《勾股定理》章末重难点题型汇编

专题13 勾股定理16个重难考点一．路径最短之化曲为直1．为了庆祝国庆，学校准备在教学楼大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为lm，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处，那么至少应购买彩带米．2．如图：一个圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为cm．3．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．二．数形结合---勾股定理的逆运用4．如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则此三角形的周长为．5．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则这个三角形最长边上的高是多少？6．已知，在△ABC中，三条边长分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1），求证：∠C＝90°．7．|x﹣12|+|x+y﹣25|与z2﹣10z+25互为相反数，那么以x、y、z为边的三角形是什么三角形？三．勾股与将军饮马的融合8．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？9．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B 处的最短距离为cm（假设蜂蜜不会下滑）．四．勾股定理的证明--等面积法10．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1），并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．11．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线于点F，则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝．（用含字母的代数式表示）因为S四边形ABCD＝S△ACD+＝+12 ab；S四边形ABCD＝S△ADB+=12c2+；所以+12ab=12c2+；所以．12．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x．（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x．因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝．（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：连接IC，利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程；（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（注：根据比例的基本性质，由ba =dc可得ad＝bc）五．勾股定理的应用13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝2，b＝3时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？六．半角中的勾股定理14．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2+BN2；（思路点拨：考虑MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．请你完成证明过程．）（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．七．折叠中的勾股定理--小三角15．在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片使点A落在边BC上的A'处，折痕为PQ．当点A'在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点B与点A'间的最小距离为．16．如图，将长方形纸条ABCD沿EF，GH折叠，使点B，C两点恰好都落在AD边的P点处．若BC＝10cm，则△PFH的周长为cm．八．双直角模型17．如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17．（1）求证：△ABD是直角三角形；（2）求△ADC的面积．18．如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，且∠ABC＝90°．若每平方米草皮需要200元，则需要投资多少钱？九．格点中的勾股定理19．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）分别求出AB，BC，AC的长；（2）求△ABC的面积．20．如图正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识判断△ABC是什么形状？并说明理由．十．风吹荷动21．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了多少米．22．小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千（如图），秋千AB在静止位置时，下端B距离地面0.6m，即OB＝0.6m，当秋千荡到AC的位置时，下端C距离地面1.4m，即CD＝1.4m，与静止位置的水平距离OD＝2.4m，求秋千AB的长．十一．梯子下滑23．有一梯子长25米，靠在垂直的墙面上，梯子的跟部离墙的底部是7米，若梯子顶部下滑4米，那么梯子跟部到墙的底部的距离是多少米？24．如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，求DE 的长．十二．勾股中的分类讨论25．若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三条边的长的平方为．26．已知m，n为一个直角三角形的两边的长度，且（m﹣2）2+|n﹣3|＝0，则该直角三角形第三条边的长度为．十三．勾股数27．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和．十四．动点与勾股28．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．29．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？十五．方向中的勾股定理30．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．90°31．如图，甲船以20海里/时的速度从港口O出发向西北方向航行，乙船以15海里/时的速度同时从港口O出发向东北方向航行，则2小时后，两船相距（）A．40海里B．45海里C．50海里D．55海里。

专题勾股定理重难点大视野Part 1 基本概念1. 什么是勾股定理？2. 什么是原命题？逆命题？怎么将一个命题改成它的逆命题？3. 勾股定理的逆定理内容4. 什么是勾股数？常见的勾股数有哪些？柏拉图提出了哪一对勾股数公式？★5. 勾股定理的证明据说，中世纪时数学系硕士研究生必须提出一种勾股定理的新证明方法才能毕业，足见其重要性，这是几何学上的第一朵“奇葩”！需要掌握住以下几个常见证法：【核心：面积法】（1）毕达哥拉斯证法（2）赵爽弦图证法（3）美国总统证法（4）（了解）欧几里得证法【注：我们现在所学几何为欧式几何，就是根据欧几里得所编著的《几何原本》所提炼而得，作为他的学生，他的论述过程还是要了解的！】6. 勾股定理逆定理是怎么证明的？7. 怎么用勾股定理解释“HL判定定理（SSA）”？Part 2 基本结论及思路1. 含特殊角（30°、45°、60°等）的三角形三边关系及面积a =0.5c c =2ab =3a a =3b a = 22c c = 2 aS =23a （含a 的代数式表示） S =234a （含a 的代数式表示）a =33c c =3 a 2. 遇到特殊角时，将特殊角放在直角三角形中求解，常见辅助线是作出垂线。

Part 3 勾股定理应用1. 勾股数2. 用「尺规」的线段或点。

3. 格点三角形的面积；格点三角形各边的长度及各边上高的求法；平面直角坐标系中一点到一条直线距离的求法。

先求★ABC的面积，再求线段AB的长，利用面积法求解。

【例题精讲】题型一、图形求值问题例1. 【2019·株洲市期末】已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8 m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD 的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10 m时，△ABD的周长为______；（2）在图2中，当BA=BD=10 m时，△ABD的周长为______；（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．【答案】（1）32m；（2）20+4√5m；（3）见解析.【解析】解：（1）∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8 m，在Rt★ACD中，由勾股定理得：DC=√AD2−AC2=6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32 m；（2）当BA=BD=10m时，则DC=BD-BC=10-6=4，在Rt★ACD中，由勾股定理得：AD=√AC2+DC2=4√5，则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4√5+10=（20+4√5）m；故答案为：（20+4√5）m；（3）设DC=x，则AD=6+x，在Rt★ACD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得：x=73，由（2）知AB=10，△ABD的周长为：AD+BD+AB=803（m）．例2. 