圆的基本性质习题课

24.2 圆的基本性质第1课时圆的相关概念及点与圆的位置关系01基础题知识点1圆的相关概念1．下列说法中，不正确的是（B）A．直径是弦B．半径确定了，圆就确定了C．圆上的点到圆心的距离都相等D．同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长2．半径为5的圆的一条弦长不可能是（D）A．3 B．5 C．10 D．123．如图所示，图中有1条直径，有3条弦，以E为端点的劣弧有5条，以A为端点的优弧有4条．第3题图第4题图4．如图，在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC的长为5，则⊙O 的半径长为5．知识点2点与圆的位置关系5．如图，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.（1）当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？解：（1）当0<r<3时，点A，B在⊙C外．（2）当3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．02中档题6．（xx·蚌埠模拟）已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（－3，4），则点M 与⊙O 的位置关系为（A ）A ．M 在⊙O 上B ．M 在⊙O 内C ．M 在⊙O 外D ．M 在⊙O 右上方7．一个点到圆的最小距离为6 cm ，最大距离为9 cm ，则该圆的半径是（C ）A ．1.5 cmB ．7.5 cmC ．1.5 cm 或7.5 cmD ．3 cm 或15 cm8．（xx·枣庄）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点）．若以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为（B ）A ．22＜r ＜17B .17＜r ＜32C .17＜r ＜5D ．5＜r ＜29第8题图 第9题图9．（xx·淮北模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，已知∠AOD＝50°，AD ∥OC ，则∠BOC＝65°．10．如图所示，在△ABC 中，BD ，CE 是两条高线，求证：B ，C ，D ，E 四点在同一个圆上．证明：取BC 的中点O ，连接OD ，OE ，∵BD ，CE 是△ABC 的两条高线， ∴∠BDC ＝∠BEC＝90°.∴OD ＝OE ＝12BC ＝OB ＝OC （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．∴B ，C ，D ，E 四点在以点O 为圆心，BC 的一半长为半径的圆上．第2课时 垂径分弦01 基础题知识点1 圆的对称性1．两个同心圆的对称轴（D ）A ．仅有1条B ．仅有2条C ．仅有4条D ．有无数条知识点2 垂径定理及其推论2．（xx·张家界）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE ＝（A ）A ．8 cmB ．5 cmC ．3 cmD ．2 cm第2题图 第3题图3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为M ，下列结论不成立的是（D ）A ．CM ＝DMB .CB ︵＝BD ︵C ．∠ACD ＝∠ADCD ．OM ＝MD4．（xx·芜湖模拟）如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（D ）A ．2 cmB . 3 cmC ．2 5 cmD ．2 3 cm第4题图 第5题图5．如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB ＝2 3 cm ，则⊙O 的半径是2__cm ．6．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是4≤OM≤5．7．如图所示，在⊙O中，AB，CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB的中点E，交CD于点F，试问：点F是CD的中点吗？解：点F是CD的中点．理由：∵直径MN平分不是直径的弦AB，∴MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.∴CF＝FD.∴点F是CD的中点．知识点3垂径定理的实际应用8．（教材P16例3变式）（xx·安徽模拟）被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美丽的圆弧形石拱桥（如图），已知桥拱的顶部C距水面的距离CD为2.7 m，桥弧所在的圆的半径OC为1.5 m，则水面AB的宽度是（A）A．1.8 m B．1.6 mC．1.2 m D．0.9 m9．如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中CD ︵，点O 是CD ︵的圆心，CD ＝600 m ，E 为CD ︵上一点，且OE⊥CD 于点F ，EF ＝90 m ，则这段弯路的半径是多少？解：连接OD.设这段弯路的半径为R m. ∵OE ⊥CD ，CD ＝600 m ， ∴DF ＝12CD ＝300 m.在Rt △DOF 中，OD 2＝OF 2＋DF 2， 即R 2＝（R －90）2＋3002. 解得R ＝545.答：这段弯路的半径是545 m.易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径” 10．下列说法正确的是（D ）A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C ．过弦的中点的直径垂直于弦D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦02 中档题11．（xx·合肥期末）如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第11题图 第12题图12．（xx·淮北相山区四模）如图，⊙O 过点B ，C ，圆心O 在等腰Rt △ABC 的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝2，BC ＝8，则⊙O 的半径为（C ）A . 5B ．5C ．2 5D ．613．（xx·嘉兴）如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得AD ＝10 cm ，点D 在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为533cm .14．已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，P 是AB 上任意一点，点C 是劣弧AB ︵的中点．若△POC 为直角三角形，则PB 的长度为1或5．15．如图，直线AC 与⊙O 交于点B ，C ，直线AD 过圆心O.若⊙O 的半径是5，且∠DAC ＝30°，AD ＝13，求弦BC 的长．解：过点O 作OM⊥BC 于点M ，则BC ＝2MC. ∵AD ＝13，OD ＝5， ∴AO ＝8.∵∠DAC ＝30°， ∴OM ＝12AO ＝4.在Rt △OCM 中，MC ＝OC 2－OM 2＝52－42＝3. ∴BC ＝2MC ＝6.16．（xx·淮北模拟）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，求此时排水管水面的宽CD.解：过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，∵AB＝1.2 m，OE⊥AB，OA＝1 m，∴OE＝0.8 m.∵水管水面上升了0.2 m，∴OF＝0.8－0.2＝0.6（m）．∴CF＝OC2－OF2＝0.8 m.∴CD＝1.6 m.03链接中考17．（xx·合肥包河区二模）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝8，点A在⊙O上，AO⊥BC，垂足为D，E为BC延长线上一点，AE＝10，则CE的长为2．第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系01 基础题知识点1 圆心角1．下面四个图中的角，是圆心角的是（D ）2．如图，⊙O 的半径是1，B ，C 是圆周上的两点，∠BOC ＝36°，则劣弧BC ︵的度数是（B ）A ．18°B ．36°C ．72°D ．条件不足，无法求出3．已知⊙O 的半径为1，弦AB 的长为1，则弦AB 所对的圆心角为60度．知识点2 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系4．（xx·淮北模拟）如果两个圆心角相等，那么（D ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对5．如图，在⊙O 中，若点C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC＝（A ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°第5题图 第6题图6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，则∠AOE＝75°．