曲阜师范大学高等代数B2006年考研真题／研究生入学考试试题

2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =（4）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h→=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ]（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ]（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ ］ （14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ] 三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. （16）（本题满分7分）计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x . （20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. （23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.（Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计。

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1～6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． （1）曲线xx xx ycos 25sin 4-+=的水平渐近线方程为______．【答案】51=y【考点】水平渐近线 【难易度】★★ 【详解】解析：，51cos 25sin 41lim cos 25sin 4lim lim =-+=-+=∞→∞→∞→xx x xx x x x y x x x 所以水平渐近线方程为51=y . （2）设函数⎪⎩⎪⎨⎧==/=⎰,,0,d sin 1)(023x a x t t x x f x在x ＝0处连续，则a ＝______．【答案】13【考点】函数连续的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：按连续性定义，313sin lim d sin lim)(lim )0(220320=====→→→⎰x x x t t x f f a x xx x ． （3）广义积分⎰+∞+022)1(d x xx ＝______．【答案】12【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★ 【详解】 解析：211121)1(d 21)1(d 02022222=+-=+=++∞∞+∞+⎰⎰x x x x x x（4）微分方程xx y y )1(-='的通解是______． 【答案】xy Cxe -=，C 为∀常数 【考点】变量可分离的微分方程【难易度】★★ 【详解】解析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得x xy y d )11(d -=. 积分得 1ln ln y x x C =-+，即1C x y ex e -=．因此，通解为xy Cxe -=，C 为∀常数． （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0|d d =x xy＝______． 【答案】e -【考点】隐函数的导数 【难易度】★★ 【详解】解析：在原方程中令0(0)1x y =⇒=．将方程两边对x 求导，并令0x =得y y y e xe y ''=--，(0)(0)y y e e '=-=-．（6）设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA ＝B ＋2E ，则B =______．【答案】2【考点】抽象型行列式的计算 【难易度】★★★ 【详解】解析：由BA ＝B ＋2E 得()2B A E E -=，两边取行列式，有4B A E ⋅-=．因为11211A E -==-，所以2B =． 二、选择题：7～14小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．（7）设函数y ＝f （x ）具有二阶导数，且x x f x f ∆>">',0)(,0)(为自变量x 在点x 0处的增量，∆y 与d y 分别为f （x ）在点x 0处对应的增量与微分，若∆x ＞0，则（ ） （A ）0＜d y ＜∆y ． （B ）0＜∆y ＜d y ． （C ）∆y ＜d y ＜0． （D ）d y ＜∆y ＜0． 【答案】（A ）【考点】函数单调性的判别；函数图形的凹凸性 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法1：因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加()0,f x ''> 则()f x 是凹的又0x >V ，故0dy y <<V .方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--V V V0()()f x f x x ξ''=-V V0()()f x x ηξ''=-V 其中000,x x x x ξηξ<<+<<V由于()0f x ''>，从而0y dy ->V 又由于0()0dy f x x '=>V ，故选(A )（8）设()f x 是奇函数，除x ＝0外处处连续，x ＝0是其第一类间断点，则t t f xd )(0⎰是（ ）（A ）连续的奇函数． （B ）连续的偶函数．（C ）在x ＝0间断的奇函数． （D ）在x ＝0间断的偶函数．【答案】（B ）【考点】积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法1（排除法）： 设 ()f x =1,00,01,0x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩此()f x 满足题设条件，它是一个奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点.0()()0xxx F x f t dt xx >⎧==⎨-<⎩⎰当当并且0(0)()0F f t dt ==⎰即 0()()000xx x F x f t dt x x x >⎧⎪==>⎨⎪-<⎩⎰当当当 ()F x 是一个连续的偶函数，所以不选(A )、(C )、(D )，只能选(B ).方法2（论证法）：由题设条件，()f x 除0x =外，处处连续，在0x =处为第一类间断点，且()f x 为奇函数，从而知，(0)0f =，且00lim ()lim ()0x x f x A f x A A +-→→-≠存在记为，存在， 作函数 (),0)0,0(),0f x A x x x f x A x ϕ->⎧⎪==⎨⎪-<⎩当（当当)x ϕ（为连续的奇函数,0()xt dt ϕ⎰为可导的偶函数.另一方面，00(),0()0,0(),0x x xf t dt Ax x t dt x f t dt Ax x ϕ⎧->⎪⎪==⎨⎪+<⎪⎩⎰⎰⎰当当当所以，00(),0()0,0(),0x xxt dt Ax x f t dt x t dt Ax x ϕϕ⎧->⎪⎪==⎨⎪+<⎪⎩⎰⎰⎰当当当 即()()xxf t dt t dt A x ϕ=+⎰⎰，所以0()xf t dt ⎰为连续的偶函数,故选(B ).（9）设函数()g x 可微，1()()g x h x e +=，(1)1h '=，(1)2g '=，则(1)g 等于（ ）（A ）ln3－1． （B ）－ln3－1．（C ）－ln2－1．（D ）ln2－1．【答案】（C ）【考点】复合函数的求导法则 【难易度】★★ 【详解】 解析：由1()()g x h x e +=两边对x 求导，得1()()()g x h x g x e+''=，再以1x =代入，并由已知数值得1(1)12g e+=，于是1(1)ln1ln 212g =-=--.故选(C ). （10）函数212x x xy C e C e xe -=++满足的一个微分方程是（ ）（A ）.e 32xx y y y =-'-" （B ）.e 32xy y y =-'-"（C ）.e 32xx y y y =-'+" （D ）.e 32xy y y =-'+"【答案】（D ） 【考点】线性微分方程解的结构定理；自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★ 【详解】解析：该方程对应的齐次方程的特征根为1和-2，于是特征方程为2(1)(2)20λλλλ-+=+-=对应的齐次微分方程为 -20y y y '''+= 所以不选(A )与(B )，为了确定是(C )还是(D )，只要将特解xy xe *=代入方程左边，计算得()()-23xy y y e ***'''+=，故选(D ).（11）设f （x ，y ）为连续函数，则r r r r f d )sin ,cos (d 14π0θθθ⎰⎰等于（ ）（A ）⋅⎰⎰-y y x f x x xd ),(d 21220（B ）⋅⎰⎰-y y x f x x d ),(d 210220（C ）.d ),(d 22012x y x f y y y⎰⎰- （D ）.d ),(d 210220x y x f y y ⎰⎰-【答案】（C ）【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换 【难易度】★★ 【详解】 解析：y x y x f r r r r f Dd d ),(d )sin ,cos (d 14π0⎰⎰⎰⎰=θθθ．D 的极坐标表示是：0≤r ≤1，4π0≤≤θ．见右图．现转换为先x 后y 的积分顺序． 原式x y x f y y yd ),(d 21220⎰⎰-=．因此选（C ）．（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且0),(=/'y x y ϕ．已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=． （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠． （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=． （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠．【答案】（D ）【考点】多元函数极值存在的必要条件；拉格朗日乘数法 【难易度】★★★ 【详解】解析：引入函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，有(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y f x y x y f x y x y x y λλϕλϕϕ'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩F =F =F =000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'Q 代入（1）得00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选D.（13）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（ ） （A ）若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关． （B ）若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关． （C ）若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关． （D ）若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关． 【答案】（A ）【考点】向量组线性相关的判别法 【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：若12,,,s αααL 线性相关,则存在不全为0的数12s ,,,k k k L 使得11220s s k k k ααα+++=L用A 左乘等式两边,得11220s s k A k A k A ααα+++=L于是12,,,s A A A αααL 线性相关. 方法2：因为：1.12,,,s αααL 线性相关⇔ 12(,,,)s r s ααα<L .2.()()r AB r B <. 所以有：矩阵1212(,,,)(,,,)s s A A A A αααααα=L L ,因此1212(,,,)(,,,)s s r A A A r s αααααα≤<L L由此可判断答案应为A .（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010011P ，则（ ） （A ）1C P AP -=． （B ）1C PAP -=．（C ）T C P AP =．（D ）TC PAP =．【答案】（B ）【考点】矩阵的初等变换；逆矩阵的计算 【难易度】★★ 【详解】解析：将A 的第2行加到第1行得B ，即 110010001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=PA将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，即110010001C B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记 BQ因PQ =110010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E =，故1Q P -=从而 11C BP PAP --== ,故选(B ).三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（15）（本题满分10分）试确定常数A ，B ，C 的值，使得23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小．【考点】高阶无穷小；泰勒公式；洛必达法则 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得11021026B A C B B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩由此可解得13A =， 23B =-，16C =方法二：用洛必达法则．由23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++，（0x →）⇒ )(记J0)1(e )1(lim 320=+-++-→x Ax Cx Bx x x ⇒ 203])1[(e 2limx Ax A Cx B x x +-++-→ （要求分子极限为0，即1＋B －A ＝0，否则J ＝∞）⇒ xAx A C J x x 6)12(e 2lim0--+=-→ （要求分子极限为0，即2A ＋2C －1＝0，否则J ＝∞），⇒ 06316)31(e lim0=-=+-=-→AAx A J x x ，即1－3A ＝0． 解 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=-+,031,0122,01A C A A B 得61,32,31=-==C B A ． （16）（本题满分10分）求.d e e sin arc x xx⎰【考点】不定积分的分部积分法；不定积分的第二类换元法 【难易度】★ 【详解】解析：x x xx x x x xx x x 2e1d e ee sin arc e de e sin arc d e e sin arc -+-=-=---⎰⎰⎰ 1)e (de e sin arc e 2---=---⎰x x xx其中，22sec tan sec sec ln sec tan ln ()1tan ()1x x x x x t te t dt tdt t t C e e C te -----===++=+-+-⎰⎰⎰因此，x x xd ee sin arc ⎰.|1e e |ln e sin arc e 2C x x x x +-+--=--- （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，计算二重积分⎰⎰⋅+++-=Dy x y x xyI d d 1122【考点】二重积分的计算；利用极坐标计算二重积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：D 为右半单位圆，它关于x 轴对称，于是0d d 122=++⎰⎰y x y x xyD， 从而 ⎰⎰⎰⎰++=++=122221d d 2d d 11D Dy x yx y x yxI ． 又 {}10D D y =⋂≥，如图，作极坐标变换，cos x r θ=，sin y r θ=， 则 10,2π0:1≤≤≤≤r D θ．因此 2ln 2π)1ln(2πd 11d 21221022π0=+=+=⎰⎰r r r r I θ．（18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin n n x x +=（1,2,n =L ）． （Ⅰ）证明n n x ∞→lim 存在，并求该极限；（Ⅱ）计算.)(lim 211n x nn n x x +∞→【考点】函数极限与数列极限的关系；单调有界准则【难易度】★★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）由于0x π<<时，0sin x x <<，于是10sin n n n x x x +<=≤ 说明数列{}n x 单调减少且0n x >.由单调有界准则知lim n n x →∞存在.记为A递推公式两边取极限得 sin ,0A A A =∴=（Ⅱ）原式21sin lim(),n x n n nx x →∞=为∞"1"型 由于离散型不能直接用洛比达法则先考虑22011sin lim ln()0sin lim()t ttt t t t e t→→=用洛比达法则2323203311(cos sin )1110()0()lim 26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====g g（19）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++． 【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】证明：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0x π<<时,()f x 单调增加（严格）()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+ ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴ 单调减少（严格）又()cos 0f ππππ'=+=，故0()0()x f x f x π'<< >时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且)(22y x f z +=满足等式.02222=∂∂+∂∂yzx z （Ⅰ）验证;0)()(='+"uu f u f （Ⅱ）若1)1(,0)1(='=f f ，求函数()f u 的表达式． 【考点】多元复合函数的求导法；变量可分离的微分方程 【难易度】★★★ 【详解】解析：（I）z zf fx y∂∂''==∂∂()22222z xf fx x y x y ∂'''=+∂++()()22322222x yf fx y x y '''=+++()() 22232 22222z y xf fy x y x y∂'''=+∂++同理222200()()0z zfx yf uf uu∂∂''+==∂∂'''∴+=代入得成立（II）令(),f u p'=于是上述方程成为dp pdu u=-，则dp ducp u=-+⎰⎰ln ln,()cp u c f u pu'=-+∴==22(1)1,1,()ln||,(1)0,0()ln||f c f u u c f c f u u'===+===由得，于是22(1)1,1,()ln||,(1)0,0()ln||f c f u u c f c f u u'===+==∴=由，（21）（本题满分12分）已知曲线L的方程为)0(4,122≥⎪⎩⎪⎨⎧-=+=tttytx，（Ⅰ）讨论L的凹凸性；（Ⅱ）过点（－1，0）引L的切线，求切点（x0，y0），并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L（对应于x≤x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积．