2017年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)

绝密★启用前2017届南昌市高三第一次模拟考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =A ．(1,2)B ．[1,1)-C ．(1,1)- D ．(1,2][来2．若20(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于A ．1-B ．1C ．2-D ．23．设,a b 为向量，则“||||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题：①若2()2cos 1,2xf x =-则()()f x f x π+=对x R ∈恒成立；②要得到函数sin()24x y π=-的图象，只需将sin 2x y =的图象向右平移4π个单位；③若锐角,αβ满足cos sin αβ>，则2παβ+<．其中是真命题的个数是 A ．0 B ．1C ．2D ．35．已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，若12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率e =A B C6A ．1BC D7．若4821201212(3)(2)(2)(2),x x a a x a x a x +=+++++++ 则213511log ()a a a a ++++ 等于 A ．27 B ．28 C ．7 D ．88．在三棱锥C ABD -中（如图），ABD ∆与CBD ∆是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，4AB =,二面角A BD C --的大小为 600，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④cos ADC ∠=； ⑤四面体ABCD 的外接球面积为32π．其中真命题是 A ．②③④ B ．①③④ C ．①④⑤ D ．①③⑤ 9．若数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别是2013(1)n n a a +=-⋅，2014(1)2n n b n+-=+，且n n a b <对任意*n N ∈恒成立，则常数a 的取值范围是 A ．(2,1)- B ．[2,1)- C ．(2,1]- D ．[2,1]-10．已知定义在区间[3,3]-上的函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，对于函数()y f x =的图像上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 都有1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<．若实数,a b 满足22(2)(2)0f a a f b b -+-≤，则点(,)a b 所在区域的面积为 A ．8 B ． 4 C ． 2 D ． 1二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分．11． (1) （坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的参数方程是(1x tt y t =⎧⎨=+⎩是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为6cos ρθ=-，则圆心C 到直线l 的距离为A ．2 B C ．D ．(2)（不等式选做题）已知函数a a x x f +-=|2|)(．若不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，则实数a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4绝密★启用前2017届南昌市高三第三次模拟考试理科数学 第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．12．复数21ii+的模是 ． 13．已知点P 是曲线2ln y x x =-上的一个动点，则点P 到直线:2l y x =-的距离的最小值为_______．14．在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据(14)i x i ≤≤，在如图所示的程序框图中，x 是这4个数据中的平均数，则输出的v 的值为_______．15．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1m n C +种取法。

NCS20170607项目第一次模拟测试卷理科综合参考答案及评分标准一—二、选择题生物化学物理 三、非选择题 (一)必做题 22.（1）B （2分） （2）0.48 （3分）23.（1）(1)0.154(0.152～0.155均可) （2分）（2） 22.0 （2分）（3）Ⅰ. 如右图所示 （4分）Ⅱ. 20212()x I R r R I I +=- （2分） 24．（14分）解：（1）设物体在斜面上运动的加速度大小为a 1，方向沿斜面向上，则2121t a vt x += 2分 解得21m/s 25.0=a 1分物块在A 点的速度为m/s 50=+=at v v 2分（2）设物块与接触面间的摩擦因数为μ，物块在水平面上运动时，有2ma mg =μ 1分由图线可知 22m/s 2=a 1 分解得 2.0=μ 1 分物块在斜面上运动时，设受的摩擦力为f ，则1sin cos ma f mg F =+-θθ 2分N f μ= 1分θθsin cos F mg N += 1分解得N 1.10sin cos cos sin 1=++-=θμθθμθma mg mg F 2分25．（18分）解：（1）要使粒子能沿图中虚线O 2O 3进入PQ 、MN 之间的区域，则粒子所受到向上的洛伦兹力与向下的电场力大小相等qE B qv =10 2分解得 m/s 105510⨯==B E v 2 分 （2）粒子在矩形efgh 磁场中作匀速圆周运动，设半径为R ，则 Rv m B qv 200= 解得 m 1.00==qB m v R 2分作出粒子在磁场中轨迹图如图所示。

由几何知识可得l R R 21cos =+θ 解得 060=θ 2分粒子射入点的位置在eh 边上距e 点为m 20360sin 0==R x 1 分 射入的速度方向和eh 边成060角向左下方 1分（3）粒子从O 3以速度v 0进入PQ 、MN 之间的区域，先做匀速直线运动，打到ab 板上，以大小为v 0的速度垂直于磁场方向运动．粒子将以半径R 在垂直于磁场的平面内作匀速圆周运动，转动一周后打到ab 板的下部．由于不计板的厚度，所以质子从第一次打到ab 板到第二次打到ab 板后运动的时间为粒子在磁场运动一周的时间，即一个周期T 。

