河北省衡水二中2018-2019学年第一学期高三期中试考数学文试题

2018-2019学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第H 卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）注意事项：1.答卷I 前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷I 前，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂里。

八、、°一、选择题（每小题 5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的 序号填涂在答题卡上）1•已知集合A ={x x =3 n — 1, n w N }, B = {6,8,10,12,14 },则集合A 「| B 中元素的个数为A.5B.4C.3D.22.已知复数 1 2i z 」,则z 的虚部为2 -iA. -1B.0C. 1D.3•已知点P -4,3是角〉终边上的一点，则 sin 二-〉二的第38项至第69项之和a 38 a 39氏9二2 21 2C. y - -16xD. x y 或 y - -16x3 34 4 A.—B.--c. 一 —D.-55552 24•已知双曲线 xy “1 2 30的离心率为 2,则 a -a3A.2B苗B.-C.HD.12 2CN42-1167/01，设a n 表示42n 1167n 的个位数字，则数列 Q ?A.180B.160C.150D.1406•已知点P -1,4，过点P恰存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点，则抛物线C的标准方程为2 1 2 2A. x yB. x 4y 或y 16x47.若数列:a n/中，a2 =2,a6 =0,且数列1 A.- 21B.-31C.-41是等差数列，则a4二a n 11D.-68.已知函数f x =si rx ■的图象上每个点的横坐标扩大到原来的长度，得到函数g x的图象，则函数=x对称，把函数f x42倍，纵坐标不变，再向右平移］个单位3g x勺图象的一条对称轴方程为R勺图象关于直线JI A. X 二6JIB. X =431C. x 二311兀D. X 二69.设点M为直线x=2上的动点，若在圆O : x2 y2 则M的纵坐标的取值范围是3上存在点N,使得.OMN =30 , 10.已知菱形ABCD中，.BAD =60 , AB =3,DF8 A.-9 21B.83C.—41 3DC, AE AC,则BF DE 二3 44D.-311.若平行四边形ABCD内接于椭圆冷亡「，直线AB的斜率为=则直线AD的斜率为1A.-21 2已知a b是平面向量1 1B. C.--2 42 是单位向量若非零向量与的夹角为一，向量满足七3D. —24e b 3 =0则| a上的最小值是A. 2 C. 3 -1第H卷（非选择题共90 分）填空题（每题5分，共20分。

2018-2019学年度第一学期期中考试高三理数一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位4.函数21e x y x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π 6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为 A.2 B.3 C. 2 D.37.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为 A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 8B.4C.42D.439.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是A. [22,0]-B. [0,22]C. [-2,2]D.[22,22]-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y +=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为 A. 1 B.2 C. 2 D.511.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是 A. 62,62] B. 662]C.[2322,2322]D.32,32]-二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

2018-2019学年度第一学期期中考试高三理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位4.函数21e x y x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积3PA PB k k =g，则该双曲线的离心率为 A.2 B.3 C. 2 D.37.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为 A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 8B.4C.42D.439.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =u u u r，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP u u u r =1，则()BP CA CB +u u u r u u u r u u u rg 的取值范围是A. [22,0]-B. [0,22]C. [-2,2]D.[22,22]-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y +=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为 A. 1 B.2 C. 2 D.511.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. [62,62]-+B. [62,62]-+C.[2322,2322]-+D.[32,32]-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

衡水市第二中学高三调研考试数学（文科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(4)0}A x x x =-<，{3,1,0,1,3}B =--，则A B =（ ）A.{3,1}--B.{1,3}C.{3,1,0}--D.{0,1,3}2.已知复数1iz i=+，则z 的虚部是（ ） A.12 B12i C.12-D.12i -3.设命题：2:,(1)10p x Z x ∀∈+->，则p ⌝为（ ） A.2,(1)10x Z x ∀∈+-> B.()200,110x Z x ∃∈+-> C.2,(1)10x Z x ∀∉+-≤D.()200,110x Z x ∃∈+-≤4.若向量a ，b 满足||2||2a b a b -=+=，则a b ⋅=（ ） A.54B.34C.34-D.54-5.以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为（ ） A.22(1)36x y -+= B.22(1)56x y ++= C.22(2)29x y -+=D.22(2)69x y ++=6.执行如图所示的程序框图，若输入的27x =，则输出的x =（ ）A.0B.1C.2D.37.设x ，y 满足约束条件2390300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A.92-B.3C.6D.88.在矩形ABCD 中4AB =，AD =A ，B 为焦点的双曲线经过C ，D 两点，则此双曲线的离心率为（ ）A.1)1C.2D.29.已知042a ππβ<<<<，且sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ）A.B.10.