2019-2020学年河北省衡水二中高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)

2019-2020学年高三上学期期中（理科）数学试卷一、选择题1．已知曲线f（x）＝x cos x+3x在点（0，f（0））处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5﹣2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A．B．C．D．3．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A．①②B．①②③C．②③D．①②④4．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，|的最小值为1，则（）A．若|确定，则θ唯一确定B．若|确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则|唯一确定D．若θ确定，则|唯一确定5．已知点P（x，y）是直线y＝2x﹣4上一动点，PM与PN是圆C：x2+（y﹣1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则＝（）A．B．C．﹣1 D．7．已知函数，若f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，则实数a的最小正值为（）A．2πB．πC．D．8．设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{}的前20项和为（）A．B．C．D．9．椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0 C．D．11．若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．[0，e] C．（﹣∞，2）D．（0，2]12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知向量，，||＝1，||＝2，且|2+|＝，则•＝．14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝．15．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为．16．数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60o时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积S（α）的取值范围．18．已知等差数列{a n}前n项和S n，等比数列{b n}前n项和为T n，a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4．（1）若a3+b3＝7，求数列{b n}的通项公式；（2）若T3＝13，求S5．19．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．（1）求点A横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN中点．20．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}．（1）若a1＝0，d＝，求集合S；（2）若a1＝，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有-项符合题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知曲线f（x）＝x cos x+3x在点（0，f（0））处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．解：f（x）＝x cos x+3x的导数为f′（x）＝cos x﹣x sin x+3，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为cos0﹣0+3＝4，由切线与直线ax+4y+1＝0垂直，可得﹣＝﹣，即a＝1．故选：C．2．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5﹣2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A．B．C．D．【分析】由条件利用等差数列的性质可得3a7＝2，求得a7的值，再根据b2b12＝计算．解：由a5﹣2a72+2a8＝0，得a5+2a8＝2a72，即3（a1+6d）＝2a72，即3a7＝2a72，∵a7≠0，∴a7＝＝b7，则b2b12＝＝．故选：C．3．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A．①②B．①②③C．②③D．①②④【分析】解题思路：对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”．逐项寻找就可以了！解：对于函数①，当x∈[0，1]，则有f（x）∈[0，1]，符合题意；对于函数②f（x）＝x2﹣1，当x∈[﹣1，0]时，则有f（x）∈[﹣1，0]，符合题意；对于函数③，当x∈[0，1]时，则有f（x）∈[0，1]，符合题意；由选项可知，应选B，故选：B．4．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，|的最小值为1，则（）A．若|确定，则θ唯一确定B．若|确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则|唯一确定D．若θ确定，则|唯一确定【分析】由题意可得，（）2＝，则令g（t）＝，可得判别式△＜0，运用二次函数的性质，求出最小值，结合向量的数量积的性质，即可得到答案．解：（）2＝，则令g（t）＝，可得判别式△＝4（）2﹣4＝4﹣4＝﹣4sin2θ＜0，由二次函数的性质，可得g（t）＞0恒成立．且当t＝﹣＝﹣cosθ时，g（t）最小，且为1．即g（﹣cosθ）＝﹣||2cos2θ+||2＝||2sin2θ＝1，故当θ唯一确定时，||唯一确定．故选：D．5．已知点P（x，y）是直线y＝2x﹣4上一动点，PM与PN是圆C：x2+（y﹣1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A．B．C．D．【分析】四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM 最小时，四边形面积最小，此时PC最小，由此可得结论．解：圆C：x2+（y﹣1）2＝1圆心坐标为（0，1），半径为1；由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小．∵P是直线y＝2x﹣4上的动点，∴PC最小值＝＝，∴PM最小值＝＝，∴四边形PMCN面积的最小值为：2×＝．故选：A．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则＝（）A．B．C．﹣1 D．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，可得A＝2，由2sinφ＝，求得φ＝．再根据五点法作图，可得ω•+＝，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x+），∴f（）＝2sin（+）＝﹣2cos＝﹣1，故选：C．7．已知函数，若f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，则实数a的最小正值为（）A．2πB．πC．D．【分析】将函数式f（x）进行化简求出最小正周期，并将恒成立问题转化为周期问题即可．解：∵f（x）＝﹣4sin x cos x＝﹣2sin2x∴f（x）的最小正周期为T＝π；又∵f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，∴f（x）＝﹣f（x+2a）⇒﹣f（x）＝f（x+2a），而﹣f（x）＝f（x﹣2a），∴f（x+2a）＝f（x﹣2a）⇒f（x）＝f（x+4a），∴f（x）是以4a为周期的函数，∴4a＝π，⇒a＝；故选：D．8．设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{}的前20项和为（）A．B．C．D．【分析】根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到＝（）n﹣1，再根据等比数列的求和公式即可求出．解：设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，∴a n＝2S n﹣1，∴a n+1﹣a n＝2a n，∴a n+1＝3a n，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴a n＝3n﹣1，当n＝1时也满足，∴＝（）n﹣1，∴数列{}的前20项和为＝﹣故选：A．9．椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可．解：椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，可得（2a﹣c）2+c2＝4c2，可得2a2﹣2ac＝c2，所以e2+2e﹣2＝0，e∈（0，1），解得e＝＝．故选：A．10．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0 C．D．【分析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．解：函数＝sin（x+θ）的图象的一条对称轴为直线，∴f（）＝+＝±，解得a＝±1．当a＝1时，f（x）＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），∵f（x1）•f（x2）＝﹣4，则f（x1）和f（x2）一个为﹣2，另一个为2，∴x1＝2kπ﹣，x2＝2kπ+，则|x1+x2|＝|4kπ+|，k∈Z．故当k＝0时，|x1+x2|取得最小值为．当a＝﹣1时，同理求得，|x1+x2|取得最小值为，故选：D．11．若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．[0，e] C．（﹣∞，2）D．（0，2]【分析】利用函数求导函数f′（x）＝e x（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（e x﹣kx），只有一个极值点时f′（x）＝0只有一个实数解有e x﹣kx≥0，设新函数设u（x）＝e x，v （x）＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，解：函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝e x（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（e x﹣kx），若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝0只有一个实数解，则：e x﹣kx≥0，从而得到：e x≥kx，当k＝0 时，成立．当k≠0时，设u（x）＝e x，v（x）＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k＜0时不成立．故k的取值范围为：（0，e]综上：k的取值范围为：[0，e]故选：B．12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A．B．C．D．【分析】设|BF2|＝2m，根据△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°，以及双曲线的性质可得|AF2|＝2a（3﹣），|AF1|＝2a（2﹣），再根据勾股定理即可求出解：设|BF2|＝2m，∵△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°，∴|AB|＝|BF2|＝m，|AF2|＝|BF2|＝m，由|AF2|﹣|AF1|＝2a，∴|AF1|＝m﹣2a，由|BF2|﹣|BF1|＝2a，∴|BF1|＝2m﹣2a，∴|AF1|+|BF1|＝AB，∴m﹣2a+2m﹣2a＝m，∴m＝2a（﹣1），∴|AF2|＝•2a（﹣1）＝2a（3﹣）|AF1|＝2a（3﹣）﹣2a＝2a（2﹣）又在Rt△F1AF2中|AF1|2+|AF2|2＝4c2，即4a2（3﹣）2+4a2（2﹣）2＝4c2，即（19﹣10）a2＝c2，∴e2＝19﹣10，故选：D．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知向量，，||＝1，||＝2，且|2+|＝，则•＝．【分析】根据，对两边平方即可得出，从而可求出．解：∵||＝1，||＝2，且|2+|＝，∴＝，∴．故答案为：．14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝16 ．【分析】由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．解：由题意画出图形如图，∵AF＝AM，N为AM的中点，且FN⊥AM，∴∠AFN＝30°，则直线AB的倾斜角为60°，斜率为．由抛物线y2＝12x，得F（3，0），则直线AB的方程为y＝（x﹣3）．联立，得x2﹣10x+9＝0．则x A+x B＝10，∴|AB|＝x A+x B+p＝16．故答案为：16．15．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为（﹣1，+∞）．【分析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．解：∵f（x）﹣mx+1+m≤0，∴f（x）≤m（x﹣1）﹣1，∵y＝m（x﹣1）﹣1且过定点（1，﹣1），∵当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，∴当x＞1时，存在y＝f（x）在y＝m（x﹣1）﹣1的下方，∵f'（x）＝（x2﹣2）e x﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝，当1＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，）上递减，在（）上递增，∵当x＞2时，f（x）＞0，又f（1）＝﹣1，f（）＜﹣1，f（2）＝0，∴m＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）16．数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝ 1 ．【分析】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得＝n，即＝a k（1≤k＜2n﹣1），进而得出结论．解：由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得＝n，即＝a k（1≤k＜2n﹣1），故a2019＝a996＝a485＝a230＝a103＝a40＝a9＝a2＝1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60o时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积S（α）的取值范围．【分析】（1）当α＝60o时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，结合已知即可求解；（2）由题意可得，30°＜α＜90°，在△BDE中，由正弦定理可表示BE，同理可得CF，然后结合和差角公式及同角平方关系对BE+CF进行化简，而s（α）＝s△ABC﹣s△BDE﹣s CDF ＝，代入结合正弦函数的性质可求．解：（1）当α＝60o时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF 都为边长为1km的等边三角形，面积，绿化面积＝km2；（2）由题意可得，30°＜α＜90°，在△BDE中，∠BED＝120°﹣α，由正弦定理可得，，∴BE＝，△CDF中，∠CDF＝120°﹣α，∠CFD＝α，由正弦定理可得，，∴CF＝，∴BE+CF＝+＝，＝═＝1＝1，∴s（α）＝s△ABC﹣s△BDE﹣s CDF＝＝（30°＜α＜90°），，，∴，∴，答：地块的绿化面积S（α）的取值范围（]18．已知等差数列{a n}前n项和S n，等比数列{b n}前n项和为T n，a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4．（1）若a3+b3＝7，求数列{b n}的通项公式；（2）若T3＝13，求S5．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由已知列关于d 和q的方程组，求得q，可得数列{b n}的通项公式；（2）由b1＝1，T3＝13列式求得q，然后分类求解S5．