2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题：1．（5分）计算：＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i2．（5分）若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1D．＜a＜或a＞13．（5分）设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l⊄β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④4．（5分）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18B．16C．12D．85．（5分）已知函数y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）sin x在区间[0，π]上大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C．D．7．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1B．a＞1C．D．或a＞18．（5分）设函数y＝f（x）在x0处可导，f′（x0）＝a，若点（x0，0）即为y ＝f（x）的图象与x轴的交点，则[nf（x 0﹣）]等于（）A．+∞B．a C．﹣a D．以上都不对9．（5分）已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||＝||，则e的值为（）A．B．C．D．不能确定10．（5分）已知抛物线y2＝2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个11．（5分）掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．（4分）在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为．14．（4分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a 的取值范围是．15．（4分）已知抛物线y2＝4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2＝0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是．16．（4分）下列命题中①A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，则数列{a n}为等比数列．④设过函数f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．18．（12分）.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．19．（12分）设a∈R，函数f（x）＝（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面P AD是正三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD＝AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？21．（12分）设f（x）＝（a＞0）为奇函数，且|f（x）|min＝，数列{a n}与{b n}满足如下关系：a1＝2，，．（1）求f（x）的解析表达式；（2）证明：当n∈N+时，有b n≤．22．（14分）已知方向向量为的直线l过点A（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B 满足：，||＝||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）计算：＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【解答】解：＝＝＝2，故选：A．2．（5分）若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1D．＜a＜或a＞1【解答】解：∵log a（3a﹣1）＞0，∴log a（3a﹣1）＞log a1，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式的解是a＞0，∴a＞1；当0＜a＜1时，函数是一个减函数，不等式的解是＜a＜，∴＜a＜综上可知a的取值是a＞1或＜a＜．故选：D．3．（5分）设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l⊄β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：对于①，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α，γ相交，故①不正确；对于②，若l上两个点A、B满足线段AB的中点在平面内，则A、B到α的距离相等，但l与α相交，故②不正确；对于③，若l⊥α，l∥β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确；对于④，若α∥β且l∥α，可得l∥β或l在β内，而条件中有l⊄β，所以必定l ∥β，故④正确．故选：D．4．（5分）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18B．16C．12D．8【解答】解：∵一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，设这正三棱柱棱长为2a，如图，则AB＝a，AO′＝a．OO′＝a，∴7＝a2+a2＝a2．整理，得a2＝3，∴a＝．∴棱长为2a＝2．∴这正三棱柱的体积：V＝＝18．故选：A．5．（5分）已知函数y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）sin x在区间[0，π]上大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）的图象把f（x）的沿y轴对折，再向右平移的单位，当0＜x＜时，sin x＞0，f（﹣x）＞0，故y＞0，当＜x＜π时，sin x＞0，f（﹣x）＜0，故y＜0，故选：D．6．（5分）已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C．D．【解答】解：A∩B≠∅，即是说方程组有解．由①得4﹣cos2β＝λ+sinβ，得出λ＝3+sin2β﹣sinβ＝（sinβ﹣）2+；∵sinβ∈[﹣1，1]，∴当sinβ＝时，λ的最小值为，当sinβ＝﹣1时，λ的最大值为5．故选：D．7．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1B．a＞1C．D．或a＞1【解答】解：∵a＞0，a≠1，令g（x）＝|ax2﹣x|作出其图象如下：∵函数f（x）＝在[3，4]上是增函数，若a＞1，则或，解得a＞1；若0＜a＜1，则，解得≤a≤；故选：A．8．（5分）设函数y＝f（x）在x0处可导，f′（x0）＝a，若点（x0，0）即为y ＝f（x）的图象与x轴的交点，则[nf（x 0﹣）]等于（）A．+∞B．a C．﹣a D．以上都不对【解答】解∵f（x o）＝0，∴nf（x o﹣）＝﹣，∵f（x）在x o处可导，﹣）＝﹣＝﹣＝∴nf（x﹣f′（x0）＝﹣a，故选：C．9．（5分）已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||＝||，则e的值为（）A．B．C．D．不能确定【解答】解：作PT垂直椭圆准线l于T，则由椭圆第二定义：丨PF1丨：丨PT 丨＝e又＝e，故丨PT丨＝丨PF2丨，由抛物线定义知l为抛物线准线故F1到l的距离等于F1到F2的距离，即（﹣c）﹣（﹣）＝c﹣（﹣c），整理得：a＝c，e＝＝，故选：C．10．（5分）已知抛物线y2＝2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个【解答】解：如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．而＝＝2＞1，∴∠POF＞45°．∴∠POP′＞90°．∴△POP′不是直角三角形．综上可知：使得△POF是直角三角形的抛物线上的点P有且只有2个．故选：B．11．（5分）掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：掷一个骰子的试验，基本事件总数n＝6，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生包含的基本事件有：1，2，3，4，共有4个元素，∴一次试验中，事件A+发生的概率为：p＝＝．故选：C．12．（5分）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种【解答】解：设三个学校分别为A，B，C，对应的学生为1，2，3名，分两类：第一类是A、B两个学校的三个学生分别被C学校的三个学生分别隔开有2＝72种；第二类是A、B两个学校中其中一名学生相邻有＝48．根据分类计数计数原理得共有72+48＝120种．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．（4分）在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为11．【解答】解：二项式（1+x）n的展开式中，存在系数之比为5：7的相邻两项，∴＝，∴＝，∴k＝，当k＝5时，n min＝11，故答案为：1114．（4分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a 的取值范围是（0，1）∪（1，4]．【解答】解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数在实数集上恒为正，即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1故可求的最小值，令其小于等于4∵∴4，解得a≤4，故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]故应填（0，1）∪（1，4]15．（4分）已知抛物线y2＝4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2＝0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是x＝﹣9或x＝7．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，而圆方程为（x﹣P）2+y2＝16，又（﹣1，0）在圆上，∴（P+1）2＝16，即P＝﹣5或P＝3，∴另一条切线方程为x＝﹣9或x＝7，故答案为：x＝﹣9或x＝7．16．（4分）下列命题中①A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，则数列{a n}为等比数列．④设过函数f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上①③．【解答】解：①A+B＝，可得A＝﹣B，∴sin A＝cos B，反之sin A＝cos B，A+B＝+2kπ（k∈Z），∴A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件，正确．②的展开式，通项为，令r﹣3＝0，可得r＝2，常数项是第3项，不正确．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，可得S n＝S n﹣+2，两式相减可得a n+1＝a n，故数列{a n}为等比数列，正确；1④f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1），则f′（x）＝2x﹣1∈[﹣3，1]，K的取值范围是[﹣3，1]，不正确．故答案为①③．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．【解答】解：（I）∵＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，∴＝tan＝，∴tan＝，又0＜B＜π，∴0＜＜，∴＝，即B＝，A+C＝；…（6分）（II）由（1）可得sin A+sin C＝sin A+sin（﹣A）＝sin A+cos A﹣sin A＝sin A+cos A＝sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴sin（A+）∈（，1]，则sin A+sin C∈（，1]，当且仅当A＝C＝时，sin A+sin C＝1．…（13分）18．（12分）.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）∵球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负，∴甲队至少胜一场的概率p＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．（2）由题意知球队甲赛后积分ξ的可能取值为3，4，5，6，P（ξ＝3）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝4）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，P（ξ＝5）＝××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×＝，P（ξ＝6）＝××，∴ξ的分布列为：．19．（12分）设a∈R，函数f（x）＝（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．【解答】解：（1）由已知f′（x）＝﹣e﹣x（ax2+a+1）+e﹣x•2ax＝e﹣x（﹣ax2+2ax﹣a﹣1）．因为e﹣x＞0，以下讨论函数g（x）＝﹣ax2+2ax﹣a﹣1值的情况：当a＝0时，g（x）＝﹣1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＞0时，g（x）＝0的判别式△＝4a2﹣4（a2+a）＝﹣4a＜0，所以g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＜0时，g（x）＝0有两个根x1＝，并且＜，，2所以在区间（﹣∞，）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数；在区间（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数．在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数．综上，当a≥0时，f（x）在R上是减函数；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当﹣1＜a＜0时，＝1+＜1，＝1+＞2，所以在区间[1，2]上，函数f（x）单调递减．所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）＝．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面P AD是正三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD＝AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？【解答】解：（1）证明：连DB，设DB∩AC＝O，则在矩形ABCD中，O为BD中点．连EO．因为E为DP中点，所以，OE∥BP．又因为OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以，PB∥平面EAC．（2）正三角形P AD中，E为PD的中点，所以，AE⊥PD，又面PDC∩面P AD＝PD，所以，AE⊥平面PCD．（3）在PC上取点M使得．由于正三角形P AD及矩形ABCD，且AD＝AB，所以PD＝AD＝AB＝DC 所以，在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以，AM⊥PC．所以，∠AME为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在Rt△AEM中，．即二面角A﹣PC﹣D的正切值为．（4）设N为AD中点，连接PN，则PN⊥AD．又面P AD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB为PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x则，解之得：．所以，当＝时，PB⊥AC．21．（12分）设f （x ）＝（a ＞0）为奇函数，且|f （x ）|min ＝，数列{a n }与{b n }满足如下关系：a 1＝2，，．（1）求f （x ）的解析表达式； （2）证明：当n ∈N +时，有b n ≤．【解答】解：由f （x ）是奇函数，得b ＝c ＝0，由|f （x ）min |＝，由基本不等式可得2＝2得a ＝2，故f （x ）＝（2）＝，＝＝b n 2∴b n ＝b n ﹣12＝b n ﹣24═，而b 1＝∴b n ＝当n ＝1时，b 1＝，命题成立，当n ≥2时∵2n ﹣1＝（1+1）n ﹣1＝1+C n ﹣11+C n ﹣12++C n ﹣1n ﹣1≥1+C n ﹣11＝n ∴＜，即b n ≤．22．（14分）已知方向向量为的直线l 过点A （）和椭圆的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B满足：，||＝||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）解法一：由点B满足：，||＝||．可得O点和B点关于直线l对称．直线l：y＝x﹣2①过原点垂直l的直线方程为②解①②得，∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c＝2，a2＝6，b2＝2．故椭圆C的方程为．解法二：直线l：y＝x﹣2，设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p＝3．∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c＝2，a2＝6，b2＝2．故椭圆C的方程为．（2）若直线MN平行于y轴，则y1+y2＝0，不合题意．若直线MN不平行于y轴，设过M、N两点的直线方程为y＝kx+b，由得（2+6k2）x2+12kbx+6b2﹣12＝0，△＝144k2b2﹣4（2+6k2）（6b2﹣12）＞0，即（2+6k2）﹣b2＞0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴，由已知，代入①得：4b﹣b2＞0，即0＜b＜4，，∵，∴u在（0，4）上是增函数，∴，故不存在最小的常数m，使u≤m成立．。