7．如图，D ，E 分别是⊙O 的半径OA ，OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC ︵与BC ︵的长度的大小关系是相等．8．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵.BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？解：BE ＝CE.理由如下： ∵AB ，DE 是⊙O 的直径， ∴∠AOD ＝∠BOE. ∴AD ︵＝BE ︵. ∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵.∴BE ＝CE.9．（xx·安庆期末）如图，M ，N 分别为⊙O 中两条不平行弦AB 和CD 的中点，且AB ＝CD.求证：∠AMN ＝∠CNM.证明：连接OM ，ON.∵O 为圆心，M ，N 分别为弦AB ，CD 的中点，∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD. ∵AB ＝CD ， ∴OM ＝ON.∴∠OMN ＝∠ONM.∵∠AMN ＝90°－∠OMN， ∠CNM ＝90°－∠ONM， ∴∠AMN ＝∠CNM.易错点 对圆中的有关线段的关系运用不当而致错10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为（B ）A ．AB>CDB ．AB ＝CDC ．AB<CD D ．不能确定02 中档题11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝26°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB ，AC 于点D ，E ，则BD ︵的度数为（C ）A ．26°B ．64°C ．52°D ．128°第11题图第13题图12．已知⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 和2CD 的大小关系是（C ）A ．AB ＞2CD B ．AB ＝2CDC ．AB ＜2CD D ．不能确定13．如图所示，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN ︵的中点，点P 是直径MN 上一动点．若⊙O 的直径为2，则AP ＋BP 的最小值是2．14．如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，求证：AE ＝CD.证明：连接AC.∵∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，∴∠AOC ＝∠COD＝30°.∴AC ＝CD.又∵OA＝OC ，∴∠ACE ＝75°.∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°.∴∠AEC ＝∠AOC＋∠OAB＝75°.∴∠ACE ＝∠AEC.∴AE ＝AC.∴AE ＝CD.15．（教材P 19例4变式）如图，A ，B ，C 为⊙O 上的三等分点．（1）求∠BOC 的度数；（2）若AB ＝3，求⊙O 的半径长及S △ABC .解：（1）∵A，B ，C 为⊙O 上的三等分点，∴AB ︵＝BC ︵＝AC ︵.∴∠BOC ＝13×360°＝120°. （2）过点O 作OD⊥AB 于点D ，∵A ，B ，C 为⊙O 上的三等分点，∴AB ＝AC ＝BC ＝3，即△ABC 是等边三角形．∴∠BAO ＝∠OBA＝30°，AD ＝12AB ＝32. ∴DO ＝32，OA ＝3，即⊙O 的半径长为 3. ∴S △ABC ＝3×12DO·AB＝934.03 链接中考16．（教材P 19例5变式）如图1，PC 是⊙O 的直径，PA 与PB 是弦，且∠APC＝∠BPC.（1）求证：PA ＝PB ；（2）如果点P 由圆上运动到圆外，PC 过圆心，如图2，是否仍有PA ＝PB ？为什么？（3）如图3，如果点P 由圆上运动到圆内，那么PA ＝PB 是否仍然成立？解：（1）证明：过点O 作O E⊥PA，OF ⊥PB ，垂足分别为E ，F ，∵∠APC ＝∠BPC，∴OE ＝OF.∴PA ＝PB.（2）仍有PA ＝PB.理由如下：过点O 作OG⊥PA，OH ⊥PB ，垂足分别为G ，H ，∵∠APC ＝∠BPC，∴OG ＝OH.又∵OP＝OP ，∴Rt △OPG ≌Rt △OPH （HL ）．∴PG ＝PH.∵OG ⊥AM ，OH ⊥BN ，OG ＝OH ，∴AM ＝BN.∴AG＝BH.∴PG ＋AG ＝PH ＋BH ，即PA ＝PB.（3）PA ＝PB 仍然成立．第4课时圆的确定01基础题知识点1确定圆的条件1．下列命题不正确的是（C）A．过一点有无数个圆B．过两点有无数个圆C．弦是圆的一部分D．过同一直线上三点不能画圆2．若A，B，C是平面内的三点，且AB＝3，BC＝6，AC＝5，则下列说法正确的是（A）A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆上B．可以画一个圆，使A，B在圆上，C一定在圆外C．可以画一个圆，使A，C在圆上，B一定在圆外D．可以画一个圆，使B，C在圆上，A一定在圆内3．平面直角坐标系内的三个点A（1，0），B（0，－3），C（2，－3）能确定一个圆．（填“能”或“不能”）4．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作3个．知识点2三角形的外接圆5．三角形的外心是三角形（B）A．三个内角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高线的交点D．三条中线的交点6．三角形的外心具有的性质是（B）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等C．外心在三角形外D．外心在三角形内7．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（B）A．2 3 cm B．4 3 cmC．6 3 cm D．8 3 cm8．已知直角三角形的两条直角边分别为5 cm，12 cm，则该三角形的外接圆半径为6.5__cm．9．如图，一只猫观察到一个老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置．解：在△ABC的外心处能最省力地同时顾及三个洞口．作法如下：连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O，点O即为所求．知识点3反证法10．如图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”矛盾，所以假设不成立，则AB，CD只有一个交点．11．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.02中档题12．（教材P26习题T15变式）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（B）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块第12题图第14题图13．在用反证法证明“三角形中不能有两个角都是钝角”这一命题时，得出的结果与下列哪个结论互相矛盾（A）A．三角形的内角和定理B．三角形的外角和定理C．三角形内角的定义D．三角形外角的定义14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为（C）A. 3 B．3C．2 3 D．415．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝90°，sin A＝33，BC＝23，则⊙O的半径为3．第15题图第16题图16．（xx·泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为（7，4）或（6，5）或（1，4）．17．阅读下列文字，回答问题．题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B.所以AC≠BC.这与假设矛盾，所以AC≠BC.上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．解：有错误．改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B.又因为∠C＝90°，所以∠B＝∠A＝45°.这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立．所以AC≠BC.18．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C（如图），小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：（1）分别作出两边BC，AC的垂直平分线，交点为O.以O为圆心，OA为半径作出⊙O，即为所求作的花坛的位置．（2）∵∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，∴BC＝10 m.∴△ABC外接圆的半径为5 m.∴小明家圆形花坛的面积为25πm2.。

