2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期4.7、相似三角形的性质学案1

4.7 相似三角形性质第1课时 相似三角形性质定理(一)理解相似三角形对应高比、对应角平分线比和对应中线比与相似比关系，会运用它求相关线段长．(重点)阅读教材P106～107，自学“想一想”、“议一议”与“例1”，完成下列内容： (一)知识探究相似三角形对应高比、对应角平分线比、对应中线比都等于________． (二)自学反馈如图，已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD ⊥BC 于D ，A ′D ′⊥B ′C ′于D ′.(1)你能发现图中还有其他相似三角形吗？(2)△ABC 与△A ′B ′C ′对应中线比、对应高比、对应角平分线比都等于________．活动1 小组讨论例 如图，AD 是△ABC 高，AD ＝h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为E.当SR ＝12BC 时，求DE 长，如果SR ＝13BC 呢？解：∵SR ⊥AD ，BC ⊥AD ， ∴SR ∥BC.∴∠ASR ＝∠B ，∠ARS ＝∠C.∴△ASR ∽△ABC(两角分别相等两个三角形相似)． ∴AE AD ＝SRBC (相似三角形对应高比等于相似比)， 即AD －DE AD ＝SRBC. 当SR ＝12BC 时，得h －DE h ＝12.解得DE ＝12h.当SR ＝13BC 时，得h －DE h ＝13.解得DE ＝23h.活动2 跟踪训练1．如果两个相似三角形对应中线比为8∶9，则它们相似比为( )A ．8∶9B ．9∶8C ．64∶81D ．22∶32．已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为2∶3，则△ABC 与△DEF 对应高之比为( ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．4∶9 D ．9∶43．如图，电灯P 在横杆AB 正上方，AB 在灯光下影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2 m ，CD ＝5 m ，点P 到CD 距离是3 m ，则点P 到AB 距离是( ) A.56 m B.67 mC.65 mD.103m4．如图，DE ∥BC ，则△________∽△________.若AD ＝3，BD ＝2，AF ⊥BC ，交DE 于点G ，则AG ∶AF ＝________∶________，△AGE ∽△________，它们相似比为________5．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB ＝2 cm ，A ′B ′＝113cm ，则它们对应角平分线比为________．6．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 、A ′D ′分别是△ABC 、△A ′B ′C ′高，AD ∶A ′D ′＝3∶4，△A ′B ′C ′一条中线B ′E ′＝16 cm ，则△ABC 中线BE ＝________cm. 活动3 课堂小结相似三角形性质定理1：相似三角形对应高比、对应角平分线比、对应中线比都等于相似比．【预习导学】 (一)知识探究 相似比(二)自学反馈(1)△ABD ∽△A ′B ′D ′，△ADC ∽△A ′D ′C ′. (2)k 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．A 2.A 3.C 4.ADE ABC 3 5 AFC 3∶5 5.3∶2 6．12第2课时 相似三角形性质定理(二)理解相似三角形周长比、面积比与相似比关系，并会运用它解决相关问题．(重点)阅读教材P109～110，自学“例2”，完成下列内容： (一)知识探究相似三角形周长比等于________，面积比等于__________． (二)自学反馈如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD ⊥BC 于D ，A ′D ′⊥B ′C ′于D ′.(1)你能发现图中还有其他相似三角形吗？(2)△ABC 与△A ′B ′C ′中，C △ABCC △A ′B ′C ′＝________，S △ABCS △A ′B ′C ′＝________.在运用相似三角形性质时，要注意周长比与面积比之间区别，不要混为一谈，另外面积比等于相似比平方，反过来相似比等于面积比算术平方根．活动1 小组讨论例 如图，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，△ABC 与△DEF 重叠部分(图中阴影部分)面积是△ABC 面积一半，已知BC ＝2，求△ABC 平移距离．解：根据题意，可知EG ∥AB. ∴∠GEC ＝∠B ，∠EGC ＝∠A.∴△GEC ∽△ABC(两角分别相等两个三角形相似)． ∴S △GECS △ABC ＝(EC BC )2＝EC2BC2(相似三角形面积比等于相似比平方)， 即12＝EC222. ∴EC 2＝2.∴EC ＝ 2.∴BE ＝BC －EC ＝2－2， 即△ABC 平移距离为2－ 2. 活动2 跟踪训练1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB A ′B ′＝12，则S △ABC ：S △A ′B ′C ′＝( )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶12．已知，△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 面积之比为1∶2，若BC ＝1，则对应边EF 长是( ) A. 2 B ．2 C ．3 D ．43．设两个相似多边形周长比是3∶4，它们面积差为70，那么较小多边形面积是( ) A ．80 B ．90 C ．100 D ．1204．若两个相似三角形周长比为2∶3，则它们面积比是________． 5．如图，在正方形ABCD 中，F 是AD 中点，BF 与AC 交于点G ，则△FGA 与△BGC 面积之比是________．6．已知△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，△ABC 周长是12 cm ，面积是30 cm 2.(1)求△DEF 周长； (2)求△DEF 面积． 活动3 课堂小结相似三角形性质定理2：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比平方．【预习导学】 (一)知识探究相似比 相似比平方 (二)自学反馈(1)△ABD ∽△A ′B ′D ′，△ADC ∽△A ′D ′C ′.(2)k k 2【合作探究】 活动2 跟踪训练1．C 2.A 3.B 4.4∶9 5.1∶46．(1)∵DE AB ＝23，∴△DEF 周长＝12×23＝8(cm)．(2)∵DE AB ＝23，∴△DEF 面积＝30×(23)2＝1313(cm 2)．。