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4，a3+b3＝7，得，解得q＝2．∴；（2）由b1＝1，T3＝13，得1+q+q2＝13，即q＝﹣4或q＝3．当q＝﹣4时，b2＝﹣4，此时a2＝4﹣b2＝8，d＝a2﹣a1＝7，；当q＝3时，b2＝3，此时a2＝4﹣b2＝1，d＝a2﹣a1＝0，S5＝5a1＝5．综上，S5＝75或5．19．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．（1）求点A横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN中点．【分析】（1）根据题意设出直线OA的方程，联立抛物线方程可表示出交点A的坐标，再根据圆心到直线的距离小于半径可以求得OA斜率范围，继而算出A点横坐标的范围；（2）对抛物线求导，可求出AB的斜率，继而写出AB的方程，可以求得B点坐标，设出直线l及交点坐标，联立直线与抛物线方程可以推得y P+y N＝2y M，得出结论．解：（1）由题意直线OA斜率存在且不为零，设l OA：y＝kx，则由'解得，又D（2，1）到l OA：kx﹣y＝0的距离为，即，所以．（2）证明：当直线OA过圆心D（2，1）时，，＝16，A（16，8），由y2＝4x（y＞0）可得，所以，所以，所以，即，所以B（0，4），设l：y＝mx+4，P（），Q（），由，l OQ：，得，y N＝，由，解得my2﹣4y+16＝0，所以，，所以＝，即M为PN中点．20．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}．（1）若a1＝0，d＝，求集合S；（2）若a1＝，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出a n，进而求出b n，再根据周期性求解；（2）由集合S的元素个数，分析数列b n的周期，进而可求得答案；（3）分别令T＝1，2，3，4，5进行验证，判断T的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列a n的通项公式及集合S．解：（1）∵等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}，∴a1＝0，d＝，，∴b n＝sin（a n）＝0，，故S＝{0，}；（2）a1＝，，d∈（0，π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin（）＝，故成立，因为a1＝，要使a n（n≥2）的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d＝，故d＝π或；（3）①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1，b2，b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为，此时．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin（a n+4d）＝sin a n，或a n+4d＝2kπ﹣a n，等差数列a n的公差d∈（0，π]，故，，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0，1，﹣1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为，此时S＝{0，1，﹣1}21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；（Ⅱ）求出h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x1，x2（x1＜x2），所在位置，即可证明：．解：（Ⅰ）由题可知，f'（x）单调递增，且f'（1）＝0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x≥1时，f'（x）≥0；因此f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由有两个零点可知由且m＞0可知，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x≥1时，h'（x）≥0；即h（x）的最小值为，因此当时，，可知h（x）在上存在一个零点；当x＝e时，，可知h（x）在（1，e）上也存在一个零点；因此，即．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．【分析】（1）运用离心率公式和点M满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设P（0，p），求得向量PA，PB和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论．解：（1）由已知可得，∴椭圆C的方程为；（2）由得：9（2k2+4）x2﹣12kx﹣43＝0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程①的两根，∴，设P（0，p），则，＝假设在y轴上存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点，则，即．即（18p2﹣45）k2+36p2+24p﹣39＝0对任意k∈R恒成立，∴，此方程组无解，∴不存在定点满足条件．。

2019届河北省衡水市第二中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据集合的基本运算进行求解即可.【详解】因为，，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2．（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先计算，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.3．已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求，再求，即得结果.【详解】依题意得，故选：B【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.4．若向量，满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将已知向量的模进行平方作差运算，可得结论.【详解】∵，，，.故选C.【点睛】本题考查了向量模的运算，遇到向量的模，一般将其平方，有利于运算，本题属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.根据题意，循环体为“直到型”循环结构，输入，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，结束循环，输出，故选B.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构程序框图的输出结果，属于简单题目.6．设，满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时取得最大值，得到结果.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示：画出可行域知，当平移到过点A时z达到最大，由，解得，此时，故选C.该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出可行域是解题的关键，注意分析目标函数的形式以及z的几何意义，从而求得结果.7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，结合几何体的体积公式，求解几何体的体积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是在一个底面边长为，高为的四棱锥中挖掉个半径为的球，故该几何体的体积为，故选A.【点睛】该题考查的是有关几何体的体积的问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，求有关几何体的体积，属于中档题目.8．已知命题：存在正数，使函数在上为偶函数；：对任意的，函数的值恒为正数，则在命题，，和中，真命题是（）A．，B．，C．，D．，【解析】首先判断命题和命题的真假，之后应用复合命题的真值表判断各个命题的真假，得到结果.【详解】当时，函数在上为偶函数，所以是真命题.当时，，所以是假命题.故和是真命题，故选C.【点睛】该题考查复合命题的真假问题，在解题的过程中，正确判断命题和命题的真假是解题的关键.9．已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先根据，求得，结合角的范围，利用平方关系，求得，利用题的条件，求得，之后将角进行配凑，使得，利用正弦的和角公式求得结果.【详解】因为，所以，因为，所以.因为，，所以，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.10．已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是锐角三角形，利用向量夹角为锐角的条件，从而转化为向量的数量积大于零，即，，找出所满足的条件，最后求得结果.【详解】由题意得，，，因为为锐角三角形.所以，，即，，从而，故选B.【点睛】该题考查的是有关利用锐角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，锐角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题目.11．数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从作到右分别排，；第三行项，……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意由等比数列求和公式得各行的和，再利用分组求和法得，最后解不等式得结果.【详解】设满足的最小正整数为，项在图中排在第行第列（且），所以有，则，，即图中从第行第列开始，和大于.因为前行共有项，所以最小正整数的值为.故选：C【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.12．已知函数，若对，，使成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先根据条件判断出函数在上单调递增，从而去掉绝对值符号，记，该问题转化为在上单调递增，故在上恒成立，之后有在上恒成立，转化为最值来求解.【详解】当时，在上单调递增.则，因为，所以.记，因为，所以，则在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立，则，故有，因为，使成立，所以，即.【点睛】该题考查导数与不等式恒成立的综合问题，考查转化与化归思想及运算求解能力，该题也可以转化为来求解，属于中档题目.二、解答题13．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求；（2）已知，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）首先利用正弦定理对题中所给的式子进行变形，整理得到，结合角B的取值范围求得结果；（2）利用题中所给的条件，结合（1）的结论，求得三角形的相应的边，之后应用直角三角形的面积公式求得结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得.因为，所以，从而，所以，所以.（2）因为，，，所以，所以的面积.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，同角三角函数关系式，已知三角函数值求角，直角三角形的面积，属于简单题目.14．已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，.（1）求，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；.（2）【解析】（1）由已知条件，利用等差数列和等比数列的性质，列出方程组，能求出数列的通项公式；（2）利用题的条件，求得，从而应用裂项相消法求得.【详解】（1）由题意，.设公差为，公比为，则，解得.故；.（2）因为，所以，故.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式和等比数列的通项公式的求解，以及应用裂项相消法对数列求和，属于中档题目.15．如图所示，在四面体中，，平面平面，，且.（1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，利用勾股定理得到，利用线面垂直的判定定理证得平面；（2）设，利用椎体的体积公式求得，利用导数研究函数的单调性，从而求得时，四面体的体积取得最大值，之后利用空间向量求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.因为，所以，所以，因为，所以平面.（2）解：设，则，四面体的体积.，当时，，单调递增；当时，，单调递减.故当时，四面体的体积取得最大值.以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，得，同理可得平面的一个法向量为，则.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的性质，线面垂直的判定，椎体的体积，二面角的求法，在解题的过程中，注意巧用导数求解体积的最大值.16．已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，且方程为或.【解析】（1）依题意列出关于a,b,c的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到，要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，结合韦达定理可得到参数值.【详解】（1）直线的一般方程为.依题意，解得，故椭圆的方程式为.（2）假若存在这样的直线，当斜率不存在时，以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点，所以可设直线的斜率为，则直线的方程为.由，得.由，得.记，的坐标分别为，，则，，而.要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，即，所以，整理解得或，所以存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点，直线的方程为或.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．17．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，满足，证明：.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】（1）首先对函数求导，对参数的范围进行讨论,求得函数的单调性；（2）根据，得到，构造新函数，求导研究函数的单调性，进而证得结果.【详解】（1）因为，所以.①当时，在上恒成立，故函数在上单调递增.②当时，由，得，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：由（1）知，，在上单调递增，在上单调递减，由，得有两个不同的解，所以有，即，所以，不妨设，则，欲证，只需证，令，，，所以在上是增函数，，所以，即，，因为，又在上是减函数，所以，所以，所以.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，注意分类讨论思想的应用，再者就是根据题意构造新函数，通过研究函数图象的走向证得结果.18．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中.曲线的方程为，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）点为曲线上一动点，点为曲线上一动点，试求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】（1）运用代入极坐标方程，可化为普通方程，得到结果；（2）由（1）知，曲线的圆心为，半径为2的圆，利用椭圆的参数方程设，求出点P到圆心的距离的最小值减半径求得结果.【详解】（1）将代入极坐标方程，得曲线的普通方程为.（2）由（1）可设，因为曲线是一个圆，其圆心为，，所以.又，故当时，，，【点睛】该题考查的是有坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程向平面直角坐标方程的转化，椭圆的参数方程的应用，圆外一点与圆上的点的距离的最小值的求法，属于常考的题型.19．[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【解析】（1）首先将代入函数解析式，之后应用零点分段法求绝对值不等式的解集；（2）将问题转化为在时恒成立，化简得，即或对任意的恒成立，之后转化为最值来处理.【详解】（1）当时，，故等价于或或，解得或.故不等式的解集为或.（2）当时，等价于，即，即或对任意的恒成立.又，，故的取值范围为.【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的有关问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，恒成立问题求参数的取值范围，属于中档题目.三、填空题20．已知函数，则的定义域为__________.【答案】【解析】首先根据分式、偶次根式和对数式有意义的条件，列出所满足的不等式组，最后求得结果，注意定义域的条件，必须写成集合或者区间.【详解】因为，所以，解得.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，属于简单题目.21．在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，，则____.【答案】【解析】先根据余弦定理得，再根据直角三角形求结果.【详解】因为，所以，结合化简得，从而有，即在为直角三角形，将，代入，得，于是，所以.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.22．在数列中，，，则_________.【答案】【解析】由已知中数列的首项以及数列的递推公式，可求得的值，得到数列是周期数列并求得其周期，从而求得，代入求得结果.【详解】因为，，所以，，，，则数列是周期为的数列，故.因为，所以.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式解决数列的问题，属于简单题目.23．已知体积为的正四棱锥外接球的球心为，其中在四棱锥内部.设球的半径为，球心到底面的距离为。

