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第七节 正弦定理和余弦定理1．正弦定理 2．余弦定理 3．三角形的面积公式第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( ) A ．7.5 B ．7 C ．6 D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________. [题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24 B ．－24 C.34 D ．－342.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C . (1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba＝2”，那么△ABC 的形状为________．[课时跟踪检测]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b＝( )A ．14B ．6 C.14 D. 65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c＝________.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小； (2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．第二课时 正弦定理和余弦定理(二)考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( ) A ．37 B.372 C ．9 D.92(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝______. [变透练清]1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 2.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca 的取值范围是________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．考点二 平面图形中的计算问题[典例] 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[题组训练]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．2.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ；(2)求BE 的长．考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π4C.⎣⎡⎦⎤π6，π4D.⎣⎡⎦⎤π6，π3 (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32 B.22 C.12 D ．－12[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( ) A. 2 B.98 C ．1 D.782．在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________． 3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A3sin C .(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] 已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．[对点训练]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值． [课时跟踪检测]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.14C ．1D ．22．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3， S △ABC ＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．2或34．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．25．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( )A.33 B.32C. 3 D ．2 3 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 27．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．9．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC 上，AD ＝1，且BD ＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.10．如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c (1＋cos B )＝b (2－cos C )． (1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求c os ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．。
正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )． A ．135° B ．105° C ．45° D ．75° 解析 由正弦定理知BCsin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin 60°，所以sin A ＝22，又由题知，BC ＜AB ，∴A ＝45°. 答案 C2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )．A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 解析 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴cos C ＝－12，∴C ＝120°.答案 C3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个 解析：直接根据正弦定理可得asin A ＝bsin B，可得sin B ＝b sin A a ＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. 答案：A4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )．A ．－12 B.12C ．－1D ．1解析 根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴s in A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 答案 D5. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）C. 12D. 12- 解析 2122cos 2222222=+-≥-+=ba c c abc b a C ，故选C. 答案 C6．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π解析 由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，而由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是可得b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12，注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.答案 C7．