(江苏专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略模板专项集训理

【9个专题20份】江苏省2017高考数学（理）大二轮总复习与增分策略配套练习及答案目录第1讲集合与常用逻辑用语1.(2016·课标全国乙改编)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝____________. 答案 {x |32<x <3}【详细分析】由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32， 得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32<x <3＝{x |32<x <3}. 2.(2016·北京改编)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的__________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 既不充分也不必要【详细分析】若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件.3.(2016·浙江改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是__________________. 答案 ∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2【详细分析】原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为存在性命题，条件中改量词，并否定结论.1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.热点一 集合的关系及运算 1.集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2.集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解.例1 (1)(2016·江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟)已知集合A ＝{}x | x 2－1＝0，B ＝{}－1，2，5，则A ∩B ＝________.(2)(2016·东北师大附中高三联考)若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑.已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}.其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是____________. 答案 (1){}－1 (2)②④【详细分析】(1)A ＝{}x | x 2－1＝0＝{}x |x ＝±1＝{}1，－1， A ∩B ＝{}－1.(2)①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}，但是{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，所以①错；②④都满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的三个条件.所以②④正确；③{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故③错.所以答案为②④.思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解.(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证.跟踪演练1 (1)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是________.(2)设集合M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________. 答案 (1)2 (2)112【详细分析】(1)由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}或∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2. (2)由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14， ⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1， 即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1， 可得M ＝⎣⎡⎦⎤0，34，N ＝⎣⎡⎦⎤23，1. 所以M ∩N ＝⎣⎡⎦⎤0，34∩⎣⎡⎦⎤23，1＝⎣⎡⎦⎤23，34. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.热点二 四种命题与充要条件1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假.2.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件. 例2 (1)下列命题：①已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m ⊥α，n ⊂β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件；②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x <log 3x 成立；③“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题. 其中正确的命题序号是________.(2)“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的______________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 (1)① (2)必要不充分【详细分析】(1)①当α⊥β时，n ⊂β可以是平面内任意一直线，所以得不到m ∥n .当m ∥n 时，m ⊥α，所以n ⊥α，从而α⊥β，故“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件，所以①正确.②log 2x ＝lg x lg 2，log 3x ＝lg x lg 3，因为lg 2<lg 3，所以1lg 2>1lg 3，当x ∈(0,1)时，lg x lg 2<lg x lg 3，即log 2x <log 3x 恒成立，所以②错误.③中原命题的逆命题为：若a <b ，则am 2<bm 2，显然当m 2＝0时不正确，所以③错误.(2)因为如果0>M >N ，不能推出log 2M >log 2N ，所以不是充分条件，因为log 2M >log 2N ，y ＝log 2x 是增函数，所以M >N ，故“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的必要不充分条件. 思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系.例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件.(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题. 跟踪演练2 (1)下列四个结论中正确的个数是________. ①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”； ③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.(2)已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是________. 答案 (1)1 (2)[2，＋∞)【详细分析】(1)对于①，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2，故“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，所以①错误；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，∵tan x ＝1推出的是x ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以③错误.对于④，log 32≠－log 23，所以④错误.②正确. (2)由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0， 所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2. 热点三 逻辑联结词、量词1.命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题.2.命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q ).3.“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”.例3 (1)命题p ：x ∈{x |x 2＋2x －3>0}，命题q ：x ∈{x |13－x >1}，若p ∧q 为真，则 x 的取值范围是________.(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，20x ＋2ax 0＋2－a ＝0”.若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________. 答案 (1)(2,3) (2)(1，＋∞)【详细分析】(1)当p 为真时得：x >1或x <－3；当q 为真时得：2<x <3，因为p ∧q 为真，则p 真且q 真，即求{x |x >1或x <－3}与{x |2<x <3}的交集为(2,3).(2)命题p 为真时a ≤1；“∃x 0∈R ，20x ＋2ax 0＋2－a ＝0”为真，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.(綈p )∧q 为真命题，即(綈p )真且q 真，即a >1. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算.跟踪演练3 (1)已知命题p ：存在x ∈[1,2]，使得x 2－a ≥0，命题q ：指数函数y ＝(log 2a )x 是R 上的增函数，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是______.(2)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________. 答案 (1)(]2，4 (2)0【详细分析】(1)当p 为真时，a ≤x 2在x ∈[]1，2上有解，所以a ≤()x 2max ＝4，当命题q 为真时，应有log 2a >1，所以a >2，由于命题“p 且q ”是真命题，所以p ，q 都真，从而a ∈(]2，4. (2)令f (x )＝tan x ＋1，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数，故f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0， ∵∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1， 故m ≤(tan x ＋1)min ，∴m ≤0，故实数m 的最大值为0.1.