2017年江西省九校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）2．已知复数z满足•z=3+4i，则|z|=（）A．2 B．C．5 D．53．已知R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=x2+x﹣1，则f[f（﹣1）]=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣24．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π5．下列命题正确的个数为（）•①“∀x∈R都有x2≥0”的否定是“∃x0∈R使得x02≤0”；‚②“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件；ƒ③命题“若m≤，则方程mx2+2x+2=0有实数根”的否命题为真命题．A．0 B．1 C．2 D．36．美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A．2.81 B．2.82 C．2.83 D．2.847．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．附表：由K2=算得，K2=≈9.616参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”8．若x，y满足条件，则目标函数z=x2+y2的最小值是（）A．B．2 C．4 D．9．已知A（1，2），B（2，11），若直线y=（m﹣）x+1（m≠0）与线段AB相交，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（0，6]C．[﹣2，﹣1]∪[3，6] D．[﹣2，0）∪（0，6]10．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为（）A．B．C．D．11．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，左顶点为A，过F1作x 轴的垂线交双曲线于P、Q两点，过P作PM垂直QA于M，过Q作QN垂直PA于N，设PM与QN的交点为B，若B到直线PQ的距离大于a+，则该双曲线的离心率取值范围是（）A．（1﹣）B．（，+∞） C．（1，2）D．（2，+∞）12．若函数f（x）=[x3+3x2+9（a+6）x+6﹣a]e﹣x在区间（2，4）上存在极大值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8）B．（﹣∞，﹣7）C．（﹣8，﹣7）D．（﹣8，﹣7]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置）13．（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为．14．（2x+）dx=．15．已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则的取值范围是．16．△ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记，则当λ取最大值时，tan∠ACD=．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，设数列{c n}的前n项和为T n，求T n．18．在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，∠ABF为直角，，平面ABCD⊥平面ABFE．（1）求证：DB⊥EC；（2）若AE=AB，求二面角C﹣EF﹣B的余弦值．19．一个正四面体的“骰子”（四个面分别标有1，2，3，4四个数字），掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”，连续抛掷“骰子”两次．（1）设A为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”，求事件A发生的概率；（2）设X为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，M为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且△MF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（0，﹣2）作直线l与椭圆C交于A、B两点，点N满足（O 为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程．21．已知函数f（x）=e x+ax，（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2（1）求a的取值范围；（2）证明：；（f′（x）为f（x）的导函数）（3）设点C在函数f（x）的图象上，且△ABC为等边三角形，记，求（t﹣1）（a+）的值．[选修4-4：参数方程与坐标系]22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）（a＜0）（1）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集（2）证明：．2017年江西省九校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=[﹣1，2）．故选：C．2．已知复数z满足•z=3+4i，则|z|=（）A．2 B．C．5 D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：===i，复数z满足•z=3+4i，∴iz=3+4i，∴﹣i•iz=﹣i（3+4i），∴z=4﹣3i，则|z|==5．故选：D．3．已知R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=x2+x﹣1，则f[f（﹣1）]=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）为奇函数即可得出f（﹣1）=﹣f（1），进而得出f[f（﹣1）]=﹣f[f（1）]，而根据x＞0时f（x）的解析式即可求出f（1）=1，从而可求出f[f （﹣1）]的值．【解答】解：根据条件，f[f（﹣1）]=f[﹣f（1）]=﹣f[f（1）]=﹣f（1）=﹣1．故选A．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原图形，得到原几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，然后利用柱体体积公式求得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2），高为3．∴V=．故选：D．5．下列命题正确的个数为（）•①“∀x∈R都有x2≥0”的否定是“∃x0∈R使得x02≤0”；‚②“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件；ƒ③命题“若m≤，则方程mx2+2x+2=0有实数根”的否命题为真命题．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，“∀x∈R都有x2≥0”的否定是“∃x0∈R使得x02＜0”；②，当“x≠3”时“|x|=3”成立；③，当m时，△=4﹣8m＜0，方程mx2+2x+2=0无实数根，【解答】解：对于•①，“∀x∈R都有x2≥0”的否定是“∃x0∈R使得x02＜0”，故错；对于 ②，当“x≠3”时“|x|=3”成立，故错；对于 ③，命题“若m≤，则方程mx2+2x+2=0有实数根”的否命题为：“若方程mx2+2x+2=0无实数根”，则“m＞“，当m时，△=4﹣8m＜0，方程mx2+2x+2=0无实数根，故正确，故选：B6．美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A．2.81 B．2.82 C．2.83 D．2.84【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算n值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=8，n=2，ξ=0.5m=4，n=3不满足条件|m﹣n|＜0.5，m=2.67，n=2.84满足条件|m﹣n|＜0.5，退出循环，输出n的值为2.84．故选：D．7．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．附表：由K2=算得，K2=≈9.616参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”【考点】独立性检验．【分析】根据K2=≈9.616＞6.635，有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，即可求得答案．【解答】解：根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，K2=≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选：C．8．若x，y满足条件，则目标函数z=x2+y2的最小值是（）A．B．2 C．4 D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=x2+y2的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方，∵原点O到直线x+y﹣2=0的距离d=，∴z=x2+y2的最小值是2．故选：B．9．已知A（1，2），B（2，11），若直线y=（m﹣）x+1（m≠0）与线段AB相交，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（0，6]C．[﹣2，﹣1]∪[3，6] D．[﹣2，0）∪（0，6]【考点】两条直线的交点坐标；直线的斜率．【分析】由题意知，两点A，B分布在直线的两侧，利用直线两侧的点的坐标代入直线的方程中的左式，得到的结果为异号，得到不等式，解之即得m的取值范围【解答】解：由题意得：两点A（1，2），B（2，11）分布在直线y=（m﹣）x+1（m≠0）的两侧，∴（m﹣﹣2+1）[2（m﹣）﹣11+1]≤0，解得：﹣2≤m≤﹣1或3≤m≤6，故选：C．10．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．再由f （x 0）=3求出sin （x 0+）的值，可得cos （x 0+）的值，再由两角差的正弦公式求得sinx 0 =sin [（x 0+ ）﹣]的值．【解答】解：由函数的图象可得A=5，且 =，解得ω=1再由五点法作图可得 1•+φ=，解得 φ=．故函数的解析式为 f （x ）=5sin （x + ）．再由f （x 0）=3，x 0∈（，），可得 5sin （1•x 0+）=3，解得 sin （x 0+ ）=，故有cos （x 0+ ）=﹣，sinx 0 =sin [（x 0+ ）﹣]=sin （x 0+ ）cos﹣cos （x 0+）sin =﹣（﹣）=．故选A ．11．设双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F 1，左顶点为A ，过F 1作x轴的垂线交双曲线于P 、Q 两点，过P 作PM 垂直QA 于M ，过Q 作QN 垂直PA于N ，设PM 与QN 的交点为B ，若B 到直线PQ 的距离大于a +，则该双曲线的离心率取值范围是（）A．（1﹣）B．（，+∞） C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的对称性，则B（x，0），由k BP•k AQ=﹣1，求得c+x=﹣，由B到直线PQ的距离d=x+c，由丨﹣丨＞a+，即可求得＞1，利用双曲线的离心率公式即可求得e的取值范围．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），由双曲线的对称性可知B在x轴上，设B（x，0），则BP⊥AQ，则k BP•k AQ=﹣1，∴•=﹣1，则c+x=﹣，由B到直线PQ的距离d=x+c，∴丨﹣丨＞a+，则＞c2﹣a2=b2，∴＞1，由椭圆的离心率e==＞，双曲线的离心率取值范围（，+∞），故选B．12．若函数f（x）=[x3+3x2+9（a+6）x+6﹣a]e﹣x在区间（2，4）上存在极大值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8）B．（﹣∞，﹣7）C．（﹣8，﹣7）D．（﹣8，﹣7]【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】f′（x）=[﹣x3﹣（9a+48）x+10a+48]e﹣x，令g（x）=﹣x3﹣（9a+48）x+10a+48，则g（2）＞0，g（4）＜0，即可求出实数a的取值范围【解答】解：f′（x）=[﹣x3﹣（9a+48）x+10a+48]e﹣x令g（x）=﹣x3﹣（9a+48）x+10a+48，则g（2）＞0，g（4）＜0，∴﹣8＜a＜﹣7∴实数a的取值范围为（﹣8，﹣7）．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置）13．（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为2．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（1+x）4的展开式通项公式，分析（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项是如何构成的，从而求出结果．【解答】解：（1﹣）（1+x）4的展开式中，=•x r，（r=0，1，2，3，4）．设（1+x）4的通项公式为T r+1则（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为﹣=2．故答案为：2．14．（2x+）dx=1+．【考点】定积分．【分析】利用定积分的运算性质，根据定积分的几何意义，即可求得答案，【解答】解：（2x+）dx=2xdx+dx，由定积分的几何意义可知：dx表示单位圆面积的，即dx=，2xdx=x2=1，∴（2x+）dx=1+，故答案为：1+．15．已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则的取值范围是[0，8] ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，讨论P位于切点E和顶点时分别取得最值，即可得到所求取值范围．【解答】解：由题意M，N是直径的两端点，可得+=，•=﹣1，则=（+）•（+）=2+•（+）+•=2+0﹣1=2﹣1，即求正四面体表面上的动点P到O的距离的范围．当P位于E（切点）时，OP取得最小值1；当P位于A处时，OP即为正四面体外接球半径最大即为3．设正四面体的边长为a，由O为正四面体的中心，可得直角三角形ABE中，AE=a，BE=a，OE=a，AO=a，综上可得2﹣1的最小值为1﹣1=0，最大值为9﹣1=8．则的取值范围是[0，8]．故答案为：[0，8]．16．△ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记，则当λ取最大值时，tan∠ACD=2+．【考点】正弦定理．【分析】由sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，得sinB=2cosAsinB，cosA=，可得：A=，由已知得，利用和a2=b2+c2﹣bc可得λ取最值时，a、b、c间的数量关系．【解答】解：∵sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=sinC﹣sinB=sinAcosB+cosAsinB﹣sinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，由A∈（0，π），可得：A=，在△ADB中，由正弦定理可将，变形为则，∵=∴即a2λ2=4c2+b2+2bc…①在△ACB中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣bc…②由①②得令，，f′（t）=，令f′（t）=0，得t=，即时，λ最大．结合②可得b=，a=c在△ACB中，由正弦定理得⇒，⇒tanC=2+故答案为：2+．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，设数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，则由，得，解得，所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．…（2）由（1）可知c n=（2n+1）•2n﹣1．∴T n=3+5×2+7×22+…+（2n+1）•2n﹣1，…①…②①﹣②得：﹣T n=3+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）•2n=1+2+22+…+2n﹣（2n+1）•2n=2n+1﹣1﹣（2n+1）•2n=（1﹣2n）•2n﹣1，∴T n=（2n﹣1）•2n+1．…18．在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，∠ABF为直角，，平面ABCD⊥平面ABFE．（1）求证：DB⊥EC；（2）若AE=AB，求二面角C﹣EF﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出AE⊥AB，BF⊥AB，从而BF⊥BC，设AE=t，以BA，BF，BC 所在的直线分别为x，y，z轴坐标系，利用向量法能证明DB⊥EC．（2）求出平面BEF的一个法向量和平面CEF的一个法向量，利用向量法能求出二面角C﹣EF﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵底面ABFE为直角梯形，AE∥BF，∠EAB=90°，∴AE⊥AB，BF⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，∴AE⊥平面ABCD．BF⊥平面ABCD，∴BF⊥BC，设AE=t，以BA，BF，BC所在的直线分别为x，y，z轴建立如图坐标系，则B（0，0，0），C（0，0，1），D（1，0，1），E（1，t，0）∵=0，∴DB⊥EC．…解：（2）由（1）知是平面BEF的一个法向量，设=（x，y，z）是平面CEF的一个法向量，AE=AB=1，E（1，1，0），F（0，2，0），∴=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），则，取z=2，=（1，1，2），∴cos＜＞==，即二面角C﹣EF﹣B的余弦值为．19．一个正四面体的“骰子”（四个面分别标有1，2，3，4四个数字），掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”，连续抛掷“骰子”两次．（1）设A为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”，求事件A发生的概率；（2）设X为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）两次点数之和为16，即两次的底面数字为：（1，3），（2，2），（3，1），可得P（A）．（2）X的可能取值为0，1，2，3，利用相互独立与古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）两次点数之和为16，即两次的底面数字为：（1，3），（2，2），（3，1），P（A）==．…（2）X的可能取值为0，1，2，3且P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．…则X的分布列为E（X）=0×+1×+2×+3×=．…20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，M为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且△MF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（0，﹣2）作直线l与椭圆C交于A、B两点，点N满足（O 为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率公式及焦点三角形的周长公式，求得a和c的值，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；（2）确定四边形OANB为平行四边形，则S OANB=2S△OAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程．【解答】解：（1）由离心率为e==，①则△MF1F2的周长l=2a+2c=4+2，则a+c=2+，②则a=2，c=，则b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程；（2）由，则四边形OANB为平行四边形，当直线l的斜率不存在时显然不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0…由△=162k2﹣48（1+4k2）＞0，得k2＞∴x1+x2=，x1x2=…=丨OD丨•丨x1﹣x2丨=丨x1﹣x2丨，∵S△OAB=2丨x1﹣x2丨=2，∴四边形OANB面积S=2S△OAB=2，=2，=8，…令4k2﹣3=t，则4k2=t+3（由上可知t＞0），S=8=8≤8=8=2，当且仅当t=4，即k2=时取等号；∴当k=±，平行四边形OANB面积的最大值为2，此时直线l的方程为y=±x﹣2．…21．已知函数f（x）=e x+ax，（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2（1）求a的取值范围；（2）证明：；（f′（x）为f（x）的导函数）（3）设点C在函数f（x）的图象上，且△ABC为等边三角形，记，求（t﹣1）（a+）的值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）讨论a的符号，判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，根据零点个数得出f（x）的极小值为负数，列出不等式解出a；（2）计算f′（），根据函数单调性判断f′（）的符号，根据f′（x）的单调性得出结论；（3）用x1，x2表示出P点坐标，根据等边三角形的性质列方程化简即可求出t和a的关系，再计算（t﹣1）（a+）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=e x+ax，∴f'（x）=e x+a，若a≥0，则f'（x）＞0，则函数f（x）在R上单调递增，这与题设矛盾．∴a＜0，令f′（x）＞0得x＞ln（﹣a），令f′（x）＜0得x＜ln（﹣a），∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，∴f（x）有两个零点，∴f min（x）=f（ln（﹣a））=﹣a+aln（﹣a），∴﹣a+aln（﹣a）＜0，解得a＜﹣e．（2）证明：∵x1，x2是f（x）的零点，∴，两式相减得：a=﹣．记=s，则f′（）=e﹣= [2s﹣（e s﹣e﹣s）]，设g（s）=2s﹣（e s﹣e﹣s），则g′（s）=2﹣（e s+e﹣s）＜0，∴g（s）是减函数，∴g（s）＜g（0）=0，又＞0，∴f′（）＜0．∵f′（x）=e x+a是增函数，∴f′（）＜f′（）＜0．（3）由得，∴e=﹣a，设P（x0，y0），在等边三角形ABC中，易知，y0=f（x0）＜0，由等边三角形性质知y0=﹣，∴y0+=0，即，∴﹣a+（x1+x2）+=0，∵x1＞0，∴，∴﹣at+（t2+1）+（t2﹣1）=0，即（a+）t2﹣2at+a﹣=0，∴[（a+）t+]（t﹣1）=0，∵t＞1，∴（a+）t+=0，∴，∴．[选修4-4：参数方程与坐标系]22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．（II）把代入x2+（y﹣3）2=9，利用参数的几何意义，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为ρ=6sinθ．（Ⅱ）把代入x2+（y﹣3）2=9，得，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2=﹣7，则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，∴|PA|•|PB|=7．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）（a＜0）（1）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集（2）证明：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，解不等式，即可得出结论；（2）f（m）+f（﹣）=|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|，利用三角不等式，及基本不等式即可证明结论．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x+2|+|x+|，原不等式等价于或或解得：x＜﹣或x∈∅或，所以不等式的解集为{x|x＜﹣或…（2）f（m）+f（﹣）=|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|=…2017年4月4日。