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2－c 2＝4a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43，选A.答案 A 二、填空题8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD ＝2sin 45°×12＝ 2.答案29. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，角C ＝________. 解析：根据正弦定理，a sin A ＝csin C，由3a ＝2c sin A ，得a sin A ＝c32，∴sin C ＝32，而角C 是锐角．∴角C ＝π3. 答案：π310.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA∶sinB ∶sinC 为______．答案 6∶5∶411．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值________．解析 (数形结合法)因为AB ＝2(定长)，可以令AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，由AC ＝2BC ， 得x ＋2＋y 2＝ 2x －2＋y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8，即C 在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动， 所以S △ABC ＝12·|AB |·|y C |＝|y C |≤22，故答案为2 2.答案 2 212．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________．解析 法一 取a ＝b ＝1，则cos C ＝13，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tanC tan B＝4.法二 由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab，即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝ sin 2C cos C sin A sin B ＝2c2a 2＋b 2－c 2＝4.答案 4 三、解答题13．叙述并证明余弦定理．解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，法一 如图(1)，图(1)a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .法二图(2)已知△ABC 中A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图(2)则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)， ∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac . 又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3.联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1或a ＝3.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解析 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin Csin A ＝2.(2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5.从而a ＝1，因此b ＝2.。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编12：正余弦定理的问题一、选择题 1 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知ABC ∆中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若ABC ∆的面积为S,且()222,tan S a b c C =+-则等于（ ）A ．34B ．43C ．43-D ．34-2 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值为 （ ）A ．518 B ．34 C D ．783 ．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）在ABC ∆中,角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且4524==B c ，,面积2=S ,则b 等于 （ ）A ．2113 B ．5 C ．41 D ．254 ．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）在AABC 中,若sinA =2 sinBcosC,222sin sin sin A B C =+,则△ABC 的形状是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D.等腰直角三角形 5 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）已知∆ABC 中,a 、b 、c 分别为A,B,C的对边, a=4,b=30∠=A ,则∠B 等于（ ）A ．30B ．30 或150C ．60D ．60 或1206 ．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）在,,ABC A B C ∆中，的对边分别为,,a b c ,若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列则B = （ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 7 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a ,b ,c ,若22245b c b c +=+-且222a b c bc =+-,则△ABC 的面积为（ ）A B ．2 C ．2D8 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）由下列条件解ABC ∆,其中有两解的是（ ）A ．︒===80,45,20C A b oB ． 60,28,30===B c aC ． 45,16,14===A c aD ． 120,15,12===A c a9 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）在△ABC 中,内角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且222222c a b ab =++,则△ABC 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 10．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）△ABC 的内角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c ,且a sin A +c sin C a sin C =b sinB ．则B ∠= （ ）A ．6πB ．4π C．3π D ．34π 11．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）在,2ABC AB ∆∠=中,A=60,且ABC∆,则BC 的长为 （ ）A B ．3C D ．7二、填空题 12．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D,测得015,30BCD BDC ∠=∠=,CD=30,并在点C 测得塔顶A 的仰角为60.则塔高AB=__________.13．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）在ABC ∆中,角A,B,C 新对的边分别为a,b,c,若cos sin a B b c C +,222b c a +-=,则角B=________.14．