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电势差与电场强度：电势差和电场强度的关系电势差和电场强度是电学中两个重要的概念，它们之间存在着一定的关系。
本文将从电势差和电场强度的定义出发，深入讨论它们的关系。
首先，我们来看一下电势差和电场强度的具体定义。
电势差是指在电场中，由于电荷之间存在的相互作用而做功的能力大小，用符号ΔV表示。
电场强度，则是指单位正电荷在电场中受到的力的大小，用符号E表示。
在国际单位制中，电势差用伏特（V）表示，而电场强度用牛顿/库仑（N/C）表示。
那么，电势差和电场强度之间到底存在着怎样的关系呢？为了回答这个问题，我们需要从电场的定义出发。
根据电场的定义，电场强度E是指单位正电荷在电场中受到的力的大小，即E=F/q，其中F是正电荷所受到的电场力，q是正电荷的电量。
因此，正电荷在电场中受到的力可以表示为F=qE。
根据物理学的基本原理可知，做功W等于力F乘以移动的距离d，即W=Fd。
那么，单位正电荷在电场中移动一段距离d所需做功W就可以表示为W=Ed。
由于电势差是指在电场中做功的能力大小，因此电势差ΔV可以表示为ΔV=W/q。
将W=Ed代入该公式，可以得到ΔV=Ed/q。
因此，电势差与电场强度之间的关系可以表示为ΔV=E×d。
由此可见，电势差与电场强度之间的关系是线性关系，即电势差等于电场强度乘以路径长度。
对于一个匀强电场，电场强度在空间中的分布是均匀的，因此在任意两点之间的电势差都是相同的。
然而，在实际应用中，电场的分布往往并不均匀，因此在不同位置上的电场强度是不同的，从而导致了电势差的变化。
在这种情况下，根据电势差与电场强度的关系，我们可以通过测量不同位置处的电场强度来计算电势差的大小。
电势差和电场强度的关系也可以用公式ΔV=-∫E·d r来表示，其中∫E·dr表示电场强度在路径上的积分。
这个公式可以更好地描述电势差的变化情况，特别适用于非匀强电场中的计算。
除了电势差与电场强度之间的线性关系，它们之间还存在着另一个重要的关系，即电场强度的方向与电势差的梯度（即电势的斜率）方向相反。
1.6 电势差与电场强度的关系【学习目标】1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系U AB ＝Ed ，能够推导出这个关系式。
2.知道电场强度的另一种关系，了解场强的另一个单位“伏特每米”的意义。
3.会用关系式U AB ＝Ed 或E ＝U ABd 进行有关的计算。
【知识梳理】 知识点一、电势差1．用不同的位置作为测量高度的起点，同一地方的高度的数值就不相同，但两个地方的高度差却保持不变．同样的道理，选择不同的位置作为电势零点，电场中某点电势的数值也会改变，但电场中某两点间的电势的差值却保持不变．2．电场中两点间电势的差值叫做电势差，也叫电压．电势差的计算公式U AB ＝φA －φB ，U BA ＝φB －φA ，U AB ＝－U BA .知识点二、静电力做功与电势差的关系电荷q 在电场中从A 点移动到B 点，A 、B 两点间的电势差为U AB ，则静电力做功W AB＝qU AB 或U AB ＝W AB /q .知识点三、电势差与电场强度的关系匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积，即U AB＝Ed .知识点四、关于E ＝U /d 的说明1．在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向距离的比值．也就是说，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．2．由该公式得出的场强单位是V/m ，以前学习的场强单位是N/C. 【重难点详解】匀强电场中电场强度与电势差的关系1．公式E ＝Ud 反映了电场强度与电势差之间的关系，由公式可知，电场强度的方向就是电场中电势降低最快的方向．2．公式中d 可理解为电场中两点所在等势面之间的距离，由此可得出一个结论：在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的端点间的电势差相等．如图所示，AB 、CD 平行且相等，则U AB ＝U CD3．利用等分电势法画等势线及电场线的方法例如：φA ＝6 V ，φB ＝－2 V ，φC ＝4 V ，试画出图中的等势线及电场线方法：(1)求出电势差最大的两点间电势差U max ＝U AB ＝φA －φB ＝8 V (2)求出电势差最小的两点间的电势差U min ＝U AC ＝2 V (3)计算U maxU min＝4(4)连接AB ，并将AB 四等分，在AB 上找到C 点的等势点D ，即φD ＝φC (5)连接CD 即为等势线；过CD 作垂线为电场线． 