【2018·北师大附中期中】如图，在长方形ABCD中，AC是对角线，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°到长方形GBEF位置，H是EG的中点，若AB=6，BC=8，则线段CH的长为（）A. B. C. D.【答案】B．【解析】解：延长CH交FE的延长线于M，过C作CN★EF于N，则CN=BE=AD=8，易证★CHG★★EHM，★NF=CG=EM=BC－BG=8-6=2，★MN=NE+ME=10，在Rt★AMN中，由勾股定理得：CM★CH =12CM 故答案为：B .例3. 【2019·厦门市期中】如图，边长为a 的正方形ABCD ，点M 是正方形内部一点，连接AM 并延长交CD 于N ，连接MC ，★BCM 是等边三角形，则★MNC 的面积为【答案】14a 2． 【解析】解：过M 作MG ★BC 于G ，MH ★CD 于H ，则BG =CG ，AB ★MG ★CD ，★AM =MN ，★MH ★CD ，★D =90°，★MH ★AD ，NH =DH ，★★MBC 是等边三角形，★MC =BC =aMH =12a ，CH =2a ，DH =a -2a ，★CN =CH -NH =)1a ，★MNC 的面积为：12×12a ×)1a 2故答案为：14a 2. 例4. 【2019·汕头市期末】如图，直线y ＝﹣x +2分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，点D 在BA 的延长线上，OD 的垂直平分线交线段AB 于点C ．若★OBC 和★OAD 的周长相等，则OD 的长是（ ）A．2B．C D．4【答案】B．【解析】解：★直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A，B，★OA＝OB＝2．在Rt★BOA中，利用勾股定理求得：AB＝．★OBC周长＝2+BC+OC，★OAD周长＝2+OD+AD，★★OBC和★OAD的周长相等，★BC+OC＝OD+AD．★OD的垂直平分线交线段AB于点C，★OC＝CD，OC＝CA+AD．★BC+CA+AD＝OD+AD，即BC+CA＝OD，BA＝OD．★OD＝．故答案为：B．题型二、实际应用问题例1. 【2019·惠州市期末】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，★QON＝30°.公路PQ上A处距离O 点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米／时的速度行驶时，如果A处受噪音影响，求影响的时间.【答案】见解析.【解析】解：过点A作AC★ON于C，以A为圆心，以200为半径画弧，交MN于点B、D，则AB=AD=200，★★QON=30°，OA=240，★AC=120，火车到达B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200，AC=120，由勾股定理得：BC=160，CD=160，BD=320，★72 千米/小时=20米/秒，★影响的时间为：320÷20=16秒.例 2. 【2019·厦门六中月考】一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处这段，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高为（）A.7mB.8mC.5mD.10m【答案】B.【解析】解：如图：．在RtΔABC中，AB=3米，BC=4米，由勾股定理，得：AC=√AB2+BC2=5米.★AC+AB=3+5=8米，即大树折断之前有8米高．故答案为：B．题型三、易错问题例1. 【2019·宜城市期末】已知菱形ABCD的边长为4，★B=120°，如果点P是菱形内一点，且P A=PC=√13，那么BP的长为______．【答案】3或1.【解析】解：如图，★菱形ABCD的边长为4，★B=120°，★★ABP=12★ABC=60°，AC★BD，AO=CO，BO=DO，AB=BC=4，★BO=12AB=2，AO=√3BO=2√3，★P A=PC=√13，★点P在AC的垂直平分线上，★PO=√AP2−AO2=1当点P与点D在AC同侧时，BP=OB+OP=3当点P与点D在AC异侧时，BP=OB-OP=1故答案为：3或1.例2. 【2019·阜阳市联考期中】在★ABC中，已知AC=10cm，BC，AB边上的高CD=6cm，则AB=______．【答案】11cm或5cm.【解析】解：（1）如图，在Rt★ACD中，由勾股定理得：AD=8，在Rt★BCD中，由勾股定理得：BD=3，★AB=AD+BD=11（cm），（2）如图，AB=AD-BD=5（cm），则AB=11cm或5cm，故答案为：11cm或5cm．【刻意练习】1. 【2019·禹城市期末】如图，已知OP平分★AOB，★AOB＝60°，CP＝2，CP★OA，PD★OA于点D，PE★OB 于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B C D．【答案】C．【解析】解：★OP平分★AOB，★AOB＝60°，★★AOP＝★COP＝30°，★CP★OA，★★COP ＝★CPO ，★OC ＝CP ＝2，★★PCE ＝★AOB ＝60°，PE ★OB ，★★CPE ＝30°，★CE ＝12CP ＝1，由勾股定理得：PE★OP ＝2PE ＝★PD ★OA ，点M 是OP 的中点，★DM ＝12OP 故答案为：C ．2.【2019·高密市期末】如图，等边★AOB 中，点B 在x 轴正半轴上，点A 坐标为（1，将★AOB 绕点O 顺时针旋转15°，此时点A 对应点A ′的坐标是 ．【答案】）．【解析】解：过点A 作AE ★OB 于E ，过点A ’作A ′H ★OB 于H ．★A （1，★OE ＝1，AE由勾股定理得：OA ＝2，★★OAB 是等边三角形，★★AOA′＝15°，★★A′OH＝60°﹣15°＝45°，★OA′＝OA＝2，A′H★OH，★A′H＝OH，故答案为：）．3. 【2018·容县期末】把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A．B．6C．D．3+【答案】A．【解析】解：连接BC′，由题意得：B在对角线AC′上，★B′C′＝AB′＝3，在Rt★AB′C′中，AC′＝，★BC′＝﹣3，在等腰Rt★OBC′中，OB＝BC′＝3，在直角三角形OBC′中，OC′（﹣3）＝6﹣，★OD′＝3﹣OC′＝3，★四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′＝6+﹣3+﹣3＝故答案为：A．4. 【2019·株洲市期末】如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是______．【答案】20厘米.【解析】如图，解：由翻折知，★HEM=★AEH，★BEF=★FEM，★HEF=★HEM+★FEM=90°，★EHG=★HGF=★EFG=90°，★四边形EFGH为矩形，AD=AH+HD=HM+MF=HF，在Rt★EFH中，由勾股定理，得：HF=√EH2+EF2=√122+162=20，即AD=20厘米．故答案为：20厘米．5. 【2019·成都市期末】如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，点D是CG边上一点，H是AF的中点，那么CH的长是______．【解析】解：★四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，★★ACD =45°，★FCG =45°，AC BC CF CE ，★★ACF =45°+45°=90°，在Rt ★ACF 中，由勾股定理得：AF =√AC 2+CF 2=2，★H 是AF 的中点，★CH =12AF6. 【2019·孝感市期末】如图，将矩形ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH =6cm ，GH =8cm ，则边AB 的长是______．【答案】485cm . 【解析】如图所示，解：★★HEM =★HEB ，★GEF =★CEF ，★★HEF =★HEM +★GEF =12★BEG +12GEC =12×180°=90°， 同理可得：★EHG =★HGF =★EFG =90°，★四边形EFGH 为矩形，★EH =6cm ，GH =8cm ，由勾股定理，得：GE =10，由折叠可知，HM ★GE ，AH =HM ，BH =HM ，HM×GE=EH×GH，★HM=24 5★AB=BH+AH=2HM=48 5.故答案为485cm．7. 【2019·澧县期中】如图是“赵爽弦图”，★ABH、★BCG、★CDF和★DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于．【答案】6.【解析】解：由题意得：大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，四个直角三角形面积和为：100﹣4＝96，设AE=a，DE=b，4×12ab＝96，★2ab＝96，a2+b2＝100，★（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，★a+b＝14，或a+b=-14（舍），★a﹣b＝2，可得：a＝8，b＝6，★AH＝8﹣2＝6．故答案为：6．8. 【2019·阜阳市联考期中】公元3世纪，我国数学家赵爽在《周牌算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为20，且（a+b）2=32．则小正方形的面积为（）A.6B.8C.10D.12【答案】B.【解析】解：如图所示：★（a+b）2=32，★a2+2ab+b2=32，★大正方形的面积为20，2ab=32-20=12，★小正方形的面积为20-12=8．故答案为：B．9. 【2019·阳江市期中】如图，在★ABC中，★A=45°，★B=30°，CD★AB，垂足为D，AD=1，则BD的长为（）A.√2B.2C.√3D.3【答案】C.【解析】解：在★ABC中，★A=45°，CD★AB，★★ACD是等腰直角三角形，★CD=AD=1，★★B=30°，在Rt★BCD中，BC=2CD=2，★BD=√BC2−CD2=√3，故答案为：C．10.【2019·武汉市期末】如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF 的最小值等于______．