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））已知三角形的一边长为4,所对角为60°,则另两边长之积的最大值等于.15．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）在ABC ∆中,sin ,sin ,sin A B C 依次成等比数列,则B 的取值范围是_____________16．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）2009年北京庆阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为米,则旗杆的高度为______米.17．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是a,b,c,若223sin 2sin ,2B C a b bc =-=,则角A 等于____. 18．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）在△ABC 中,角A,B,C 的对边为a,b,c,若45a b B ===︒,则角A=_______.19．（2010年高考（山东理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=2,sinB+cosB=2,则角A 的大小为______________.三、解答题 20．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知角,sin 3sin .3A B C π==(1)求tan C 的值;(2)若a =求△ABC 的面积.21．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = (I)求角C 的大小;(II)cos()4A B π-+的最大值,并求取得最大值时角,A B 的大小22．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）在△ABC 中,三个内角分别为A,B,C,已知4π=A ,54cos =B . (1)求cosC 的值;(2)若BC=10,D 为AB 的中点,求CD 的长.23．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）已知2()cossin 22f x x x ωω=-+的图象上两相邻对称轴间的距离为()2ωπ＞0. (Ⅰ)求()f x 的单调减区间;(Ⅱ)在△ABC 中,,,a b c 分别是角A,B,C 的对边,若1(),3,2f A c ==△ABC 的面积是求a 的值.24．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）已知,A B 是ABC ∆的两个内角,向量,sin )22A B A Ba +-= ,且||2a = . (1)证明:tan tan A B 为定值;(2)若,26A AB π==,求边BC 上的高AD 的长度.25．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知)1,sin 32cos 2(x x +=,),(cos y x -=,且m n ⊥.(1)将y 表示为x 的函数)(x f ,并求)(x f 的单调增区间;(2)已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长,若()32A f =,且2=a ,4b c +=,求ABC ∆的面积.26．（2013山东高考数学（理））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.27．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））ABC ∆中,B ∠是锐角,2BC AB ==，,已知函数2()2cos f x BC BA x =++ .(Ⅰ)若(2)14f B =,求AC 边的长; (Ⅱ)若()12f B π+=,求tan B 的值.28．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）ABC ∆中,内角A 、B 、C 成等差数列,其对边c b a ，，满足ac b 322=,求A.29．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数2()cossin (0,0)2222x x x f x ωϕωϕωϕπωϕ+++=+><<.其图象的两个相邻对称中心的距离为2π,且过点(,1)3π.(I) 函数()f x 的达式;(Ⅱ)在△ABC 中.a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,a =,ABC S ∆=,角C 为锐角.且满7()2126C f π-=,求c 的值.30．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知向量m=）（3,cos 22x ,n=）（x 2sin ,1,函数()f x =m ∙n.(1)求函数()f x 的对称中心;(2)在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,且1,3)(==c C f ,32=ab ,且b a >,求b a ,的值.31．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,已知bc a c b 23)(3222+=+. (Ⅰ)若C B cos 2sin =,求C tan 的大小;(Ⅱ)若2=a ,ABC ∆的面积22=S ,且c b >,求c b ,.32．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知向量a =(cos ,sin x x ωω),b =(cos x ω,3cos x ω),其中(02ω<<).函数21)(-⋅=x f ,其图象的一条对称轴为6x π=.(I)求函数()f x 的表达式及单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,S 为其面积,若()2Af =1,b=l,S △ABC 求a 的值.33．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,且sin sin sin sin a A b B c C B +=+(I)求角C;(II)cos 4A B π⎛⎫-+⎪⎝⎭的最大值.34．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知向量2,1),(cos ,cos ).444x x x m n == 记()f x m n =⋅ .(Ⅰ)若3()2f α=,求2cos()3πα-的值;(Ⅱ)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且满足(2)cos cos a c B b C -=,若1()2f A =,试判断△ABC 的形状.35．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,己知cos 2cos 2.cos A C c aB b--=(I)求sin sin CA的值; (II)若cosB=1,2,4b =求△ABC 的面积S.36．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边,且满足ACB AC B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω. (Ⅰ)证明:a c b 2=+;(Ⅱ)若c b =,设θ=∠AOB ,(0)θπ<<,22OA OB ==,求四边形OACB 面积的最大值.37．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）在三角形ABC 中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,(2,cos ),(,cos ),//m b c C n a A m n =-=且.(1)求角A 的大小;(2) 若4a =,三角形ABC 的面积为S ,求S 的最大值.38．