已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.,22π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D.,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭11.数列{}n a 中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从作到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……以此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2000n S >的最小正整数n 的值为（ ）A.27B.26C.21D.2012.已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有()()12124f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A.[4,)+∞B.(4. )+∞C.(,4]-∞D.(,4)-∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知函数22sin tan ,0(),0x x x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩，则254f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________.14.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c =，cos B C =，a =则ABC S ∆=__________. 15.在数列{}n a 中，112a =，111nn na a a ++=-，则48S =____________. 16.设1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线交双曲线C 的左支于A ，B 两点，且2||3AF =，2||5BF =，||4AB =，则12BF F ∆的面积为____________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

2017衡水二中高三数学阶段性综合检测（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．如图,点P 是正方形1111ABCD A BC D -外的一点,过点P 作直线l ,记直线l 与直线1AC ， BC 的夹角分别为1θ， 2θ，若()1s in 50θ-︒ ()2cos 140θ=︒-，则满足条件的直线l （ ）A. 有1条B. 有2条C. 有3条D. 有4条2．设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知,且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 3．直线, 且不同为经过定点（ ）A.B.C.D.4．已知函数()f x 的导数为()(),f x f x '不是常数函数，且()()()10x f x xf x +'+≥，对[)0,x ∈+∞恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）A. ()()122f ef <B. ()()12ef f <C. ()10f <D. ()()22ef e f < 5．我国的神舟十一号飞船已于2016年10月17日7时30分在酒泉卫星发射中心成功发射升空，并于19日凌晨，与天宫二号自动交会对接成功．如图所示为飞船上某零件的三视图，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是该零件的三视图，则该零件的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．206．如图， AC 为固定电线杆，在离地面高度为6m 的A 处引拉线AB ，使拉线AB 与地面上的BC 的夹角为48︒，则拉线AB 的长度约为（ ）（结果精确到0.1m ，参考数据：sin480.74︒≈， cos480.67︒≈， tan48 1.11︒≈）A. 6.7mB. 7.2mC. 8.1mD. 9.0m7．已知直线l ⊥平面a ，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①//l m αβ⇒⊥ ②//l m αβ⊥⇒ ③//l m αβ⇒⊥ ④//l m αβ⊥⇒ 其中正确命题的序号是（ ）A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ②④8．如图是函数图象的一部分，对不同，若，有，则的值为（ ）A. B. C. D.9．已知全集U R =，集合{}2|4A x x =>，{}|31B x x =-<<，则()U A B ð等于（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|32x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|32x x -≤≤10．定义在()1,1-上的函数()f x 满足： ()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭，当()1,0x ∈-时，有()0f x >，且112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．设*2111,2,5111m f f f n n N n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++≥∈ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则实数m 与1-的大小关系为（ ）A. 1m <-B. 1m =-C. 1m >-D. 不确定 11．函数的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 312．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是 （ ）A. B. C. （1，2） D.二、解答题13．在中，，，点在线段上.(Ⅰ)若，求的长； (Ⅱ)若，求的取值范围.14．如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形， //AB DC ，//PE DC ， AD DC ⊥， PD ⊥平面ABCD ， 2AB PD DA PE ===， 3CD PE =，F 是CE 的中点.（1）求证： //BF 平面ADP ； （2）求二面角B DF P --的余弦值. 15．（本小题满分12分）已知函数()()ln 1f x x a x =--， ()xg x e =．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ， 2l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明： 211e e a e e--<<； (3)设()()()1h x f x g x =++，当0x ≥， ()1h x ≥时，求实数a 的取值范围16．已知数列{}n a 满足， 222cos2n n a π=+， *n N ∈，等差数列{}n b 满足112a b =， 22a b =.（1）求n b ；（2）记212122n n n n n c a b a b ++=+，求n c ； （3）求数列{}n n a b 前200项的和200S .17．已知命题:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的负实数根，命题:q 关于x 的不等式()244210x m x +-+>的解集为R ，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围.18．