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2.2.1 综合法与分析法学习目标核心素养1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过学习证明数学问题的两种重要方法，提升学生的逻辑推理素养.一、综合法1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有综合法与分析法．2．综合法(1)定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)符号表示：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)．二、分析法1．定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．2．符号表示：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )(2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( )[答案](1)×(2)×(3)√2．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 这种证法是__________(填综合法、分析法)．[解析] 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法． [答案] 综合法3.6－22与5－7的大小关系是________． [解析] 假设6－22>5－7，由分析法可得， 要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22， 即证13＋242>13＋410，即42>210. 因为42>40，所以6－22>5－7成立． [答案] 6－22>5－7综合法的应用__________．(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b ≥2；④(a2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________．[解析] (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0，又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形．(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知，x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32.(3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)．②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立．④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．[答案] (1)钝角三角形 (2)32(3)①②④1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．1．综合法是( ) A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法 [答案] B分析法的应用【例2】 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [思路探究] 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键． [解] 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式成立．1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．2．已知a >0，1b －1a>1，求证：1＋a >11－b. [证明] 由已知1b －1a>1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1， 只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －bab>1， 即1b －1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．[思路探究] 先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决． [解] 法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3，化简，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.3．设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .[证明] 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)． 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy 成立.1．下面叙述正确的是( ) A ．综合法、分析法是直接证明的方法 B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法 C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 [解析] 直接证明包括综合法和分析法． [答案] A2．欲证不等式3－5＜6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2B ．(3－6)2＜(5－8)2C ．(3＋8)2＜(6＋5)2D ．(3－5－6)2＜(－8)2[解析] 要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案] C3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立． [解析] 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥04．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．[解析] 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a≥3＋2b a ·ab＋2c b ·b c ＋2c a ·ac＝3＋6＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． [答案] 95．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b .(要求用两种方法证明) [证明] 法一：(综合法) 因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋b a －a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a≥a ＋b . 法二：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．。
高中数学 第二章 推理与证明 综合法与分析法课堂探究 新人教B版选修2-2探究一 综合法的应用1．用综合法证明问题的一般步骤：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．2．用综合法证明不等式时，要注意不等式性质，均值不等式等的应用，证明三角恒等式时要注意三角函数公式、正弦定理、余弦定理等的应用．【典型例题1】 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝3，求证：a 2＋b 2＋c 2≥3.思路分析：从已知和欲证的两个式子间的关系入手可考虑先将已知式两边平方，然后再运用均值不等式证明．证明：因为a ＋b ＋c ＝3，所以(a ＋b ＋c )2＝9，即a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝9.又因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，于是2(ab ＋bc ＋ca )≤2(a 2＋b 2＋c 2)，所以a 2＋b 2＋c 2＋2(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝9，故a 2＋b 2＋c 2≥3. 【典型例题2】 在△ABC 中，A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C. 思路分析：考虑到要证明的等式中含有边和角，可用正弦和余弦定理进行转化，再结合相关的三角公式证明．证明：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ， 所以左边＝a 2－b 2c 2＝c 2－2bc cos A c 2＝1－2b cos A c. 又由正弦定理知b c ＝sin B sin C，所以左边＝1－2·sin B sin Ccos A ＝sin C －2sin B cos A sin C ＝sin A ＋B －2sin B cos A sin C ＝sin A cos B ＋cos A sin B －2sin B cos A sin C ＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A －B sin C＝右边， 故原等式成立．探究二 分析法的应用1．从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．2．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．【典型例题3】 已知函数f (x )＝x 2＋3，若a ＞b ＞0，求证：f a ＋f b2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2. 思路分析：由于已知条件和欲证结论之间的关系不明确，考虑用分析法证明．证明：要证明f a ＋f b2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2， 即证12[(a 2＋3)＋(b 2＋3)]＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋3， 只需证a 2＋b 2＋6＞a ＋b 22＋6， 只需证a 2＋b 2＞a ＋b 22， 因此只需证2a 2＋2b 2＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2＋b 2＞2ab ，只需证(a －b )2＞0，由于a ＞b ＞0，所以(a －b )2＞0显然成立，故原不等式成立．【典型例题4】 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且4sin 2α－2sin 2β＝1.求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β. 思路分析：由于要证的等式较为复杂，而已知条件信息较少，所以可从要证的等式出发，利用分析法证明． 证明：要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β， 只需证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2β， 只需证cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝12·cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β， 只需证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)， 只需证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)， 即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于已知4sin 2α－2sin 2β＝1成立，所以原等式成立．探究三 综合法与分析法的综合应用1．有些数学问题的证明，需要把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由P 可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头凑法”．2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．【典型例题5】 在某两个正数x ，y 之间插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，插入两数b ，c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路分析：前半部分从已知出发采用综合法得到a ，b ，c 之间的关系式，后半部分用分析法反推，然后再与该关系式结合，找到使结论成立的充分条件即可．证明：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，∴x ＝b 2c ，y ＝c 2b， 即x ＋y ＝b 2c ＋c 2b ，从而2a ＝b 2c ＋c 2b. 要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥b ＋1c ＋1，即证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，也就是证2a ≥b ＋c .因为2a ＝b 2c ＋c 2b， 则只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c 成立即可， 即b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)≥(b ＋c )·bc ，即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0成立．上式显然成立，∴(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．点评 本题前半部分先用综合法得到一个由已知条件推出的结论，然后再用分析法证明最终结论，其中用到了前面推出的结论，这种处理方法在推理证明中也是常用的．。