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）在△ABC 中,已知A=4π,cos B =.(I)求cosC 的值; (Ⅱ)若为AB 的中点,求CD 的长.39．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为c b a ,,,,A B 为锐角且B A <,sin A =, 3sin 25B =.(Ⅰ)求角C 的值;(Ⅱ)若1b c +=,求c b a ,,的值.40．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,且满足cos 2A =AB AC=3.(1) 求△ABC 的面积; (2) 若c =1,求a 、sin B 的值.41．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边为c b a ,,已知4102sin=C . (Ⅰ)求C cos 的值; (Ⅱ)若ABC ∆的面积为4153,且C B A 222sin 1613sin sin =+,求c b a ,,的值. 42．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）(2013济南市一模)已知)1,sin 32cos 2(x x m +=,),(cos y x n -=,且m n ⊥. (1)将y 表示为x 的函数)(x f ,并求)(x f 的单调增区间;(2)已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长,若()32A f =,且2=a ,4b c +=,求ABC ∆的面积.43．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知(2cos ,1)a x x =+ ,(,cos )b y x =,且//a b .(I)将y 表示成x 的函数()f x ,并求()f x 的最小正周期;(II)记()f x 的最大值为M ,a 、b 、c 分别为ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对应的边长,若(),2Af M =且2a =,求bc 的最大值.44．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）如图,角A 为钝角,且sinA=35,点P,Q 分别是在角A的两边上不同于点A 的动点.(1)若5,AP PQ ==求AQ 的长; (2)若∠APQ=α,∠AQP=β,且12cos 13α=,求sin(2)αβ+的值.45．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）设ABC ∆的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、,且sin cos b A B =.(1)求角B 的大小;(2)若3,sin 2sin b C A ==,求,a c 的值.46．（2011年高考（山东理））在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知c o s 2c o s 2c o s A C c aB b --=. (1)求sin sin C A的值;(2)若1cos ,24B b ==,求ABC ∆的面积S .47．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知4A =π,sin()sin()44b Cc B a ---=ππ. (Ⅰ)求B 和C ;(Ⅱ)若a =求△ABC 的面积.48．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知函数22x xf (x )cos=. (I)若[22]x ,ππ∈-,求函数f (x )的单调减区间;(Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,若24233f (A ),sin B C,a π-===求△ABC 的面积.49．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）在∆ABC 中,a,b,c 分别为有A,B,C的对边,向量2(2sin ,2cos 2),(2sin (),1),24π=-=+- B m B B n 且⊥ m n(1)求角B 的大小; (2)若a =,b=1,求c 的值.山东省2014届理科数学一轮复习试题选编12：正余弦定理的问题参考答案一、选择题1. 【答案】C 由()222S a b c =+-得22222S a b ab c =++-,即22212sin 22ab C a b ab c ⨯=++-,所以222sin 2ab C ab a b c -=+-,又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab C C ab ab +--===-,所以s i n c o s 12C C +=,即22cos sin cos 222C C C =,所以tan 22C =,即222tan2242tan 1231tan2C C C ⨯===---,选C.2. 【答案】D【解析】设底边长为x ,则两腰长为2x ,则顶角的余弦值222(2)(2)7cos 2228x x x x x θ+-==⨯⨯.选D.3. B 【解析】因为4524==B c ，,又面积11sin 2222S ac B a =⨯=⨯=,解得1a =,由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-,所以21322252b =+-⨯=,所以5b =,选B.4. D5. D 【解析】由正弦定理可知sin sin a bA B=.即sin 1sin 2b A B a ===所以60B = 或120 ,选D.6. C 【解析】因为cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列,所以cos cos 2cos a C c A b B +=,根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=,即sin()2sin cos A C B B +=,即sin 2sin cos B B B =,所以1cos 2B =,即3B π=,选C. 7. B8. C 【解析】在C 中,sin 162C A =⨯=且sin C A a c <<,所以有两解.选C. 9. 【答案】A【解析】由222222c a b ab=++得,22212a b c ab+-=-,所以222112cos 0224aba b c C ab ab -+-===-<,所以090180C << ,即三角形为钝角三角形,选A.10. C11. 【答案】A11sin 6022222S AB AC AC =⨯⋅=⨯⨯= ,所以1AC =,所以2222c o s03B C A B A C A A C=+-⋅ ,,所以BC =,选A. 二、填空题12. 【解析】因为015,30BCD BDC ∠=∠=,所以135CBD ∠=,在三角形BCD 中,根据正弦理可知s i n s i n C D B CC BD B D C =,即030sin135sin 30BC=,解得12BC =,在直角ABC∆中,tan 60ABBC== 所以AB ===13. 【答案】60由222b c a +-=得222cos 2b c a A bc +-===,所以30A = .由正弦定理得sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=,即sin()sin sin sin A B C C C +==,解得sin 1C =,所以90C = ,所以60B = .14. 【答案】16【解析】设另两边为,a b ,则由余弦定理可知22242cos 60a b ab =+- ,即2216a b ab =+-,又22162a b ab ab ab ab =+-≥-=,所以16ab ≤,当且仅当4a b ==时取等号,所以最大值为16.15. (0,]3π【解析】因为sin ,sin ,sin A B C 依次成等比数列,所以2sin sin sin A C B =,即2ac b =,所以22222221cos 2222a c b a c ac a c B ac ac ac +-+-+===-,所以221211cos 22222a c ac B ac ac +=-≥-=,所以03B π<≤,即B 的取值范围是(0,]3π.16. 