【典例精析】例1.为使带负电的点电荷q 在一匀强电场中沿直线匀速地由A 运动到B ，必须对该电荷施加一个恒力F ，如图所示，若AB ＝0.4 m ，α＝37°，q ＝－3×10－7 C ，F ＝1.5×10－4 N ，A 点的电势φA ＝100 V ．(不计负电荷受到的重力)(1)在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A 、B 两点的等势线，并标明它们的电势． (2)求q 在由A 到B 的过程中电势能的变化量是多少？例2.空间有一匀强电场，在电场中建立如图所示的直角坐标系O －xyz ，M 、N 、P 为电场中的三个点，M 点的坐标(0,a ,0)，N 点的坐标为(a ,0,0)，P 点的坐标为(a ，a /2，a /2)．已知电场方向平行于直线MN ，M 点电势为0，N 点电势为1 V ，则P 点的电势为( )A.22VB.32VC.14VD.34V 【随堂练习】1．对公式E ＝U abd 的理解，下列说法正确的是( )A ．此公式适用于计算任何电场中a 、b 两点间的电势差B ．a 点和b 点距离越大，则这两点的电势差越大C ．公式中d 是指a 点和b 点之间的距离D ．公式中的d 是a 、b 所在匀强电场的两个等势面间的垂直距离2．如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa ＝50 V ，φc ＝20 V ，则a 、c 连线中点b 的电势φb 为( )A ．等于35 VB ．大于35 VC ．小于35 VD ．等于15 V3．（多选）下列关于匀强电场的结论正确的是( ) A ．公式E ＝F /q 也适用于匀强电场B ．根据U ＝Ed 可知，任意两点的电势差与这两点的距离成正比C ．匀强电场的场强在数值上等于沿场强方向每单位长度上的电势差D ．匀强电场的场强方向总是跟电荷所受电场力的方向相同4．（多选）如图所示，A 、B 两板间电压为600 V ，A 板带正电并接地，A 、B 两板间距离为12 cm ，C 点离A 板4 cm ，下列说法正确的是( )A．E＝2 000 V/m，φC＝200 V B．E＝5 000 V/m，φC＝－200 VC．电子在C点具有的电势能为－200 eV D．电子在C点具有的电势能为200 eV 5．a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图所示，由此可知c点的电势为()A．4 V B．8 V C．12 V D．24 V6.如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是()A．M点的电势比P点的电势高B．将负电荷由O点移动到P点，电场力做正功C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差D．M、N两点间的电势差等于O、M两点间的电势差7. 如图所示，A、B两点相距10 cm，E＝100 V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，求A、B两点间的电势差．【参考答案】例1.【解析】(1)负电荷在匀强电场中做匀速运动说明受的电场力与外力F 等大反向因此该电场方向与F 的方向同向，如图所示 等势线与场强垂直，过A 、B 两点的等势线如图所示 A 、B 两点间的电势差U AB ＝E ·d AB ·cos α 匀强电场的场强E ＝F 电q ＝F q所以U AB ＝Fq d AB ·cos α＝1.5×10－43×10－7×0.4×0.8 V ＝160 V 则B 点的电势φB ＝φA －U AB ＝－60 V. (2)由A 到B 克服电场力做功 W ＝q·U AB ＝160×3×10－7 J ＝4.8×10－5 J 即：电势能变化量为4.8×10－5 J. 例2.【答案】D 【随堂练习】 1.【答案】D 2.【答案】C【解析】从电场线疏密可以看出E a >E b >E c ，由公式U ＝Ed 可以判断U ab >U bc ，所以φb <φa ＋φc2＝35 V ．3.【答案】AC4.【答案】BD【解析】A 板接地，则其电势为零，又因为A 、B 两板间的电压为600 V ，则B 板电势为－600 V ，由此知C 点电势为负值，则A 、B 两板间场强E ＝U /d ＝600 V/12 cm ＝50 V/cm ＝5000 V/m ，φC ＝Ed C ＝50 V/cm×(－4 cm)＝－200 V ，A 错误，B 正确；电子在C 点具有的电势能为200 eV ，C 错误，D 正确．