衡水市第二中学高三调研考试数学（文科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(4)0}A x x x =-<，{3,1,0,1,3}B =--，则A B =（ ）A.{3,1}--B.{1,3}C.{3,1,0}--D.{0,1,3}2.已知复数1iz i=+，则z 的虚部是（ ） A.12 B12i C.12-D.12i -3.设命题：2:,(1)10p x Z x ∀∈+->，则p ⌝为（ ） A.2,(1)10x Z x ∀∈+-> B.()200,110x Z x ∃∈+-> C.2,(1)10x Z x ∀∉+-≤D.()200,110x Z x ∃∈+-≤4.若向量a ，b 满足||2||2a b a b -=+=，则a b ⋅=（ ） A.54B.34C.34-D.54-5.以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为（ ） A.22(1)36x y -+= B.22(1)56x y ++= C.22(2)29x y -+=D.22(2)69x y ++=6.执行如图所示的程序框图，若输入的27x =，则输出的x =（ ）A.0B.1C.2D.37.设x ，y 满足约束条件2390300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A.92-B.3C.6D.88.在矩形ABCD 中4AB =，AD =A ，B 为焦点的双曲线经过C ，D 两点，则此双曲线的离心率为（ ）A.1)1C.2D.29.已知042a ππβ<<<<，且sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ）A.B.10.已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.,22π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D.,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭11.数列{}n a 中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从作到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……以此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2000n S >的最小正整数n 的值为（ ）A.27B.26C.21D.2012.已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有()()12124f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A.[4,)+∞B.(4. )+∞C.(,4]-∞D.(,4)-∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知函数22sin tan ,0(),0x x x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩，则254f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________.14.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c =，cos B C =，a =则ABC S ∆=__________. 15.在数列{}n a 中，112a =，111nn na a a ++=-，则48S =____________. 16.设1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线交双曲线C 的左支于A ，B 两点，且2||3AF =，2||5BF =，||4AB =，则12BF F ∆的面积为____________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有-项符合题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知曲线f(x)＝xcosx+3x在点（0, f(0)）处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A.−4B.−1C.1D.4【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．【解答】f(x)＝xcosx+3x的导数为f′(x)＝cosx−xsinx+3，可得在点（0, f(0)）处的切线斜率为cos0−0+3＝4，由切线与直线ax+4y+1＝0垂直，可得−a4=−14，即a＝1．2. 已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5−2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A.49B.32C.94D.23【答案】C【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】由条件利用等差数列的性质可得3a7＝2a72，求得a7的值，再根据b2b12=b72计算．【解答】由a5−2a72+2a8＝0，得a5+2a8＝2a72，即3(a1+6d)＝2a72，即3a7＝2a72，∵a7≠0，∴a7=32=b7，则b2b12=b72=94．3. 对于函数f(x)，若存在区间A＝[m, n]使得{y|yf(x), x∈A}＝A则称函数f(x)为“同域函数”，区间A为函数f(x)的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f(x)＝cosπ2x；②f(x)＝x2−1；③f(x)＝|x2−1|；④f(x)＝log2(x−1)．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A.①②B.①②③C.②③D.①②④【答案】B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】解题思路：对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”．逐项寻找就可以了！ 【解答】对于函数①f(x)=cosπx 2，当x ∈[0, 1]，则有f(x)∈[0, 1]，符合题意；对于函数②f(x)＝x 2−1，当x ∈[−1, 0]时，则有f(x)∈[−1, 0]，符合题意； 对于函数③f(x)=||，当x ∈[0, 1]时，则有f(x)∈[0, 1]，符合题意； 由选项可知，应选B ，4. 设θ为两个非零向量a →,b →的夹角，已知对任意实数t ，|b →+ta →|的最小值为1，则（ ）A.若|a →|确定，则 θ唯一确定 B.若|b →|确定，则θ唯一确定 C.若θ确定，则|a →|唯一确定 D.若θ确定，则|b →|唯一确定 【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意可得，(b →+ta →)2=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2，则令g(t)=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2，可得判别式△<0，运用二次函数的性质，求出最小值，结合向量的数量积的性质，即可得到答案． 【解答】(b →+ta →)2=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2，则令g(t)=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2， 可得判别式△＝4(a →⋅b →)2−4a →2b →2＝4a →2b →2cos 2θ−4a →2b →2=−4a →2b →2sin 2θ<0，由二次函数的性质，可得g(t)>0恒成立． 且当t =−2a →⋅b →2a →2=−|b →||a →|cosθ时，g(t)最小，且为1．即g(−|b →||a →|cosθ)＝−|b →|2cos 2θ+|b →|2＝|b →|2sin 2θ＝1，故当θ唯一确定时，|b →|唯一确定．5. 已知点P(x, y)是直线y ＝2√2x −4上一动点，PM 与PN 是圆C:x 2+(y −1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A.4 3B.23C.53D.56【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小，由此可得结论．【解答】圆C:x2+(y−1)2＝1圆心坐标为(0, 1)，半径为1；由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小．∵P是直线y＝2√2x−4上的动点，∴PC最小值=√8+1=53，∴PM最小值=√(53)2−12=43，∴四边形PMCN面积的最小值为：2×12×43×1=43．6. 已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(3π4)=()A.−√22B.−12C.−1D.√22【答案】C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f(3π4)的值．【解答】由函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)的部分图象，可得A＝2，由2sinφ=√3，求得φ=π3．再根据五点法作图，可得ω⋅7π12+π3=3π2，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x+π3)，∴f(3π4)＝2sin(3π2+π3)＝−2cosπ3=−1，7. 已知函数f(x)=12−4sinxcosx，若f(x−a)＝−f(x+a)恒成立，则实数a的最小正值为（）A.2πB.πC.π2D.π4【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】将函数式f(x)进行化简求出最小正周期，并将恒成立问题转化为周期问题即可．【解答】∵f(x)=12−4sinxcosx=12−2sin2x∴f(x)的最小正周期为T＝π；又∵f(x−a)＝−f(x+a)恒成立，∴f(x)＝−f(x+2a)⇒−f(x)＝f(x+2a)，而−f(x)＝f(x−2a)，∴f(x+2a)＝f(x−2a)⇒f(x)＝f(x+4a)，∴f(x)是以4a为周期的函数，∴4a＝π，⇒a=π4；8. 设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{1a n}的前20项和为（）A.3 2−12×319B.74−14×319C.3 2−12×3D.74−14×3【答案】A【考点】数列的求和【解析】根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到1 a n =(13)n−1，再根据等比数列的求和公式即可求出．【解答】设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，∴a n＝2S n−1，∴a n+1−a n＝2a n，∴a n+1＝3a n，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴a n＝3n−1，当n＝1时也满足，∴1a n =(13)n−1，∴数列{1a n }的前20项和为1−13201−13=32−12×3199. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A.√3−1B.√3+12C.√22D.√5−12【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可．【解答】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，可得(2a−c)2+c2＝4c2，可得2a2−2ac＝c2，所以e2+2e−2＝0，e∈(0, 1)，解得e=−2+√122=√3−1．10. 已知函数f(x)=asinx−√3cosx图象的一条对称轴为直线x=5π6，且f(x1)f(x2)=−4，则|x1+x2|的最小值为()A.−π3B.0 C.π3D.2π3【答案】D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．【解答】解：函数f(x)=asinx−√3cosx=√a2+3sin(x+θ)的图象的一条对称轴为直线x=5π6，∴f(5π6)=a2+32=±√a2+3，解得a=1．则f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，∵f(x1)f(x2)=−4，则f(x1)和f(x2)一个为−2，另一个为2，可设x1=2kπ−π6，x2=2kπ+5π6，则|x1+x2|=|4kπ+2π3|，k∈Z．故当k=0时，|x1+x2|取得最小值为2π3．故选D.11. 若函数f(x)＝e x(x−3)−13kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A.(−∞, e) B.[0, e] C.(−∞, 2) D.(0, 2]【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】利用函数求导函数f′(x)＝e x(x−2)−kx2+2kx＝(x−2)(e x−kx)，只有一个极值点时f′(x)＝0只有一个实数解有e x−kx≥0，设新函数设u(x)＝e x，v(x)＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，【解答】函数f(x)＝e x(x−3)−13kx3+kx2只有一个极值点，f′(x)＝e x(x−2)−kx2+2kx＝(x−2)(e x−kx)，若函数f(x)＝e x(x−3)−13kx3+kx2只有一个极值点，f′(x)＝0只有一个实数解，则：e x−kx≥0，从而得到：e x≥kx，当k＝0时，成立．当k≠0时，设u(x)＝e x，v(x)＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k<0时不成立．故k的取值范围为：(0, e]综上：k的取值范围为：[0, e]12. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30∘．