【考点】导数的几何意义；由参数方程所确定的函数的导数；平面图形的面积【难易度】★★★【详解】解析：（Ⅰ）4222,42,12dx dy dy tt tdt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dydd y dxtdxdx dt t t tdt⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<>⎪⎝⎭处∴曲线L （在0t >处）是凸.（Ⅱ）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则 2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭得 200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=Q点为（2，3），切线方程为1y x =+（Ⅲ）设L 的方程()x g y =, 则 ()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=±+解出t 得由于（2，3）在L上，由(23221()y x x g y ===-+=得可知(309(1)S y y d y ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy y =--⎰33332202(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-++-=+++13,1534,1432143214321bx x x ax x x x x x x x x有3个线性无关的解．（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求a ，b 的值及方程组的通解．【考点】非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系；非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】解析：(Ⅰ)设123,,ααα是方程组的3个线性无关的解,则2131,αααα--是0Ax =的两个线性无关的解.于是0Ax =的基础解系中解的个数不少于2,即4()2r A -≥,从而()2r A ≤.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以()2r A ≥. 两个不等式说明()2r A =.(Ⅱ)对方程组的增广矩阵作初等行变换:[]A b = 1111|11111|14351|10115|3,13|1004245|42a b a a b a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎣⎦由()2r A =,得出 2,a = 3b =-.代入后继续作初等行变换:1024|20115|3.0000|0-⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦得同解方程组 1342342-24-3-5x x x x x x =+⎧⎨=+⎩求出一个特解(2,3,0,0)T-和0Ax =的基础解系(2,1,1,0)T-,(4,5,0,1)T-.得到方程组的通解: 12(2,3,0,0)(2,1,1,0)(4,5,0,1)T T Tc c -+-+-，12,c c 任意.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)T α=--，2(0,1,1)Tα=-是线性方程组0Ax =的两个解．（Ⅰ）求A 的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q T AQ ＝Λ．【考点】矩阵的特征值的计算；矩阵的特征向量的计算；施密特正交化；相似对角矩阵 【难易度】★★★ 【详解】解析：(Ⅰ) 由A 的每行元素之和为3，有(1,1,1)(3,3,3)T TA =故，0(1,1,1)Tα=是A 的特征向量,特征值为3.又12,αα都是0AX =的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于12,αα线性无关, 特征值0的重数大于1. 于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:0c α, c 0≠.属于0的特征向量: 1122c c αα+，12,c c 不都为0. (Ⅱ)将0α单位化,得0333(, , )333T η=. 对12,αα作施密特正交化,得122(0, , )22T η=-,2666( )366Tη=--. 作123(,,)Q ηηη=,则Q 是正交矩阵,并且-13 0 00 0 00 0 0T Q AQ Q AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭。

2006年全国硕士研究生入学考试数学（一）一、填空题 （1）0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .（3）设∑是锥面z =01z ≤≤）的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .（5）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E =+，则B = .（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}m a x {,}1P X Y ≤=.二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dx y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设(,)f x y 为连续函数，则1400(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）0(,).xf x y dy ⎰⎰（B ）00(,).f x y dy ⎰⎰（C ）0(,).yf x y dx ⎰⎰（C ）00(,).f x y dx ⎰⎰【 】（9）若级数1n n a ∞=∑收敛，则级数（A ）1n n a ∞=∑收敛.（B ）1(1)n n n a ∞=-∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 【 】（10）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】 （12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 （A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.TC P AP =（D ）.TC PAP = 【 】（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有 （A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃= 【 】（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ>（C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ> 【 】三 解答题 15 设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy xy+=++⎰⎰ 。

2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .（3）设∑是锥面z =（01z ≤≤）的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰.（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .（5）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A BE =+，则B = .（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dx y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）2210(,).x xf x y dy -⎰⎰（B ）2210(,).x f x y dy -⎰⎰（C ）2210(,).y yf x y dx -⎰⎰（C ）2210(,).y f x y dx -⎰⎰【 】（9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（A ）1nn a∞=∑收敛. （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 【 】（10）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP = 【 】（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有 （A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃= 【 】（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<（A ）1 2.σσ<（B ）1 2.σσ>（C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ> 【 】三 解答题 15 设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰. 16 设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== . 求: (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在,并求之 .