【2013嘉兴二模】浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试数学理试题 Word版含答案)

秘密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）模拟卷二 数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率(1)k kn k n n P C P P -=-（k=0，1，2，…，n ）球的表面积公式24R S π=，球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高棱台的体积公式11221()3V h S S S S =++，其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡指定区域内作答1．设集合A={x|1≤|x －1|≤2}，集合B ={x|0322≤-+x x }, 则C R A ∩（C R B ）=（） A ．（2，3）B ．[-3，3]C ．(]3,-∞-∪[)+∞,3D ．（－∞，－3）∪（3，+∞）2．已知i 是虚数单位，ai i-+131的共轭复数是－3i ，则实数a=（） A ．3 B ．－3 C ．31 D ．－313．设a ∈R ，则“a ＝－415”是“直线l ：ax+2y －1=0与圆C ：x 2+（y －a ）2=4相切”的（）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．把函数y=cos （2x －1）的图象向左平移21，再横向伸长2倍后可得函数（）A ．y=cos （x+2π）B ．y=sin （x+2π）C ．y=sinx D ．y=cos （x+23π）5．设a ，b 是两个非零向量， ①.若|a +b |=|a |+|b |，则a ∥b ②.若a ∥b ，则|a +b |=|a |+|b |③若|a +b |=|a |+|b |，则存在实数λ，使得b =λa ④若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |+|b |则正确命题是（）A ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．②④6．从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其积为偶数，则不同的取法共有（）A ．65B ．66C ．121D ．917．若正数x ，y ，a 满足x+3y=axy ，且3x+4y 的最小值为25，则a 为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．F 1，F 2分别是双曲线C ：22a x －22by =1（a ，b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若△OBM 的面积为△OBF 1的面积的三倍，则C 的离心率是（） A.23 B ．6C ．2D ．3 9．设实数a>1，b>1，①若lna+2a=lnb+3b ，则a ＞b ②若lna+2a=lnb+3b ，则a ＜b ③若lna －2a=lnb －3b ，则a ＞b ④若lna －2a=lnb －3b 则a ＜b 则下列命题成立的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③10．已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A.存在某个位置，使得直线AC 与平面ABD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与平面ACD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与平面ABC 垂直.D.对任意位置，三对直线与平面“AC 与平面ABD ”，“AB 与平面ACD ”，“AD 与平面ABC ”均不垂直第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题 ：本大题共7小题，每小题4分，共28分，请在答题卡指定区域内作答（第13题图）11．直角三角形△ABC 两直角边为AB=3和AC=2，△ABC 围绕AC 所在直线旋转到某一位置△AB 1C ，构成一个三棱锥C —ABB 1（单位：cm ），则该三棱锥的体积的最大值为________cm 3. 12．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则d=_______13．如右上图，如果执行它的程序框图，输入正整数48==m n 、，那么输出的p 等于14．若将函数f （x ）=x 5表示为f （x ）=a 0＋a 1（1＋x ）＋a 2（1＋x ）2＋……＋a 5（1＋x ）5，其中a 0，a 1，a 2，…a 5为实数，则a 1+a 5=_________15．实数x ，y 满足平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-0,00201y x y x y x ，则覆盖此平面区域的最小圆的方程是______16．设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则 f （0.5）+f （1.5）+f （2.5）+…+f （2013.5）=_____17．如图，AB 为单位圆的直径，E ，F 为半圆上点，弧BE 是弧的三分之一，若AB ·AF=1，则·的值是三、解答题 ：本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，请在答题卡指定区域内作答 18．(本小题满分14分)已知函数f （x ）=2asin 2x+2sinxcosx －a （a 为常数）在x=83π处取得最大值 （1）求a 值；（2）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （3）若f （θ）=51，0＜θ＜83π，求cos θ 19． (本小题满分14分)单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，CD 中点，平面A 1EF 交BB 1于M ，交DD 1于N（1）画出几何体A 1MEFN —ABEFD 的直观图与三视图； （2）设AC 中点为O ，在CC 上存在一点G ，使CG =λ1CC ，且OG ⊥平面A 1EF ，求λ；（3）求A 1C 与平面A 1EF 所成角的正弦值20． (本小题满分14分) 设单调递增等比数列{a n }满足a 1+a 2+a 3=7，且a 3是a 1，a 2+5的等差中项，（1）求数列{a n }的首项； （2）数列{c n }满足：对任意正整数n ，11a c +22a c +…+n n a c =22+12112--n n 均成立，求数列{c n }的通项FEADBC 1B1D 1A1BOEF21．(本小题满分15分) 已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a .（1）如果椭圆C 左焦点为（－2，0），且经过点)2,2(--，求椭圆C 的方程（2）设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上； 22．(本小题满分15分) 已知函数f(x)=21(x －1)2+lnx ，g(x)=kx －k ． （1）若23=k ，求函数F(x)=f(x)－g(x)的极值； （2）若对任意的)3,1(∈x ，都有f(x)＞g(x)成立，求k 的取值范围．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

浙江省嘉兴市2013年高三教学测试(二)理综7．对以下问题的认识中，不正确．．．的是 A ．质谱法是用高能粒子束轰击有机物分子，使之分离成带电的“碎片”，并根据其特征谱分析有机物结构的方法B ．丁达尔现象可用于区别溶液与胶体，云、雾、稀硫酸均能产生丁达尔现象C ．谷氨酸（ ）的熔点高达205℃，难溶于苯等有机溶剂，主 要是因为形成内盐D ．“地沟油”经过加工处理制得肥皂或生物柴油，可以实现厨余废物合理利用8．下列说法正确的是A ．硅酸钠溶液的保存和碱溶液一样，存放在橡胶塞密封的广口试剂瓶中B ．用如右图所示操作配制浓硫酸和浓硝酸的混酸C ．用移液管取液后，将移液管垂直放入稍倾斜的容器中，并使管尖与容器内壁接触，松开食指使溶液全部流出，数秒后，取出移液管D ．欲分离硝酸钾和氯化钠的混合物（物质的量比为1：1），先将样品溶解，然后加热至溶液表面出现晶膜后冷却，过滤得硝酸钾晶体；将母液加热至有大量晶体析出后，用余热蒸干，得氯化钠晶体9．X 、Y 、Z 、W 、R 是5种短周期元素，其原子序数依次增大。

X 是周期表中原子半径最小的元素，Y 原子最外层电子数是次外层电子数的3倍，Z 、W 、R 处于同一周期，R 与Y 处于同一族，Z 、W 原子的核外电子数之和与Y 、R 原子的核外电子数之和相等。

下列说法正确的是A ．元素Y 、Z 、W 形成的离子具有相同电子层结构，其离子半径依次增大B ．39g Z 2Y 2中含有的离子数约为1.204×1024C ．元素Z 、R 的氧化物的水化物之间相互反应生成的盐溶液呈中性或碱性D ．元素Y 、R 分别与元素X 形成的化合物的热稳定性：X m Y>X m R10．如图是一种可充电的锂离子电池充、放电的工作示意图。