六年级上册圆练习题及答案六年级上册圆练习题及答案在六年级上册的数学课程中，圆是一个重要的概念。

学生们需要掌握圆的基本性质、圆的面积和周长的计算方法等知识。

为了帮助同学们更好地理解和掌握这些知识，老师们通常会布置一些练习题。

下面我将为大家整理一些六年级上册圆练习题及答案，希望能对同学们的学习有所帮助。

1. 以下哪个图形是圆？A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 圆形答案：D解析：圆是一个特殊的图形，它的边界由一条闭合的曲线组成，且任意一点到圆心的距离都相等。

选项D中的圆形符合这个定义，因此是圆。

2. 已知圆的半径为5cm，求其周长和面积。

答案：周长=2πr=2×3.14×5=31.4cm，面积=πr²=3.14×5²=78.5cm²解析：圆的周长等于圆的直径乘以π，即2πr；圆的面积等于π乘以半径的平方，即πr²。

根据题目中给出的半径，可以利用上述公式计算出周长和面积。

3. 一个圆的直径为12cm，求其半径、周长和面积。

答案：半径=直径÷2=12÷2=6cm，周长=2πr=2×3.14×6=37.68cm，面积=πr²=3.14×6²=113.04cm²解析：直径是连接圆上两点的线段，它等于圆的半径的两倍。

根据题目中给出的直径，可以计算出半径、周长和面积。

4. 一个圆的周长为18.84cm，求其半径和面积。

答案：半径=周长÷2π=18.84÷2×3.14=3cm，面积=πr²=3.14×3²=28.26cm²解析：根据圆的周长公式周长=2πr，可以将已知的周长带入公式计算出半径。

再利用圆的面积公式面积=πr²，可以计算出面积。

5. 一个圆的面积为50.24c m²，求其半径和周长。

圆【知识定位】知道圆的基本画法，以及圆的基本性质，会利用圆的周长和面积公式求圆的周长和面积【知识梳理】一、圆的画法和基本性质用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。

画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周，首尾相连。

2基本性质：1、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两边完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴。

2、中心对称：在一个平面内，一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转的图形完全重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

3、旋转对称：一个图形绕某一点旋转一定的角度（小于周角）后与原来的图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形。

如正方形（90°）重合4次。

等边三角形（120°）3次，圆（无数次）。

二、如果用C表示圆的周长，那么C＝πd或C = 2πr测量圆周长：滚动法、绕线法。

圆的面积公式：S=πr2。

圆的面积是半径平方的π倍。

例题精讲：【试题来源】【题目】圆规两脚间距离5厘米，画出圆的周长（）厘米，面积（）平方厘米【答案】10π 25π【解析】圆规两脚之间的距离是半径，再利用周长和面积公式可求【知识点】圆【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】圆是平面上的一种（）图形，围成圆的（）的长叫做圆的周长。

【答案】轴对称曲线【解析】圆的周长的概念【知识点】圆【适用场合】当堂例题【难度系数】长度【试题来源】【题目】、在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是（）厘米；如果画一个最大的半圆，这个圆的半径是（）厘米。

【答案】2，3【解析】画圆的时候最大的直径为宽，画半圆的时候最大的直径为长【知识点】圆【适用场合】当堂练习题【难度系数】1【试题来源】【题目】一个圆的直径扩大2倍，它的半径扩大（）倍，它的周长扩大（）倍。

【答案】2，2【解析】直径扩大的倍数和半径扩大的倍数一样【知识点】圆【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【试题来源】【题目】求如图阴影部分的周长和面积．（单位：厘米）【答案】3.72平方厘米【解析】解答解：（4+6）×4÷2÷2﹣3.14×÷2，=10﹣3.14×4÷2，=10﹣6.28，=3.72（平方厘米）；答：阴影部分的面积是3.72平方厘米．【知识点】圆【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】用一根长4米的绳子画一个最大的圆，这个圆的半径（）米，周长（）米，面积（）平方米。

圆的基本性质练习题姓名______________学号__________一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 已知扇形的弧长为π8，扇形的圆心角为060，则这个扇形的半径为（ ）A. 12B. 24C. 62D. 482．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC 的大小是（ ）A. 030B. 045C. 060D. 0703．下列说法正确的是（ ）A ．半圆是弧，弧也是半圆B ．三点确定一个圆C ．平分弦的直径垂直于弦D ．直径是同一圆中最长的弦4．如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是（ ）A ．弧AD=弧BDB ．AF=BFC ．OF=CFD D ．∠DBC=90°5．已知⊙O 的直径为10，若PO=5，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．无法判断6.如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为（ ）A.40°B.45°C.50°D.55°7．如图，⊙O 的半径为10，若OP=8，则经过点P 的弦长可能是（ ）A ．10B ．6C ．19D ．228. 如图，在半径为13cm 的圆形铁片上切下一块高为8cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（ ）A 、10cmB 、16cmC 、24cmD 、26cm9.如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（ ）A 、334-πB 、3234-πC 、332-πD 、332-π 10．如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）A ．23 B ．2 C ．13138 D ．131312 二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！ 11．一正六边的边长为8，则它的外接圆的直径为_______________12．四边形ABCD 内接于⊙O ，弧AB ：弧BC ：弧CD=2：3：5，∠BAD=120°，则∠ABC=_____13．如图，将弧AC 沿弦AC 折叠交直径AB 于圆心O ，则弧AC= 度．14．在半径为2的圆中，弦AC 长为1，M 为AC 中点，过M 点最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为15．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AO ⊥BC 于点F ，D 为弧AC 的中点，且弧CD 的度数为70°，则∠BAF=16．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB=8，CD=2，则EC 的长为________________17． 已知△ABC 的边BC=23cm ，且△ABC 内接于半径为2cm 的⊙O ，则∠A= 度．18.如图，C 、D 是以AB 为直径的圆O 上的两个动点（点C 、D 不与A 、B 重合），在运动过程中弦CD 始终保持不变，M 是弦CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ．若CD=3，AB=5，PM=x ，则x 的最大值是_________.19.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=90°，AB=BC ，D 是⊙O 上与点B关于圆心O 成中心对称的点，P 是BC 边上一点，连接AD 、DC 、AP ．已知AB=8，CP=2，Q 是线段AP 上一动点，连接BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足AP=BR ，则=QRBQ ______ 三．解答题（共6题，共66分） 温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！20（本题6分）如图，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，过点A 作AE ∥CD 交⊙O 于点E ，连接BD ，DE ，求证：BD=DE ．21（本题8分）．如图所示，AB=AC ，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 分别交⊙O 于E 、D ，连结ED 、BE ．（1）求证：BE ⊥AC ；（2）求证：BD=DE ；22（本题8分）．如图，在直角坐标系中，⊙E 的半径为5，点E （1，﹣4）．（1）求弦AB 与弦CD 的长；（2）求点A ，B 坐标．23（本题10分）．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，PB 与CD 交于点F ，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O 的半径R=2，求劣弧AC 的长度．24.如图，在⊙O 中，两弦AB 与CD 的中点分别是P 、Q ，且⋂⋂=CD AB ，连结PQ ，求证：∠APQ ＝∠CQP 。