已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )＝____________.押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题.集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇. 答案 {x |x <1}【详细分析】M ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}， N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}， ∴∁R N ＝{x |x ≤－1}，∴M ∪(∁R N )＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <1}.2.已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“Ω集合”.给出下列四个集合： ①M ＝{(x ，y )|y ＝1x }；②M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}； ③M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }； ④M ＝{(x ，y )|y ＝ln x }.其中是“Ω集合”的所有序号为________.押题依据 以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口. 答案 ②③【详细分析】对于①，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则x 1x 2＋1x 1·1x 2＝0，即(x 1x 2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M ，且存在(x 2，y 2)∈M ，则x 1x 2＋y 1y 2＝1×x 2＋0×y 2＝x 2>0，可知④错误.同理，可证得②和③都是正确的.3.设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的______________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念. 答案 充分不必要【详细分析】当φ＝0时，f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 为偶函数成立；但当f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数时，φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝0时，必要性不成立. 4.给出下列四个命题，其中正确的命题的个数为________.①函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π8； ②a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ＝{x |a 1x ＋b 1>0}，B ＝{x |a 2x ＋b 2>0}，则“a 1a 2＝b 1b 2”是“A＝B ”的必要不充分条件；③若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题；④命题∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0.押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题. 答案 2【详细分析】①y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因此递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π8； ②充分性不成立，如a 1＝1，b 1＝1，a 2＝－1＝b 2，满足a 1a 2＝b 1b 2，但A ＝{x |x ＋1>0}＝(－1，＋∞)，B ＝{x |－x －1>0}＝(－∞，－1)，A ≠B ； 必要性成立：A ＝B ⇒a 1a 2>0⇒－b 1a 1＝－b 2a 2⇒a 1a 2＝b 1b 2；③p ∨q 为真命题时，p ，q 不一定全真，因此p ∧q 不一定为真命题；④命题∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0的否定应为∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0.所以①②为真.A 组 专题通关1.已知集合A ＝{2＋a ，a }，B ＝{－1,1,3}，且A ⊆B ，则实数a 的值是_________. 答案 1【详细分析】由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，2＋a ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，2＋a ＝1⇒a ＝1.2.(教材改编)已知全集U ＝R ，且A ＝{x ||x －1|>2}，B ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，则(∁U A )∩B ＝________.答案 {x |2<x ≤3}【详细分析】集合A ＝{x ||x －1|>2}＝{x |x >3或x <－1}， 所以∁U A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}， 所以(∁U A )∩B 为{x |2<x ≤3}.3.已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为______. 答案 13【详细分析】若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13. 4.已知集合M ＝{x |y ＝lg 1－xx}，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋3}，则(∁R M )∩N ＝__________. 答案 {x |x ≥2} 【详细分析】由1－xx>0得0<x <1，故M ＝{x |0<x <1}， ∁R M ＝{x |x ≤0或x ≥1}，y ＝(x ＋1)2＋2≥2， 故N ＝{y |y ≥2}，则(∁R M )∩N ＝{x |x ≥2}.5.设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1，则命题甲是命题乙成立的__________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分【详细分析】由命题甲ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，可知a ＝0时，原式＝1>0恒成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a <0， 解得0<a <1，所以0≤a <1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件. 6.若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)【详细分析】由题意得a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2. 7.已知命题p ：2xx －1<1，命题q ：(x ＋a )(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________. 答案 (－∞，－1] 【详细分析】由p ：2xx －1<1，得x ＋1x －1<0，－1<x <1，而p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q ，qD ⇒/p ，所以－a ≥1，a ≤－1.8.(2016·太原五中月考)①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”；②“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充要条件； ③若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题；④对于命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.上面四个命题中正确的是________. 答案 ①④【详细分析】对于命题：若p ，则q ，其逆否命题是若綈q ，则綈p ，故①对；②x ＝1时x 2－4x ＋3＝0成立，所以“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充分条件，当x 2－4x ＋3＝0时x ＝1或x ＝3，所以“x ＝1”不是“x 2－4x ＋3＝0”的必要条件，所以“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充分不必要条件，故②错.9.(2016·陕西神木六中期中)已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则集合M ∩N ＝________. 答案 {x |－1<x <2}【详细分析】解不等式可得M ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，由交集的计算方法可得，M ∩N ＝{x |－1<x <2}.10.已知集合A ＝{x |－1<x ≤5}，B ＝{x |m －5<x ≤2m ＋3}，且A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________. 答案 [1,4]【详细分析】⎩⎪⎨⎪⎧m －5≤－1，2m ＋3≥5，解得1≤m ≤4.故应填[1,4].11.“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的__________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要【详细分析】f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增⇒f ′(x )＝a －sin x ≥0在R 上恒成立⇒a ≥(sin x )max ＝1，所以“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件. 12.给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”； ③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件； ④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题. 其中真命题的序号是________. 