该电池的反应式为：LiMnO 2 ＋ C 6 Li 1－x MnO 2 ＋ Li x C 6（Li x C 6表示锂原子嵌入石墨形成的复合材料，LiMnO 2表示含锂原子的MnO 2）下列有关说法正确的是A ．K 与N 相接时，A 极为负极，该电极反应式为：Li x C 6 － x e ˉ＝ C 6 ＋ x Li +B ．在整个充电或放电过程中都只存在一种形式的能量转化C ．K 与N 相接时，Li ＋由A 极区迁移到B 极区D ．K 与M 相接时，A 极发生氧化反应，LiMnO 2 －x e ˉ ＝ Li 1－x MnO 2 ＋ x Li +11．下列说法正确的是A．按系统命名法，有机物的命名为2,2,4,4 –四甲基-3,3,5-三乙基己烷B ．乙醇发生消去反应、乙醇氧化为乙醛、乙酸的酯化反应中均是C-O 键发生断裂C ．叶酸的结构如右图所示，叶酸可以发生酯化、水解、氧化、加成等反应HOOC-CH 2CH2-CH-COOH2D ．荧光黄结构为，其分子式为C 20H 12O 5，其中最多有9个碳原子共平面12．关于下列各图的叙述不正确．．．的是图 甲 表 乙 图 丙A ．已知CO 的燃烧热283kJ/mol ，2H 2(g)+O 2(g)=2H 2O(g)；ΔH= - 483.6kJ/mol,则图甲表示CO 和H 2O(g)生成CO 2和H 2的能量变化B ．某温度下，pH=11的NH 3·H 2O 和pH=1的盐酸等体积混合后（不考虑混合后溶液体积的变化）恰好完全反应，反应后的溶液中NH 4+、NH 3·H 2O 与NH 3三种微粒的平衡浓度之和为0.05mol·L ˉ1 C ．在常温下，X 2(g)和H 2反应生成HX 的平衡常数如表乙所示，仅依据K 的变化，就可以说明在相同条件下，平衡时X 2（从F 2到I 2）的转化率逐渐降低，且X 2与H 2反应的剧烈程度逐渐减弱 D ．图丙中曲线表示常温下向弱酸HA 的稀溶液中加水稀释过程中，)()(HA c A c 的变化情况 13．固体粉末X 中可能含有FeO 、Fe 2O 3、MnO 2、K 2SiO 3、K 2SO 3、KAlO 2、MgCl 2、K 2CO 3、NaNO 2中的若干种。

