典型相关分析与多维标度法

现代统计学1.因子分析(Faｃｔor Ａｎalysis)因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子(之所以称其为因子,是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息.运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。

2．主成分分析主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前,用主成分分析来分析数据,让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的.主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。

(screeninｇ the daｔa)，b，和ｃｌuｓteｒ aｎaｌysｉs一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解,这时候可以使用主成份发对变量简化。

（ｒeduce dimensiｏｎality)d,在多元回归中,主成分分析可以帮助判断是否存在共线性(条件指数),还可以用来处理共线性。

主成分分析和因子分析的区别1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。

2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。

３、主成分分析中不需要有假设(ａｓｓｕｍptions）,因子分析则需要一些假设。

因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（speｃific fａct ｏr）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关.４、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的,可以旋转得到不同的因子。

５、在因子分析中,因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定,只要是特征值大于1的因子进入分析),而指定的因子数量不同而结果不同。

典型相关分析与多维标度法典型相关分析与多维标度法是两种常用的数据分析方法，用于分析两组变量之间的关系，其中典型相关分析主要用于分析两组多元变量之间的关系，而多维标度法则用于将多个变量转换为低维空间中的坐标，以观察它们之间的相似性或差异性。

典型相关分析是一种针对多个自变量和多个因变量之间的关系进行分析的方法。

典型相关分析的主要目标是找到一些线性组合，使得两组变量之间的相关性最大化。

通过这种方法，我们可以了解两组变量之间的相互作用和影响，对于构建预测模型或解释问题起到重要作用。

在典型相关分析中，我们首先将两组变量分别表示为X和Y，其中X 包含p个自变量（X1，X2，…，Xp），Y包含q个因变量（Y1，Y2，…，Yq）。

我们寻找一些线性组合，使得X和Y之间的相关性最大化。

我们可以将X和Y的线性组合表示为Z和W。

多维标度法是一种数据降维的方法，它可以将多个变量转换为低维空间中的坐标，以便于观察它们之间的相似性或差异性。

多维标度法的主要目标是通过将变量映射到低维空间中的坐标来保留变量之间的相对距离关系。

通过这种方法，我们可以更容易地观察和解释多个变量之间的关系。

在多维标度法中，我们首先计算变量之间的距离矩阵，然后通过寻找一些低维坐标来最小化原始距离矩阵与降维后的距离矩阵之间的误差。

我们可以使用不同的方法来计算坐标，如主成分分析法或岭回归法。

典型相关分析与多维标度法之间存在一些区别。

首先，典型相关分析主要用于分析两组多元变量之间的关系，而多维标度法则用于将多个变量转换为低维空间中的坐标。

其次，典型相关分析着重于寻找最大化相关性的线性组合，而多维标度法则着重于保留变量之间的距离关系。

最后，典型相关分析可以用于预测建模和解释问题，而多维标度法则主要用于观察和解释变量之间的相似性或差异性。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择使用典型相关分析或多维标度法。

如果我们想要探索和解释两组多元变量之间的关系，可以使用典型相关分析。

典型相关分析简介典型相关分析（canonical correlation analysis, CCA）是一种多变量统计分析方法，用于研究两组观测变量之间的相关性。

该方法可以帮助我们理解两组变量之间的线性关系，并找出两组变量中最相关的部分。

在机器学习、数据挖掘以及统计学中，典型相关分析被广泛应用于特征选择、降维和模式识别等领域。

方法典型相关分析是基于矩阵分解的方法，通过将两组变量转化成低秩的典型变量来寻找相关性。

典型相关分析的基本思想是找出两组变量的线性组合，使得这两个组合能够达到最大的相关性。

具体而言，给定两组变量X和Y，我们可以得到X的线性组合u和Y的线性组合v，使得cor(u,v)达到最大。

其中cor(u,v)表示两个向量u和v的相关系数。

典型相关分析的目标即是求解出使得cor(u,v)最大的u和v。

下面是典型相关分析的数学表示形式:max cor(u,v)subject to u = Xa, v = Yb其中，X和Y分别是两组变量的矩阵，u和v是X和Y的线性组合，a和b是权重向量。

通过求解最优化问题，我们可以得到最相关的线性组合u和v，从而得到最相关的部分。

应用典型相关分析广泛应用于多个领域，下面列举了几个常见的应用场景：特征选择在特征选择中，我们经常面临着从大量的特征中选取最相关的特征集合。

典型相关分析可以帮助我们通过寻找两组变量之间的相关性，筛选出对目标变量有着较强相关性的特征。

通过选择最相关的特征，我们可以提高模型的泛化能力，并降低过拟合的风险。

降维在大数据时代，数据维度高维且复杂。

降维可以帮助我们减少计算负担，并去除冗余信息。

典型相关分析可以通过找出两组变量最相关的部分，将原始多维数据降到低维空间。

这样做可以减少计算复杂度，提高模型的训练速度，并帮助我们更好地理解数据之间的关系。

模式识别典型相关分析在模式识别领域也有着重要的应用。

通过找出两组变量之间的最相关部分，我们可以构建更加精确和可靠的模式识别模型。

第四部分：横截面数据分析(Cross Data)西安交大管理学院2011‐春2内容•判别分析(Discriminant analysis)•典型相关分析(Canonical correlation analysis ）•对应分析(Correspondence analysis)•联合分析（Conjoint analysis/measurement)•多维尺／标度分析(Multi-Dimentional Scaling)对应分析(Correspondence analysis)•也称关联分析、R ‐Q 型因子分析，是近年新发展起来的一种多元相依变量统计分析技术，通过分析由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。

可以揭示同一变量的各个类别之间的差异，以及不同变量各个类别之间的对应关系。

主要应用在市场细分、产品定位、地质研究以及计算机工程等领域中。

原因在于，它是一种视觉化的数据分析方法，它能够将几组看不出任何联系的数据，通过视觉上可以接受的定位图展现出来。

•由法国人Benzenci 于1970年提出的，起初在法国和日本最为流行，然后引入到美国。

由法国人Benzenci 于1970年提出的，起初在法国和日本最为流行，然后引入到美国。

•对应分析法是在R 型和Q 型因子分析的基础上发展起来的一种多元统计分析方法。

在因子分析中，如果研究的对象是样品，则需采用Q 型因子分析；如果研究的对象是变量，则需采用R 型因子分析。

但是，这两种分析方法往往是相互对立的，必须分别对样品和变量进行处理。

因此，因子分析对于分析样品的属性和样品之间的内在联系，就比较困难，因为样品的属性是变值，而样品却是固定的。

于是就产生了对应分析法。

它综合了R 型和Q 型因子分析的优点，并将它们统一起来使得由R 型的分析结果很容易得到Q 型的分析结果，这就克服了Q 型分析计算量大的困难；更重要的是可以把变量和样品的载荷反映在相同的公因子轴上，这样就把变量和样品联系起来便于解释和推断。

