，求角C 的大小． 解：（1）)6cos(sin )(π-+=x x x f x x x sin 21cos 23sin ++= ……………………2分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos 21sin 233)6sin(3π+=x ．（注：也可以化为)3cos(3π-x ） …4分所以)(x f 的最大值为3． …………………………………………………………6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）（2）因为)6(2π-=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2sin 32sin =．………………7分又A B 2=，所以A A 2sin 322sin =，即A A A 2s in 3c o s s i n =，………………9分而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A s i n 3c o s =，33tan =A ， ………………11分所以6π=A ，32π==A B ，2ππ=--=B A C ． ……………………………………12分17．（本小题满分12分）深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2． ………………………………………1分设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以51)0()(26230====C C P A P ξ， ………………………………………3分53)1()(2613131====C C C P A P ξ， ………………………………………5分51)2()(26232====C C P A P ξ． ………………………………………7分所以ξ的分布列为（注：不列表，不扣分）ξ0 1 2P51 53 51 ξ的数学期望为1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………………………8分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥，所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．由条件概率公式，得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， …………………………………9分2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， …………………………………10分151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）． …………………………………11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P ． …………………………………12分18．（本小题满分14分）如图5，已知正方形ABCD 在水平面上的正．投影（投影线垂直于投影面）是四边形''''D C B A ，其中A 与'A 重合，且'''CC DD BB <<．（1）证明//'AD 平面C C BB ''，并指出四边形'''D C AB 的形状；（2）如果四边形'''D C AB 中，2'=AD ，5'=AB ，正方形ABCD 的边长为6， 求平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值． 证明：（1）依题意，⊥'BB 平面'''D C AB ，⊥'CC 平面'''D C AB ， ⊥'DD 平面'''D C AB ，所以'//'//'DD CC BB ． ……………2分（法1）在'CC 上取点E ，使得'DD CE =， 连结BE ，E D '，如图5－1．因为'//DD CE ，且'DD CE =，所以E CDD '是平行四边形，DC E D //'，且DC E D ='．又ABCD 是正方形，AB DC //，且AB DC =， 所以ABE D //'，且ABE D ='，故'ABED 是平行四边15-图CD)'(A A B'C 'D 'B E形， ………………………………4分从而BE AD //'，又⊂BE 平面C C BB ''，⊄'AD 平面C C BB ''， 所以//'AD 平面C C BB ''． ………………………………………………………………6分四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．……7分（法2）因为'//'CC DD ，⊂'CC 平面C C BB ''，⊄'DD 平面C C BB ''， 所以//'DD 平面C C BB ''．因为ABCD 是正方形，所以BC AD //，又⊂BC 平面C C BB ''，⊄AD 平面C C BB ''， 所以//AD 平面C C BB ''． ………………………………………………………………4分而⊂'DD 平面'ADD ，⊂AD 平面'ADD ，D AD DD = '，所以平面//'ADD 平面C C BB ''，又⊂'AD 平面'A D D，所以//'AD 平面C C BB ''． …………6分四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．……7分解：（2）依题意，在Rt △'ABB 中，1)5()6(''2222=-=-=AB AB BB ，在Rt △'ADD 中，2)2()6(''2222=-=-=AD AD DD ，所以3021''''=-+=-+=AA DD BB CC ．（注：或312''''=+=+=+=BB DD EC CE CC ） ………………………………………8分连结AC ，'AC ，如图5－2， 在Rt △'ACC 中，33)32(''2222=-=-=CC AC AC ．所以222''''AB C B AC =+，故'''C B AC ⊥．……10分（法1）延长CB ，''B C 相交于点F ，则31''''==CC BB FC FB ，而2''=C B ，所以223'=FC ． 连结AF ，则AF 是平面ABCD 与平面'''D C AB 的交线．在平面'''D C AB 内作AF G C ⊥'，垂足为G ， 连结CG ．25-图CD)'(A A B'C 'D 'B FG因为⊥'CC 平面'''D C AB ，⊂AF 平面'''D C AB ，所以AF CC ⊥'． 从而⊥AF 平面G CC '，AF CG ⊥．所以'C G C ∠是平面A B C D 与平面'''D C AB 所成的一个锐二面角． …………………………12分在Rt △F AC '中，553223)3(2233'''22=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=⨯=AF F C A C G C ， 在Rt △G CC '中，53035533''2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=G C CC CG ． 所以66''cos cos ==∠=CG G C CGC θ， 即平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66．……………………14分（法2）以'C 为原点，A C '为x 轴，''B C 为y 轴，C C '为z 轴， 建立空间直角坐标系（如图5－3），则平面'''D C AB 的一个法向量)1,0,0(=n ．设平面ABCD 的一个法向量为),,(z y x =m ， 因为)0,0,3(A ，)1,2,0(B ，)3,0,0(C ， 所以)1,2,3(-=AB ，)2,2,0(-=BC ，而AB ⊥m ，BC ⊥m ， 所以0=∙AB m 且0=∙BC m ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-022023z y z y x ， 取1=z ，则2=y ，3=x ，所以平面ABCD 的一个法向量为)1,2,3(=m ．（注：法向量不唯一，可以是与)1,2,3(=m 共线的任一非零向量）……………………12分661001)2()3(|110203||||||,cos |cos 222222=++⨯++⨯+⨯+⨯==><=∙n m n m n m ||θ．所以平面A B C D 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66． …………………14分 （法3）由题意，正方形ABCD 在水平面上的正．投影是四边形''''D C B A ， 35-图CD)'(A A B'C 'D 'B yx z所以平面A B C D 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值ABCDD C AB S S '''=． …………………12分而6)6(2==ABCD S ，632''''''=⨯=⨯=AC C B S D C AB ，所以66cos =θ， 所以平面A B C D 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66． …………………14分 19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足：11=a ，22=a ，且3)1)(cos 2(2+-+=+n n a n a π，*N ∈n ． （1）求通项公式n a ；（2）设}{n a 的前n 项和为n S ，问：是否存在正整数m 、n ，使得122-=n n mS S ？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对),(n m ，若不存在，请说明理由． 解：（1）当n 是奇数时，1cos -=πn ；当n 是偶数时，1cos =πn ．所以，当n 是奇数时，22+=+n n a a ；当n 是偶数时，n n a a 32=+． ……………………2分又11=a ，22=a ，所以1a ，3a ，5a ，…，12-n a ，…是首项为1，公差为2的等差数列；2a ，4a ，6a ，…，n a 2，…是首项为2，公比为3的等比数列． ……………………4分所以，⎪⎩⎪⎨⎧⨯=-为偶数为奇数n n n a nn ,32,12． ………………………………………………6分（2）由（1），得)()(24212312n n n a a a a a a S +++++++=-)3262()]12(31[1-⨯++++-+++=n n132-+=n n ，13321321122212-+=⨯--+=-=---n n a S S n n n n n n ． ………………………8分所以，若存在正整数m 、n ，使得122-=n n mS S ，则133211313211212122-+⨯+=-+-+==----n n n S S m n n n n n n 3332111=⨯+≤--n n ． ………………9分显然，当1=m 时，122122)13(113--=-+⨯≠-+=n n n n S n n S ；当2=m 时，由1222-=n n S S ，整理得1321-=-n n ．显然，当1=n 时，11013211-=≠=-；当2=n 时，1233212-==-，所以)2,2(是符合条件的一个解． ……………………………11分当3≥n 时， +⨯+⨯+=+=----2211111221)21(3n n n n C C2111421--++≥n n C C 3422+-=n n 1)2(22-+-=n n12->n ． …………………………12分当3=m 时，由1223-=n n S S ，整理得1=n ， 所以)1,3(是符合条件的另一个解．综上所述，所有的符合条件的正整数对),(n m ，有且仅有)1,3(和)2,2(两对． ……14分（注：如果仅写出符合条件的正整数对)1,3(和)2,2(，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分） 20．（本小题满分14分）如图6，已知动圆M 过定点)1,0(F 且与x 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为'F ，动点'F 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设),(00y x A 是曲线C 上的一个定点，过点A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q ．① 证明：直线PQ 的斜率为定值；② 记曲线C 位于P 、Q 两点之间的那一段为L ．若点B 在L 上，且点B 到直线PQ 的距离最大，求点B 的坐标．解：（1）（法1）设),('y x F ，因为点)1,0(F 在圆M 上， 且点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以)21,2(+y x M ， …………1分 且圆M 的直径为22)1(|'|-+=y x FF ．…………2分由题意，动圆M 与y 轴相切，16-图M∙'∙F xyOF∙N E所以2)1(2|1|22-+=+y x y ，两边平方整理得：y x 42=，所以曲线C的方程为y x 42=． ………………………………………………5分（法2）因为动圆M 过定点)1,0(F 且与x 轴相切，所以动圆M 在x 轴上方， 连结'FF ，因为点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以'FF 为圆M 的直径． 过点M 作x MN ⊥轴，垂足为N ，过点'F 作x E F ⊥'轴，垂足为E （如图6－1）．在直角梯形'EOFF 中，1|'||||'|||2||2|'|+=+===E F FO E F MN MF F F ， 即动点'F 到定点)1,0(F 的距离比到x 轴的距离大1． …………………………………………3分又动点'F 位于x 轴的上方（包括x 轴上），所以动点'F 到定点)1,0(F 的距离与到定直线1-=y 的距离相等．故动点'F 的轨迹是以点)1,0(F 为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线． 所以曲线C的方程为y x 42=． ………………………………………………5分（2）①（法1）由题意，直线AP 的斜率存在且不为零，如图6－2．设直线AP 的斜率为k （0≠k ），则直线AQ 的斜率为k -． ……………………………6分因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点，所以4200x y =，直线AP 的方程为)(402x x k x y -=-． 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(440202x x k x y y x ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==4200x y x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=4)4(4200k x y k x x ， 所以点P 的坐标为)4)4(,4(200k x k x +-+-， 以k -替换k ，得点Q的坐标为)4)4(,4(200k x k x +--． ………………………………8分26-图M∙'∙F xyOF∙PQA所以直线PQ 的斜率23216)4()4(4)4(4)4(00002020x k kx k x k x k x k x k PQ -=-=+----+--+=为定值．………………10分（法2）因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点，所以4200x y =，)4,(20x x A ． 