2013年浙江省嘉兴市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={1，3，9}，x∈A，且x∉B，则x=()A.1B.2C.3D.9【答案】B【解析】试题分析：先由x∈A，确定出x的取值范围，再由x∉B，去掉不满足条件的x，从而得到x的值．∵x∈A，∴x的可能取值是1，2，3．∵x∉B，∴x的值不能取1，3，9，∴x=2．故选B．2.在复平面内，复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】试题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．∵复数===，∴复数对应的点的坐标是(，)∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．3.若，则()A.0＜x＜1B.x＜C.0＜x＜D.＜x＜1【答案】C【解析】试题分析：由不等式，可得，解此不等式组求得原不等式的解集．由不等式，可得，解得0＜x＜，故选C．4.对于指数函数f(x)=a x，“a＞1“是“f(x)在R上的单调”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：根据指数函数f(x)=a x的性质，当a＞1时y=f(x)为R上的单调增函数，当0＜a＜1时，y=f(x)为R上的单调减函数；可判定它们的关系．根据指数函数f(x)=a x的性质，当a＞1时y=f(x)为R上的单调增函数，当0＜a＜1时，y=f(x)为R上的单调减函数；则“a＞1“能得出“f(x)在R上的单调”，而在R上f(x)在R上的单调，不能推出a＞1，故“a＞1“是“f(x)在R上的单调”的充分而不必要条件．故选A．5.在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：如下图所示，从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，可有种选法；其中构成的四边形是梯形的只有6．根据古典概型的概率计算公式即可得出．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，可有种选法；其中构成的四边形是梯形的只有6：ADEF，ADCB，BEFA，BEDC，ADCB，ADEF．由古典概型的概率计算公式可得：P==．故选B．6.已知直线l，m与平面α，β，γ，满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则必有()A.α⊥γ，m∥βB.α∥β，α⊥γC.m∥β且l⊥mD.α⊥γ，l⊥m【答案】D【解析】试题分析：利用线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理判断即可．设底面ABCD为平面γ，平面CDEF为平面α，平面ABFE为平面β，∵m⊥γ，m⊂α，∴α⊥γ．(面面垂直的判定定理)设α∩γ=b，∵l∥α，l⊂β，α∩γ=b，∴l∥b，(线面平行的性质定理)又∵m⊥γ，b⊂γ，∴m⊥b，(线面垂直的性质)又∵l∥b，∴l⊥m．故选D．7.某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：通过三视图判断组合体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．由题意可知组合体上部是底面半径为1，母线长为2的圆锥，下部是半径为1的球，所以圆锥的高为：，所以组合体的体积为：=．故选A．8.函数y=sinωx(ω＞0)的部分图象如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为()A. B. C. D.π【答案】A【解析】试题分析：可得△ABC为等腰直角三角形，进而可得AB=2CD=4，还可得AB=，解方程可得ω的值．由题意结合三角函数的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB为直角，取AB的中点为D，由三角函数的最大值和最小值为1和-1，可得CD=1-(-1)=2故AB 的长度为2CD=4，又AB为函数的一个周期的长度，故可得2=，解之可得ω=故选A9.设F是双曲线的左焦点，C是其右顶点，过F作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，若△ABC是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是() A.(1，2) B.(1+，+∞) C.(1，1+) D.(2，+∞)【答案】D【解析】试题分析：利用双曲线的对称性及钝角△ABC，可得∠ACF1＞45°，从而得到|AF1|＞|CF1|，由此建立关于a、b、c的不等式，转化成关于离心率e的一元二次不等式，解之即可得出双曲线离心率的范围．根据双曲线的对称性，可得|AC|=|BC|，∴△ABC是等腰三角形，若△ABC是钝角三角形，则∠ACB是钝角．∵∠ACF1=∠ACB，可得R t△ACF1中，∠ACF1＞45°．∴|AF1|＞|CF1|，可得，即，整理得c2-ac-2a2＞0两边都除以a2，可得e2-e-2＞0，解之得e＜-1或e＞2．∵双曲线的离心率e∈(1，+∞)，∴e＞2．故选：D．10.已知正实数a，b满足a+2b=1，则的最小值为()A. B.4 C. D.【答案】D【解析】试题分析：由条件利用基本不等式可得ab∈(0，]，再由=1-4ab+，且1-4ab+在(0，]上是减函数，求得它的最小值．∵已知正实数a，b满足a+2b=1，∴1=a+2b≥2，当且仅当a=2b时，取等号．解得ab≤，即ab∈(0，]．再由(a+2b)2=a2+4b2+4ab=1，故=1-4ab+．把ab当做自变量，则1-4ab+在(0，]上是减函数，故当ab=时，1-4ab+取得最小值为1-+8=，故选D．二、填空题(本大题共7小题，共28.0分)11.设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，则a5= ．【答案】81【解析】试题分析：由已知可得数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．由数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，可知数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴=81．故答案为81．12.一个样本数据按从小到大的顺序依次排列为2001，2004，2009，x，2015，2016，2019，2020，中位数为2014，则x= ．【答案】2013【解析】试题分析：这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x的方程，解方程即可．由条件可知数字的个数为偶数，∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，∴中位数2014=，∴x=2013故答案为：2013．13.已知两非零向量满足，，则向量夹角的最大值是．【答案】【解析】试题分析：设向量夹角为θ，由余弦定理求得cosθ=，再利用基本不等式求得cosθ取得最小值，即可求得θ的最大值．∵两非零向量满足，，设向量夹角为θ，由于非零向量以及构成一个三角形，设||=x，则由余弦定理可得1=4+x2-4x•cosθ，解得cosθ==≥，当且仅当x=时，cosθ取得最小值为，角θ取得最大值为，故答案为．14.若某程序框图如图所示，则运行结果为．【答案】5【解析】试题分析：算法在给出循环变量i和累加变量S分别赋值1和0的基础上，首先执行了依次运算，然后逐次判断执行，直到不再满足判断框中的条件结束算法，输出i的值．框图首先给循环变量i和累加变量S分别赋值1和0，然后执行S=0+；判断1＜，执行i=1+1=2，S=1+；判断，执行i=2+1=3，S=；判断，执行i=3+1=4，S=；判断，执行i=4+1=5，S=；判断，不满足判断框中的条件，输出i=5，算法结束．故答案为5．15.在△ABC中，sin A+cos A=，AC=4，AB=5，则△ABC的面积是．【答案】【解析】试题分析：已知第一个等式左边变形后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出sin A的值，再由AC与AB的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．