第10章多维标度分析10.1多维标度法的基本思想当维数p>3时，即使给出了p维空间R P中n个样本点的坐标，我们都难以想象这n个点的相互位置关系，因此自然希望在我们熟悉的低维空间R k(k<p,如k=1,2,3)中能以较高的相似度重新展示这n个点的数据结构，并由此对原始样本数据进行统计分析.另外，即使维数p≤3,有时问题也不容易解决.比如地图上任意两个城市之间的直线距离和实际道路距离不一样，若仅给了一组城市相互间的实际道路距离，你能否标出这些城市之间的相对位置呢?又假定只知道哪两个城市最近，哪两个城市次近，等等，你还能确定它们之间的相对位置吗?重新标度的位置与实际位置相似度达到多大?把上面的不同“城市”换作不同的“产品”、“品牌”、“指标”等，也会遇到类似的问题.多维标度法(multidimensional scaling,MDS)就是一类将高维空间中的研究对象(样本或变量)简化到低维空间中进行定位、归类和分析，同时又有效地保留研究对象间原始关系的多元数据分析技术的总称，是一种维数缩减方法.多维标度法于20世纪40年代起源于心理测度学，用于大致测定人们判断的相似性，1958年Torgerson在其博士论文中首先正式提出了这一方法.多维标度法现在已广泛应用于心理学、市场营销、经济管理、交通、生态学及地质学等领域.多维标度法内容丰富、方法较多，其理论分析手段与主成分分析有相通之处，但也有自己的特点.根据研究对象的相关指标是用距离、比例等度量化数据给出还是用顺序、秩等给出，相应的分析方法分为度量分析法和非度量分析法，而古典多维标度法是其中最常用的度量分析法.10.2古典多维标度法下面根据参考文献[2],用一个例子来介绍几个与多维标度法相关的基本概念.【例10.1】(数据文件为eg10.1)表10-1给出了我国部分城市间的距离，由于道路弯弯曲曲，这些距离并不是这些城市间的真正距离.我们希望在地图上重新标出这八个城市，使得它们之间的距离尽量接近表10-1中的距离.表10-1 我国八个城市间的距离单位：千米北京天津济南青岛郑州上海杭州南京北京0天津118 0济南439 363 0青岛668 571 362 0郑州714 729 443 772 0上海1259 1145 886 776 984 0杭州1328 1191 872 828 962 203 0南京1065 936 626 617 710 322 305 0 10.2.1多维标度法的几个基本概念定义10.1一个n×n阶矩阵,如果满足条件(1)(2)则称矩阵D为广义距离阵，dij称为第i点与第j点间的距离.注意：这样定义的距离不是通常意义下的距离，而是通常距离的拓广，比如人们熟悉的距离三角不等式在这里就未必成立.对于距离阵,多维标度法的目的是要寻找较小的正整数k(如k=1,2,3)和相应低维空间R k中的n个点x₁,x₂,…,xn ,记表示xi与xj在R k中的欧氏距离，使得与D在某种意义下尽量接近.将找到的这n个点写成矩阵形式称X为D的一个古典多维标度(CMDS)解.在多维标度分析中，形象地称xi为D的一个拟合构造点，称X为D的拟合构图，称为D的拟合距离阵.特别地，当=D时，称xi为D的构造点，称X为D的构图.又若X为D的构图，令式中，P为正交阵，a为常数向量，则Y=(y₁,y₂,…,yn)也为D的构图，这是因为平移和正交变换不改变两点间的欧氏距离，即若D的构图存在，那么它是不唯一的.定义10.2对于一个n×n的距离阵,如果存在某个正整数k和R k中的n个点x₁,x₂,…,xn,使得(10.1)则称D为欧氏距离阵.下面讨论如何判断一个距离阵D是否为欧氏距离阵；在已知D为欧氏距离阵的条件下，如何确定定义10.2中相应的k和R k中的n个构造点x₁,x₂,…,xn.令(10.2)(10.3)式中，In 为n×n阶单位阵，1n,为分量全为1的n维列向量.借助这些定义，下面给出一个距离阵D为欧氏距离阵的充要条件.定理10.1设D为n×n阶距离阵，B由式(10.3)定义，则D是欧氏距离阵的充要条件为B≥0.证明：(必要性)设D是欧氏距离阵，由定义和式(10.2)可知，存在正整数k 和R k中的n个构造点x₁,x₂,…,xn,使得又由式(10.3)可得(10.5)式中，为元素全为1的nxn阶矩阵.注意式中(10.6)将它们代入式(10.5)中，可得(10.7)由式(10.4)知,再结合式(10.6),可得(10.8)将代入式(10.8),化简可得式中，将式(10.9)表示为矩阵形式，得到这里乘积HX所得的结果是将X中心化，即(10.10)(充分性)反之，若B≥0,记k=rank(B),λ₁,λ₂,…,λk (λ₁≥λ₂≥…≥λk>0)为B的正特征值，x(1),(2),…,x(k)为相应的特征向量，且令注意：这里x₁,x₂,…,xn表示由X的各行转置后得到的k×1列向量.令A=diag(λ₁,λ₂,…,λk),,则,即P的列为标准正交化特征向量，于是(10.11)由此可得说明正好是D的构图，所以D是欧氏距离阵，充分性得证.注意：充分性的证明给出了从欧氏距离阵D出发得到构图X的方法，即D→A→B→X具体步骤为：由D知dij,由得A,再由得B,最后求B的特征值λ₁,λ₂,…,λk和相应的特征向量x(1),(2),…,x(k),n×k阶矩阵X=(x(1),(2),…,x(k))的行向量转置后得到的n个k×1列向量x₁,x₂,…,xn 即为D的n个构成点，而矩阵即为D的构图，据式(10.11),X 也可以由来计算.由定理10.1知，D是欧氏距离阵的充要条件是B≥0.因此若B有负特征值，那么D一定不是欧氏距离阵，此时不存在D的构图，只能求D的拟合构图，记作,以区别真正的构图X.在实际中，即使D为欧氏距离阵，记它的构图为n×k 矩阵X,当k较大时也失去了实用价值，这时宁可不用X,而去寻找低维的拟合构图.也就是说，在D的构图不存在和构图存在但k较大两种情形下都需要寻找D的低维拟合构图.令这两个量相当于主成分分析中的累积贡献率，我们希望k不要取太大，就可以使a₁.k和a₂.k比较大，比如说，大于80%就比较合适.当k取定后，用表示B的对应于特征值λ₁,λ₂,…,λk的正交化特征向量，使得.通常还要求λk >0,若λk<0,要缩小k的值.最后，令则即为D的拟合构图，或者说为D的古典多维标度解，(均为k×1列向量)即为D的n个拟合构造点.有的文献也把称为X的主坐标，把多维标度分析称为主坐标分析.下面用一个具体例子(参见参考文献[2])来说明上述求解步骤.【例10.2】设有距离阵D如下(为简洁起见，对称阵都只写出上三角部分):由于,可求得A,āig ,āgj及āgg如下：再由bij =aij-āig-āgj+āgg可得由于B的7个列b₁,b₂,…,b₇有如下线性关系b₃=b₂-b₁,b₄=-b₁,b₅=-b₂,b₆=b₁-b₂,b₇=0于是B的秩最多为2,注意到B的第一个二阶主子式非退化，故rank(B)=2=k,并且可求得B的7个特征值分别为：λ₁=λ₂=3,λ₃=λ₄=…=λ₇=0且对应于λ₁,λ₂的特征向量分别为：故7个拟合构造点在R²中的坐标分别为：(√3/2,1/2),(√3/2,-1/2),(0,-1),(-√3/2,-1/2),(-√3/2,1/2),(0,1 ),(0,0)因为B≥0,所以原矩阵D是欧氏距离阵，故这7个拟合构造点就是D的构造点.容易验证，这7个构造点在R²中的欧氏距离阵恰为D,即10.2.2已知距离矩阵时CMDS解的计算上面计算CMDS解的过程在R中可使用stats包中的cmdscale()函数来实现，也可以使用MASS包中处理非度量MDS问题的isoMDS()函数来实现，但cmdscale()函数的好处是可以同时计算出B的特征值和特征向量以及两个累积贡献率a₁.k 和a₂.k的值.【例10.3】(数据文件为eg10.3)根据表10-1给出的我国八个城市间的距离矩阵D,利用R软件stats包中的cmdscale()函数求D的CMDS解，给出拟合构图及拟合构造点.解：在R中的程序为：#例10.3打开数据文件eg10.3.xls,选取数据区域C2:K10,然后复制>eg10.3=read.table("clipboard",header=T) #在R中读入数据>D10.3=cmdscale(eg10.3,k=2,eig=T) #k取为2,eig=T给出矩阵B的前两个特征#向量和特征值>D10.3$points[,1] [,2]北京-658.14610 -52.301759天津-522.00992 -133.917153济南-229.30657 32.365307青岛-80.72182 -277.225217郑州-171.98297 474.047645上海610.52727 -102.636996杭州659.93216 5.717159南京391.70794 53.951014$eig[1]1.756015e+06 3.367695e+05 7.888679e+04 3.770390e+041.320482e+04 -4.001777e-11 -1.434722e+04 -3.259473e+04......>sum(abs(D10.3$eig[1:2]))/sum(abs(D10.3$eig)) #计算a1.2[1] 0.9221257>sum((D10.3$eig[1:2])~2)/sum((D10.3$eig)~2) #计算a2.2[1] 0.9971656>x=D10.3$points[,1]>y=D10.3$points[,2]>plot(x,y,xlim=c(-700,800),ylim=c(-300,600)) #绘散点图(见图10-1)#根据两个特征向量的分量大小>text(x,y,labels=s(eg10.3),adj=c(0,-0.5),cex=0.8) #名标出#将拟合点用行#名标出图10-1我国八城市距离阵的拟合构图由R计算结果可见，矩阵B的八个特征值分别为：1756015,336770,78887,37704,13205,0,-14347,-32595最后两个特征值为负，表明距离矩阵D不是欧氏距离阵.a1.2=92.2%,a2.2=99.7%,故k=2就可以了.由前两个特征向量可得八个拟合构造点分别为：(-658.1,-52.3),(-522.0,-133.9),(-229.3,32.4),(-80.7,-277.2) (-172.0,474.0),(610.5,-102.6),(659.9,5.7),(391.7,54.0)容易计算出八个拟合构造点在R²中的欧氏距离阵，如表10-2所示.将它们与表10-1中城市间的原始距离数据进行比对，可以发现大多数距离数据拟合较好，少数数据误差较大.表10-2我国八个城市间的距离阵的拟合构图10.2.3已知相似系数矩阵时CMDS解的计算定义10.3一个n×n阶的矩阵,如果满足条件(1)(2)则称C为相似系数矩阵，cij称为第i点与第j点间的相似系数.在进行多维标度分析时，如果已知的数据不是n个对象之间的广义距离，而是n个对象间的相似系数，则只需将相似系数矩阵C按式(10.12)转换为广义距离阵D,其他计算与上述方法相同.令(10.12)由定义10.3可知，,显见,故D为距离)为欧氏距离阵. 阵，可以证明，当C≥0时，由式(10.12)定义的距离阵D=(dij【例10.4】(数据文件为eg10.4)为了分析下列六门课程之间的结构关系，找到了由劳雷和马克斯维尔得到的相关系数矩阵(见表10-3).其中，相关系数的值越大(小),表示课程越(不)相似.易见相关系数矩阵也为相似系数矩阵，记为C,求C的CMDS解，并给出拟合构图及拟合构造点.表10-3六门课程相关系数矩阵盖尔语英语历史算术代数几何盖尔语 1 0.439 0.41 0.288 0.329 0.248 英语0.439 1 0.351 0.354 0.32 0.32g 历史0.41 0.351 1 0.164 0.19 0.181 算术0.288 0.354 0.164 1 0.595 0.47 代数0.329 0.32 0.19 0.595 1 0.464 几何0.248 0.329 0.181 0.47 0.464 1解：据表10-3知，.