5.【答案】B【解析】由公式U ＝Ed 可知，在匀强电场中相互平行的两线段端点所对应电势差之比恰好等于两线段长度之比．则由图知ab ∥dc ，必有U ab /U dc ＝ab /dc ＝1/1，故(20－24) V ＝(4－φc ) V ，则φc ＝8 V ．6.【答案】A【解析】根据电场线和等势面的关系画出等势面，可以判断M 点的电势比P 点的电势高，A 正确．负电荷由O 点移到P 点，电场力做负功，B 错误．根据U ＝Ed 进行定性分析可知，C 、D 错误．7.【答案】－5 V【解析】A 、B 两点在场强方向上的距离d ＝AB ·cos(π－θ)＝10×12 cm ＝5 cm.由于φA ＜φB ，则根据U ＝Ed 得U AB ＝－Ed ＝－100×5×10－2V ＝－5 V.。
电场强度（选修3—1第一章：静电场的第三节电场强度)★★★○○○○1、电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积。
即U＝Ed，也可以写作E＝错误!；其中d为电场中两点间电场线方向上的距离。
2、公式U＝Ed的适用范围:匀强电场;但是在非匀强电场中U＝Ed虽不能直接应用，但可以做定性判断．3、电场中，场强方向是指电势降低最快的方向．在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．1、电势差与电场强度关系的推导如图是一个匀强电场,场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为U，A、B之间相距为d.现将一个电量为q的电荷由A移到B，根据电场力做功等于力与距离的乘积可知W＝Fd＝qEd;再由电场力做的功与电势差的关系可知W＝qU；因为电场力做的功是一样的，故qEd= qU ,即U＝Ed或E＝U/d.2、在匀强电场中，由公式U＝Ed得出的两个推论推论1、匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝错误!，如下左图所示。
推论2、匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则U AB ＝U CD(或φA－φB＝φC－φD），如上右图所示。
3、E＝错误!在非匀强电场中的几点妙用（1）解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系，当电势差U一定时，电场强度E越大,则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大,等差等势面越密.（2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小,U越小。
关于匀强电场中场强和电势差的关系,正确的是（)A．电场强度越大，则任意两点间的电势差也越大B．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积C．匀电场中，沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降低必定相等D．场强与电势处处相同【答案】C1、如图是一个匀强电场的等势面示意图，每两个相邻等势面相距2 cm，由此可以确定电场强度的方向和数值是（）A．竖直向下，E＝100 V/m B．水平向左，E＝100 V/m C．水平向左,E＝200 V/m D．水平向右，E＝200 V/m 【答案】B【精细解读】电场强度E＝错误!＝100 V/m，电场强度的方向指向电势降落的方向，即水平向左，选项B正确．2、如图所示，椭圆ABCD处于一匀强电场中，椭圆平面平行于电场线,AC、BD分别是椭圆的长轴和短轴，已知电场中A、B、C 三点的电势分别为φA＝14 V、φB＝3 V、φC＝－7 V，由此可得D点的电势为( )A．8 V B．6 V C．4 VD．2 V【答案】C3、如图所示，A、B、C三点都在匀强电场中,已知AC⊥BC，∠ABC ＝53°，BC＝20 cm.把q＝10－5C的正电荷从A移到B，静电力做功为零；从B移到C，静电力做功为－1。