2017年南昌市NCS20170607一模理科数学第12题详细解答
这道题考的是周期函数，导数，偶函数，比较有意思。

函数图像的重要性再次体现出来
题目和公布的答案如下：
；自己动手做一遍，加深理解：
公布的答案往往解释的不够详细，对于基础概念和解题技巧比较差的学生往往会一知半解，因此需要说透彻，把里面包含的概念和技巧讲清楚。

就这道题来说，首先是根据1 ≤x≤2, 和导函数小于0，做出这段函数曲线，再根据偶函
数对称性(对称轴是直线X=1)，周期是2，做出0≤x≤10范围的函数曲线；
接小来关键就是：“g(x)=f(x)+mx有7个零点”，把这句话转化为函数h(x)= -mx与f(x)有7个交点：
因为g(x)=0就是f(x)+mx=0，即f(x) = -mx，即f(x) =h(x).
而对于直线h(x)= -mx，m就是它的斜率，而这条过0点的直线，在OA，OB之间的时候，h(x)= -mx与f(x)有7个交点。

根据A，B两点坐标，知道斜率是多少，得到在x > 0情况下的解，再根据对称性获得在x < 0情况下的解,所以本题的答案是A。

(因为x定义域的整个实数轴，另外3个选项都是单个值，不是一段数值范围。

)。

绝密★启用前2017届江西省南昌市高三第一次模拟考试数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B={y|y=√x+1}，那么A∩(C U B)=（）A. ϕB. (0,1]C. (0,1)D. (1,+∞)2．若复数z=21+i3，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A. -1B. −iC. 1D. i3．已知α,β均为第一象限的角，那么α>β是sinα>sinβ的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i,y i)（i=1,2,3,…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为y^=0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是（）A. y与x具有正线性相关关系B. 回归直线过样本的中心点(x̅,y̅)C. 若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg.5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A. −√33B. √33C. −13D. 136．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A. log210−1B. 2log23−1C. 92D. 67．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0,0<φ<π2）的周期为π，若f(α)=1，则f(α+3π2)=（）A. -2B. -1C. 1D. 28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则cos∠AOB=（）A. √510B. −√510C. 910D. −9109．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱.A. 28B. 32C. 56D. 7010．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A. 323B. 643C. 16D. 3211．抛物线y2=8x的焦点为F，设A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线上的两个动点，x1+x2+ 4=2√33|AB|，则∠AFB的最大值为（）A. π3B. 3π4C. 5π6D. 2π312．定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且当x∈[1,2]时，f(x)=lnx−x+1，若函数g(x)=f(x)+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A. (1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18) B. (ln2−16,ln2−18)C. (1−ln28,1−ln26) D. (1−ln28,ln2−16)第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．在多项式(1+2x)6(1+y)5的展开式中，xy3项的系数为__________．，a=2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ ，则a在e1⃗⃗⃗ 上的投影是__________．14．已知单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 的夹角为π315．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD//BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x,y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为__________．三、解答题17．已知等差数列{a n的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=(−1)n−1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和T2n.18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（2）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用X元，求X的分布列及数学期望.19．如图，四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AD=DC=BC=2，AB=4，ΔPAD为正三角形.（1）求证：BD⊥平面PAD；（2）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值.20．已知椭圆C:x2a +y2b=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1,A2，左、右焦点分别为F1,F2，离心率为12，点B(4,0)，F2为线段A1B的中点.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M,N两点，已知直线A1M与A2M相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.21．已知函数f(x)=(2x−4)e x+a(x+2)2（x>0,a∈R,e是自然对数的底数）. （1）若f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当a ∈(0,12)时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)最小值的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a,1)，其参数方程为{x =a +√2ty =1+√2t（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cosθ−ρ=0.（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 1与曲线C 2交于A,B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x −a|+|x −1|，a ∈R（1）若不等式f(x)≤2−|x −1|有解，求实数a 的取值范围； （2）当a <2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a 的值.参考答案1．C 【解析】A ={x|y =lgx}=(0,+∞)，B ={y|y =√x +1}=[1,+∞)，所以C U B =(−∞,1),A ∩(C U B)=(0,1)，选C. 2．C 【解析】z =21+i3=21−i=1+i ，故复数z 的虚部是1，选C3．D【解析】试题分析：因为α,β角的终边均在第一象限，所以当α=π3+2π,β=π3时，满足α>β，但sinα=sinβ，则sinα>sinβ不成立；若当α=π6,β=π3时，满足sinα>sinβ，当α>β不成立，所以“α>β”是“sinα>sinβ”的既不充分也不必要条件，故选D ． 考点：充要条件的判定． 4．D【解析】由回归直线方程定义知：因为斜率大于零，所以y 与x 具有正线性相关关系；回归直线过样本的中心点(x̅,y ̅)；身高增加每增加1cm ，则其体重约增加k =0.85kg ;身高为160cm ，则可估计其体重约为0.85×160−85.71=50.29kg ，但不可断定.选D. 5．C【解析】x 2+my 2=1⇒x 2−y 21−m=1,所以√1+(1−m)1=2⇒m =−13，选C.6．B【解析】第一次循环，S =3+log 2√2,i =2；第二次循环，S =3+log 2√2+log 2√32,i =3；以此类推得第七次循环，S =3+log 2√2+log 2√32+⋯+log 2√87=3+log 2√8=92,i =8；结束循环输出log 292=2log 23−1，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7．B【解析】由题意得π=2πω⇒ω=2，Asin(2α+φ)=1,所以f(α+3π2)=Asin(2α+3π+φ)=−Asin(2α+φ)=-1，选B. 8．D【解析】圆心O 到直线y =2x +1距离√5所以cos∠AOB 2=1√52=2√5cos∠AOB =2×(2√5)2−1=−910.选D.9．B【解析】设甲乙丙各有x,y,z 钱，则有x +y2+z2=90,x2+y +z2=70,x2+y2+z =56,解得x =72,y=32,z=4，选B.10．A【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是13×4×12×42=323，选A.11．D【解析】由抛物线定义得AF=x1+2,BF=x2+2,所以由x1+x2+4=2√33|AB|得AF+BF=2√33|AB|,因此cos∠AFB=|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=14|AF|2+14|BF|2−32|AF|⋅|BF|2|AF|⋅|BF|≥1 4×2|AF|⋅|BF|−32|AF|⋅|BF|2|AF|⋅|BF|=−12所以0<∠AFB≤2π3，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|=x0+p2；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．12．A【解析】f(2−x)=f(x)=f(−x)⇒T=2,当x∈[1,2]时，f′(x)=1x−1≤0,作出y=f(x)图形，由图可知直线y=−mx过点A(−6,ln2−1)时有六个交点，过点B(−8,ln2−1)时有八个交点，过点C(6,ln2−1)时有六个交点，过点D(8,ln2−1)时有八个交点，因此要使函数g(x)=f(x)+mx有7个零点，需m∈(1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18)，选A.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 13．120;【解析】由题意得xy3项的系数为C61×2×C53=120.14．32;【解析】a在e1⃗⃗⃗ 上的投影是a⃗ ⋅e1⃗⃗⃗⃗|e1⃗⃗⃗⃗ |=（(2e1⃗⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗⃗ )⋅e1⃗⃗⃗⃗|e1⃗⃗⃗⃗ |=2−1×1×cosπ3=32.15．(3+√2)π;【解析】几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，表面积为πrl+2πrℎ+πr2=π×1×√2+ 2π×1×1+π×1=√2π+3π点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．16．3√102【解析】设这五个数为x,x+d,x+2d,x+3d,x+4d=y，则x2+(x+4d)2=4，令x=2cosθ,x+4d=2sinθ，则d=sinθ−cosθ2，因此后三项和等于3(x+3d)=32(cosθ+3sinθ)≤32√10.17．（Ⅰ）a n=2n−1（Ⅱ）−8n2−4n【解析】试题分析: （Ⅰ）求等差数列通项公式,一般方法为待定系数法,即根据条件列出关于首项与公差的方程组,解出首项与公差再代入通项公式即可,（Ⅱ）涉及符号数列求和,一般方法为分组求和,即按奇偶,项的正负重新组合,利用平方差公式转化为求特殊数列(如等差数列)的和.试题解析: （Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，即3a2=a5，所以3(1+d)=1+4d，解得d=2．∴a n=1+(n−1)×2=2n−1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b n=(−1)n−1⋅(2n−1)(2n+1)=(−1)n−1⋅(4n2−1).∴T2n=(4×12−1)−(4×22−1)+(4×32−1)−(4×42−1)+⋯+(−1)2n−1⋅[4×(2n)2−1]=4[12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2]=−4(1+2+3+4+⋯+2n−1+2n)=−4×2n(2n+1)2=−8n2−4n．点睛：本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型有分段型（如a n={n,n为奇数2n,n为偶数）及本题的符号型（如a n=(−1)n n2）18．（Ⅰ）110（Ⅱ）EX=9000【解析】试题分析: （Ⅰ）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数，（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据期望公式求数学期望.试题解析: （Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.1+0.2)×365=0.3×365=109.5≈110（天）． （Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000， 则：P(X =0)=(45)3=64125，P(X =10000)=C 31×110×(45)2=24125P(X =20000)=C 32×(110)2×(45)+C 31×(110)×(45)2=108500=27125 P(X =30000)=(110)3+C 31×110×C 21×110×45=491000P(X =40000)=C 32×(110)2×110+C 32×(110)2×45=271000P(X =50000)=C 32×(110)2×110=31000P(X =60000)=(110)3=11000．EX =0×64125+10000×48250+20000×27125+30000×491000+40000×271000+50000×31000+60000×11000 =9000（元）． 