于是由变换式(10.12)知(10.13)由式(10.13)易得六门课程的广义距离阵D,如表10-4所示.表10-4由六门课程相关系数矩阵转化所得的距离阵盖尔语英语历史算术代数几何盖尔语0 1.059 1.086 1.193 1.158 1.226英语 1.059 0 1.139 1.137 1.166 1.158 历史 1.086 1.139 0 1.293 1.273 1.280 算术 1.193 1.137 1.293 0 0.900 1.030 代数 1.158 1.166 1.273 0.900 0 1.035 几何 1.226 1.158 1.280 1.030 1.035 0余下工作可以仿照例10.3进行，在R中的程序为：#例10.4打开数据文件eg10.4.xls,选取数据区域A10:G16,然后复制>eg10.4=read.table("clipboard",header=T) #在R中读入数据>D10.4=cmdscale(eg10.4,k=2,eig=T) #k取为2,eig=T给出矩阵B的前两个特#征向量和特征值>D10.4$points[,1] [,2]盖尔语0.4028583 0.26570653英语0.2415986 0.48339407历史0.6210937 -0.50817963算术-0.4575066 0.03803193代数-0.4216733 -0.04017726几何-0.3863706 -0.23877565$eig[1]1.142825e+00 6.225908e-01 6.022539e-01 5.245848e-013.963587e-01 1.998401e-15......>sum(abs(D10.4$eig[1:2]))/sum(abs(D10.4$eig)) #计算a1.2[1] 0.5368268>sum((D10.4$eig[1:2])^2)/sum((D10.4$eig)~2) #计算a2.2[1] 0.6805523>x=D10.4$points[,1]>y=D10.4$points[,2]>plot(x,y,xlim=c(-0.6,0.8),ylim=c(-0.6,0.7)) #根据两个特征向量的分量大小绘制拟合图>text(x,y,labels=s(eg10.4),adj=c(0,-1),cex=0.8) #将拟合点用行名标出由R计算出的B的六个特征值按大小顺序依次为：λ₁=1.1428,λ₂=0.6226,λ₃=0.6023,λ₄=0.5246,λ₅=0.3964λ₆=0.0000因为a1.2=53.68%,a2.2=68.06%,不足80%,可考虑取k=3(这里从略).由前两个特征向量可得8个拟合构造点，分别为：(0.403,0.266),(0.242,0.483),(0.621,-0.508),(-0.458,0.038),(-0.422,-0. 040),(-0.386,-0.239).图10-2大体反映了这六门课程的基本结构，从图中可以直观地看出，算术、代数、几何较为接近，英语和盖尔语较为相近，而历史课程与其他课程的差异较大.图10-2六门课程相似系数矩阵的古典拟合构图10.3非度量多维标度法在实际问题中，涉及更多的可能是不易量化的相似性测度，如两种颜色的相似性，虽然我们可以用较小(大)的数字表示颜色非常(不)相似，但是这里的数字只表示颜色之间的相似或不相似程度，并不表示色彩实际的数值大小，因而这是一种非度量的定序尺度，能够利用的唯一信息就是这种顺序(秩).古典多维标度法基于主成分分析的思想，在低维空间上利用主坐标重新标度距离，这时式中，是距离dij 的拟合值；eij是拟合误差.但有时dij和之间的拟合关系可以表示为：(10.14)式中，f为一个未知的单调递增函数.这时，我们用来构造的唯一信息就是{dij }的秩，将{dij,i<j}从小到大排列为：与(i,j)所对应的dij 在上面的排列中的名次(由小到大)称为(i,j)的秩或dij的秩.我们欲寻找一个拟合构图(或一组拟合构造点),使后者相互之间的距离也有如上的次序，即并记为：这种模型大多出现在相似系数矩阵的场合，因为相似系数强调的是研究对象之间的相似，而不是它们的距离.在处理这种模型的各种方法中，最为流行的是Shepard-Kruskal算法，它的计算步骤如下：(1)已知相似系数矩阵D=(dij)(这里仍用D来记相似系数矩阵),并将其非对角元素从小到大排列为：(2)设是k维拟合构造点，相应的距离阵为,令(10.15)极小是对一切而言的，使上式达到极小的称为对的最小二乘单调回归.如果,在式(10.15)中取,这时是D 的构图.若对X作一正交平移变换yi =Pxi+b,P为正交阵，b为常数向量，则式(10.15)的分子不变.(3)若k固定，且能存在一个,使得则称为k维最佳拟合构图.(4)由于Sk (也称为压力指数，stress)是k的单调下降序列，取k,使Sk适当地小.例如Sk ≤5%最好，5%<Sk≤10%次之，Sk>10%较差.求解可用梯度法进行迭代(参见参考文献[2]).10.4案例分析与R实现案例10.1(数据文件为case10.1)表10-5给出了2010年我国31个省、直辖市、自治区农村居民家庭人均生活消费支出的统计数据.一共选取8个指标：x₁为食品消费；x₂为衣着消费；x₃为居住消费；x₄为家庭设备用品及服务；x₅为交通通信；x₆为文教娱乐用品及服务；x₇为医疗保健；x8为其他商品和服务支出.试用多维标度法对其进行统计分析，并对分析结果的实际意义进行解释.表10-5 2010年我国各地区农村居民家庭人均生活消费支出单位：元地区x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇x8北京2994.66 699.42 1990.21 473.62 1112.44 950.61 840.61 193.21天津2060.83 365.86 888.32 233.02 467.48 462.25 360.47 98.50河北1351.41 250.92 839.66 218.90 464.80 462.25 360.47 78.87山西1372.49 315.78 614.70 173.62 357.74 420.21 328.92 80.40内蒙古1675.04 317.71 751.99 177.91 598.61 374.19 467.97 97.41辽宁1714.15 369.15 745.03 185.23 448.97 500,28 413.83 112.87吉林1523.32 309.75 752.79 171.92 368.64 454.05 462.42 104.47黑龙江1483.95 387.17 793.80 164.63 455.90 560.71 443.16 101.86上海3806.82 554.13 2020.25 528.01 1459.45 997.65 584.51 209.66 江苏2491.51 350.01 1170.88 327.69 785.53 908.10 362.28 146.87浙江3055.59 551.53 2044.32 410.62 1145.99 839.19 709.30 172.34安1632.96 232.20 867.51 231.23 338.99 363.92 264.39 82.10 徽2537.15 310.14 865.50 292.71 638.07 462.17 251.36 141.23 福建江1812.66 174.61 782.72 205.27 331.81 285.23 243.84 75.48 西1804.45 305.56 832.95 324.70 649.21 421.91 383.89 84.51 山东河1371.17 261.52 765.18 254.47 401.44 250.47 287.83 90.14 南湖1763.05 217.61 816.42 262.26 331.35 288.12 295.24 116.73 北湖2087.85 209.85 719.20 243.90 343.82 315.93 293.59 96.23 南2630.05 215.51 986.70 235.01 637.08 326.53 307.43 177.27 广东1675.41 110.46 692.51 192.77 310.30 182.55 228.99 62.30 广西1724.47 117.36 609.77 135.22 312.53 318.04 138.35 90.49 海南1750.01 224.13 548.00 260.71 281.73 239.03 270.31 50.70 重庆1881.18 226.62 625.28 239.48 360.70 218.62 276.06 69.59 四川1319.43 137.49 621.80 135.64 229.66 186.19 178.07 44.21 贵州云1604.50 160.72 638.09 167.66 337.85 206.45 239.94 43.11 南西1325.71 326.65 352.88 181.27 282.43 51.06 71.16 75.77藏1299.22 237.87 837.54 233.37 336.22 397.61 376.20 75.77 陕西1315.25 184.23 551.63 146.93 256.70 238.03 203.13 46.0g 甘肃1442.88 255.19 944.23 193.59 369.60 198.53 307.92 62.55 青海1541.77 302.61 776.44 188.12 444.02 241.08 417.92 101.22 宁夏1394.38 303.66 695.17 137.69 382.14 170.15 314.73 59.94 新疆解：本案例我们采用R软件MASS包中的isoMDS()函数来实现分析计算(当然也可以用前面使用的cmdscale()函数),在R中的操作过程如下：#打开数据文件case10.1.xls,选取A2:I33区域，然后复制>case10.1<-read.table("clipboard",header=T) #将eg10.1.xls数据读入到#Case10.1中>D1=as.matrix(case10.1) #需要将数据转换成矩阵形式>D=dist(D1) #求距离阵>library(MASS) #载入MASS包，这样才能使用isoMDS()函数>fit=isoMDS(D,k=2)>fit$points[,1] [,2]北京-1882.08165 -405.5501799天津-181.18356 83.5568197河北378.06842 -316.9090361山西519.63551 -161.3723531内蒙古140.53475 -118.3236722辽宁239.59269 -57.3466211 吉林311.06135 -196.5769112 黑龙江257.18237 -303.2689490 上海-2574.54791 164.4633867 江苏-864.88942 19.9653109 浙江-1891.26840 -273.7180203 安徽241.99333 -56.7533361 福建-562.74468 426.2460037 江西187.41927 149.4628003 山东-23.94055 -68.0772001 河南480.52386 -165.0996828 湖北186.03261 68.3345125 湖南-11.86522 317.5767900 广东-645.99328 471.6486570 广西377.05811 164.2765177 海南362.23481 229.5403989 重庆360.53994 226.6307228 四川206.07019 261.9414880 贵州708.60794 -0.5224843 云南435.30179 117.9074584 西藏836.32175 163.8641180 陕西475.58204 -309.3702220 甘肃712.09253 -10.0972309 青海372.00020 -192.4072738 宁夏321.09711 -124.8186386 新疆529.56410 -105.2031733 $stress[1] 3.267686>x=fit$points[,1]>y=fit$points[,2]>plot(x,y) #画散点图(见图10-3)>text(x,y,labels=s(case10.1),adj=c(0.5,1.5),cex=0.7) #设置标签位#置大小>abline(h=0,v=0,lty=3) #采用虚线划分四个象限从图10-3可以比较直观地看出在总支出方面，上海、北京、广东、浙江、江苏、天津、福建等沿海地区是我国传统的经济发达地带，又是改革开放的前沿，雄厚的经济实力为农业和农村经济发展奠定了坚实的基础，农村居民的人均消费水平相对较高.