如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积； （2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．19．（1）已知角α终边上一点()(0)P y y >，且sin 4y α=，求cos α和tan α的值．（2）已知α是第三象限的角，且()()()()()3si n c os 2tan ta n2s i n f ππαπαααπααπ⎛⎫---+-- ⎪⎝⎭=--，①化简()f α；②若31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α 20．如图ABCD 为矩形， CDFE 为梯形， CE ⊥平面,ABCD O 为BD 的中点， 2AB EF =（Ⅰ）求证： //OE 平面ADF ；（Ⅱ）若ABCD 为正方形，求证：平面ACE ⊥平面.BDF三、填空题21．若动直线x a ＝与函数()sin f x x ＝和()cos g x x ＝的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值为________． 22．若3sin ,,522ππαα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则5cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 23．等比数列{}n a 中，前n 项和12n n S r +=-（r 为常数），则r =__________；24．若()7x a +的二项展开式中，含6x 项的系数为7，则实数a =_________．参考答案1．D【解析】∵()1sin 50θ-︒ ()21cos 1402θ=︒-=，故可知1280θθ==︒；由于平移不改变两直线的夹角，故题目可以转化为过点1C 的直线与直线1AC ， 11B C 的夹角为80︒的直线有多少条；记直线1AC ， 11B C 的夹角为α，可以求得t a n α=，故1t a nα<<,故45α60︒<<︒，即120180α135︒<︒-<︒，故α802<︒， 180α802︒-<︒，故过点1C 的直线与直线1AC ， BC 的夹角为80︒的直线有4条，分别在这两直线夹角及补角的平分面上 故选：D 2．D【解析】在RT 中，设，则由勾股定理得：，所以，而由双曲线定义知，，离心率，故选D.3．A 【解析】令且，解得时，当时，不管取何值，恒成立，直线经过定点，故选A.4．A【解析】原式等于()()()()()'0x fx f x x f x x f x x fx⎡⎤'++=+≥⎣⎦ ，设()()xF x ex f x⎡⎤=⎣⎦，那么()()()()()''0x x x F x e xf x e xf x e xf x xf x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+≥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦'，所以函数()()x F x e xf x ⎡⎤=⎣⎦是单调递增函数， ()()()()212122F F ef e f <⇔<⋅⋅ ，即()()122f e f < ，故选A.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解不等式，需要构造函数，一般：（1）条件含有()()f x f x +' ，就构造()()xg x e f x = ，(2)若()()f x f x -' ，就构造()()xf xg x e =，（3）()()2f x f x +' ，就构造()()2xg x e f x = ，（4）或是()()2f x f x -' 就构造()()2xf xg x e =，或是熟记()()g x xf x = ， ()()f x g x x=等函数的导数，便于给出导数时，联想构造函数。

河北省衡水中学2018--2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学(文科)试卷高三文科数学试题 第3页(共6页) 高三文科数学试题 第4页(共6页)河北省衡水中学2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学试卷（文）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．集合A={x }2221≤≤∈x Z ，B=},cos {A x x y y ∈=，则B A I =( )A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{-1，0，1}2．已知复数z 满足2(3)(1i z ii+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为 （ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限 3. 函数2()2ln f x x xbx a=+-+ (0,)b a R >∈在点(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A.22B.2C.3D.14.若抛物线22(0)ypx p =>上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为（ ）A.24y x= B.236yx= C.24yx=或236yx=D.28yx=或232y x=5. 已知数列{}n a ，{}n b 满足111==b a ，+++∈==-N n b b a a nn n n ,211, 则数列{}na b 的前10项的和为 （ ）A ．)14(349- B.)14(3410-． C ．)14(319- D ．)14(3110-6．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是（ ）高三文科数学试题第5页(共6页) 高三文科数学试题第6页(共6页)C．-3≤a≤a≤7 D．a≥7或a ≤—312．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y=-+-为两点11(,)P x y,22(,)Q x y之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N-两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0=x；④到(1,0),(1,0)M N-两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有（）A．1个 B．2 个 C．3 个D．4个第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。

2018—2019学年度高三年级上学期二调考试数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，或，所以，故选.2.下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，，则”的逆否命题为“若，则”B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C. 命题“，使得”的否定是：“均有”D. “若为的极值点，则”的逆命题为真命题【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的构成关系可知答案A是正确的；当时，函数在定义域内是单调递增函数，故答案B也是正确的；由于存在性命题的否定是全称命题，所以命题“，使得”的否定是：“均有”，即答案C是也是正确的；又因为的根不一定是极值点，例如函数，则就不是极值点，也就是说命题“若为的极值点，则”的逆命题是假命题，所以应选答案D。