19．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）7√6565【解析】试题分析: （Ⅰ）已知面面垂直，所以利用面面垂直的性质定理证明线面垂直.而要利用面面垂直性质定理，需在其中一平面内寻找或论证与两平面交线的垂线，本题通过计算，利用勾股定理得到线线垂直.（Ⅱ）求二面角的方法，一般为利用空间向量数量积进行求解：先根据条件建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各面法向量，再根据向量数量积求两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角余弦值.试题解析:（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 如图所示：有AE =1,DE =√3,BD =2√3∴在ΔABD 中，有AB 2=AD 2+BD 2，即AD ⊥BD又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD ⊥平面PAD .（Ⅱ） 由平面PAD ⊥平面ABCD ，且ΔPAD 为正三角形,E 为AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，得PE ⊥平面ABCD ．如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.由条件AD =DC =BC =2，则AE =DE =1，PE =√3，BD =2√3． 则D(0,0,0)，E(1,0,0)，B(0,2√3,0)，P(1,0,√3)．------- 6分在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示：则在RtΔCDF 中，有CF =√3，DF =1，∴C(−1,√3,0)．（另解:可不做辅助线，利用AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 求点C 坐标） ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−√3)，设平面PDC 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1−√3y 1=0 n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1−√3z 1=0 ，取x 1=√3，则y 1=1，z 1=−1，∴面PDC 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−1)．同理有PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2√3,−√3)，设平面PBE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) 则{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3z 2=0 n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2+2√3y 2−√3z 2=0 ， 取y 2=1，则x 2=2√3，z 2=0，∴面PBE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(2√3,1,0)．--10分设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ， ∴cosθ=|cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >|=√3×2√3+13+1+1×12+1=7√6565．即平面PEB 与平面PDC 所成二面角的余弦值为7√6565． 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20．（Ⅰ）x 24+y 23=1（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析: （Ⅰ）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即根据条件建立关于a,b,c 的两个独立条件，再与a 2=b 2+c 2联立方程组，解出a,b,c 的值，（Ⅱ）先根据特殊直线或椭圆几何性质确定定直线x =1，再根据条件证明点G 横坐标为1.由题意设M,N 两点坐标，用M,N 两点坐标表示点G 横坐标.根据直线l 方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理得M,N 两点坐标关系（用直线l 斜率表示），并代入点G 横坐标表达式，化简可得为定值. 试题解析: （Ⅰ）设点A 1(−a,0),F 2(c,0)，由题意可知：c =−a+42，即a =4−2c ①又因为椭圆的离心率e =ca =12，即a =2c ② 联立方程①②可得：a =2,c =1，则b 2=a 2−c 2=3 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线x =x 0上． 假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l 的方程为√3x +4y −4√3=0，此时点N(85,3√35)， 则联立直线l A 1M :√3x −2y +2√3=0和直线l A 2N :3√3x +2y −6√3=0可得点G(1,3√32) 据此猜想点G 在直线x =1上，下面对猜想给予证明：设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，联立方程{y =k(x −4)x 24+y 23=1可得：(3+4k 2)x 2−32k 2x +64k 2−12=0,Δ>0由韦达定理可得x 1+x 2=32k 23+4k 2，x 1x 2=64k 2−123+4k 2 （*）因为直线l A 1M :y =y 1x 1+2(x +2)，l A 2N :y =y 2x2−2(x −2)，联立两直线方程得y 1x1+2(x +2)=y 2x 2−2(x −2)（其中x 为G 点的横坐标）即证：3y 1x 1+2=−y 2x 2−2，即3k(x 1−4)⋅(x 2−2)=−k(x 2−4)⋅(x 1+2)，即证4x 1x 2−10(x 1+x 2)+16=0 将（*）代入上式可得4⋅(64k 2−12)3+4k 2−10×32k 23+4k 2+16=0⇔16k 2−3−20k 2+3+4k 2=0此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上x =1上． 方法二：设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),G(x 3,y 3)，x 1,x 2,x 3两两不等， 因为B,M,N 三点共线，所以y 1x 1−4=y 2x2−4⇒y 12(x1−4)2=y 22(x2−4)2⇒3(1−x 124)(x1−4)2=3(1−x 224)(x2−4)2，整理得：2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8=0又A 1,M,G 三点共线，有：y 3x 3+2=y 1x 1+2 ①又A 2,N,G 三点共线，有：y 3x3−2=y 2x 2−2② 将①与②两式相除得：x 3+2x 3−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)⇒(x 3+2x 3−2)2=y 22(x 1+2)2y 12(x 2−2)2=3(1−x 224)(x 1+2)23(1−x 124)(x 2−2)2=(x 2+2)(x 1+2)(x 1−2)(x 2−2) 即(x 3+2x 3−2)2=(x 2+2)(x 1+2)(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4，将2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8=0即x 1x 2=52(x 1+x 2)−4=0代入得：(x 3+2x 3−2)2=9解得x 3=4（舍去）或x 3=1，所以点G 在定直线x =1上．方法三：显然l 与x 轴不垂直，设的方程为y =k(x −4)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2). 由{y =k(x −4)x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2−32k 2x +64k 2−12=0,Δ>0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),G(x 3,y 3)，x 1,x 2,x 3两两不等， 则x 1+x 2=32k 23+4k2，x 1x 2=64k 2−123+4k 2，|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12√1−4k 23+4k 2,由A 1,M,G 三点共线，有：y 3x 3+2=y 1x 1+2 ①由A 2,N,G 三点共线，有：y 3x3−2=y 2x 2−2②①与②两式相除得：x 3+2x 3−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)=k(x 2−4)(x 1+2)k(x 1−4)(x 2−2)=x 1x 2−(x 1+x 2)+3(x 1−x 2)−8x 1x 2−3(x 1+x 2)+(x 1−x 2)+8=−13 解得x 3=4（舍去）或x 3=1，所以点G 在定直线x =1上．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．（Ⅰ）a ≥12（Ⅱ）(−2e,−2)【解析】试题分析: （Ⅰ）先将单调性转化为不等式恒成立：当x >0时，函数f′(x)≥0恒成立，再变量分离转化为对应函数最值：−2a ≤(2x−2)e xx+2的最小值，最后根据导数求函数g(x)=(2x−2)e xx+2最值，（Ⅱ）利用二次求导，确定导函数为单调递增函数，再利用零点存在定理确定导函数有且仅有一个零点，根据导函数符号变化规律得函数在此零点（极小值点）取最小值.最后利用导函数零点表示函数最小值，并根据导函数零点取值范围，利用导数方法确定最小值函数的值域.试题解析: （Ⅰ）f′(x)=2e x +(2x −4)e x +2a(x +2)=(2x −2)e x +2a(x +2)， 依题意：当x >0时，函数f′(x)≥0恒成立，即(2x−2)e xx+2≥−2a 恒成立，记g(x)=(2x−2)e xx+2，则g′(x)=2xe x (x+2)−(2x−2)e x(x+2)=(2x 2+2x+2)e x(x+2)>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=−1，所以−2a ≤−1，即a ≥12； （Ⅱ）因为[f′(x)]′=2xe x +2a >0，所以y =f′(x)是(0,+∞)上的增函数， 又f′(0)=4a −2<0，f′(1)=6a >0 ，所以存在t ∈(0,1)使得f′(t)=0 且当a →0时t →1，当a →12时t →0，所以t 的取值范围是(0,1)． 又当x ∈(0,t)，f′(x)<0，当x ∈(t,+∞)时，f′(x)>0，所以当x =t 时，f(x)min =f(t)=(2t −4)e t+a(t +2)2．且有f′(t)=0⇒a =−(t−1)e t t+2∴f(x)min =f(t)=(2t −4)e t −(t −1)(t +2)e t =e t (−t 2+t −2)．记ℎ(t)=e t (−t 2+t −2)，则ℎ′(t)=e t (−t 2+t −2)+e t (−2t +1)=e t （−t 2−t −1)<0，所以ℎ(1)<ℎ(t)<ℎ(0)，即最小值的取值范围是(−2e,−2)． 22．（Ⅰ）y 2=4x （Ⅱ）a =136或94．【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线C 1参数方程化为普通方程，利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x 2+y 2将曲线C 2化为直角坐标方程；（Ⅱ）先将直线参数方程转化为{x =a +√2t2y =1+√2t2（t 为参数，a ∈R ），再根据直线参数方程几何意义由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，最后将直线参数方程代入C 2化为直角坐标方程，利用韦达定理得关于a 的方程，解得a 的值. 试题解析: （Ⅰ）曲线C 1参数方程为{x =a +√2t y =1+√2 ,∴其普通方程x −y −a +1=0，由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cosθ−ρ=0,∴ρ2cos 2θ+4ρcosθ−ρ2=0 ∴x 2+4x −x 2−y 2=0,即曲线C 2的直角坐标方程y 2=4x .（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为t 1,t 2，联解{y 2=4xx =a +√2t y =1+√2t 得2t 2−2√2t +1−4a =0要有两个不同的交点，则Δ=(2√2)2−4×2(1−4a)>0,即a >0，由韦达定理有{t 1+t 2=√2 t 1⋅t 2=1−4a 2根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t 1|,|PB|=2|t 2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t 1|=2×2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=−2t 2 ∴当t 1=2t 2时，有{t 1+t 2=3t 2=√2 t 1⋅t 2=2t 22=1−4a 2⇒a =136>0，符合题意． 当t 1=−2t 2时，有{t 1+t 2=−t 2=√2 t 1⋅t 2=−2t 22=1−4a2⇒a =94>0，符合题意． 综上所述，实数a 的值为a =136或94．23．（Ⅰ）[0,4]（Ⅱ）a =−4．【解析】试题分析: （Ⅰ）先化简不等式f(x)≤2−|x −1|得|x −a2|+|x −1|≤1，再根据绝对值三角不等式得|x −a 2|+|x −1|≥|a 2−1|，最后根据不等式有解得|a2−1|≤1，解不等式得实数a 的取值范围；（Ⅱ）根据绝对值定义将函数f(x)分成三段，结合函数图像可得f(x)min =f(a2)，最后根据方程f(a2)=3求实数a 的值.试题解析: （Ⅰ）由题f(x)≤2−|x −1|，即为|x −a2|+|x −1|≤1． 而由绝对值的几何意义知|x −a2|+|x −1|≥|a2−1|，------- 2分由不等式f(x)≤2−|x−1|有解，∴|a2−1|≤1，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0,4]．------- 5分（Ⅱ）函数f(x)=|2x−a|+|x−1|的零点为a2和1，当a<2时知a2<1∴f(x)={−3x+a+1(x<a2)x−a+1(a2≤x≤1)3x−a−1 (x>1)------- 7分如图可知f(x)在(−∞,a2)单调递减，在[a2,+∞)单调递增，∴f(x)min=f(a2)=−a2+1=3，得a=−4<2（合题意），即a=−4．。