北京在享受型消费方面领先于其他省区，说明北京的农民比较重视文化生活，由于他们身处祖国的政治文化中心，因此在文化、教育、医疗等方面有很高的消费和投入.而广东农民更重视物质上的消费，尤其在食物方面，广东人很下工夫，但是他们在文化生活上支出却不高，也不太注重这方面的投入.从总体来看，我国绝大多数地区农村居民家庭的消费水平比较低，消费结构不合理，我国农村居民家庭消费水平在不同地区间存在着明显的差异.图10-3 2010年我国农村居民家庭人均生活消费支出古典拟合构图习题10.1证明当C≥0时，由式(10.12)定义的距离阵D=(d₂)为欧氏距离阵.10.2(数据文件为ex10.2)在R中利用古典多维标度法对表10-6中的六个经济发展指标数据进行分析评价.其中，x₁为农业产值，x₂为林业产值，x₃为牧业产值，x₄为企业人数，x₅为企业总产值，x₆为利润总额.表10-6 2003年广东省各地区农村经济发展状况指标城市x₁x₂x₃x₄x₅x₆广州市97.84 1.28 38.86 141.98 2089.55 121.07深圳市11.20 0.66 12.59 156.52 418.16 50.12珠海市 5.67 0.11 3.60 17.39 360.58 10.58汕头市29.87 0.57 17.26 52.45 673.74 24.07佛山市52.39 0.29 32.14 90.77 1649.81 62.74韶关市47.82 4.47 18.44 27.91 144.51 16.14河源市33.57 3.10 12.84 12.62 51.25 4.73梅州市57.10 2.74 28.02 44.12 226.65 19.75惠州市61.57 4.70 25.20 70.38 568.79 40.39汕尾市29.82 1.70 12.09 30.52 189.00 6.78东莞市20.97 0.14 20.35 134.63 1380.42 74.01中山市16.87 0.21 5.33 91.43 1148.14 52.10江门市57.33 1.79 39.21 85.64 1252.07 32.68阳江市47.72 3.27 21.39 19.52 191.64 11.08湛江市87.20 4.72 34.07 40.60 390.06 20.96茂名市112.00 7.85 81.36 76.47 739.34 40.85肇庆市76.06 16.45 46.77 52.97 569.93 19.40清远市57.35 6.67 28.47 17.95 75.29 6.76潮州市27.05 1.63 14.88 35.22 501.63 20.97揭阳市71.08 2.09 26.43 50.52 891.76 17.79云浮市44.07 4.65 38.97 22.23 188.47 8.7010.3(数据文件为ex10.3)表10-7给出了2011年全国31个省、直辖市、自治区的城镇居民家庭人均消费性支出的8个主要指标数据，根据这些数据，采用多维标度法进行分析评价.表10-7全国31个省、直辖市、自治区城镇居民家庭人均消费性支出数据(2011年)单位：元地区食品x₁衣着x₂居住x₃家庭设备及用交通通信x₅文教娱乐x₆医疗保健x7其他x8品x₄北京6905.512265.881923.711562.553521.23306.821523.32975.37天津6663.311754.981763.441174.622699.532116.011415.39836.82河北3927.261425.991372.25809.85 1526.61203.99955.95 387.40山西3558.041461.91327.78832.74 1487.661419.43851.30 415.44内蒙古4962.42514.091418.61162.872003.541812.071239.36765.13辽宁5254.961854.631385.62929.37 1899.061614.521208.3643.15吉林4252.851769.471468.29839.31 1541.371468.341108.51562.48黑龙江4348.451681.881185.96723.58 1363.621190.871082.96476.89上海8905.952053.812225.681826.223808.413746.381140.821394.86江苏6060.911772.061187.741193.812262.192695.52962.45 647.06浙江7066.222138.991518.061109.423728.232816.121248.9811.51安徽5246.761371.011501.39690.66 1365.011631.28907.58 467.77福建6534.941494.961661.841179.842470.181879.02773.26 667.00江西4675.161272.881114.49914.88 1310.211429.3641.23 389.06山东4827.612008.841510.841013.822203.991538.44938.86 518.27河南4212.761706.941087.08977.52 1573.641373.94919.83 484.76湖北5363.681677.911172.11814.81 1382.21489.67915.72 347.68湖南4943.891499.021292.55940.79 1975.51526.1790.76 434.25广东7471.881404.62005.151370.283630.622647.94948.18 773.17广西5074.491019.341237.91884.85 2000.571502.65779.08 349.48海南5673.65 780.101342.29729.86 1830.81141.81783.34 360.91重庆5847.92056.791205.661079.271718.731474.881050.62540.63四川5571.691483.541226.141020.161757.521369.47735.26 532.52贵州4565.851209.881102.99857.55 1395.281331.43578.33 311.57云南4802.261587.18827.84 570.46 1905.861350.65822.41 381.38西藏5184.181261.29781.12 428.03 1278.0514.44 424.10 527.74陕西5040.471673.241193.81914.26 1502.441857.61100.51500.42甘4182.41470.21139.8660.48 1289.81158.3874.05 413.37肃7 6 5 0 0青海4260.271394.281055.15723.23 1293.45967.90 854.25 406.93宁夏4483.441701.731247.14885.36 1637.611441.18978.12 521.47新疆4537.461715.94888.16 791.43 1377.671122.18912.99 493.56 10.4(数据文件为ex10.4)对表10-8给出的我国12个城市间的航空距离矩阵D,利用R软件中的cmdscale()函数求D的CMDS解，并给出拟合构图X及拟合构造点.表10-8我国12个城市间的航空距离矩阵10.5(数据文件为ex10.5)在R中利用古典多维标度法对表10-9中给出的2006年我国东部和西部地区20省区工资水平数据.请对相关经济发展指标数据进行分析评价.其中x₁为国有单位工资，x₂为城镇集体单位工资，x3为股份合作单位工资，x₄为联营单位工资，x5为有限责任公司工资，x₆为股份有限公司工资，x₇为其他单位工资，x8为港、澳、台商投资单位工资，x9为外商投资单位工资.表10-9我国2006年20个省区工资水平数据单位元地区x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇x8X 9北京41313 17550 14603 20154 30732 54595 28023 52593 64192 河北17057 10255 12947 23894 17580 15835 10362 17282 18014 山西18540 12014 10208 16308 20554 15917 11883 14583 17363 内蒙古19275 12404 11216 12238 17439 18211 12966 14222 19041 辽宁20305 10793 13175 11859 18852 24453 10095 19206 19756 吉林16983 9106 9698 10413 15249 20657 10381 13461 22562 上海40141 22959 20912 30984 31305 43673 42206 26244 42556 江苏28143 15279 16199 17302 20453 25487 15954 18200 23446 浙江41920 22006 19220 32979 19903 26994 21657 19593 20950 江西16227 10000 12118 13939 14710 17365 10388 10982 13731 山东22552 13024 13588 27823 15732 17440 12798 15602 18248 湖北17708 10265 10787 14262 14683 14985 9671 12545 23261 湖南18459 12490 14442 14328 15754 18228 15525 15812 17574 广西18384 12025 11071 13637 16549 17854 13231 12910 22427 重庆21168 13471 14460 16283 15637 21497 13368 17098 25037 四川19884 12624 13522 14962 13251 16606 10693 16909 20749 贵州17248 12590 14796 12306 14227 19361 12482 13436 15359 云南19520 11859 12806 14890 16308 19720 10833 15054 20944 陕西16894 8879 19713 14943 18215 18856 13613 14634 18077 甘肃17836 11411 9832 6439 13998 22076 8407 16877 20139。