(Ⅱ)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 17 将函数()22xf x x x =+-展开成x 的幂级数.18 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且22z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=. (Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 19 设在上半平面D=(){},0x y y >内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的t>0都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.20 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解 Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A = Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解21 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.22 随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩令其他为二维随机变量(X,Y)的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭23 设总体X 的概率密度为()()01,0112010x F X x θθθθ<<⎧⎪=-≤<<<⎨⎪⎩其中是未知参数其它,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,1n x x x 中小于的个数,求θ的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+-= 2 .221cos 1,)1ln(x x x x -+ （0x →当时）（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是(0)x y cxe x -=≠，这是变量可分离方程.（3）设∑是锥面1)Z ≤≤的下侧，则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++-=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===-1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积）623ππ=⨯=而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰（∵在1∑上：1,0z dz ==）（4）,1,0,4502x y z d ++==点(2)到平面3的距离22232412502345d ⨯+⨯====++(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2. （6）91 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分.若0>∆x ，则[A]0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又1(8)(,)(cos ,sin )[C](A)(,)(B)(,)xf x y d f r r rdr f x y dyf x y dyπθθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰40设为连续函数,则等于222110(C)(,)(D)(,)y y yf x y dxf x y dx --⎰⎰⎰111111111(9)[D]()()(1)()()()2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a a C a a D a ∞=∞∞==∞∞∞+++===-+∑∑∑∑∑∑ 若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y xy x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-='''≠)0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0[]y f x y D '≠则故选(11)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(12设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P T AP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ--，,1}1{1111⎭⎬⎫<⎩⎨⎧-=<-σσμμX P X P .1}1{2222⎭⎫⎩⎨⎧<-=<-σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<-><-μμY P X P即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A三、解答题{}22222212120222021(15)(,)1,0,1:011ln(1)ln 21122DDDxyD x y x y x I dxdyx y xydxdy x yr I dxdy d dr r x yr ππππθ-+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 设区域计算二重积分解{}{}{}211112121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n x n n nn n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞+→∞+→∞<<===∴<≤≥=≤≥∴= 设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim(,n x n n n x x ∞→∞原式=为"1"型离散型不能直接用洛必达法则22011sin lim ln()0sin lim(t ttt tt t e t→→=先考虑2323203311(cos sin )1110()0()lim 26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤--+--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====2(17)()2xf x x x x =+-将函数展开成的幂极数()(2)(1)21x A Bf x x x x x ==+-+-+解:2(1)(2)2,32,3A xB x x x A A ++-====令 11,31,3x B B =-=-=-令)](1[131)21(131)1(131)2(132)(x x x x x f --⨯--⨯=+⨯--⨯=10001111((1)(1),132332n n nn n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=--=+-<⎢⎥⎣⎦∑∑∑（18）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z z x y ∂∂+=∂∂ （I ）验证()()0f u f u u'''+= （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式 证：（I ）(22222222zzf x y f x y xyx yx y∂∂''=+=+∂∂++()()22222222222222x x y x y zxf x yf x yxx y xy+-+∂'''=+++∂++()()222222322222x y f x yf x yx y x y '''=+++++()(()22222223222222zy x f x yf x yyx y x y ∂'''=+++∂++同理2222222222()()()0f x y z z f x yx y x yf u f u u'+∂∂''+=++=∂∂+'''∴+=代入得成立（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p u'==-=-+⎰⎰则ln ln ,()cp u c f u p u'=-+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+=== 由得于是（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y-= 证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导 得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-所给曲线积分等于0的充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y x f xy x∂'=--∂(,)(,)y Pf x y y f xy y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4，x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0 （22）随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,的分布函数.（Ⅰ）求Y 的概率密度；（Ⅱ）)4,21(-F 解： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=yy y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式⎰⎰=+=≤≤-=-y yy dx dx y X y P 00434121)()1(式； ⎰⎰+=+=≤≤-=-y y dx dx y X y P 00141214121)()2(式. 所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y 这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y 进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型.（Ⅱ）)4,21(-F 212()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P X X P Y X P 4121211==⎰--dx . （23）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.n X X X ,,21为来自总体的简单随机样本，记N 为样本值n x x x ,,21中小于1的个数.求θ的最大似然估计.解：对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<-=++-其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ， 在pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1时，)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，01)(ln =---=θθθθN n N d L d ，所以nN =最大θ.。