2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．67．已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A． B．C．D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．7010．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．3211．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B．C．D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f （x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和T2n．18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD 为正三角形． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）设AD 的中点为E ，求平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角的余弦值．20．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由对数函数的定义域求出A，由函数的值域求出B，由补集和交集的运算求出答案，【解答】解：由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），又，则B={y|y≥1}=[1，+∞），即C U B=（﹣∞，1），所以A∩（C U B）=（0，1），故选C．2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：，故选：C．3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故选：D．4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D 错误．故选：D．5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，利用离心率为2，求出m的值．【解答】解：因为圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，所以离心率为，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．6【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的S，i的值，即可得出跳出循环时输出S的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：由，当i=7时，进入循环，得，当i=8退出循环，输出，故选：B．7．已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的周期求出ω的值，再化简f（α+）并求值．【解答】解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=Asin（2x+φ），又f（α）=Asin（2α+φ）=1，∴f（α+）=Asin[2（α+）+φ]=Asin（2α+3π+φ）=﹣Asin（2α+φ）=﹣1．故选：B．8．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A． B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得AB，利用余弦定理，可得结论．【解答】解：因为圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得：∴由余弦定理有，故选D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．70【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【分析】设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，列出方程组求得甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．【解答】解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，则，解得x=72，y=32，z=4．∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．故选：B．10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，即可得出结论．【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，故选A．11．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，故选D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f （x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定函数为偶函数则其周期为T=2，函数在x∈[1，2]为减函数，作出函数的图象，得出当x＜0时，要使符合题意则，根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．即可得出结论．【解答】解：因为函数f（2﹣x）=f（x）可得图象关于直线x=1对称，且函数为偶函数则其周期为T=2，又因为，当x∈[1，2]时有f'（x）≤0，则函数在x∈[1，2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中，当x＜0时，要使符合题意则根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．综上所述，实数m的取值范围为，故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为120．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出．【解答】解：根据题意（1+2x）6（1+y）5=，∴xy3的系数为=120，故答案为：120．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可．【解答】解：单位向量的夹角为，，则在上的投影是：||cos＜，＞==•=（2﹣）•=2﹣•=2﹣1×1×1×cos=．故答案为：．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．×2×【解答】解：由图中数据可得：，S圆柱侧=π1=2π，．所以几何体的表面积为．故答案为：．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，推导出．从而等差数列后三项和为．法一：设x=2cosα，y=2sinα，利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，由此能求出这个等差数列后三项和的最大值．【解答】解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则x+y=a+c=2b，∴．则等差数列后三项和为=．（另解：由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，所以．）方法一：因为x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，所以．方法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，所以当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，此时，即，∴．故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；，求数列{b n}的前2n项和T2n．（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据题意、等差数列的性质以及通项公式列出方程，求出公差d，由等差数列的通项公式求出a n；，利用并项求和法和等差数列的前n项和（Ⅱ）由（I）化简b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1公式求出数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即3a2=a5，则3（1+d）=1+4d，解得d=2﹣﹣﹣﹣﹣所以a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以=4[12﹣22+32﹣42+…+（2n ﹣1）2﹣（2n ）2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ =﹣4（1+2+3+4+…+2n ﹣1+2n ）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用直方图的性质即可得出．（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为：（0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则：，，，，，，．∴X的分布列为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=9000（元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，推导出AD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．（Ⅱ）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：有∴在△ABD中，有AB2=AD2+BD2，即AD⊥BD又因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，∴BD⊥平面PAD．﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，得PE⊥平面ABCD．如图所示，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由条件AD=DC=BC=2，则AE=DE=1，，．则D（0，0，0），E（1，0，0），，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在等腰梯形ABCD中，过点C作BD的平行线交AD延长线于点F如图所示：则在Rt△CDF中，有，DF=1，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（另解：可不作辅助线，利用求点C坐标）∴，，设平面PDC的法向量则，取，则y1=1，z1=﹣1，∴面PDC的法向量．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理有，，设平面PBE的法向量则，取y2=1，则，z2=0，∴面PBE的法向量．﹣﹣设平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角为θ，∴．即平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意得a=4﹣2c，由椭圆的离心率，得a=2c，求出a，b，由此能示出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，联立直线和直线可得点，猜想点G在直线x=1上，对猜想给予证明，得到点G在定直线上x=1上．法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），由B，M，N三点共线，得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0，再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．法三：设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．【解答】解：（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意可知：，即a=4﹣2c①又因为椭圆的离心率，即a=2c②联立方程①②可得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，则联立直线和直线可得点据此猜想点G在直线x=1上，下面对猜想给予证明：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0由韦达定理可得，（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为直线，，联立两直线方程得（其中x为G点的横坐标）即证：，即3k（x1﹣4）•（x2﹣2）=﹣k（x2﹣4）•（x1+2），即证4x1x2﹣10（x1+x2）+16=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将（*）代入上式可得此式明显成立，原命题得证．所以点G在定直线上x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，因为B，M，N三点共线，所以，整理得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又A1，M，G三点共线，有：①又A2，N，G三点共线，有：②，将①与②两式相除得：即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0即代入得：解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法三：由题意知l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N （x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，则，，，由A1，M，G三点共线，有：①由A2，N，G三点共线，有：②①与②两式相除得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出最小值的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2e x+（2x﹣4）e x+2a（x+2）=（2x﹣2）e x+2a（x+2），依题意：当x＞0时，函数f'（x）≥0恒成立，即恒成立，记，则=，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以，所以；﹣﹣﹣（Ⅱ）因为[f'（x）]'=2xe x+2a＞0，所以y=f'（x）是（0，+∞）上的增函数，又f'（0）=4a﹣2＜0，f'（1）=6a＞0，所以存在t∈（0，1）使得f'（t）=0且当a→0时t→1，当时t→0，所以t的取值范围是（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又当x∈（0，t），f'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，所以当x=t时，．且有由（Ⅰ）知，在（0，+∞）上单调递减，又，g（1）=0，且，故t∈（0，1），∴，t∈（0，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣记h（t）=e t（﹣t2+t﹣2），则h'（t）=e t（﹣t2+t﹣2）+e t（﹣2t+1）=e t（﹣t2﹣t ﹣1）＜0，所以h（1）＜h（t）＜h（0），即最小值的取值范围是（﹣2e，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4co sθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，实数a的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，（x）在单调递减，在单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）≤2﹣|x﹣1|，即为．而由绝对值的几何意义知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，得a=﹣4＜2（合题意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣2017年3月15日。

