不等式小结与复习

不等式小结与复习一、复习引入：1．基本不等式、极值定理；2．简述不等式证明的几种常用方法:比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造二、讲解范例：例1若14<<-x ，求22222-+-x x x 的最值 解：])1(1)1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-⋅=-+-x x x x x x x x x ∵14<<-x ∴0)1(>--x 0)1(1>--x 从而2])1(1)1([≥--+--x x 1])1(1)1([21-≤--+---x x 即1)2222(min 2-=-+-x x x 例2设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值解：∵0>x ∴212y x ⋅=+又2321)2()221(2222=++=++y x y x ，∴423)2321(212=⋅≤+y x 即 423)1(m a x 2=+y x 例3 已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 解：y x +yxb x ay b a y b x a y x y x +++=++=⋅+=))((1)( )(2b a yxb x ay b a +=⋅++≥当且仅当y xb x ay =即ba y x =时m in )()(b a y x +=+例4 已知x 2 = a 2 + b 2，y 2 =c 2 +d 2，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd证一：（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数∴要证：xy ≥ac + bd只需证：(xy )2≥(ac + bd )即 (a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd展开得：a 2c 2 + b 2d 2 + a 2d 2 + b 2c 2≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd 即 a 2d 2 + b 2c 2≥2abcd由基本不等式，显然成立,∴xy ≥ac + bd 证二：（综合法）xy =222222222222d b d a c b c a d c b a +++=++≥ac bd ac d b abcd c a +=+=++22222)(2 例5 解关于x 的不等式 a x x a log log <解：原不等式等价于 x x aa l o g 1l o g < 即 0log )1)(log 1(log <-+x x x a a a ∴1log 01log <<-<x x a a 或 若a >1 ， a x a x <<<<110或 若0<a <1 ， 11<<>x a ax 或 例6 解关于x 的不等式 )22(223x x x x m --<-解：原不等式可化为02)1(224<+⋅+-m m x x ，即 0)2)(12(22<--m x x 当m >1时， m x <<221 ∴m x 2log 210<< 当m =1时， 0)12(22<-x ∴x ∈φ当0<m <1时， 122<<x m ∴0log 212<<x m 当m ≤0时， x <0 例7 解关于x 的不等式 )20(,1)(c o t 232πθθ≤<<-+-x x 解：当1cot >θ即θ∈(0,4π)时， 0232<-+-x x ∴x >2或x <1 当1cot =θ即θ=4π时， x ∈φ当)1,0(cot ∈θ即θ∈(4π,2π)时， 0232>-+-x x ∴1<x <2 例8 满足13-≥-x x 的x 的集合为A ；满足0)1(2≤++-a x a x 的x 的集合为B1︒ 若A ⊂B 求a 的取值范围；2︒ 若A ⊇B 求a 的取值范围；3︒ 若A ∩B 为仅含一个元素的集合，求a 的值解：A =[1,2] ， B ={x |(x -a )(x -1)≤0}当a ≤1时， B =[a ,1] 当a >1时 B =[1,a ]当a >2时， A ⊂B当1≤a ≤2时， A ⊇B当a ≤1时， A ∩B 仅含一个元素例9 方程)0,10(,021cos 21sin 2π≤≤<<=-++x a a x x a 有相异两实根，求a 的取值范围解：原不等式可化为01cos cos 22=--x x a令 x t cos = 则]1,1[-∈t ，设12)(2--=t at t f 又∵a >0 ∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⇒-<>≥≥->⇒<<-≥-=≥=->+=∆1414110811411022)1(02)1(081a a a a a a a a f a f a 或 课后作业： 1选择题(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（ B ） A (-∞,-34)∪(21,+∞) B (- 34,21) C (- 21,43) D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（ C ） A -b 1 <x <0或0<x <a 1 B - a 1<x <b1 C x <-b 1或x >a 1 D - a 1<x <0或0<x <b1 (3)不等式11+x (x -1)(x -2)2(x -3)<0的解集是（ B ） A (-1,1)∪(2,3) B ∞,-1)∪(1,3) C (-∞,-1)∪(2,3) D(4)若a >0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（C ） A Δ<0 B Δ=0 C Δ≤0 D >0(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（ B ） A p >-2 B p ≥0 C -4<p <0 D p >-4 (6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ D ） A m <-5或m >3 B 3<m <9 C m =0或m =8 D =8(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为（ B ） A {x |1<x <2} B {x |2<x <25} C {x |1<x <25} D {x |2<x <5} (8)设0<b <21,下列不等式恒成立的是（ C ） A b 3>b 21 B l o g b (1-b )>1 C cos(1+b )>cos(1-b ) D (1-b )n <b n,n ∈N (9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ A ） A 16≤a <1 B 16<a <1 C 0<a ≤161 D 0<a <161 (10)不等式112+<-x x 的解集是（ A ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D ［-1,1］ (11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ D ）A B (1,2) C (2,+∞) D (1,+∞)2填空题(1)不等式1≤|x -2|≤7的解集是 :［-5,1］∪［3,9］ (2)不等式x 1>a 的解集是 a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a1或x >0 (3)不等式lg|x -4|<-1的解集是 答案:{x |4<x <1041或1039<x <4} (4)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = :4 3、求下列函数的最值：1︒ )(,42+∈+=R x xx y (min=24) 2︒)20(),2(a x x a x y <<-= (8max 2a =) 3︒若220<<x , 求)21(22x x y -=的最大值4︒若+∈R y x ,且12=+y x ，求y x 11+的最小值)223(+ 4、解下列不等式（1）解不等式｜x 2－4x ＋2｜≥2x （2）(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2； (3)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0； (4)45820422+-+-x x x x ≥3 解:（1） 0＜x ≤21或4177-≤x ≤4177+或x ≥4 (2)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2,即x <3且x ≠-5∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(3)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}(4)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x 0)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞)。