3.为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（）A. 第二象限B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限【答案】C【解析】，复数在复平面内对应坐标为，所以复数在复平面内对应的点在第四象限，故选C.4.函数的极值点的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】对函数求导，求出导函数的零点，并求出在零点两侧的导函数值的正负，判断是否为极值点，进而求出极值点个数.【详解】，当时导函数值为0，但在此零点两侧导函数均大于0，所以此处不是函数的极值点，所以函数极值点个数为0.【点睛】本题考查函数极值点的判断，求极值点时要有两个条件，一个是该点处导函数值为0，另一个是在该零点两侧，导函数值的符号不同.5.函数的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据趋向于负无穷的函数值正负，舍去C,D;再根据单调性确定选A.【详解】因为趋向于负无穷是<0,所以舍去C,D;因为，所以当时，所以选A.【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．6.已知函数在区间内单调递增，且，若，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，可得f（x）在（0，+∞）上单调递减，比较三个自变量的大小，可得答案．【详解】因为且所以.又在区间内单调递增，且为偶函数，所以在区间内单调递减，所以所以故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性.根据题意，函数为偶函数，所以图像关于轴对称，且在轴左右两侧单调性相反，即左增右减，距离对称轴越远，函数值就越小，所以原不等式比较两个函数值的大小，转化为比较两个自变量的绝对值的大小，绝对值大的，距离轴远，函数值就小.如果函数为奇函数，则左右两边单调性相同.7.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（）A. 0 B. 0或 C. 或 D. 0或【答案】D【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数的值.详解：因为，所以周期为2，作图如下：由图知，直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点时直线点A(1,1)或与相切，即或选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8.为得到函数的图象，只需将函数的图像A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位【答案】A【解析】试题分析：将图像向左平移后得，所以A项正确考点：三角函数图像平移点评：将向左平移个单位得，向右平移个单位得9.设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则在上有两个不等实根，有解，故,点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()在区间上有两个极值点，则在上有两个不等实根，所以有解，故,只需要满足解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用10.若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数在区间内没有最值即在区间内单调，转化为单调区间的子集问题即可.【详解】易知函数的单调区间为，.由得因为函数在区间内没有最值，所以在区间内单调，所以，所以，解得.由得当时，得当时，得又，所以综上，得的取值范围是故选：B.【点睛】本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象与性质的应用问题，属于中档题，解题关键把函数没有最值转化为单调问题即可．11.已知函数，，若成立，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．详解：设，则，，，∴，令，则，，∴是上的增函数，又，∴当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，，∴的最小值是．故选A．点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．12.已知函数，若方程在上有3个实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和最值，利用数形结合进行求解即可．【详解】当时，，则不成立，即方程没有零解.①当时，，即，则设则由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，所以当时，函数取得极小值；当时，；当时，；②当时，，即，则.设则由得（舍去）或，此时函数单调递增；由得，此时单调递减，所以当时，函数取得极大值；当时，当时，作出函数和的图象，可知要使方程在上有三个实根，则.故选：B.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共90分）填空题（每小题5分，共20分）13.已知角的终边经过，则________．【答案】.【解析】分析：根据任意角的三角函数的定义，求得sin的值,再结合诱导公式即可得到结果．详解：∵角θ的终边经过点，∴x=，y=3，r=，则sin==．∴故答案为：．点睛：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式，考查了计算能力，属于基础题．14.给出下列四个命题：函数的一条对称轴是；②函数的图象关于点对称；③若，则，其中；④函数的最小值为.以上四个命题中错误的个数为____________个.【答案】1【解析】【分析】，由f（）=﹣2，可判断；②，由函数y=tanx满足f（x）+f（π﹣x）=0可判断；③，可得2x1﹣=mπ，2x2﹣=nπ，（m∈Z，n∈Z），∴x1﹣x2=π=kπ，其中k∈Z，即可判定；④，函数y=cos2x+sinx=﹣sin2x+sinx+1=﹣（sin2x﹣）2+，即可求最小值，从而判定；【详解】对于①，因为，所以的一条对称轴是，故①正确；对于②，因为函数满足，所以的图象关于点对称，故②正确；对于③，若则所以故③错误；对于④，函数当时，函数取得最小值，故④正确.综上，共有1个错误.故答案为：1【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.15.已知的导函数为，若，且当时，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】令,当时,即解集是点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等16.已知函数其中为自然对数的底数，若函数与的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】将函数图象只有一个公共点转化为方程只有一根，再分离参数，求出函数的最小值即可．【详解】因为，所以函数在区间上单调递增，且所以当时，与有一个公共点；当时，令，即有一个解即可.设，则得.因为当时，当时，所以当时，有唯一的极小值，即有最小值，所以当时，有一个公共点.综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查数形结合的数学思想，综合性强．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最小值.【答案】（1）(2)【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由，得到的单调递增区间；（2）因为，所以，结合正弦函数的图象可得在区间上的最小值.【详解】（1），由，得.则的单调递增区间为.(2)因为，所以，当，即时，.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合思想，属于基础题．18.函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(Ⅰ)求函数的解析式和当时的单调减区间；(Ⅱ)的图象向右平行移动个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到的图象,用“五点法”作出在内的大致图象.