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A.11+4√3B.13+5√3C.16−6√3D.19−10√3【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】设|BF2|＝2m，根据△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30∘，以及双曲线的性质可得|AF2|＝2a(3−√3)，|AF1|＝2a(2−√3)，再根据勾股定理即可求出【解答】设|BF2|＝2m，∵△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30∘，∴|AB|=12|BF2|＝m，|AF2|=√32|BF2|=√3m，由|AF2|−|AF1|＝2a，∴|AF1|=√3m−2a，由|BF2|−|BF1|＝2a，∴|BF1|＝2m−2a，∴|AF1|+|BF1|＝AB，∴√3m−2a+2m−2a＝m，∴m＝2a(√3−1)，∴|AF|=√3⋅2a(√3−1)＝2a(3−√3)2|AF1|＝2a(3−√3)−2a＝2a(2−√3)又在Rt△F1AF2中|AF1|2+|AF2|2＝4c2，即4a2(3−√3)2+4a2(2−√3)2＝4c2，即(19−10√3)a2＝c2，∴e2＝19−10√3，二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）已知向量a→，b→，|a→|＝1，|b→|＝2，且|2a→+b→|=√10，则a→⋅b→=________．【答案】12【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据|a→|=1,|b→|=2，对|2a→+b→|=√10两边平方即可得出4+4a→⋅b→+4=10，从而可求出a→⋅b→．【解答】∵|a→|＝1，|b→|＝2，且|2a→+b→|=√10，∴(2a→+b→)2=4a→2+4a→⋅b→+b→2=4+4a→⋅b→+4=10，∴a→⋅b→=1．2已知抛物线E:y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝________．【答案】16【考点】抛物线的性质【解析】由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【解答】由题意画出图形如图，∵AF＝AM，N为AM的中点，且FN⊥AM，∴∠AFN＝30∘，则直线AB的倾斜角为60∘，斜率为√3．由抛物线y2＝12x，得F(3, 0)，则直线AB的方程为y=√3(x−3)．联立{y=√3(x−3)y2=12x，得x2−10x+9＝0．则x A+x B＝10，∴|AB|＝x A+x B+p＝16．已知函数f(x)＝(x2−2x)e x−1，若当x>1时，f(x)−mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为________．【答案】(−1, +∞)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．【解答】∵f(x)−mx+1+m≤0，∴f(x)≤m(x−1)−1，∵y＝m(x−1)−1且过定点(1, −1)，∵当x>1时，f(x)−mx+1+m≤0有解，∴当x>1时，存在y＝f(x)在y＝m(x−1)−1的下方，∵f′(x)＝(x2−2)e x−1，令f′(x)＝0，解得x=√2，当1<x<√2时，f′(x)<0，当x>√2时，f′(x)>0，∴f(x)在(1, √2)上递减，在(√2,+∞)上递增，∵当x>2时，f(x)>0，又f(1)＝−1，f(√2)<−1，f(2)＝0，∴m>−1，故答案为：(−1, +∞)数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝________．【答案】1【考点】数列的求和【解析】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得a2n−1=n，即a2n−1+k=a k(1≤k<2n−1)，进而得出结论．【解答】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得a2n−1=n，即a2n−1+k=a k(1≤k<2n−1)，故a2019＝a996＝a485＝a230＝a103＝a40＝a9＝a2＝1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60∘角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE=α．(1)当α=60∘时，求绿化面积；(2)试求地块的绿化面积S(α)的取值范围．【答案】解：(1)当α=60∘时，DE // AC，DF // AB，则四边形AEDF为平行四边形，所以△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，且面积都为√34km2，故绿化面积为√34×22−2×√34=√32(km2).(2)由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，∠BED=120∘−α，由正弦定理可得BEsinα=1sin(120∘−α)，∴BE=sinαsin(120∘−α)，在△CDF中，∠CDF=120∘−α，∠CFD=α，由正弦定理可得1sinα=CFsin(120∘−α)，∴CF=sin(120∘−α)sinα，∴BE+CF=sin(120∘−α)sinα+sinαsin(120∘−α)=sin2(120∘−α)+sin2αsinα⋅sin(120∘−α)=(√32cosα+12sinα)2+sin2αsinα⋅(12sinα+√32cosα)=134√32sinαcosα+12sin2α=1+34√34sin2α−14cos2α+14=1+32×1sin(2α−30∘)+12，∴S(α)=S△ABC −S△BDE−S△CDF=√3−√34(BE+CF)=3√34−3√38⋅112+sin(2α−30∘)(30∘<α<90∘).∵12<sin(2α−30∘)≤1，1<sin(2α−30∘)+12≤32，∴23≤112+sin(2α−30∘)<1，∴3√38<S(α)≤√32.故地块的绿化面积S(α)的取值范围(3√38,√3 2].【考点】两角和与差的正弦公式三角形的面积公式解三角形正弦函数的定义域和值域【解析】（1）当α＝60<em>o</em>时，DE // AC，DF // AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，结合已知即可求解；（2）由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，由正弦定理可表示BE，同理可得CF，然后结合和差角公式及同角平方关系对BE+CF进行化简，而s(α)＝s△<em><em>ABC</em></em>−s△<em><em>BDE</em></em>−s<em>CDF</em>=√3−√34(BE+CF)，代入结合正弦函数的性质可求．【解答】解：(1)当α=60∘时，DE // AC，DF // AB，则四边形AEDF为平行四边形，所以△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，且面积都为√34km2，故绿化面积为√34×22−2×√34=√32(km2).(2)由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，∠BED=120∘−α，由正弦定理可得BEsinα=1sin(120−α)，∴BE=sinαsin(120∘−α)，在△CDF中，∠CDF=120∘−α，∠CFD=α，由正弦定理可得1sinα=CFsin(120−α)，∴ CF =sin(120∘−α)sinα，∴ BE +CF =sin(120∘−α)sinα+sinαsin(120∘−α)=sin 2(120∘−α)+sin 2αsinα⋅sin(120∘−α)=(√32cosα+12sinα)2+sin 2αsinα⋅(12sinα+√32cosα)=134√32sinαcosα+12sin 2α=1+34√34sin2α−14cos2α+14=1+32×1sin(2α−30∘)+12，∴ S(α)=S △ABC −S △BDE −S △CDF =√3−√34(BE +CF)=3√34−3√38⋅112+sin(2α−30∘)(30∘<α<90∘).∵ 12<sin(2α−30∘)≤1，1<sin(2α−30∘)+12≤32， ∴ 23≤112+sin(2α−30∘)<1，∴3√38<S(α)≤√32. 故地块的绿化面积S(α)的取值范围(3√38,√32].已知等差数列{a n }前n 项和S n ，等比数列{b n }前n 项和为T n ，a 1＝1，b 1＝1，a 2+b 2＝4．（1）若a 3+b 3＝7，求数列{b n }的通项公式；（2）若T 3＝13，求S 5． 【答案】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1＝1，b 1＝1，a 2+b 2＝4，a 3+b 3＝7，得 {1+d +q =41+2d +q 2=7，解得q ＝2． ∴ b n =b 1q n−1=2n−1；由b 1＝1，T 3＝13，得1+q +q 2＝13，即q ＝−4或q ＝3．当q ＝−4时，b 2＝−4，此时a 2＝4−b 2＝8，d ＝a 2−a 1＝7，S 5=5+5×42×7=75；当q ＝3时，b 2＝3，此时a 2＝4−b 2＝1，d ＝a 2−a 1＝0，S 5＝5a 1＝5． 综上，S 5＝75或5． 【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由已知列关于d 和q 的方程组，求得q ，可得数列{b n }的通项公式；（2）由b 1＝1，T 3＝13列式求得q ，然后分类求解S 5． 【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1＝1，b 1＝1，a 2+b 2＝4，a 3+b 3＝7，得 {1+d +q =41+2d +q 2=7，解得q ＝2． ∴ b n =b 1q n−1=2n−1；由b 1＝1，T 3＝13，得1+q +q 2＝13，即q ＝−4或q ＝3．当q ＝−4时，b 2＝−4，此时a 2＝4−b 2＝8，d ＝a 2−a 1＝7，S 5=5+5×42×7=75；当q ＝3时，b 2＝3，此时a 2＝4−b 2＝1，d ＝a 2−a 1＝0，S 5＝5a 1＝5． 综上，S 5＝75或5．已知圆D ：(x −2)2+(y −1)2＝1，点A 在抛物线C:y 2＝4x 上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点．（1）求点A 横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线OA 、OQ 交于M 、N ，求证：M 为PN 中点． 【答案】由题意直线OA 斜率存在且不为零，设l OA :y ＝kx ，则 由{y =kx y 2=4x ′解得x A =4k 2， 又D(2, 1)到l OA :kx −y ＝0的距离为√k 2+1≤1，即0≤k ≤43， 所以x A ∈[94,+∞)．证明：当直线OA 过圆心D(2, 1)时，k =12，x A =4k 2=16，A(16, 8)， 由y 2＝4x(y >0)可得y =2√x ， 所以y ′=√x ，所以k AB =y ′|x=16=14，所以l AB :y −8=14(x −16)，即y =14x +4，所以B(0, 4)， 设l:y ＝mx +4，P(y 124,y 1)，Q(y 224,y 2)，由l OA :y =12x ，l OQ :y =4y 2x ，得y M =y128，y N =y 12y 2，由{y =mx +4y 2=4x ，解得my 2−4y +16＝0， 所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=16m，所以y P +y N =y 1+y 12y 2=y 12(y 1+y 2)y 1y 2=y 12⋅4m16m =y 124=2y M ，即M 为PN 中点． 【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）根据题意设出直线OA 的方程，联立抛物线方程可表示出交点A 的坐标，再根据圆心到直线的距离小于半径可以求得OA 斜率范围，继而算出A 点横坐标的范围；（2）对抛物线求导，可求出AB 的斜率，继而写出AB 的方程，可以求得B 点坐标，设出直线l 及交点坐标，联立直线与抛物线方程可以推得y P +y N ＝2y M ，得出结论． 【解答】由题意直线OA 斜率存在且不为零，设l OA :y ＝kx ，则 由{y =kx y 2=4x′解得x A =4k 2， 又D(2, 1)到l OA :kx −y ＝0的距离为√k 2+1≤1， 即0≤k ≤43， 所以x A ∈[94,+∞)．证明：当直线OA 过圆心D(2, 1)时，k =12，x A =4k 2=16，A(16, 8)， 由y 2＝4x(y >0)可得y =2√x ， 所以y ′=√x ，所以k AB =y ′|x=16=14，所以l AB :y −8=14(x −16)，即y =14x +4， 所以B(0, 4)， 设l:y ＝mx +4，P(y 124,y 1)，Q(y 224,y 2)，由l OA :y =12x ，l OQ :y =4y 2x ，得y M =y128，y N =y 12y 2，由{y =mx +4y 2=4x ，解得my 2−4y +16＝0， 所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=16m，所以y P+y N=y1+y12y2=y12(y1+y2)y1y2=y12⋅4m16m=y124=2y M，即M为PN中点．已知等差数列{a n}的公差d∈(0, π]，数列{b n}满足b n＝sin(a n)，集合S＝{x|xb n, n∈N∗}．（1）若a1＝0，d=2π3，求集合S；（2）若a1=π2，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．【答案】∵等差数列{a n}的公差d∈(0, π]，数列{b n}满足b n＝sin(a n)，集合S＝{x|xb n, n∈N∗}，∴a1＝0，d=2π3，a n=2π3(n−1)，∴b n＝sin(a n)＝0，−√32,√3 2，故S＝{0, −√32,√32}；a1=π2，a n=π2+(n−1)d，d∈(0, π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin(π2+(n−1)π)={1,n−1,n，故成立，因为a1=π2，要使a n(n≥2)的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d=2π3，故d＝π或2π3；①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1, b2, b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=2π3n，此时S={−√32,√32,0}．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin(a n+4d)＝sina n，a n+4d=a n+2kπ或a n+4d＝2kπ−a n，等差数列a n的公差d∈(0, π]，故a n+4d=a n+2kπ，d=kπ2，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0, 1, −1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=π2n，此时S＝{0, 1, −1}【考点】数列与函数的综合【解析】（1）根据等差数列的通项公式写出a n，进而求出b n，再根据周期性求解；（2）由集合S的元素个数，分析数列b n的周期，进而可求得答案；（3）分别令T＝1，2，3，4，5进行验证，判断T的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列a n的通项公式及集合S．【解答】∵等差数列{a n}的公差d∈(0, π]，数列{b n}满足b n＝sin(a n)，集合S＝{x|xb n, n∈N∗}，∴a1＝0，d=2π3，a n=2π3(n−1)，∴b n＝sin(a n)＝0，−√32,√3 2，故S＝{0, −√32,√32}；a1=π2，a n=π2+(n−1)d，d∈(0, π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin(π2+(n−1)π)={1,n−1,n，故成立，因为a1=π2，要使a n(n≥2)的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d=2π3，故d＝π或2π3；①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1, b2, b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=2π3n，此时S={−√32,√32,0}．