不等式小结与复习主讲：黄冈中学高级教师陈红明一周强化一、一周知识概述不等式是中学数学的基础和重要部分，它可以渗透到数学的其它内容中，在实际生活中有广泛的应用，是高考的重要内容。

在复习不等式时应注意等价转化思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想以及化归思想在不等式中的应用，掌握通性通法。

提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力，在实际应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误。

(一)知识网络结构(二)不等式的性质1、实数的运算性质和大小顺序之间的关系；a－b>0a>b；a－b=0a=b；a－b<0a<b.2、不等式的基本性质（1）对称性：a>b b<a；（2）传递性：a>b，b>c a>c；（3）可加性：a>b，c∈R a＋c>b＋c；（4）可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc.3、不等式的运算性质（1）加法：a>b，c>d a＋c>b＋d；（2）减法：a>b，c<d a－c>b－d；（3）乘法：a>b>0，c>d>0ac>bd；（4）除法：a>b>0，0<c<d；（5）乘方：a>b>0（n∈N*且n>1）（6）开方：a>b>0（n∈N*且n>1）（7）倒数：a>b，ab>0.（三）不等式的证明方法与主要依据1、证明不等式的方法：证明不等式的常用方法有：比较法、综合法、分析法．此外，在证明不等式中，有时还要运用综合分析法、放缩法、换元法、反证法．2、证明不等式的主要依据（1）a－b>0a>b；a－b<0a<b.（2）不等式的性质.（3）重要不等式及定理：①a2≥0（a∈R）；②a2＋b2≥2ab（a∈R，b∈R）；③（a∈R＋，b∈R＋）；④a3＋b3＋c3≥3abc（a，b，c∈R＋）；⑤（a，b，c∈R＋）；⑥|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；⑦|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|；（注：搞清楚以上定理取“=”号的条件）⑧|x|<a（a>0）x2<a2－a<x<a；⑨|x|>a（a>0）x2>a2x<－a或x>a. （四）不等式的解法1、绝对值不等式、高次不等式的解法2、无理不等式通过以上表解，进一步熟悉不等式的性质、证明、解法.二、重难点知识选讲1、不等式的性质、重要不等式、绝对值不等式是整章的基本内容，是证明不等式和解不等式的知识基础，应熟练掌握和运用．例1、设，则在①a2>b2；②a＋b>2；③ab<b2；④a2＋b2>|a|＋|b|这四个不等式中，恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3例2、已知正数x，y满足x+2y=1，求的最小值．2、不等式的证明不等式证明方法较多，具体问题具体分析是证明不等式的精髓，灵活地选用证明方法是证明不等式的技巧．巧妙地变形是证明不等式的关键，联系和联想是证明不等式的重要观点，提高思维能力是证明不等式的落脚点．例3、已知0<a<1，求证：≥9.3、不等式解法不等式的解法是化归与转化思想的充分运用，将超越不等式转化为代数不等式、无理不等式转化为有理不等式、高次或分式不等式转化为一元一次、二次不等式等，应注意转化过程的等价性．例4、解不等式：例5、解关于x的不等式（a∈R）.4、不等式的应用问题例6、（全国高考试题）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为______元.例7、（全国高考试题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？。