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)图象见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由函数的最大值为,可求得的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为可求得周期，从而确定的值，然后利用正弦函数的单调性解不式可得单调减区间，取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到的解析式，列表、描点、作图即可得结果.【详解】(Ⅰ)∵函数f(x)的最大值是3,∴A+1=3,即A=2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期T=π,∴ω=2.所以f(x)=2sin(2x-)+1令+2kπ≤2x−≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∵x∈[0,π],∴f(x)的单调减区间为[,].(Ⅱ)依题意得g(x)=f(x-)-1=2sin(2x-),列表得：描点连线得g(x)在[0,π]内的大致图象.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式、单调性、三角函数的图象变换及“五点法”作图，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.19.已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2)函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因为，所以.所以又所以曲线在点处的切线方程为即.（5分）（2）由题意得，，所以.由，解得，故当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.又，，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则解得.所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.20.已知函数.(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)在上恒成立即在上恒成立，构造新函数求最值即可；（2）对x分类讨论，转证的最值与零的关系即可.【详解】解：（1）由，得在上恒成立.令，则.当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.故的最小值为.所以，即的取值范围为.（2）因为，所以，.令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即当时，，所以在上单调递减.又因为所以当时，当时，于是对恒成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21.已知函数，，令.（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)对函数求导，解不等式即可求得函数的单调增区间；(2) 令，由导函数的性质可知在上是递增函数，结合函数的性质构造新函数令，讨论可得整数的最小值为2.试题解析：（1），，，（），由得又，所以，所以的单增区间为.（2）令.所以.当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为.所以关于的不等式不能恒成立，当时，.令得，所以当时，；当时，.因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，.又因为在上是减函数，所以当时，.所以整数的最小值为2.22.已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)函数在上为增函数即在区间上恒成立，变量分离求最值即可；(2)，要证，即证等价于证，即. 【详解】解:（1）由题可知，函数的定义域为，因为函数在区间上为增函数，所以在区间上恒成立等价于，即，所以的取值范围是.（2）由题得，则因为有两个极值点，所以欲证等价于证，即，所以因为，所以原不等式等价于①.由可得，则②.由①②可知，原不等式等价于，即设，则，则上式等价于.令，则因为，所以，所以在区间上单调递增，所以当时，，即，所以原不等式成立，即.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

2018—2019学年度高三年级上学期二调考试数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，或，所以，故选.2.下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，，则”的逆否命题为“若，则”B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C. 命题“，使得”的否定是：“均有”D. “若为的极值点，则”的逆命题为真命题【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的构成关系可知答案A是正确的；当时，函数在定义域内是单调递增函数，故答案B也是正确的；由于存在性命题的否定是全称命题，所以命题“，使得”的否定是：“均有”，即答案C是也是正确的；又因为的根不一定是极值点，例如函数，则就不是极值点，也就是说命题“若为的极值点，则”的逆命题是假命题，所以应选答案D。

3.为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（）A. 第二象限B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限【答案】C【解析】，复数在复平面内对应坐标为，所以复数在复平面内对应的点在第四象限，故选C.4.函数的极值点的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】对函数求导，求出导函数的零点，并求出在零点两侧的导函数值的正负，判断是否为极值点，进而求出极值点个数.【详解】，当时导函数值为0，但在此零点两侧导函数均大于0，所以此处不是函数的极值点，所以函数极值点个数为0.【点睛】本题考查函数极值点的判断，求极值点时要有两个条件，一个是该点处导函数值为0，另一个是在该零点两侧，导函数值的符号不同.5.函数的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据趋向于负无穷的函数值正负，舍去C,D;再根据单调性确定选A.【详解】因为趋向于负无穷是<0,所以舍去C,D;因为，所以当时，所以选A.【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．6.已知函数在区间内单调递增，且，若，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，可得f（x）在（0，+∞）上单调递减，比较三个自变量的大小，可得答案．【详解】因为且所以.又在区间内单调递增，且为偶函数，所以在区间内单调递减，所以所以故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性.根据题意，函数为偶函数，所以图像关于轴对称，且在轴左右两侧单调性相反，即左增右减，距离对称轴越远，函数值就越小，所以原不等式比较两个函数值的大小，转化为比较两个自变量的绝对值的大小，绝对值大的，距离轴远，函数值就小.如果函数为奇函数，则左右两边单调性相同.7.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（）A. 0 B. 0或 C. 或 D. 0或【答案】D【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数的值.详解：因为，所以周期为2，作图如下：由图知，直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点时直线点A(1,1)或与相切，即或选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8.