《高级心理统计学》课程教学大纲（32学时）
1. 绪论，多元数据的统计描述（3学时）
1.1 高级心理统计概述
1.2 多元数据应用举例
1.3 多元数据的统计描述
1.4 多元数据可视化
2. 多元随机变量与正态分布（3学时）
2.1 多元随机变量
2.2 多元正态分布
2.3 多元数据的t检验
3. 主成分分析（3学时）
3.1 主成分的数学推导
3.2 主成分应用举例
4. 主成分分析进阶（3学时）
4.1 基于核函数的主成分分析
4.2 独立分量分析
4.3 非负矩阵分解
5. 聚类分析（3学时）
5.1 多元距离度量
5.2 层级聚类法
5.3 k均值聚类法
6. 判别分析（3学时）
6.1 距离判别法
6.2 贝叶斯判别法
6.3 Fisher线性判别
7. 典型相关分析（3学时）
7.1 典型相关分析的数学推导
7.2 典型相关分析应用举例
7.3 典型相关与判别分析
8. 多维标度法与对应分析（3学时）
8.1 多维标度法的数学推导
8.2 多维标度法应用距离
8.3 对应分析
9. 多元方差分析与结构方程（4学时）
9.1 多元变量的相互关系
9.2 多元回归模型
9.3 多元方差分析
9.4 结构方程初步
10. 课程总结与学生作业答辩（4学时）。