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin(a n+4d)＝sina n，a n+4d=a n+2kπ或a n+4d＝2kπ−a n，等差数列a n的公差d∈(0, π]，故a n+4d=a n+2kπ，d=kπ2，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0, 1, −1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=π2n，此时S＝{0, 1, −1}已知函数f(x)＝(x −1)lnx ，g(x)=x −lnx −3e ． (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)令ℎ(x)＝mf(x)+g(x)(m >0)两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 1+e >x 2+1e ． 【答案】（1）由题可知f ′(x)=lnx +1−1x ，f ′(x)单调递增，且f ′(1)＝0， 当0<x <1时，f ′(x)<0，当x ≥1时，f ′(x)≥0； 因此f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增．（2）证明：由ℎ(x)=m(x −1)lnx +x −lnx −3e 有两个零点可知 由ℎ(x)=m(1+lnx −1x )+1−1x 且m >0可知， 当0<x <1时，ℎ′(x)<0，当x ≥1时，ℎ′(x)≥0； 即ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−3e <0，因此当x =1e 时，ℎ(1e )=m(1e −1)(−1)+1e −(−1)−3e =m(e−1)+e−2e>0，可知ℎ(x)在(1e ,1)上存在一个零点；当x ＝e 时，ℎ(e)=m(e −1)+e −1−3e >0， 可知ℎ(x)在(1, e)上也存在一个零点； 因此x 2−x 1<e −1e ，即x 1+e >x 2+1e ．【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)求出函数f(x)的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；(Ⅱ)求出ℎ(x)＝mf(x)+g(x)(m >0)的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，所在位置，即可证明：x 1+e >x 2+1e ． 【解答】（1）由题可知f ′(x)=lnx +1−1x ，f ′(x)单调递增，且f ′(1)＝0， 当0<x <1时，f ′(x)<0，当x ≥1时，f ′(x)≥0； 因此f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增．（2）证明：由ℎ(x)=m(x −1)lnx +x −lnx −3e 有两个零点可知 由ℎ(x)=m(1+lnx −1x )+1−1x 且m >0可知， 当0<x <1时，ℎ′(x)<0，当x ≥1时，ℎ′(x)≥0； 即ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−3e <0，因此当x =1e 时，ℎ(1e )=m(1e −1)(−1)+1e −(−1)−3e =m(e−1)+e−2e>0，可知ℎ(x)在(1e ,1)上存在一个零点；当x ＝e 时，ℎ(e)=m(e −1)+e −1−3e >0， 可知ℎ(x)在(1, e)上也存在一个零点； 因此x 2−x 1<e −1e ，即x 1+e >x 2+1e ．已知椭圆C:y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且过定点M(1, √22)． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l:y ＝kx −13(k ∈R)与椭圆C 交于A 、B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点？若存在，求出P 点的坐标和△PAB 的面积的最大值，若不存在，说明理由． 【答案】由已知可得{ e =ca =√22b 2+c 2=a 212a 2+1b 2=1⇒{a 2=52b 2=54， ∴ 椭圆C 的方程为2y 25+4x 25=1；由{y =kx −132y 25+4x 25=1得：9(2k 2+4)x 2−12kx −43＝0① 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根， ∴ x 1+x 2=12k9(2k 2+4),x 1x 2=−439(2k 2+4)，设P(0, p)，则PA →=(x 1,y 1−p),PB →=(x 2,y 2−p)，PA →⋅PB →=x 1x 2+y 1y 2−p(y 1+y 2)+p 2=x 1x 2+(kx 1−13)(kx 2−13)−pk(x 1+x 2)+2p 3+p 2=(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −399(2k 2+4)假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点， 则PA →⊥PB →，即PA →⋅PB →=0．即(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −39＝0对任意k ∈R 恒成立， ∴ {18p 2−45=036p 2+24p −39=0 ，此方程组无解，∴ 不存在定点满足条件． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的离心率 【解析】（1）运用离心率公式和点M 满足椭圆方程，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设P(0, p)，求得向量PA ，PB 和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论． 【解答】由已知可得{ e =ca =√22b 2+c 2=a 212a 2+1b 2=1⇒{a 2=52b 2=54， ∴ 椭圆C 的方程为2y 25+4x 25=1；由{y =kx −132y 25+4x 25=1得：9(2k 2+4)x 2−12kx −43＝0① 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根， ∴ x 1+x 2=12k9(2k 2+4),x 1x 2=−439(2k 2+4)，设P(0, p)，则PA →=(x 1,y 1−p),PB →=(x 2,y 2−p)，PA →⋅PB →=x 1x 2+y 1y 2−p(y 1+y 2)+p 2=x 1x 2+(kx 1−13)(kx 2−13)−pk(x 1+x 2)+2p 3+p 2=(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −399(2k 2+4)假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点， 则PA →⊥PB →，即PA →⋅PB →=0．即(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −39＝0对任意k ∈R 恒成立， ∴ {18p 2−45=036p 2+24p −39=0 ，此方程组无解，∴ 不存在定点满足条件．。

2019-2020学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(理科)一、选择题1.已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A. -4 B. -1C. 1D. 4【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.2.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，则212b b 等于（ ）A.49B.32C.94D.23【答案】C 【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=，7730,2a a ≠∴=Q ，则：222127794b b b a ===. 本题选择C 选项.3.对于函数()f x ，若存在区间[,]A m n =使得{|(),}y y f x x A A =∈=则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：①()cos2f x x π=；②2()1f x x =-；③2()|1|f x x =-；④2()log (1)f x x =-.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②C. ②③D. ①②④【答案】A 【解析】 ①()cos2f x x π= ，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②()21f x x =-，x∈[-1，0]时，f （x ）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；③()21f x x =-，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④()()2log 1f x x =-，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x 是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③．点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f （x ）和函数y=x 图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．4.设θ为两个非零向量,a b r r的夹角，已知对任意实数t ，b ta +r r 的最小值为1，下列说法正确的是（ ）A. 若θ确定，则a r唯一确定 B. 若θ确定，则b r唯一确定 C. 若a r确定，则θ唯一确定D. 若b r确定，则θ唯一确定【答案】B 【解析】 【分析】对式子b ta +r r 平方转化成关于t 的二次函数，再利用最小值为1，得到()221cos 1b θ-=r ，进而判断θ与b r之间的关系．【详解】222222222cos b ta b ta b t a a t a b t b θ+=+⋅+=+⋅⋅+r r r r r r r r r r .因为min1b ta+=r r ，所以()2222222244cos 1cos 14a b a b b aθθ⋅-⋅=-=r r r r r r .所以22sin 1b θ=r ，所以sin 1b θ=r ，即1sin b θ=r .所以θ确定，b r 唯一确定.故选B.【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识，考查与二次函数进行交会，求解时不能被复杂的表达式搞晕，而是要抓住问题的本质，始终把22||,||a b r r 看成实数．5.已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( ) A.43B.23C.53D.56【答案】A 【解析】 【分析】利用当CP 与直线224y x =-垂直时，PC 取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出PC 的最小值，然后利用勾股定理计算出PM 、PN 的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形PMCN 面积的最小值． 【详解】如下图所示：由切线的性质可知，CM PM ⊥，CN PN ⊥，且PCM PCN ∆≅∆，2221PM PN PC CMPC ==-=-当PC 取最小值时，PM 、PN 也取得最小值，显然当CP 与直线24y x =-垂直时，PC 取最小值，且该最小值为点()0,1C 到直线224y x=-的距离，即()()min221453221PC--==+-，此时，22min min min541133PM PN PC⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭，∴四边形PMCN面积的最小值为min11442212233PM CM⨯⋅=⨯⨯⨯=，故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．6.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A wx Aπϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则3()4fπ=（）A.22- B.12- C. 1- D. 22【答案】C【解析】【分析】根据图像最低点求得A，根据函数图像上两个特殊点求得,ωϕ的值，由此求得函数()f x解析式，进而求得3π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，故2A=，所以()2sin()f x xωϕ=+，将点(7π3,,212⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 解析式得2sin 37π2sin 212ϕωϕ⎧=⎪⎨⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3π3ππ2sin 21443f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.7.已知函数1()4sin cos 2f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为（ ） A. 2π B. πC.2π D.4π 【答案】D 【解析】 【分析】先化简f (x ),分析出f (x )本身的最小正周期T ，再根据()()f x a f x a -=-+分析出用a 表示f (x )的最小正周期，最后根据两者相等，求得a 的最小正值． 【详解】由1()4sin cos 2f x x x =-，则1()2sin 22f x x =-，所以f (x )的最小正周期T=π 因为()()f x a f x a -=-+，则',()(2)x x a f x f x a =+=-+‘，令则，，这f (x )的最小正周期T=4a ,所以4a =π，所以实数a 的最小正值是4π，故答案选D 【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，12n n a S +=，则数列1{}na 的前20项和为（ ） A.1931223-⨯ B.1971443-⨯ C.1831223-⨯ D.1871443-⨯【答案】D 【解析】12n n a S +=，∴12n n a S -= 相减得()132n n a a n +=≥ 由11a =得出2212,3a a a =≠()21,123,2n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ，1n a =21,111,223n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩011812201111111......1......2333a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 191911113131111222313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=+⋅-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦= 1871443-⨯ 故选D点睛：已知数列的n a 与n S 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n 的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.9.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A.31+ B.31C.22D.51- 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212312e -==， 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题. 10.已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π-B. 0C.3π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数2()sin 33sin()(f x a x x a x θθ==++为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+， 即23322a a +=+1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为()A. (,)e -∞B. (0,]eC. (,2)-∞D. (0,2]【答案】B 【解析】 【分析】利用函数求导函数 f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），只有一个极值点时f ′（x ）＝0只有一个实数解，有e x ﹣kx ≥0，设新函数设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx ，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】解：函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点， f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ）， 若函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点，f ′（x ）＝0只有一个实数解， 则：e x ﹣kx ≥0， 从而得到：e x ≥kx ， 当k ＝0 时，成立．