∵sin A+cos A=sin(A+)=，∴sin(A+)=，∴A+=(舍去)，或A+=，即A=，∴sin A=sin=sin(+)=cos=，则△ABC的面积为AC•AB sin A=．故答案为：16.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是．【答案】4【解析】试题分析：先画出不等式组表示的平面区域，再由三角形面积公式求之即可．作出不等式组表示的平面区域，如图所示的△ABC其中可得A(2，3)，B(0，2)，C(2，0)∴S△ABC=AC•d=×4×2=4故答案为：4．17.已知点A(-3，0)和圆O：x2+y2=9，AB是圆O的直径，M和N是AB的三等分点，P(异于A，B)是圆O上的动点，PD⊥AB于D，，直线PA与BE交于C，则当λ= 时，|CM|+|CN|为定值．【答案】【解析】试题分析：设点P(x0，y0)，则点E(x0，)，用点斜式求出PA、BE的方程，联立方程组求得点C满足的关系式，为+=1，故点C在以AB为长轴的椭圆上，当M、N为此椭圆的焦点时，|CM|+|CN|为定值2a=6．再根据a2-b2=c2可得λ的值．由题意可得B(3，0)，M(-1，0)、N(1，0)，设点P(x0，y0)，则点E(x0，)．故PA的方程为y=•(x+3)…①，BE的方程为y=(x-3)…②．由①②联立方程组可得y2=(x2-9)．把=9-代入化简可得+=1，故点C在以AB为长轴的椭圆上，当M、N为此椭圆的焦点时，|CM|+|CN|为定值2a=6．此时，a=3，c=1，b=，由a2-b2=c2可得9-=1，求得λ=，故答案为．三、解答题(本大题共5小题，共72.0分)18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)求的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式得：=，化简得a2+b2-ab=c2，即a2+b2-c2=ab，∴cos C==，∵C为三角形的内角，∴C=；(Ⅱ)==[sin A+sin(-A)]=2sin(A+)，∵A∈(0，)，∴A+∈(，)，∴sin(A+)∈(，1]，则的取值范围是(1，2]．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理表示出cos C，将得出的关系式变形后代入求出cos C的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；(Ⅱ)所求式子利用正弦定理变形，将sin C的值代入，整理为一个角的正弦函数，由A 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域求出范围即可．19.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n+2．(Ⅰ)记b n=a n+1，求证：数列{b n}为等比数列；(Ⅱ)求数列{na n}的前n项和S n．【答案】解：(Ⅰ)由a n+1=3a n+2，可知a n+1+1=3(a n+1)．∵b n=a n+1，∴b n+1=3b n，又b1=a1+1=3，∴数列{b n}是以3为首项，以3为公比的等比数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，得，∴．∴S n=(1×31+2×32+…+n•3n)-(1+2+…+n)其中1+2+…+n==，记+(n-1)×3n-1+n×3n①∴3T n=32+2×33+…+(n-1)×3n+n×3n+1②两式相减得-2T n=3+32+…+3n-n×3n+1=，∴．∴．【解析】(I)由a n+1=3a n+2，可知a n+1+1=3(a n+1)．可得数列{b n}是以a1+1=3为首项，以3为公比的等比数列．(II)由(I)可得：得，于是．从而S n=(1×31+2×32+…+n•3n)-(1+2+…+n)，对于前一个括号用“错位相减法”即可求出，后一个括号利用等差数列的前n项和公式即可得出．20.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF 将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．(Ⅰ)求证：B′C∥平面A′PE．(Ⅱ)若AP=2PB，求二面角A′-PC-E的平面角的正切值．【答案】解：(Ⅰ)因为EP∥FC，FC⊄平面A′PE，所以FC∥平面A′PE．因为平面A′PE⊥平面PEC，且A′E⊥PE，所以A′E⊥平面ABC．同理，B′F⊥平面ABC，所以B′F∥A′E，从而B′F∥平面A′PE．所以平面B′FC∥平面A′PE，从而B′C∥平面A′PE．(Ⅱ)因为AC=BC=3a，AP=2PB，所以CE=a，EA′=2a，PE=2a，PC=a．过E作EM⊥PC，垂足为M，连结A′M．由(Ⅰ)知A′E⊥平面ABC，可得A′E⊥PC，所以PC⊥平面A′EM，所以A′M⊥PC．所以∠A′ME即为所求二面角A′-PC-E的平面角，可记为θ．在R t△PCE中，求得EM=，所以tanθ===．【解析】(Ⅰ)通过证明B′C所在的平面B′FC与平面A′PE平行，即可证明B′C∥平面A′PE．(Ⅱ)利用AP=2PB，过E作EM⊥PC，垂足为M，连结A′M．说明∠A′ME即为所求二面角A′-PC-E的平面角，记为θ，然后求二面角A′-PC-E的平面角的正切值的大小．21.已知函数．(Ⅰ)若a=1，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若函数f(x)在(1，2)上有极值，求a的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，若a=1，则f(x)=-2x-3lnx．f′(x)=x-2-==．当x∈(0，3)时，f′(x)＜0；当x∈(3，+∞)时，f′(x)＞0．所以函数有极小值f(3)=--3ln3，无极大值．(II)f′(x)=ax-2+=(x＞0)．记h(x)=ax2-2x+a-4．若f(x)在(1，2)上有极值，则h(x)=0有两个不等根且在(1，2)上有根．由ax2-2x+a-4=0得a(x2+1)=2(x+2)，所以a==．令x+2=t，则t=x+2∈(3，4)，y=t+-4在(3，4)上递增，所以t+-4∈(，)，，故a∈(，3)，经检验当a∈∈(，3)时，方程h(x)=0无重根．故函数f(x)在(1，2)上有极值时a的取值范围为(，3)．【解析】(Ⅰ)求出函数定义域，a=1时求出f′(x)，在定义域内解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0，由导数符号即得函数f(x)的极值；(Ⅱ)求导数f′(x)=(x＞0)，令h(x)=ax2-2x+a-4，则f(x)在(1，2)上有极值，等价于h(x)=ax2-2x+a-4=0有两个不等根且在(1，2)上有根．分离出参数a后，转化为求函数值域解决；22.如图，已知抛物线C1：x2=2py的焦点在抛物线C2：上．(Ⅰ)求抛物线C1的方程及其准线方程；(Ⅱ)过抛物C1上的动点P作抛物线C2的两条切线PM、PN，切点M、N．若PM、PN 的斜率积为m，且m∈[2，4]，求|OP|的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)C1的焦点为F(0，)，所以=0+1，p=2．故C1的方程为x2=4y，其准线方程为y=-1．(Ⅱ)任取点P(2t，t2)，设过点P的C2的切线方程为y-t2=k(x-2t)．由，得x2-2kx+4tk-2t2+2=0．由△=(2k)2-4(4tk-2t2+2)=0，化简得k2-4tk+2t2-2=0，记PM，PN的斜率分别为k1，k2，则m=k1k2=2t2-2，因为m∈[2，4]，所以t2∈[2，3]，所以|OP|2=4t2+t4=(t2+2)2-4∈[12，21]，所以|OP|∈[，]．【解析】(Ⅰ)写出C1的焦点为F(0，)，代入抛物线C2方程即可求得p值，从而可得抛物线C1的方程及其准线方程；(Ⅱ)任取点P(2t，t2)，设过点P的C2的切线方程为y-t2=k(x-2t)．联立切线方程与抛物线C2的方程，消掉y得x的二次方程，由相切得△=0，整理为关于k的二次方程，设PM，PN的斜率分别为k1，k2，由韦达定理可用t表示出m，根据m范围可得t2范围，由两点距离公式可得|OP|的范围；。