不等式复习小结【教学目标】1．会用不等式（组）表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系； 4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题； 5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。

【教学重点】不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。

【教学难点】利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。

【教学过程】1.本章知识结构2.知识梳理（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：baab b a 110,<⇒>>(6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小； 作差法3、应用不等式性质证明（二）一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 有两相异实根 有两相等实根（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解2a b +≤1、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a22a b +≤几何意义是“半径不小于半弦”3.典型例题1、用不等式表示不等关系例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。

一元二次函数、方程和不等式小结与复习第2课时教学设计一、内容和内容解析1.内容基本不等式及变形公式的运用, 用函数观点理解方程和不等式的基本思想方法，三个二次的综合应用.2.内容解析利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.从方程角度认识不等式，体会一元二次方程、一元二次不等式的联系性.已知一元二次不等式的解集，能分析出原方程的根，画出二次函数图象，重点培养学生逆向思维能力.从函数角度认识不等式，体会二次函数、一元二次不等式关系的整体性.体会一元二次不等式恒成立问题与二次函数图象的结合问题，重点培养数形结合能力.二、目标和目标解析1.目标（1）会用基本不等式解决常见的最值问题.（2）利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生在求解代数式最值的过程中能够注意一正、二定、三相等的条件,能够通过适当的变形，借助基本不等式解决相关最值问题.（2）学生能够利用三个二次的关系，灵活地解决和二次函数以及一元二次不等式有关的问题.三、教学问题诊断分析在利用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨析的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正、二定、三相等）在解决最值问题中的作用.设计意图：从问题出发，营造教学环境，引导学生进行一题多解，拓展思维.多数学生会用方法一来求解，因此师生共同总结应用基本不等式.例1的表面为二元，实则化归为一元，利用基本不等式或者二次函数来解决，提醒学生注意变量的取值范围问题.设计意图：这个问题的设计主要为了启发学生构造的思维，没有定值时，要创造定值，要将表达式变形，让学生发现如何创造性的用“1”在解答过程中进行过渡，并总结“1”的代换方法.设计意图：通过乘以、除以“1”或将“1”代入分子等变化，可以构造变式之积为定值，但不是万能的，设计此题，鼓励学生灵活运用，合理化归.同时将分母看成一个整体变量，将已知代数式构造成分母的形式.通过一系列的问题，让学生明白数学的学习不只是学习解题的套路，更要通过不断地思考变换的问题，让自己思维更广阔，增强自己的思维能力，培养将未知转化为已知的能力.（二）从方程角度认识不等式，体会一元二次方程、一元二次不等式的联系性设计意图：由一元二次不等式的解集推出原不等式，这种开放式问题，可以考查不等式的解与方程的根之间的关系，也培养学生逆向思维能力.（三）从函数角度认识不等式，体会二次函数、一元二次不等式关系的整体性设计意图：突出等价转化思想.追问6：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题来讲，a=0时，式子不恒成立.（想想为什么？）设计意图：围绕一元二次不等式展开，突出体现数形结合的思想，同时学会分类讨论.（四）归纳总结、布置作业布置作业：教科书复习参考题2第5，6，7，8题.五、目标检测设计。