又点P 、Q 在曲线C ：y x 42=上，所以可设)4,(211x x P ，)4,(222x x Q ， …………6分而直线AP ，AQ 的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，即022220120214444x x x x x x x x ---=--，整理得0212x x x -=+． …………8分所以直线PQ 的斜率2424440021122122x x x x x x x x k PQ -=-=+=--=为定值． ………………10分②（法1）由①可知，P )4)4(,4(200k x k x +-+-，Q )4)4(,4(200k x k x +--， 20x k PQ-=，所以直线PQ 的方程为)4(24)4(0020k x x x k x y -+-=+--，整理得016422200=-++k x y x x ． ……………………………………11分设点)4,(2x x B 在曲线段L 上，因为P 、Q 两点的横坐标分别为k x 40+-和k x 40--，所以B 点的横坐标x 在k x 40+-和k x 40--之间，即||4||400k x x k x +-≤≤--， 所以||4||40k x x k ≤+≤-，从而22016)(k x x ≤+．点B 到直线PQ 的距离42|162|164|16442|20220022022020+-++=+-+⨯+=x k x x x x x k x x x x d 4216)(42142|16)(|202202020220++++-=+-+=x k x x x x k x x ． ………12分当0x x -=时，421622max +=x k d ．注意到||4||4000k x x k x +-≤-≤--，所以点)4,(200x x -在曲线段L 上． 所以，点B 的坐标是)4,(200x x -． ……………………………………………………………14分（法2）由①可知，2x k PQ -=，结合图6－3可知， 若点B 在曲线段L 上，且点B 到直线PQ 的距离最大， 则曲线C 在点B 处的切线PQ l //． ………………11分设l ：b x x y +-=20，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=yx b x x y 4220， 消去y ，得04202=-+b x x x ．令△0)4(14)2(20=-⨯⨯-=b x ，整理，得420x b -=．……12分 代入方程组，解得0x x -=，420x y =．所以，点B 的坐标是)4,(200x x -． ……………………………………………………………14分（法3）因为抛物线C ：y x 42=关于y 轴对称，由图6－4可知，当直线AP 的倾斜角大于︒0且趋近于︒0时，直线AQ 的倾斜角小于︒180且趋近于︒180，即当直线AP 的斜率大于0且趋近于0时，直线AQ 的斜率小于0且趋近于0．从而P 、Q 两点趋近于点)4,(200x x A 关于y 轴的对称点)4,('200x x A -． ………………11分由抛物线C 的方程y x 42=和①的结论，得42x y =，PQ x x x x k xx y =-=='-=-=22|000．所以抛物线C 以点)4,('200xx A -为切点的切线PQ l //． ……………………12分所以曲线段L 上到直线PQ 的距离最大的点就是点'A ，即点B 、点'A 重合． 所以，点B 的坐标是)4,(200xx -． ……………14分 21．（本小题满分14分）36-图M∙'∙F xyOF∙PQABlA46-图M∙'∙F xyOF∙1P 1Q B2P 3P 2Q 3Q l已知函数x x x x f ln )(-=，)()()(a f x x f x g '-=，其中)(a f '表示函数)(x f 在a x =处的导数，a 为正常数．（1）求)(x g 的单调区间；（2）对任意的正实数21,x x ，且21x x <，证明：)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-；（3）对任意的*N ∈n ，且2≥n ，证明：nn f n ln 2ln )1(1ln 13ln 12ln 1⋅+-<+++ ． 解：（1）x x f ln )('-=，a x x x x x g ln ln )(+-=，xaa x a f x f x g ln ln ln )()()(=+-='-'='． ……………………………………2分所以，),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增； ),(∞+∈a x 时，0)('<x g ，)(x g 单调递减．所以，)(x g 的单调递增区间为],0(a ，单调递减区间为),[∞+a ． ……………………4分（2）（法1）对任意的正实数21,x x ，且21x x <， 取1x a =，则),(12∞+∈x x ，由（1）得)()(21x g x g >， 即)()()()()()(21221111x g x f x x f x f x x f x g ='->'-=， 所以，)()()()(11212x f x x x f x f '-<-……①； ………………………6分取2x a =，则),0(21x x ∈，由（1）得)()(21x g x g <， 即)()()()()()(22222111x g x f x x f x f x x f x g ='-<'-=， 所以，)()()()(21212x f x x x f x f '->-……②．综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………………………8分（法2）因为x x f ln )('-=，所以，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ；当),1(∞+∈x 时，0)(<'x f ．故)(x f 在]1,0(上单调递增，在),1[∞+上单调递减． 所以，对任意的正实数21,x x ，且21x x <，有)1(21f x x f <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，)1(12f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛． ……………6分由)1(21f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛，得1ln 121212<-x x x x x x ，即0)ln (ln 12212<---x x x x x ， 所以0)ln (ln )()()()(1221211212<---='---x x x x x x f x x x f x f ． 故)()()()(11212x f x x x f x f '-<-．……①；由)1(12f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛，同理可证)()()()(21212x f x x x f x f '->-．……②． 综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………………………8分（3）对2,,2,1-=n k ，令xk x x k ln )ln()(+=ϕ（1>x ），则22))(ln ()ln()(ln )(ln )ln(ln )('x k x x k x k x x x x x k x k x x x k +++-=+-+=ϕ， 显然k x x +<<1，)ln(ln 0k x x +<<，所以)ln()(ln k x k x x x ++<， 所以0)('<x k ϕ，)(x k ϕ在),1(∞+上单调递减．由2≥-k n ，得)2()(k k k n ϕϕ≤-，即2ln )2ln()ln(ln k k n n +≤-．所以)ln()2ln(ln 2ln k n k n -+≤，2,,2,1-=n k ． ……………………………10分 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+++2ln 1ln 1)1ln(13ln 1ln 12ln 1ln 13ln 12ln 12n n n n 2ln ln ln 2ln )1ln(3ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln n nn n n n +++-+-++=nnn n n n ln 2ln ln 2ln ln 2ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln ++++-++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n ln 2ln ln 3ln 2ln 2 ． ………………………………12分又由（2）知n n f n f n f ln )(')()1(-=<-+，所以)1()(ln +-<n f n f n ．)1()()3()2()2()1(ln 2ln 1ln +-++-+-<+++n f n f f f f f n)1(1)1()1(+-=+-=n f n f f ．所以，nn f n n n ln 2ln )1(1ln 2ln ln 3ln 2ln ln 13ln 12ln 1+-<+++≤+++ ．……………………14分。

2012年北京东城中考二模数 学2012年6月一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1.9的算术平方根是A ．-9B ．9C ．3D ．±32.如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是3.下列运算正确的是A ．532a a a B ．532a a a C ．3332)(ba ab D ．5210a a a 4.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为奇数的概率为 A ．16B ．14C ．13D ．125.如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形6.在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的香蕉价格进行调查．四个城市5个月香蕉价格的平均值均为3.50元，方差分别为2S 甲＝18.3，2S 乙＝17.4，2S 丙＝20.1，2S 丁＝12.5．一至五月份香蕉价格最稳定的城市是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，DEF △的周长为1，则BCF △的周长为A ．1B ．2C ．3D ．48.如右图，正方形ABCD 的顶点A ，B ，顶点C D 、位于第一象限，直线:(0l x t t 将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.x 的取值范围是．10.一个扇形的圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为．11.观察下列等式： 1=1，2+3+4=9， 3+4+5+6+7=25， 4+5+6+7+8+9+10=49，……照此规律，第5个等式为．12.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作 ∠MON ，使∠MON ＝90°，OM 、ON 分别与⊙O 交于点E 、F ，与正方形ABCD 的边交于点G 、H , 则由OE 、OF 、EF ⌒及正方形ABCD 的边围成的图形(阴影部分)的面积S= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.0(4)6cos302 o ．14.解方程组212x y x y，．15.已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、CA 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线．求证：AB =DC ．16.先化简，再求值：2212111x x x x，其中2x ．17.列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m 、宽6m 的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x 值．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与反比例函数k y x的图像交于点A(-3,4),AC ⊥x 轴于点C.(1)求此反比例函数的解析式；(2)当直线AB 绕着点A 转动时,与x 轴的交点为B(a,0), 并与反比例函数ky x图象的另一支还有一个交点的情形下,求△ABC 的面积S 与a 之间的函数关系式.并写出自变量a 的取值范围．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．在母亲节来临之际，某校团委组织了以“学会生存，感恩父母”为主题的教育活动，在学校随机调查了若干名同学平均每周在家做家务的时间，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图：根据上述信息回答下列问题：（1）a= ，b= ;（2）在扇形统计图中，B 组所占圆心角的度数为 ;（3）全校共有1000名学生，估计该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有多少人？20． 如图，在平行四边形ABCD 中，5AB ，8BC ，AE BC 于点E ，53cos B ，求tan CDE 的值．21．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为半径的O ⊙与AD ，AC 分别交于点E ，F ，∠ACB =∠DCE ．（1）请判断直线CE 与O ⊙的位置关系，并证明你的结论；（2）若 DE:EC=1 2BC ，求⊙O 的半径．22.阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x 时，突发奇想：21x 在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i ，那么当21x 时，有x i ，从而x i 是方程21x 的两个根．据此可知：(1) i 可以运算，例如：i 3=i 2·i =-1×i =-i ，则i 4=，i 2011=______________，i 2012=__________________；(2)方程2220x x 的两根为（根用i 表示）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x ．（1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2） 若正整数m 满足822m ，设二次函数2(1)(4)3y m x m x 的图象与x 轴交于A B、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx 与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．24.已知：等边ABC中，点O 是边AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N 分别在直线AC , BC 上，且60MON o ．