当k ≠0时，设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx如图：当两函数相切时，k ＝e ，此时得到k 的最大值，但k ＜0时不成立． 故k 的取值范围为：（0，e ] 综上：k 的取值范围为：[0，e ]故选B ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．12.双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°．若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝（ ） A. 1143+B. 1353+C. 163-D.19103-【答案】D 【解析】 【分析】设22BF m =，根据2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o，以及双曲线的性质可得212(33),2(23)AF a AF a ==，再根据勾股定理求得,a c 的关系式，即可求解.【详解】由题意，设22BF m =，如图所示，因为2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o， 由212AF AF a -=，所以132AF m a =-， 由212BF BF a -=，所以122BF m a =-，所以11AF BF AB +=3222m a m a m -+-=， 所以2(31)m a =，所以232(31)2(33)AF a a ==，12(33)22(23)AF a a a =-=， 在直角12F AF ∆中，222124AF AF c +=，即222224(33)4(23)4a a c +=，整理得22(19103)a c -=，所以22219103c e a==-故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．.二、填空题13.已知向量,,1,2a b a b ==v v v v，且210a b +=r r a b ⋅=r r ___________．【答案】12【解析】 【分析】把210a b +=r r1,2a b ==r r 代入，化简即可得结果. 【详解】因为1,2a b ==r r，所以222448410a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=vv v vv v v v12a b ∴⋅=v v ，故答案为12.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r r r r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=r r g r r g （此时a b r r g 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r 在b r上的投影是a b b⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b ⋅r r ）.14.已知抛物线E ：212y x ＝的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，过A 作AM l ⊥，垂足为M ，AM 的中点为N ，若AM FN ⊥，则AB ＝___________. 【答案】16 【解析】 【分析】由题意画出图形，得到直线AB 的斜率，进一步求得直线AB 的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【详解】AF AM =Q ，N 为AM 的中点，且FN AM ⊥，30AFN ∴∠=︒，则直线AB 的倾斜角为60︒，斜率为3．由抛物线212y x =，得(3,0)F ，则直线AB 的方程为3(3)y x =-．联立23(3)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=．则10A B x x +=， ||16A B AB x x p ∴=++=．故答案为：16．【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题．15.已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为________ 【答案】(1,)-+∞ 【解析】【分析】先求导数，判断函数21()()2x f x x x e -=-的单调性，可得1x >时大致图象，利用数形结合求解.【详解】()10f x mx m -++Q „()(1)1f x m x ∴--„(1)1y m x =--Q 过定点(1,1)-Q 当1x >时，()10f x mx m -++≤有解∴当1x >时,存在()y f x =在(1)1y m x =--的下方，()21()2x f x x e -'=-Q令()0f x '=，解得2x =， 当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，()f x ∴在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增， Q 当2x >时，()0f x >，又(1)1,(2)1,(2)0f f f =-<-=，作函数()y f x =，(1)1y m x =--的大致图象：由图象可知：1m >-时满足条件， 故答案为：(1,)-+∞【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值、图象，直线过定点，数形结合，属于难题.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题17.如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60o 角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设BDE α∠=．（1）当60α=o 时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．【答案】（123；（2）333,82⎛ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）根据角度可确定四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形；利用ABC BDE CDF S S S ∆∆∆--即可求得结果；（2）利用正弦定理，用α表示出BE 和CF ，利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将BE CF +化简为()312sin 2301α+-+o，利用3090α<<o o 可求得BE CF +的范围；从而将所求面积表示为())33S BE CF α=+，进而得到所求范围. 【详解】（1）当60α=o 时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 6032ABC S km ∆=⨯⨯⨯=o ，)21311sin 602BDE CDF S S km ∆∆==⨯⨯⨯=o ∴)23332km =（2）由题意知：3090α<<o o在BDE ∆中，120BED α∠=-o，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-o在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠= 由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=o()()()()22sin 120sin sin 120sin sin sin 120sin 120sin BE CF αααααααα-+-∴+=+=--o o o o2222231533sin sin sin cos cos 24243131sin cos sin sin cos sin ααααααααααααα⎫++⎪+⎝⎭==⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭()23341112sin 2301313sin 2cos 21sin cos sin αααααα==+=+-+-++o3090α<<ooQ 30230150α∴<-<o o o ()1sin 23012α∴<-≤o ()352122sin 2301α∴≤+<-+o，即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()())133sin 6032ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+o 52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q )33333BE CF +∈⎝⎦即绿化面积()S α的取值范围为：3382⎛⎝⎦ 【点睛】本题考查解三角形知识的实际应用问题，涉及到正弦定理和三角形面积公式的应用、三角恒等变换中的两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式的应用；求解范围类问题的关键是能够构造出关于某一变量的函数，从而利用函数求值域的方法求得结果.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求5S .【答案】（1）12n n b -=；（2）5或75.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠，由已知条件求出q ，再写出通项公式；（2）由1313T =，求出q 的值，再求出d 的值，求出5S .【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠有()14d q ++=，即3d q +=.（1）∵()2127d q ++=，结合3d q +=得2q =，∴12n n b -=.（2）∵23113T q q =++=，解得4q =-或3，当4q =-时，7d =，此时55457752S ⨯=+⨯=； 当3q =时，0d =，此时5155S a ==.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.19.已知圆22:(2)(1)1D x y -+-=，点A 在抛物线2:4C y x =上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点.（1）求点A 横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于,P Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线,OA OQ 交于,M N ，求证：M 为PN 中点.【答案】（1）)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）见证明【解析】 【分析】（1）设:OA l y kx =，联立抛物线，再利用圆D 与直线相交建立不等式，从而确定点A 横坐标的取值范围；（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用韦达定理即可证明M 为PN 中点.【详解】解：（1）由题意直线OA 斜率存在且不为零，设:OA l y kx =2244A y kx x y xk =⎧⇒=⎨=⎩ ()2,1D 到:0OA l kx y -=22141031k k k -≤⇒≤≤+， 所以)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）当直线OA 过圆心()2,1D 时，()214,16,16,82A k x A k=== ()2402y x y y x y x'=>⇒=⇒=，所以1614AB x k y -='=， ()18164AB l y x -=-：即144y x =+， 所以()04B ，，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由214:,:2OA OQ l y x l y x y ==得22112,8M N y y y y y ==22441604y mx my y y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩，所以1212416,y y y y m m +== ()222211121112124+=2164P N M y y y y y y m y y y y y y y m+=+===，即M 为PN 中点．【点睛】本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.20.已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S . 【答案】（1）33,22⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，33S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）Q 等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==， 所以集合3{S =03}． （2）Q 12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33,,022S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T=时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．21.已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得函数的导数1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知， 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e=时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->， 可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点，因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为22，且过定点2M . （1)求椭圆C 的方程；（2)已知直线1:()3l y kx k R =-∈与椭圆C 交于,A B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点P 的坐标和PAB ∆的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 2224155y x += (2)见解析 【解析】【分析】（1）本问考查了椭圆的离心率公式，以及椭圆的方程、性质，通过条件构建关于基本量,,a b c 的方程组，求解即可．（2）本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用条件以弦AB 为直径的圆恒过点P ，将几何关系代数化，利用韦达定理建立方程，判断方程是否有解．【详解】解：（1)由已知22222222522511142c e a a b c a b a b⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎩⎪⎩，椭圆C 的方程为2224155y x +=.（2)由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得229(24)12430k x kx +--=.① 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 方程①的两根， 1212221243,9(24)9(24)k x x x x k k ∴+==-++ 设(0,)P p ，则1122(,),(,)PA x y p PB x y p =-=-u u u r u u u r ，22121212121212112()()()()333p PA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++u u u r u u u r 2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+ 假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ，则PA PB ⊥u u u r u u u r ，即0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立，22184503624390p p p ⎧-=∴⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件． 【点睛】本题的关键是将条件“以弦AB 为直径的圆恒过点P ”，几何关系代数化，和联立方程组得到的韦达定理联系起来，建立关于参数p 的方程．。