新北师大版九年级数学上册4.7.1相似三角形的性质（1）导学案学 习 目 标1、学会应用相似三角形的性质：对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似比，而面积比等于相似比的平方。

2、能用来解决简单的实际问题。

重点：相似三角形的性质 难点：相似三角形性质的运用【学习过程】1、本节主要知识点：相似三角形的性质 （1） 相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2） 相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比； （3） 相似三角形周长比等于相似比；（4） 相似三角形面积比等于相似比的平方。

2、自主学习例1：钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图1，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.（1）B A AB '',C B BC '',C A AC ''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.（3）请你在图1中再找出一对相似三角形.（4）DC CD''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC''=_________. （2）△ABC ∽△A ′B ′C ′ 备注（教师复备栏及学生笔记）备注（教师复备栏及学生笔记） ∵_______=_______=_______∴△ABC ∽△A ′B ′C ′( )，且相似比为___________. （3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（或△ADC ∽△A ′D ′C ′）∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得∠______=∠______ ∵∠________=∠________=_____°∴△BCD ∽△B ′C ′D ′( )（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′） （4）∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴D C CD''= ________=________.小结1: 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的__________，那么D C CD ''=CB BC''=k . 3．知识拓展： 求证1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''= C A AC ''=k . 图2求证2：如图3中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''= C A AC''=k .备注（教师复备栏及学生笔装订线图3我们发现：相似三角形 的比， 的比， 的比都等于相似比例2：如图4所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR⊥AD,垂足为E .当SR=21BC 时，求DE 的长，如果SR =31BC 呢？三、达标测评：1．△ACD ∽△A ′C ′D ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知23，，CA AC ，B ′D ′记备注（教师复备栏及学生笔记=4cm ，求BD 的长。

