向量的点积与叉积

空间向量的运算法则
空间向量的运算法则包括向量的加法、减法、数乘、点积和叉积。

1. 向量的加法：
对于两个向量 A 和 B，它们的和向量记作 A + B，其运算法则为：
(A1, A2, A3) + (B1, B2, B3) = (A1 + B1, A2 + B2, A3 + B3)
2. 向量的减法：
对于两个向量 A 和 B，它们的差向量记作 A - B，其运算法则为：
(A1, A2, A3) - (B1, B2, B3) = (A1 - B1, A2 - B2, A3 - B3)
3. 数乘：
对于一个向量 A 和一个实数 k，其数乘结果记作 kA，其运算法则为：
k(A1, A2, A3) = (kA1, kA2, kA3)
4. 点积（内积）：
对于两个向量 A 和 B，它们的点积结果记作 A · B，其运算法则为：
A ·
B = A1 * B1 + A2 * B2 + A3 * B3
5. 叉积（外积）：
对于两个向量 A 和 B，它们的叉积结果记作 A × B，其运算法则为：
A ×
B = (A2 * B3 - A3 * B2, A3 * B1 - A1 * B3, A1 * B2 - A2 * B1)
这些运算法则是空间向量的基本运算法则，通过这些运算法则可以进行空间向量的各种运算。

概念向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式对于向量a和向量b：a和b的点积公式为：要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式：推导过程如下，首先看一下向量组成：定义向量：根据三角形余弦定理有：根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：即：向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。

从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间a·b=0 正交，相互垂直a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间叉乘公式两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。

并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：a和b的叉乘公式为：其中：根据i、j、k间关系，有：叉乘几何意义在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。

如下图所示：在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

向量的四则运算、点积、叉积、正交基向量是数学中的重要概念，它可以表示空间中的点、力、速度等物理量。

向量的运算包括四则运算、点积和叉积，而正交基是向量空间中的一组基底，具有特殊的性质。

本文将依次介绍这些概念及其应用。

1. 四则运算向量的四则运算包括加法、减法、数乘和除法。

对于两个向量的加法，可以将它们的对应分量相加得到新的向量。

减法与加法类似，只需将对应分量相减。

数乘是将一个向量的每个分量都乘以一个常数，得到一个新的向量。

除法则是将一个向量的每个分量都除以一个常数，得到一个新的向量。

2. 点积点积，也称为内积或数量积，是两个向量之间的运算。

点积的结果是一个标量（即一个实数），表示两个向量之间的夹角和长度关系。

点积的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，然后将乘积相加。

点积有以下性质：- 对于两个向量a和b，它们的点积满足交换律，即a·b = b·a。

- 如果a·b = 0，那么向量a和b是正交的（垂直的）。

- 如果a·b > 0，那么向量a和b的夹角是锐角。

- 如果a·b < 0，那么向量a和b的夹角是钝角。

点积在物理学中有广泛的应用，比如计算两个力的功、求解向量的投影等。

3. 叉积叉积，也称为外积或向量积，是两个向量之间的运算。

叉积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量，并且长度与两个向量的长度乘积和它们夹角的正弦值成正比。

叉积的计算方法是通过行列式的方式得到。

叉积也有一些特殊性质：- 对于两个向量a和b，它们的叉积满足反交换律，即a×b = -b×a。

- 叉积满足分配律，即a×(b+c) = a×b + a×c。

叉积在物理学和几何学中有重要的应用，比如计算力矩、求解平面的法向量等。

4. 正交基正交基是向量空间中的一组基底，具有特殊的性质。

如果一组向量中的任意两个向量都是正交的（垂直的），并且每个向量的长度都是1，则称这组向量是正交基。

⾼数学习笔记之向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及⼏何意义0x00 概述在机器学习的过程中，需要了解向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及⼏何意义。

0x01 向量的内积（点乘）1.1 定义概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。

对两个向量执⾏点乘运算，就是对这两个向量对应位⼀⼀相乘之后求和的操作，如下所⽰，对于向量a和向量b：a和b的点积公式为：这⾥要求⼀维向量a和向量b的⾏列数相同。

注意：点乘的结果是⼀个标量(数量⽽不是向量)定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是⾮零向量，则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。

