《大学数学》第二章练习题

222222221111(1)1()32()3201x 21lim,2321(1)(1)1lim lim lim 2,032(2)(1)21()2x x x x x f x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x →→→→-=-+-+≠-=∞=-+-+-+===-=-+---==解：是一个初等函数,由分母可知除x=，=外f(x)有意义由于所以是一个无穷间断点由于所以是一个可去间断点综上所述，是一个可去间断点，是()f x 的无穷间断点01(2)1()sin cos 1()x 001lim sin cos 0,0x f x x xf x x x x x →=≠==解：是一个初等函数,由中可知除x=外f(x)有意义由于所以是一个可去间断点 1021(5)1()ln 1()ln 10.0,210,1ln 11,0ln 11,2ln 11()x x x f x x f x x x x x x x x x x x f x →-→→-=++≠≠≠-==-+=∞=+=∞=-+=-解：是一个初等函数,由对数的特点可知x=-1不在f(x)的定义域内,另外由可知也不在f(x)的定义域内.由于lim所以是一个可去间断点由于lim 所以是一个无穷间断点由于lim所以是一个无穷间断点综上所述，是一个可去间02()x x f x ==-断点，，是的无穷间断点2220022tan 26()(1)sin (1)sin 0tan 24tan 22lim lim 0,(1)sin tan 2tan 2lim lim (1)sin x x x x x x x x x xy x e x y e x x x xx x e xx x xx x x e x ππππππ→→→→=-<<--≠±±⋅==-⋅=-）解：函数是一个初等函数，由可知x=0,x=不在y 的定义域内，另外又由的特点可知x=不在y 的定义域内.由于从而x=0点是函数y 的可去间断点由于22222442121tan lim ,(1)sin 1cos 1tan 2tan 2limlim (1)sin (1)sin 44x x x x x x x e x e x e x x x x e x e x πππππππππππ→→→---=⋅=---=+∞=-∞--±±±从而x=点是函数y 的可去间断点由于且从而x=点是函数y 的无穷间断点综上所述，x=0,x=是函数y 的可去间断点，x=点是函数y 的无穷间断点。

高等数学第二章答案【篇一：高等数学第二章复习题及答案】>第二章一、填空题f(a?x)?f(a?x)?x?0xf(3?h)?f(3)?2、设f?(3)?2，则lim。

h?0______________2h1、设f(x)在x?a可导，则lim。

3、设f(x)?e，则limh?0?1xf(2?h)?f(2)?。

_____________hcosx?,f?(x0)?2,(0?x0?)，则f(x0)?。

_______________________1?sinx2dy?5、已知x2y?y2x?2?0，则当经x＝1、y＝1时，。

dx_______________4、已知f(x)?6、f(x)?xex，则f???(ln2)?_______________。

__________7、如果y?ax(a?0)是y?x2?1的切线，则a?。

8、若f(x)为奇函数，f?(x0)?1且，则f?(?x0)?9、f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?n)，则f?(0)?10、y?ln(1?3?x)，则y??11、设f?(x0)??1，则limx?0______________________________________________________。

x。

?___________f(x0?2x)?f(x0?x)_________________________12、设x?y?tany，则dy?。

13、设y?y???(0)?。

_______________14、设函数y?f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y?f(x)在点（1，1）处的切线方程是______________________。

1???xcos15、f(x)??x??0_______________________x?0x?0。

，其导数在x?0处连续，则?的取值范围是16、知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为二、选择题。

第一章 矩阵与行列式习题解答练习1.1 矩阵及其运算1. 已知线性变换x y y y x y y y x y y y 1123212331232235323=++=++=++⎧⎨⎪⎩⎪①②③， 求从变量x 1，x 2，x 3到变量y 1，y 2，y 3的线性变换。

解：由3x (1)–2×(2)得：4y 2–7y 3=3x 1–2x 2 ④ (3)–(2)得：y 2–2y 3=x 3–x 2 ⑤ (4)–4×(5)得：y 3=3x 1+2x 2–4x 3类似运算可得：y 1=–7x 1–4x 2+9x 3， y 2=6x 1+3x 2–7x 3 故由变量x 1，x 2，x 3到变量y 1，y 2，y 3的线性变换为y x x x y x x x y x x x112321233123749637324=--+=+-=+-⎧⎨⎪⎩⎪ 2. 已知两个线性变换x y y x y y y x y y y11321233123223245=+=-++=++⎧⎨⎪⎩⎪ y z z y z z y z z112213323323=-+=+=-+⎧⎨⎪⎩⎪ 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换。