【答案】√2.【解析】解：过点P作MN★AD交AB于点M，交CD于点N，如图所示，★四边形ABCD为正方形，★MN★AB，★PM≤PE（当PE★AB时取等号），PN≤PF（当PF★BC时取等号），★MN=AD=PM+PN≤PE+PF，★正方形ABCD的面积是2，★AD=√2．故答案为：√2．11. 【2019·乐亭县期末】将等边三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，已知其边长为2，现将该三角形绕点C按顺时针方向旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标为（）A.（1+√3，1）B.（-1，1-√3）C.（-1，√3-1）D.（2，√3）【答案】A.【解析】解：如图，由题意知，A′C与x轴的夹角为30°，过点A′作AD★x轴，则CD=OA=√3，A′D=1，★OD=1+√3，即A′（1+√3，1）．故答案为：A．12. 【2019·汕头市期中】如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（）A.36B.4.5πC.9πD.18π【答案】B.【解析】解：正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，★DE=10，EF=8，由勾股定理得，DF=√DE2−EF2=6，半圆C的面积为：12×π×32=4.5π，故答案为：B．13. 【2019·广州市番禺区期末】如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为（）A.2B.√5−1C.√10−1D.√5【答案】C.【解析】解：由题意得，AC=√AB2+BC2=√AD2+DC2=√10，AM=√10，BM=AM-AB=√10-3，★点B的表示的数为2，★点M表示的数为√10−1．故答案为：C．14. 【2019·厦门六中月考】如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ΔABE沿直线BE折叠后得到ΔGBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC FD的长为【答案】4．【解析】解：★E是AD的中点★AE=DE由折叠性质得：AE=EG，AB=BG★ED=EG★在矩形ABCD中★★A=★D=90°★★EGF=90°★在RtΔEDF和RtΔEGF中，ED=EG，EF=EF★RtΔEDF★RtΔEGF(HL)★DF=FG设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x在RtΔBCF中，由勾股定理得：(()()222x x+-=+，66解得：x=4，故答案为：4．15. 【2019·广州市番禺区期末】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：★x2+y2=49，★x-y=2，★2xy+4=49，★x+y=9．其中说法正确的是（）A.★★B.★★★C.★★★D.★★★★【答案】B.【解析】解：由题意得：x2+y2=49★；（x-y）2=4★，★-★得：2xy=45★，★2xy+4=49，★+★得：x2+2xy+y2=94，★（x+y）2=94，★★★★正确，★错误．故答案为：B．16. 【2018·辽阳市期末】如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6 cm，将★ABC绕点A逆时针旋转15°后得到★AB′C′，AC与B′C′相交于点H，则图中★AHC′的面积等于（）A．12﹣6B．14﹣6C．18﹣6D．18+6【答案】C ．【解析】解：在Rt ★ABC 中，由勾股定理得：AC 2＝62+62，★AC ＝6；由旋转得：★CAC ’＝15°，★★B ’AH ＝45°﹣15°＝30°；★B ’H ＝★S ★AB ’H ＝S ★AHC ’＝18﹣故答案为：C ．17. 【2019·宜昌市期中】如图所示，A ，0）、B （0，1）分别为x 轴、y 轴上的点，△ABC 为等边三角形，点P （3，a ）在第一象限内，且满足2S △ABP =S △ABC ，则a 的值为（ ）A ．74BCD ．2【答案】C ．【解答】解：由题意得：OA OB =1，由勾股定理得：AB =2，★★ABC 是等边三角形，★S ★ABC =4×AB 2 过点P 作PD ★x 轴于D ，S ★ABP =S ★ABO +S 梯形BODP -S ★APD=121+（1+a ）×3×12-12×（）×a解得：a故答案为：C .18. 【2018·莆田市期中】如图，点P 是平面坐标系中一点，则点P 到原点的距离是（ ）A . 3B . √2C . √7D . √53【答案】A .【解析】解：连接PO ，★点P 的坐标是（2，7），★点P 到原点的距离=()()2227+=3．故答案为：A ．19. 【2019·固始县期末】一阵大风把一根高为9m 的树在离地4m 处折断，折断处仍相连，此时在离树3.9m 处，一头高1m 的小马正在吃草，小马有危险吗？为什么？【答案】见解析.【解析】解：如图，过点C 作CE ★AB 于点E★BE=3在Rt★BCE中，由勾股定理得：BC2=BE2+EC2=32+3.92=24.21树高为9 m，因为52=25＞24.21，所以小马有危险.20. 【2019·黄石期中】在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动．具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为100√2米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向．已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒，请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，计算结果保留两位小数）【答案】见解析.【解析】解：如图，过点C作CD★AB于点D，★在Rt★ADC中，★ACD=45°，AC=100√2，★CD=AC=100，2AD=CD=100．在Rt★CDB中，★BCD=60°，★BD=√3CD=100√3．★AB=AD+BD=100+100√3=100（√3+1）≈273．小轿车的速度为：273÷13=21（米/秒）=75.6千米/小时．该路段限速为60千米/时<75.6千米/小时★这辆小轿车超速了．21. 【2019·北京101中学期末】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分★BED．（1）★BEC是否为等腰三角形？证明你的结论；（2）若AB=2，★DCE=22.5°，求BC长．【答案】见解析.【解析】解：（1）★BEC是等腰三角形；理由如下：★四边形ABCD是矩形，★AD★BC，★★DEC=★BCE，★EC平分★DEB，★★DEC=★BEC，★★BEC=★ECB，★BE=BC，即★BEC是等腰三角形．（2）★四边形ABCD是矩形，★★A=★D=90°，★★DCE=22.5°，★★DEB=135°，★★AEB=180°-★DEB=45°，★★ABE=★AEB=45°，由勾股定理得：BC=BE=22. 【2019·黄石市期中】如图在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置问船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的结果精确到0.1米. 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）【答案】见解析.【解析】解：★在Rt★ABC中，★CAB=90°，BC=13 ，AC=5 ，由勾股定理得：AB=√132−52=12 ，由题意得：CD=13-0.5×6=10，★AD=√CD2−AC2=√102−52=5√3，★BD=AB-AD=12-5√3≈3.3.即船向岸边移动了大约3.3m．。

勾股定理》章末重难点题型汇编【考点 1 利用勾股定理求面积】方法点拨】 解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系 例 1】在 Rt AED 中， E 90 ， AE 3 ， ED 4 ，以 AD 为边在 AED 的外侧作正方形ABCD ，则正方形 ABCD 的面积是 ( ) A ．5B ．25C ． 7D ． 10【分析】根据勾股定理得到 AD AE 2 DE 2 5 ，根据正方形的面积公式即可得到结论．【答案】解： 在 Rt AED 中， E 90 ， AE 3， ED 4，22AD AE 2DE 2 5，四边形 ABCD 是正方形，22正方形 ABCD 的面积 AD 2 52 25 ， 故选： B．点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可． 答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：S E S FS GSA SB SC SD100 ；即四个正方形 A ， B ，C ， D 的面积之和为 100；点睛】 本题考查了正方形的性质、 勾股定理的几何意义， 关键是掌握两直角边的平方和等 于斜边的平方．图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方则四个正方形 A ，B ，C ， D 的面积之和为 (B ．56C ．121D ．100变式 1-1 】如图，A ． 24变式 1-2 】如图， Rt ABC 中， ACB 90 ，以 AC 、 BC 为直径作半圆 S 1 和 S 2，且S 1 S 2 2 ，则 AB 的长为 (那么 a 2 b 2 c 2．变式 1-3 】如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若A ．25B ．31分析】如图，根据勾股定理分别求出 答案】解：如图，由题意得：2AB 2S 1 S 2 13 ， AC 2 S 3 S 4 18 ，222 分析】根据勾股定理得到AC 2BC 22AB 2C ．4D ．2，根据圆的面积公式计算，得到答案．由勾股定理得， AC BC AB 2 ，1 12 (AC )2 2)12 (B 2C )222(AC 2BC 2) 2 ，解得， AC 22BC 216 ，则 AB 222AC 2BC 2 16，解得， AB 4 ， 故选： C ．