1.2 向量内积的性质'''1. a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. （正定性）2. a·b = b·a. （对称性）3. (λa + µb)·c = λa·c + µb·c，对任意实数λ, µ成⽴. （线性）4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).5. |a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成⽴.'''1.3 向量内积的⼏何意义内积（点乘）的⼏何意义包括：'''1. 表征或计算两个向量之间的夹⾓2. b向量在a向量⽅向上的投影'''有公式：推导过程如下，⾸先看⼀下向量组成：定义向量c：根据三⾓形余弦定理（这⾥a、b、c均为向量，下同）有：根据关系c=a-b有：即：a·b=|a||b|cos(θ)向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从⽽有a和b间的夹⾓θ：θ=arccos(a·b|a||b|)进⽽可以进⼀步判断两个向量是否同⼀⽅向或正交(即垂直)等⽅向关系，具体对应关系为：'''a·b>0→⽅向基本相同，夹⾓在0°到90°之间a·b=0→正交，相互垂直a·b<0→⽅向基本相反，夹⾓在90°到180°之间'''0x02 向量的外积（叉乘）2.1 定义概括地说，两个向量的外积，⼜叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是⼀个向量⽽不是⼀个标量。

向量的点积和叉积向量的点积和叉积向量是学习线性代数和几何代数不可或缺的基本概念。

向量的运算主要包括加法、数乘、点积和叉积等。

在本文中，我们将探讨向量的点积和叉积。

向量的点积向量的点积（英文名称：dot product），又称内积、数量积、点乘等，是向量运算中的一种二元运算，将两个向量a、b的数量相乘再求和的值，公式表示为：a·b=|a||b|cosθ。

其中，|a|和|b|分别代表两向量的模长，θ表示两向量之间夹角。

从几何上看，点积在两个向量之间产生的结果可以表示为：a·b=|a||b|cosθ，a·b的结果大小为向量a在向量b的投影与向量b的模长的乘积。

下面我们来看一下向量的点积如何计算。

例如，有两个向量a=[2, 3]和b=[4, 5]，它们的点积计算公式为：a·b=2×4+3×5=23。

这里需要注意的是，两向量之间的夹角θ要满足一定条件才能进行点积的计算。

具体来说，两向量必须处于同一平面，并且夹角θ范围在0到180度之间。

向量的点积具有一些有用的性质。

性质1：点积的交换律。

即a·b=b·a。

性质2：点积在数乘运算下是可满足的。

即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)，其中k为任意实数。

性质3：如果向量a·b=0，则向量a与向量b垂直。

性质4：如果向量a·b>0，则向量a与向量b的夹角小于90度。

性质5：如果向量a·b<0，则向量a与向量b的夹角大于90度。

这些性质在向量的点积运算中是非常有用的。

根据点积的性质，我们可以计算夹角、判断向量之间的垂直和平行关系等。

向量的叉积向量的叉积（英文名称：cross product），又称向量积、外积等，是向量运算中的一种二元运算，用于求两个向量所在平面与这个平面垂直的向量。

通常用×表示，公式表示为：a×b=|a||b|sinθn。

向量乘积公式在数学中，向量乘积是一种常见的运算。

它可以描述两个向量之间的相互关系，并且在几何学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍向量乘积的定义、性质以及一些常见的应用。

1. 向量乘积的定义向量乘积是指两个向量相乘得到的结果。

在三维空间中，有两种常见的向量乘积：点积和叉积。

1.1 点积点积又称为数量积或内积，它的定义如下：对于两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，它们的点积表示为a·b，计算公式如下：a·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3点积的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角的余弦值与它们的模的乘积。

1.2 叉积叉积又称为向量积或外积，它的定义如下：对于两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，它们的叉积表示为a×b，计算公式如下：a×b = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)叉积的结果是一个向量，其方向垂直于a和b所张成的平面，大小等于该平面的面积乘以a和b之间夹角的正弦值。

2. 向量乘积的性质向量乘积具有一些重要的性质，这些性质为我们在实际问题中应用向量乘积提供了方便。

2.1 点积的性质点积具有以下性质：- a·b = b·a（交换律）- a·(b+c) = a·b + a·c（分配律）- (ka)·b = k(a·b)（标量乘法结合律）- a·a = ||a||^2（模的平方）其中，a、b和c为向量，k为标量，||a||表示向量a的模。

2.2 叉积的性质叉积具有以下性质：- a×b = -b×a（反交换律）- a×(b+c) = a×b + a×c（分配律）- (ka)×b = k(a×b)（标量乘法结合律）- a×a = 0（零向量）其中，a、b和c为向量，k为标量，0为零向量。