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) (1)1lim()nn n n-→∞+= (2) 设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()(),(2)1f x f x e f '==，则(2)f '''= (3) 设函数()f u 可微，且1(0)2f '=，则22(4)z f x y =-在点(1，2)处的全微分(1,2)|dz =(4) 已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =. 若行列式||6A =，则||B =(5) 设矩阵2112A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = 。

(6) 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，由{max(,)1}P x y ≤=一、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x 为自变量x 在点0x 处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x >，则( ) (A) 0dy y << (B) 0y dy << (C)0y dy <<(D) 0dy y <<(8) 设函数()f x 在0x =处连续，且220()lim 1n f n n→==，则( ) (A) (0)0f =且(0)f -'存在(B) (0)1f =且(0)f -'存在(C) (0)0f =且(0)f +'存在(D) (0)1f =且(0)f +'存在(9) 设函数()f x 与()g x 在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，且对任何(0,1)C ∈( )(A) 1122()()c cf t dtg t dt ≥⎰⎰(B) 1122()()c cf t dtg t dt ≤⎰⎰(C)11()()ccf t dtg t dt ≥⎰⎰(D)11()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰(10) 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解1()y x ，2()y x ，C 为任意常数，则该方程通解是( ) (A) 12[()()]C y x y x - (B) 112()[()()]y x C y x y x +- (C) 12[()()]C y x y x +(D) 112()[()()]y x C y x y x ++(11) 设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且(,)0x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点。

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim 1cos x x x x→+=-. (2)微分方程(1)y x y x-'=の通解是 .(3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)の下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=の距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上の均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出の四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前の字母填在题后の括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处の增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下の一个极值点,下列选项正确の是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确の是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A の第2行加到第1行得B ,再将B の第1列の-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP (B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P AB P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ, 且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ< (B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.(16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x =+-展开成x の幂级数.(18)(本题满分12分) 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂. (1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u の表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意の0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内の任意分段光滑の有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关の解,(1)证明方程组系数矩阵A の秩()2r =A . (2)求,a b の值及方程组の通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A の各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A の两个解.(1)求A の特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x の概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y の分布函数.(1)求Y の概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X の概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X の简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1の个数,求θの最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+-= 2 .221cos 1,)1ln(x x x x -+ （0x →当时）（2）微分方程(1)y x y x-'=の通解是(0)xy cxe x -=≠，这是变量可分离方程.（3）设∑是锥面1)Z ≤≤の下侧，则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++-=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===-1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积）623ππ=⨯=而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰（∵在1∑上：1,0z dz ==）（4）,1,0,450x y z d ++==点(2)到平面3的距离d ====(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2. （6）91 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在0x 处の增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分.若0>∆x ，则[A]0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又1000(8)(,)(cos ,sin )[C](A)(,)(B)(,)xf x y d f r r rdr f x y dy f x y dy πθθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰40设为连续函数,则等于(C)(,)(D)(,)yf x y dxf x y dx ⎰⎰⎰111111111(9)[D]()()(1)()()()2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a a C a a D a∞=∞∞==∞∞∞+++===-+∑∑∑∑∑∑若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y xy x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-='''≠)0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0[]y f x y D '≠则故选(11)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考の是线性相关性の判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0の数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A 是3阶矩阵,将A の第2列加到第1列上得B ,将B の第1列の-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P