(1) 如图1，当CM=CN 时， M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；（2） 如图2，当CM ≠CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图3，当点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c 的图像与y 轴交于点(0,3)C ，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点M的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分．3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题：（本题共30分，每小题5分）13.解：原式=164L L分=1……5分14.解：①②得：23x x1x ．……2分将1x 代入②得：12y，1y ……4分11xy……5分15.证明：∵AC平分BCD BC∠，平分ABC∠，∴ACB DBC∠∠……2分在ABC△与DCB△中，A B C D C B A C B D B C B C B C∠∠∠∠ ABC △DCB ≌△……4分AB DC ．……5分16.解：原式=22111111111x x x x x x x x x x x x ·……3分当2x时，原式=211.22……5分 17.解：据题意，得1(8)(6)862x x ．解得12122x x ，．1x 不合题意，舍去．2x ．18．解: (1)∵4=3k12k ∴12y x……2分(2)∵BC =a -(-3)=a +3AC =4,∴14(3)2ACB S a……4分=2a +6 (a >-3)……5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1） 15，0.16；……2分（2）144 ；……3分（3）271000[(1584)50]100054050（人）……5分 答：该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有540人 20．解： 在△ABE 中，AE BC ，5AB ，53cosB∴BE=3,AE=4. ∴EC=BC-BE =8-3=5.∵平行四边形ABCD,∴CD=AB=5.∴△CED 为等腰三角形.……2分 ∴∠CDE =∠CED ． ∵ AD//BC, ∴∠ADE =∠CED ． ∴∠CDE =∠ADE ．在Rt △ADE 中,AE =4,AD=BC =8,41tan .82CDE21．解：（1）直线CE 与O ⊙相切证明：∵矩形ABCD ， ∴BC//AD ,∠ACB =∠DAC ． ∵,ACB DCE ∴.DAC DCE ……1分连接OE,则.DAC AEO DCE 90,90.90.2DCE DEC AEO DEC OEC o ooQ L L 分∴直线CE 与O ⊙相切．22222AB(2)tan2,tan3,tan Dtan D 1.,4,CO3,54ACB BCBCAB BC ACB ACACB DCECEDE DC CERt CDE CEO Rt CE OCE EOr rQL LQLL L分在中分设⊙的半径为r, 则在中即解得分22．解：(1)4i 1，2011i -i 20121i ……3分(2)方程2220x x的两根为1+i和1-i……5分五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解：（1）2(4)12(1)m m2(2)m．……2分由题意得，2(2)m ＞0且10m．∴符合题意的m的取值范围是21m m且的一切实数．……3分（2）∵正整数m满足822m，∴m可取的值为1和2．又∵二次函数2(1)(4)3y m x m x，∴m=2．……4分∴二次函数为2-23y x x．∴A点、B点的坐标分别为（-1,0）、（3,0）．依题意翻折后的图象如图所示．由图象可知符合题意的直线3y kx经过点A、B．A可求出此时k 的值分别为3或-1．……7分注：若学生利用直线与抛物线相切求出k =2也是符合题意的答案．24.解： (1) AM CN MN ……2分（2）AM CN MN ……3分证明：过点O 作,,OD AC OE BC 易得,120,OD OE DOE o在边AC 上截得DN’=NE ,连结ON ’, ∵ DN ’=NE , OD =OE , ∠ODN ’=∠OEN'.DON EON ……4分∴ON’=OE. ∠DON ’=∠NOE .120,DOE oQ 60,MON o∴∠MOD +∠NOE=600.∴∠MOD +∠DON ’=600.易证'MON MON .……5分∴MN’=MN.'.,,()(),.MN MD DN MD NE MD AM AD AM CE NE CE CN MN AM CE CE CN AM CN AM CN MN (3) .MN CN AM ……7分25．解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c…解得：-1,3.a c所以，所求二次函数的解析式为：2--23y x x ……2分顶点D 的坐标为（-1，4）.……3分 （2）易求四边形ACDB 的面积为9. 可得直线BD 的解析式为y=2x+6设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6. ①当1=9=33OBE S 时，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 设M 点坐标（x ，-x ），212---2 3.-122x x x x x （舍），∴-1-1(22M ， ……4分②当1=9=63OBE S 时，同理可得M ∴ M 点坐标为（-1，4）……5分（3）连接OP ，设P 点的坐标为 ,m n ，因为点P 在抛物线上，所以所以PB PO OPB OB S S S S △C △C △△C ……6分111()222OC m OB n OC OB 339332222m n n m 22333273.2228m m m……7分因为3<0m，所以当32m 时，154n . △CPB 的面积有最大值27.8 ……8分所以当点P 的坐标为315(,)24 时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8。

北京市东城区 2011--2012 学年第二学期初三综合练习（二）一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 1 2的绝对值是1 2A.B. 1 2C. 2D.-22. 下列运算中，正确的是 A． a  a  a B． a  a  a C． a  a  a D． 4 a  a  3 a 3．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 5 个红球和 3 个黄球，从中随机摸出一个，摸到黄球的概率 是2 3 5 3 4 12632A．1 8B．1 3C．3 8D．3 54．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．． ．．D B C A 5． 若一个正多边形的一个内角等于 150° ，则这个正多边形的边数是 A．9 B．10 C．11 D．12 6. 在“我为震灾献爱心”的捐赠活动中，某班 40 位同学捐款金额统计如下： 金额（元） 学生数（人） 20 3 30 7 35 5 50 15 100 10 D．15，502 2y则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数是 A．30，35 B．50，35 C．50，50 7．已知反比例函数 y  A．没有实根 C．有两个相等实根k2 xOx的图象如图所示，则一元二次方程 x  ( 2 k  1) x  k  1  0 根的情况是 B． 有两个不等实根 D．无法确定2 28.用 min{a，b}表示 a，b 两数中的最小数，若函数 y  min{ x  1, 1  x } ，则 y 的图象为y1 1 xy1y1y1 1 x -1-1 0-1 01 x-1 001 xA B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）CD9. 反比例函数 y k x的图象经过点（－2，1） ，则 k 的值为_______． .主视图 俯视图 左视图10. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是 11. 如图，将三角板的直角顶点放置在直线 AB 上的点 O 处． 使斜边 CD∥AB，则∠a 的余弦值为__________．12. 如图， R t △ A B C 中，  A C B  9 0 ，  C A B  3 0 ， B C  2 ，O， H 分别为边 A B， A C 的中点，将 △ A B C 绕点 B 顺时针旋A1转 1 2 0 到 △ A1 B C 1 的位置，则整个旋转过程中线段 O H 所扫过 部分的面积（即阴影部分面积）为 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）2 13. 先化简，再求值： (2 x  1)  ( x  2)( x  2)  4 x ( x  1) ，其中 x H A OC B．O1H1 C13 3 2．14. 解分式方程：x 1 x 21 2 x 3．15． 如图， A、 、 的坐标分别为 点 B C （3， 、 3） （2， 、 1） （5， ， 1） 将△ABC 先向下平移 4 个单位， 得△A1B1C1； 再将△A1B1C1 沿 y 轴翻折，得△A2B2C2. （1）画出△A1B1C1 和△A2B2C2； A （2）求线段 B2C 长. B O C x y16. 如图，点 D 在 A B 上， D F 交 A C 于点 E ， C F ∥ A B ， A E  E C ． 求证： A D  C F ． A D B E FC17. 列方程或方程组解应用题 为了配合学校开展的“爱护地球母亲”主题活动，初三(1)班提出“我骑车我快乐”的口号. “五一”之后小 明不用父母开车送，坚持自己骑车上学. 五月底他对自己家的用车情况进行了统计，5 月份所走的总路程 比 4 月份的4 5还少 100 千米，且这两个月共消耗 93 号汽油 260 升. 若小明家的汽车平均油耗为 0.1 升/千米，求他家 4、5 两月各行驶了多少千米.18．如图，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点与原点 O 重合，AB=2，AD=1，点 Q 的坐标为(0，2)． （1）求直线 QC 的解析式； （2）点 P(a，0)在边 AB 上运动，若过点 P、Q 的直线将矩形 ABCD 的周长分成 3∶1 两部分，求出此时 a 的值．四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19. 如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，BD 是∠ABC 的平分线. （1）求证：AB=AD；A D（2）若∠ABC＝60° ，BC=3AB，求∠C 的度数BC20. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以 AB 为直径的⊙O 经过点 D，E 是⊙O 上一点，且AED=45． (1) 试判断 CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2) 若⊙O 的半径为 3，sinADE=5 6，求 AE 的值．21．某商店在四个月的试销期内，只销售 A，B 两个品牌的电视机，共售出 400 台．试销结束后，将决定 经销其中的一个品牌．为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图 l 和图 2． (1)第四个月销量占总销量的百分比是_______； (2)在图 2 中补全表示 B 品牌电视机月销量的折线图； (3)经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断该商店 应经销哪个品牌的电视机．图1图222. 如图 1 是一个三棱柱包装盒， 它的底面是边长为 10cm 的正三角形， 三个侧面都是矩形． 现将宽为 15cm 的彩色矩形纸带 AMCN 裁剪成一个平行四边形 ABCD（如图 2） ，然后用这条平行四边形纸带按如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分） ，纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．在图 3 中，将三棱柱沿过点 A 的侧棱剪开，得到如图 4 的 侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究. （1）请在图 4 中画出拼接后符合条件的平行四边形； （2）请在图 2 中，计算裁剪的角度（即∠ABM 的度数）.A MDNB图2C图1D F A图4C E B五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23. 已知关于 x 的一元二次方程 x  2 ax  b  0 ， a  0 , b  0 .2 2（1）若方程有实数根，试确定 a，b 之间的大小关系；（2）若 a∶b=2∶ 3 ，且 2 x1  x 2  2 ，求 a，b 的值； （3）在（2）的条件下，二次函数 y  x  2 a x  b 的图象与 x 轴的交点为 A、C（点 A 在点 C 的左侧） ，2 2与 y 轴的交点为 B，顶点为 D.若点 P（x，y）是四边形 ABCD 边上的点，试求 3x－y 的最大值.24. 如图 1，在△ ABC 中，AB＝BC＝5，AC=6. △ ECD 是△ ABC 沿 CB 方向平移得到的，连结 AE，AC 和 BE 相交于点 O. （1）判断四边形 ABCE 是怎样的四边形，并证明你的结论； （2） 如图 2， 是线段 BC 上一动点 P （不与点 B、C 重合） 连接 PO 并延长交线段 AE 于点 Q， ， QR⊥BD， 垂足为点 R.①四边形 PQED 的面积是否随点 P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边 形 PQED 的面积； ②当线段 BP 的长为何值时，以点 P、Q、R 为顶点的三角形与△ BOC 相似？E Q AEAOODC 图1BDC R 图2PB25. 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半 轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点 B 作 BD⊥BC，交 OA 于点 D．将∠DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转， 角的两边分别交 y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点 E 和 F． （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点 P、Q（点 Q 在点 P 的上方） ，且 PQ＝1，要使四边形 BCPQ 的周长最 小，求出 P、Q 两点的坐标． y E A D O F C x B北京市东城区 2010--2011 学年第二学期初三综合练习（二） 数学试卷参考答案一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）题 号 答 案 题 号 答 案1 A 9 －22 D3 C 10 圆柱4 B5 D 111 26 C7 A 12 π8 A二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）三、解答题： （本题共 30 分，每小题 5 分） 13． （本小题满分 5 分） 解: 原式  4 x  4 x  1  x  4  4 x  4 x2 2 2„„„„„„3 分 „„„„„„4 分 x 3 .2当x 3 3 2时 ， 27 15 3 .  