向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及⼏何意义向量的内积（点乘）定义概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。

对两个向量执⾏点乘运算，就是对这两个向量对应位⼀⼀相乘之后求和的操作，如下所⽰，对于向量a和向量b：a和b的点积公式为：这⾥要求⼀维向量a和向量b的⾏列数相同。

注意：点乘的结果是⼀个标量(数量⽽不是向量)定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是⾮零向量，则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。

向量内积的性质：a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. （正定性）a·b = b·a. （对称性）(λa + µb)·c = λa·c + µb·c，对任意实数λ, µ成⽴. （线性）cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).|a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成⽴.向量内积的⼏何意义内积（点乘）的⼏何意义包括：表征或计算两个向量之间的夹⾓b向量在a向量⽅向上的投影有公式：推导过程如下，⾸先看⼀下向量组成：定义向量c：根据三⾓形余弦定理（这⾥a、b、c均为向量，下同）有：根据关系c=a-b有：即：向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从⽽有a和b间的夹⾓θ：进⽽可以进⼀步判断两个向量是否同⼀⽅向或正交(即垂直)等⽅向关系，具体对应关系为：向量的外积（叉乘）定义概括地说，两个向量的外积，⼜叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是⼀个向量⽽不是⼀个标量。

并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平⾯垂直。

定义：向量a与b的外积a×b是⼀个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其⽅向正交于a与b。

并且，(a,b,a×b)构成右⼿系。

概念向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，确实是对这两个向量对应位一一相乘以后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式关于向量a和向量b：a和b的点积公式为：要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义点乘的几何意义是能够用来表征或计算两个向量之间的夹角，和在b向量在a向量方向上的投影，有公式：推导进程如下，第一看一下向量组成：概念向量：依照三角形余弦定理有：依照关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：即：向量a，b的长度都是能够计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：依照那个公式就能够够计算向量a和向量b之间的夹角。

从而就能够够进一步判定这两个向量是不是是同一方向，是不是正交(也确实是垂直)等方向关系，具体对应关系为：a·b>0 方向大体相同，夹角在0°到90°之间a·b=0 正交，彼此垂直a·b<0 方向大体相反，夹角在90°到180°之间叉乘公式两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。

而且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

关于向量a和向量b：a和b的叉乘公式为：其中：依照i、j、k间关系，有：叉乘几何意义在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量组成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念超级有效，能够通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。

如下图所示：在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义确实是：aXb等于由向量a和向量b组成的平行四边形的面积。

两向量相乘的坐标公式两个向量的坐标乘积可以通过向量的坐标分量进行运算得到。

设有两个向量A和B，其坐标分量分别为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。

向量的坐标乘积可以分为两种情况：点积和叉积。

1.点积（也称为内积、数量积）点积用⋅表示，结果是一个标量。

两个向量A和B的点积公式为：A⋅B=a1b1+a2b2+a3b3点积的几何意义是A向量在B向量方向上的投影和B向量的模长的乘积。

可以用以下公式计算投影长度：Proj(A, B) = (A⋅B) / ，B其中Proj(A, B)是A在B方向上的投影，B，是向量B的模长。

2.叉积（也称为外积、向量积）叉积用×表示，结果是一个向量。

两个向量A和B的叉积公式为：A×B=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)叉积的几何意义是一个新向量，其方向垂直于原来的两个向量。

这个新向量的模长等于以A和B为两边的平行四边形的面积。

叉积的模长可以用以下公式计算：A×B， = ，A，，B，sinθ其中θ是A和B的夹角，A×B，是向量A×B的模长，A，和，B，是向量A和B的模长。

另外，还有一种情况下的乘积，即混合积。

对于三个向量A、B和C，混合积的计算公式为：(A×B)⋅C=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)⋅C=a2b3c1-a3b2c1+a3b1c2-a1b3c2+a1b2c3-a2b1c3混合积的几何意义是以A、B和C为三个相邻棱的平行六面体的体积。

混合积的结果是一个标量。

点积和叉积在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

点积可以用于计算向量之间的夹角、向量的投影以及求解直线和平面间的关系。

叉积可以用于计算向量的法向量、计算平行四边形的面积以及求解直线和平面的交点等。

总结：-点积：A⋅B=a1b1+a2b2+a3b3，结果标量，几何意义为投影长度。