山东省济宁市某教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版高考复习专题第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切公

第一部分 椭圆1．（2013广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：D2．（2012山东）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 解析：因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25 b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为(25b ，25b )，所以四边形的面积为4×25 b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.答案：D3．（2013新课标全国Ⅰ）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力．运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y ，由根与系数的关系得到a ，b 之间的关系，并由a ，b ，c 之间的关系确定椭圆方程．因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，选择D.答案：D4．（2011新课标全国）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为____．解析：根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝15．（2013新课标全国Ⅱ）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：D6．（2013四川，5分）从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：C7．（2012新课标全国，5分）设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2(32a －c )＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34.答案：C8．（2011浙江，4分）设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝52F B ，则点A 的坐标是________．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得1F A ＝(m ＋2，n )，2F B ＝(c －2，d )．∵1F A ＝52F B ，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴c 23＋d 2＝1，(m ＋625)23＋(n5)2＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)9．(2011辽宁，12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF ＝2FB .(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －c )，x 2a 2＋y 2b 2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2. 因为AF ＝2FB ，所以－y 1＝2y 2. 即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b 2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a . 所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5.椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.备选10．[2014·江西卷] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D .若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．14.33 [解析] 由题意A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，F 1(－c ，0)，则直线F 1B 的方程为y －0＝－b 2a 2c(x ＋c )． 令x ＝0，得y ＝－b 22a，即D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，则向量DA ＝⎝⎛⎭⎫c ，3b 22a ，F 1B →＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b 2a .因为AD ⊥F 1B ，所以DA →·F 1B →＝2c 2－3b 42a2＝0，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，整理得(3e －1)(e ＋3)＝0，所以e ＝33(e >0)．故椭圆C 的离心率为33.11．（2012陕西，13分）已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA ，求直线AB 的方程． 解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4， 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2， 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B＝164＋k 2，又由OB ＝2OA ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得 k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，由OB ＝2OA ，得x 2B ＝161＋4k2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .12．（2013天津，13分）设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB ＋AD ·CB ＝8，求k 的值． 解：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查考生的运算求解能力以及运用方程思想解决问题的能力．(1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k2.因为A (－3，0)，B (3，0)所以AC ·DB ＋AD ·CB ＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.13、[2014·陕西卷] 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．图1-520．解： (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝2|m |5.由d <1，得|m |<52，(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3， ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－122[]m 2－4（m 2－3）＝1524－m 2.由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)．∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.。