点睛】本题考查勾股定理， 如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ， 斜边长为c ，S 1 ， S 2 ，S 3， S 4和 S 分别代表相应的正方形的面积，且 S 1 4，S 2 9，S 3 8， S 4 10，则 S 等于C ． 32D ． 402 2 2 AB 2、 AC 2 ，进而得到 BC 2 ，即可解决问题． B ．8 ()BC 2 AB 2 AC 2 31 ，2S BC 2 31 ．故选： B ．【点睛】 主要考查了正方形的性质、 勾股定理等几何知识点及其应用问题； 解题的关键是牢 固掌握勾股定理等几何知识点． 【考点 2 判断直角三角形】【方法点拨】 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【例2】在以线段 a ，b ， c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是 ( )A ．a 4，b 5， c 6B ． a:b:c 5:12:13C ．a 2， b 3，c 5D ．a 4，b 5， c 3 【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等， 则三角形为直角三角形；否则不是． 【答案】解： A 、 42 52 62，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B 、设三角形三边为 5k ， 12k ， 13k ， (5k)2 ( 12k)2 (13k)2 ，能构成直角三角形，故本选 项不符合题意；C 、 ( 2)2 ( 3)2 ( 5) 2 ，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、 32 42 52 ，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选： A ．【点睛】 本题考查勾股定理的逆定理， 判断三角形是否为直角三角形， 已知三角形三边的长， 只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式 2-1】a 、b 、c 为 ABC 三边，不是直角三角形的是 ( )A ．A: B: C 3: 4:5B ． a54，b 1， c 34C ． 222 a c bD ． a 8k ， b 17k ， c 15k【分析】 利用勾股定理的逆定理判断 B 、C 、 D 选项， 用直角三角形各角之间的关系判断A选项．【答案】解： A 、A: B: C3: 4:5 ， 设A 3x ，则 B 4x ， C 5x ，AB C 180 ，即 3x 4x5x 180，解得，x 15 ，5x 5 15 7590 ，故本选项错误；B 、 6222821022，a2 b 22 c 2，故本选项正确； C 、 a 222 b c ，2a2 c 2 b 2，故本选项正确；D 、 8k 222 15k 2 17k 2，2a b 2 c 2，故本选项正确故选： A【点睛】 本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质， 若已知三角形的三边判定其 形状时要根据勾股定理判断； 若已知三角形各角之间的关系， 应根据三角形内角和定理求出 最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断． 【变式 2-2 】下列说法中，正确的有 ( ) ① 如果 A B C 0 ，那么 ABC 是直角三角形； ② 如果 A: B: C 5:12:13 ，则 ABC 是直角三角形；③ 如果三角形三边之比为 7: 10: 17，则 ABC 为直角三角形；④ 如果三角形三边长分别是 n 2 4、4n 、n 2 4(n 2)，则 ABC 是直角三角形；A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案． 【答案】解： ①正确，由三角形内角和定理可求出 C 为 90度；②不正确，因为根据三角形的内角和得不到 90 的角； ③正确，设三边分别为 7x ， 10x ，17x ，则有 7x 2 10 172 ； ④正确，因为 (n 2 4) (4n)2 (n 4)2 ．所以正确的有三个． 故选： C ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角为 90 来判定． 【变式2-3】如图：在一个边长为 1的小正方形组成的方格稿纸上， 有A 、B 、C 、D 、E 、F 、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是A．点A 、点B 、点 C B ．点A 、点D 、点GC．点B、点E、点F D．点B、点G、点E【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．【答案】解：A、2AB2 1 36372，AC2 16 25 41 ，BC21910 ，37 10 41 ，不可以构成直角三角形；2B、AD2161632，AG2936245，DG2 1 45，32545，不可以构成直角三角形；C 、BE2361652，BF2252550 ，EF21 12，50252 ，可以构成直角三角形2D 、BG 225934，B E23616252 ，GE 2 9 110，341052 ，不可以构成直角三角形．故选： C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．【考点 3 利用勾股定理求最短路径】【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.【例3】如图，一圆柱高BC为20cm ，底面周长是10cm，一只蚂蚁从点A爬到点P 处吃食，()53且PC 3BC ，则最短路线长为( )5分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．分析】 求出 B ． 13cm C ． 14cm D ． 根据题意画出图形，连接 AP ，则 AP 就是蚂蚁爬行的最短路线长， AP 即可．【答案】解：如图展开，连接AP ，则 AP 就是蚂蚁爬行的最短路线长，则C 90 ， AC1 10cm 25cm ，BC 20cm ， PC3BC ，5CP 12cm ，由勾股定理得： AP AC 2CP252212213(cm) ，故选： B ．点睛】 本题考查了勾股定理和平面展开 最短路线问题， 题目比较典型， 18cm根据勾股定理 道比较好的题目．变式 3-1 】如图，三级台阶，每一级的长、 宽、高分别为8dm 、 3dm 、 2dm ． A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物， 则蚂蚁沿 着台阶面爬行到点 B 的最短路程为 (A ． 15 dmB ．17 dmC ． 20 dmD ． 25 dmA ． 20cm 即蚂蚁爬行的最短路线长是 13cm ，本题就是把长方体的侧面展开 化立体为平答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 8dm ，宽为 (2 3) 3dm ，可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xdm ， 由勾股定理得：2 2 2 2x 282 [(2 3) 3]2 172 ，解得x 17 ．故选： B ．【点睛】 本题考查了平面展开 最短路径问题， 用到台阶的平面展开图， 只要根据题意判断 出长方形的长和宽即可解答．变式 3-2】如图，长方体的底面边长为 1cm 和 3cm ，高为 6cm ．如果用一根细线从点 A 开 始经过 4 个侧面缠绕一圈到达 B ，那么所用细线最短需要 ( )需将长方体的侧面展开， 进而根据 “两点之间线段最短” 得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接 A 、B ， 则 AA 1 3 1 3 8(cm) ， AB 6cm ， 根据两点之间线段最短， AB82 62 10cm ．B 点最短路程是此长方形的对角线长．B ． 11cmC ． 10cmD ． 9cm分析】 要求所用细线的最短距离， A ． 12c m最短路径问题，面”，用勾股定理解决．变式 3-3 】如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高 6 厘米，底面周长 16 厘米，在杯 口内壁离杯口 1.5 厘米的 A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁， A 的相对方向有一小虫 P ， 小虫离杯底的垂直距离为 1.5 厘米，小虫爬到蜜糖 A 处的最短距离是 （ ）A ． 73厘米B ．10厘米C ．8 2 厘米D ．8 厘米分析】由于小虫从外壁进入内壁， 要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最 短距离即可解答．PA PE 2 EA 2 （16 2）2 （6 1.5 1.5）2 10cm ，最短路程为 PA 10cm ． 故选： B ．【点睛】此题考查了平面展开 最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是 解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【考点 4 勾股数相关问题】 【方法点拨】 勾股数的求法：（1）如果 a 为 1 个大于 1 的奇数， b ，c 是两个连续的自然数，且有 a2=b+c ，则 a,b,c 为 组勾股数；（2）如果 a,b,c 为一组勾股数，那么 na ， nb ， nc 也是一组勾股数，其中 n 为自然数 . 【例 4】（2018 秋?新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有组．（填写数量即可）P A ，将圆柱展开，【分析】根据勾股数：满足 a 2 b 2 c 2 的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案． 【答案】解：因为 62 82 102；72 242 252 ， 6， 8，10， 7，24， 25 都是正整数勾股数有 2 组， 故答案为 2． 