2013年浙江省华易新高考研究联盟高考数学模拟试卷2（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数z 满足(1+i)z =3−i ，则复数z 的虚部是（ ） A 2i B −2 i C 2 D −22. 函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则“a ≠0”是函数f(x)有零点的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 若m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A α // β，m ⊂α，n ⊂β⇒m // n B α⊥β，n // α，m ⊥β⇒n ⊥m C m // n ，m ⊥α⇒n ⊥α D m // n ，m // α⇒n // α 4. 已知集合A ={x|x−a x+a<0}，若1∉A ，则实数a 取值范围为（ ）A (−∞, −1)∪[1, +∞)B [−1, 1]C (−∞, −1]∪[1, +∞)D (−1, 1]5.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |ω|<π)的部分图象如图，当x ∈[0, π2]，满足f(x)=1的x 的值为（ ） A π6 B π3 C π2 D 5π126. 已知实数x ，y 满足{x ≥1x +y ≤4ax +by +c ≤0，且目标函数z =2x +y 的最大值为6，最小值为1，其中b ≠0，则cb 的值及a 的正负分别为（ ）A 4，正B 4，负C 14，正D 14，负 7. 已知实数a ≠0，函数f(x)={2x +a,x <1，−x −2a,x ≥1，若f(1−a)=f(1+a)，则a 的值为( )A 32或−34 B −32 C 34或−32 D −34 8. 已知P 是双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)上一点，F 1、F 2是左右焦点，△P F 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120∘，则双曲线的离心率等于（ ） A3√57 B 3√52 C 27 D 729. 八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有个三个连续的小球涂红色的涂法共有（ ） A 24种 B 30种 C 20种 D 36种10. 若不等式x 2+2xy ≤a(2x 2+y 2)对于一切正数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A 2 B√2+12 C 32D 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填写在答题卡相应位置上 11. 若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=32，S 3=92，则公比q =________． 12. 已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是________．13. 在(x +1)6的二项展开式中任取2项，若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项的个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ=________．14. 如图，如果执行右面的程序框图，若n >m ，当输入正整数n =6，那么输出的P 等于120，则输入的正整数m =________． 15. 在△ABC 中，已知tanB =12，cosA =4√1717，AB 边的中线长CD =2，则△ABC 的面积为________．16. 已知向量a →，b →，c →满足a →+b →+c →=0→，|c →|=2√3，c →与a →−b →所成的角为120∘，则当t ∈R 时，|ta →+(1−t)b →|的取值范围是________．17. 函数y =2sinx(x ∈[0, π])在点P 处的切线与函数y =lnx +12x 2在点Q 处切线平行，则直线PQ 的斜率是________．三、解答题（本大题满分72分）本大题共有5题，考生解答下列各题时应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．18. 已知向量p →=(−cos 2x, a)，q →=(a, 2−√3sin 2x)，函数f(x)=p →⋅q →−5(a ∈R, a ≠0)． （1）求函数f(x)(x ∈R)的值域；（2）当a =2时，若对任意的t ∈R ，函数y =f(x)，x ∈(t, t +b]的图象与直线y =−1有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值（不必证明），并求函数y =f(x)的在[0, b]上单调递增区间．19. 已知数列{a n }满足a n+1=2a n +n +1(n =1, 2, 3,…)．（1）若{a n }是等差数列，求其首项a 1和公差d ； （2）证明{a n }不可能是等比数列；（3）若a 1=−1，是否存在实数k 和b 使得数列{a n +kn +b}是等比数列，如存在，求出{a n }的前n 项和，若不存在，说明理由．20. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA =PB =PC =AC =4,AB =BC =2√2（1）求证：平面ABC ⊥平面APC（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（3）若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M −PA −C 的余弦值为2√23，求BM 的最小值．21.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1(−1, 0)、F 2(1, 0)，直线l:x =a 2交x 轴于点A ，且AF 1→=2AF 2→．（1）试求椭圆的方程；（2）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值． 22. 已知函数f(x)＝ln(2ax +1)+x 33−x 2−2ax(a ∈R)．（1）若x ＝2为f(x)的极值点，求实数a 的值；（2）若y ＝f(x)在[3, +∞)上为增函数，求实数a 的取值范围； （3）当a =−12时，方程f(1−x)=(1−x)33+bx 有实根，求实数b 的最大值．2013年浙江省华易新高考研究联盟高考数学模拟试卷2（理科）答案1. D2. A3. C4. B5. D6. B7. D8. D9. A10. D11. 1或−1212. 36+6√213. 8714. 315. 616. [32，+∞)17. 1218. 解：（1）f(x)=p→⋅q→−5=−acos2x−√3asin2x+2a−5=−2asin(2x+π6)+2a−5．…因为x∈R，所以−1≤sin(2x+π6)≤1当a>0时，−2a×1+2a−5≤f(x)≤−2a×(−1)+2a−5．所以f(x)的值域为[−5, 4a−5]．…同理，当a<0时，f(x)的值域为[4a−5, −5]．…（2）当a=2时，y=f(x)=−4sin(2x+π6)−1，由题设函数y=f(x)，x∈(t, t+b]的图象与直线y=−1有且仅有两个不同的交点及函数y=f(x)的最小正周期为π可知，b的值为π．…由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z．…因为x∈[0, π]，所以k=0，∴ 函数y=f(x)在[0, π]上的单调递增区间为[π6，2π3]．…19. （1）解：∵ a n+1=2a n+n+1，∴ a2=2a1+2，a3=2a2+3=4a1+7，∵ {a n}是等差数列，∴ 2a2=a1+a3，∴ 2(2a1+2)=a1+(4a1+7)，∴ a1=−3，a2=−4∴ d=a2−a1=−1；（2）证明：假设{a n}是等比数列，则a22=a1a3∴ (2a1+2)2=a1(4a1+7)，∴ a1=−4，a2=−6，a3=−9，∵ a4=2a3+4=−14，∴ a32≠a2a4与等比数列矛盾∴ 假设不成立∴ {a n}不可能是等比数列；（3）解：假设存在，则有a n+1+k(n+1)+ba n +kn+b=2a n +(k+1)n+k+b+1a n +kn+b=常数∴ {k +1=2k k +b +1=2b ，∴ {k =1b =2∴ {a n +n +2}是等比数列，首项为2，公比为2 ∴ a n +n +2=2n ， ∴ a n =2n −n −2 ∴ {a n }的前n 项和为2(1−2n )1−2−n(n+1)2−2n =2n −n 22−5n 2−120. （1）证明：取AC 中点O ，因为AP =BP ，所以OP ⊥OC由已知，可得△ABC 为直角三角形，∴ OA =OB =OC ，△POA ≅△POB ≅△POC ，∴ OP ⊥OB∵ OB ∩OC =O ∴ OP ⊥平面ABC ，∵ OP ⊂平面PAC ，∴ 平面ABC ⊥平面APC（2）解：以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系． 由已知得O(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，A(0, −2, 0)， C(0, 2, 0)，P(0, 0, 2√3)，∴ AP →=(0,2,2√3)，AM →=(m,n +1,0)设平面PBC 的法向量{−2x +2y =02x −2√3z =0，由{−2x +2y =02x −2√3z =0得方程组{−2x +2y =02x −2√3z =0，取n 1→=(√3,√3,1) ∴ cos <AP →，n 1→>=√217∴ 直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为√217． （3）解：由题意平面PAC 的法向量n 2→=OB →=(2,0,0)， 设平面PAM 的法向量为n 3→=(x,y,z)，M =(m, n, 0) ∵ AP →=(0, 2,2√3)，AM →=(m, n +2, 0)，AP →⋅n 3→=0，AM →⋅n 3→=0∴ {2y +2√3z =0mx +(n +2)y =0取y =−1，可得n 3→=(n+2m，−1，√33)∴ cos <n 2→，n 3→>=2(n+2)m2√(n+2m )2+1+13=2√23∴ n +2=√323m∴ BM 的最小值为垂直距离d =8√70−2√10535． 21.解：（1）由题意，|F 1F 2|=2c =2，A(a 2, 0)∵ AF 1→=2AF 2→∴ F 2为AF 1的中点∴ a 2=3，b 2=2 ∴ 椭圆方程为x 23+y 22=1…（2）当直线DE 与x 轴垂直时，|DE|=2b 2a=4√3，此时|MN|=2a =2√3，四边形DMEN 的面积S =|DE||MN|2=4．同理当MN 与x 轴垂直时，四边形DMEN 的面积S =|DE||MN|2=4．当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE:y =k(x +1)，代入椭圆方程，消去y 得：(2+3k 2)x 2+6k 2x +(3k 2−6)=0设D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2 所以，|x 1−x 2|=4√3×√k 2+12+3k 2，所以|DE|=√k 2+1|x 1−x 2|=4√3(k 2+1)2+3k 2， 同理|MN|=4√3(1k2+1)2+3k 2…所以四边形的面积S =|DE||MN|2=12×4√3(k 2+1)2+3k 2×4√3(1k2+1)2+3k 2=24(k 2+1k 2+2)6(k 2+1k2)+13令u =k 2+1k 2，则S =4−413+6u因为u =k 2+1k 2≥2，当k =±1时，u =2，S =9625，且S 是以u 为自变量的增函数，所以9625≤S <4．综上可知，9625≤S≤4．故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为9625．…22. f′(x)=2a2ax+1+x2−2x−2a=x[2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)]2ax+1．因为x＝2为f(x)的极值点，所以f′(2)＝0．即2a4a+1−2a=0，解得a＝0．又当a＝0时，f′(x)＝x(x−2)，从而x＝2为f(x)的极值点成立．因为f(x)在区间[3, +∞)上为增函数，所以f′(x)=x[2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)]2ax+1≥0在区间[3, +∞)上恒成立．①当a＝0时，f′(x)＝x(x−2)≥0在[3, +∞)上恒成立，所以f(x)在[3, +∞)上为增函数，故a＝0符合题意．②当a≠0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax+1>0对x≥3恒成立，故只能a> 0，所以2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)≥0对x∈[3, +∞)上恒成立．令g(x)＝2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)，其对称轴为x=1−14a，因为a>0所以1−14a<1，从而g(x)≥0在[3, +∞)上恒成立，只要g(3)≥0即可，因为g(3)＝−4a2+6a+1≥0，解得3−√134≤a≤3+√134．因为a>0，所以0<a≤3+√134．由①可得，a＝0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为[0, 3+√134]．若a=−12时，方程f(1−x)=(1−x)33+x>bx可化为，lnx−(1−x)2+(1−x)=bx．问题转化为b＝xlnx−x(1−x)2+x(1−x)＝xlnx+x2−x3在(0, +∞)上有解，即求函数g(x)＝xlnx+x2−x3的值域．以下给出两种求函数g(x)值域的方法：方法1：因为g(x)＝x(lnx+x−x2)，令ℎ(x)＝lnx+x−x2(x>0)，则ℎ(x)=1x +1−2x=(2x+1)(1−x)x，所以当0<x<1，ℎ′(x)>0，从而ℎ(x)在(0, 1)上为增函数，当x>1，ℎ′(x)<0，从而ℎ(x′)在(1，+∞上为减函数，因此ℎ(x)≤ℎ(1)＝0．而x>1，故b＝x⋅ℎ(x)≤0，因此当x＝1时，b取得最大值0．方法2：因为g(x)＝x(lnx+x−x2)，所以g′(x)＝lnx+1+2x−3x2．设p(x)＝lnx +1+2x −3x 2，则p ′(x)=1x +2−6x =−6x 2−2x−1x．当0<x <1+√76时，p ′(x)>0，所以p(x)在(0,1+√76)上单调递增；当x >1+√76时，p ′(x)<0，所以p(x)在(1+√76,+∞)上单调递减； 因为p(1)＝0，故必有p(1+√76)>0，又p(1e 2)=−2+1+2e 2−3e 4<−3e 4<0， 因此必存在实数x 0∈(1e 2,1+√76)使得g ′(x 0)＝0，∴ 当0<x <x 0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0, x 0)上单调递减； 当x 0<x <1，g′(x)>0，所以，g(x)在(x 0, 1)上单调递增； 又因为g(x)=xlnx +x 2−x 3=x(lnx +x −x 2)≤x(lnx +14)， 当x →0时，lnx +14<0，则g(x)<0，又g(1)＝0．因此当x ＝1时，b 取得最大值0．。