30 【解析】设旗杆的高度为x 米,如图,可知001806015105ABC ∠=--= ,0301545CAB ∠=+= ,所以1801054530ACB ∠=--= ,根据正弦定理可知sin 45sin 30BC AB = ,即BC =,所以sin 60x BC ==,所以30x ==米.17.23π18. 【答案】60或120【解析】由正弦定理可知sin sin a bA B=,即2==,所以sin A =,因为a b >,所以45A > ,所以60A = 或120A = .19.答案:6π解析:由sin cos B B +=1+2sinBcosB=2,即sin21B =,因为0B π<<,所以45B =︒,又因为2,a b ==,所以在ABC ∆中,由正弦定理得:2sin sin 45A =︒,解得1sin 2A =,又a b <,所以45A B <<︒,所以30A =︒.命题意图:本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了同学们解决三角形问题的能力,属于中档题.三、解答题 20.21.22. 【解析】(1)因为54cos =B ,且),0(π∈B ,=-=B B 2cos 1sin 53,则)cos(cos B A C --=π+=-=B B cos 43cos )43cos(ππB sin 43sin π10253225422-=⨯+⨯-=.(2)由(1)可得=∠-=∠ACB ACB 2cos 1sin 1027)102(12=--=. 由正弦定理得ACB ABA BC ∠=sin sin ,即10272210AB =,解得AB=14. 因为在△BCD 中,721==AB BD ,⋅⋅-+=BD BC BD BC CD 222237541072107cos 22=⨯⨯⨯-+=B ,所以37=CD .23.解:由已知,函数()f x 周期为π.∵21cos ()cos22xx f x x x ωωωω+=-+=-+11cos 22x x ωω=-- 1sin(62x ω=--π),∴2=2ω=ππ, ∴1()sin(2)62f x x =--π.(Ⅰ)由3222,262k x k +-+πππ≤≤ππ 得25222,33k x k ++ππ≤≤ππ∴5()36k x k k ++∈z ππ≤≤ππ∴()f x 的单调减区间是5[,]()36k k k ++∈z ππππ.(Ⅱ)由1(),2f A =得11sin(2)622A --=π,sin(2)16A -=π.∵0＜＜πA ,∴112666A --ππ＜＜π,∴262A -=ππ,3A =π.由1sin 2ABC S bc A == 3,c =得4b =,∴22212cos 169243132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,故a = 24.25.解:(1)由m n ⊥ 得0=⋅n m,22cos cos 0x x x y ∴+-=即x x x y cos sin 32cos 22+=1)62sin(212sin 32cos ++=++=πx x x∴222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,∴,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈,即增区间为[,],36k k k Z ππππ-++∈(2)因为3)2(=A f ,所以2sin()136A π++=,sin()16A π+=, ∴Z k k A ∈+=+,226πππ因为π<<A 0,所以3π=A由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-,即224b c bc =+-∴24()3b c bc =+-,因为4b c +=,所以4bc =∴1sin 2ABC S bc A ==26.解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B=+-,得()222(1cos )b a c ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC 中,sin 9B ==,由正弦定理得sin sin 3a B A b ==,因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.27.解:(Ⅰ)2()2cos243222cos f x BC BA B B x =++=++⨯+()72cos f x B x =++(2)72cos 214f B B B =++=整理得:24cos 90B B +-=cos 2B =或cos 2B -=(舍)∴2222cos 4312AC BC BA BC BA B =+-⋅=+-= ∴1AC =(Ⅱ)()72sin 12f B B B π+=+-= 整理得:sin 3B B -=将上式平方得:22sin cos 12cos 9B B B B -+=9=,同除2cos B9=整理得:28tan 30B B +-=∴tan B =,∵B ∠是锐角, ∴tan B = 28.解:由C B A 、、成等差数列可得C A B +=2,而π=++C B A ,故33ππ=⇒=B B ,且A C -=32π而由ac b 322=与正弦定理可得C A B sin sin 3sin 22=A A sin )32sin(33sin 22-=⨯⇒ππ所以可得⇒=+⇒-=⨯1sin sin cos 3sin )sin 32cos cos 32(sin 34322A A A A A A ππ 21)62sin(122cos 12sin 23=-⇒=-+πA A A , 由67626320ππππ<-<-⇒<<A A , 故662ππ=-A 或6562ππ=-A ,于是可得到6π=A 或2π=A29.解:(Ⅰ)[]1())1cos()2f x x x w j w j =++-+ π1sin()62x w j =+-+Q 两个相邻对称中心的距离为π2,则πT =,2ππ,>0,=2||w w w \=\Q , 又()f x 过点π(,1)3,2ππ1π1sin 1,sin 36222j j 骣骣鼢珑\-++=+=鼢珑鼢珑桫桫即, 1cos 2j \=,πππ10,,()sin(2)2362f x x j j <<\=\=++Q(Ⅱ)πππ117sin sin 21266226C f C C 骣骣鼢珑-=-++=+=鼢珑鼢珑桫桫, 2sin 3C \=,π0,cos 2C C <<\=Q ,又112sin 223ABC a S ab C b D ===?,6b \=,由余弦定理得2222cos 21c a b ab C =+-=,c \=30.解:(1)22()(2cos ,(1,sin 2)2cos 2f x m n x x x x =⋅=⋅=+ ,cos 2122sin(2)16x x x π=++=++令ππk x =+62得,122ππ-=k x )(Z k ∈,∴函数()f x 的对称中心为)1122(，ππ-k (2)31)62sin(2)(=++=πC C f ,1)62sin(=+∴πC ,C 是三角形内角,∴262ππ=+C 即:.6π=C232cos 222=-+=∴ab c a b C 即:722=+b a 将32=ab 代入可得:71222=+aa ,解之得:32=a 或4,23或=∴a ,32或=∴b 3,2,==∴>b a b a31.32.由余弦定理得22241241cos6013a =+-⨯⨯︒=, 故a = 33.34.解:211()cos cos cos 44422222x x x x x f x =+=++1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭(I) 由已知32f ()α=得13sin 2622απ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,于是24,3k k παπ=+∈Z , ∴ 22241333cos()cos k πππαπ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭(Ⅱ) 根据正弦定理知:()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒= ∵13()f A +=∴ 113sin 2622263A A πππ+⎛⎫++=⇒+= ⎪⎝⎭或23π3A π⇒=或π 而203A π<<,所以3A π=,因此∆ABC 为等边三角形35.36.