【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形 ABC 的三边满足 a 2 b 2 c 2 ，则三角形 ABC 是直角三角形．【变式 4-1】勾股定理 a 2 b 2 c 2本身就是一个关于 a ，b ，c 的方程，显然这个方程有无 数解，满足该方程的正整数 (a ，b ， c)通常叫做勾股数． 如果三角形最长边 c 2n 2 2n 1， 其中一短边 a2n 1，另一短边为 b ，如果 a ， b ， c 是勾股数，则 b(用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数) 【分析】根据勾股定理解答即可． 【答案】解： c 2n 2 2n 1 ， a 2n 1b 2n 2 2n ， 故答案为： 2n 2 2n 【点睛】本题考查了勾股数，根据勾股定理解答是解题的关键．【变式 4-2 】观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24， 26 请根据你发现的规律写出第 ⑦ 组勾股数：．【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系， 如果是第 n 组数， 则这组数中的第一个数是 2(n 1) ，第二个是： n(n 2) ，第三个数是： (n 1)2 1．根据 这个规律即可解答．【答案】解：观察前 4 组数据的规律可知：第一个数是 2(n 1) ；第二个是： n(n 2)；第三 个数是： (n 1)2 1 ．所以第 ⑦ 组勾股数： 16， 63，65． 故答案为： 16， 63，65．【点睛】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的1)6，8，10 2)1.5，2，2.5 3)32， 42，52(4)7，24，255)关键．变式 4-3 】探索勾股数的规律：观察下列各组数： （3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41） 可发现， 4 31， 212 5 2 1，24 72 1 请写出第 5个数组：22关键．考点 5 利用勾股定理求长度】例 5】如图，在 ABC 中， ACB 90 ，CD AB 于点 D ，AC 3cm ，BC 4cm ，求 AD ，【分析】 首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边， 再根据直角三角形的面积公式求得斜边 上的高，进一步根据勾股定理即可求得 AD 的长． 【答案】解： ACB 90 ， AC 3cm ， BC 4cm ，AB 5cm ．根据直角三角形的面积公式，得 CD AC BC 2.4cm ．AB在 Rt ACD 中， AD AC 2 CD 2 1.8cm ．点睛】 考查了勾股定理、 此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式， 直角三角 形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．变式 5-1 】在等腰 ABC 中，已知 AB AC ， BD AC 于 D ．1）若 A 48 ，求 CBD 的度数；【答案】 解：①3 2 1 1， 4 2 12 215 21 ②52 2 1， 12 2 22 2 2， 13 2 2 22 2 2 1；③7 2 3 1， 24 2 322 3， 25 2322 3 1；④9 2 4 1， 40 22422 4，41 2 422 4 1；⑤11 2 5 1， 60 2 25225， 61 2 2522 5 1，故答案为：11， 60， 61分析】点睛】 本题考查的是勾股数， 22 1 1； 先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答． 根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得 AB 的长． 【答案】解： （ 1） 在等腰 ABC 中， AB AC ， BD AC ，ABC C ， ADB 90 ， A 48 ，ABC C 66 ， ABD 42 ， CBD 24 ；（2） BD AC ，BDC 90 ， BC 15 ， BD 12， CD 9 ，设 AB x ，则 AD x 9 ，ADB 90 ， BD 12 ， 2 2 2122 （x 9）2 x 2 ，225解得， x ，18即 AB 225．18【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质， 解答本题的关键是明确题意， 题需要的条件，利用数形结合的思想解答．变式 5-2】如图，在 ABD 中， D 90 ，C 是 BD 上一点，已知 BC 9 ，AB 求 AD 的长．2）若 BC 15， BD 12，求 AB 的长．数；可以求得CBD 的度找出所求问17 ，AC 10 ，表示出 AD 2 ，列出方程，求解即可． 【答案】解：设 CD x ，则 BD BC CD 9 x ． 在 ACD 中， D 90 ，222AD 2AC 2 CD 2，在 ABD 中， D 90 ，AD2AB2BD2，AC 2 CD 2AB 2BD 2，即102x 21722(92x)2 ，解得 x 6，2 2 2AD 2102 62 64 ， AD 8 ．故 AD 的长为 8．变式 5-3】如图，在 Rt ABC 中， ABC 90 ，AB 16cm ，正方形 BCEF 的面积为 144cm 2 ，分析】根据正方形的面积公式求得 BC 12cm ．然后利用勾股定理求得 AC 20cm ；则利 用面积法来求 BD 的长度．答案】解： 正方形 BCEF 的面积为 144cm 2 ，BC 144 12cm ，ABC 90 ， AB 16cm ， AC AB 2 AC 2 20cm ． BD AC ，BC CD 9 x ，再运用勾股定理分别在 ACD 与 ABD 中点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，根据AD 的长度不变列出方程是解题的关键．S ABC1 AB BC 1 BD AC ，48BD cm ．5【点睛】本题考查了勾股定理．解答该题时，需要熟记正方形的面积公式．【考点 6 利用勾股定理作图】【例6】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．（1）请你在图 1 中画一个以格点为顶点，面积为 6 个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图 2 中画一条以格点为端点，长度为 5 的线段；分析】（1）根据三角形的面积公式画出图形即可；2 ）画出以 1 和 2 为长方形的宽和长的对角线的长即可；3）先画出边长为 5 的线段，再画出直角三角形即可．答案】解：（1）如图 1 所示；2）如图 2 所示；3）如图 3 所示．点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．变式6-1 】在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为 2 5 2 10 的 ABC ，并求它的面积．分析】 根据勾股定理在方格中作出三角形的三条边， 根据直角三角形的面积公式、 矩形的点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理作出三角形的三条边是解题的关键． 变式 6-2 】正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点，以格 点为顶点，1）在图①中，画一个面积为 10 的正方形；2）在图 ②、图 ③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．可；2）①画一个边长为 2， 2 2， 10的直角三角形即可；②画一个边长为 5 ， 5 ， 10的直角三角形即可；答案】解： ABC是一个周长为 2 5 2 10 三角形，5．分析】（ 1）根据正方形的面积为 10 可得正方形边长为 10 ，画一个边长为 10 正方形即 面积公式计算即可． 1 1311 3 4答案】解： （1）如图 ①所示：1）在图 ① 中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；2）在图②中，画一个三边长分别为 3，2 2， 5 的三角形，一共可画这样的三角形个．分析】（1）画一个边长 3，4，5 的三角形即可；2）由勾股定理容易得出结果．答案】解： （1） 32 42 5 ，ABC 即为所求， 如图 1 所示： （2）如图 2 所示： 22 22 2 2 ， 12 22 5 ，ABC ， DBC ， ， 都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形 16 个； 故答案为： 16．点睛】 此题主要考查了利用勾股定理画图， 少的直角三角形的斜边长． 变式 6-3 】如图，每个小正方形的边长都是关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶2）如图 ②③ 所示．解决问题的关键．【考点7 勾股定理的证明】【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.【例7】下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为 a ，b ，斜边为 c ， a b ．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．变式7-1 】我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定证明：S大正方形2c ，S大正方形4S S小正方形21(b2c4ab2a)2，整理，得2ab b2222ab a2c2，222c a b．答案】解：选择的是图2，4 1ab (b a)2，2故答案为：2，点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、作图应用与设计作图；熟记勾股定理是理之一．勾股定理其实有很多种证明方法． 下图是 1876 年美国总统伽菲尔德 （Garfield ） 证明勾股定理所用的图形：以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这 两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使 C 、B 、 D 三点在一条直线上．