2013年高三教学测试（二）语文试卷参考答案及评分标准（2013.4）本卷共9个选择题，每小题3分，答案如下：1.D（A锁钥．yuè。

B潜．台词qián。

C瑕瑜互见．jiàn）2.A（B窜改—篡改；C飘洋—漂洋；D蕃篱—藩篱）3.B（A“因而”应为“反而”，“因而”表示结果，“反而”表示跟上文意思相反或出乎预料和常情。

B雇佣军，原来指不顾国家民族利益和一切后果而受雇于任何国家或民族并为之作战的职业士兵。

本句是指拿了业主的经费而忠心为业主干活的单位。

C“肤浅”指局限于表面的、浅薄的、不深刻的，强调不多、不深。

常用于观点、认识、体会、理论等等。

此处应改为“浮浅”：浮在表面，不切实，强调空虚、浮躁。

常用于人的作风、为人等。

D“耳目一新”应为“刮目相看”，刮目相看：用新的眼光来看待。

耳目一新：听到的看到的都换了样子，感到很新鲜。

）4.D（A“整改隐患”搭配不当，应为“消除隐患”；B成分多余，删除“过分”；C “针对汽车行业“销售、维修、保险、服务”等四方面的消费调查中了解到”句式杂糅。

）或“针对……调查”，或“从……调查中”。

）5.（3分）答案示例：神九上天，中国人的航天壮举再次艳惊寰宇；而党的十八大的胜利召开，更为全体国人展示了美丽中国的共同愿景，越来越多的社会正能量正驱动着中国这艘复兴号巨轮驶向光明未来。

评分说明：至少用到三大流行语（1分），至少运用一种修辞手法且恰当（1分），要有简要的描述而不是空洞的议论感想，文意顺畅，思想健康积极（1分）。

6.（4分）雾霾何时不再成灾 / 但若以此为理由 / 毕竟世异时移 / 多谈眼前的具体措施（4分，每句1分，只要意思相近且合语境即可）7．（1）（2分）面对法国教育家给出的相同测试题，法国小学生超过90%提出了异议，而上海小学生只有10%提出异议。

（若能表达出“面对相同的测试题，中外小学生回答情况不同”这个意思即可）（2）（3分）示例：中国的小学平时给学生的教育，多的是尊重老师要听话，使学生养成了思维定势，遇事盲目跟从，缺少怀疑批判精神（1分）。

2013年高考模拟试卷数学试卷二数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

第I 卷（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式24S R π= V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高343V R π= 棱台的体积公式其中R 表示球的半径 11221()3V h S S S S =++棱锥的体积公式 其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，13V Sh = h 表示棱台的高其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 如果事件,A B 互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 （原创） 复数z 满足i z i -=+3)1(,则复数z 的虚部是 （ ）A 2iB -2 iC 2D -22 （原创）有零点的是函数则“函数)("0,)(23x f a d cx bx ax x f ≠+++= （ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3 （原创） 若n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是2-2（ ）An m n m //,,//⇒⊂⊂βαβα B m n m ,n//,⊥⇒⊥⊥βαβαC αα⊥⇒⊥n m m//n,D ααn//m//m//n,⇒4 （原创）A a x a x x A ∉⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1,0若已知集合，则实数a 取值范围为 （ ）A ),1[)1,(+∞⋃--∞B [-1,1]C ),1[]1,(+∞⋃--∞D (-1,1]5 （原创）已知函数()sin()(00||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><，，的部分图像如图，当 [0]2x π∈，，满足()1f x =的值为 （ ） A 6π B 3π C 2π D 512π6 （原创）已知实数,x y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，且目标函数2z x y =+的最大值为6，最小值为1，其中0,cb b≠则的值及a 的正负分别为 （ ） A ．4，正 B ．4，负 C ．正,41 D ．负,417 （原创）已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f a f a -=+，则a 的值为 （）A 34-B 35-C 34D ．358（原创）已知P 是双曲线)0(1y 4x 222>=-b b 上一点，F 1、F 2 是左右焦点，⊿P F 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120°，则双曲线的离心率等于（ ） A753 B 253 C72D27 9 （原创）八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有个三个的连续的小球涂红色，则涂法共有 （ ） A 24种 B 30种 C 20种 D 36种10（改编）若不等式)(2222y x a xy x +≤+对于一切正数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为 （ ）A 2 B212+ C 23D 215+ 第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填写在答题卡相应位置上 11（课本原题）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，29,2333==S a 则公比q = ．12（原创）已知某几何体的三视图如下， 则该几何体的表面积是 ．13（原创）在6)1(+x 的二项展开式中任取2项，若用随机变量ξ表示取 出的2项中系数为奇数的项的个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ=14 （原创） 如右图，如果执行右面的程序框图，若n>m ，当输入正整数n =6，那么输出的P 等于120，则输入的正整数m = ． ,15 （2012浙江六校改编）．. 在ABC ∆中，已知21tan =B ，17174cos =A ，AB 边的中线长2=CD ，则ABC ∆的面积为 ．（原创）已知向量a ，b 、→c 满足→→→→=++0c b a ，→→→→-=b a c 与,32所成的角为 120，则当时R t ∈，|)1(t -+的取值范围是 ．17 （原创）函数y=2sinx (x []π,0∈)在点P 处的切线与函数y=lnx +21x 2在点Q 处切线平行，则直线PQ 的斜率是 ． 正视图侧视图俯视图4 43三、解答题（本大题满分72分）本大题共有5题，考生解答下列各题时应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