2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案一选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1设集合A=122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,B={}21x x ≤，则A ∪B= （ ）A ．{}12x x ≤< B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}2x x <D ．{}12x x -≤<2复数31ii--等于 （ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i - D.2i +3下列命题错误的是 ( ) A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ” B ．若q p ∧为假命题，则q p 、均为假命题;C ．命题p ：存在R x ∈0,使得01020<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x D ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件4已知一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为( )A. 24＋6πB. 24＋4πC. 28＋6πD. 28＋4π5已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线n m 、，有下列 四个命题 ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n ②若βαβα//,,则⊥⊥m m③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ④若n m n m //,,,//则=βαα其中正确命题的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cosA>sinB ，则△ABC 的形状是 ( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝b a +λ，AC →＝b a μ+，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为 ( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝18已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 5＋a 6＝π4，则cosS 9的值为( )A.12B.22 C ．－12 D ．－229 若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解, 则a 的取值范围是 ( )A. (－235, ＋∞)B. [－235, 1] C. (1, ＋∞)D. (－∞, －235]10设定义在R 的函数)(x f 同时满足以下条件：①0)()(=-+x f x f ；②)2()(+=x f x f ； ③当10<≤x 时，12)(-=x x f 。

河北省衡水市衡水中学2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题1.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是( ) A. ln y x =B. 2y x =-C. xy e =D.cos y x =【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，可得A ，B ，D 是偶函数，再利用函数单调性的性质，即可得出结论． 【详解】根据偶函数的定义()()f x f x =-，可得A ，B ，D 是偶函数，B 在()0,+∞上单调递减，D 在()0,+∞上有增有减，A 在()0,+∞上单调递增， 故选A ．【点睛】本题考查函数单调性的性质，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知175100,5770a S S =--=.则101S 等于（ ） A. 100 B. 50C. 0D. 50-【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，又1100a =-，所以757654575(700)7(500)7022S S d d ⨯⨯-=-+--+=，解得2d =， 所以101101100101(100)202S ⨯=⨯-+⨯=，故选C. 3.已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A. -4 B. -1C. 1D. 4【答案】C【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.4.在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =u u u r u u u r，且23CD AC CB λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ的值为（ ） A. 14 B. 14- C. 13D. 13-【答案】D 【解析】 【分析】根据2AD DB =u u u r u u u r，用基向量,AC CB u u u r u u u r 表示CD uuu r，然后与题目条件对照，即可求出． 【详解】由在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =u u u r u u u r，则1112()3333CD CB BD CB BA CB CA CB AC CB =+=+=+-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，即13λ=-，故选D ．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用及向量的线性运算．5.已知双曲线离心率2e =,与椭圆221248x y +=有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()A. 13y x =±B. 3y x =±C. y =D.y =±【答案】C 【解析】先求出椭圆221248x y +=的焦点()4,0和()4,0-，所以双曲线方程可设为22221x y a b-=，所以其渐近线方程为by x a=±，由题意得双曲线的4c =，再根据其离心率2e =，求出a ，根据222c a b =+，得到b ，从而得到双曲线的渐近线方程，求出答案.【详解】因为椭圆221248x y +=，其焦点为()4,0和()4,0-，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以设双曲线的方程为22221x y a b-=，则其渐近线方程为b y x a =±，且双曲线中4c = 因为双曲线的离心率2ce a==，所以2a =， 又因双曲线中222c a b =+所以22212b c a =-=，即b =所以双曲线的渐近线方程为y = 故选C 项.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求,,a b c ，双曲线的渐近线，属于简单题. 6.已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ）A. C. 79-D.79【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果． 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ，2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ．【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．7.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A wx A πϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则3()4f π=（ ）A. 22-B. 12-C. 1-D.22【答案】C 【解析】 【分析】根据图像最低点求得A ，根据函数图像上两个特殊点求得,ωϕ的值，由此求得函数()f x 解析式，进而求得3π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】根据图像可知，函数图像最低点为7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，故2A =，所以()2sin()f x x ωϕ=+，将点(7π,,212⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x解析式得2sin 7π2sin 212ϕωϕ⎧=⎪⎨⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3π3ππ2sin 21443f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.8.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，则212b b 等于（ ）A.49B.32C.94D.23【答案】C 【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=，7730,2a a ≠∴=Q ，则：222127794b b b a ===. 本题选择C 选项.9.已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有1212IPF IPF IF F S S S -≥V V V 成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. （1） B. （1，） C. （1，] D. （1]【答案】D 【解析】 【分析】根据条件和三角形的面积公式，求得,a c 的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案． 【详解】设12PF F ∆的内切圆的半径为r，则12121212111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∆∆∆=⋅=⋅=⋅，因为12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥，所以1212PF PF F -≥, 由双曲线的定义可知12122,2PF PF a F F c -==， 所以2a ≥，即c a ≤，又由1ce a=>，所以双曲线的离心率的取值范围是， 故选D ．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 10.函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移()0ϕϕπ≤≤个单位后得到函数()g x ，若()g x 在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围是（） A. 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB. 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】首先求函数()g x ，再求函数的单调递增区间，区间,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数单调递增区间的子集，建立不等关系求ϕ的取值范围. 【详解】()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,令2222232k x k ππππϕπ-+≤-+≤+解得51212k x k ππϕπϕπ-++≤≤++ ，k Z ∈ 若()g x ,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增， 126{5126k k ππϕπππϕπ++≥-++≤- ,解得：124k k πππϕπ-≤≤- ()0,ϕπ∈Q0k ∴=时，124ππϕ≤≤.故选D.【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型. 11.已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ） A. 1m £ B. 1m <- C. 1m >- D. m 1≥【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数21()(2)ex f x x -'=-，得到函数()f x 的单调性，以及()()1,2f f f 的取值，再由导数的几何意义，即可求解． 【详解】由题意，函数21()(2)ex f x x x -=-，则导数21()(2)ex f x x -'=-，所以函数()f x在上递减，在)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又由(1)1f =-，1f <-，(2)0f =，当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，即函数()y f x =和(1)1y m x =--的图象有交点，如图所示，又因为在点(1,(1))f 的切线的斜率为(1)1f '=-，所以1m >-．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及方程的有解问题，着重考查了转化与化归思想、数形结合思想和推理、运算能力，对于方程的有解问题，通常转化为两个函数图象的交点个数，结合图象求解．12.在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点N 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解MN 的最小值，得到答案． 【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ， 由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r，即1212121x x y y x x +=+-，由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以12MN AB =,则2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+222211221212120()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=-又由12MN AB =，则224AB MN =，可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得220019()24x y -+=， ∴点00(,)N x y 的轨迹是以1(,0)2为圆心、半径等于32的圆C 3， ∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2的距离，即min 31122MN r d =-=-=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得N 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 二、填空题13.已知向量1)a =-r，b =r ，则a r 在b r方向上的投影为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据||||cos a b a b a ⋅=<r r r r r ，b >r ，得a r 在b r 上的投影为||cos a a <r r ，||a b b b ⋅>=r r r r ，求出a b ⋅r r ，代入投影的公式计算即可．