圆的基本性质复习课教案seek； pursue； go/search/hanker after； crave； court； woo； go/run after第三章圆的性质1班级__________ 姓名___________复习内容：圆、圆的对称性、圆周角、确定圆的条件.复习要求：1.进一步理解圆及有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆的位置关系；2.探索圆的性质,了解圆心角与圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征.复习重点：圆的有关性质的应用复习过程：一.梳理有关知识点：基本概念：弧、弦、圆心角、圆周角确定圆的条件：对称性：基本性质垂径定理：圆圆心角、弧、弦的关系定理：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆心角是它所对的圆周角的推论：1同弧或等弧所的圆周角290°的圆周角所对弦是 ,二.基础练习训练：1. 小红的衣服被一个铁钉划了一个呈直角三角形的一个洞,其中三角形两边长分别为1cm和2cm,若用同色圆形布将此洞全部覆盖,那么这个圆布的直径最小应等于 .2.⊙O的半径为6㎝,OA、OB、OC的长分别为5㎝、6㎝、7㎝,则点A、B、C 与⊙O的位置关系是：点A在⊙O_____,点B在⊙O_______.OACB3. 如图,△ABC 的三个顶点都在⊙O 上,∠ACB=40°,则∠AOB=____,∠OAB=_____.4. 如图,方格纸上一圆经过2,5、-2,2、2,-3、6,2四点,则该圆圆心的坐标为A ．2,-1B ．2,2C ．2,1D ．3,1 三、典型例：例1：如图,要把破残的圆片复制完整, 已知弧上的三点A 、B 、C, 1用尺规作图法,找出弧ABC 所在圆的圆心O 保留作图痕迹,不写作法； 2设△ABC 是等腰三角形,底边BC = 10cm,腰AB = 6 cm,求圆片的半径R 结果保留根号；3若在2题中的R 的值满足n 〈R 〈mm 、n 为正整数,试估算m 和n 的值.例2 、1如图,在半径为5cm 的⊙O 中,圆心O 到弦AB 的距离为3cm,则弦AB 的长是_______ ; 弦AB 所对的圆心角的度数为___________. 2如图,在⊙O 中,弦AB ＝60,弓高CD ＝9,求圆的半径.3已知点P 是半径为5的⊙Ο内一定点,且PO=4,则过点P 的OA D BCOA D BCABC所有弦中,弦长可取到的整数值共有的条数是 . 例3 、如图所示,AB 是⊙O 的弦,半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F,•且AE=BF,请你找出弧AC 与弧BD 的数量关系,并给予证明．例4：如图,在⊙O 中,直径AB=10,弦AC=6,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.求BC 和AD 的长.例5 、如图,ABC △是⊙O 的内接三角形,AC BC =,D 为⊙O 弧AB 上一点,延长DA 至点E ,使CE CD =．1求证：AE BD =；2若AC BC ⊥,求证：2AD BD CD +=．O ACＥＡＯＤ Ｂ四、达标检：1．如图,BD 为⊙O 的直径,∠A=30°,则∠CBD 的度数为A ．30°B ．60°C ．80°D ．120°2．如图,AB 是⊙O 的直径,BC,CD,DA 是⊙O 的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD 等于 A ．100° B ．110° C ．120° D ．130°3．如图,⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G,∠EOD=40°,则∠DCF 等于 A ．80° B ．50° C ．40° D ．20°4、如图,点A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=40°,则∠OBC 的度数是________5．如图,已知圆心角∠AOB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 等于____________º.OAC BAB O COBACO BA CE D6.在半径为2的⊙O 中,弦AB 的长为22,则弦AB 所对的圆心角∠AOB 的度数是__________7．如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C,D 在⊙O 上,且AB=6,BC=3． 1求∠BAC 的度数；2如果OE ⊥AC,垂足为E,求OE 的长；3求∠ADC 的度数．课后作业： 一、选择题：1、半径为6的圆中,圆心角α为60°,则角α所对弦长等于• A ．42 B ．10 C ．8 D ．62、若一个直角三角形的两边分别为6和8,则这个直角三角形外接圆直径是B.10或4或83．在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB 与CD 关系是 A ．AB =2CD B ．AB >CD C ．AB <2CD D ．不能确定 4．如图,⊙O 中,如果AB =2AC ,那么 ．A ．AB=2ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC 5．如图,AB 和DE 是⊙O 的直径,弦AC ∥DE,若弦BE=3,则弦CE=________．二、填空1．⊙O 的直径为10,弦AB =8,P 是弦AB 上一动点,那么OP 长的取值范围是____.第四题第五题2．如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,O 为圆心,OD ⊥AB,垂足为D,OE ⊥AC,•垂足为E,•若DE=3,则BC=________．3．如图,矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G,B,F,E,GB=8cm,AG=1cm,DE=2cm,则EF=_______cm ．4．如图,在⊙O 中,∠ACB=∠D=60°,AC=3,则△ABC 的周长为________． 5．在半径为1的⊙O 中,弦AB 、AC 分别是2、3,则∠BAC 的度数为_______________.6. 如图,已知△ABC 的一个外角∠CAM ＝120°,AD 是∠CAM 的平分线,且AD 的反向延长线与△ABC 的外接圆交于点F ,连接FB 、FC ,且FC 与AB 交于E , 1判断△FBC 的形状,并说明理由；2请探索线段AB 、AC 与AF 之间满足条件的关系式并说明理由.7.已知：⊿ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D,交AC 于E,1如图1,当∠A 为锐角时,连接BE,试判断∠BAC 与∠CBE 的关系,并证明你的结论；2如图1中的边AB 不动,边AC 绕点A 按逆时针旋转,当∠BAC 为钝角时,如图2CA 的延长线与⊙O 相交于E,请问：∠BAC 与∠CBE 的关系是否与1中你所得出的关系相同 若相同加以证明；若不同,请说明理由.FBCDMA E(2)(1)C。

圆的基本性质复习课教案（市公开课）第一章：圆的定义与性质1.1 圆的定义：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆。