、判断题（对）1X （兀公2丄，X p）的协差阵一定是对称的半正定阵（对）2标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。

（对）3典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。

（对）4多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据分析方法。

（错）5X （X-X2，,X p） ~ N p（ , ），X,S分别是样本均值和样本离S差阵，则X,—分别是，的无偏估计。

n（对）6X （X「X2， ,X p） ~ N p（ , ），X作为样本均值的估计，是无偏的、有效的、一致的。

（错）7因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化（对）8因子载荷阵A （a j）中的a ij表示第i个变量在第j个公因子上的相对重要性。

（对）9判别分析中，若两个总体的协差阵相等，则Fisher判别与距离判别等价。

（对）10距离判别法要求两总体分布的协差阵相等，Fisher判别法对总体的分布无特定的要求。

二、填空题1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、样本相关系数矩阵.2、设是总体X （X」,X m）的协方差阵，的特征根i（i 1,L ,m）与相应的单位正交化特征向量i （盼无丄,a m），则第一主成分的表达式是y1 Q1X1 812X2 L QmX m 方差为1。

3设是总体X （X1,X2,X3, X4）的协方差阵，的特征根和标准正交特征向量分别为： 1 2.920 U；(0.1485, 0.5735, 0.5577, 0.5814)2 1.024 U2(0.9544, 0.0984,0.2695,0.0824)3 0.049 U3(0.2516,0.7733, 0.5589, 0.1624)0.007U4 （ 0.0612,0.2519,0.5513, 0.7930），则其第二个主成分的表达式是41 1 32 13y 2 0.9544X 1 0.0984X 2 0.2695X 3 0.0824X 4，方差为 1.0244-若X ()~N p ( , ) , ( 1,2, ,n )且相互独立，则样本均值向量 X 服从的分布是N p (,—).n5.设X i : N p ( ,),i1,2,L ,16，X 和A 分别是正态总体的样本均值和样本离差阵，则 T 2 15[4(X)] A 1[4(X)]服从_T 2(15,p)或: F(p,n p)16 p6设X i 10:N a (,),i 1,2丄,10，则 W(X i)(X i)服从 W 3(10,)i 144 37.设随机向量X(X 1 ,X 2,X a )，且协差阵4 9 2 ，则其相关矩阵321612 3R =382 1 1 363 1 1862 18. 设X (X 1 ,X 2)： :2(,),，其中(1,2),2，则Cov(X 1 X 2,X 1 X 2)0_9设X,Y 是来自均值向量为，协差阵为 的总体G 的两个样品，则 X ，Y 间的马氏平2 1方距离 d (X,Y) (X Y) (X Y) 10设X,Y 是来自均值向量为 ，协差阵为的总体G 的两个样品，则 X 与总体G 的马氏平方距离d 2(X,G) =(X) 1(X )11设随机向量X (X1,X2,X3)的相关系数矩阵通过因子分析分解为0.934 0 0.1280.934 0.417 0.8350.417 0.894 0.0270 0.894 0.4470.1030.835 0.4471 1 32 132则X i 的共性方差hi 0.9342 =0.872 ,其统计意义是：描述了全部公因子对变量X1的总方差所作的贡献，称为变量X1的共同度，反映了公共因子对变量X1的影响程度。

典型相关分析(CCA)简介一、引言在多变量统计分析中，典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，简称CCA）是一种用于研究两个多变量之间关系的有效方法。