江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．67．已知函数的周期为π，若f （α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A． B．C．D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．7010．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．3211．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B．C．D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f （x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n，求数列{b n}的前2n项和T2n．+118．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．20．已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由对数函数的定义域求出A，由函数的值域求出B，由补集和交集的运算求出答案，【解答】解：由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），又，则B={y|y≥1}=[1，+∞），即C U B=（﹣∞，1），所以A∩（C U B）=（0，1），故选C．2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：，故选：C．3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故选：D．4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D 错误．故选：D．5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，利用离心率为2，求出m的值．【解答】解：因为圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，所以离心率为，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．6【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的S，i的值，即可得出跳出循环时输出S的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：由，当i=7时，进入循环，得，当i=8退出循环，输出，故选：B．7．已知函数的周期为π，若f （α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的周期求出ω的值，再化简f（α+）并求值．【解答】解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=Asin（2x+φ），又f（α）=Asin（2α+φ）=1，∴f（α+）=Asin[2（α+）+φ]=Asin（2α+3π+φ）=﹣Asin（2α+φ）=﹣1．故选：B．8．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A． B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得AB，利用余弦定理，可得结论．【解答】解：因为圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得：∴由余弦定理有，故选D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．70【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【分析】设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，列出方程组求得甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．【解答】解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，则，解得x=72，y=32，z=4．∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．故选：B．10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，即可得出结论．【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，故选A．11．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，故选D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f （x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定函数为偶函数则其周期为T=2，函数在x∈[1，2]为减函数，作出函数的图象，得出当x＜0时，要使符合题意则，根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．即可得出结论．【解答】解：因为函数f（2﹣x）=f（x）可得图象关于直线x=1对称，且函数为偶函数则其周期为T=2，又因为，当x∈[1，2]时有f'（x）≤0，则函数在x∈[1，2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中，当x＜0时，要使符合题意则根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．综上所述，实数m的取值范围为，故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为120．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出．【解答】解：根据题意（1+2x）6（1+y）5=，∴xy3的系数为=120，故答案为：120．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可．【解答】解：单位向量的夹角为，，则在上的投影是：||cos＜，＞==•=（2﹣）•=2﹣•=2﹣1×1×1×cos=．故答案为：．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．×2×【解答】解：由图中数据可得：，S圆柱侧=π1=2π，．所以几何体的表面积为．故答案为：．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，推导出．从而等差数列后三项和为．法一：设x=2cosα，y=2sinα，利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，由此能求出这个等差数列后三项和的最大值．【解答】解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则x+y=a+c=2b，∴．则等差数列后三项和为=．（另解：由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，所以．）方法一：因为x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，所以．方法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，所以当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，此时，即，∴．故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n，求数列{b n}的前2n项和T2n．+1【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据题意、等差数列的性质以及通项公式列出方程，求出公差d，由等差数列的通项公式求出a n；（Ⅱ）由（I）化简b n=（﹣1）n﹣1a n a n，利用并项求和法和等差数列的前n项和+1公式求出数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即3a2=a5，则3（1+d）=1+4d，解得d=2﹣﹣﹣﹣﹣所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以=4[12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=﹣4（1+2+3+4+…+2n﹣1+2n）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用直方图的性质即可得出．（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可估算（以365天计算）全年空气质量优良的天数为：（0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则：，，，，，，．∴X的分布列为X0100002000030000400005000060000P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=9000（元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，推导出AD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．（Ⅱ）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：有∴在△ABD中，有AB2=AD2+BD2，即AD⊥BD又因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，∴BD⊥平面PAD．﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，得PE⊥平面ABCD．如图所示，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由条件AD=DC=BC=2，则AE=DE=1，，．则D（0，0，0），E（1，0，0），，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在等腰梯形ABCD中，过点C作BD的平行线交AD延长线于点F如图所示：则在Rt△CDF中，有，DF=1，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（另解：可不作辅助线，利用求点C坐标）∴，，设平面PDC的法向量则，取，则y1=1，z1=﹣1，∴面PDC的法向量．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理有，，设平面PBE的法向量则，取y2=1，则，z2=0，∴面PBE的法向量．﹣﹣设平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角为θ，∴．即平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意得a=4﹣2c，由椭圆的离心率，得a=2c，求出a，b，由此能示出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，联立直线和直线可得点，猜想点G在直线x=1上，对猜想给予证明，得到点G在定直线上x=1上．法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），由B，M，N三点共线，得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0，再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．法三：设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．【解答】解：（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意可知：，即a=4﹣2c①又因为椭圆的离心率，即a=2c②联立方程①②可得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，则联立直线和直线可得点据此猜想点G在直线x=1上，下面对猜想给予证明：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0由韦达定理可得，（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为直线，，联立两直线方程得（其中x为G点的横坐标）即证：，即3k（x1﹣4）•（x2﹣2）=﹣k（x2﹣4）•（x1+2），即证4x1x2﹣10（x1+x2）+16=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将（*）代入上式可得此式明显成立，原命题得证．所以点G在定直线上x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，因为B，M，N三点共线，所以，整理得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又A1，M，G三点共线，有：①又A2，N，G三点共线，有：②，将①与②两式相除得：即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0即代入得：解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法三：由题意知l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N （x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，则，，，由A1，M，G三点共线，有：①由A2，N，G三点共线，有：②①与②两式相除得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出最小值的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2e x+（2x﹣4）e x+2a（x+2）=（2x﹣2）e x+2a（x+2），依题意：当x＞0时，函数f'（x）≥0恒成立，即恒成立，记，则=，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以，所以；﹣﹣﹣（Ⅱ）因为[f'（x）]'=2xe x+2a＞0，所以y=f'（x）是（0，+∞）上的增函数，又f'（0）=4a﹣2＜0，f'（1）=6a＞0，所以存在t∈（0，1）使得f'（t）=0且当a→0时t→1，当时t→0，所以t的取值范围是（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又当x∈（0，t），f'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，所以当x=t时，．且有由（Ⅰ）知，在（0，+∞）上单调递减，又，g（1）=0，且，故t∈（0，1），∴，t∈（0，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣记h（t）=e t（﹣t2+t﹣2），则h'（t）=e t（﹣t2+t﹣2）+e t（﹣2t+1）=e t（﹣t2﹣t ﹣1）＜0，所以h（1）＜h（t）＜h（0），即最小值的取值范围是（﹣2e，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，实数a的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，（x）在单调递减，在单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）≤2﹣|x﹣1|，即为．而由绝对值的几何意义知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，得a=﹣4＜2（合题意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣3月15日。