1.2 圆心：圆的中心点称为圆心。

1.3 半径：从圆心到圆上任意一点的线段称为半径。

1.4 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段称为直径。

1.5 圆的性质：（1）圆是对称图形，圆心是对称中心。

（2）圆上任意一点到圆心的距离相等，即半径相等。

（3）直径是半径的两倍。

第二章：圆的周长与面积2.1 圆的周长：圆的周长称为圆周率，用符号π表示。

2.2 圆的面积：圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。

2.3 圆周率π的值：π约等于3.14159。

第三章：圆的方程3.1 圆的标准方程：圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

3.2 圆的一般方程：圆的方程也可以表示为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。

第四章：圆的弧与弦4.1 弧：圆上两点间的部分称为弧。

4.2 弦：圆上任意两点间的线段称为弦。

4.3 直径所对的圆周角是直角。

4.4 圆心角与所对弧的关系：圆心角等于所对弧的两倍。

第五章：圆的相交与切线5.1 圆与圆的相交：两个圆的边界相交称为圆与圆的相交。

5.2 圆与圆的切线：与圆相切的直线称为圆的切线。

5.3 切线的性质：切线与半径垂直，切点处的切线斜率等于半径的斜率的负倒数。

第六章：圆的相切与内切6.1 圆的相切：两个圆仅有一个公共点时，称为相切。

6.2 内切：一个圆内含于另一个圆时，称为内切。

6.3 相切关系的应用：相切圆的半径之和等于两圆心距离。

第七章：圆的方程应用7.1 圆的方程求解：通过给定的条件，求解圆的方程中的未知数。

7.2 圆的方程应用实例：求解圆与直线、圆与圆的交点坐标。

第八章：圆的弧长与角度8.1 弧长：圆周上的一段弧的长度称为弧长。

8.2 圆心角与弧长的关系：圆心角的大小等于所对弧的长度与半径的比值。

∵四边形ABCD是内接四边形，
·O B
∴ ∠ A+ ∠ C=180°,
C
∠ B+ ∠ D=180°.
活动2 练习精析，巩固深化
1、如图，A、B、C是⊙O上的三点， ∠CAO=25°，∠BCO=35°，则 ∠AOB=__1_2_0___度。
C
35° 25°
O A
B
考点：圆周角定理
2、 求下列带“？”的角.
∠PAB在60°-75°之间的任意 数．
考点：圆周角定 理；垂径定理．
活动3 总结反思 ,拓展升华
C
O
AE BD垂来自定理 及推论轴 对 称 性
旋
转
圆
不 变
性
A
D
O
B
C
内接四边形 的性质
主要解决 与弦有关 的计算
C DO
AB
圆周角定理 及推论
CD A OB
主要解决与 角有关的计 算
主要解决 有关角的 计算
辅助线， 莫乱添，
规律方法记心间； 圆半径， 不起眼，
角的计算常要连， 构成等腰解疑难；
弦与弦心距， 亲密紧相连；
交点和圆心， 连结要领先； 遇到直径想直角， 灵活应用才方便。
交⊙O于点C,交AB于E.
D
（1）当AB=8，OE=3时，求半径.
O （2）当AB=8，DE=6时，求半径.
A
E C
B （3）当AB=8，CE=3时，求半径.
考点：垂径定理
7、如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直
径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连
接PA，则∠PAB的度数可以是 （写出
一个即可）
C
C
A 40° O

人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.1圆的有关性质》第3课时说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章《圆的有关性质》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的重点和难点。

这一章节主要介绍了圆的基本性质，包括圆的定义、圆的方程、圆的半径和直径、圆的周长和面积等。

这些内容不仅是进一步学习圆的计算和应用的基础，而且对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的认识和理解有了基本的掌握。

但是，对于圆的性质和概念的理解还需要进一步的引导和培养。

此外，由于圆的概念较为抽象，学生可能存在一定的理解难度，因此需要教师在教学中注重启发和引导，帮助学生建立清晰的概念。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过本节课的学习，学生能够理解和掌握圆的基本性质，包括圆的定义、圆的方程、圆的半径和直径、圆的周长和面积等。

2.过程与方法目标：通过观察、思考和交流，学生能够培养空间想象能力和逻辑思维能力，能够运用圆的性质解决实际问题。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，对数学产生浓厚的兴趣，培养自主学习和合作学习的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆的定义、圆的方程、圆的半径和直径、圆的周长和面积等基本性质的理解和掌握。

2.教学难点：圆的性质的推导和证明，以及运用圆的性质解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。

通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和动力。

2.教学手段：利用多媒体课件和教具进行教学，通过展示图形和动画，帮助学生直观地理解和掌握圆的性质。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与圆相关的实际问题，引起学生的兴趣和思考，从而引入圆的基本性质的学习。

2.知识讲解：引导学生通过观察和思考，发现圆的性质，并进行证明和推导。

通过示例和练习，帮助学生理解和掌握圆的性质。

教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
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1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！

圆的基本性质习题课：1、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，DC ⊥AB 于E ，则下列结论不一定正确的是（ ）（垂径定理）A 、∠COE=∠DOEB 、CE=DEC 、OE=BED 、AD=AC2、如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BC 延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE 的度数为（ ）A 、40° B 、60° C 、50° D 、80°（圆内接四边形定理与推论）3、如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A 、45°B 、60°C 、75°D 、90°（同弧或等弧所对 ）4、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，∠ABC=30°，则∠DAC 等于（ ）（直径所对圆周角为 ）A 、30°B 、40°C 、50°D 、60°5、如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A ＝22.5°，OC=4，CD 的长为（ ）（垂径定理）A 、B 、4C 、D 、8第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题6、如图，是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的一部分，路面AB=8米，净高CD=8米，则此圆的半径OA=（ ）A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 （垂径定理）7. 如图，Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ）（外心定义与尺规作图）A ．2.5B ．2.5cmC ．3cmD ．4cm8. 点P 为△ABC 的外心，∠A ＝75°，则∠BPC ＝ .(自己作图) （外心）9. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝ °（外心）10．如图，△ABC 在网格坐标系中，A 、B 、C 为格点，则△ABC 外接圆的圆心的坐标是 ，外接圆的半径 （外心）.11、如图，是△ABC 的外接圆中直径AD=，∠B =∠DAC ，则AC 的长为__________________。