为得到函数的图象，只需将函数的图像A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位【答案】A【解析】试题分析：将图像向左平移后得，所以A项正确考点：三角函数图像平移点评：将向左平移个单位得，向右平移个单位得9.设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则在上有两个不等实根，有解，故,点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()在区间上有两个极值点，则在上有两个不等实根，所以有解，故,只需要满足解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用10.若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数在区间内没有最值即在区间内单调，转化为单调区间的子集问题即可.【详解】易知函数的单调区间为，.由得因为函数在区间内没有最值，所以在区间内单调，所以，所以，解得.由得当时，得当时，得又，所以综上，得的取值范围是故选：B.【点睛】本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象与性质的应用问题，属于中档题，解题关键把函数没有最值转化为单调问题即可．11.已知函数，，若成立，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．详解：设，则，，，∴，令，则，，∴是上的增函数，又，∴当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，，∴的最小值是．故选A．点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．12.已知函数，若方程在上有3个实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和最值，利用数形结合进行求解即可．【详解】当时，，则不成立，即方程没有零解.①当时，，即，则设则由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，所以当时，函数取得极小值；当时，；当时，；②当时，，即，则.设则由得（舍去）或，此时函数单调递增；由得，此时单调递减，所以当时，函数取得极大值；当时，当时，作出函数和的图象，可知要使方程在上有三个实根，则.故选：B.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共90分）填空题（每小题5分，共20分）13.已知角的终边经过，则________．【答案】.【解析】分析：根据任意角的三角函数的定义，求得sin的值,再结合诱导公式即可得到结果．详解：∵角θ的终边经过点，∴x=，y=3，r=，则sin==．∴故答案为：．点睛：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式，考查了计算能力，属于基础题．14.给出下列四个命题：函数的一条对称轴是；②函数的图象关于点对称；③若，则，其中；④函数的最小值为.以上四个命题中错误的个数为____________个.【答案】1【解析】【分析】，由f（）=﹣2，可判断；②，由函数y=tanx满足f（x）+f（π﹣x）=0可判断；③，可得2x1﹣=mπ，2x2﹣=nπ，（m∈Z，n∈Z），∴x1﹣x2=π=kπ，其中k∈Z，即可判定；④，函数y=cos2x+sinx=﹣sin2x+sinx+1=﹣（sin2x﹣）2+，即可求最小值，从而判定；【详解】对于①，因为，所以的一条对称轴是，故①正确；对于②，因为函数满足，所以的图象关于点对称，故②正确；对于③，若则所以故③错误；对于④，函数当时，函数取得最小值，故④正确.综上，共有1个错误.故答案为：1【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.15.已知的导函数为，若，且当时，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】令,当时,即解集是点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等16.已知函数其中为自然对数的底数，若函数与的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】将函数图象只有一个公共点转化为方程只有一根，再分离参数，求出函数的最小值即可．【详解】因为，所以函数在区间上单调递增，且所以当时，与有一个公共点；当时，令，即有一个解即可.设，则得.因为当时，当时，所以当时，有唯一的极小值，即有最小值，所以当时，有一个公共点.综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查数形结合的数学思想，综合性强．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最小值.【答案】（1）(2)【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由，得到的单调递增区间；（2）因为，所以，结合正弦函数的图象可得在区间上的最小值.【详解】（1），由，得.则的单调递增区间为.(2)因为，所以，当，即时，.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合思想，属于基础题．18.函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(Ⅰ)求函数的解析式和当时的单调减区间；(Ⅱ)的图象向右平行移动个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到的图象,用“五点法”作出在内的大致图象.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)图象见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由函数的最大值为,可求得的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为可求得周期，从而确定的值，然后利用正弦函数的单调性解不式可得单调减区间，取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到的解析式，列表、描点、作图即可得结果.【详解】(Ⅰ)∵函数f(x)的最大值是3,∴A+1=3,即A=2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期T=π,∴ω=2.所以f(x)=2sin(2x-)+1令+2kπ≤2x−≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∵x∈[0,π],∴f(x)的单调减区间为[,].(Ⅱ)依题意得g(x)=f(x-)-1=2sin(2x-),列表得：描点连线得g(x)在[0,π]内的大致图象.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式、单调性、三角函数的图象变换及“五点法”作图，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.19.已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2)函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因为，所以.所以又所以曲线在点处的切线方程为即.（5分）（2）由题意得，，所以.由，解得，故当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.又，，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则解得.所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.20.已知函数.(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)在上恒成立即在上恒成立，构造新函数求最值即可；（2）对x分类讨论，转证的最值与零的关系即可.