课题：4.7.1相似三角形的性质教学目标：1．经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质．2．培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质．3．利用相似三角形的性质解决一些实际问题，在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性．教学重点与难点：重点：相似三角形中对应线段比值的推导及运用相似三角形的性质解决实际问题．难点：相似三角形的性质的运用．教学过程：一、巧设情景，引入新课在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.活动内容：在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.（1）试写出△ABC与△A′B′C′的对应边之间的关系，对应角之间的关系.（2）△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.（3）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？（4）据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？处理方式：以问题串的形式引导学生思考，学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充，教师适时点评．设计意图：从学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究.使学生明确相似比与对应高的比的关系,有利于激起学生的兴趣，感受了分类的必要性．二、提出问题，自主探索我们利用相似的判定与基本性质得到了相似三角形中一种特殊线段的关系，即对应高的比等于相似比，相似三角形中除了高是特殊线段，还有哪些特殊线段？它们也具有特殊关系吗？下面让我们一起探究活动内容1：如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠BAC ，A′D′平分∠B′A ′C ′；E 、E′分别为BC 、B′C′的中点.试探究AD 与 A /D /的比值关系，AE 与A′E′呢？处理方式：通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，在导学案上至少证明其中一个结论,完成后再展示说明，学生之间互相补充，教师适时点评．解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴///BAC B A C ∠=∠ ，∠B =∠B ′，//AB A B =k ． ∵AD 平分∠BAC ，A ′D ′平分∠B ′A ′C ′，∴///BAD B A D ∠=∠．∴△BAD ∽△B ′A ′D ′（两个角分别相等的两个三角形相似） ∴AB BD AD k A B B D A D ===''''''， 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴ ∠B =∠B ′，//AB BC k A B B C ==''． ∵E 、E′分别为BC 、B′C′的中点， ∴////11,22BE BC B E B C ==． ∴//BE BC B E B C =''． ∵//AB BC k A B B C ==''， ∴//AB BE k A B B E ==''． A B C D E A / / C / D / E∵∠B =∠B ′，∴△BAE ∽△B ′A ′E ′．（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ∴//AB BE AE k A B BE A E ===''''． 设计意图：通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生的类比的思维能力，与归纳总结能力.活动内容2：我们已经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n 等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n 等分线，那么它们也具有特殊关系吗？下面请同学们独立探索以下问题：处理方式：学生能够根据二等分的证明过程很顺利地完成探究活动，并能够通过类比的思想总结出相关结论. 相似三角形对应角的n 等分线的比和对应边的n 等分线的比等于相似比.让学生在导学案上完成后再展示说明（1）解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ，∴///BAC B A C ∠=∠，∠B =∠B ′， //AB A B =k ． ∵//////11,33BAD BAC B A D B A C ∠=∠∠=∠， ∴///BAD B A D ∠=∠．∴△BAD ∽△B ′A ′D ′（两个角分别相等的两个三角形相似）∴//AB A B =//BD B D =//AD A D =k ．