3  4 4 23 3 原式    2 „„„„„„5 分14． （本小题满分 5 分） 解：x 1 x2  1 x2  3„„„„„„1 分去分母得 x-1+1=3（x-2） 解得 x=3. 经检验：x=3 是原方程的根. 所以原方程的根为 x=3.„„„„„„4 分 „„„„„„5 分15． （本小题满分 5 分） 解： （1）A1 点的坐标为（3，－1） 1 点的坐标为（2，－3） 1 点的坐标为（5，－3） ，B ，C ； A2 点的坐标为（－3，－1） 2 点的坐标为（－2，－3） ，B ， C2 点的坐标为（－5，－3）. 图略，每正确画出一个三角形给 2 分. （2）利用勾股定理可求 B2C＝ 16． （本小题满分 5 分） 证明：∵ C F ∥ A B ， ∴ ∠A=∠ACF, ∠ADE=∠CFE. 在△ADE 和△CFE 中， ∠A=∠ACF， ∠ADE=∠CFE， AE  EC ， ∴ △ADE≌△CFE. ∴ AD  CF . -------2 分 A D --------4 分 ------5 分 B E F65 .„„„„„„5 分C17． （本小题满分 5 分） 解：设小刚家 4、5 两月各行驶了 x、y 千米.--------------------------1 分4   y  x  100 , 依题意，得  5  0 . 1 x  0 . 1 y  260 . ----------------------------3 分解得, x  1 5 0 0  . y  1100-------------------------------4 分答：小刚家 4 月份行驶 1500 千米，5 月份行驶了 1100 千米. -----------5 分18． （本小题满分 5 分） 解： （1）由题意可知 点 C 的坐标为（1，1） ． „„„„„„„„„„„„„1 分 设直线 QC 的解析式为 y  kx  b ． ∵ 点 Q 的坐标为(0，2)， ∴ 可求直线 QC 的解析式为 y   x  2 ．„„„„„„„„„„„„„2 分 （2）如图，当点 P 在 OB 上时，设 PQ 交 CD 于点 E，可求点 E 的坐标为（ 则 AP  AD  DE  2  由题意可得 2 5 2 5 2 a  3(3  3 2 a) ． a ，CE  BC  BP  3  3 2 a．a 2，1） ．∴ a 1． „„„„„„„„„„„„„4 分 由对称性可求当点 P 在 OA 上时， a   1 ∴ 满足题意的 a 的值为 1 或－1． „„„„„„„„„„„„„5 分四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19.（本小题满分 5 分） 解： （1）证明：∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴ ∠1=∠2. ∵ AD//BC，∴∠2=∠3. ∴ ∠1=∠3. ∴AB=AD. ---------------------2 分1AD3B2EFC（2）作 AE⊥BC 于 E，DF⊥BC 于 F. ∴ EF=AD=AB. ∵ ∠ABC＝60° ，BC=3AB， ∴ ∠BAE=30° . ∴ BE=1 2AB.BA∴ BF =23AB=21BC .∴ BD=DC . ∴ ∠C =∠2.∵ BD 是∠ABD 的平分线， ∴ ∠1=∠2=30°.∴ ∠C =30°. -------------------------5分20.（本小题满分5分）解：（1）CD 与圆O 相切． …………………1分 证明：连接OD ，则∠AOD =2∠AED =2⨯45︒=90︒． …………………2分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB //DC ．∴∠CDO =∠AOD =90︒．∴OD ⊥CD ． …………………3分 ∴CD 与圆O 相切．（2）连接BE ，则∠ADE =∠ABE ．∴sin ∠ADE =sin ∠ABE =65． …………………4分∵AB 是圆O 的直径，∴∠AEB =90︒，AB =2⨯3=6． 在Rt △ABE 中，sin ∠ABE =ABAE =65．∴AE =5 ．21．（本小题满分5分）解：(1)30％； ……………………2分 (2)如图所示. ……………………4分(3)由于月销量的平均水平相同，从折线的走势看，A 品牌的月销量呈下降趋势，而B 品牌的月销量呈上升趋势．所以该商店应经销B 品牌电视机． …………………5分 22．（本小题满分5分）解：（1）将图4中的△ABE 向左平移30cm ，△CDF 向右平移30cm ，拼成如图下中的平行四边形，此平行四边形即为图2中的□ABCD ．…………………2分（2）由图2的包贴方法知：AB 的长等于三棱柱的底边周长，∴AB =30．∵ 纸带宽为15，∴ sin ∠ABM =151302A M A B==．∴∠AMB =30°． …………………5分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（本小题满分7分） 解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根,∴ Δ=,04)2(22≥-b a 有a 2-b 2≥0,（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a , ∴ a+b ＞0,a-b ≥0.∴ b a ≥. …………………………2分（2） ∵ a ∶b =2，∴ 设2,a k b ==.解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=，得 -3x k k =-或.当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =. 当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25k =-（不合题意，舍去）.∴ 4,a b ==. …………………………5分（3） 当4,a b ==时，二次函数2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）. 设z ＝3x －y ，则3y x z =-.画出函数2812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分 24. （本小题满分7分）解：（1）四边形ABCE 是菱形.证明：∵ △ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，∴ EC ∥AB ，EC ＝AB .∴ 四边形ABCE 是平行四边形. 又∵ AB ＝BC ，∴四边形ABCE 是菱形. ……………2分（2）①四边形PQED 的面积不发生变化，理由如下： 由菱形的对称性知，△PBO ≌△QEO ， ∴ S △PBO ＝ S △QEO321GRQPOEDC BA∵ △ECD 是由△ABC 平移得到的， ∴ ED ∥AC ，ED ＝AC ＝6. 又∵ BE ⊥AC ， ∴BE ⊥ED∴S 四边形PQED ＝S △QEO ＋S 四边形POED ＝S △PBO ＋S 四边形POED ＝S △BED＝12×BE ×ED ＝12×8×6＝24. ……………4分②如图，当点P 在BC 上运动，使以点P 、Q 、R 为顶点的三角形与△COB 相似. ∵∠2是△OBP 的外角， ∴∠2＞∠3.∴∠2不与∠3对应 . ∴∠2与∠1对应 .即∠2＝∠1，∴OP =OC =3 .过O 作OG ⊥BC 于G ，则G 为PC 的中点 . 可证 △OGC ∽△BOC . ∴ CG :CO ＝CO :BC . 即 CG :3＝3:5 . ∴ CG =95.∴ PB ＝BC －PC ＝BC －2CG ＝5－2×95＝75 .∴ BD ＝PB ＋PR ＋RF ＋DF ＝x ＋185＋x ＋185＝10.∴ x ＝75∴ BP ＝75. ……………7分25．（本小题满分8分） 解：（1）由题意得A （0，2）、B （2，2）、C （3，0）.设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y=ax 2+bx +2. 则⎩⎨⎧=++=++02390224b a b a解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3432b aH∴ 224233y x x =-++．……………2分（2）由224233y x x =-++＝228(1)33x --+．∴ 顶点坐标为G （1，83）．过G 作GH ⊥AB ，垂足为H ． 则AH ＝BH ＝1，GH ＝83－2＝23．∵ EA ⊥AB ，GH ⊥AB ，∴ EA ∥GH ．∴GH 是△BEA 的中位线 ． ∴EA ＝3GH ＝43．过B 作BM ⊥OC ，垂足为M ． 则MB ＝OA ＝AB ．∵ ∠EBF ＝∠ABM ＝90°，∴ ∠EBA ＝∠FBM ＝90°－∠ABF ． ∴ R t △EBA ≌R t △FBM ． ∴ FM ＝EA ＝43．∵ CM ＝OC －OM ＝3－2＝1， ∴ CF ＝FM ＋CM ＝73．……………5分（3）要使四边形BCGH 的周长最小，可将点C 向上 平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C 1，得点C 1的坐标为（－1，1）． 可求出直线BC 1的解析式为1433y x =+．直线1433y x =+与对称轴x ＝1的交点即为点H ，坐标为（1，53）．点G 的坐标为（1，23）．……………8分海淀区九年级第二学期期末练习数 学 2012. 6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. -5的倒数是A ．15B ．15- C ．5- D ．52. 2012年4月22日是第43个世界地球日，中国国土资源报社联合腾讯网发起“世界地球日”微话题，共有18 891 511人次参与了这次活动，将18 891 511用科学记数法表示（保 留三个有效数字）约为A. 18.9⨯106B. 0.189⨯108C. 1.89⨯107D. 18.8⨯106 3. 把2x 2− 4x + 2分解因式，结果正确的是A ．2(x − 1)2B ．2x (x − 2)C ．2(x 2− 2x + 1) D ．(2x −2)24. 右图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体， 则这个几何体的俯视图是A BCD 5．从1, -2, 3这三个数中,随机抽取两个数相乘,积为正数的概率是A ．0B ．13C．23D ．16. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =3，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ADE 沿DE翻折后，点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 A.21 B. 3C. 2D. 1A'EDABCA. 极差是40B. 平均数是60C. 中位数是51.5D. 众数是588．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ,∠ABC =60°，AB = DC =2, AD =1， R 、P 分别是BC 、CD 边上的动点（点R 、B 不重合, 点P 、C 不重合），E 、F 分别是AP 、RP 的中点，设BR=x ，EF=y ，则下列 图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 若二次根式23-x 有意义，则 x 的取值范围是 .10．若一个多边形的内角和等于540︒，则这个多边形的边数是 .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 、B 、C 在双曲线xy 6=上，BD ⊥x 轴于D , CE ⊥ y 轴于E ,点F 在x 轴上，且AO =AF , 则图中阴影部分的面积之和为 .12．小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为 颗; 当挪动n 颗 珠子时（n 为大于1的整数）, 所得分数为 （用含n 的代数式表示）.三、解答题（本题共30分，每小题5分） 1311|5|()3tan 604---+︒．14．解方程：6123x x x +=-+.15. 如图，AC //EG , BC //EF , 直线GE 分别交BC 、BA 于P 、D ，且AC=GE , BC=FE . 求证：∠A =∠G .FE R P B C DA GF E D CBAP16．已知2220a a --=，求代数式221111121a a a a a --÷--++的值．17. 如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (-2, 0)、B (0, 2). （1）求一次函数的解析式; （2）若点C 在x 轴上，且OC =23, 请直接写出∠ABC 的度数.18. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠CBD =90︒，BE//CD 交AD 于E , 且EA=EB ．若AB=54，DB =4,求四边形ABCD 的面积．四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分，第22题4分） 19. 某街道办事处需印制主题为“做文明有礼的北京人，垃圾减量垃圾分类从我做起”的宣传单. 街道办事处附近的甲、乙两家图文社印制此种宣传单的收费标准如下： 甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系如下表：乙图文社的收费方式为：印制2 000张以内（含2 000张），按每张0.13元收费；超过 2 000张，均按每张0.09元收费.（1）根据表中给出的对应规律，写出甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系式； （2）由于马上要用宣传单，街道办事处同时在甲、乙两家图文社共印制了1 500张宣传单，印制费共179元，问街道办事处在甲、乙两家图文社各印制了多少张宣传单？ （3）若在下周的宣传活动中，街道办事处还需要加印5 000张宣传单，在甲、乙两家EDA图文社中选择 图文社更省钱.20．如图，AC 、BC 是⊙O 的弦, BC //AO , AO 的延长线与过点C 的射线交于点D , 且∠D =90︒-2∠A .（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，1tan 2D =，求CD 和AD 的长．21. 李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了 为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ： 较差.并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）李老师一共调查了多少名同学？（2）C 类女生有 名，D 类男生有 名，将上面条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，李老师想从被调查的A 类和D 类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0︒ <α <360︒) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120︒的旋转对称图形. 如图1，点O 是等边三角形△ABC 的中心, D 、E 、F 分别为AB 、BC 、 CA 的中点, 请你将△ABC 分割并拼补成一个与△ABC .