解：将变换2代入变换1可得：x z z z x z z z x z z z1123212331236312491016=-++=-+=--+⎧⎨⎪⎩⎪3. 设A =111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，B =123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求3AB –2A 及A T B 解：3AB –2A =3111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪–2111111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ =3058056290-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪–2111111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪21322217204292 A T B =111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=058056290-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 4. 解：(1) (35, 6, 49)T ， (2) (10) (3) ---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪241236 (4) 6782056---⎛⎝ ⎫⎭⎪ (5) a x a x a x a x x a x x a x x 111222223332121213132323222+++++5. 设A =1213⎛⎝⎫⎭⎪，B =1012⎛⎝ ⎫⎭⎪，问 (1) AB =BA 吗？ (2) (A +B )2=A 2+2AB +B 2吗？ (3) (A +B )(A –B )=A 2–B 2吗？ 解：AB =1213⎛⎝⎫⎭⎪1012⎛⎝ ⎫⎭⎪=3446⎛⎝ ⎫⎭⎪， BA =1012⎛⎝ ⎫⎭⎪1213⎛⎝ ⎫⎭⎪=1238⎛⎝ ⎫⎭⎪故 AB ≠BA 。

19高等数学练习题 第二章 导数与微分 系 专业 班 姓名 学号第一节 导数概念 一．填空题一．填空题1.若)(0x f ¢存在，则xx f x x f x D -D -®D )()(lim000= )(0x f ¢-2.hh x f h x f h )()(lim 000--+®= )(20x f ¢ ， 又当0)0(=f 时x x f x )(lim 0®= )0(f ¢ 3.设20-=¢)(x f , 则=--®)()2(lim )000x f x x f x x 414.已知物体的运动规律为2t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒）5.曲线x y co s =上点（3p，21）处的切线方程为03123=--+p y x ，法线方程为 0322332=-+-py x 6.用箭头⇒或⇏表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微可微 Û 可导可导 Ü/Þ 连续连续 Ü/Þ 极限存在。

极限存在。

二、选择题二、选择题1．设0)0(=f ,且)0(f ¢存在，则xx f x )(lim 0®= [ B ] （A ）)(x f ¢ ( B) )0(f ¢ (C) )0(f (D) 21)0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则xx b x f x a x f x D D --D +®D )()(lim= [ B] （A ）)(x f ¢ ( B) )()(x f b a ¢+ (C) )()(x f b a ¢- (D) 2ba +)(x f ¢3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分）必要但不是充分 （C ）充分必要）充分必要 （D ）即非充分也非必要）即非充分也非必要 4．设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0)(D) (1,1)5.5.设函数设函数|sin |)(x x f =，则，则 )(x f 在0=x 处 B ] ] （A ）不连续。

第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。

即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 lim 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231n n n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…； (2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。

《微积分》第二章测试题1。

【导数的概念】已知()23f '=，求()()22lim h f h f h h→+--解()()()()()()()00222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---⎛⎫'=+== ⎪-⎝⎭2. 设函数cos ln xy x e a -=++，求dydx解sin xdy x e dx-=-- 3.设函数y e=，求dy dx解dydx111e e x =⋅⋅=+4. 设函数2sin cos 2y x x =，求dy dx ，0x dy dx=解()22224sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=-()()3222sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx=-=-=-，0x dy dx ==5. 【函数的微分,记得加dx 】设函数2sin 2xy x =，求dy 解24332cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x---==∴= 6。

【高阶导数】设函数11y x =-，求n n d y dx解()()()()()()()231234123!11,21,3!1,,1n nn n dyd y d y d y n x x x x dxdx dxdx x ----+'=-=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2sin 20xy y -=确定,求dydx解 等式两边同时对x 求导222sin 20,y xyy y y ''+-=则()2222sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '====---8.求曲线y =在点()4,2处的切线方程解41142x y y x=''===切线方程为114y x =+ 9。

⾼等数学第⼆章课后习题答案第⼆章导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x xx x x x→?→?→?→-+?--?---==-?==?-=-?2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表⽰什么, 并将答案填在括号内。