（2）解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴ ∠B =∠B ′，//AB A B =//BC B C =k ． ,;11,,3311(2),,33ABC A B C ABC A B C k D E BC D E B C AD BAD BAC B A D B A C A D AE BE BC B E B C A E ''''''''''''''''∠=∠∠=∠''''''==''V V V V 如图，已知∽与的相似比为、在边上，、在边上.(1)若则等于多少？若则等于多少？(3)你还能提出哪些问题，与同伴交流.∵////11,33BE BC B E B C ==， ∴//BE B E =//BC B C ． ∵//AB A B =//BC B C =k ， ∴//AB A B =//BE B E =k ． ∵∠B =∠B ′，∴△BAE ∽△B ′A ′E ′（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）∴//AB A B =//BE B E =//AE A E =k ． 设计意图：通过比较培养了学生观察、思考、类比、判断能力．亲身体会了数学与生活密切关系．有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质. 三、学以致用，尝试成功活动内容：多媒体展示如图4-32，AD 是△ABC 的高，AD=h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ,垂足为E.当12SR BC =时，求DE 的长，如果13SR BC =呢？ 处理方式：找两名学生板演，其他同学在练习本上完成，教师巡视学生并辅导，做完后教师展示出答案先，由学生独立发现若有困难，可分组讨论交流．设计意图：使学生能用相似三角形对应高的比等于相似比的性质来解决生活与生产中的实际问题.增强学生运用前面所学解决问题，培养学生能发现问题和解决问题的能力. ,,,.(().111222112333SR AD BC AD SR BC ASR B ARS C ASR ABC AE SR AD BCAD DE SR AD BC h DE SR BC DE h h h DE SR BC DE h h ⊥⊥∴∴∠=∠∠=∠∴∴=-=-==-==Q P V V 解：∽两角对应相等的两个三角形相似）相似三角形对应高的比等于相似比即当时，得=,解得.当时，得=,解得.四、巩固提升，展示自我1. △ABC∽△A′B′C′， AD和A′D′是它们的对应角平分线．已知AD=8cm，A′D′=3cm求△ABC与△A′B′C对应高的比.2．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm.他准备了一只长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应该放在距离纸筒多远的地方？3．如图，在△ABC 中，AB=5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B，DE=2，求AD、BC的值.4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB=∠CBD，已知AB=4，AC=6，BC=5，BD=5.5，求DE的长.处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：分层设练，使学生知识、技能螺旋式的上升，也是一种思维与能力的训练．要求学生能用相似三角形对应高的比等于相似比的性质来解决生活与生产中的实际问题.增强学生的应用意识.五、总结概括，整理知识教师指导学生总结本节课所学基本内容和存在疑惑点，建议学生积极发言，教师了解学生的掌握情况及存在问题.1.本节课有哪些收获？2.学习本节课后，还有哪些疑惑？处理方式：由学生进行课堂小结；⑴相似三角形的性质: 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比；⑵相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比；设计意图：让学生梳理所学知识点，以形成完整知识结构，培养归纳概括能力和语言表达能力．评价自己的学习表现，有利于学生看到自己的优点和不足，以及今后改正的方向，同时也有助于学习习惯的培养．六、达标测试，反馈纠正A组：1．两个相似三角形的相似比为12，则对应高的比为______，则对应中线的比_____.2.相似三角形对应边的比为2∶3，那么对应角的角平分线的比为______.3．两个相似三角形对应中线的比为14，则对应高的比为______.B组：4．如图△ABC∽△A′B′C′，对应中线AD=6cm，A′D′=10cm，若BC=4.2cm，求B′C′的长.处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：分层设练，使学生知识、技能螺旋式的上升，也是一种思维与能力的训练．七、布置作业，落实目标课本P107 习题第1题．板书设计：§4.7 相似三角形的性质（1）定理例1：学生板演区。