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算[考情展望] 1.给定集合，直接考查集合的交、并、补集的运算.2.与方程、不等式等知识相结合，考查集合的交、并、补集的运算.3.利用集合运算的结果，考查集合间的基本关系.4.以新概念或新背景为载体，考查对新情境的应变能力．一、集合的基本概念1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.3．常见数集的符号表示：集合的三种表示方法：列举法、描述法、描述法的一般形式的结构特征在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．二、集合间的基本关系1．子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.2．真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.3．相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.4．空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．子集与真子集的快速求解法一个含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．三、集合的基本运算1．集合间的两个等价转换关系(1)A∩B＝A⇔A⊆B；(2)A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合间运算的两个常用结论：(1)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；(2)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．1．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是()A．0∈A B．{1}∈AC．∅⊆A D．{0,1}⊆A【解析】∵{1}⊆A，∴{1}∈A错误，其余均正确．【答案】 B2．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝() A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}【解析】∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，∴如图所示，A∩B＝{x|1＜x＜2}．【答案】 D3．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{x ∈Z |1＜x ＜4}，则( ) A ．M ⊆N B ．N ＝M C ．M ∩N ＝{2,3}D ．M ∪N ＝(1,4)【解析】 ∵N ＝{x ∈Z |1＜x ＜4}＝{2,3}， ∴M ∩N ＝{2,3}． 【答案】 C4．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【解析】 ∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎨⎧a 2＝16，a ＝4.∴a ＝4，故选D. 【答案】 D5．(2013·山东高考)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅【解析】 ∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}， ∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}． 又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}． 【答案】 A6．(2013·江苏高考)集合{－1,0,1}共有________个子集． 【解析】 由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集． 【答案】 8考向一[001]集合的基本概念(1)(2013·山东高考)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9(2)(2014·柳州模拟)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m，－3}，若3∈A，则m的值为________．【思路点拨】(1)用列举法把集合B中的元素一一列举出来．(2)先由m＋2＝3或2m2＋m＝3求得m的值，再检验集合中的元素是否满足互异性．【尝试解答】(1)方法一：当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．方法二：如下表所示：∴x－y的值只有－2(2)∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3，解得m＝1或m＝－3 2.当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ＝3，不满足集合元素的互异性，当m ＝－32时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，12，3满足题意．故m ＝－32.【答案】 (1)C (2)－32规律方法1 1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其它的集合.2.对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性.对点训练 (1)(2014·深圳模拟)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(2)已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)因为A ＝{1,2,3,4,5}，所以集合A 中的元素都为正数，若x －y ∈A ，则必有x －y ＞0，即x ＞y .当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，共有4个数； 当y ＝2时，x 可取3,4,5，共有3个数； 当y ＝3时，x 可取4,5，共有2个数； 当y ＝4时，x 只能取5，共有1个数； 当y ＝5时，x 不能取任何值．综上，满足条件的实数对(x ，y )的个数为4＋3＋2＋1＝10，即集合B 中的元素共有10个，故选D.(2)∵A ＝∅，∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实根， 当a ＝0时，x ＝23不合题意， 当a ≠0时，Δ＝9－8a ＜0，∴a ＞98. 【答案】 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞考向二 [002] 集合间的基本关系(1)已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．【思路点拨】 (1)0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，则b ＝0,1∈{a 2，a,0}，则a 2＝1，a ≠1，从而a ，b 可求．(2)A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ，分B ＝∅和B ≠∅两种情况求解． 【尝试解答】 (1)由已知得ba ＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 014＋b 2 014＝(－1)2 014＝1.(2)A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}， 又A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎨⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.【答案】 (1)1 (2)(－∞，3]规律方法2 1.解答本例(2)时应注意两点：一是A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ；二是B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观.对点训练 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |ax ＋2＝0，a ∈R }，且M ∩N ＝N ，则实数a 的取值集合是________．【解析】 (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M .又M ＝{－3,2}， 若N ＝∅，则a ＝0.若N ≠∅，则N ＝{－3}或N ＝{2}．所以－3a ＋2＝0或2a ＋2＝0，解得a ＝23或a ＝－1.所以a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，23.