第六单元圆第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D第1题图2. (2019宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°第2题图3. (2019兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝()A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°第3题图4. (2019甘肃省卷)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是()A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图6.(2019西安高新一中模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是()A. 48°B. 96°C. 114°D. 132°第6题图7. (2019陕西黑马卷)如图，在⊙O中，弦AB∥CD，连接BC，OA，OD.若∠BCD＝25°，CD＝OD，则∠AOD的度数是()A. 140°B. 120°C. 110°D. 100°第7题图8. (2019赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第8题图9. (2019贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ︵＝CD ︵，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D ．70°第9题图10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则BD 的长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 12第10题图11. 如图，AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝30°，CB ＝3，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，则弦AD 的长为( )A. 2 3B. 2 2C. 3 3D. 32第11题图12. 如图，B 、C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，连接BC 、BD 、BF 、CF .若∠BFC ＝20°，则∠DBC ＝( )A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°第12题图13. (2019西工大附中模拟)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，EF 为⊙O 的直径，且点F 是弧BC ︵的中点．若∠B ＝40°，∠C ＝60°，则∠AFE 的度数为( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°第13题图14. (2019西安铁一中模拟)如图，在半径为3的⊙O 中，弦BC 、DE 所对的圆周角分别是∠A 、∠F ，且∠A ＋∠F ＝90°.若BC ＝4，则DE 的长为( )A. 13B. 4C. 5D. 25第14题图15.在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E.已知BC＝32，CD ＝22，则线段CE的长为()第15题图A. 32 2B. 7 5C. 62 5D. 22 316. (2019株洲)如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝________度．第16题图17.(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________．第17题图18.已知半径为5的⊙O中，弦AB＝52，弦AC＝5，则∠BAC的度数是________．点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019襄阳)如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是()A. AP＝2OPB. CD＝2OPC. OB⊥ACD. AC平分OB第1题图2. (2019西工大附中模拟)如图，已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC ＝130°，则∠ABE的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°第2题图3.(2019天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°第3题图4.(2019柳州)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为________．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC 为()第1题图A. 13 B. 22 C.223 D.24参考答案第24课时 圆的基本性质点对点·课时内考点巩固1. D 【解析】在⊙O 中，∵∠A 与∠D 都是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠D .2. A 【解析】∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°.∴在△OBC 中，∠BOC ＝180°－∠OCB －∠OBC ＝180°－40°－40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.3. D 【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝40°，∴∠C ＝180°－∠A ＝140°.4. C 【解析】如解图，设圆心为O ，半径为r ，则AB ＝2r .连接OA 、OB ，则r 2＋r 2＝(2r )2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°.第4题解图5. B 【解析】如解图，连接AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCB －∠ACB ＝110°－90°＝20°，∴∠AED ＝∠ACD ＝20°.第5题解图6. B 【解析】∵AD ∥BC ，∴∠B ＝180°－∠DAB ＝132°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＝180°－∠B ＝48°，由圆周角定理得，∠AOC ＝2∠D ＝96°.7. C 【解析】如解图，连接OC ，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠BCD ＝25°，∴∠AOC ＝50°，∵CD ＝OD ，OD ＝OC ，∴OC ＝OD ＝CD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝110°.第7题解图8. D 【解析】∵OC ⊥AB ，∴点C 是AB ︵的中点，即AC ︵＝BC ︵.∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°. 9. B 【解析】∵AB ︵＝CD ︵，∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，∴∠BOC ＝100°，∴∠BPC ＝12∠BOC ＝50°.10. C 【解析】∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠BCA ＝12×(180°－120°)＝30°.∴∠D ＝∠BCA ＝30°.∵BD为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°.在Rt △BAD 中，BD ＝AD cos30°＝632＝4 3. 11. D 【解析】如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴AB ＝2CB ＝6，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°，∵∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD ＝22AB ＝22×6＝3 2.第11题解图12. A 【解析】∵∠BFC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－40°)＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.13. A 【解析】如解图，连接OC 、CF .∵∠B ＝40°，∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝80°，∠AFC ＝∠ABC ＝40°，∵点F 是弧BC ︵的中点，∴∠BAF ＝∠CAF ＝40°，∴∠COF ＝2∠CAF ＝80°，∵OF ＝OC ，∴∠OFC ＝12(180°－80°)＝50°，∴∠AFE ＝∠OFC －∠AFC ＝10°.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点G ，连接EG 、FG ，则∠DFG ＝∠DEG ＝90°，又∵∠A ＋∠DFE ＝90°，∠GFE ＋∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠GFE .则GE ＝BC ＝4.∵⊙O 的半径为3，∴DG ＝6.在Rt △DEG 中，DE ＝DG 2－GE 2＝62－42＝2 5.第14题解图15. C 【解析】如解图，作BM ⊥AC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，则BM ∥DN ，∴△BME ∽△DNE ，∴MENE ＝BM DN ，∵∠ACB ＝∠ACD ＝60°，∴∠CBM ＝∠CDN ＝30°，∴CM ＝12BC ＝322，CN ＝12CD ＝2，∴BM ＝3CM ＝362，DN ＝3CN ＝6，∴MN ＝CM －CN ＝122，∴ME NE ＝32，∴EN ＝25MN ＝25，∴CE ＝CN ＋EN ＝2＋25＝625.第15题解图16. 20 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝45°.∵∠AEC＝65°，且∠AEC 是△ADE 的一个外角，∴∠BAD ＝∠AEC －∠ADC ＝20°.17. 2 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠CBA ＝45°，∴∠AOC ＝90°.又∵OA ＝OC ＝2，∴AC ＝2 2.在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝30°，∴CD ＝AC ·sin30°＝ 2.第17题解图18. 105°或15° 【解析】如解图，连接OC ，OA ，OB .∵OC ＝OA ＝AC ＝5，∴△OAC 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∵OA ＝OB ＝5，AB ＝52，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝45°，点C 的位置有两种情况，如解图①时，∠BAC ＝∠CAO ＋∠OAB ＝60°＋45°＝105°；如解图②时，∠BAC ＝∠CAO －∠OAB ＝60°－45°＝15°.综上所述，∠BAC 的度数是105°或15°.第18题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】如解图，连接OC .∵四边形OBCD 是平行四边形，OD ＝OB ，∴四边形OBCD 是菱形．∴OD ＝OC ＝CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵CD ∥OB ，∴CD ＝2OP ，OB ⊥AC .故B 、C 选项正确．∵△CBP ≌△COP (HL)，∴BP ＝OP .故D 选项正确．第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，OE ，∵AB ＝BC ＝CE ，∴AB ︵＝BC ︵＝CE ︵，∠1＝∠2＝∠3，在四边形BCDE 中，∵∠D ＝130°，∴∠CBE ＝50°，∠2＝2∠CBE ＝100°，∴∠1＝∠3＝∠2＝100°，∠AOE＝360°－3×100°＝60°，∴∠ABE ＝12∠AOE ＝30°.第2题解图3. C 【解析】∵∠AEB ＋∠AEC ＝∠D ＋∠AEC ＝180°，∠D ＝80°，∴∠AEB ＝∠D ＝80°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠B ＝∠D ＝80°，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠AEB .∴∠BAE ＝180°－2∠B ＝20°，∠BAC ＝∠ACB ＝12(180°－∠B )＝50°.∴∠EAC ＝∠BAC －∠BAE ＝30°.4. 52 【解析】如解图，四边形ABCD 为正方形，BD 为⊙O 的直径，OA 为半径，则OA ＝OB ＝5，OA ⊥OB ，∴AB ＝ OA 2＋OB 2＝52＋52＝5 2.第4题解图5. 174【解析】如解图，延长AO 至C 点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，延长FD 交⊙D 于点P ′，连接AP ′，OP ′，要使△AOP 面积最大，则只需AO 边上的高最大，此时P ′满足条件，即P ′F 为△AOP 的AO 边上最大的高．∵DF ＝AD ·CD AC ＝4×342＋32＝125，∴P ′F ＝DF ＋DP ′＝125＋1＝175，AO ＝12AC ＝52，∴△AOP 的最大面积为12AO ·P ′F ＝12×52×175＝174.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，连接AC 、AO ，得到等腰三角形AOC ，过A 点作AD ⊥OC ，垂足为点D ，∴∠CAD ＝12∠CAO ＝∠OBC ，∵点C 坐标为(0，2)，∴CD ＝OD ＝1，∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝32－12＝22，∴tan ∠OBC ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝122＝24.第1题解图。