嘉兴市2013年高三教学测试（二）理科数学 试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ),,2,1,0()1()(n k p p C k P kn k k nn =-=- ．球的表面积公式 24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=， 其中R 表示球的半径．棱柱的体积公式Sh V =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．棱锥的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}3,2,1{=A ，}9,3,1{=B ，A x ∈，且B x ∉，则=xA ．1B ．2C ．3D ．92．在复平面内，复数i1i31-+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若10<<a ，x x a a log )1(log <-，则A ．10<<xB ．21<x C ．210<<x D ．121<<x 4．函数x x y 2sin 2cos +=，R ∈x 的值域是A ．]1,0[B ．]1,21[ C ．]2,1[-D ．]2,0[5．在5)1)(21(x x +-的展开式中，3x 的系数是A ．20B ．20-C ．10D ．10- 6．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2， 则该几何体的体积为 A ．π334+ B ．π33832+ C ．π3332+ D ．π3334+7．在平面直角坐标系中，不等式2|2|≤≤-x y 表示的平面区域的面积是A ．24B ．4C ．22D ．28．若b a ,表示直线，α表示平面，且α⊂b ，则“b a //”是“α//a ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件正视图 侧视图俯视图 （第6题）9．设m 是平面α内的一条定直线，P 是平面α外的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成︒30角，则直线n 与平面α的交点Q 的轨迹是A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10．设}{n a 是有穷数列，且项数2≥n ．定义一个变换η：将数列n a a a ,,,21 ，变成143,,,+n a a a ，其中211a a a n ⋅=+是变换所产生的一项．从数列20132,,3,2,1 开始，反复实施变换η，直到只剩下一项而不能变换为止．则变换所产生的所有项．．．．．．．．．的乘积．．．为 A ．20132013)!2( B ．20122013)!2( C ．2012)!2013( D ．)!!2(2013非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．设数列}{n a 满足11=a ，n n a a 31=+，则=5a ▲．12．若某程序框图如图所示，则运行结果为 ▲ ． 13．将函数x y sin =的图象先向左平移1个单位，再横坐标伸长为原来的2倍，则所得图象对应 的函数解析式为 ▲ ． 14．从点A 到点B 的路径如图所示，则不同的最短路径共有 ▲ 条．15．设△ABC 的三边长分别为c b a ,,则=++222|||||| ▲ ．16．设R ,,∈c b a ，有下列命题：①若0>a ，则b ax x f +=)(在R 上是单调函数； ②若b ax x f +=)(在R 上是单调函数，则0>a ； ③若042<-ac b ，则 03≠++c ab a ； ④若03≠++c ab a ，则042<-ac b ．（第12题）其中，真命题的序号是 ▲ ．17．已知点)0,3(-A 和圆O ：922=+y x ，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P （异于B A ,）是圆O 上的动点，AB PD ⊥于D ，)0(>=λλED PE ，直线PA 与BE 交于C ，则当=λ ▲ 时，||||CN CM +为定值．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足CA BA b c a sin sin sin sin --=+． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求cba +的取值范围．19．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知215)3(==X P ． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC ==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．（Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '． （Ⅱ）设λ=PBAP，当λ为何值时，二面角P B A C --''的大小为︒60？A'B 'A21．（本题满分15分）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值．22．（本题满分14分）若)(0x f 是函数)(x f 在点0x 附近的某个局部范围内的最大（小）值，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极值，0x 为极值点．已知R ∈a ，函数)1(ln )(--=x a x x f ．（Ⅰ）若11-=e a ，求函数|)(|xf y =的极值点； （Ⅱ）若不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数）（第21题）2013年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．A ；7．B ；8．D ；9．C ；10．A ．第9题提示：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线．第10题提示：数列20132,,3,2,1 共有20132项，它们的乘积为!22013．经过20122次变换，产生了有20122项的一个新数列，它们的乘积也为!22013．对新数列进行同样的变换，直至最后只剩下一个数，它也是!22013，变换终止．在变换过程中产生的所有的项，可分为2013组，每组的项数依次为01201120122,2,,2,2 ，乘积均为!22013，故答案为20132013)!2(． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．81；12．5； 13．)121sin(+=x y ；14．22；15．3222c b a ++；16．①③； 17．81． 第17题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将20209x y -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ． 三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分） 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足CA BA b c a sin sin sin sin --=+． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求cba +的取值范围． 解：（Ⅰ）C A B A b c a sin sin sin sin --=+ca b a --=，化简得222c ab b a =-+，…4分 所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ．…7分 （Ⅱ）C B A c b a s i n s i n s i n +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6s i n (2π+=A ．…11分因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ．故，cba +的取值范围是]2,1(．…14分19．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知215)3(==X P ． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则215)3(393===C C X P n ，…4分即215789)2)(1(=⨯⨯--n n n ，解得6=n ． …7分 （Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：…11分221532815214318410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ．…14分20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC ==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．（Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '． （Ⅱ）设λ=PBAP，当λ为何值时，二面角P B A C --''的大小为︒60？解：（Ⅰ）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '． …2分因为平面⊥PE A '平面ABC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '．…6分（Ⅱ）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图．…7分则)0,0,0(C ，)1,1,0('++λλλa a A ， )1,0,1('++λλλa a B ，)0,1,1(++λλλaa P ． )1,1,0('++=λλλaa CA ， )1)1(,1,1('+-+-+=λλλλλaa a B A ，（第20题）BF PAF C'B 'A E（第20题）)1,1,0('+-+=λλa a P B ．平面''B CA 的一个法向量)1,,1(-=λλm ，…9分 平面''B PA 的一个法向量)1,1,1(=n ．…11分2160cos 311|11|||||22=︒=⋅++-+=λλλλn m n m ， …13分化简得0988122=+--+λλλλ，解得2537±=λ． …15分21．（本题满分15分）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值．解：（Ⅰ）1C 的焦点为)2,0(pF ，…2分所以102+=p，2=p ．…4分 故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ．…6分（Ⅱ）设),2(2t t P ，)121,(211+x x M ，)121,(222+x x N ，则PM 的方程：)()121(1121x x x x y -=+-，所以12122112+-=x tx t ，即02242121=-+-t tx x ． 同理，PN ：121222+-=x x x y ，02242222=-+-t tx x ． …8分MN 的方程：)()121(121)121(121222121x x x x x x x y --+-+=+-，（第21题）即))((21)121(12121x x x x x y -+=+-．ks5u 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-0224022422222121t tx x t tx x ，得t x x 421=+，21211221t tx x -=-． …10分所以直线MN 的方程为222t tx y -+=．…12分于是222222241)1(241|24|t t t t t t d ++=+-+-=． 令)1(412≥+=s t s ，则366216921=+≥++=s s d （当3=s 时取等号）． 所以，d 的最小值为3． …15分22．（本题满分14分）若)(0x f 是函数)(x f 在点0x 附近的某个局部范围内的最大（小）值，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极值，0x 为极值点．已知R ∈a ，函数)1(ln )(--=x a x x f ．（Ⅰ）若11-=e a ，求函数|)(|xf y =的极值点； （Ⅱ）若不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数） 解：（Ⅰ）若11-=e a ，则11ln )(---=e x x xf ，111)('--=e x x f ． 当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减． …2分又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ； 当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． …4分 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ．…6分（Ⅱ）不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤，整理为0)21(ln 22≤++-+a e xa eax x ．…（*） 设a e xa eax x x g ++-+=)21(ln )(22，则eae ax x x g 2121)('2+-+=（0>x ） xe e ex a ax 222)21(2++-=xe e ax e x 2)2)((--=． …8分①当0≤a 时，02<-e ax ，又0>x ，所以，当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增； 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减． 从而0)()(max ==e g x g ． 故，0)(≤x g 恒成立． …11分②当0>a 时，x e e ax e x x g 2)2)(()('--=)12)((2exe ae x --=． 令2212e a ex e a =-，解得a e x =1，则当1x x >时，2212e a ex e a >-；再令1)(2=-e ae x ，解得e a e x +=22，则当2x x >时，1)(2>-ea e x ．取),max(210x x x =，则当0x x >时，1)('>x g ．所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-，即)()(00x g x x x g +->． 这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾． 综上所述，0≤a ．…14分命题人郑俊炜（嘉兴）、姜丽芳（嘉兴）吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华2013年3月。

2013年高考模拟系列试卷(二)数学试题【新课标版】（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1、设集合{}21,M x x x =-≤∈R ，{}21,02N y y xx ==-+≤≤,则()RM N ⋂等于 （ ）A ．RB ．{}|1x x R x ∈≠且C ．{}1D ．∅ 2、在复平面内,复数2013i i 1iz =+-表示的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若sin 601233,log cos 60,log tan 30a b c ===,则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4、设数列{}na 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为nS ,且1S 、2S 、4S 成等比数列，则41aa 等于( ）A ．6B ．7C ．4D ．35、已知点()1,0A -和圆222x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =,则点M 的轨迹方程是( )A ．()2231x y -+=B ．223()12x y -+=C ．2231()22x y -+= D ．223122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 6、命题“存在,αβ∈R ,使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-”的否定为（ ） A ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥- B ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- C ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- D ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≤-7、设a b <,函数()()2y x a x b =--的图象可能是( ）8、程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2013小，若使输出的S 最大,那么判断框中应填入（ ） A ．10k ≤ B ．10k ≥ C ．9k ≤ D ．9k ≥9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是（ )A ．1533πB ．233πC ．33πD ．433π10、在9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ )A ．5376-B ．5376C ．84-D ．8411、如果点P 在平面区域220140x y x x y -+≤⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线（x －1）2＋（y－1)2＝1上，那么｜PQ ｜的最小值为（ ） A ．5－1B ．355C ．3515-D ．523－112、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222()()x a y b b -+-=相切于点A,并与椭圆C 交与不同的两点P,Q,如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为 ( ）A ．23B ．33C ．53D ．73第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分,把答案填在题中横线上13、由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为 。

2013年浙江省湖州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）2x2．（5分）（2012•安徽模拟）复数表示复平面内的点位于（），故它所表示复平面内的点是4．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若8a2﹣a5=0，则=（）=5．（5分）（2013•温州一模）将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是替换原式中的x+x+）6．（5分）（2013•丽水一模）某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（）7．（5分）（2011•石家庄二模）直线3x﹣4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+（y﹣1）2=1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为（）．，由此能够推导出．，，，=8．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=（）x，则函数F（x）=f（x））．9．（5分）已知A，B，P是双曲线﹣=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线．．×，10．（5分）（2013•沈阳二模）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）．．．．）上为增函数，则，），则在）上为增函数，，即，所以二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.）11．（4分）二项式（x﹣）7的展开式中，x3的系数为84．（用数字作答）﹣•12．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于．﹣=2=故答案是13．（4分）（2013•嘉兴一模）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是﹣5．解：满足约束条件14．（4分）（2013•沈阳二模）将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有112种放法．（用数字作答）个，有个，有种放法，个，有种放法，+=112种放法；15．（4分）已知数列{a n}满足a1=1，（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为．}是以=解：由题意{}是以为首项，以=+故答案为：16．（4分）（2010•江苏）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是（﹣1，﹣1）．需满足解：由题意，可得故答案为：17．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，•的取值范围是[0，2]．与正方体的某个顶点重合时，•达到最小值．由此结合数量积的计算公式，即可得到数量积的取值范围．在正方体表面运动，它与正方体的某个顶点重合时，•=••N=（）与正方体某个面的中心重合时，•⊥，得•=0综上所述，得数量积•三、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足A+C=3B，cos（B+C）=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．所以因为．﹣﹣﹣﹣﹣（由已知得因为所以由正弦定理得解得的面积19．（14分）（2011•天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．，；），1（），（=×．20．（14分）如图，一个正△ABC'和一个平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB=8，BD=AD=，AB，DE的中点分别为F，G．现沿直线AB将△ABC'翻折成△ABC，使二面角C ﹣AB﹣D为120°，设CE中点为H．（Ⅰ）（i）求证：平面CDF∥平面AGH；（ii）求异面直线AB与CE所成角的正切值；（Ⅱ）求二面角C﹣DE﹣F的余弦值．）建立空间直角坐标系，确定由条件易得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（，，，．）知=，则由⊥，得==的余弦为21．（15分）已知椭圆C：=1（a＞）的右焦点F在圆D：（x﹣2）2+y2=1上，直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点N关于x轴的对称点为N1，且直线N1M与x轴交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．）的方程利用三角形的面积计算公式，（舍去，因为的方程为．联立方程（所以．的方程为，令==，解法一：=．（或：．令则当且仅当时等号成立，此时=．的距离是．所以，=令则当且仅当时等号成立，此时22．（15分）已知函数f （x ）=x|x ﹣a|﹣lnx ，a ∈R． （Ⅰ）若a=2，求函数f （x ）在区间[1，e ]上的最值； （Ⅱ）若f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．（注：e 是自然对数的底数，约等于2.71828），得，，得，时，由得，即，则，因为，而。

2013年高三教学测试（二）文科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ；2．A ； 3．C ； 4．A ； 5．B ； 6．D ； 7．C ； 8．A ； 9．D ； 10．D ．第10题提示：因为812221≤⇒≥+=ab ab b a ，当且仅当212==b a 时取等号．又因为ab ab ab b a ab b a 141)2(21422+=+⋅≥++．令ab t =，所以t t t f 14)(+=在]81,0(单调递减，所以217)81()(min ==f t f ．此时212==b a ．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．13；12．2013； 13．︒30； 14．5； 15．26525+； 16．4； 17．81． 第17题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将20209x y -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ．三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足C A B A b c a sin sin sin sin --=+． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求c b a +的取值范围． 解：（Ⅰ）C A B A b c a sin sin sin sin --=+c a b a --=，化简得222c ab b a =-+，…4分 所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ． …7分（Ⅱ）C BA c ba sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ．…11分 因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ． 故，c ba +的取值范围是]2,1(．…14分19．（本题满分14分）已知数列{}n a 中，21=a ，231+=+n n a a ．（Ⅰ）记1+=n n a b ，求证：数列{}n b 为等比数列；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）由231+=+n n a a ，可知)1(311+=++n n a a ．因为1+=n n a b ，所以n n b b 31=+， …4分 又3111=+=a b ， 所以数列{}n b 是以3为首项，以3为公比的等比数列． …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,31n n a =+13-=n n a ，所以n n na n n -=3． 所以)21()3323(2n n S n n +++-⋅++⋅+= …9分 其中2212nn n +=++记n n n T 33232⋅++⋅+= ①13233)1(3233+⋅+⋅-++⋅+=n n n n n T ② 两式相减得1112323333332+++⋅---=⋅-+++=-n n n n n n n T …13分 4334121+⋅-=+n n n T所以4322341221-+-⋅-=+n n n S n n …14分20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．（Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '；（Ⅱ）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值．解：（Ⅰ）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '． …6分 （Ⅱ）因为a BC AC 3==，BP AP 2=，所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=． …8分过E 作PC EM ⊥，垂足为M ，连结M A '．PAB FC 'B 'A E（第20题） M B F PA FC 'B 'A E （第20题）由（Ⅰ）知ABC E A 平面⊥'，可得PC E A ⊥'， 所以EM A PC '⊥面，所以PC M A ⊥'．所以ME A '∠即为所求二面角E PC A --'的平面角，可记为θ． …12分 在R t △PCE 中，求得a EM 552=， 所以55522tan =='=aaEM E A θ．…15分21．（本题满分15分） 已知函数x a x x ax f ln )4(22)(2-+-=，0>a ．（Ⅰ）若1=a ，求函数)(x f 的极值；（Ⅱ）若函数)(x f 在)2,1(上有极值，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）若1=a ，则x x x x f ln 3221)(2--=．x x x x x x x x x f )1)(3( 3232)('2+-=--=--=．…2分 当)3,0(∈x 时，0)('<x f ；当),3(+∞∈x 时，0)('>x f ． …4分 所以函数有极小值3ln 323)3(--=f ，无极大值．…6分 （II ）)0( 42 42)('2>-+-=-+-=x x a x ax x a ax x f ．记42)(2-+-=a x ax x h ．若)(x f 在)2,1(上有极值，则0)(=x h 有两个不等根且在)2,1(上有根． …8分 由0422=-+-a x ax 得)2(2)1(2+=+x x a ， 所以425)2(21)2(22-+++=++=x x x x a ．…10分 因为)4,3(2∈+x ，所以)3,58(∈a ．…14分 经检验当)3,58(∈a 时，方程0)(=x h 无重根．故函数)(x f 在)2,1(上有极值时a 的取值范围为)3,58(．…15分22．（本题满分14分）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上． （Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线1C 上的动点P 作抛物线2C 的两条切线PM 、PN ， 切点为M 、N ．若PM 、PN 的斜率乘积为m ，且]4,2[∈m ，求||OP 的取值范围．解：（Ⅰ）1C 的焦点为)2,0(pF ，…2分 所以102+=p，2=p ．…4分 故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ．…6分（Ⅱ）任取点),2(2t t P ，设过点P 的2C 的切线方程为)2(2t x k t y -=-． 由⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-121)2(22x y t x k t y ，得0224222=+-+-t tk kx x ． 由()0)224(4222=+--=∆t tk k ，化简得022422=-+-t tk k ，…9分记PN PM ,斜率分别为21,k k ，则22221-==t k k m ， 因为]4,2[∈m ，所以]3,2[2∈t…12分（第22题）所以]21,12[4)2(422422∈-+=+=t t t OP ， 所以]21,32[∈OP ．…14分。