4.7相似三角形的性质（一）导学案学习目标：1.探索相似三角形中对应线段的比值与相似比的关系2.能够正确地运用相似三角形的性质学习重点：相似三角形的性质一及应用。

学习难点：1.探索相似三角形性质一的过程.2.正确应用相似三角形的性质一解决问题.学习环节：学习准备—探究新知—应用新知—反思小结—达标检测—拓展延伸学习过程一、学习准备复习回顾：问题1 ：什么叫做相似三角形？问题2：我们要判别两个三角形是否相似除了用定义去判别，还有哪些方法呢？问题3：相似三角形的基本性质∵ △ABC ∽△A ′B ′C ′∴问题4 ：什么是相似比？二、探究新知探究活动一如图：△ ABC ∽△ A ′B ′C ′相似比为1：2，AD 是BC 上高， A ′D ′是B ′C ′上高。

问：''D A AD 是多少？思考：相似比为K ，AD:A'D'的值会是多少呢？证明：归纳：相似三角形的对应高之比等于探究活动二△ ABC ∽△ A'B'C'相似比为K ， △ ABC ∽△ A'B'C'相似比为K ，AD 是∠BAC 的角平分线， AE 是BC 边上的中线，A'D'是∠B'A'C'的角平分线。

A'E'是B'C' 边上的中线。

''D A AD 是多少？ ''E A AE 是多少？归纳：相似三角形的对应中线之比等于归纳：相似三角形对应角的角平分线之比归纳总结：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于即时练习1．（2017•重庆）若△ABC ～△DEF ，相似比为3：2，则对应高的比为（ ）A ．3：2B ．3：5C ．9：4D ．4：92.（2016•兰州）已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为（ ）A. B ． C ． D ．3.（2016•重庆模拟）已知△ABC ∽△DEF ，且AB=2,DE=3，则△ABC 与△DEF 对应的角平分线之比为（ ） A ．2：3 B ．3：2 C ．4：9 D ．9：4三、应用新知例1：如图4--32，AD 是△ABC 的高，AD=h,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为 E.当SR= BC 时，求DE 的长。

北师大版数学九年级上 4.7 相似三角形的性质（1）教学设计探究：如图所示，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和C’D’ 分别是它们的立柱.（1）△ACD与△A’C’D’ 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.（2）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？解：（1）△ACD∽△A’C’D’，理由如下：∵ACA’C’=BCB’C’=ABA’B’=12，∴△ABC∽△A’B’C’.∴∠A =∠A’ ∵∠ADC =∠A’ D’ C’ ∴ △ACD ∽△A’C’D’ ∴ CDC’D’=ACA’C’=12.（2）∵CDC’D’=12，CD =1.5cm ， ∴ CD =2 C’D’ =2 ×1.5=3（cm ） 答：模型房的房梁立柱高为3cm.想一想：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′ 的相似比为 k ，它们对应高的比是多少？解：∵△ABC ∽△A’B’C’ ∴∠A =∠A’，ACA’C’=k ∵∠ADC =∠A’D’C’=90° ∴ △ACD ∽△A’C’D’ ∴CDC’D’=ACA’C’=k .结论1：相似三角形对应高的比等于相似比.想一想：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′ 的相似比为 k ，它们对应角平分线的比是多少？解：∵△ABC ∽△A’B’C’ ∴∠ACB =∠A’C’B’ ， ∠A =∠A’∵CD 与C’D’ 分别为△ABC 与△A ′B ′C ′ 的角平分线， ∴∠ACD =∠A’C’D’ ∴ △ACD ∽△A’C’D’ ∴CDC’D’=ACA’C’=k .结论2：相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 想一想：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′ 的相似比为 k ，它们对应中线的比吗？学生证明，并说出理由.学生证明，并说出理由.学生证明，并说出理由.理解相似三角形对应高的比等于相似比 理解相似三角形对应角平分线的比等于相似比 理解相似三角形对应中线的比等于相似比解：∵△ABC ∽△A’B’C’ ∴∠A =∠A’ ，AC A’C’=ABA’B’∵CD 与C’D’ 分别为△ABC 与△A ′B ′C ′ 的中线， ∴AD =12AB ，A’D’=12A’B’∴AC A’C’=AD A’D’∴ △ACD ∽△A’C’D’ ∴CD C’D’=ACA’C’=k .结论3：相似三角形对应中线的比等于相似比.归纳：相似三角形的性质（1）：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.议一议：如图,已知△ABC ∽ △ A ' B ' C', △ ABC 与△ A ' B ' C ' 的相似比为k.（1）若∠BAD =13∠BAC ,∠B'A'D'=13∠B'A'C',则AD A’D’等于多少？ 答：AD A’D’=k（2）若BE =13BC,B'E'=13B'C',则AEA’E’ 等于多少？ 答：AE A’E’=k（3）你还能提出哪些问题？推论：相似三角形对应角的n 等分线的比,对应边的n 等分线的比都等于相似比.例：如图所示，AD 是△ABC 的高，AD ＝h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为E . 当SR ＝12BC 时，求DE 的长.如果SR ＝13BC 呢？解： ∵ SR ⊥AD ，BC ⊥AD ，师生共同归纳.学生认真思考、探究，并班内交流.学生积极思考、讨论并完成证明，然后主动展示，并认真听老师点评..理解相似三角形的性质. 探究相似三角形的性质的推论 明确活动的目的、方法及所需工具 利用相似三角形的性质解决实际问题.1. 若△ABC∽△DEF，相似比为9：4，则△DEF与△ABC 对应中线的比为（）A．9：4 B．4：9 C．81：16 D．3：2答案：B2．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′ 分别是△A′B′C′ 的高和中线，且AD ＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′ 的长为( )A.1.5B.2.5C.3.5D.4.5答案：D如图，两根电线杆相距1m，分别在高10 m的A处和15 m的C处用钢索将两杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH.解：由题意知AB//CD，∴∠MAB＝∠MDC，∠MBA＝∠MCD，∴△ABM∽△DCM.∴BH∶DH＝AB∶CD＝10∶15＝2∶3.又∵MH//AB，∴∠DMH＝∠DAB，∠DHM＝∠DBA，∴△MHD∽△ABD，∴MH∶AB＝DH∶BD.下面让我们一起赏析一道中考题：（2019•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E，若AC=8，BC=6，则线段DE的长度为______．答案：15 4说一说：相似三角形的性质.。