2.2.1 综合法和分析法第1课时 综合法A 级 基础巩固一、选择题1．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定解析：∵0<x <1，∴b ＝1＋x >2x >2x ＝a .又11－x －(1＋x )＝x 21－x >0，知11－x>1＋x ∴c >b >a ，最大的数为c .答案：C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．bB ．－b C.1b D ．－1b解析：f (x )定义域为(－1，1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b . 答案：B3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．与n 取值有关 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5又a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴a n ＝4n －5(n ∈N *)，则a n －a n －1＝4(常数)故数列{a n }是等差数列．答案：B4．(2014·四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d解析：法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，b d＝－1，排除选项C ，D ； 又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <b c，所以选项A 错误，选项B 正确． 法二：因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1－c>0. 又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以ad <b c. 答案：B5．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形． 答案：D二、填空题6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导，得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A ，B 为△ABC 内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC 中，A >B ⇔a >b由正弦定理a sin A ＝b sin B，从而sin A >sin B . 因此A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，为充要条件．答案：充要8．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 答案：4三、解答题9．已知a >0，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0所以(b 2＋c 2)a ≥2abc又因为b >0，c 2＋a 2≥2ac所以b (c 2＋a 2)≥2abc .因此a (b 2＋c 2)＋bc (c 2＋a 2)≥4abc .10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称．∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称 ∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b . 则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数． B 级 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：A2．已知sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝________． 解析：∵sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x ＝－45， ∴tan x ＝－12，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝－3. 答案：－33．如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，点E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE .(2)证明：PD ⊥平面ABE .证明：(1)在四棱锥P ABCD 中，因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD .因为AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC .又因为AE ⊂平面PAC ，所以CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .因为点E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，又PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD .又因为PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD .因为PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .又AB ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥PD .又因为AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .。
2．2.1 综合法与分析法明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．2．分析法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在之前学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.总结：此证明过程运用了综合法．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立．思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B ＝π3，③ 由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3， 所以△ABC 为等边三角形．反思与感悟 综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C，证明：B ＝C . 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos B cos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0，所以B ＝C .探究点二 分析法思考1 回顾一下：基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？ 答 要证a ＋b 2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．思考2 证明过程有何特点？答 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．小结 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．思考3 综合法和分析法的区别是什么？答 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．例2 求证：a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．证明 方法一 要证a －a －1<a －2－a －3， 只需证a ＋a －3<a －2＋a －1，只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2，只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2， 只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立， 所以a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3>0， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3， ∴a －a －1<a －2－a －3.反思与感悟 当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．跟踪训练2 求证：3＋7<2 5. 证明 因为3＋7和25都是正数， 所以要证3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，只需证21<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以3＋7<25成立．探究点三 综合法和分析法的综合应用思考 在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答 对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q ；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P .若P ⇒Q ，则结论得证．例3 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且 sin θ＋cos θ＝2sin α， ①sin θcos θ＝sin 2β. ②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β.证明 因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，所以将①②代入，可得4sin 2α－2sin 2β＝1. ③另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β， 即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β21＋sin 2βcos 2β，即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)， 即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)， 即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．反思与感悟 用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为： P ⇒P 1→P 1⇒P 2→…→P n ⇒P ′，⇓ ，Q ′⇒Q m ←…←Q 2⇒Q 1←Q 1⇒Q跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)． 证明 由tan(α＋β)＝2tan α，得α＋βα＋β＝2sin αcos α， 即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.①要证3sin β＝sin(2α＋β)，即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.这就是①式．所以，命题成立．1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， 即证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．[呈重点、现规律]1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．。