【答案】 (1)D(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，23 考向三 [003] 集合的基本运算(1)(2014·湖南师大附中模拟)设集合A ＝{1,2,3,5,7}，B ＝{x ∈Z |1＜x ≤6}，全集U ＝A ∪B ，则A ∩(∁U B )等于( )A ．{1,4,6,7}B ．{2,3,7}C ．{1,7}D ．{1}(2)(2014·烟台模拟)设全图1－1－1集U ＝R ，M ＝{x |x 2＋3x ＜0}，N ＝{x |x ＜－1}，则图1－1－1中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥－1}B ．{x |－3＜x ＜0}C ．{x |x ≤－3}D ．{x |－1≤x ＜0}【思路点拨】 (1)求B →求A ∪B →求∁U B →求A ∩(∁U B )． (2)求M →分析阴影区域表示的集合→借助数轴求该集合． 【尝试解答】 (1)∵B ＝{x ∈Z |1＜x ≤6}＝{2,3,4,5,6}． 又A ＝{1,2,3,5,7} .∴A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7}．∴∁U B＝{1,7}．∴A∩(∁U B)＝{1,7}．(2)∵M＝{x|x2＋3x＜0}＝{x|－3＜x＜0}，N＝{x|x＜－1}∴∁U N＝{x|x≥－1}．又由Venn图可知，该阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)．所以M∩(∁U N)＝{x|－1≤x＜0}．【答案】(1)C(2)D规律方法3 1.求解本例(2)的关键是明确阴影区域元素的属性.2.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.对点训练(1)(2013·浙江高考)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝()A．(－2,1]B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)图1－1－2(2)如图1－1－2，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．【解析】(1)因为S＝{x|x＞－2}，所以∁R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．(2)由图可知，该阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁U B)．又A∩C＝{2,4,5,8}，∁U B＝{2,6,8,9,10}，故A∩C∩(∁U B)＝{2,8}．【答案】(1)C(2){2,8}思想方法之一数形结合思想在集合中的妙用数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：(1)利用Venn图，直观地判断集合的包含或相等关系．(2)利用Venn图，求解有限集合的交、并、补运算．(3)借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．————[1个示范例]————[1个对点练]————(2012·天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.【解析】∵A＝{x|－5＜x＜1}，B＝{x|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝{x|－1＜x＜n}．如图所示由图可知A∩B＝{x|－1＜x＜1}，故n＝1，m＝－1.,设A＝{x|－2＜x＜－1，或x＞1}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}．已知A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，则a＝________，b＝________.【解析】如图所示．设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1≤x≤3}时符合题意．根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴a＝－(－1＋3)＝－2，b＝(－1)×3＝－3.【答案】－2－3。

第一讲复数与框图第一部分算法与程序框图一、算法与程序框图1．算法(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．2．程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．应用循环结构应注意的三个问题①确定循环变量和初始值；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的终止条件．基础自测1．阅读如图11－1－1的程序框图，若输入x ＝2，则输出的y 值为( )图11－1－1A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ∵2＞0，∴y ＝2×2－3＝1. 【答案】 B2．阅读如图11－1－2所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )图11－1－2A ．3B ．4C ．5D ．6第十一章 算法初步、推理证明、复数【解析】 试将程序分步运行：第一次循环：S ＝11－2＝－1，n ＝2；第二次循环：S ＝11－(－1)＝12，n ＝3；第三次循环：S ＝11－12＝2，n ＝4.【答案】 B3．如图11－1－3所示的程序框图输出的S 是126，则①应为()图11－1－3A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?【解析】 2＋22＋ (2)＝2(1－2n)1－2＝126，∴n ＝6，∴应填入n ≤6? 【答案】 B考点一 利用程序框图求值例 (1)(2013·安徽高考)如图11－1－4所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()图11－1－4A.16B.2524C.34D.1112(2)(2014·山东卷) 执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 .【答案】3 【解析】根据判断条件0342≤+-x x ，得31≤≤x 输入1=x第一次判断后循环，11,21=+==+=n n x x 第二次判断后循环，21,31=+==+=n n x x 第三次判断后循环，31,41=+==+=n n x x方法与技巧 1.对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支.2.利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二准确表示累计变量；第三要注意从哪一步开始循环.跟踪练习 (1)(2013·北京高考)图11－1－6执行如图11－1－6所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．1 B.23 C.1321 D.610987 (2)(2013·浙江高考)若某程序框图如图11－1－7所示，则该程序运行后输出的值等于__________．图11－1－7【解析】 (1)当i ＝0，S ＝1时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝23，i ＝i ＋1＝1；当i ＝1，S ＝23时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝1321，i ＝i ＋1＝2.由于此时i ≥2是成立的，因此输出S ＝1321. (2)方法一：根据程序框图可知，当k ＝1时，S ＝1＋11×2＝32；当k ＝2时，S ＝32＋12×3＝53；当k ＝3时，S ＝53＋13×4＝74；当k ＝4时，S ＝74＋14×5＝95；此时k ＝5>4，所以S ＝95. 方法二：根据程序框图可知，S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1k (k ＋1)＝1＋1－12＋12－13＋…＋1k －1k ＋1＝1＋1－1k ＋1＝2－1k ＋1，当k ＝4时，S ＝2－14＋1＝95.当k ＝5>4时，输出S ＝95.【答案】 (1)C (2)95考点二 程序框图的补充与完善例 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，利用如图11－1－8所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是( )图11－1－8A ．