图1 图2小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC 面积相等的新的旋转对E 3 E 1P 1 P 2 N 1N 2 AFH 类别50%25%15%D C B A称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题： 如图3，在等边△ABC 中, E 1、E 2、E 3分别为AB 、 BC 、CA 的中点，P 1、P 2, M 1、M 2, N 1、N 2分别为 AB 、BC 、CA 的三等分点.（1）在图3中画出一个和△ABC 面积相等的新的旋转 对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；（2）若△ABC 的面积为a ，则图3中△FGH 的面积为 ．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点．（1）求m 的取值范围；（2）若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线13y x b=+与新图象只有一个公共点P (x 0, y 0)且 y 0≤7时, 求b 的取值范围.24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线xx m y 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐 标.备用图25. 在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE 的值, 并证明你的结论;（2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图1 图2 图3海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷答案及评分参考 2012. 6说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. B2. C3. A4. C5. B6. D7. D8. C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.23x ≥10. 5 11. 12 12．8; 21n n +- （每空各 2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13115()3tan 604---+︒=54-+ …………………………………………………4分=1. …………………………………………………5分14．解：去分母，得 ()()()()63223x x x x x ++-=-+． ………………………………2分2261826x x x x x ++-=+-. ……………………………………………………3分整理，得 324x =-．解得 8x =-． ………………………………………………………………4分F A ( M ) D N D C E N M B F E C B F NM E C B A经检验，8x =-是原方程的解．所以原方程的解是8x =-． ……………………………………………………5分15．证明：∵ AC //EG ，∴ C C PG ∠=∠． …………1分 ∵ BC //EF ，∴ C P G F E G ∠=∠．∴ C F E G ∠=∠． …………………………………………2分在△ABC 和△GFE 中，,,,AC G E C FEG BC FE =⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩∴ △ABC ≌△GFE ． …………………………………………………4分∴A G ∠=∠． …………………………………………………5分 16. 解：原式=()()()21111111a a a a a +-⋅-+-- ……………………………………………2分=()21111a a a +--- …………………………………………………3分=22.(1)a -- …………………………………………………4分由2220a a --=，得 2(1)3a -=.∴ 原式=23-. …………………………………………………5分17．解：（1）依题意设一次函数解析式为2y kx =+. …………………………………1分 ∵ 点A (2,0-)在一次函数图象上， ∴022k =-+.∴ k =1. ……………………………………………………2分 ∴ 一次函数的解析式为2y x =+. …………………………………3分 （2）A B C ∠的度数为15︒或105︒． （每解各1分） ……………………5分 18．解: ∵∠ADB =∠CBD =90︒， ∴ DE ∥CB . ∵ BE ∥CD ，∴ 四边形BEDC 是平行四边形. ………1分 ∴ BC=DE . 在Rt △ABD 中，由勾股定理得8AD ===. ………2分设D E x =，则8EA x =-． ∴8EB EA x ==-．在Rt △BDE 中，由勾股定理得 222D E B D E B +=.∴ 22248x x +=-（）． ……………………………………………………3分 ∴ 3x =．∴ 3BC D E ==． ……………………………………………………4分 ∴1116622.22ABD BD C ABCD S S S BD AD BD BC ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形 ………… 5分四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分, 第22题4分） 19．解：（1）甲图文社收费s （元）与印制数t （张）的函数关系式为0.11s t =. ……1分GFE DCB AP D ECA（2）设在甲、乙两家图文社各印制了x 张、y 张宣传单， 依题意得{1500,0.110.13179.x y x y +=+= ………………………………………… 2分解得800,700.x y =⎧⎨=⎩ ……………………………………………… 3分答：在甲、乙两家图文社各印制了800张、700张宣传单. ………………4分 （3） 乙 . ……………………………………………………… 5分20.（1）证明：连结OC .∴ ∠DOC =2∠A . …………1分∵∠D = 90°2A -∠， ∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°. ∵ OC 是⊙O 的半径，∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ………………………………………………2分（2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E , 则∠OEC =90︒.∵ BC =4,∴ CE =12BC =2.∵ BC //AO , ∴ ∠OCE =∠DOC .∵∠COE +∠OCE =90︒, ∠D +∠DOC =90︒,∴ ∠COE =∠D . ……………………………………………………3分 ∵tan D =12,∴tan C O E ∠=12.∵∠OEC =90︒, CE =2, ∴4tan CE O E CO E==∠.在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得O C ==在Rt △ODC 中, 由1tan 2O C D CD==，得CD =, ……………………4分由勾股定理可得10.O D =∴10.AD OA OD OC OD =+=+= …………………………………5分 21．解：（1）(64)50%20+÷=. 所以李老师一共调查了20名学生. …………………1分（2）C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名；补充条形统计图略.说明：其中每空1分，条形统计图1分. ……………………………………4分（3）解法一：由题意画树形图如下：………………………5分从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种.从D 类中选取从A 类中选取女女男男女女男女男所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分解法二：由题意列表如下：………………………5分由上表得出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分22.解：（1）画图如下：(答案不唯一) …………………………………2分图3（2）图3中△FGH 的面积为7a. …………………………………4分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）∵ 抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点，∴210,(2)4(1)0.m m m ì- ïïíïD =-+->ïî由①得1m¹， 由②得0m ¹，∴ m 的取值范围是0m ¹且1m ¹． ……………………………………………2分 （2）∵ 点A 、B 是抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴的交点，∴ 令0y =，即 2(1)(2)10m x m x -+--=． 解得 11x =-，211x m =-．∵1m >， ∴10 1.1m >>--∵ 点A 在点B 左侧，∴ 点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为1(,0)1m -. …………………………3分∴ OA=1，OB =11m -．∵ OA : OB =1 : 3，①② …………………………………………1分∴131m =-.∴ 43m =．∴ 抛物线的解析式为212133y x x =--． ………………………………………4分（3）∵ 点C 是抛物线212133y x x =--与y 轴的交点，∴ 点C 的坐标为(0,1)-.依题意翻折后的图象如图所示． 令7y =，即2121733x x --=．解得16x =, 24x =-．∴ 新图象经过点D (6,7). 当直线13y x b =+经过D 点时，可得5b =. 当直线13y x b =+经过C 点时，可得1b =-． 当直线1(1)3y x b b =+<-与函数2121(33y x x x =-->的图象仅有一个公共点P (x 0, y 0)时，得20001121333x b x x +=--.整理得 2003330.x x b ---=由2(3)4(33)12210b b D =----=+=，得74b =-结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为15b -<≤或4b <-． ……………7分24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x m x m m x m m mmm m=-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =.∵ 抛物线xx m y 222-=与x 轴负半轴交于点A ，∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分 过点D 作DF ⊥x 轴于F .由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2C O ∴ DF =1.2BC由抛物线的对称性得 AC = OC .∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //EO ,∴ △AFD ∽△AOE . ∴.FD AF O EAO=由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m -=∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. ………………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO 于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得 直线AC '的解析式为321+=x y .由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G , 过P 1作P1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形， 可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.∴17(1,)3P -. ……………………5分如右图，同 方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.∴27(7,)3P --. ……………………6分(ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G , 则x H = x B =-3，x G =3P x =t .由四边形AP 3MQ 3为平行四边形， 可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. ……………………………………………………7分综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P -.25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；C E B M2证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ，∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°．∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD , ∴ GF =DG =11.22DF CD =∴ 1.2G E CD =∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22AD CD =∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ……………………………2分 ∴ △NGE ≌△BAN ． ∴ ∠1=∠2. ∵ ∠2+∠3=90°， ∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°.∴ BN ⊥NE ． ……………………………………………………………3分 ∵ ∠CDF =90°, CD =DF , 可得 ∠F =∠FCD =45°，CF CD=.于是122CFCECECEBM BA CD CD ====……………………………………4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AB ∥CG ．∴ ∠MBN =∠DGN ，∠BMN =∠GDN . ∵ N 为MD 的中点， ∴ MN =DN ．∴ △BMN ≌△GDN ． ∴ MB =DG ，BN =GN .HGABCDEMNF321GFEA (M )CDNB∵ BN =NE ，∴ BN =NE =GN .∴ ∠BEG =90°． ……………………………………………5分 ∵ EH ⊥CE ， ∴ ∠CEH =90°． ∴ ∠BEG =∠CEH ． ∴ ∠BEC =∠GEH ． 由（1）得∠DCF =45°． ∴ ∠CHE =∠HCE =45°． ∴ EC=EH , ∠EHG =135°． ∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°， ∴ ∠ECB =∠EHG ． ∴ △ECB ≌△EHG ． ∴ EB =EG ，CB =HG ． ∵ BN =NG ，∴ BN ⊥NE. ……………………………………………6分∵ BM =DG= HG -HD= BC -HD =CD -HD =CH=CE ，∴CE BM=2……………………………………………7分（3）BN ⊥NE ；CE BM2.