4.7相似三角形的性质第1课时相似三角形对应线段的比【学习目标】1．理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．2．能利用相似三角形的性质解决一些实际问题．【学习重点】相似三角形性质定理的探索及应用．【学习难点】相似三角形的性质与判定的综合应用．一、情景导入生成问题1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？3．相似三角形的判定方法有哪些？4．根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？5．相似三角形还有其他的性质吗？本节我们就来探索相似三角形的其他性质．二、自学互研生成能力知识模块一探索相似三角形对应线段的比页的内容，然后完成下面的填空：先阅读教材P106－1071．相似多边形对应边的比叫做相似比．2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．3．相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比．1．如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴AB∶A′B′＝AD∶A′D′＝k.归纳结论：相似三角形对应高的比等于相似比．2．△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线，AE、A′E′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AB∶A′B′＝k，那么AD与A′D′、AE与A′E′之间有怎样的关系？归纳结论：相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．知识模块二相似三角形性质的应用1．自学自研教材P107页的例1.2．完成教材P107页随堂练习第1题．答案：∵ACA′C′＝32＝BDB′D′，∴BD＝32B′D′＝32×4＝6(cm)．如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC＝60cm，AD＝40cm，四边形PQRS是正方形．(1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？(2)求正方形PQRS的边长．解：(1)△ASR∽△ABC.理由是：∵四边形PQRS是正方形，∴SR∥BC.∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C.∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)；(2)由(1)可知△ASR∽△ABC.∴AEAD＝SRBC(相似三角形对应高的比等于相似比)．设正方形PQRS的边长为xcm，则AE＝(40－x)cm.∴40－x40＝x60，解得x＝24.∴正方形PQRS的边长为24cm.对应练习：1．顺次连接三角形三边的中点，所构成的三角形与原三角形对应高的比是(C)A．1∶4B．1∶3C．1∶2D．1∶ 22．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD＝8cm，A′D′＝3cm.则△ABC与△A′B′C′对应高的比为8 3．3．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC＝15cm，高AD＝10cm，现在要把它裁剪成一个矩形材料备用，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，若矩形的一边PN＝9，求矩形的另一边PQ的长是多少？解：设AD与PN交于点E.∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C，∴△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD，∴AE＝PN·ADBC＝9×1015＝6(cm)，∴DE＝AD－AE＝10－6＝4(cm)，由题意可知：PQ＝DE＝4cm.∴矩形的另一边PQ的长是4cm.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索相似三角形对应线段的比知识模块二相似三角形性质的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_____________________________________________2．存在困惑：_________________________________________第2课时相似三角形的周长比与面积比【学习目标】1．理解并初步掌握相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系．2．会运用相似三角形的性质解决简单的实际问题．【学习重点】相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系．【学习难点】相似三角形的面积比等于相似比的平方．一、情景导入生成问题1．顺次连接三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应边上的中线的比是(A)A．1∶2B．2∶1C．1∶4D．4∶12．如图，DE∥BC，则△ADE∽△ABC．若AD＝3，BD＝2，AF⊥BC，交DE于G，则AG∶AF＝3∶5，△AGE∽△AFC，且它们的相似比为3∶53．已知△ABC与△DEF相似且对应角平分线之比为2∶3，若△ABC的最长边为6，则△DEF 的最长边为9．二、自学互研生成能力知识模块一探索相似三角形周长和面积的比与相似比的关系先阅读教材P109页的内容，然后完成下面的填空：1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例；2．相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比与对应中线的比都等于相似比；3．相似三角形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．问题1：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为2，那么△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？面积比呢？解：(1)∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝2，∴AB＋BC＋ACA′B′＋B′C′＋A′C′＝ABA′B′＝2，∴△ABC的周长△A′B′C′的周长＝2；(2)∵S△ABC＝12AB·CD，S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′，∴S△ABCS△A′B′C′＝12AB·CD12A′B′·C′D′＝ABA′B′·CDC′D′＝2×2＝22＝4.目的：使学生建立从特殊到一般的思想．问题2：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别是多少？学生分小组讨论交流，教师引导学生写出证明过程．归纳结论：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．议一议：两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比与面积比怎样呢？两个相似的n边形呢？无论是三角形、四边形、还是多边形，都有相同的结论，所以可以推导出：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．知识模块二相似三角形性质的应用完成下面各题：1．教材P110页的随堂练习．2．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为(C)A．1∶2B．2∶1C．1∶4D．4∶1典例讲解：见教材P110页的例2.对应练习：1．教材P110页习题4.12的第1题．答：相似，周长比为2∶1，面积比为4∶1.2．教材P111页习题4.12的第2题．解：(1)∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.∴△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，∴中线AG与DH的比是2∶1；(2)△ABC与△DEF的面积比是4∶1.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索相似三角形周长和面积的比与相似比的关系知识模块二相似三角形性质的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________2．存在困惑：________________________________________。