又∵AD＝AD，∴△ABD≌△ACD， ∴BD＝DC，∴AD垂直平分BC. ∴OD＝6cm， ∴AD＝OA－OD＝14－6＝8(cm)．
在Rt△OBD中，BD2＝OB2－OD2＝142－62＝160.
在 Rt△ABD 中， AB＝ AD2＋BD2＝ 82＋160＝4 14(cm)． 综上可知，AB 的长为 4 35 cm 或 4 14 cm.
【答案】15°或75°
易错总结：在求两条弦的夹角时，容易忽略圆的轴对称性 而造成漏解．一般地，分类标准为圆心O在角的外部和圆 心O在角的内部．例如，本题分为圆心O在∠CAB的内部 和圆心O在∠CAB的外部两种情况．
︵ 12．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，
A︵C的中点，MN分别交AB，AC于点E，F.判断△AEF
6．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠AOB＝60°， AB＝AC＝2，则弦 BC 的长为( C ) A. 3 B．3 C．2 3 D．4
︵ 7．一种花边是由如图所示的弓形组成的，AB所在圆的半
径为5，弦AB＝8，则弓形的高CD为( ) B
A．1B．2 C．3D．4
8．如图，一条公路弯道处是一段圆弧 AB，点 O 是这段弧所
ZJ版九年级上
第3章圆的基本性质
3．3 垂径定理 第2课时 垂径定理的逆定理
提示：点击 进入习题
1D
2A
3D
4C
5A
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6C 7B
8C
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9 25
答案显示
13 见习题
10 8
14 见习题
11 15°或75° 15 见习题 12 见习题
1．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB与CD相交于点

圆的性质习题(三)一、说明满足下列条件的轨迹：(点的轨迹练习题)1．到定点A的距离等于5cm 点的轨迹是以A为圆心，5cm为半径的圆.2．经过M和N的圆的圆心的轨迹是线段MN的垂直平分线.3．到∠AOB两边的距离相等的点的轨迹是∠AOB的平分线.4．到直线l的距离等于2cm的点的轨迹是平行于l，且到l的距离等于2cm的两条直线.5．已知直线AB∥CD，到AB、CD的距离相等的点的轨迹，是平行于AB，CD，且到AB，CD距离相等的一条直线.6．BC给定，等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是BC的垂直平分线.（垂足除外）7．OA⊥OB，垂足为O，到OA，OB距离相等的点的轨迹是∠AOB的平分线.8．底边BC是4cm，面积是10cm2的三角形顶点A的轨迹是平行于BC，且到BC 距离等于5cm的两条直线.9．两个端点分别在两条已知平行线上的线段中点的轨迹是到两条平行线距离相等的一条平行线.10．和两条已知直线l1和l2距离相等的点的轨迹当l1∥l2时，是到l1、l2距离相等的一条平行线；当l1与l2相交时，是l1与l2交角的平分线（两条）.二、用反证法证明1．一个三角形中不能有两个角是钝角.已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角.2．已知：如图，AB∥CD，AB∥EF求证：CD∥EF.3．一条直线与两条平行线中的一条相交，必与另一条相交.已知：l1∥l2，l3与l1相交于A.求证：l3必与l2相交A B C D E Fl3A l1l24．圆的两条相交的弦（直径除外）不能互相平分已知：⊙O中，弦AB、CD相交于P.AB、CD不是直径.求证：AB，CD不能互相平分.三、四点共圆练习题(说明：四点共圆是证明较复杂习题的工具，课本不要求)四点共圆的条件：1．如果四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一圆上.2．如果一个四边形的一组对角互补，那么四边形内接于圆.3．一个四边形如果有一个外角等于它的内对角，则这个四边形内接于圆.4．两个同底同侧的三角形，如果它们的顶角相等，则它们的四个顶点在同一个圆上.1．求证矩形的四个顶点在同一个圆上.已知：矩形ABCD.求证：A、B、C、D在同一个圆上.2．如图，ABCD, ⊙O过A、B，交BC于E，交AD于F.3．如图，两圆相交于A、B，过B的割线与两圆分别交于C、D. P是圆形外一点，连结PC、PD分别交两圆于E、F.求证：P、E、A、F四点共圆4．如图，P、Q、R分别是AB，BC，AD的中点，QP、DA延长线交于S，RP、CB延长线交于T.5．如图，AC⊥BC，CE⊥AB，CF⊥AD.求证：∠AFE=∠B.6．如图，BD是⊙O直径，AB⊥AC，AD⊥BC，求证：AF⊥EC，.。

圆的基本性质练习一、看准了再选1．.如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC 的度数是（ ） A.110° B.70° C.55° D.125°2．如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G 且EF ⊥CD ，若∠EOD=40°,则∠DCF 等于（ ） A.80° B. 50° C.40° D. 20°3.直线ａ上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线ａ与⊙O 的位置关系是（ ） Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相切或相交 Ｄ、相交4.在⊙O 中，弦AB 垂直并且平分一条半径，则劣弧AB 的度数等于（ ） A.30° B.120° C.150° D.60°5．如图，⊙O 的半径OA=3，以点A 为圆心，OA 的长为半径画弧交⊙O 于B ，C•则BC=（ ）． A ．32 B ．33 C ．323 D ．3326．．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（ ）．A ．∠1>∠2>∠3B ．∠3>∠1>∠2C ．∠2>∠1>∠3D ．∠3>∠2>∠1 7．．如图，已知∠BAC=45°，一动点O 在射线AB 上运动（点O•与点A 不重合），设OA=x ，如果半径为1的圆O 与射线AC 有公共点，那么x 的取值范围是（ ） A ．0<x ≤2 B ．1<x ≤2 C ．1≤x ≤2 D ．x>28．如图，AB 、AC 与⊙O 相切于点B 、C ，∠A=50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是（ ）OCFGD EAPBC OA ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等的角有（ ）个。