1）求证： ABE 90 ；2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明： a 2 b 2 c 2） ．2）用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【答案】解：（1）Rt ACB Rt BDE ，CAB DBE ．CABABC90 ，ABCDBE 90 ，ABE 180 90o 90o ．2）由（ 1）知 ABE 是一个等腰直角三角形，变式 7-2】如图，将Rt ABC 绕其锐角顶点 A 旋转 90 得到Rt ADE ，连接BE ，延长 DE 、BC 相交于点 F ，则有 BFE 90 ，且四边形 ACFD 是一个正方形．1）判断 ABE 的形状，并证明你的结论；2）用含 b 代数式表示四边形 ABFE 的面积； 3）求证： a 2 b 2 c 2．分析】（ 1）由全等三角形 Rt ACB Rt BDE 的判定于性质解答；SABE12c ． 2又S梯形 ACDE12(ab)2，S 梯形ACDE S ABC S BDE SABEab12c ， 2梯形的面积公式： （上底 下底） 高 2 证明勾股定理． 高 2 ，和即可得出ABE 的形状；2)利用四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，即可得出答案；3)利用四边形ABFE面积等于Rt BAE 和Rt BFE的面积之和进而证明即可．【答案】(1) ABE 是等腰直角三角形，证明：Rt ABC 绕其锐角顶点A旋转90 得到在Rt ADE ，BAC DAE ，BAE BAC CAE CAE DAE 90 ，又AB AE ，ABE是等腰直角三角形；2) 四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，四边形ABFE 的面积等于：b2．( 3) S正方形ACFD S BAE S BFE11即：b2 c2 (b a)(b a) ，22整理：2b2 c2 (b a)(b a)222 a b c ．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识，得出S正方形ACFD S BAE S BFE 是解题关键．变式7-3】ADE和ACB是两直角边为a，b ，斜边为 c 的全等的直角三角形，示摆放，其中DAB 90 ，求证：a2 b2 c2．分析】( 1)利用旋转的性质得出BAE BAC CAE CAE DAE 90 ，AB AE ，根据已知按如图所分析】 连结 DB ，过点 D 作 BC 边上的高 DF ，根据 S 四边形 ADCB S ACD S ABC S ADB S DCB即可求解．DB ，过点 D 作 BC 边上的高 DF ，则 DF EC b a ．1b 2 1ab 1c 2 1 a(b a)2 2 2 2点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理， 证明勾股定理常用的方法是利用面积证明， 本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．考点 8 勾股定理逆定理的应用】方法点拨】 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 例 8】如图， 已知在四边形 ABCD 中， AB 20cm ，BC 15cm ，CD 7cm ， AD 24cm ，ABC 90 ．1）连结 AC ，求 AC 的长；2）求 ADC 的度数；分析】（ 1）连接 AC ，利用勾股定理解答即可；2）利用勾股定理的逆定理解答即可；3）根据三角形的面积公式解答即可．答案】解： （ 1）连接 AC ，在 Rt ABC 中， ABC 90 ，答案】证明：连结S 四边形 ADCB S ACDS ABC 1b 222 1 ab ． 又又 S 四边形 ADCB S ADB S DCB 1c 2 1a b a22222由勾股定理可得： AC AB 2 BC 2 202 152 25cm ；（2） 在 ADC 中， CD 7cm ， AD 24cm ，222CD 2 AD 2 AC 2 ， ADC 90 ；（3）由（ 2）知， ADC 90 ， 1 1 2四边形 ABCD 的面积 S ABC S ACD 20 15 7 24 234（cm 2） ，22【点睛】 此题主要考查了勾股定理的逆定理， 综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关 键．【变式 8-1】如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB 12，BC 9， ABC 90 ，且 CD 39，【分析】连接 AC ，在 Rt ADC 中，已知 AB ， BC 的长，运用勾股定理可求出 AC 的长，在 ADC 中，已知三边长， 运用勾股定理逆定理， 可得此三角形为直角三角形， 故四边形 ABCD 的面积为 Rt ACD 与Rt ABC 的面积之差．【答案】解：连接 AC ，ABC 90 ， AB 12， BC 9，AC 15 ，CD 39 ， DA 36 ，2 2 2 2AC 2DA 2 152 362 1521 ， 22 CD 2 392 1521 ，ADC 为直角三角形，S 四边形 ABCD S ACD S ABC11 AC AD AB BC 2211 15 36 12 9 22270 54助线，判断出 ACD 的形状是解答此题的关键．变式 8-2】如图，在四边形 ABCD 中， ABC 90 ，AB 3，BC 4 ，DC 12，AD 13，分析】连接 AC ，然后根据勾股定理求出 AC 的长度，再根据勾股定理逆定理计算出ACD 90 ，然后根据四边形 ABCD 的面积 ABC 的面积 ACD 的面积，列式进行计算即可得解．答案】解：连接 AC ， ABC 90 ， AB 3 ， BC 4 ， ACAB2 BC 2 32 42 5 ，DC 12 ， AD 13 ，AC 2DC 2 22 52 122 25 144 169 ， AD 2 2 132 169 ，AC 2DC 2 2 AD 2， 勾股定理的逆定理及三角形的面积公式， 根据题意作出辅216．ACD 是 ACD 90 的直角三角形， 四边形 ABCD 的面积 ABC 的面积 ACD 的面积，1 AB BC 1 AC CD113 4 5 12 22键．变式 8-3】如图，四边形 ABCD 中， AB BC CD AD 4 ，1 DAB B C D 90 ，E 、F 分别是 BC 和CD 边上的点， 且CE BC ，F 为CD4AE ， AF ，EF 的长，从而可根据勾股定理 的逆定理判断出三角形的形状．EC 1， BE 3 ， F 为 CD 的中点，DF FC 2 ，DAB B C D 90 ，EF 22 12 5 ，点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，连接AC ，构造出直角三角形是解题的关答案】解： AB BC CD AD 4 ，AB 4 ， CE 1 BC ， 46 30分析】根据正方形的性质和勾股定理能求出AF 42 2220 ，AE 42 32 25 ．AE2EF2AF2．AEF 是直角三角形．【点睛】本题考查了正方形的性质，四个边相等，四个角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理．【考点9 勾股定理的实际应用】【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例9】数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多 2 米；当把绳子的下端拉开8 米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？答．【答案】解：设旗杆高xm ，则绳子长为(x 2)m ，旗杆垂直于地面，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，2 2 2由题意列式为x2 82 (x 2)2，解得x 15m，旗杆的高度为15 米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．【变式9-1 】如图，在离水面高度为8 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7 秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解【分析】在Rt ABC 中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD AB AD 可得BD 长．【答案】解：在Rt ABC 中：CAB 90 ，BC 17 米，AC 8 米，AB BC2 AC2 15（米），此人以 1 米每秒的速度收绳，7 秒后船移动到点 D 的位置，CD 17 1 7 10 （米），AD CD2 AC2100 64 6 （米），BD AB AD 15 6 9 （米），答：船向岸边移动了9 米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【变式9-2】某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km 的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使 E 点到 C 、 D 两村的距离相等，如图，DA AB于点A，CB AB 于点B ，DA 15km，CB 10km ，求土特产加工基地E 应建在距离A站多少km的地方？【分析】设AE x千米，则BE （25 x）千米，再根据勾股定理得出DA2 AE2 BE2 BC2，进而可得出结论．【答案】解：设AE x千米，则BE （25 x）千米，在Rt DAE 中，DA2AE2DE 2，在Rt EBC 中，BE2 BC2 CE2，CE DE ，2222DA2 AE2 BE2 BC2，2 2 2 215 x 10 (25 x) ，解得，x 10 千米．答：基地应建在离 A 站10 千米的地方．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．