【详解】解：（1）由，得在上恒成立.令，则.当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.故的最小值为.所以，即的取值范围为.（2）因为，所以，.令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即当时，，所以在上单调递减.又因为所以当时，当时，于是对恒成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21.已知函数，，令.（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)对函数求导，解不等式即可求得函数的单调增区间；(2) 令，由导函数的性质可知在上是递增函数，结合函数的性质构造新函数令，讨论可得整数的最小值为2.试题解析：（1），，，（），由得又，所以，所以的单增区间为.（2）令.所以.当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为.所以关于的不等式不能恒成立，当时，.令得，所以当时，；当时，.因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，.又因为在上是减函数，所以当时，.所以整数的最小值为2.22.已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)函数在上为增函数即在区间上恒成立，变量分离求最值即可；(2)，要证，即证等价于证，即. 【详解】解:（1）由题可知，函数的定义域为，因为函数在区间上为增函数，所以在区间上恒成立等价于，即，所以的取值范围是.（2）由题得，则因为有两个极值点，所以欲证等价于证，即，所以因为，所以原不等式等价于①.由可得，则②.由①②可知，原不等式等价于，即设，则，则上式等价于.令，则因为，所以，所以在区间上单调递增，所以当时，，即，所以原不等式成立，即.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

2018-2019学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合，集合，则A. B. C. D. 1，【答案】D【解析】解：集合1，2，3，，集合，则1，．故选：D．化简集合A，根据交集的定义写出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2. 已知i为虚数单位，实数x，y满足，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：，，．则．故选：D．利用复数代数形式的乘法运算化简，求出x，y的值，再由复数求模公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3. 如图，已知，，，，则A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，，故选：B．根据向量的三角形法和加减的几何意义即可求出．本题考查了向量的三角形法和向量的数乘运算，属于基础题4. 设，，，，则A. B. C. D.【答案】D 【解析】解：，，，．在R上为增函数，，故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 已知命题p：若且，则；命题q：，使，则下列命题中为真命题的是A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢【答案】A【解析】解：若且，则且，得，即，从而，命题p为真．直线与函数的图象在内有唯一交点，则方程有正数解，即方程有正数解，命题q为真，为真命题．故选：A．利用基本不等式的性质判断p为真命题，由直线与函数的图象在内有唯一交点，可得命题q为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查基本不等式的应用，考查函数零点的判定方法，是中档题．6. 设是公差不为0的等差数列，满足，则的前10项和A. B. C. 0 D. 5【答案】C【解析】解：，化简可得：，即，．，，，，故选：C．，化简可得：，可得，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是A. 2B. 4C.D.【答案】C【解析】解：由三视图可得原几何体如图，底面ABC，平面底面ABC，而，平面PAC，．该几何体的高，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．，，，该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．本题考查了由三视图还原原图形，考查了学生的空间想象能力和思维能力．8. 过双曲线C：的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点为坐标原点，则双曲线C的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点为坐标原点，半径，则圆的标准方程为，，，即，则，即，即，即，则，，则双曲线C的方程为，故选：D．根据圆的性质，求出圆心坐标，即求出A的坐标，代入圆的方程进行求解即可．本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径是解决本题的关键．9. 已知过点作曲线C：的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，则切线方程为，切线过点代入得，可得，即方程有两个解，则有可得或．即a的取值范围是．故选：A．设切点为，求得的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入A的坐标，整理为m的二次方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档题．10. 已知，其中，，，，将的图象向左平移个单位得，则的单调递减区间是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，其中，，，，，，．又，的图象的对称轴为，，，，将的图象向左平移个单位得的图象，令，求得，则的单调递减区间是，故选：A．利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得的解析式，利用函数的图象变换规律求得的解析式，利用余弦函数的单调性求得则的单调递减区间．本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．11. 焦点为F的抛物线C：的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为A. 或B.C. 或D.【答案】A【解析】解：过M做MP与准线垂足，垂足为P，则丨丨丨丨，则当取得最大值，则必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，设切线方程为，则，，，，则，则直线方程或，故选：A．由题意可知则当取得最大值，则必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，设直线l的方程，代入抛物线方程，由，考虑求得MA的方程．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．12. 已知半径为3cm的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于A. 2cmB. 4cmC.D. 24cm【答案】B【解析】解：如图，设四棱锥的底面边长为2a，高为，则底面正方形外接圆的半径为，侧棱长，由射影定理可得：，则四棱锥的体积，则，可得当时，V有最大值，此时，，则底面边长等于4cm．故选：B．由题意画出图形，设四棱锥的底面边长为2a，高为，可得，写出棱锥体积，把a用h表示，再由导数求解得答案．本题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了导数在求最值问题中的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则．