答案 ①④【详细分析】对于①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题， 所以其逆否命题亦为真命题，故①正确；对于②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是： “∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对于③，因为由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对于④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确.B 组 能力提高13.有下列命题：①y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象中相邻两个对称中心的距离为π； ②y ＝x ＋3x －1的图象关于点()－1，1对称； ③关于x 的方程ax 2－2ax －1＝0有且仅有一个实根，则a ＝－1； ④命题p ：对任意x ∈R ，都有sin x ≤1；则綈p ：存在x ∈R ，使得sin x >1. 其中真命题的序号是________. 答案 ③④【详细分析】因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝－12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝12cos 2x ， 周期为π，所以其图象中相邻两个对称中心的距离为π2，故①为假命题；由于y ＝x ＋3x －1＝1＋4x －1，其图象关于点()1，1对称，故②为假命题；由于关于x 的方程ax 2－2ax －1＝0有且仅有一个实根，所以a ≠0且()－2a 2＋4a ＝0，解得：a ＝－1或a ＝0(舍去)，故③为真命题；由于命题p ：对任意x ∈R ，都有sin x ≤1，因为全称命题的否定是存在性命题，所以綈p ：存在x ∈R ，使得sin x >1，故④为真命题.14.已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是__________. 答案 [1，＋∞)【详细分析】∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题. 由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假命题， 得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题， ∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题， 得綈q ：∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0为真命题， ∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1.15.给出以下四种说法，其中错误的是________.①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”； ②“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③若“命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”，则“綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0”； ④若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题. 答案 ④【详细分析】对于若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，∴④错误. 16.已知集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫ax －5x 2－a <0，若3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围是____________. 答案 ⎣⎡⎭⎫1，53∪(9,25] 【详细分析】∵集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫ax －5x 2－a <0， 得(ax －5)(x 2－a )<0， 当a ＝0时，显然不成立，当a >0时，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －5a ()x －a (x ＋a )<0， 若a <5a，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <3<5a ，a ≥1，解得1≤a <53；若a >5a，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧5a <3<a ，a ≤5，解得9<a ≤25，当a <0时，不符合条件， 综上，答案为⎣⎡⎭⎫1，53∪(9,25]. 17.已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”.给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }；②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}；③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}；④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________. 答案 ②④【详细分析】对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集.对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集.对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集.对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}， 故④是具有性质P 的点集. 综上，具有性质P 的点集是②④.第2讲 不等式与线性规划1.(2016·课标全国丙)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0， 则z ＝x ＋y 的最大值为________.答案32【详细分析】满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0,1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，如图，过C ⎝⎛⎭⎫1，12时取得最大值32.2.(2016·浙江改编)已知实数a ，b ，c ，下列判断正确的是________. ①若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100； ②若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100； ③若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100； ④若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100. 答案 ④【详细分析】①中，设a ＝b ＝10，c ＝－110， 则|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |＝0≤1，a 2＋b 2＋c 2>100. ②中，设a ＝10，b ＝－100，c ＝0，则|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |＝0≤1，a 2＋b 2＋c 2>100. ③中，设a ＝100，b ＝－100，c ＝0，则 |a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|＝0≤1，a 2＋b 2＋c 2>100. ∴④对.3.(2016·上海)设x ∈R ，则不等式|x －3|<1的解集为________. 答案 (2,4)【详细分析】－1<x －3<1，即2<x <4，故解集为(2,4). 4.(2016·上海)设a >0，b >0，若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)【详细分析】由已知得，ab ＝1，且a ≠b ，∴a ＋b >2ab ＝2.1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一 不等式的解法 1.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集. 2.简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3.指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解.例1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________.(2)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为__________.答案 (1)9 (2){x |x <－lg 2}【详细分析】(1)由值域为[0，＋∞)，可知当x 2＋ax ＋b ＝0时有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 解得－c <x ＋a 2<c ，－c －a 2<x <c －a2.∵不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)， ∴⎝⎛⎭⎫c －a 2－(－c －a2)＝2c ＝6，解得c ＝9. (2)由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.思维升华 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.跟踪演练1 (1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________. (2)不等式22x x－＜4的解集为________.答案 (1)52(2)(－1,2)【详细分析】(1)由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.(2)∵22x x－＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.热点二 基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值).例2 (1)已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b的最小值为________.(2)设实数m ，n 满足m >0，n <0，且1m ＋1n ＝1，则4m ＋n 有最________值，为________.答案 (1)4＋423 (2)大 1【详细分析】(1)11－a ＋21－b ＝11－a ＋21－14a＝2＋(44－4a ＋24a －1)＝2＋(44－4a ＋24a －1)[(4－4a )＋(4a －1)]3＝2＋2＋13(4(4a －1)4－4a ＋2(4－4a )4a －1)≥4＋13×24(4a －1)4－4a ·2(4－4a )4a －1＝4＋423，当且仅当4(4a －1)4－4a ＝2(4－4a )4a －1时取等号.