………………………………………………8分北京市西城区2012年初三二模试卷数 学 2011. 6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的倒数是A ．3B ．13-C ．3-D ．132．2010年，我国国内生产总值（GDP ）为58 786亿美元，超过日本，成为世界第二大经济体．58 786用科学记数法表示为 A ．45.878610⨯ B ．55.878610⨯ C ．358.78610⨯ D ．50.5878610⨯ 3．⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，若圆心距O 1O 2=2 cm ，则这两圆的位置关系是A ．内含B ．外切C ．相交D ．内切 4．若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形 5．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差6．小明的爷爷每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面的四个函数图象中，能大致反映当天小明的爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系的是7．下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线3+-=x y，直线4y =和直线1x =所围成的区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为(2,2)R ，则QP QR +的最小值为A ．B ．25+C ．D ．4 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式 m 3 – 4m = . 10．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ．11．如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 与小圆相切，切点为P ．若两圆的半径分别为2和1，则弦长AB =；若用阴影部分围成一个圆锥（OA 与OB 重合），则该圆锥的底面半径长为 . 12．对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n yx x +++=-+与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；11222011A B A B A B +++ 的值为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2273181---⎪⎭⎫ ⎝⎛--- ．14．已知：如图，直线AB 同侧两点C ，D 满足CAD DBC ∠=∠， AC =BD ，BC 与AD 相交于点E ．求证：AE =BE ．15．已知：关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解.16．已知 122=+xy x ，215xy y +=，求代数式()22()x y y x y +-+的值．17．如图，一次函数y kx b =+()0≠k 的图象与反比例函数m y x=()0≠m 的图象交于(3,1)A -，(2,)B n 两点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．18．今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，以下是根据本次植树活动的有关数据制作的统计图的一部分．请根据统计图所提供的有关信息，完成下列问题：（1）参加植树的学生共有 人； （2）请将该条形统计图补充完整；（3）参加植树的学生平均每人植树 棵．（保留整数）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x（辆），购车总费用为y（万元）．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．20．如图，在梯形ABC D中，AB∥D C，5AB=，4C D=，连结并延长BD到E，使==，10AD BC=，作EF AB⊥，交BA的延长线于点F．DE BD（1）求tan ABD∠的值；（2）求AF的长．21．已知：如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连结AB.（1）求证：2=⋅；A B A E A D（2）过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F，若AE=2，ED=4，求EF的长．22．如图1，若将△AOB绕点O逆时针旋转180°得到△COD，则△AOB≌△COD．此时，我们称△AOB 与△COD为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC是锐角三角形且AC＞AB，E为AC的中点，F为BC上一点且BF≠FC（F不与B，C 重合），沿EF将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形．（1）在图3中将△ABC沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；（2）在图4中将△ABC沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；（3）在图5中将△ABC沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的一块为钝角三角形．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=()0≠a 的两个实数根分别为x 1，x 2，则12b x x a+=-，12c x x a⋅=．解决下列问题：已知：a ，b ，c 均为非零实数，且a ＞b ＞c ，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，其中一根为2．（1）填空：42a b c ++ 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程20ax bx c ++=的另一个实数根（用含a ，c 的代数式表示）； （3）若实数m 使代数式2am bm c ++的值小于0，问：当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．。

2012年东城区中考二模数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．9的算术平方根是（）A ．-9B ．9C ．3D ．±32．如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是（）3．下列运算正确的是（）A ．235+a a a =B ．235a a a ⋅=C ．2333()ab a b =D ．1025a a a ÷=4．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点奇数的概率为（） A ．16B ．14C ．13D ．125．如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是（）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形6．在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的香蕉价格进行调查．四个城市5个月香蕉价格的平均值均为3．50元，方差分别为2=18.3S 甲，2=17.4S 乙，2=20.1S 丙，2=12.5S 丁．一至五月份香蕉价格最稳定的城市是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，DEF △的周长为1，则BCF △的周长为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如右图，正方形ABCD 的顶点2(0,)2A ，2(,0)2B ，顶点C 、D 位于第一象限，直线:(02)l x t t =≤≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致是（）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．使二次根式41x-有意义的x的取值范围是．10．一个扇形的圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为．11．观察下列等式：1=1，2+3+4=9，3+4+5+6+7=25，4+5+6+7+8+9+10=49，……照此规律，第5个等式为．12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON＝90°，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，与正方形ABCD的边交于点G、H，则由OE、OF、弧EF及正方形ABCD的边围成的图形（阴影部分）的面积S=．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：027(4π)6cos30+2---︒-．14．解方程组：212x yx y+=⎧⎨-=⎩．15．已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC．16．先化简，再求值：22121(1)1x x x x -+-÷-，其中2x =-．17．列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m 、宽6m 的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x 值．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与反比例函数ky x=的图像交于点(3,4)A -，AC x⊥轴于点C ．（1）求此反比例函数的解析式；（2）当直线AB 绕着点A 转动时，与x 轴的交点为(,0)B a ，并与反比例函数ky x=图象的另一支还有一个交点的情形下，求ABC △的面积S 与a 之间的函数关系式．并写出自变量a 的取值范围．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．在母亲节来临之际，某校团委组织了以“学会生存，感恩父母”为主题的教育活动，在学校随机调查了若干名同学平均每周在家做家务的时间，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图：根据上述信息回答下列问题： （1）a=，b=；（2）在扇形统计图中，B 组所占圆心角的度数为；（3）全校共有1000名学生，估计该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有多少人？20．如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，AE BC ⊥于点E ，3cos 5B =，求t a n C D E ∠的值．21．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为半径的⊙O 与AD ，AC 分别交于点E ，F ，ACB DCE ∠=∠．（1）请判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:1:2DE EC =，2BC =，求⊙O 的半径．组别 做家务的时间 频数 频率 A 1≤t ＜23 0．06 B 2≤t ＜4 20 c C 4≤t ＜6 a 0．30 D 6≤t ＜88 b E t ≥8 40．0822．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根．据此可知：（1）i 可以运算，例如：321i i i i i =⋅=-⨯=-，则4=i ， 2011=i ___________，2012i =____________；（2）方程2220x x -+=的两根为．（根用i 表示）．五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若正整数m 满足822m ->，设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A 、B两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．24．已知：等边ABC△中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC 上，且60MON∠=︒．（1）如图1，当CM CN=时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM CN≠时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数22y ax ax c =++的图像与y 轴交于点，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3,0)-． （1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时CPB △的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标．2012年东城区中考二模数学试卷答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CDBDADBC二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 9 10 1112答案14x ≥23π 567891011121381++++++++=2π-三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=33316+22--⨯=1．14．解：①+②得：23x x +=1x =．将1x =代入②得：12y -=， 1y =- ∴11x y =⎧⎨=-⎩．15．证明：∵AC 平分BCD ∠，BC 平分ABC ∠， ∴ACB DBC =∠∠ 在ABC △与DCB △中， ABC DCB ACB DBC BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴ABC DCB ≌△△ ∴AB DC =．16．解：原式()()()()()()22111111=111x x x x x x x x x x x x -+---+÷==+--· 当2x =-时，原式211=22-+=-．17．解：据题意，得1(8)(6)862x x --=⨯⨯．解得112x =，22x =． 1x 不合题意，舍去．∴2x =．18．解：（1）∵4=3k-12k =- ∴12y x-=（2）∵(3)3BC a a =--=+4AC =， ∴14(3)2ACB S a ∆=⨯⨯+26(3)a a =+>-四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）15，0.16； （2）144︒；（3）271000[(1584)50]100054050⨯++÷=⨯=（人） 答：该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有540人．