【详解】Q 向量a =r，1)-，b =r ，1)，∴312a b ⋅=-=r r ，||2b =r ， ∴a r 在b r方向上的投影为||cos a a <r r ，212||a b b b ⋅>===r r r r ．故答案为：1．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题．14.若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为___________.【答案】[0,]e 【解析】 【分析】利用函数求导函数2()(2)2(2)()xxf x e x kx kx x e kx '=--+=--，只有一个极值点时()0f x '=只有一个实数解有0x e kx -≥，设新函数设()x u x e =，()h x kx =，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，2()(2)2(2)()x x f x e x kx kx x e kx '=--+=--，若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，()0f x '=只有一个实数解，则：0x e kx -≥， 从而得到：x e kx ≥， 当0k = 时，成立．当0k ≠时，设()xu x e =，()h x kx =，当两函数相切时，k e =，此时得到k 的最大值，但k 0<时不成立． 故k 的取值范围为：(0，]e 综上：k 的取值范围为：[0,]e . 故答案为：[0,]e ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式问题的等价转化方法，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．15.已知抛物线E ：212y x ＝的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，过A 作AM l ⊥，垂足为M ，AM 的中点为N ，若AM FN ⊥，则AB ＝___________. 【答案】16 【解析】 【分析】由题意画出图形，得到直线AB 的斜率，进一步求得直线AB 的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【详解】AF AM =Q ，N 为AM 的中点，且FN AM ⊥，30AFN ∴∠=︒，则直线AB 的倾斜角为60︒，斜率为3．由抛物线212y x =，得(3,0)F ，则直线AB 的方程为3(3)y x =-．联立23(3)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=．则10A B x x +=， ||16A B AB x x p ∴=++=．故答案为：16．【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题．16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力. 三、解答题17.已知ABC ∆的面积为32，且1AB AC ⋅=-u u u r u u u r 且AB AC >.(1)求角A 的大小；(2)设M 为BC 的中点，且32AM =，BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度. 【答案】（1）23π；（2）23. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出角的正切值，再结合角的范围即可求解；（2）先根据条件求出b ，c ，a ；再借助于面积之间的关系求出CN ，BN 之间的比例关系，结合题中条件即可求解．【详解】（1）1AB AC ⋅=-u u u r u u u r||||cos cos 1AB AC A bc A ⇒⋅⋅==-u u u r u u u r ，又13sin 2ABC S bc A ∆==，即sin 3bc A =， ∴sin sin tan 3cos cos bc A A A bc A A===-，又(0,)A π∈，∴23A π=.（2）如下图所示：在ABC ∆中，AM 为中线，∴2AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r，∴2222224||()||2||AM AB AC AB AB AC AC c b =+=+⋅+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴225b c +=.由（1）知：sin bc A =2bc ⇒=，又c b >， ∴2c =，1b =，由余弦定理可得：2222cos 527a b c bc A =+-=+=⇒a =11sin sin 22ANC S AN b CAN AN CAN =⋅∠=⨯∠， 1csin sin 2BANS AN BAN AN BAN =⨯∠=⨯∠， 又CAN BAN ∠=∠，∴12BAN ANC S CN S BN ==，又CN BN a +==，∴3CN =， 在ACN ∆中，有：2222cos AN b CN b CN ACB =+-⨯⨯∠712193=+-⨯⨯7441939=+-=， 所以23AN =. 【点睛】本题考查向量的数量积的应用、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求5S【答案】（1）12n n b -=；（2）5或75.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠，由已知条件求出q ，再写出通项公式；（2）由1313T =，求出q 的值，再求出d 的值，求出5S .【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠有()14d q ++=，即3d q +=.（1）∵()2127d q ++=，结合3d q +=得2q =，∴12n n b -=.（2）∵23113T q q =++=，解得4q =-或3，当4q =-时，7d =，此时55457752S ⨯=+⨯=； 当3q =时，0d =，此时5155S a ==.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.19.已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析．【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得F 22pA =+． 因为F 3A =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （Ⅱ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x=-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，所以()G 0213k A==--，()G 01312k B ==---，所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x=-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，故直线G A的方程为30y -+=，从而r ==．又直线G B 的方程为30y ++=，所以点F 到直线G B 的距离d r ===． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系． 【此处有视频，请去附件查看】20.已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【答案】（1）32n a n =-，*n ∈N （2）2186n n -- 【解析】 【分析】（1）根据n a 与n S 的关系，利用临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代入递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采用并项求和法，求其前2n 项和.【详解】（1）Q 对任意*n ∈N ，有()()1126n n n S a a =++，① ∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. 而数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=. 当11a =时，()13132n a n n =+-=-， 此时2429a a a =成立；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成立，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L()2426n a a a =-+++L()246261862n n n n +-=-⨯=--.【点睛】已知n S 与n a 的递推关系，利用临差法求n a 时，要注意对下标与n 分两种情况，即1,2n n =≥；数列求和时要先观察通项特点，再决定采用什么方法.21.已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得函数的导数1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知， 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e=时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->， 可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点， 因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为4，且过点．（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）22184x y +=；（2）存在直线8:3l y x =-满足题设条件,详见解析 【解析】 【分析】（1）由已知列出关于a ，b ，c 的方程组，解得a ，b ，c ，写出结果即可；（2）由已知可得，(0,2)B ，(2,0)F ．所以1BF k =-，因为BF l ⊥，所以可设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程整理，得2234280x mx m ++-=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可．【详解】（1）由已知可得，2222224421c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ 解得28a =，24b =，2c =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）由已知可得，(02)(20)B F ，，，，∴1BF k =-.∵BF l ⊥， ∴可设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程整理，得2234280x mx m ++-=.设()()1122M x y N x y ，，，， 则2121242833m m x x x x -+=-=，，∵1212212y y BN MF x x -⊥∴⋅=--，. 即121212220y y x x y x +--=∵()()()1122121212,220y x m y x m x m x m x x x m x =+=+∴+++-+-=，即()212122(2)20x x m x x m m +-++-=，∵222842(2)2033m mm m m --⋅+-⋅+-=∴28321603m m m +-=∴=-，或2m =.由()222(4)12289680m m m ∆=--=->，得212m < 又2m =时，直线l 过B 点，不合要求，∴83m =-， 故存在直线8:3l y x =-满足题设条件.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系应用，以及垂心的定义应用．意在考查学生的数学运算能力．。

2019-2020学年度第一学期期中考试高三理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数21e x y x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为A. B.C. 2D.37.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 8B.4 9.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是A. [-B. [0,C. [-2,2]D.[-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y +=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为A. 1B.C. 211.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. B. 2]C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

2019－2020学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 共60分)注意事项：答卷I 前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

一、选择题(每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有－项符合题意。

请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是A.y ＝ln|x|B.y ＝－x 2C.y ＝e xD.y ＝cosx2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝－100，5S 7－7S 5＝70，则S 101＝A.100B.50C.0D.－503.已知曲线f(x)＝xcosx ＋3x 在点(0，f(0))处的切线与直线ax ＋4y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为A.－4B.－1C.1D.44.在△ABC 中，D 是AB 边上一点，2AD DB =，且23CD AC CB λ=+，则λ的值为 A.14 B.－14 C.13 D.－135.己知双曲线离心率e ＝2，与椭圆221248x y +=有相同的焦点，则该双曲线渐近线方程是 A.13y x =± B.33y x =± C.3y x = D.3y x =± 6.已知角α满足cos(α＋6π)＝13，则sin(2α－6π)＝ A.429- B.429 C.79- D.796.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2π)的部分图像如图所示，则3()4f π=A.22-B.12- C.－1 D.22 8.已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 5－2a 72＋2a 8＝0，数列{b n }是等比数列且b 7＝a 7，则b 2b 12等于 A.49 B.32 C.94 D.239.已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，点l 是△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有121222lPF lPF lF F S S S ∆∆∆-≥，则双曲线的离心率取值范围是A.(12)B.(1，2)C.(1， 2]D.(12]10.函数f(x)＝sin(2x ＋3π)向右平移φ(0<φ<π)个单位后得到g(x)，若g(x)在(－6π，6π)上单调递增，则φ的取值范围是A.[0，4π]B.[0，23π]C.[4π，23π] D.[12π，4π] 11.己知函数f(x)＝(x 2－2x)e x －1，若当x>1时，f(x)－mx ＋1＋m ≤0有解，则m 的取值范围为A.m ≤1B.m<－1C.m>－1D.m ≥112.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＝6，点M(1，0)，动点A ，B 分别在圆C 1和圆C 2上，且AM ⊥MB ， N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为A.1B.2C.3D.4第II 卷(共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，共20分)13.己知向量a ＝3，－1)，b ＝(b ，1)，则a 在b 方向上的投影为 。