(2)因为1m ＋1n＝1，所以4m ＋n ＝(4m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝5＋4m n ＋n m ， 又m >0，n <0，所以－4m n －n m ≥4，当且仅当n ＝－2m 时取等号，故5＋4m n ＋nm≤5－4＝1， 当且仅当m ＝12，n ＝－1时取等号.思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 跟踪演练2 (1)若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则a a ＋1＋b b ＋1的最大值为________. (2)若圆(x －2)2＋(y －2)2＝9上存在两点关于直线ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋9b 的最小值为________. 答案 (1)23(2)16【详细分析】(1)∵正数a ，b 满足a ＋b ＝1， ∴a a ＋1＋bb ＋1＝a (b ＋1)＋b (a ＋1)(a ＋1)(b ＋1)＝2ab ＋a ＋b ab ＋a ＋b ＋1 ＝2ab ＋1ab ＋2＝2(ab ＋2)－3ab ＋2＝2－3ab ＋2 ≤2－3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋2＝2－314＋2＝23，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴a a ＋1＋b b ＋1的最大值为23.(2)圆(x －2)2＋(y －2)2＝9的圆心坐标为(2,2)，由已知得直线ax ＋by －2＝0必经过圆心(2,2)，即a ＋b ＝1. 所以1a ＋9b ＝(1a ＋9b )(a ＋b )＝10＋b a ＋9ab≥10＋2b a ·9a b ＝16(当且仅当b a ＝9a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立)，所以1a ＋9b 的最小值为16.热点三 简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.例3 (1)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥x3－2，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值与最小值之和为________.(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2，y ≥x －2，y ≥－12x ＋52，且目标函数z ＝－kx ＋y 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1时取得最小值，则实数k 的取值范围是________. 答案 (1)－2 (2)⎝⎛⎭⎫－12，1 【详细分析】(1)根据x ，y 的约束条件画出可行域，如图阴影部分所示，其中A ⎝⎛⎭⎫－185，－165，B (6,0)，C(0,4).由z ＝x ＋2y 可知，当直线y ＝－12x ＋z 2过点A 时，z 取最小值，即z min ＝－185＋2×⎝⎛⎭⎫－165＝－10；当直线y ＝－12x ＋z2过点C 时，z 取最大值，即z max ＝0＋2×4＝8，∴z min ＋z max ＝－2.(2)由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的△ABC 及其内部，其中A (3,1)，B (4,2)，C (1,2).将目标函数变形得y ＝kx ＋z ，当z 取得最小值时，直线的纵截距最小.由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线y ＝kx ＋z 绕定点A 旋转进行分析，知－12<k <1，故所求实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1.思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围.(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.跟踪演练3 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的取值范围是__________.(2)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为__________.答案 (1)[0,8] (2)[－1,1] 【详细分析】(1)作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图知当目标函数z ＝4x ＋y 经过点B (2,0)时z 取得最大值，最大值为4×2＋0＝8；当目标函数z ＝4x ＋y 经过点O (0,0)时z 取得最小值，最小值为4×0＋0＝0，所以z ＝4x ＋y 的取值范围是[0,8].(2)由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x ＋2y ＝－5的上方，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，则实数a 的取值范围为[－1,1].1.若点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上，则ab 的最大值为________.押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合. 答案 18【详细分析】因为点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上，所以a >0，b >0，且a ＋2b ＝1， 所以ab ＝12·a ·2b ≤12·(a ＋2b 2)2＝18，当且仅当a ＝2b ＝12，即a ＝12，b ＝14时，“＝”成立.2.在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________.押题依据 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容.往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式. 答案32【详细分析】由定义知，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立， ∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.3.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，x ≥12，y ≥1，则z ＝x ＋2y 的最小值为________.押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点. 答案 52【详细分析】由题意可得不等式组所表示的可行域为如图中阴影部分所示的四边形ABCD 及其内部.因为目标函数z ＝x ＋2y 可化为y ＝－x 2＋z 2，其表示过可行域上的点(x ，y )，斜率为－12且在y 轴上的截距为z 2的直线.由图可知，当z ＝x ＋2y 过点D (12，1)时，z 取得最小值z min ＝12＋2＝52.4.若不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________.押题依据 “恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点. 答案 (－4,2)【详细分析】不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于不等式x 2＋2x <⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min .因为对任意a ，b ∈(0，＋∞)，a b ＋16b a ≥2a b ·16b a ＝8(当且仅当a b ＝16ba，即a ＝4b 时取等号)，所以x 2＋2x <8，解得－4<x <2.A 组 专题通关1.若log 2a 1＋a 21＋a <0，则a 的取值范围是________.答案 (12，1)【详细分析】当2a >1⇒a >12时，若log 2a 1＋a 21＋a <0，则0<1＋a 21＋a <1⇒0<a <1，∴12<a <1.当1>2a >0⇒0<a <12时，若log 2a 1＋a 21＋a <0，则1＋a 21＋a >1⇒a >1，此时无解.2.(教材改编)函数y ＝1＋2x ＋a ·4x 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，则a 的取值范围是_________. 答案 (－34，＋∞)【详细分析】由题意得a >[－(14x ＋12x )]max (x ≤1)，令t ＝12x ，则t ∈[12，＋∞)，因此－(14x ＋12x )＝－(t 2＋t )≤－34，从而a >－34.3.若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，3x －y ≥0，y ≥0，则|3x －4y －10|的最大值为________.答案494【详细分析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，3x －y ≥0，y ≥0表示一个三角形ABC 及其内部，其中A (1,0)，B (0,0)，C (14，34)，且可行域在直线3x －4y －10＝0上方，因此|3x －4y －10|＝－3x ＋4y ＋10，过点C (14，34)时取最大值，为494. 4.设x ≥0, y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为____________.答案324【详细分析】方法一 ∵x ≥0, y ≥0, x 2＋y 22＝1，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x21＋y22≤2x 2＋1＋y 222＝2x 2＋y 22＋122＝324.当且仅当x ＝32，y ＝22(即x 2＝1＋y 22)时，x 1＋y 2取得最大值324.方法二 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ≤π2)，则x 1＋y 2＝cos θ1＋2sin 2θ ＝2cos 2θ(1＋2sin 2θ)·12≤12·[2cos 2θ＋(1＋2sin 2θ)2]2＝324， 当2cos 2θ＝1＋2sin 2θ，即θ＝π6时，x ＝32，y ＝22时，x 1＋y 2取得最大值324.5.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤5，x －y ≤－2，则2y －12x ＋3的最大值为________.答案 75【详细分析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (1,4)，B (1,3)，C (32，72)，而2y －12x ＋3＝y －12x ＋32表示可行域内的点P (x ，y )到点E (－32，12)连线的斜率，因此其最大值为k EA ＝4－121＋32＝75.6.若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为________.