T AP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中の作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ--，,1}1{1111⎭⎬⎫<⎩⎨⎧-=<-σσμμX P X P .1}1{2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<-σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<-><-μμY P X P 即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A三、解答题{}22222212120222021(15)(,)1,0,1:011ln(1)ln 21122DD DxyD x y x y x I dxdy x yxydxdy x y r I dxdy d dr r x yr ππππθ-+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设区域计算二重积分解{}{}{}211112121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n x n n nn n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞+→∞+→∞<<===∴<≤≥=≤≥∴=设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim(),n x n n nx x ∞→∞原式=为"1"型离散型不能直接用洛必达法则22011sin lim ln()0sin lim()t ttt tt t e t→→=先考虑2323203311(cos sin )1110()0()lim26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====2(17)()2xf x x x x =+-将函数展开成的幂极数 ()(2)(1)21x A Bf x x x x x ==+-+-+解:2(1)(2)2,32,3A xB x x x A A ++-====令 11,31,3x B B =-=-=-令)](1[131)21(131)1(131)2(132)(x x x x x f --⨯--⨯=+⨯--⨯= 10001111()(1)(1),132332n n n n n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=--=+-<⎢⎥⎣⎦∑∑∑（18）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂ （I ）验证()()0f u f u u'''+= （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式 证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()22222zxf f xx y xy∂'''=+∂++()()22322222x y f f x y x y '''=+++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++同理22220()()0z z f x y f u f u u∂∂''+==∂∂'''∴+=代入得成立（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p u'==-=-+⎰⎰则ln ln ,()cp u c f u p u'=-+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+===由得于是（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty tf x y -=证明：对D 内任意分段光滑の有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-所给曲线积分等于0の充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y xf x y x∂'=--∂(,)(,)y Pf x y yf x y y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关の解.① 证明此方程组の系数矩阵A の秩为2. ② 求a,b の值和方程组の通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组の3个线性无关の解,则α2-α1,α3-α1是AX =0の两个线性无关の解.于是AX =0の基础解系中解の个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A の行向量是两两线性无关の,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组の增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组 x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX =0の基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组の通解:(2,-3,0,0)T+c 1(-2,1,1,0)T+c 2(4,-5,0,1)T, c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A の各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX =0の解. ① 求A の特征值和特征向量. ② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T=(3,3,3)T,即 α0=(1,1,1)T是A の特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0の解说明它们也都是A の特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0の重数大于1.于是A の特征值为3,0,0.属于3の特征向量:c α0, c ≠0.属于0の特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T. 对α1,α2作施密特正交化,のη1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T. 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0（22）随机变量X の概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,の分布函数. （Ⅰ）求Y の概率密度；（Ⅱ）)4,21(-F 解：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=y y y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式⎰⎰=+=≤≤-=-yyy dx dx y X y P 0434121)()1(式； ⎰⎰+=+=≤≤-=-yy dx dx y X y P 0141214121)()2(式. 所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y这个解法是从分布函数の最基本の概率定义入手，对y 进行适当の讨论即可，在新东方の辅导班里我也经常讲到，是基本题型. （Ⅱ）)4,21(-F )212()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P X X P Y X P 4121211==⎰--dx . （23）设总体X の概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.n X X X ,,21为来自总体の简单随机样本，记N 为样本值n x x x ,,21中小于1の个数.求θの最大似然估计.解：对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<-=++-其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ，在pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1时，)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，01)(ln =---=θθθθN n N d L d ，所以nN=最大θ.2005年考研数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y の斜渐近线方程为 _____________.（2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y の解为. ____________.（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ，则)3,2,1(nu∂∂=.________.（4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成の空间区域，∑是Ωの整个边界の外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.（5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B ..