解:(Ⅰ)由题意知:243ππω=,解得:32ω=,ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴ A C A B A sin 2)(sin )(sin =+++∴ a c b A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴(Ⅱ)因为2b c a b c +==，,所以a b c ==,所以ABC △为等边三角形213sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=++⋅435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=(0)θπ∈ ，,2--333πππθ∴∈(，),当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S 的最大值为2+37.解:(1)由//m n,得(2)cos cos 0b c A a C --=,∴(2sin sin )cos sin cos 0,2sin cos sin cos sin cos sin()sin()sin B C A A C B A C A A C A C B Bπ--==+=+=-=在三角形ABC 中,sin 0B >,因此1cos ,23A A π==故 (2)∵3A π=,∴2222cos a b c bc A =+-,即2216b c bc =+-,∴22162()b c bc bc bc bc b c =+-≥-==当且仅当时取等号,∴11sin 1622S bc A =≤⨯= 38.解:(Ⅰ)552cos =B 且(0,180)B ∈,∴55cos 1sin 2=-=B B )43cos()cos(cos B B A C -=--=ππ1010552255222sin 43sin cos 43cos-=⋅+⋅-=+=B B ππ (Ⅱ)由(Ⅰ)可得10103)1010(1cos 1sin 22=--=-=C C由正弦定理得sin sin =BCABA C,即101032252AB =,解得6=AB在∆BCD 中,5252323)52(222⨯⨯⨯-+=CD 5=,所以5=CD39.解:(Ⅰ)∵A 为锐角,sinA =∴cos A ==∵B A <,sin A =<,∴45B <∵3sin 25B =,∴4cos 25B ==∴cosB ==sin B =cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+==∴135C =(Ⅱ)由正弦定理sin sin sin a b ck A B C===∴b c k+=+,解得k=∴1,a b c===40. 【答案】解:(1) cos A=2×2-1=35,而||||AB AC AB AC=cos A=35bc=3,∴bc=5又A∈(0,π),∴sin A=45,∴S=12bc sin A=12×5×45=2(2) ∵bc=5,而c=1,∴b=5∴222a b c=+-2bc cos A=20,a=又sin sina bA B=,∴sinB=sinb Aa==41.解:(Ⅰ)41451)410(212sin21cos22-=-=⨯-=-=CC(Ⅱ)∵CBA222sin1613sinsin=+,由正弦定理可得:2221613cba=+由(Ⅰ)可知415cos1sin,0,41cos2=-=∴<<-=CCCCπ.4153sin21==∆CabABCS,得ab=6由余弦定理Cabbac cos2222-+=可得3161322+=cc4,0,162=∴>=ccc由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+322361322babaabba或得,42. 【解析】(1)由m n⊥得0=⋅nm,22cos cos0x x x y∴+-=即xxxy cossin32cos22+=1)62sin(212sin32cos++=++=πxxx∴222,262k x k k Zπππππ-+≤+≤+∈,∴,36k x k k Zππππ-+≤≤+∈,即增区间为[,],36k k k Zππππ-++∈(2)因为3)2(=Af,所以2sin()136Aπ++=,sin()16Aπ+=, ∴ZkkA∈+=+,226πππ因为π<<A0,所以3π=A由余弦定理得:2222cosa b c bc A=+-,即224b c bc=+-∴24()3b c bc=+-,因为4b c+=,所以4bc=∴1sin 2ABC S bc A ==43.解:(I)由//a b 得22cos cos 0x x y +-= 2'即22cos cos cos 2212sin(2)16y x x x x x π=+=+=++所以()2sin(2)16f x x π=++ , 4'又222T πππω===所以函数()f x 的最小正周期为.π 6' (II)由(I)易得3M = 7'于是由()3,2A f M ==即2sin()13sin()166A A ππ++=⇒+=,因为A 为三角形的内角,故3A π=9'由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2242b c bc bc bc bc =+-≥-= 11' 解得4bc ≤于是当且仅当2b c ==时,bc 的最大值为4. 12'44.45. 【解析】(1) sin cos b A B =,由正弦定理得sin sin cos B A A B =即得tan B =3B π∴=(2)sin 2sin C A = ,由正弦定理得2c a =,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,229422cos 3a a a a π=+-⋅,解得a =2c a ∴== 稿源:konglei46.解:(Ⅰ)在ABC ∆中,由cos 2cos 2cos A C c aB b--=及正弦定理可得 cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=, 即sin sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B -=- 则sin sin sin cos 2sin cos 2cos sin A B A B C B C B +=+sin()2sin()A B C B +=+,而A B C π++=,则sin 2sin C A =,即sin 2sin C A=. 另解1:在ABC ∆中,由cos 2cos 2cos A C c a B b--=可得 cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=- 由余弦定理可得22222222222222b c a a b c a c b a c b c a a c+-+-+-+--=-, 整理可得2c a =,由正弦定理可得sin 2sin C c A a==. 另解2:利用教材习题结论解题,在ABC ∆中有结论cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b c A a C c a B b A =+=+=+. 由cos 2cos 2cos A C c a B b--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=- 即cos cos 2cos 2cos b A a B c B b C +=+,则2c a =, 由正弦定理可得sin 2sin C c A a==. (Ⅱ)由2c a =及1cos ,24B b ==可得 22222242cos 44,c a ac B a a a a =+-=+-=则1a =,2c =,S 11sin 1222ac B ==⨯⨯=,即S = 47.解:(Ⅰ)由sin()sin(),44ππ---=C b c B a 用正弦定理得 sin sin()sin sin()sin .44ππ---=C C B B A∴sin )sin )-=C C C B B B即sin cos cos sin 1,-=C C B B∴sin() 1.-=C B ∵30,4＜＜π，C B ∴33,44π＜＜π--C B ∴2π-=C B . 又4A =π,∴34π+=C B , 解得5,.88ππ==C B (Ⅱ)由(Ⅰ)5,88ππ==C B ,由正弦定理,得sin 54sin .sin 8a B b A ===π∴△ABC的面积115sin 4sin sin 2288ππ==⨯C S ab5sin sin 8888==ππππ2.4==π 48.49.解 22sin 2sin ()(2cos 2)242sin (1cos())2cos 22ππ=+--=-+-+ B mgn Bg B Bg B B 12sin 10,sin 2=-=∴=B B 因为0π<<B ,所以566ππ=B 或 (2)在∆ABC 中,因为b<a,所以6π=B由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得2320c c -+= 所以1c =或2c =。