答案24【详细分析】由题意得(2x －y )(x ＋y )＝1， 令2x －y ＝t ，x ＋y ＝1t ，则x ＝13(t ＋1t )，y ＝13(－t ＋2t )，因此x －2y5x 2－2xy ＋2y 2＝t －1t t 2＋1t2＝m m 2＋2≤|m |m 2＋2≤|m |22|m |＝24， 其中m ＝t －1t ，当且仅当|m |＝2时取等号，故x －2y 5x 2－2xy ＋2y2的最大值为24. 7.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元. 答案 160【详细分析】由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝⎛⎭⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号. 8.已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 (－4,2)【详细分析】由题意可得m 2＋2m 应小于2y x ＋8x y 的最小值，所以由基本不等式可得2y x ＋8xy ≥22y x ·8xy＝8， 所以m 2＋2m <8⇒－4<m <2.9.设0<a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B ，求集合D .(用区间表示)解 令g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ， 其对称轴方程为x ＝34(1＋a )，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9＝3(3a －1)(a －3). ①当0<a ≤13时，Δ≥0，x ＝34(1＋a )>0，g (0)＝6a >0，方程g (x )＝0的两个根分别为 0<x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94<x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，∴D ＝A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝⎛⎭⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；②当13<a <1时，Δ<0，则g (x )>0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞). 综上所述，当0<a ≤13时，D ＝⎝⎛⎭⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝⎛⎭⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；当13<a <1时，D ＝(0，＋∞). 10.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x ，x ∈[50,100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100].(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ， 即x ＝1810时，上述不等式中等号成立.故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元.B 组 能力提高11.(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系为____________. 答案 p ＝r ＜q【详细分析】∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b ) ＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .12.(2015·山东)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x的最小值为________. 答案2【详细分析】由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋(2y )2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝2，当且仅当x＝2y 时取等号.13.设点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y ≤2x ＋2，点Q (a ，b )(a ≤0，b ≥0)满足OP →·OQ →≤1恒成立，其中O是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是________. 答案 12【详细分析】∵OP →·OQ →≤1， ∴ax ＋by ≤1， ∵点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y ≤2x ＋2的区域，如图阴影部分所示，OP →·OQ →≤1，即ax ＋by ≤1，且点Q (a ，b )满足OP →·OQ →≤1恒成立，只需点P (x ，y )在可行域内的交点处：A (－1,0)，B (0,2)，ax ＋by ≤1成立即可， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤1，2b ≤1，a ≤0，b ≥0， 即⎩⎨⎧a ≥－1，b ≤12，a ≤0，b ≥0，它表示一个长为1宽为12的矩形，其面积为12，故答案为12.14.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60 (0≤x <20)，13(200－x ) (20≤x ≤200).(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x (0≤x <20)，13x (200－x ) (20≤x ≤200)，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时.第1讲 函数的图象与性质1.(2016·课标全国乙改编)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为________.答案 ④【详细分析】f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除①；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除②；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝⎛⎭⎫0，14上单调递减，排除③，故填④.2.(2016·山东改编)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝______. 答案 2【详细分析】当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1，且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2.3.(2016·上海改编)设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均为增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个为增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数，以上两个命题为真的是________. 答案 ②【详细分析】①不成立，可举反例， f (x )＝2x ，g (x )＝－x ，h (x )＝3x ，f (x )＋g (x )＝x ，f (x )＋h (x )＝5x ，g (x )＋h (x )＝2x ， 都是定义域R 上的增函数，但g (x )＝－x 不是增函数， ∴①是假命题.②f (x )＋g (x )＝f (x ＋T )＋g (x ＋T )， f (x )＋h (x )＝f (x ＋T )＋h (x ＋T )， g (x )＋h (x )＝g (x ＋T )＋h (x ＋T )，前两式作差，可得g (x )－h (x )＝g (x ＋T )－h (x ＋T )， 结合第三式，可得g (x )＝g (x ＋T )，h (x )＝h (x ＋T )， 也有f (x )＝f (x ＋T ). ∴②为真命题.。

第10练函数的图象与性质【方法引领】第10练函数的图象与性质【方法引领】【回归训练】【回归训练】一、填空题1.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=.2.已知f(x)是偶函数，则f(x+2)的图象关于对称；已知f(x+2)是偶函数，则函数f(x)的图象关于对称.3.若直线y=x+b与曲线y=3-24-x x有公共点，则实数b的取值范围是.4.设函数f(x)=a sin x+x2，若f(1)=0，则f(-1)=.5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=1-log2x，则不等式f(x)<0的解集是.6.如图所示，函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.若对任意的x∈R，f(x)>f(x-1)，则正实数a的取值范围是.(第6题)7.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f(x)=1-102011ax xbxxx+≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩，，，，其中a，b∈R.若f12⎛⎫⎪⎝⎭=f32⎛⎫⎪⎝⎭，则a+3b的值为.8.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f (x )=2x +ln 4x，记a n =f (n-5)，则数列{a n }的前8项和为 .二、 解答题9.已知函数y=f (x )的定义域为R ，且对一切实数x 都满足f (2+x )=f (2-x ). (1)求证：函数y=f (x )的图象关于直线x=2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0，2]时，f (x )=2x-1，求x ∈[-4，0]时f (x )的解析式.10.已知函数f (x )=1+||-2x x(-2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域.11.已知函数f (x )的定义域D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2). (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)如果f (4)=1，f (3x+1)+f (2x-6)≤3，且f (x )在(0，+∞)上是增函数，求x 的取值范围.【回归训练答案】第10练函数的图象与性质一、填空题1. 0【解析】由f(-0)=-f(0)⇒2f(0)=0⇒f(0)=0.2.直线x=-2直线x=23.[1-22，3]【解析】在同一平面直角坐标系中画出曲线y=3-24-x x(注：该曲线是以点C(2，3)为圆心、2为半径的圆不在直线y=3上方的部分)与直线y=x的图象如图所示，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y轴正方向平移到点(0，3)的过程中的任何位置，相应的直线与曲线y=3-24-x x都有公共点；注意到与y=x平行且过点(0，3)的直线的方程是y=x+3；当直线y=x+b与以点C(2，3)为圆心、2为半径的圆(圆不在直线y=3上方的部分)相切时，有|2-3|2b+=2，b=1-22.结合图形可知，b的取值范围是[1-22，3].