学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]1．(多选)关于电场力做功与电势差的说法中，正确的是()A．电势差的大小由电场力在两点间移动电荷做的功和电荷的电荷量决定B．电场力在两点间移动电荷做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电荷量决定C．电势差是矢量，电场力做的功是标量D．在匀强电场中，与电场线垂直的方向上任意两点间移动电荷电场力做功均为零【解析】电势差的大小只取决于电场及两点的位置，虽然可由U AB＝W AB q公式进行计算，但是并不由W AB和q决定，故A错．由W AB＝qU AB知，电场力在两点间移动电荷做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电荷量决定，则B正确．电势差和电场力做功都属于标量，C错．在匀强电场中，等势面与电场线垂直，根据在同一等势面上移动电荷时电场力不做功得知，在与电场线垂直方向上任意两点间移动电荷q电场力做功一定为零．故D正确．【答案】BD2．下列关于匀强电场中场强和电势差关系的说法正确的是()【导学号：34522083】A．在相同距离上，电势差大的其场强也必定大B．任意两点的电势差，等于场强与这两点间距离的乘积C．沿着电场线方向，相同距离上的电势降落必定相等D．电势降低的方向，必定是电场强度的方向【解析】由匀强电场的特点知A、B错误，C正确；电势降低最快的方向才是电场强度方向，D错误．【答案】 C3．在水深超过200 m的深海，光线极少，能见度极低，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出的生物电获取食物、威胁敌害、保护自己．若该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度达到104 N/C，可击昏敌害．则身长50 cm的电鳗，在放电时产生的瞬间电压可达()A．50 V B．500 VC．5 000 V D．50 000 V【解析】由U＝Ed可得电鳗在放电瞬间头尾间的电压为U＝104×50×10－2 V＝5000 V，故C正确．【答案】 C4．(多选)场强为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的a、b两点，则a、b两点间的电势差可能为()【导学号：34522084】A．1.0 V B．2.0 VC．3.0 V D．4.0 V【解析】因不知a、b两点连线的方向与电场方向是否同向，故a、b两点间的电势差大小不能确定，其最大值为U ab＝Ed＝2.0 V，最小值可为零，故A、B正确．【答案】AB5．如图1-6-8所示，匀强电场场强为1×103N/C，ab＝dc＝4 cm，bc＝ad ＝3 cm，则下述计算结果正确的是()【导学号：34522085】图1-6-8A．ab之间的电势差为4 000 VB ．ac 之间的电势差为50 VC ．将q ＝－5×10－3 C 的点电荷沿矩形路径abcda 移动一周，电场力做功为零D ．将q ＝－5×10－3 C 的点电荷沿abc 或adc 从a 移动到c ，电动力做功都是－0.25 J【解析】 U ab ＝E ·ab ＝1×103×0.04 V ＝40 V ，A 错误；U ac ＝U ab ＝40 V ，B 错误；将电荷移动一周，电势差为零，电场力做功为零，故C 正确；W ac ＝qU ac ＝(－5×10－3)×40 J ＝－0.2 J ，D 错误．【答案】 C6．如图1-6-9所示，等边三角形ABC 处在匀强电场中，其中电势φA ＝φB ＝0，φC ＝φ.保持该电场的大小和方向不变，让等边三角形以A 点为轴在纸面内顺时针转过30°，则此时的B 点电势为( )【导学号：34522086】图1-6-9 A.33φB ．－33φ C.12φ D ．－12φ【解析】 设等边三角形的边长为L ，则匀强电场E ＝φ32L ，当该等边三角形以A 为轴在纸面内顺时针转过30°时，B 点沿电场方向移动的距离为d ＝L sin30°＝0.5L ，故B 点电势降低了ΔU ＝Ed ＝33φ，由ΔU ＝φA －φB ′，可得此时B 点的电势为φB ′＝－33φ，B 正确．【答案】 B7．如图1-6-10所示，两块不带电的竖直平行金属板的间距为d ，一个重力为G 的带电小球在重力作用下在两板间竖直下落，此时小球的运动轨迹是AB ，当两板间加上电压U 时，小球受力方向变成沿BC 方向，则此小球所带的电荷量应是( )【导学号：34522087】图1-6-10 A.G UB.G 2UC.Gd UD.2Gd U【解析】 设小球所受电场力为F 电，由图可知tan 45°＝F 电G ，又F 电＝U d q ，可解得：q ＝Gd U ，C 正确．【答案】 C8．(多选)如图1-6-11所示，a 、b 、c 为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c 为ab 中点．