20．解：在ABE △中，AE BC ⊥，5AB =，3cos 5B =∴3BE =，4AE =∴835EC BC BE =-=-=． ∵平行四边形ABCD ， ∴5CD AB ==∴CED △为等腰三角形． ∴CDE CED ∠=∠． ∵AD BC ∥， ∴ADE CED ∠=∠． ∴CDE ADE ∠=∠．在Rt ADE △中，4AE =，8AD BC ==， ∴41ta n 82CDE ∠==．21．解：（1）直线CE 与⊙O 相切 证明：∵矩形ABCD ， ∴BC AD ∥，ACB DAC ∠=∠． ∵ACB DCE ∠=∠， ∴DAC DCE ∠=∠．连接OE ，则DAC AEO DCE ∠=∠=∠． ∵90DCE DEC ∠+∠=︒， ∴90AEO DEC ∠+∠=︒， ∴90OEC ∠=︒． ∴直线CE 与⊙O 相切．（2）∵ AB 2tan 2BC ACB =∠=，2BC =， ∴tan 2AB BC ACB =⋅∠=，6AC =． ∵ACB DCE ∠=∠，∴2tan D 2CE ∠=，∵tan D 1DE DC CE =⋅∠=． 在Rt CDE ∆中，3CE =．设O ⊙的半径是r ，则在Rt CEO ∆中， 222CO CE EO =+，即22(6)3r r -=+，解得64r =．22．解：（1）4222=()(1)1i i =-=，201120101i i i i i =⋅=-⨯=-，20121i =； （2）2220x x -+=2(1)1x -=- 1x i -=±11x i =+，21x i =-方程2220x x -+=的两根为1i +和1i -．五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）2(4)12(1)m m ∆=---2(2)m =+．由题意得，2(2)0m +>且10m -≠．∴符合题意的m 的取值范围是2m ≠-且1m ≠的一切实数． （2）∵正整数m 满足822m ->， ∴m 可取的值为1和2．又∵二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+， ∴2m =．∴二次函数为2-23y x x =++．∴A 点、B 点的坐标分别为(1,0)-、(3,0)． 依题意翻折后的图象如图所示．由图象可知符合题意的直线3y kx =+经过点A 、B ． 可求出此时k 的值分别为3或1-．注：若学生利用直线与抛物线相切求出2k =也是符合题意的答案．24．解：（1）AM CN MN =+． （2）AM CN MN =+．证明：过点O 作OD AC ⊥，OE BC ⊥，易得OD OE =，120DOE ∠=︒， 在边AC 上截得'DN NE =，连结'ON ，OED BC AM N N'E M xy O A BCD ∵'DN NE =， OD OE =， 'ODN OEN ∠=∠∴'DON EON ≅△△∴'ON OE =．'DON NOE ∠=∠． ∵120DOE ∠= ，60,MON ∠= ∴60MOD NOE ∠+∠=︒． ∴'60MOD DON ∠+∠=︒． 易证'MON MON ∆≅∆． ∴'MN MN =．∴'MN MD DN MD NE =+=+． MD AM AD AM CE =-=-， NE CE CN =-．∴()()MN AM CE CE CN AM CN =-+-=- ∴AM CN MN =+． （3）MN CN AM =+．25．解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩解得：1,3.a c =-⎧⎨=⎩所以，所求二次函数的解析式为：223y x x =--+ 顶点D 的坐标为(1,4)-．（2）易求四边形ACDB 的面积为9． 可得直线BD 的解析式为26y x =+．设直线OM 与直线BD 交于点E ，则OBE △的面积可以为3或6． ① 当1=9=33OBE S ∆⨯时，易得E 点坐标(2,2)--，直线OE 的解析式为y x =-．设M 点坐标(,)x x -， 223x x x -=--+11132x --=（舍），21132x -+=∴113113()22M -+-+， ② 当1=9=63OBE S ∆⨯时，同理可得M 点坐标．∴M 点坐标为(1,4)-．（3）连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ，因为点P 在抛物线上，所以232n m m =-+-，xy O AB CDM所以PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C 111()222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()223332732228m m m ⎛⎫=-+=-++⎪⎝⎭． 因为3<0m -<，所以当32m =-时，154n =．CPB △的面积有最大值278．所以当点P 的坐标为315(,)24-时，CPB △的面积有最大值，且最大值为278．2012年东城区中考二模数学试卷部分解析一、选择题 1. 【答案】C【解析】9的算术平方根是3，故选C ．2. 【答案】D【解析】该立体图的俯视图是，故选D ．3. 【答案】B 【解析】2336()ab a b =，1028a a a ÷=，235a a a ⋅=，故选B ．4. 【答案】D【解析】骰子的六个面1到6共6个点数，奇数有3个，故选中奇数的概率为12，故选D ．5. 【答案】A【解析】多边形外角和为360︒，该多边形内角和为720︒，内角和公式为(2)180720n -⨯︒=︒，解得6n =，故选A ．6. 【答案】D【解析】平均数相同的情况下，方差越小，波动越小，越稳定，故选D ．7. 【答案】B【解析】依题可知DEF BFC ∽△△，12DE BC =，由相似三角形的性质可知，相似三角形周长之比等于相似比，DEF △的周长为1，所以BCF △的周长为2，故选B ．8. 【答案】C【解析】当l 在BC 的左侧，阴影部分的面积2S t =；当l 在BC 的右左侧，阴影部分的面积21(2)S t =--，故选C ．二、填空题 9. 【答案】14x ≥【解析】二次根式41x -有意义，被开方数大于等于0，所以410x -≥，14x ≥．故答案为：14x ≥．10. 【答案】23π【解析】扇形的弧长为π180n r l =︒，所以120π12π1803l ︒⨯==︒． 故答案为23π．11. 【答案】567891011121381++++++++=【解析】根据前几项找规律可知，第一行从1开始一个数，第二行从2开始连续的三个自然数的和，第三行从3开始连续的五个自然数的和，第四行从4开始连续的七个自然数的和，第五行从5开始连续的九个自然数的和，L 第n 行从n 开始连续的(21)n -个自然数的和． 故答案为：567891011121381++++++++=．12. 【答案】2π-【解析】由题可知，阴影部分的面积等于扇形EOF 的面积减去四边形BHOG 的面积，而四边形BHOG 的面积等于正方形ABCD 面积的14，正方形面积为144=82⨯⨯，所以阴影部分的面积为290π218π23604︒⨯-⨯=-︒．故答案为：2π-．。

BCAD 银川外国语实验学校2012届初三年级第二次模拟考试数 学 试 卷考试时间：120分钟 总分：120分 命题教师:沈春灵一、选择题(每题3分,共24分） 1. 下列运算正确的是（ ）A. 1331=÷-B. a a =2C. ππ-=-14.3|14.3|D. 26234121b a b a =⎪⎭⎫⎝⎛2. 下列说法正确的是（ ）A. 抽样调查选取样本时，所选样本可按自己爱好抽取B. 某工厂质检员检测某批次灯泡的使用寿命采用普查法C. 想准确了解某班学生某次数学测验成绩，采用抽样调查，但需抽取的样本容量较大D. 检测某城市的空气质量，采用抽样调查 3. 如图，图中圆与圆之间不同的位置关系有（ ）A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种4. 如图所示，正方形ABCD 的边长为2，动点P 从C 出发，在正方形的 边上沿着C →B →A 的方向运动（点P 与A 不重合）。

设点P 的运动路程为x ， 则下列图象中表示△ADP 的面积y 关于x 的函数关系的是（ ）A B C D5. 如图，直线l 和双曲线)0(>=k xky 交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，△POE 的面积为S 3，则（ ）A. S 1<S 2<S 3，B. S 1>S 2>S 3，C. S 1=S 2>S 3D. S 1=S 2<S 36. 如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠， B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ）A. 25°B. 30°C. 45°D. 60°7. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB 的大小为（ ） A. 40°B. 30°C. 45°D. 50°8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点A 的坐标是（3，1）。

北京市东城区2011--2012学年第二学期初三综合练习（二）数 学 试 卷 2012.6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 9的算术平方根是A ．-9B ．9C ．3D ．±3 2. 如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是3. 下列运算正确的是A ．532a a a =+B ．532a a a =⋅C ．3332)(b a ab =D ．5210a a a =÷4. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为奇数的概率为 A ．16B ．14C ．13D ．125. 如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是 A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形6. 在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的香蕉价格进行调查．四个城市5个月香蕉价格的平均值均为3.50元，方差分别为2S 甲＝18.3，2S 乙＝17.4，2S 丙＝20.1，2S 丁＝12.5．一至五月份香蕉价格最稳定的城市是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，DEF △的周长为1，则BCF △的周长为A ．1B ．2C ．3D ．48. 如右图，正方形ABCD 的顶点A ，B ，顶点C D 、位于第一象限，直线:(0l x t t =≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.x 的取值范围是 ．10. 一个扇形的圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为 ． 11. 观察下列等式： 1=1，2+3+4=9， 3+4+5+6+7=25， 4+5+6+7+8+9+10=49，……照此规律，第5个等式为 ． 12. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作 ∠MON ，使∠MON ＝90°，OM 、ON 分别与⊙O 交于点E 、F ，与正方形ABCD 的边交于点G 、H , 则由OE 、OF 、EF ⌒及正方形ABCD 的边围成的图形(阴影部分)的面积S= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.0(4)6cos302-π-+-．14. 解方程组212x y x y +=⎧⎨-=⎩，．15. 已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、CA 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线．求证：AB =DC ．16. 先化简，再求值：2212111x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭，其中2x =-．17. 列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m 、宽6m 的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x 值．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与反比例函数ky x =的图像交于点A(-3,4),AC ⊥x 轴于点C.(1)求此反比例函数的解析式；(2)当直线AB 绕着点A 转动时,与x 轴的交点为B(a,0),并与反比例函数ky x=图象的另一支还有一个交点的情形下,求△ABC 的面积S 与a 之间的函数关系式.并写出自变量a 的取值范围．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．在母亲节来临之际，某校团委组织了以“学会生存，感恩父母”为主题的教育活动，在学校随机调查了若干名同学平均每周在家做家务的时间，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图：根据上述信息回答下列问题：（1）a= ，b= ;（2）在扇形统计图中，B 组所占圆心角的度数为 ;（3）全校共有1000名学生，估计该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有多少人？20． 如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，AE BC ⊥于点E ，53cos =B ，求tan CDE ∠的值．21．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为 半径的O ⊙与AD ，AC 分别交于点E ，F ，∠ACB =∠DCE ．（1）请判断直线CE 与O ⊙的位置关系，并证明你的结论；（2）若 DE:EC=1 2BC =，求⊙O 的半径．22. 阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根．据此可知：(1) i 可以运算，例如：i 3=i 2·i =-1×i =-i ，则i 4= ， i 2011=______________，i 2012=__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=． （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2） 若正整数m 满足822m ->，设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．24. 已知：等边ABC ∆中，点O 是边AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N 分别在直线AC , BC上，且60MON ∠=．(1) 如图1，当CM=CN 时， M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；（2） 如图2，当CM ≠CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图3，当点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点(0,3)C ，与x轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0) （1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2） 点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3） 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P 的坐标.2012北京市东城区中考二模数学试题及答案11。