初中数学【圆的基本性质】练习题一．选择题（共9小题）1．在圆中，下列命题中正确的是（）A．垂直于弦的直线平分这条弦B．平分弧的直线垂直于弧所对的弦C．平分弦的直径垂直于这条弦D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦2．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是（）A．B．C．D．3．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°4．如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（）A．10B．5C．10D．205．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（）A．70°B．90°C．110°D．120°6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（）A．13B．14C．15D．167．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19B．16C．18D．208．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE的长是（）A．3B．3.5C．2D．1.59．已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为（）A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm或7cm 二．填空题（共8小题）10．如图，PT切⊙O于点T，经过圆心的割线P AB交⊙O于点A和B，PT＝4，P A＝2，则⊙O的半径是．11．如图，⊙O中两条弦AB、CD相交于点P，已知P A＝3，PB＝4，PC＝2，那么PD长为．12．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝45°，∠E＝30°，则∠F＝．13．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为．14．如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC ＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝度．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．16．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AE的长为．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE 并延长交⊙O于点D，则DE＝．三．解答题（共2小题）18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求AD的长．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F．求证：∠FGC＝∠AGD．答案一．选择题（共9小题）1．在圆中，下列命题中正确的是（）A．垂直于弦的直线平分这条弦B．平分弧的直线垂直于弧所对的弦C．平分弦的直径垂直于这条弦D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦【解答】解：A、直线只有过圆心时，垂直于弦的直线平分这条弦，故选项错误；B、直线只有过圆心时，平分弧的直线垂直于弧所对的弦，故选项错误；C、被平分的弦是直径时，不一定垂直于弦，故选项错误；D、正确．故选：D．2．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AM⊥CD∵⊙A与x轴相切于点B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点∴OC＝1，CD＝3，DM＝CM＝1.5∴OM＝AB＝2.5，∴圆的半径R＝2.5，∴AC＝2.5∴AM＝＝2，即点A的坐标是（）．故选：C．3．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．故选：D．4．如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（）A．10B．5C．10D．20【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN＝AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC是直径时，最大，如图，∵∠ACB＝∠D＝45°，AB＝10，∴AD＝20，∴MN＝AD＝10，故选：A．5．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（）A．70°B．90°C．110°D．120°【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵∠B＝30°，∠BOC＝∠B+∠BDC，∴∠BDC＝∠BOC﹣∠B＝100°﹣30°＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝110°，故选：C．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（）A．13B．14C．15D．16【解答】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得（AC+BC﹣AB）＝1，∴AC+BC＝8．则三角形的周长＝8+6＝14．故选：B．7．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19B．16C．18D．20【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AD＝AB＝12；∴OD＝4，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD＝2；∴BE＝10；∴BC＝2BE＝20；故选：D．8．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE的长是（）A．3B．3.5C．2D．1.5【解答】解：连接AE、AD，如图，∵BE是⊙O的直径．∴∠BAE＝90°，∵AB⊥CD，∴AE∥CD，∴∠ADC＝∠DAE，∴＝，∴DE＝AC＝3．故选：A．9．已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为（）A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm或7cm 【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，连接OA、OC．作OF⊥CD于F，交AB于E．∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12﹣5＝7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，连接OA、OC．作OF⊥CD于F，交AB于E．∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF+OE＝17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．故选：D．二．填空题（共8小题）10．如图，PT切⊙O于点T，经过圆心的割线P AB交⊙O于点A和B，PT＝4，P A＝2，则⊙O的半径是3．【解答】解：∵PT切⊙O于点T，∴由切割线定理得PT2＝P A•PB，即42＝2×（2+AB）．解得AB＝6．∴⊙O的半径是3，故答案为：3．11．如图，⊙O中两条弦AB、CD相交于点P，已知P A＝3，PB＝4，PC＝2，那么PD长为6．【解答】解：∵两条弦AB、CD相交于点P，∵PD•PC＝P A•PB，∴PD＝＝6．故答案为6．12．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝45°，∠E＝30°，则∠F＝60°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝135°，有三角形的外角性质可知，∠EDC＝∠BCD﹣∠E＝105°，∴∠F＝∠EDC﹣∠A＝60°，故答案为：60°．13．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为4．【解答】解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴由垂径定理得：AC＝PC，PD＝BD，∴CD是△APB的中位线，∴CD＝AB＝×8＝4，故答案为：4．14．如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC ＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝60度．【解答】解：连接OB，∵OB＝OE＝BC，∠C＝40°，∴∠COB＝∠C＝40°，∴∠ABO＝∠C+∠COB＝80°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝80°，△AOC中，∠EOA＝180°﹣40°﹣80°＝60°，故答案为：60．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝，∴AE＝＝＝，∴AD＝2AE＝，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，故答案为：．16．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AE的长为5．【解答】∵AC平分∠BAD，∴＝，∴∠BDC＝∠CAD，∵∠ACD＝∠DCE，∴△CDE∽△CAD，∴CD：AC＝CE：CD，∴CD2＝AC•CE，设AE＝x，则AC＝AE+CE＝4+x，∴62＝4（4+x），解得：x＝5．∴AE＝5．故答案为：5．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE 并延长交⊙O于点D，则DE＝．【解答】解：如图，连接BD，CD，EC．∵点E是△ABC的内心，∴∠DAB＝∠DAC，∠ECA＝∠ECB，又∵∠DCB＝∠DAB，∴∠DAC＝∠DCB∵∠DEC＝∠EAC+∠ECA，∠ECD＝∠ECB+∠DCB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∵∠DAB＝∠DAC，∴＝，∴BD＝DC，∵BC＝4，∴DC＝DB＝2，∴DE＝2，故答案为2．三．解答题（共2小题）18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求AD的长．【解答】（1）方法一：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵＝，∴∠BAE＝∠CAE，又AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（ASA），∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；方法二：∵AB是直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵＝，∴DE＝BE，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠C＝∠CDE，∵ABED是圆内接四边形，∴∠CDE＝∠CBA，∴∠C＝∠CBA，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝8，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴AE•BC＝BD•AC，∴BD＝＝，在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，∴AD＝＝．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F．求证：∠FGC＝∠AGD．【解析】连接AD.∵CD⊥AB，∴弧AD＝弧AC ，∴∠ADC＝∠AGD.∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD．。

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垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
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图3－9－4
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推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.

圆周角定理是圆的基本性质之一，它揭示了圆周角与圆心角之间的关系。在本课时中，我们深入探讨了圆周角定理及其推论。特别地，我们关注了一个重要的推论：半圆（或直径）所对的圆周角具有特定的性质。具体来说，当一条种特殊的形态。这一性质在解决与圆相关的问题时具有广泛的应用价值。然而，文档片段未详细展开这一推论的具体内容和证明过程。此外，我们还探讨了与这一推论相关的反向情况，即当圆周角满足某些条件时，可以推断出对应的弦是否为半圆（或直径）。这种双向的推理能力有助于我们更全面地理解和应用圆周角定理及其推论。