a 、b 电势分别为φa ＝5 V ，φb ＝3 V ，下列叙述正确的是( )【导学号：34522088】图1-6-11A ．该电场在c 点处的电势一定为4 VB ．a 点处的场强E a 一定大于b 点处的场强E bC ．一正电荷从c 点运动到b 点电势能一定减少D ．一正电荷运动到c 点时受到的电场力由a 指向c【解析】 该电场不一定是匀强电场，无法比较a 、b 两点的电场强度大小，c 点的电势也不一定为4 V ，但电场方向由a →b ，正电荷在c 点所受电场力方向一定由a 指向c ，正电荷由c 运动到b 的过程中，电场力做正功，电势能一定减少，故C、D正确，A、B错误．【答案】CD[能力提升]9．如图1-6-12所示，在匀强电场中a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径，已知a、b、c三点的电势分别为φa＝9 V，φb ＝15 V，φc＝18 V，则d点的电势为()【导学号：34522089】图1-6-12A．4 V B．8 VC．12 V D．16 V【解析】如图所示，将直径ac三等分，三等分点分别为b′、d′，因为是匀强电场，因此，U c b′＝U b′d′＝U d′a＝3 V，则φb′＝15 V，φd′＝12 V，则bb′是一条等势线，根据几何知识知，直线dd′与直线bb′平行，在匀强电场中，各等势线平行，则直线dd′也是一条等势线，φd＝φd′＝12 V，选项C正确，其他选项均错误．【答案】 C10．(多选)如图1-6-13所示，纸面内有匀强电场，一带正电的质点(重力不计)在一恒力F的作用下沿图中虚线由A匀速运动至B，已知F和AB间夹角为θ，点A、B间距离为d，质点所带电荷量为q，则下列结论正确的是()图1-6-13A．匀强电场的场强大小为F cos θ/qB．A、B两点间的电势差U AB＝－Fd cos θ/qC．带电质点由A点运动至B点的电势能增加Fd cos θD．若带电质点由B点向A点做匀速直线运动，则F必须反向【解析】质点沿AB做匀速直线运动，所以质点所受电场力与力F大小相等、方向相反，匀强电场的场强大小为F/q，方向沿F的反方向，故A点的电势小于B点的电势，A、B两点间的电势差为U AB＝－Ed cos θ＝－Fd cos θ/q，A错误，B正确；带电质点由A点运动至B点的过程中电势能增加了ΔE p＝－W电＝－qU AB＝Fd cos θ，C正确；若带电质点由B点向A点做匀速直线运动，仍应受平衡力作用，所以F方向不变，D错误．【答案】BC11．两块相同的金属板A、B水平平行放置，两板相距30 cm，A、B板分别跟电源的正、负极相连，电源电压为60 V，如图1-6-14所示，求：图1-6-14(1)两板间电场的场强大小和方向．(2)若A板接地，则B板的电势多大．(3)若C点离A板10 cm，D点离B板15 cm，则C、D两点间的电势差是多少？【导学号：34522090】【解析】两平行的金属板A、B之间的电场是匀强电场，由于A、B分别接电源的正、负极，所以A 板带正电，B 板带负电．(1)E ＝U d ＝600.3 V/m ＝200 V/m ，方向竖直向下．(2)因为φA －φB ＝U ＝60 V ，A 板接地，φA ＝0，所以φB ＝－60 V .(3)U CD ＝E ·d ′，d ′为沿场强方向C 、D 两点间的距离，U CD ＝200×(0.3－0.1－0.15)V ＝10 V .【答案】 (1)200 V/m ，竖直向下 (2)－60 V(3)10 V12．如图1-6-15所示，带电荷量为Q 的正点电荷固定在倾角为30°的光滑绝缘斜面底部的C 点，斜面上有A 、B 两点，且A 、B 和C 在同一直线上，A 和C 相距为L ，B 为AC 中点．现将一带电小球从A 点由静止释放，当带电小球运动到B 点时速度正好又为零．已知带电小球在A 点处的加速度大小为g 4，静电力常量为k ，求：图1-6-15(1)小球运动到B 点时的加速度大小．(2)B 和A 两点间的电势差(用Q 和L 表示)．【解析】 (1)带电小球在A 点时：mg sin30°－k Qq L 2＝ma A .带电小球在B 点时：kQq ⎝ ⎛⎭⎪⎫L 22－mg sin 30°＝ma B 且a A ＝g 4可解得：a B ＝g 2.(2)由A 点到B 点应用动能定理得：mg sin 30°·L 2－U BA ·q ＝0. 由mg sin 30°－k Qq L 2＝m ·a A ＝m g 4可得：14mg ＝k QqL 2可求得：U BA ＝kQ L .【答案】 (1)g 2 (2)U BA ＝kQ L。