4.6正弦定理和余弦定理1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．『试一试』1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．『解析』设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2.在△ABD 中，解得sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得sin C ＝66.『答案』662．(2013·扬州三模)如果满足∠ABC ＝60°，AB ＝8，AC ＝k 的△ABC 有两个，那么实数k 的取值范围是________．『解析』由条件得8sin 60°＜k ＜8，从而k 的取值范围是(43，8)． 『答案』(43，8)1．把握三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .2．选用正弦定理或余弦定理的原则如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．『练一练』1．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．『答案』432．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.『解析』由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t (t >0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝5t2＋3t 2－7t 22×5t ×3t＝－12，故C ＝2π3.『答案』2π3考点一利用正弦、余弦定理解三角形『典例』 (2013·徐州摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C －b cos C ＝c cos B －c cos A ，且C ＝120°.(1)求角A ； (2)若a ＝2，求c .『解析』 (1)由正弦定理及a cos C －b cos C ＝c cos B －c cos A 得sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B －sin C cos A .所以sin(A ＋C )＝sin(B ＋C )．因为A ，B ，C 是三角形的内角，所以A ＋C ＝B ＋C ，所以A ＝B . 又因为C ＝120°，所以A ＝30°.(2)由(1)知a ＝b ＝2，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋4－2×2×2cos 120°＝12，所以c ＝2 3.『备课札记』 『类题通法』1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．『针对训练』(2013·南京、盐城一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6 ＝sin A ，求A 的值； (2)若cos A ＝14，4b ＝c ，求sin B 的值．『解析』(1)因为cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝sin A ， 即cos A cos π6－sin A sin π6＝sin A ，所以32cos A ＝32sin A . 显然cos A ≠0，否则由cos A ＝0得sin A ＝0，与sin 2 A ＋cos 2 A ＝1矛盾，所以tan A ＝33. 因为0＜A ＜π，所以A ＝π6.(2)因为cos A ＝14，4b ＝c ，根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝15b 2，所以a ＝15b .因为cos A ＝14，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝154.由正弦定理得15b sin A ＝b sin B ，所以sin B ＝14. 考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状『典例』 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． 『解析』 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3， 得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1.又∵0°＜B ＜120°，30°＜B ＋30°＜150°， ∴B ＋30°＝90°， 即B ＝60°. ∴A ＝B ＝C ＝60°， ∴△ABC 为正三角形．『备课札记』在本例条件下，若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状. 『解析』由正弦定理，得bc ＝a 2， 又b 2＋c 2＝a 2＋bc ， ∴b 2＋c 2＝2bc .∴(b －c )2＝0.即b ＝c ，又A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． 『类题通法』判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．『针对训练』(2014·镇江期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足b cos C ＋12c ＝a .(1)求角B ；(2)若a ，b ，c 成等比数列，判断△ABC 的形状．『解析』(1)法一：由正弦定理得sin B cos C ＋12sin C ＝sin A .而sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C . 故cos B sin C ＝12sin C .在△ABC 中，sin C ≠0，故cos B ＝12.因为0＜B ＜π，所以B ＝π3.法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝a .化简得a 2＋b 2－c 2＋ac ＝2a 2，即b 2－c 2＋ac ＝a 2， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.因为0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)由题知b 2＝ac .由(1)知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以a 2＋c 2－2ac ＝0，即a ＝c ， 所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 是等边三角形．考点三与三角形面积有关的问题『典例』 (2013·苏州暑假调查)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝60°且cos(B ＋C )＝－1114.(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．『解析』 (1)在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114.得sin(B ＋C )＝1－cos 2B ＋C ＝1－⎝⎛⎭⎫－11142＝5314.