(第3题)4. 2【解析】f(x)+f(-x)=2x2，因为f(1)+f(-1)=2，所以f(-1)=2.5.(-2，0)∪(2，+∞)【解析】当x<0时，f(x)=-f(-x)=log2(-x)-1.由f(x)<0，即log2(-x)-1<0，解得-2<x<0；当x>0时，f(x)=1-log2x，由f(x)<0，即1-log2x<0，解得x>2.综上，不等式f(x)<0的解集是(-2，0)∪(2，+∞).6.16⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】依题意知3-(-3)1aa a>⎧⎨<⎩，，解得0<a<16，即正实数a的取值范围是16⎛⎫ ⎪⎝⎭，.7.-10【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f32⎛⎫⎪⎝⎭=f1-2⎛⎫⎪⎝⎭，且f(-1)=f(1)，故f12⎛⎫⎪⎝⎭=f1-2⎛⎫⎪⎝⎭，从而122112b++=-12a+1，即3a+2b=-2①.由f(-1)=f(1)，得-a+1=22b+，故b=-2a②.由①②得a=2，b=-4，从而a+3b=-10.8.-16【解析】数列{a n}的前8项和为f(-4)+f(-3)+…+f(3)=f(-4)+(f(-3)+f(3))+(f(-2)+f(2))+(f(-1)+f(1))+f(0)=f(-4)=-f(4)=-24+ln 44=-16.二、解答题9. (1) 设P(x0，y0)是函数y=f(x)图象上任意一点，则y0=f(x0)，点P关于直线x=2的对称点为P'(4-x0，y0).因为f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0，所以P'也在y=f(x)的图象上，所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.(2) 由(1)知对任意x都有f(4-x)=f(x)，又f(x)是偶函数，所以f(x-4)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数.当x∈[-4，-2]时，x+4∈[0，2]，又x∈[0，2]时，f(x)=2x-1，所以当x∈[-4，-2]时，f(x+4)=2(x+4)-1=2x+7，当x∈(-2，0]时，-x∈[0，2)，所以f(x)=f(-x)=-2x-1.综上，f(x)=27[-4-2) -2-1[-20].x xx x∈∈+⎧⎨⎩，，，，，10.当0≤x≤2时，f(x)=1+-2x x=1；当-2<x<0时，f(x)=1+--2x x=1-x.所以f(x)=1--20 10 2.x xx<<⎧⎨≤≤⎩，，，(2) 函数f(x)的图象如图所示.(第10题) (3) 由(2)知，f(x)在(-2，2]上的值域为[1，3).11. (1) 令x1=x2=1，有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.(2) f(x)为偶函数，证明如下：令x1=x2=-1，有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)，解得f(-1)=0.令x1=-1，x2=x，有f(-x)=f(-1)+f(x)，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.(3) f(4×4)=f(4)+f(4)=2，f(16×4)=f(16)+f(4)=3.由f(3x+1)+f(2x-6)≤3，变形为f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*)因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式(*)等价于f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64). 又因为f(x)在(0，+∞)上是增函数，所以|(3x+1)(2x-6)|≤64，且(3x+1)(2x-6)≠0，解得-73≤x<-13或-13<x<3或3<x≤5.所以x的取值范围是711335 333x x x x⎧⎫-≤<--<<<≤⎨⎬⎩⎭或或.。

数学思想集训(一) 函数与方程思想 题组1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 是其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8的值为________．64 [由题意可知a 22＝a 1a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，解得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.∴S 8＝(a 1＋a 8)×82＝4×(1＋15)＝64.] 2．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，则k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0 [构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，因为关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0，f (0)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2k ≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，所以－34＜k ≤0，所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0.] 3．已知数列{a n }满足a 1＝60，a n ＋1－a n ＝2n (n ∈N *)，则a n n 的最小值为________．【导学号：19592071】292[由a n ＋1－a n ＝2n ，得 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋60＝n 2－n ＋60.∴a n n ＝n 2－n ＋60n ＝n ＋60n －1.令f (x )＝x ＋60x －1，易知f (x )在(0,215)上单调递减，在(215，＋∞)上单调递增．又n ∈N *，当n ＝7时，a 77＝7＋607－1＝1027，当n ＝8时，a 88＝8＋608－1＝292.又292＜1027，故a n n 的最小值为292.]4．已知函数f (x )＝x ln x ＋a ，g (x )＝12x 2＋ax ，其中a ≥0. (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )也相切，求a 的值；(2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立．[解] (1)由f (x )＝x ln x ＋a ，得f (1)＝a ，f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1. 3分所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y ＝x ＋a －1.因为直线y ＝x ＋a －1与曲线y ＝g (x )也相切，所以两方程联立消元得12x 2＋ax ＝a ＋x －1，即12x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0， 5分所以Δ＝(a －1)2－4×12×(1－a )＝0，得a 2＝1.因为a ≥0，所以a ＝1. 8分(2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立，等价于12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立．令h (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则h (1)＝0且h ′(x )＝x ＋a －ln x －1. 12分令φ(x )＝x －ln x －1，则φ(1)＝0且φ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以x ＞1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增，所以φ(x )＞φ(1)＝0. 14分又因为a ≥0，所以h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )＞h (1)＝0，所以x ＞1时，12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立，即x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立. 16分题组2 利用函数与方程思想解决几何问题5．设抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为________．y 2＝4x 或y 2＝16x [由抛物线的定义可知MF ＝x M ＋3p 4＝5，∴x M ＝5－3p 4，y 2M＝15p －9p 24，故以MF 为直径的圆的方程为(x －x M )(x －x F )＋(y －y M )(y －y F )＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0－5＋3p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3p 4＋(2－y M )(2－0)＝0. ∴y M ＝2＋15p 8－9p 232＝2＋y 2M 8⇒y M ＝4，p ＝43或163.∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .]图16．如图1所示，在单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP ＋D 1P 最短，则AP ＋D 1P 的最小值是________． 2＋2 [设A 1P ＝x (0≤x ≤2)．在△AA 1P 中， AP ＝12＋x 2－2×1×x ×cos 45°＝x 2－2x ＋1， 在Rt △D 1A 1P 中，D 1P ＝1＋x 2.于是令y ＝AP ＋D 1P ＝x 2－2x ＋1＋x 2＋1， 下面求对应函数y 的最小值．将函数y 的解析式变形，得y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－222＋(x －0)2＋[0－(－1)]2，其几何意义为点Q (x,0)到点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22与点N (0，－1)的距离之和，当Q ，M ，N 三点共线时，这个值最小，且最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋ 2.]7．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，并且经过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12. (1)求椭圆E 的方程；(2)问：是否存在直线y ＝－x ＋m ，使直线与椭圆交于A ，B 两点，且满足OA →·OB →＝125？