北京市东城区2012--2013学年第二学期初三综合练习（二） 数 学 试 卷 2013.6学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 3的相反数是 A ． 3-B ．3C ．13 D ． 13-2. 太阳的半径大约是696 000千米，用科学记数法可表示为A ．696×103千米 B ．6.96×105千米 C ．6.96×106千米 D ．0.696×106千米 3．下列四个立体图形中，主视图为圆的是A B C D 4．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AC =3，那么AB 的长为 A.3sin α B.3cos αC.αsin 3D.αcos 35. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为 A ．16B ．14C ．13D ．126. 若一个多边形的内角和等于720︒，则这个多边形的边数是 A ．5B ．6C ．7D ．87. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是 A ．1.65，1.70 B ．1.70，1.70C ．1.70，1.65D ．3，48. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O 的半径为1，动直线AB 与x 轴交于点(,0)P x ，直线AB 与x 轴正方向夹角为45︒，若直线AB 与⊙O 有公共点，则x 的取值范围是A ．11x -≤≤B ．x <<C ．0x ≤≤D ．x ≤≤二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 在函数23-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 10. 分解因式：244mn mn m ++= ．11. 如图，已知正方形ABCD 的对角线长为形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中折成的4个阴影三 角形的周长之和为 .12. 如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=, 则1A ∠＝ ；n A ∠＝ . 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 计算：1012cos 45()(4-︒--π． 14. 解分式方程：211322x x x--=--． 15. 已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边BC ，AD 上的点，且12∠=∠. 求证：AE=CF .16. 已知2410x x -+=，求2(1)64x x x x-+--的值.17. 列方程或方程组解应用题：我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15，中、美两国人均淡水资源占有量之和为 13 800m 3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m 3）？18. 如图，一次函数1y x =--的图象与x 轴交于点A ， 与y 轴交于点B ，与反比例函数ky x=图象的一个 交点为M （﹣2，m ）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P 是反比例函数ky x=图象上一点， 且2BOP AOB S S =△△，求点P 的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某中学九（1）班同学为了解2013年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理.请解答以下问题：（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）求该小区用水量不超过15吨的家庭占被调查家庭总数的百分比；（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20吨的家庭大约有多少户？20． 已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E .(1）求证：AM =2CM ；（2）若12∠=∠，CD =ME 的值.21．如图，点A ，B ，C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°，AC =3，CD是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP =AC ． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求PD 的长．22. 阅读并回答问题：数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情境，解决下列问题：（1） 小聪的作法正确吗？请说明理由；（2） 请你帮小颖设计用刻度尺作AOB ∠平分线的方法.（要求：不与小聪方法相同，请画出图形，并写出画图的方法，不必证明）.五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）求证：抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的整数根时，把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．24. 在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，E 是AB 边上一点，EF CE ⊥交AD 于点F ，过点E 作AEH BEC ∠=∠，交射线FD 于点H ，交射线CD 于点N . （1）如图1，当点H 与点F 重合时，求BE 的长；（2）如图2，当点H 在线段FD 上时，设BE x =，DN y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）连结AC ，当以点E ，F ，H 为顶点的三角形与△AEC 相似时，求线段DN 的长.25．定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a 与线段b的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中的四点.（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是______ .（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d.（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长.北京市东城区2012--2013学年第二学期初三综合练习（二）数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13. 解：1012cos 45()(4π-︒--=2(4)214---分3=. ………5分14. 解：211322x x x -+=-- ………………1分 去分母得2113(2)x x -+=-解得6x =. ………………4分 经检验：6x =是原方程的根.所以原方程的根为6x =. ………………5分 15. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠B=∠D .…………………………2分 在△ABE 与△CDF 中，12.AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，∴△ABE ≌△CDF .…………………………4分 ∴AE=CF .………………………………5分16. 解:2(1)64x x x x-+-- 2(1)(4)(6)=(4)x x x x x x ---+-22424=4x x x x-+-2410x x -+=，24=1x x ∴-- .22424124==23.41x x x x -+-+=---原式 ………………………………………5分17. 解：设中国人均淡水资源占有量为x m 3，美国人均淡水资源占有量为y m 3． 根据题意得：5,13800.y x x y =⎧⎨+=⎩……………………………………………2分解得：2300,11500.x y =⎧⎨=⎩ ……………………………………………4分答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2 300m 3，11 500m 3．………………………5分 18．解: (1) ∵M （﹣2，m ）在一次函数1y x =--的图象上，∴ 211m =-=.∴ M （﹣2，1）.又M （﹣2，1）在反比例函数ky x=图象上， ∴2k =-. ∴2y x-=. ……........................3分 (2)由一次函数1y x =--可求(10)A -，，(0,1)B -.∴11122112AOB S OB OA ∆=⨯⨯⨯=⨯=. ∴21=BOP AOB S ∆∆=.设BOP ∆边OB 上的高位h ，则=2h . 则P 点的横坐标为2±. 把P 点的横坐标为2±代入2y x-=可得P 点的纵坐标为1. (2,1)P ∴-或(2,1)P -. ……5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1） 表格：从上往下依次是：12，0.08；图略； ……3分（2）68％；……4分 （3）120户. ……5分20．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形．∴BC//AD .∴△∽△CFM ADM . ∴CF CMAD AM=. ∵F 为边BC 的中点，∴1122CF BC AD ==. ∴12CF CM AD AM ==. ∴2AM MC =. ……………………2分 （2）∵A B//DC ， ∴ 1=4∠∠. ∵1=2∠∠, ∴ 2=4∠∠. ∵ME ⊥CD ， ∴12CE CD =. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴ 3=4∠∠. ∵F 为边BC 的中点， ∴12CF BC =. CF CE ∴=.在△CMF 和△CME 中，3=4∠∠，CF =CE ，CM 为公共边，∴△CMF ≌△CME ． ∴ =90CFM CEM ∠∠=︒. ∵2=34∠∠=∠, ∴2=3430∠∠=∠=︒.∴ME CE =.∵2CD CE ==,∴CE = ∴1ME =. ……………………………5分 21．解：（1）证明：连接OA ． ∵∠B =60°，∴∠AOC =2∠B =120°．又∵OA=OC ，∴∠ACP =∠CAO =30°．∴∠AOP =60°． ∵AP=AC ，∴∠P =∠ACP =30°． ∴∠OAP=90°，∴OA ⊥A P ．∴ AP 是⊙O 的切线． …………………2分 （2）解：连接AD ．∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CAD =90°．∴AD =AC •tan30°=3． ∵∠ADC =∠B =60°，∴∠P AD =∠ADC ﹣∠P =60°﹣30°=30°．∴∠P =∠P AD ．∴PD=AD …………………5分22．解：（1）小聪的作法正确. …………………1分∵PM ⊥OM , PN ⊥ON ， OMP =∠ONP =90°.Rt △OMP 和Rt △ONP 中， ∵OP=OP ,OM=ON ，∴Rt △OMP ≌R t △ONP （HL ）.∴MOP NOP ∠=∠.OP 平分∠AOB . …………………2分 2）解：如图所示. …………………3分作法：①利用刻度尺在OA ，OB 上分别截取OG=OH .②连结GH ，利用刻度尺作出GH 的中点Q .③作射线OQ ，则OQ 为∠AOB 的平分线. …5分五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）22(2)4(1)m m m ∆=-+-=.∵方程有两个不相等的实数根，∴0≠m .……………………………………………………………………………1分 ∵01≠-m ，∴m 的取值范围是01m m ≠≠且.………………………………………………………2分（2）证明：令0=y 得，01)2()1(2=--+-x m x m . ∴)1(2)2()1(2)2(2-±--=-±--=m m m m m m x . ∴1)1(221-=--+-=m m m x ，11)1(222-=-++-=m m m m x . …………………………………4分 ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0,1-），（0,11-m ）.∴无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过定点（1,0-）.……5分（3）∵1-=x 是整数 ∴只需11-m 是整数. ∵m 是整数，且01m m ≠≠且,∴2=m .…………………………………………………………………………6分 当2=m 时，抛物线为12-=x y ．把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 861)3(22+-=--=x x x y .…………………………………………………7分24．解：（1）∵EF EC ⊥，∴90AEF BEC ∠+∠=︒.∵AEF BEC ∠=∠，∴45BEC ∠=︒.∵90B ∠=︒，∴BE BC =.∵3BC =，∴3BE =.…………………2分（2）过点E 作EG CN ⊥，垂足为点G .∴BE CG =.∵AB ∥CN ，∴AEH N ∠=∠，BEC ECN ∠=∠.∵AEH BEC ∠=∠，∴N ECN ∠=∠.∴EN EC =.∴22CN CG BE ==.∵BE x =，DN y =，4CD AB ==，∴()2423y x x =-≤≤.…………………4分（3）∵矩形ABCD ，∴90BAD ∠=︒.∴90AFE AEF ∠+∠=︒.∵EF EC ⊥ ，∴90AEF CEB ∠+∠=︒.∴AFE CEB ∠=∠.∴HFE AEC ∠=∠.当以点E ，F ，H 为顶点的三角形与AEC ∆相似时，ⅰ）若FHE EAC ∠=∠，∵BAD B ∠=∠，AEH BEC ∠=∠，∴FHE ECB ∠=∠ .∴EAC ECB ∠=∠.∴tan tan EAC ECB ∠=∠，∴BC BE AB BC =.∴94BE =.∴12DN =. ⅱ)若FHE ECA ∠=∠，如图所示，记EG 与AC 交于点O .∵AEH BEC ∠=∠，∴AHE BCE ∠=∠.∴ENC ECN ∠=∠.∵EN EC =，EG CN ⊥， ∴12∠=∠.∵AH ∥EG ，∴1FHE ∠=∠.∴2FHE ∠=∠.∴2ECA ∠=∠. ∴EO CO =.设3EO CO k ==，则4,5AE k AO k ==，∴85AO CO k +==. ∴58k =. ∴52AE =，32BE =. ∴1DN =. 综上所述，线段DN 的长为12或1. ………………7分25.解：（1）2 ………………4分（2）当24m ≤≤时，(22)d n n =-≤≤；当46m ≤≤时，2d =. ………………6分（3）16+4π. ………………8分。