n ＞10B ．n ≤10C ．n ＜9D ．n ≤9 【思路点拨】 本程序框图为“当型”循环结构，故判断框内为满足循环的条件．【尝试解答】 第1次循环，m ＝1＋1＝2 n ＝1＋1＝2 第2次循环，m ＝2＋2＝4 n ＝2＋1＝3 …当执行第10项时，n ＝11 n 的值为执行之后加1的值， 所以，判断条件应为进入之前的值 故答案为：n ≤9或n ＜10. 故选D.【答案】 D方法与技巧 1.熟悉框图的结构与功能是解决此类问题的关键. 2.解答此题可以采用类比归纳的方式求解，如通过计算该数列的第1项，第2项，第3项，探寻n 与a n 的关系，从而得出正确答案.跟踪练习 (2013·江西高考)阅读如下程序框图11－1－9，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是()图11－1－9A ．S <8B ．S <9C ．S <10D ．S <11【解析】 根据程序框图，i ＝2，S ＝2×2＋1＝5，不满足条件；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8，不满足条件；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时输出i ＝4，所以填S <9.【答案】 B考点三 基本算法语句例 运行如下所示的程序，输出的结果是________． a ＝1b ＝2a ＝a ＋b PRINT a END【思路点拨】 分析各语句的结构及含义，运行算法程序，确定输出结果．【尝试解答】 a ＝1，b ＝2，a ＝a ＋b ＝1＋2＝3，∴输出的结果为3.【答案】 3方法与技巧 1.本题主要考查程序框图中的赋值语句，输出语句.要注意赋值语句一般格式中的“＝”不同于等式中的“＝”，其实质是计算“＝”右边表达式的值，并将该值赋给“＝”左边的变量.,2.解决此类问题关键要理解各语句的含义，以及基本算法语句与算法结构的对应关系.跟踪练习运行如下所示的程序，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为________．INPUT a，bIF a＞b THENm＝aELSEm＝bEND IFPRINT m【解析】∵a＝2，b＝3，∴a＜b，应把b值赋给m，∴m的值为3.【答案】3第二部分数系的扩充与复数的引入一、复数的有关概念1．定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部．(i为虚数单位)23. ⇔a＝c，b＝d()．4．共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d ∈R)．→的长度叫做复数z＝a＋b i的模，记作|a＋b i|或|z|，5．模：向量OZ即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2(a，b∈R)．二、复数的几何意义→＝(a，b)(a，复数z＝a＋b i与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZb∈R)是一一对应关系．三、复数的运算1．运算法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R图11－4－12．几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图11－4－1给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ2→－OZ 1→. 基础自测1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【解析】 ∵A (6,5)，B (－2,3)，∴线段AB 的中点C (2,4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i. 【答案】 C2．复数i1＋2i (i 是虚数单位)的实部是( )A.25 B ．－25 C.15 D ．－15【解析】 i1＋2i ＝i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋i 5＝25＋15i ，故选A.【答案】 A3．若z ＝1＋2ii ，则复数z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i【解析】 ∵z ＝1＋2i i ＝(1＋2i )i －1＝2－i ，∴z ＝2＋i.【答案】 D4．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1【解析】 (a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，故应有a ＝1，b ＝－1. 【答案】 D5．(2013·山东高考理)复数z ＝(2－i )2i (i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．25 B.41 C ．5 D. 5 【解析】 z ＝(2－i )2i ＝4－4i ＋i 2i ＝3－4ii ＝－4－3i ， ∴|z |＝(－4)2＋(－3)2＝25＝5. 【答案】 C6．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解析】 因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.【答案】 D考点一 复数的有关概念例 (1)(2013·陕西高考)设z 是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2<0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2<0(2)(2012·课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2； p 2： z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ； p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4【思路点拨】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，结合选项逐一判断． (2)把复数z 化成m ＋n i(m ，n ∈R )的形式，然后根据复数的相关概念判断命题是否正确．【尝试解答】 (1)设z ＝a ＋b i(a ， b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎨⎧ ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确． 选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0， 则⎩⎨⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎨⎧ a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ， 由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧ a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．(2)∵z ＝2－1＋i＝－1－i ， ∴|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴p 1是假命题；∵z 2＝ (－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题；∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题；∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题．其中的真命题共有2个：p 2，p 4.【答案】 (1)C (2)C方法与技巧 1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可.2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解.跟踪练习 (2007山东)．复数43i 1+2i+的实部是（ ）A ．2-B ．2C ．3D ．4【答案】:B 【分析】：将原式(43)(12)25(12)(12)i i i i i +-=-+-，所以复数的实部为2。