⑴ ()()=?-?-→?xx f x x f x 000lim（0'()f x -）；⑵ ()=→?xx f x 0lim （'(0)f ），其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4．求曲线. 21,3 cos 程处的切线⽅程和法线⽅上点??=πx y'sin ,'()3y x y π=-==-2(1)0y +-=法线⽅程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-+= 5. 讨论函数=≠=0001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以⽆穷⼩所以函数在0x =处连续因为 20001sin(0)(0)1lim limlim sin 0x x x x f x f x x xx x→?→?→?+?-==?=所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？⼜及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h+→+→++-==='0lim 1h h f h f hf h h-→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠Q '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0sin x f x x x x x f '??≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh +→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x xx y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+g g 2'364652'20282y x x x ---=--+（3）;3253xxe x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2sec sec tan y x x x =+（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+= 123'ln10ln 2y x x x =-+'422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22ln cos cos ln sin x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22 xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x x y x -+-=+g g 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x x x -+-=+ （10）.ln 3ln 223xx x x y ++= 2232223(3)(3ln )(2ln )(2)x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x x x x -+-+=+9. 已知. ,cos 21sin 4πρρ=+=d d 求因为1sin cos sin 2d d ρ=+-所以412422284d d πρπ?==+-=+10. .1轴交点处的切线⽅程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或因为2'1y x -=+，所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线⽅程为2(1)y x =-，即220x y --=；曲线在(1,0)-处的切线⽅程为2(1)y x =+，即220x y -+=。

第一章 极限与连续一、填空1、设11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则[]()___________.f f x =2、若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 一定 。

3、若0lim ()x x f x A →=,而0lim ()x x g x →不存在,则0lim(()())x x f x g x →+ .4、当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小,则_______=a5、设函数()f x 在点0x x =处连续，则()f x 在点0x x =处是否连续.6、设21))((,sin )(x x f x x f -==ϕ,则)(x ϕ的定义域为_________7、如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则__=a8、 曲线22x e x y -=的渐近方程为__________________二、选择9、如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么( ） （A))()(x g x f +在0x 点处间断 (B ）)()(x g x f -在0x 点处间断 （C))()(x g x f +在0x 点处连续 （D ）)()(x g x f +在0x 点处可能连续. 10、设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞=,则下列断言正确的是( )（A ）若n x 发散，则n y 必发散. (B)若n x 无界，则n y 必有界 （C)若n x 有界，则n y 必为无穷小（D ）若1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小。

11、已知0()lim0x f x x→=，且(0)1f =，那么（ ）（A)()f x 在0x =处不连续。

(B ）()f x 在0x =处连续。

（C ）0lim ()x f x →不存在。

（D ）0lim ()1x f x →=12、设2()43x x f x x x+=- ，则0lim ()x f x →为（ ）（A ）12 (B ）13 (C) 14 （D)不存在 13、设2(1)sin ()(1)x xf x x x-=-，那么0x =是函数的（ ） （A ）无穷间断点.（B ）第二类间断点。

一、填空：（每空1分） 1、如果xyx ∆∆→∆0lim存在，则称此极限为函数()x f 的（ 导数 ）2、如果x x y sin =则=)2(/πy （ 1 ）3、如果x x y sin =则=)1(/y （1cos 1sin + ）4、如果x x y cos =则=)1(/y （ 1s i n 1c o s- ） 5、如果x x y cos =则=)0(/y （ 1 ）6、曲线x x y -=3在1=x 处的切线斜率为（ 2 ）切线方程为（ 22-=x y ）。

7、若()x y 2arcsin -=则/y =（2412x-- ）。

8、)(sin 2x d =（2cos x ）)(2x d =（ 2cos 2x x ）)(x d 。

9、()/5-x =（ 65--x ） 10、()/52x -=（x 522ln 5-⋅- ） 11、()/2log x a =（ax ln 1） 12、若()2sin 2-=x x y 则()2/y =（ 4 ）。

13、()/ln e e e xe x x +++=（ x ex e xe 11++- ） 14、()/222ln e e e xx x +++=（xx e x1222++ ） 15、==dy e y x ,sin （x excos sin ⋅ ）dx16、==dy e y x ,cos （ x ex s i n c o s⋅- ）dx17、==dy y x ,2（2ln 2x）dx 18、==dy y x ,4（4ln 4x）dx19、曲线y=cosx 在32π=x 处的切线斜率为（ 23- ）切线方程为（ 0323633=-++πy x ）。

20、曲线y=x 2在2=x 处的切线斜率为（ 4 ）切线方程为（ 44-=x y ）21、)cos(cos 2x y =，则='y （()x x y cos sin sin 2⋅= ） 22、=-)(2x e d （ x e 22-- ）dx23、=)1(x d （ 21x - ）dx24、=+)11(x d （2)1(1x +- ）dx 25、先对函数取对数然后再求导数的方法称为（ 对数求导法 ） 26、如果x y ln =则=)1(/y （ 1 ）27、如果x x y sin =则=)1(/y （ 1s i n 1c o s 1s i n 2- ） 28、如果x y arcsin =则=)0(/y （ 1 ）29、如果x x y cos 2=则=)1(/y （1sin 1cos 2- ）30、如果2cos x x y =则=)0(/y （ 1 ）31、曲线x x y 23-=在1=x 处的切线斜率为（ 1 ）切线方程为（ 2-=x y ）。