其中真命题的序号是______请将所有正确命题的序号都填上【答案】【解析】解：若，，则，，a与c异面都有可能；若，，由公理4得；若，，则，，a与b异面都有可能；若，，则，由课本例题可知．故答案为：．可利用长方体来观察；由空间平行线的传递性可得；垂直同一平面的两直线互相平行．本题考查空间线线和线面的位置关系，考查空间想象力，注意课本例题，有的可当结论用，属于基础题和易错题．14. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为______参考数据：，【答案】24【解析】解：模拟执行程序，可得，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．15. 已知实数x，y满足，若的最大值为5，则正数m的值为______．【答案】2【解析】解：由题意作出实数x，y满足的平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，故结合图象可得，，解得，，；故；故答案为：2．由题意作出其平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，从而解方程可求出m，即可．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．16. 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为根据以上性质，函数的最小值为______．【答案】【解析】解：由两点间的距离公式得为点到点，，的距离之和，即求点到点，，的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，如右图，在等腰三角形AMB中，，可得，，容易求得最小值为．故答案为：．由两点距离公式可得表示点到点，，的距离之和，由新定义可得的最小值点即为费马点，由解三角形可得所求最小值．本题考查两点的距离公式的运用，考查新定义的理解和运用，以及运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70分）17. 已知数列为等差数列，首项，公差若，，，，，成等比数列，且，，．求数列的通项公式；设，求和．【答案】解：数列为等差数列，首项，公差．，，，，，成等比数列，且，，．，，，解得或舍，分，分分，分【解析】由已知得，从而，，由此能求出．由，，能求出．本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．18. 如图，在中，BC边上的中线AD长为3，且，．求的值；求及外接圆的面积．【答案】解：在中，，，，由正弦定理，得；，，，，，分为BC中点，，在中，由余弦定理得：，．设外接圆的半径为R，，，外接圆的面积【解析】由正弦定理即可解得的值；先求得，，利用两角和的余弦函数公式可求，由题意可求，利用余弦定理即可求得AC的值，再根据正弦定理求出外接圆的半径，面积即可求出．此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，已知，，于E．求证：；若平面平面ABCD，且，求二面角的余弦值．【答案】证明：连接PE，，，AE是公共边，≌ ，，，，又平面PCE，平面PCE，，平面PCE，又平面PCE，；解：由平面PEC，平面平面ABCD，，EA，EC两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．，，，，，，则0，，0，，，，，．设平面PCD的法向量为，则，即，令，则，又平面PAD的一个法向量为，设二面角所成的平面角为，则，由图可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为．【解析】连接PE，证明 ≌ ，可得，由，得，由线面垂直的判定可得平面PCE，从而得到；由平面PEC，平面平面ABCD，可得EP，EA，EC两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查空间中线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题．20. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F，离心率，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，的周长为16．求椭圆C的方程；已知O为原点，圆D：与椭圆C交于M、N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证：为定值．【答案】解：由题意和椭圆的定义得，则，由，解得，则，所以椭圆C的方程为；证明：由条件可知，M，N两点关于x轴对称，设，，则，由题可知，，，所以，．又直线PM的方程为，令得点G的横坐标，同理可得H点的横坐标，所以，即为定值．【解析】利用椭圆的定义可求出a的值，再利用离心率求出c，从而得出b的值，从而求出椭圆方程；先设M、P两点的坐标，再表示处N点的坐标，根据椭圆方程用M、P的纵坐标表示处它们的横坐标，之后利用直线PM和PN的方程求出G和H的横坐标，最后即可求得为定值．本题考查了椭圆的定义和性质，证明题关键在于正确设出点的坐标，利用椭圆方程和直线方程正确表示出点的坐标，属于中档题．21. 已知函数．Ⅰ若函数有零点，求实数a的取值范围；Ⅱ证明：当时，．【答案】解：Ⅰ法1：函数的定义域为．由，得分因为，则时，；时，0'/>．所以函数在上单调递减，在上单调递增分当时，分当，即时，又，则函数有零点分所以实数a的取值范围为分法2：函数的定义域为．由，得分令，则．当时，0'/>；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减分故时，函数取得最大值分因而函数有零点，则分所以实数a的取值范围为分Ⅱ要证明当时，，即证明当，时，，即分令，则．当时，；当时，0'/>．所以函数在上单调递减，在上单调递增．当时，分于是，当时，分令，则．当时，0'/>；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减．当时，分于是，当时，分显然，不等式、中的等号不能同时成立分故当时，分【解析】Ⅰ法一：求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出，令，根据函数的单调性求出a的范围即可；Ⅱ问题转化为，令，令，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、考查不等式的证明，是一道综合题．22. 在平面直角坐标系中，曲线：，曲线的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求曲线，的极坐标方程；Ⅱ在极坐标系中，射线与曲线，分别交于A，B两点异于极点，定点，求的面积．【答案】解：Ⅰ曲线：，曲线的极坐标方程为：，---------分曲线的参数方程为为参数．曲线的普通方程为：，---------分，曲线的极坐标方程为---------------分Ⅱ由Ⅰ得：点A的极坐标为，---------分点B的极坐标为，----------分，------------------分点到射线的距离为，--------------------------分的面积为：---------分【解析】Ⅰ由曲线的普通方程能求出曲线的极坐标方程；由曲线的参数方程能求出曲线的普通方程，由此能求出曲线的极坐标方程．Ⅱ点A的极坐标为，点B的极坐标为，从而，点到射线的距离为，由此能求出的面积．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23. 已知函数，．当时，若的最小值为3，求实数a的值；当时，若不等式的解集包含，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4．当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数a的取值范围是．【解析】当时，化简的表达式，利用绝对值的几何意义，求解最小值然后求解a即可．当时，即，通过x的范围，转化去掉绝对值符号，推出a 的范围．本题考查函数的最值的求法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．。