江西省南昌市2017年高考一模（理科）数学试卷答 案1~5．CCDDC 6~10．BBDBA 11~12．DA 13．120 14．3215．(3π16 17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由345S S S +=可得1235a a a a ++=， 即253a a =，则3114d d +=+()，解得2d = 所以11221n a n n =+⨯=(-)-． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：112(1) (21)(21)(1) (41)n n n b n n n --=--+=--g g所以：22222122(411)(421)(431)(441)(1) [4(2)1]n n T n -=⨯--⨯-+⨯--⨯-++-⨯-L g=22222241234(21)(2)[]n n +++-L --- =4(1234212)n n -++++++L - =22(21)4842n n n n +-⨯=-- 18．解：（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为： (0.10.2)3650.3365109.5110+⨯=⨯=≈（天）． （Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10 000，20 000，30 000，40 000，50 000，60 000， 则：3464(0)()5125P X ===，1231424(10000)()105125P X C ==⨯⨯=， 221233141410827(20000)()()C ()()105105500125P X C ==⨯⨯+⨯⨯==， 31132111449(30000)()C C 10101051000P X ==+⨯⨯⨯⨯=，222233111427(40000)()C ()10101051000P X C ==⨯⨯+⨯⨯=，223113(50000)()10101000P X C ==⨯⨯=，311(60000)()101000P X ===．∴X 的分布列为X 0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000P64125 24125 27125 491 000 271 000 31 000 11 000644827492731()01000020000300004000050000600001252501251000100010001000E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=9000（元）．19．证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图所示：有1,AE DE BD ==∴在ABD △中，有222AB AD BD =+，即AD BD ⊥又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD PAD ⊥平面．解：（Ⅱ）由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △为正三角形，E 为AD 的中点， ∴PE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ．如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．由条件2AD DC BC ===，则1AE DE ==，PEBD =． 则(0,0,0)D ，(1,0,0)E，B，P ．在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示： 则在t R CDF △中，有CF ，1DF =，∴(C -．（另解：可不作辅助线，利用2AB DC =u u u r u u u r求点C 坐标）∴(1,CD =u u u r，(1,0,PD =-u u u r ，设平面PDC 的法向量1111(,,z )n x y =u u r则111111 0 0n CD x n PD x ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩u u r u u u u r g u u r u u u r g，取1x =1111y z ==，-， ∴面PDC的法向量11)n =-u u r．同理有(0,0,PE =u u u r，(PB =-u u u r ，设平面PBE 的法向量2222(,,z )n x y =u u r则222222 0 0n PE n PB x ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩u u r u u u r g u u r u u u r g ， 取21y =，则2x =20z =，∴面PBE的法向量2n =u u r．设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ，∴12cos |cos(,)|n n θ===u u r u u r即平面PEB 与平面PDC20．解：（Ⅰ）设点12(,0)(,0)-,A a F c ，由题意可知：42a c -+=，即42a c =﹣① 又因为椭圆的离心率1e 2c a ==，即2a c =② 联立方程①②可得：21a c ==，，则2223b a c ==-所以椭圆C 的方程为22143x y +=．解：（Ⅱ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线0x x =上．假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l40y +-=，此时点8(5N ，则联立直线120A M l y -+和直线220A N l y +-=可得点G据此猜想点G 在直线1x =上，下面对猜想给予证明：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立方程22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：2222(34)3264120k x k x k ++=--，0V ＞由韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+（*） 因为直线111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--， 联立两直线方程得1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-（其中x 为G 点的横坐标）即证： 1212322y y x x -=+-， 即22113(4)(2)(4)(2 )k x x k x x -=+g g ﹣--，即证1212410160x x x x ++=-（）将（*）代入上式可得22222224 (6412)1032160163203403434k k k k k k k-⨯-+=⇔--++=++g 此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上1x =上．解法二：设11,()M x y ，22(,)N x y ，33(,)G x y ，123,,x x x 两两不等， 因为B M N ,,三点共线，所以221222121222221212123(1)3(1)4444(4)(4)(4)(4)x x y y y y x x x x x x --=⇒=⇒=------， 整理得：12122580x x x x ++=-() 又1A M G ,,三点共线，有：313122y yx x =++① 又2A N G ,,三点共线，有：323222y y x x =--②， 将①与②两式相除得：2222212332121212222131********(1)(2)22(2)(2)(2)(2)4()2(2)2(2)(2)(2)3(1)(2)4x x x x y x y x x x x x y x x y x x x x -+++++++=⇒===--------即2321121231212122(2)(2)2()4()2(2)(2)2()4x x x x x x x x x x x x x x ++++++==----++，将12122580x x x x ++=-()即12125()402x x x x =+-=代入得：2332()92x x +=- 解得34x =（舍去）或31x =，所以点G 在定直线1x =上．解法三：由题意知l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(4)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ．由22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)3264120k x k x k ++=--，0V ＞．设11,()M x y ，22(,)N x y ，33(,)G x y ，两两不等，则21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+，12||x x -=， 由1A M G ,,三点共线，有：313122y yx x =++① 由2A N G ,,三点共线，有：323222y y x x =--② ①与②两式相除得：32121121212312121212122(2)(4)(2)()3()812(2)(4)(2)3()()83x y x k x x x x x x x x x y x k x x x x x x x x ++-+-++--====-----++++ 解得34x =（舍去）或3x =1，所以点G 在定直线1x =上．21．解：（Ⅰ）()2e (24)e 2(2)(22)e 2(2)x x x f x x a x x a x '=+-++=-++，依题意：当0x ＞时，函数'()0f x ≥恒成立，即(1)e 2≥x x a x -+恒成立，记(1)e ()2xx g x x -=+，则222e (2)(1)e (1)e '()0(2)(2)＜x x x x x x x x g x x x +--++==-++， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以1()(0)2＜g x g =，所以12≥a ； （Ⅱ）因为()2[]e 20＞x f x x a =+''，所以()y f x '=是(0,)+∞上的增函数， 又(0)420f a '=-＜，(1)60＞f a '=，所以存在0,1()t ∈使得0()f t '= 且当0a →时1t →，当12a →时0t →，所以t 的取值范围是(0,1)． 又当(0,)x t ∈，()0＜f x '，当(,)x t ∈+∞时，()0＞f x '，所以当x t =时，2min()()(24)e (2)tf x f t t a t ==-++．且有(1)e (t)02tt f a t -'=⇒=-+由（Ⅰ）知(1)e ()2tt a g t t -=-=+，在(0,)+∞上单调递减，又1(0)2g =，(1)0g =，且1(0,)2a ∈，故(0,1)t ∈，∴2min ()()(24)e (1)(2)e e (2)t t t f x f t t t t t t ==---+=-+-，(0,1)t ∈ 记2()e (2)-t h t t t =+-，则22()e (2)e (21)e (1)0----＜t t t h t t t t t t '=-+++=-， 所以(1)()(0)h h t h ＜＜，即最小值的取值范围是(2e,2)--．22．解：（Ⅰ）曲线1C参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，∴其普通方程10x y a --+=，由曲线2C 的极坐标方程为cos24cos 0-ρθθρ+=，∴22cos24cos 0-ρθρθρ+= ∴22240,x x x y +-=-即曲线2C 的直角坐标方程24y x =．（Ⅱ）设A B 、两点所对应参数分别为12、,t t联解241y xx a y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩得22140t a -+-=要有两个不同的交点，则242(14)0a =-⨯-V ＞，即0a ＞，由韦达定理有121214 2t t a t t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩g根据参数方程的几何意义可知1||2||PA t =，2||2||PB t =， 又由||2||PA PB =可得12||2|22|t t =⨯，即122t t =或122t t =-∴当122t t =时，有1223t t t +==21221422a t t t -==，∴1036a =＞，符合题意． 当212t t =-时，有122t t t +==-21221422a t t t -=-=，∴904a =＞，符合题意．综上所述，实数a 的值为136a =或94．23．解：（Ⅰ）由题()2|1|≤-f x x -，即为|||1|12≤ax x -+-．而由绝对值的几何意义知|||1||1|22≥a ax x -+--，由不等式|(|)21≤--f x x 有解，∴|1|12≤a-，即04≤≤a ．∴实数a 的取值范围[0,4]．（Ⅱ）函数(||)1|2|--f x x a x =+的零点为2a 和1，当2a ＜时知12＜a，∴31()2()1(1)231(1)＜≤≤＞a x a x a f x x a x x a x ⎧-++⎪⎪⎪-+⎨⎪--⎪⎪⎩如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2a +∞单调递增， ∴min()()1322a af x f ==-+=，得42a =-＜（合题意），即4a =-．江西省南昌市2017年高考一模（理科）数学试卷解析1．解：由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），又，则B={y|y≥1}=[1，+∞），即CUB=（﹣∞，1），所以A∩（CUB）=（0，1），故选C．2．解：，故选：C．3．解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故选：D．4．解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D错误．故选：D．5．解：因为圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，所以离心率为，故选：C．6．解：模拟程序的运行，可得：由，当i=7时，进入循环，得，当i=8退出循环，输出，故选：B．7．解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=Asin（2x+φ），又f（α）=Asin（2α+φ）=1，∴f（α+）=Asin[2（α+）+φ]=Asin（2α+3π+φ）=﹣Asin（2α+φ）=-1．故选：B．8．解：因为圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得：∴由余弦定理有，故选D．9．解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，则，解得x=72，y=32，z=4．∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．故选：B．10．解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，故选A．11．解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以：．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，故选D．12．解：因为函数f（2﹣x）=f（x）可得图象关于直线x=1对称，且函数为偶函数则其周期为T=2，又因为，当x∈[1，2]时有f'（x）≤0，则函数在x∈[1，2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中，当x＜0时，要使符合题意则根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．综上所述，实数m的取值范围为，故选A．13．解：根据题意（1+2x）6（1+y）5=，∴xy3的系数为=120，故答案为：120．14．解：单位向量的夹角为，，则在上的投影是：||cos＜，＞==•=（2﹣）•=2﹣•=2﹣1×1×1×cos=．故答案为：32．15．解：由图中数据可得：，S圆柱侧=π×2×1=2π，．所以几何体的表面积为．故答案为：(3π+．16．解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则x+y=a+c=2b，∴．则等差数列后三项和为=．（另解：由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，所以．）方法一：因为x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，所以．方法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，所以当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，此时，即，∴．．17．（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，根据题意、等差数列的性质以及通项公式列出方程，求出公差d，由等差数列的通项公式求出an；（Ⅱ）由（I）化简bn=（﹣1）n﹣1anan+1，利用并项求和法和等差数列的前n项和公式求出数列{bn}的前2n项和T2n．18．（I）利用直方图的性质即可得出．（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．19．（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，推导出AD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．（Ⅱ）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值．20．（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意得a=4﹣2c，由椭圆的离心率，得a=2c，求出a，b，由此能示出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，联立直线和直线可得点，猜想点G在直线x=1上，对猜想给予证明，得到点G在定直线上x=1上．法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），由B，M，N三点共线，得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0，再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．法三：设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G 在定直线x=1上．21．（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出最小值的范围即可．22．（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．23．（Ⅰ）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，（x）在单调递减，在单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．2017年3月15日。