【第2页】【第3页】【第4页】学案导案北师版九年级上册《4.7相似三角形的性质1》学情分析学生在之前七年级已经学习了全等图形判定和性质，对全等三角形的对应边的比已有所了解。

在本章又学习了相似图形的判定条件，对相似图形，特别是相似三角形已有一定的认识。

通过前面的学习学生已经经历了一些关于相似三角形性质的探究。

例如，利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题，感受到了数学的实际价值，利用相似三角形的性质的解决问题的活动经验。

本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质，九年级学生在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习过程，具有了一定的学习经验，学生间相互评价、相互提问的积极性高，因此，参与有关性质的实践探究活动的热情应该是比较高的。

北师版九年级上册《4.7相似三角形的性质1》效果分析这节课，我主要在如何把传授知识与培养能力有机地结合起来作了些尝试，具体地说，表现在：（1）针对初中数学的特点，结合本节课的内容，制定了明确的教学目标。

（2）在教法上，利用微课视频进行新课引入，在视频中推导了相似三角形对应高的比等于相似比，启发学生进入到相似三角形其它有关性质的研究上来。

这样能更好地培养学生的思维能力和动手实践能力，也使学生从中领悟到数学来源于实践，又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点。

（3）教学程序的设计，充分体现了教师为主导，学生为主体的教学原则，让学生人人动手、动脑，积极参与教学活动。

（4）合理设置问题、适当讲解、层层深入,给学生充分的思考时间，使学生感受到了自己是课堂的主人,让学生在亲身实践中去体验、去感悟，加强对解题方法和过程的指导，使传授知识和培养能力融为一体。

（5）有意识地培养学生独立思考的习惯的同时，加强学生合作交流能力的培养，并注重培养学生不断反思总结的意识和能力。

北师版九年级上册《4.7相似三角形的性质1》教材分析（一）教材的地位和作用：本节教学内容是本章的重要内容之一。