又B ＝60°，所以cos C ＝cos 『(B ＋C )－B 』＝cos(B ＋C )cos B ＋sin(B ＋C )sin B ＝－1114×12＋5314×32＝17.(2)因为cos C ＝17，C 为△ABC 的内角，sin(B ＋C )＝5314，所以sin C ＝1－cos 2C ＝ 1－⎝⎛⎭⎫172＝437，sin A ＝sin(B ＋C )＝5314.在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝c sin C 得55314＝c 437， 所以c ＝8.又a ＝5，sin B ＝32， 所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12 ×5×8×32＝10 3. 『备课札记』 『类题通法』三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 『针对训练』(2013·南通一调)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项．(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积． 『解析』(1)由题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos B . 因为A ＋C ＝π－B,0＜B ＜π，所以sin(A ＋C )＝sin B ≠0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由B ＝π3得a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a ＋c2－2ac －b 22ac＝12， 所以ac ＝2.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝32.『课堂练通考点』1．在△ABC 中，a ＝1，c ＝2，B ＝60°，则b ＝________. 『解析』由余弦定理得b ＝12＋22－2×1×2cos 60°＝ 3. 『答案』32．(2014·无锡调研)在△ABC 中，A ＝45°，C ＝105°，BC ＝2，则AC 的长度为________． 『解析』在△ABC 中，由A ＝45°，C ＝105°得B ＝30°.由正弦定理AC sin B ＝BC sin A 得AC 12＝222，所以AC ＝1.『答案』13．(2014·镇江质检)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________. 『解析』由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C， 得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，令a ＝2，b ＝3，c ＝4， 再利用余弦定理得cos C ＝－14.『答案』－144．(2013·山东高考改编)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.『解析』由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.结合余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32，整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2. 当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2.『答案』25．(2013·南通一调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2＋b 2的取值范围． 『解析』(1)因为tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B. 所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ， 即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ， 所以sin(C －A )＝sin(B －C )．所以C －A ＝B －C 或C －A ＝π－(B －C )(不成立)， 即2C ＝A ＋B ，所以C ＝π3.(2)由C ＝π3，设A ＝π3＋α，B ＝π3－α，0＜A ＜2π3，0＜B ＜2π3，知－π3＜α＜π3.因为a ＝2R sin A ＝sin A ，b ＝2R sin B ＝sin B ， 所以a 2＋b 2＝sin 2A ＋sin 2 B ＝1－cos 2A 2＋1－cos 2B2＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α ＝1＋12cos 2α.由－π3＜α＜π3知－2π3＜2α＜2π3，－12＜cos 2α≤1，故34＜a 2＋b 2≤32.。
高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理： 1. 正弦定理： ____________________.强调几个问题：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明R Aa__sin =（R 为ABC ∆的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一； （4）公式的变形：①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；②sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===；③sin sin sin ::::A B C a b c =．（5）三角形面积公式：=∆ABC S ____ ____=______ ___=_____ ___． (6)正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边和一角。
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
2. 余弦定理： =2a _____________________；=2b ____________________； =2c _____________________.强调几个问题：(1)熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；(2)知三求一；(3)当夹角为90 时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）；(4)变形：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+=ac c b a C 2cos 222-+=．（5）余弦定理的应用范围：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3. 解斜三角形(1)．两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ①若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA②若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a三、基础检测：1. 在 中， ，则 等于（ ）A ．B ．C ．D ．2. 若 是 （ ）A ．等边三角形B ．有一内角是30°C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 3. 在，面积，则BC 长为（ ）A ．B ．75C ．51D ．494．在 中，已知角 则角A 的值是（ ）A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°5． 中，sinB=23sin ,21=C ,则a ：b ：c 为（ ）A.1：3：2B.1：1：3C.1：2：3D.2：1：3或1：1：36. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===，则sin C 的值为A ．3B ．6C ．3D ．67.若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。