这种方法最早由哈罗德·霍特林（Harold Hotelling）于1936年提出。

随着数据科学和统计学的发展，CCA逐渐成为多个领域分析数据的重要工具。

本文将对典型相关分析的基本原理、应用场景以及与其他相关方法的比较进行详细阐述。

二、典型相关分析的基本概念1. 什么是典型相关分析典型相关分析是一种分析两个多变量集合之间关系的方法。

设有两个随机向量 (X) 和 (Y)，它们分别包含 (p) 和 (q) 个变量。

CCA旨在寻找一种线性组合，使得这两个集合在新的空间中具有最大的相关性。

换句话说，它通过最优化两个集合的线性组合，来揭示它们之间的关系。

2. 数学模型假设我们有两个数据集：(X = [X_1, X_2, …, X_p])(Y = [Y_1, Y_2, …, Y_q])我们可以表示为：(U = a^T X)(V = b^T Y)其中 (a) 和 (b) 是待求解的权重向量。

通过最大化协方差 ((U, V))，我们得到最大典型相关系数 ()，公式如下：[ ^2 = ]通过求解多组 (a) 和 (b)，我们可以获得多个典型变量，从而得到不同维度的相关信息。

三、典型相关分析的步骤1. 数据准备在进行CCA之前，需要确保数据集满足一定条件。

一般来说，应对数据进行标准化处理，以消除可能存在的量纲差异。

可以使用z-score标准化的方法来处理数据。

2. 求解协方差矩阵需要计算两个集合的协方差矩阵，并进一步求出其逆矩阵。

给定随机向量 (X) 和 (Y)，我们需要计算如下协方差矩阵：[ S_{xx} = (X, X) ] [ S_{yy} = (Y, Y) ] [ S_{xy} = (X, Y) ]同时，求出逆矩阵 (S_{xx}^{-1}) 和 (S_{yy}^{-1})。

典型相关分析(CCA)简介在现代统计学和数据分析领域，典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，CCA）是一种重要的方法，用于研究和揭示多变量之间的关系。

当我们面对多组变量时，传统的相关性分析往往无法完全捕捉不同变量之间的复杂关联。

典型相关分析为解决这一问题提供了一种有效的工具，尤其适用于社会科学、心理学、医学和市场研究等领域。

本文将对典型相关分析的基本概念、原理、计算方法及其应用进行详细介绍。

典型相关分析的基本概念典型相关分析是一种多变量统计技术，它旨在找出两组变量之间的关系结构。

具体而言，假设我们有两组变量，分别为 (X) 和 (Y)，其中 (X) 包含(p)个变量，(Y)包含(q)个变量。

典型相关分析的目标是通过线性组合找出两个线性组合使得这两个组合之间的相关性最大化。

更具体地说，我们希望找到以下形式的线性组合： - (U =a_1X_1 + a_2X_2 + … + a_pX_p) - (V = b_1Y_1 + b_2Y_2 + … + b_qY_q)使得 (U) 和 (V) 之间的相关系数达到最大值，继而进一步探索(U) 和 (V) 与原始变量之间的联系。

CCA 的基本原理典型相关分析建立在协方差矩阵基础上。

在进行 CCA 前，我们通常会首先计算 (X) 和 (Y) 的协方差矩阵。

然后，我们需要解一个特征值问题，通过特征根和特征向量来捕捉到不同线性组合下变量间的典型相关性。

整个过程可以分为以下几个步骤：计算协方差矩阵：首先计算系列变数X与Y的样本均值，然后构建对应的协方差矩阵。

求解特征值问题：通过构造一个标准特征值问题 ((X,Y){}(Y)b = (X,X){}a)，来得到特征值与特征向量。

提取典型相关系数：根据特征值计算出对应的典型相关系数，通过这些系数可以判断两个组变量之间关系强度。

解释结果：通过不同组合下所得到的典型变量，进一步理解各组变量间更深层次的联系和相互影响.CCA 的计算方法在实践中，可以使用多种统计软件，如 R、Python、SAS 等来实现 CCA 分析。

典型相关分析与多维标度法一、典型相关分析典型相关分析（Canonical correlation analysis）是一种用于研究两组变量之间关系的统计方法。

它是一种多变量分析方法，可以同时考察两组变量之间的线性关系，并找到最相关的线性组合。

典型相关分析的目标是找到两个投影方向，使得在这两个方向上的投影变量之间的相关性最大化。

1.收集数据：首先需要收集两组具有一定关系的变量数据。

2.计算相关系数矩阵：根据收集到的数据，计算两组变量之间的相关系数矩阵。

3.计算特征值和特征向量：通过对相关系数矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

4.选择典型相关变量：根据特征值的大小选择最相关的几个变量。

5.计算典型相关系数：通过典型相关变量的加权和计算出典型相关系数。

6.解释结果：根据典型相关系数的大小和符号，解释两组变量之间的关系。

然而，典型相关分析也存在一些缺点。

首先，它对数据的要求较高，需要变量之间的线性关系并且数据量较大。

其次，典型相关分析结果所反映的只是线性关系，并没有考虑非线性关系的影响。

最后，典型相关分析对异常值和缺失值较为敏感，可能会影响结果的准确性。

多维标度法（Multidimensional Scaling，MDS）是一种用于分析和展示多个对象之间距离或相似性关系的统计方法。

它可以将多维数据降维到低维空间中，从而方便可视化和分析。

MDS根据对象之间的距离或相似性矩阵，通过优化一些准则函数来确定对象在降维空间中的位置。

多维标度法的步骤如下：1.收集数据：首先需要收集关于对象之间距离或相似性的数据。

2.计算距离或相似矩阵：根据收集到的数据，计算对象之间的距离或相似性矩阵。

3.选择降维空间：确定要降维到的目标维数。

4.优化准则函数：使用其中一种准则函数，通过优化来确定对象在降维空间中的位置。

5.可视化和解释结果：将对象在降维空间的位置进行可视化，并解释它们之间的关系。

多维标度法的优点在于能够将多维数据降维到更低维的空间中，并通过可视化展示对象之间的关系。

前言：我们先来看一组数据~1）发现问题通过上表我们来探究大学生学术得分和心理得分之间存在着什么关系，其中学术得分来自语文、数学、英语和才艺四种，他们形成第一组变量；而心理得分来自包控制情绪、自我调节和自我激励三种，形成第二组变量。

我们直接对这些变量的相关进行两两分析，很难得到关于这两组变量之间关系的一个清楚的印象2）解决思路因此，我们需要把多个变量与多个变量之间的相关化为两个具有代表性的变量之间的相关3）选出代表代表：能较为综合、全面的衡量所在组的内在规律一组变量最简单的综合形式就是该组变量的线性组合1 典型相关分析1.1 定义典型相关分析是研究两个多变量（向量）之间之间的线性相关关系，能够揭示出两组变量之间的内在联系。