（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前の字母填在题后の括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)の一个原函数，""N M ⇔表示“M の充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ] （10）设有三元方程1ln =+-xzey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)の一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数の隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ ]（11）设21,λλ是矩阵A の两个不同の特征值，对应の特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关の充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ] （12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A の第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B の伴随矩阵，则(A) 交换*A の第1列与第2列得*B . (B) 交换*A の第1行与第2行得*B . (C) 交换*A の第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A の第1行与第2行得*B -.[ ]（13）设二维随机变量(X,Y) の概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ ] （14）设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)の简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t S X n (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i[ ]三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++の最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y xxy .]1[22（16）（本题满分12分） 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n の收敛区间与和函数f(x).（17）（本题满分11分）如图，曲线C の方程为y=f(x)，点(3,2)是它の一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处の切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同の点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点の任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Lyx xydydx y 4222)(ϕの值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内の任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cy x xydydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕの表达式. （20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=の秩为2.（I ） 求a の值；（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0の解. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A の第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0の通解..（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)の概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)の边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ）Y X Z -=2の概率密度).(z f Z （23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)の简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y の方差n i DY i ,,2,1, =； （II ）1Y 与n Y の协方差).,(1n Y Y Cov。

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x x y x x+=-的水平渐近线方程为 .（2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22(1)xdx x +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .（5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0A dy dx== .（6）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E=+，则B = .二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 （A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()x f t dt ⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. 【 】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-【 】（10）函数212xxxy C e C e xe -=++满足一个微分方程是（A ）23.xy y y xe '''--= （B ）23.xy y y e '''--=（C ）23.xy y y xe '''+-=（D ）23.xy y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A）0(,).xf x y dy ⎰⎰（B）00(,).f x y dy ⎰⎰（C）0(,).ydy f x y dx ⎰⎰（D）00(,).dy f x y dx ⎰⎰【 】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 （A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.TC P AP =（D ）.TC PAP =三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16．arcsin xxedx e⎰求.17．{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥设区域，221.1DxyI dxdy xy+=++⎰⎰计算二重积分18．{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<== 设数列满足 1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限；211(2)lim ()n x n x nx x +→∞计算.19．sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时, 20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220zz xy∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=；(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式.21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t ⎧=+≥⎨=-⎩（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）真题解析一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x x y x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-（2）设函数231sin ,0(),xtdt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =1322()1lim ()lim33x x sm x f x x→→==（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰122222221(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe-=)0(≠x （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则x dy dx==e-当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，y y y e xe y ''=--01(1)1x x y yyyyey xe e y e xe===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A]（A ）0dy y <<∆ （B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<< （D ）0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] （A ）ln 31- （B ）ln 31--（C ）ln 21--（D ）ln 21-∵ 1()()()g x h x g x e +''=，1(1)12g e += g (1)= ln 21-- （10）函数212xxxy c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D]（A ）23x y y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--=（C ）23xy y y xe '''+-=（D ）23x y y y e '''+-=将函数212xxxy c e c xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C]（A ）(,)xdxf x y dy ⎰⎰（B ）00(,)dxf x y dy ⎰⎰（C ）(,)ydyf x y dx ⎰⎰（D ）(,)dyf