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． [解] (1)由e ＝c a ＝32且3a 2＋14b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝1，即椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. 4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝－x ＋m ⇒x 2＋4(m －x )2－4＝0⇒5x 2－8mx ＋4m 2－4＝0.(*)所以x 1＋x 2＝8m 5，x 1x 2＝4m 2－45，y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝m 2－85m 2＋4m 2－45＝m 2－45，14分由OA →·OB →＝125得(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝125，即x 1x 2＋y 1y 2＝125，4m 2－45＋m 2－45＝125，m ＝±2.又方程(*)要有两个不等实根，所以Δ＝(－8m )2－4×5(4m 2－4)＞0，解得－5＜m ＜5，所以m ＝±2. 16分8．如图2，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝5，AA ′＝AB ＝6，D ，E 分别为AB 和BB ′上的点，且AD DB ＝BE EB ′＝λ. (1)求证：当λ＝1时，A ′B ⊥CE ；(2)当λ为何值时，三棱锥A ′－CDE 的体积最小，并求出最小体积．图2[解] (1)证明：∵λ＝1，∴D ，E 分别为AB 和BB ′的中点. 2分又AA ′＝AB ，且三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，∴平行四边形ABB ′A ′为正方形，∴DE ⊥A ′B . 5分∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB .∵三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，∴CD ⊥平面ABB ′A ′，∴CD ⊥A ′B ， 7分又CD ∩DE ＝D ，∴A ′B ⊥平面CDE .∵CE ⊂平面CDE ，∴A ′B ⊥CE . 10分(2)设BE ＝x ，则AD ＝x ，DB ＝6－x ，B ′E ＝6－x .由已知可得C 到平面A ′DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对应的高h ＝AC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝4， 12分 ∴V A ′－CDE ＝V C －A ′DE ＝13(S 四边形ABB ′A －S △AA ′D －S △DBE －S △A ′B ′E )·h＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤36－3x －12(6－x )x －3(6－x )·h ＝23(x 2－6x ＋36)＝23[(x －3)2＋27](0＜x ＜6)，∴当x ＝3，即λ＝1时，V A ′－CDE 有最小值18. 16分。

专题限时集训(七) 利用导数解决不等式、方程的解、曲线交点个数问题(建议用时：45分钟)1．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(a ∈R )．(1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以斜率k ＝f ′(1)＝1.1分 又f (1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋ax －2，y ＝x －1 2分⇒x 2＋(1－a )x ＋1＝0，由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3可知：当Δ>0时，即a <－1或a >3时，有两个公共点； 当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点；当Δ<0时，即－1<a <3时，没有公共点. 4分 (2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ，由y ＝0得a ＝x ＋2x＋ln x ， 6分令h (x )＝x ＋2x＋ln x ，则h ′(x )＝x －x ＋x 2. 8分当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，由h ′(x )＝0得x ＝1， 10分 所以，h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增， 因此，h (x )min ＝h (1)＝3，11分由h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e＋2e －1， 12分h (e)＝e ＋2e＋1比较可知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e>h (e). 13分所以，当3<a ≤e＋2e ＋1时，函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点. 14分2．设函数f (x )＝e 2x－a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0). 1分 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点； 3分 当a >0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增. 5分又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点. 6分(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 8分当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.9分故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e 2x 0－ax 0＝0， 12分所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a. 14分3．(2013·江苏高考)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围；(2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论． [解] (1)令f ′(x )＝1x －a ＝1－axx＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数. 2分同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1. 4分令g ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a .当x ＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0. 又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a ＞1，即a ＞e.综上可知，a ∈(e ，＋∞). 6分 (2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数； 当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x， 即x ＞ln a ．7分因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤e －1. 综合上述两种情况，得a ≤e －1.①当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x＞0，得f (x )存在唯一的零点； 8分②当a ＜0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a,1]上的图象连续，所以f (x )在(e a,1)上存在零点. 9分另外，当x ＞0时，f ′(x )＝1x－a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只有一个零点．③当0＜a ≤e －1时，令f ′(x )＝1x－a ＝0，解得x ＝a －1.当0＜x ＜a －1时，f ′(x )＞0；当x ＞a －1时，f ′(x )＜0，所以，x ＝a －1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1. 10分a ．当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e. b ．当－ln a －1＞0，即0＜a ＜e －1时，f (x )有两个零点．实际上，对于0＜a ＜e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1＜0，f (a －1)＞0，且函数f (x )在[e －1，a －1]上的图象连续，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点．另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1x－a ＞0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数， 所以f (x )在(0，a －1)上只有一个零点． 下面考虑f (x )在(a －1 ，＋∞)上的情况． 先证f ()e a－1＝a ()a －2－e a －1＜0.为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x＞x 2.设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x－2x ， 则l ′(x )＝e x－2. 12分当x ＞1时，l ′(x )＝e x－2＞e －2＞0，所以l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数． 故当x ＞2时，h ′(x )＝e x－2x ＞h ′(2)＝e 2－4＞0，零点. 13分 又当x ＞a －1时，f ′(x )＝1x－a ＜0，故f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数， 所以f (x )在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综合①②③可知，当a ≤0或a ＝e －1时，f (x )的零点个数为1，当0＜a ＜e －1时，f (x )的零点个数为2. 14分4．(2016·苏锡常镇调研二)已知函数f (x )＝a ·e x＋x 2－bx (a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，其导函数为y ＝f ′(x ).(1)设a ＝－1，若函数y ＝f (x )在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； (2)设b ＝0，若函数y ＝f (x )在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；(3)设b ＝2，且a ≠0，点(m ，n )(m ，n ∈R )是曲线y ＝f (x )上的一个定点，是否存在实数x 0(x 0≠m )，使得f (x 0)＝f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋m 2(x 0－m )＋n 成立？证明你的结论．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝－e x＋x 2－bx ，∴f ′(x )＝－e x＋2x －b ，1分 由题意f ′(x )＝－e x＋2x －b ≤0对x ∈R 恒成立﹒ 由－e x＋2x －b ≤0，得b ≥－e x＋2x ，令F (x )＝－e x＋2x ，则F ′(x )＝－e x＋2，令F ′(x )＝0，得x ＝ln 2.3分当x ＜ln 2时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增，当x ＞ln 2时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减， 5分从而当x ＝ln 2时，F (x )有最大值2ln 2－2，所以b ≥2ln 2－2. 6分 (2)当b ＝0时，f (x )＝a e x ＋x 2，由题意a e x ＋x 2＝0只有一解.7分 由a e x＋x 2＝0，得－a ＝x 2e x ，令G (x )＝x 2e x ，则G ′(x )＝x－xex， 令G ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x ≤0时，G ′(x )≤0，G (x )单调递减，G (x )的取值范围为[0，＋∞)，8分当0＜x ＜2时，G ′(x )＞0，G (x )单调递增，G (x )的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2，9分 当x ≥2时，G ′(x )≤0，G (x )单调递减，G (x )的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，4e 2， 10分由题意，得－a ＝0或－a ＞4e 2，从而a ＝0或a ＜－4e2，∴当a ＝0或a ＜－4e 2时，函数y ＝f (x )只有一个零点.12分(3)f (x )＝a e x＋x 2－2x ，f ′(x )＝a e x＋2x －2， 假设存在，则有f (x 0)＝f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋m 2(x 0－m )＋n ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m 2(x 0－m )＋f (m )，13分即f x 0－f m x 0－m ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m 2，∵f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m 2＝a e＋2·x 0＋m2－2，f x 0－f m x 0－m＝ax 0－e m ＋x 20－m2－x 0－m x 0－m＝ax 0－e m x 0－m＋(x 0＋m )－2，∴a e＝ax 0－e mx 0－m.(*) 14分∵a ≠0，∴e＝e x 0－e mx 0－m ，不妨设t ＝x 0－m ＞0，则e t 2＋m ＝e t ＋m－e mt.∴h (t )在(0，＋∞)上单调递增， 又∵h (0)＝0，∴h (t )＞0对t ∈(0，＋∞)恒成立，即g ′(t )＞0对t ∈(0，＋∞)恒成立， ∴g (t )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝0， ∴g (t )＞0对t ∈(0，＋∞)恒成立，即(*)式不成立，∴不存在实数x 0(x 0≠m )，使得f (x 0)＝f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋m 2(x 0－m )＋n 成立. 16分5．(2016·南通三模)设函数f (x )＝x e x－a sin x cos x (a ∈R ，其中e 是自然对数的底数)． (1)当a ＝0时，求f (x )的极值；(2)若对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围；(3)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【导学号：19592022】[解] (1)当a ＝0时，f (x )＝x e x，f ′(x )＝e x(x ＋1)， 令f ′ (x )＝0，得x ＝－1. 2分 列表如下：所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝－e，无极大值. 4分(2)①当a ≤0时，由于对于任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，有sin x cos x ≥0，所以f (x )≥0恒成立，当a ≤0时，符合题意； 5分②当0＜a ≤1时，因为f ′(x )≥e x(x ＋1)－a cos 2x ≥e 0(0＋1)－a cos 0＝1－a ≥0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上为增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，即当0＜a ≤1，符合题意；6分③当a ＞1时，f ′(0)＝1－a ＜0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝e π4⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1＞0，所以存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，使得f ′(α)＝0，且在(0，α)内，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，α)上为减函数，所以f (x )＜f (0)＝0. 即当a ＞1时，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]. 8分(3)不存在实数a ，使得函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有两个零点，由(2)知，当a ≤1时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，且f (0)＝0，故函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上无零点．当a ＞1时，f ′(x )≥e x(x ＋1)－a cos 2x ， 9分 令g (x )＝e x(x ＋1)－a cos 2x ，g ′(x )＝e x(x ＋2)＋2a sin 2x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，恒有g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，由g (0)＝1－a ＜0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝e π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1 ＋a ＞0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上存在唯一的零点x 0，即方程f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上存在唯一解x 0，11分且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2上单调递增， 12分 当x ∈(0，x 0)时，f (x )＜f (0)＝0，即f (x )在(0，x 0)无零点； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，f (x 0)＜f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝π2e ＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2上有唯一零点， 14分所以，当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有一个零点．综上所述，不存在实数a ，使得函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有两个零点. 16分6．设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x .已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行．(1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值．[解] (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2. 2分又f ′(x )＝ln x ＋a x＋1，所以a ＝1. 4分 (2)当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根．设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0,1]时，h (x )<0.5分又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e2>1－1＝0，所以存在x 0∈(1,2)，使得h (x 0)＝0. 6分 因为h ′(x )＝ln x ＋1x＋1＋xx －ex，所以当x ∈(1,2)时，h ′(x )>1－1e >0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0，所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增.7分所以当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根.8分(3)由(2)知，方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根x 0， 且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )， 所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ，x ∈，x 0]，x2ex ，x ∈x 0，＋ 10分当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0,1]，m (x )≤0； 若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x＋1>0，可知0<m (x )≤m (x 0)；故m (x )≤m (x 0). 12分 当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x－xex， 可得x ∈(x 0,2)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减．可知m (x )≤m (2)＝4e2，且m (x 0)<m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.14分。