在一元统计分析中，用相关系数来衡量两个随机变量的线性相关关系，用复相关系数研究一个随机变量与多个随机变量的线性相关关系。

然而，这些方法均无法用于研究两组变量之间的相关关系，于是提出了CCA一般有两个典型的目的：1.数据简化：用少量的线性组合来解释两组变量之间的相关作用。

2.数据解释：寻找特征值，这些特征值对于解释两个变量集合之间的相互作用十分关键。

.与主成分分析（PCA）之间的关系：典型相关分析的基本思想和主成分分析的基本思想相似，它将一组变量与另一组变量之间单变量的多重线性相关性研究，转换为少数几对综合变量之间的简单线性相关性的研究，并且这少数几对变量所包含的线性相关性的信息几乎覆盖了原变量组所包含的全部相应信息。

联系：无论是典型相关分析还是主成分分析，都是线性分析的范畴，一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换，通过计算矩阵的特征值与特征向量得出的。

区别：主成分分析中只涉及一组变量的相互依赖关系，而典型相关则扩展到了两组变量之间的相互依赖的关系之中，度量了这两组变量之间联系的强度。

1.2 分析步骤1.首先在每组变量中找到变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。

数学建模常用模型方法总结无约束优化线性规划连续优化非线性规划整数规划离散优化组合优化数学规划模型多目标规划目标规划动态规划从其他角度分类网络规划多层规划等…运筹学模型（优化模型）图论模型存储论模型排队论模型博弈论模型可靠性理论模型等…运筹学应用重点: ①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最正确化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件④求解方法(MATLAB--通用软件 LINGO--专业软件)聚类分析、主成分分析因子分析多元分析模型判别分析典型相关性分析对应分析多维标度法概率论与数理统计模型假设检验模型相关分析回归分析方差分析贝叶斯统计模型时间序列分析模型决策树逻辑回归传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预测控制模型经济增长模型Logistic 人口预测模型战争模型等等。

灰色预测模型回归分析预测模型预测分析模型差分方程模型马尔可夫预测模型时间序列模型插值拟合模型神经网络模型系统动力学模型(SD)模糊综合评判法模型数据包络分析综合评价与决策方法灰色关联度主成分分析秩和比综合评价法理想解读法等旅行商(TSP)问题模型背包问题模型车辆路径问题模型物流中心选址问题模型经典 NP 问题模型路径规划问题模型着色图问题模型多目标优化问题模型车间生产调度问题模型最优树问题模型二次分配问题模型模拟退火算法(SA)遗传算法(GA)智能算法蚁群算法(ACA)(启发式)常用算法模型神经网络算法蒙特卡罗算法元胞自动机算法穷举搜索算法小波分析算法确定性数学模型三类数学模型随机性数学模型模糊性数学模型。

第章：多维标度法什么是多维标度法多维标度法（Multidimensional Scaling，MDS）是一种基于距离或相似性数据的统计分析方法。

简单来说，它是一种数据降维的方法，在保留数据间距离或相似性的基础上，通过将高维数据降低到二维或三维等低维空间中进行展示和分析。

多维标度法的主要应用领域包括心理学、社会学、生物学、地理学、市场研究、机器学习等等。

多维标度法的基本流程多维标度法的基本流程一般包括以下几个步骤：1.数据收集：收集距离或相似性数据矩阵；2.距离矩阵的转换：将距离矩阵转换为相似度矩阵；3.相似矩阵的标准化：对相似矩阵进行标准化，使其所有元素的和为0；4.特征值分解：对标准化的相似矩阵进行特征值分解（或奇异值分解）；5.降维：将特征值分解的结果中的主要特征值和特征向量组成降维矩阵；6.可视化：将降维矩阵中的数据绘制在二维或三维空间中进行可视化。

多维标度法的优点和局限性多维标度法具有以下优点：1.可视化效果好：通过将高维数据降维到二维或三维，使得数据更容易理解和解释；2.不需要假设数据分布：多维标度法不需要假设数据分布，适用于各种类型的距离或相似性数据；3.可伸缩性：多维标度法可以处理任意规模的数据集。

多维标度法的主要局限性包括：1.敏感度较高：多维标度法对数据的噪声和误差比较敏感；2.可解释性较差：多维标度法只能提供数据的降维展示，对于数据背后的真实机制和原因解释性较差；3.计算复杂度较高：多维标度法的计算复杂度随着数据维度的增加呈指数级增长。

多维标度法的应用多维标度法在各种领域都有应用，下面列举几个具体例子：1.分类研究：例如通过分析不同物种之间的遗传距离、分子结构相似性等数据，判断这些物种的亲缘关系；2.地理信息：例如通过分析地理空间中不同地点之间的距离、海拔高度等数据，研究不同地区的地形地貌特征；3.市场研究：例如通过分析不同商品之间的相似性和竞争关系，研究市场的竞争格局。

多维标度法是一种常用的数据降维方法，适用于各种类型的距离或相似性数据。

运用多维尺度标度法对NBA球员的聚类分析陈博摘要本文首先从2010-2011赛季NBA常规赛中得分榜前五十位球星中选取了收入最高的十位作为样本，然后选择了衡量球员防守和进攻能力的六个最主要的指标作为变量，运用Spss 进行多维标度分析，得到了一个二维的空间分布图，发现在二维坐标平面上詹姆斯和霍华德远离其他球员。

在运用得到的球员在二维平面上的坐标进行聚类分析，得到了与分布图一致的结论即詹姆斯和霍华德是真正的巨星。

再结合各球员的当赛季薪资分析，仍然可以发现的是詹姆斯和霍华德还是十分物美价廉的球员，而湖人队的两位球星加索尔和科比，有薪资过高的嫌疑。

诺维斯基虽然数据不突出但带领球队获得最终总冠军，因此第二高薪也是当之无愧的。

而其他球员应属是物有所值型的。

关键词：NBA 多维标度法聚类分析工资水平第一章绪论第一节选题背景及意义NBA（全称National Basketball Association），直译为美国篮球大联盟，简称美职篮。

NBA在其短短几十年的发展历史里面已经成为了全球最著名最成功的体育赛事之一。

激烈精彩的赛事，光芒四射的球星，成功的商业推广，巨额的广告赞助和电视转播收入，吸引着全世界球迷的眼球。

然而浮华背后其实是危机四伏，2005-2006赛季，共19支球队亏损，亏损金额为2.2亿美元；2006-2007赛季，共21支球队亏损，亏损金额为2.85亿美元；2007-2008赛季，共23支球队亏损，亏损金额为3.3亿美元；2008-2009赛季，共24支球队亏损，亏损金额为3.7亿美元；2009-2010赛季共23支球队亏损，亏损金额为3.4亿美元；而最近结束的11赛季预计亏损为3亿美元。

整个NBA共有30支球队，从以上数据可以看到有70%-80%的球队连年巨额亏损，而球队亏损的一个最主要原因就是疲于支付球员们的巨额年薪。

有资料显示2010-2011赛季，NBA所有球员的平均年薪是515万美元，在美国所有的职业体育联盟里是平均年薪最高的，而当赛季收入最高的科比布莱恩特更是达到了惊人的2480万美金。