x y dx ⎰⎰（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0,yx y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则（B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 （D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y yF f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今 000000(,)(,)0,(,)y yyf x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx yf x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y x y f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D](13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xxxe x o x =++++代入已知等式得23323[1()][1]1()26xxx o x Bx C x Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226B B x C B x C o x A x o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ②1026B C ++= ③ 式②-③得 120233B B +==-则代入①得 13A =代入②得 16C =（16）求arcsin xxedx e⎰.解：原式=22arcsin arcsin ()xx xxe t de e t dt e t=⎰⎰令1arcsin arcsin ()ttd t t=-=-+⎰⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)ttudu ttu u-=-+=-+-⎰⎰2arcsin 1t dutu=-+-⎰arcsin 11ln21tu C tu -=-+++arcsin arcsin 1ln2xxxxeedx C ee∴=-++⎰.（17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy xy+=++⎰⎰.解：用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰⎰112222ln(1)ln 2122rI d dr r rππππθ-==+=+⎰⎰.（18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明：（1）1lim n n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim nx n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥ 因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1，lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=（2）原式21sin lim "1"nx n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑 22011s i n l i m l n 0s i n l i m t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则211(cos sin )limsin 2t t t t t ttte →-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tttee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==333110()261lim26t t t tee→⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++.证：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加 ()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+= 故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则 得证（20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220zz xy∂∂+=∂∂.（I ）验证 ()()0f u f u u'''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证：（I）z z f f xy∂∂''==∂∂()()2223222222z xyf f xx y x y ∂'''=+∂++()()2223222222z yxf f yxyxy∂'''=+∂++222200()()0z z f xyf u f u u∂∂''+=+=∂∂'''∴+=代入方程得成立（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p duupuu'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.解：（I ）4222,42,12dx dy dy t t t dt dtdxtt -==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸（II ）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为（2，3），切线方程为1y x =+（III ）设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=±+解出t 得由于（2，3）在L上，由(23221()y x x g y ===-+=得可知(309(1)S y y d y ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy y =--⎰⎰33332202(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-⎰8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0 得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c 1(-2,1,1,0)T+c 2(4,-5,0,1)T, c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T=(3,3,3)T,即 α0=(1,1,1)T是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T.对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T, η2=(-36,66,66)T.作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0。

2006年全国硕士研究生入学考试数学（一）一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+=-. （2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .（3）设∑是锥面22z x y =+（01z ≤≤）的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .（5）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =16 .（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dx y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）2210(,).x xf x y dy -⎰⎰（B ）2210(,).x f x y dy -⎰⎰（C ）2210(,).y yf x y dx -⎰⎰（C ）2210(,).y f x y dx -⎰⎰【 】（9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（A ）1nn a∞=∑收敛. （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 【 】 （10）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（11）设12,,,,a a a L 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a L 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关. （B ）若12,,,,a a a L 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关.（C ）若12,,,,a a a L 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关.（D ）若12,,,,a a a L 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关. 【 A 】 （12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP = 【 B 】（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有 （A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃= 【 】（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ>（C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ> 【 】三 解答题 15 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰。