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定义
定理
, I )( 则它上的原函数存在在区间若x f 则它的所的一个原函数为若 , )( )( x f x F
. )( 的形式有原函数可表示为C x F +
) . ,(为任意常数其中C
.仅相差一个常数的任意两个原函数之间
结论结论结论
定义上的全体原函数的集合
在区间 I )(x f }
I , )()( | )({∈=′x x f x F x F 记为
上的不定积分在称为 , I )( x f ) ( )(d )(为任意常数C C x F x x f +=∫的一个原函数；
为其中 )( )( ,x f x F 称为被积表达式；称为被积函数 d )( , )(x x f x f 称为不定积分号；∫
. 称为积分常数C 一. 不定积分的概念
性质 1
),()d )((x f x x f =′∫,
d )(d )(d x x f x x f =∫,
)(d )(C x f x x f +=′∫
∫
+=.)()(d C x f x f
逆运算三.不定积分的基本性质
性质 2
则
设 (I),)( ),( 21R x f x f ∈,d )(d )(d )]()([2121∫∫∫+=+x x f b x x f a x x bf x af
. , ,为常数其中b a
.函数的和的形式该性质可推广至有限个
线性性质
解
解
解
利用加一项、减一项的方法.
解
利用加一项、减一项的方法.
解
部分分式法
解
下面看另一种解法
.
解
两个解法答案不同，你
有何想法？
利用平方差公式解
解
1。
第一节 不定积分的概念与性质一．原函数与不定积分的概念1.原函数的概念引例 设x x f cos )(=',求)(x f . 解 因为x x cos )(sin =',所以c x x f +=sin )(.此时称x sin 为x cos 的一个原函数.定义 如果在区间I 上,可导函数)(x F 的导函数为)(x f ,即I x ∈∀,有 )()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)则称)(x F 为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的一个原函数.如x arctan 是211x +的原函数;211x +是)1ln(2x x ++的原函数.什么样的函数具有原函数呢?有定理(原函数存在定理) 连续函数必有原函数.即如果函数)(x f 在区间I 上连续,则在区间I 上存在可导函数)(x F ,使得对I x ∈∀,有 )()(x f x F ='即)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数.其证明见289P . 注意 (1)由原函数的定义可知:如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数,则C x F +)(也是)(x f 的原函数,即)(x f 若有原函数,则)(x f 有无限多个原函数.(2)设)(x F 和)(x Φ都是)(x f 在区间I 上的原函数,则)(x F =C x +Φ)(.事实上 0)()()()(])()([=-=Φ'-'='Φ-x f x f x x F x x F所以)(x F C x =Φ-)(,即)(x F =C x +Φ)(.2.不定积分的概念 定义 在区间I 上, )(x f 的原函数的全体,称为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的不定积分,记作⎰dx x f )(.其中:‘⎰’——积分符号; )(x f ——被积函数;dx x f )(—被积表达式;x ——积分变量.显然,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则 ⎰dx x f )(C x F +=)(.因此,求)(x f 的不定积分归结于求)(x f 的一个原函数)(x F .如x arctan 是211x +的一个原函数,所以 ⎰+=+C x dx x arctan 112. 又如211x +是)1ln(2x x ++的一个原函数,则=+⎰dx x 211C x x +++)1ln(2.例1 求⎰dx x 1.解 当),0(+∞∈x 时,x x 1)(ln =',所以C x dx x +=⎰ln 1. 当)0,(-∞∈x 时, x x 1])[ln(='-,所以C x dx x +-=⎰)ln(1. 综上,有 C x dx x +=⎰ln 1.例2 设,2cos )(sin x x f ='求)(x f .解 ,c o s 21)(s i n 2x x f -='故221)(t t f -='.因为 2321)32(t t t -='- 所以332t t -是221t -的一个原函数,故 ⎰+-=-C t t dt t 3232)21( 即)(x f =C x x +-332. 例3 设曲线过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解 设曲线方程为)(x f y =,则x dxdy 2=. 所以C x y +=2.又2|1==x y ,所以C +=12,从而1=C .故所求曲线方程为12+=x y .3.不定积分与微分的关系(1)⎰=dx x f dx x f d )()( 或⎰=')(])([x f dx x f ; (2)⎰+=C x F x dF )()( 或⎰+='C x F dx x F )()(. 即先积后微,形式不变;先微后积,添个常数.二.基本积分表1.⎰+=C kx kdx (k 是常数);2.⎰++=+C x dx x 111μμμ (1-≠μ); 3. C x dx x +=⎰ln 1; 4. ⎰+=+C x dx x arctan 112; 5.⎰+=-C x dx x arcsin 112; 6.⎰+=C x xdx sin cos ;7.⎰+=C x xdx cos sin ; 8.⎰⎰+==C x xdx dx x tan sec cos 122; 9.⎰⎰+-==C x xdx dx x cot csc sin 122;10.⎰+=C x xdx x sec tan sec ;11.⎰+-=C x xdx x csc cot csc ; 12.⎰+=C e dx e x x ; 13.⎰+=C a a dx a x x ln ; 14.⎰+=C chx shxdx ;15.⎰+=C shx chxdx .例4 ⎰⎰+==C x dx x dx x x 2725272.三.不定积分的性质性质1 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. 性质2 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( (k 是常数).例5 求dx xx ⎰-23)1(. 解 原式⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=dx xdx x dx xdx dx x x x 221133)133( C xx x x +++-=1ln 3322. 例6 ⎰⎰++=+==C e C e e dx e dx e xx x x x x 12ln 2)2ln()2()2(2. 例7 ⎰⎰⎰++=+++=+++dx x x dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222 ⎰⎰++=++=C x x dx x dx x arctan ln 1112. 例8 ⎰⎰⎰++-=++-=+dx xx dx x x dx x x )111(11)1(1222424 C x x x ++-=arctan 313.例9 ⎰⎰+-=-=C x x dx x xdx tan )1(sec tan 22.例10 ⎰⎰⎰+-=-=-=C x x dx x dx x dx x )sin (21)cos 1(212cos 12sin2. 例11 ⎰⎰⎰+-====C x xdx dx x dx x x cot 4csc 4sin 142cos 2sin 12222.例12 ⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x x dx x x )sec (csc sin cos sin cos sin cos 122222222C x x +-=cot tan .。
第四章不定积分
数学中的转折点是笛卡尔的变数. 有了变数，
运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；
有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而
它们也就立刻产生，并且是有由牛顿和莱布尼茨大
体上完成的，但不是由他们发明的.
-------恩格斯)1(
数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力量. 17世纪，微积分的创立首先是为了解决当时数学面临的四类核心问题中的第四类问题，即求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力等等. 此类问题的研究具有久远的历史，例如，古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形的面积和体积，我国南北朝时期的祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形的面积和体积，而在欧洲，对此类问题的研究兴起于17世纪，先是穷竭法被逐渐修改，后来由于微积分的创立彻底改变了解决这一大类问题的方法.
由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，构成了微积分学的微分学部分；同时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成了微积分学的积分学部分.
前面已经介绍已知函数求导数的问题，现在我们要考虑其反问题：已知导数求其函数，即求一个未知函数，使其导数恰好是某一已知函数. 这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分. 本章将介绍不定积分的概念及其计算方法.
第一节不定积分的概念与性质
分布图示
★问题的引入★原函数的概念
★不定积分的概念★例1
★例2★例3★例4★例5★微分运算与积分运算的关系★基本积分表
★不定积分的性质★直接积分法
★例6★例7
★例8★例9★例10
★例11 ★例12 ★例13
★内容小结★课堂练习
★习题4-1
内容要点
一、原函数的概念
二、不定积分的概念
注: 由定义知, 求函数)(x f 的不定积分, 就是求)(x f 的全体原函数, 在⎰dx x f )(中, 积分号⎰表示对函数)(x f 实行求原函数的运算, 故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微分)运算的逆运算；
三、不定积分的性质；
四、基本积分表；
五、直接积分法：利用不定积分的运算性质和基本积分公式, 直接求出不定积分的方法.
例题选讲
不定积分的概念
例1 (E01) 问()⎰dx x f dx
d )( 与 ⎰'dx x f )(是否相等?
解 不相等.设),()(x f x F ='则 ()⎰dx x f dx
d )())((C x F dx d +=0)(+'=x F )(x f =
而由不定积分定义⎰'dx x f )(C x f +=)(，所以()⎰dx x f dx d )(.)(⎰'≠dx x f
例2 (E02) 求下列不定积分
.11)3(;1)2(;)1(223⎰⎰⎰+dx x
dx x dx x 解 (1) 因为,434x x ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛所以44x 是3x 的一个原函数,从而C x dx x +=⎰
443C (为任意常数)
(2)
因为,112x x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛-所以x 1-是21x 的一个原函数,从而C x dx x +-=⎰112C (为任意常数). (3) 因为,11)(arctan 2x x +='故x arctan 是211x +的原函数，从而C x dx x +=+⎰
arctan 112C (为任意常数).
例3 (E03) 已知曲线)(x f y =在任一点x 处的切线斜率为x 2, 且曲线通过点(1, 2), 求此曲线的方程.
解 根据题意知,2)(x x f ='即)(x f 是x 2的一个原函数，从而⎰
+==C x xdx x f 22)( 现在要上述积分曲线族中选出通过点)2,1(的那条曲线.由曲线通过点)2,1(得
C +=212⇒1=C 故所求曲线方程为.12+=x y
例4 (E04) 经过调查发现, 某产品的边际成本函数可由下面函数给出
32+q
其中q 是产量数, 已知生产的固定成本为2, 求生产成本函数.
解 设所求生产成本函数为),(q C 按题意，有
,32)(+='q q C
因为 ,32)3(2+='+q q q
所以q q 32+是32+q 的一个原函数，从而
)(q C ⎰+=dx q )32(023C q q ++= ).(0为积分常数C
直接积分法
例5 (E05) 计算不定积分dx x ⎰-2
32)1(. 解 dx x 2321⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=343221dx x dx x dx ⎰
⎰⎰+-=343221 C x x x ++++-=++134132134113212
.37563735C x x x ++-=
例6 (E06) 求不定积分
dx e x x ⎰2. 解
⎰dx e x x 2⎰=dx e x
)2(C e e x +=)2l n ()2(.2ln 12C e x x ++= 例7 求不定积分 dx x x x x ⎰+++)
1(122
. 解 ⎰+++dx x x x x )1(122
⎰+++=dx x x x x )1()1(22dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1112⎰⎰++=dx x dx x 1112 .||ln arctan C x x ++=
例8 (E07) 求不定积分⎰-+dx x x 42
11.
解
dx x x ⎰-+42411dx x x x ⎰+-+=222111dx x ⎰-=211
.a r c s i
n C x += 例9 (E08) 求不定积分⎰
+dx x x 24
1.
解 ⎰+dx x x 241⎰++-=dx x x 24111⎰+-+=dx x x x 2221)1)(1(dx x x ⎰
⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=22111 ⎰
⎰⎰++-=dx x dx dx x 22111.arctan 33C x x x ++-=
例10 (E09) 求下列不定积分:
.2sin )2(tan )1(22⎰⎰dx x xdx
解 )1(⎰x d x 2t a n ⎰-=dx x )1(sec 2⎰⎰-=dx xdx 1sec 2;t a n C x x +-=
)2(⎰dx x 2sin 2dx x )cos 1(21-=⎰⎰-=dx x )cos 1(21[]⎰⎰-=xdx dx cos 21.)sin (2
1C x x +-=
例11 求满足下列条件的).(x F ,11)(3x
x x F ++=
' ;1)0(=F 解 根据题设条件, 有 dx x x dx x x dx x F x F ⎰⎰⎰+-=++='=)1(11)()(3233
C x x x dx x dx x dx ++-
=+-=⎰⎰⎰353432353431. 又,1)0(=F 得.0=C 所以
.15
343)1(3534++-=x x x F
例12 求满足下列条件的).(x F
,2sin 2cos )(2x x x F =
' .14-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πF 解 根据题设条件，有
)(x F ⎰'=dx x F )(⎰=dx x x 2sin 2cos 2⎰
-=dx x x x x 2222cos sin 4sin cos ⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=dx x x 22cos 1sin 141
.)cot (tan 41C x x ++-= 由,14=⎪⎭
⎫ ⎝⎛πF 得,14cot 4tan 41-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-C ππ即.21-=C 所以)(x F .21)cot (tan 41-+-=x x
例13 (E10) 已知,1,10,1)(ln ⎩⎨⎧+∞
<<≤<='x x x x f 且0)0(=f ,求)(x f . 解 设,ln x t =则当10≤<x 时, ,0≤<-∞t .1)(='t f 于是dt t f t f ⎰'=
)()(,1
C t +=即 1)(C x x f +=
当+∞<<x 1时, ,0+∞<<t ,)(t e t f ='于是dt t f t f ⎰'=
)()(,2C e t +=即,)(2C e x f x +=
得⎩⎨⎧+∞<≤+≤<∞-+=x C e x C x x f x 0,0,)(21 又,0)0(=f ,01=C 再由)(x f 在0=x 处连续,),(lim )0(0
x f f x +→=得.12-=C 所以.0,10,)(⎩
⎨⎧+∞<≤-≤<∞-=x e x x x f x
课堂练习
1.求下列不定积分
.3
324)2(;1
)1(23⎰⎰⋅+⋅+dx e dx x x x x x 2.符号函数⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==0,10,
00,1sgn )(x x x x x f 在),(+∞-∞内是否存在原函数? 为什么?。