【变式9-3 】勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架 2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为 2.4m ，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端 B 向外移了多少米？ (注意：3.15 1.77)【分析】先根据勾股定理求出OB 的长，再根据梯子的长度不变求出OD 的长，根据BD OD OB 即可得出结论．【答案】解：Rt OAB 中，AB 2.6m ，AO 2.4m ，OB AB2 AO2 2 62 2 42 1m ；同理，Rt OCD 中，CD 2.6m ，OC 2.4 0.5 1.9m ，OD CD2OC22 62192 3.15 1.77m ，BD OD OB 1.77 1 0.77(m) ．答：梯子底端 B 向外移了0.77 米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【考点10 利用勾股定理解折叠问题】【例10】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC 6cm ，BC 8cm ，将纸片沿AD 折叠，直角边 AC 恰好落在斜边上，且与 AE 重合，求 BDE 的面积．分析】由勾股定理可求 AB 的长，由折叠的性质可得 AC AE 6cm ， 股定理可求 DE 的长，由三角形的面积公式可求解．【答案】解： AC 6cm ， BC 8cmAB AC 2 CB 2 10cm 将纸片沿 AD 折叠，直角边 AC 恰好落在斜边上，且与 AE 重合，AC AE 6cm ， DEB 90BE 10 6 4cm设 CD DE x ，2 2 2 则在 Rt DEB 中， 42 x 2 (8 x)2解得 x 3 ，即 DE 等于 3cm1 BDE 的面积 4 3 62答： BDE 的面积为 6cm 2勾股定理，三角形面积公式， 熟练掌握折叠的性质是本题的关键．变式 10-1】如图，把长为 12cm 的纸条 ABCD 沿 EF ， GH 同时折叠， B 、C 两点恰好落 在 AD 边的 P 点处，且 FPH 90 ， BF 3cm ，求 FH 的长．分析】由翻折不变性可知： BF PF ，CH PH ，设 FH xcm ，则 PH (9 x) cm ， 在 Rt PFH 中，根据 FH 2 PH 2 PF 2 ，构建方程即可解决问题．答案】解：由翻折不变性可知： BF PF ， CH PH ，设 FH xcm ，则 PH （9 x ） cm ，在 Rt PFH 中， FPH 90 ，FH 2 PH 2 PF 2 ，2 2 2x （9 x ） 3 ，x 5 ，DEB 90 ，由勾点睛】本题考查了翻折变换，FH 的长是 5 cm ．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式10-2】如图，把长方形ABCD沿AC折叠，AD落在AD处，AD交BC于点E，已知AB 2cm ，BC 4cm．（长方形的对边相等，四个角都为直角）（1）求证：AE EC ；（2）求EC 的长；（3）求重叠部分的面积．分析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出EAC ECA ，就可以得出AE CE ，2）设EC x，就有AE x，BE 4 x，在Rt ABE 中，由勾股定理就可以求出结论；3）根据（2）的结论直接根据三角形的面积公式就可以求出结论．答案】解：（1）四边形ABCD 是矩形，AB CD ，AD BC，B 90 ，AD / /BC ，DAC BCA ．ADC与△ AD C关于AC成轴对称ADC △ ADC ，DAC D AC ，D ACACB ，AE EC ； (2) AB 2cm ， BC 4cm ，CD 2cm ， AD 4cm ．设 EC x ，就有 AE x ， BE 4 x ，在 Rt ABE 中，由勾股定理，得22 4 (4 x)2 x 2 ，解得： x 2.5 ．答： EC 的长为 2.5cm ；答：重叠部分的面积为 2.5cm 2 ．点睛】本题考查了矩形的性质的运用， 勾股定理的运用，轴对称的性质的运用， 平行线的 性质的运用，解答时运用勾股定理求出 EC 的值是关键．变式 10-3】如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处， 点 A 落在 F 处，折痕为 MN ．1）求线段 CN 长．2）连接 FN ，并求 FN 的长．分析】（1）设 NC x ，则 DN 8 x ，由翻折的性质可知 EN DN 8 x ，在 Rt ENC 中，由勾股定理列方程求解即可；3 ) S AECS AEC2.5 2 2 2.5cm 2 ． 2。

期末复习- 《勾股定理》常考题与易错题精选（35题）一．勾股定理（共11小题）1．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）A．10B．13C．15D．262．如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示﹣1，AB＝3，AD＝1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝5，BC＝12，则S△ACD ：S△ABD为（ ）A．12：5B．12：13C．5：1 3D．13：54．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）A．B．C．4D．5．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为（ ）A．5B．7C．5或7D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（ ）A．B．3C．D．27．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°（1）若AB＝，AC＝，求BC2（2）若AB＝4，AC＝1，求AB边上高．9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求四边形ABCD 的面积．10．如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．11．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．二．勾股定理的证明（共3小题）12．如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．13．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．14．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）三．勾股定理的逆定理（共8小题）15．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）A．7，20，24B．，，C．3，4，5D．4，5，616．三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是（ ）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝8，b＝15，c＝17C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝12，b＝15，c＝1817．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．18．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．（1）求∠DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．21．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．22．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求∠ACB的度数．四．勾股数（共3小题）23．下列四组数中不是勾股数的是（ ）A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13D．8，15，1724．下列各组数中，是勾股数的为（ ）A．，2，B．8，15，17C．，D．32，42，5225．观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．五．勾股定理的应用（共10小题）26．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？27．由四条线段AB、BC、CD、DA所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m、AD＝4m、BC＝12m、AB＝13m．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？28．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．29．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？30．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？31．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？32．一架云梯长25m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7m．（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？33．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C 到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．34．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？35．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）。

勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (3)1.勾股定理： (3)2.勾股定理的逆定理： (3)3.勾股定理的证明 (3)4.含特殊角的直角三角形三边的关系 (3)5.逆命题与逆定理 (4)三、常考题型 (5)1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长 (5)2. 勾股定理在几何计算中的应用-坐标平面内两点的距离 (6)3. 勾股定理在几何计算中的应用-面积问题 (8)4.构造直角三角形 (9)5.勾股定理的逆定理的应用 (11)四、重难点题型 (14)1.利用勾股定理解计算问题 (14)2勾股数组 (15)3.与线段平方关系有关的证明题 (16)4.矩形和直角三角形中的折叠问题 (18)二、基础知识点1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2注：1）仅在直角三角形中存在勾股定理2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边两直角边的平方和，避免出现这样的错误2.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是以c为斜边的直角三角形。

注：在同一个三角形中，大边对大角，小角对小边3.勾股定理的证明方法一：方法二：4.含特殊角的直角三角形三边的关系勾股数：1）a=3，b=4，c=52）a=5，b=12，c=13特殊直角三角形①a=x，c=2x，b=√3x②a=x，b=x，c=√2x③AC=x，DC=x，AD=√2x，BD=√2x④AC=x，AF=2x，DC=√3x，BD=2x5.逆命题与逆定理命题与定理命题：判断一件事的语句定理：经过我们一定推理，得到的真命题互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反的命题。

若将其中一个叫做原命题，则另一个就是它的逆命题逆定理：若一个定理的逆命题成立，则这个定理与原定理互为逆定理三、常考题型1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长解析：应用勾股定理，在直角三角形中，“知二求一”。

第一章 勾股定理 知识归纳与题型突破（十一类题型清单）一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）二、勾股定理的逆定理a b 、c 222a b c +=01 思维导图02 知识速记1.勾股定理的逆定理　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系： 若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若时，△ABC 是锐角三角形； 若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.四、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．题型一　用勾股定理解三角形例题1．若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边长是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10巩固训练a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a b c 、、a b c <<2a b c =+272903 题型归纳2．在直角ABC V 中，∠B=90°，3AB =，4AC =，则BC 的长为（ ）A ．5BC ．5D ．53．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，2BC =，则222AC AB BC ++的值为（ ）A ．8B ．2C ．4D ．4．如图所示，已知ABC V 中，6AB =，9AC =，AD BC ^于D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于 ．题型二　勾股定理逆定理 勾股数例题5．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（ ）A ．5，12，14B ．6，8，9C ．7，24，25D ．8，13，15巩固训练6．由下列条件不能判定ABC V 为直角三角形的是（ ）A ．A C BÐ+Ð=ÐB ．13a =，14b =，15c =C ．()()2b a b a c +-=D ．5:::3:2A B C ÐÐÐ=7．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）A ．0.3，0.4，0.5B ．3，4，5C ．2，8，10D ．18．下列各组数中，是勾股数的是（ ）．A ．1，2，3BCD ．9，12，15题型三　勾股定理及其逆定理解三角形 解答题例题9．（1）如图，在ABC V 中，AD BC ^，求证：2222AB AC BD CD -=-；（2）在ABC V 中，8AB =，5AC =，BC 边上的高4AD =，求边BC 的值．巩固训练10．如图，已知等腰ABC V 的底边25cm BC =，D 是腰AB 上一点，连接CD ，且24cm 7cm CD BD ==，．(1)求证：BDC V 是直角三角形；(2)求AB 的长．11．如图，已知在ABC V 中，CD AB ^于点D ，20AC =，15BC =，9DB =，(1)求DC 、AB 的长；(2)求证：ABC V 是直角三角形．12．已知在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，9AC =，15AB =，5BD =，过点D 作DH AB ^于点H ．(1)求CD 的长；(2)求DH 的长．题型四　勾股定理逆定理拓展性质例题13．下列由三条线段a 、b 、c 构成的三角形：①2a mn =，22b m n =-，()220c m n m n =+>>，②21a n =+，2221b n n =++，()2220c n n n =+>，③3a k =，4b k =，()50c k k =>，2=，其中能构成直角三角形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个巩固训练14．以下四组代数式作为ABC V 的三边：①345n n n ，，（n 为正整数）；②12n n n ++，，（n 为正整数）；③22121n n n +-，，（2n ³，n 为正整数）；④22222m n mn m n -+，，（m n >，m ，n 为正整数）．其中能使ABC V 为直角三角形的有（ ）A ．0组B ．1组C ．2组D ．3组15．下列命题①如果a b c 、、为一组勾股数，那么444a b c 、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、7，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边a b c 、、，（ab c >=），那么222::2:1:1a b c =，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④题型五　勾股定理与数轴上的实数例题16．如图，在数轴上点A 表示的实数是（ ）A B C D 巩固训练17．如图，OA OB =，(1)写出数轴上点A 表示的数；(2)比较点A 表示的数与 1.5-的大小；(3)18．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点为B ，且点B 表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．(1)点B 表示的数为_________；得出的结论是：_________与数轴上的点是一一对应的．(2)若将图中数轴上标的A ，C ，D 3和p -对应起来，则点A 表示的实数为_________，点C 表示的实数为_________，点D 表示的实数为_________．题型六　网格问题例题19．如图，ABC V 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为（ ）A B C D ．45巩固训练20．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．21．如图所示，在44´的正方形网格中，ABC V 的顶点都在格点上，下列结论错误的是（ ）A ．60CBA Ð=°B ．5AB =C ．90ACB Ð=°D ．BC =题型七　以直角三角形三边为边长的面积问题例题22．如图，图中的三角形为直角三角形，已知正方形A 和正方形B 的面积分别为25和9，则正方形C 的面积为 ．巩固训练23．如图，1S 、2S 、3S 分别是以Rt ABC △的三边为直径所画半圆的面积，其中110S p =，26S p =，则3S = ．24．如图，五个正方形放在直线MN 上，正方形A 、C 、E 的面积依次为3、5、4，则正方形B 、D 的面积之和为（ ）A ．11B ．14C ．17D ．2025．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E 的面积是（ ）A ．11B ．47C ．26D ．3526．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和D ¢，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16题型八　求线段的平方和或差例题27．已知a ，b ，c 是ABC V 中A Ð，B Ð，C Ð的对边，下列说法正确的有（ ）个①若90C Ð=°，则2a +22b c =；②若90B Ð=°，则222a c b +=；③若90A Ð=°，则2b +22c a =；④总有2a +22b c =．A ．1B ．2C ．3D ．4巩固训练28．在Rt ABC △中，斜边2BC =，则222AB AC BC ++的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．无法计算29．如图，ABC V 中，90BAC Ð=°，点A 向上平移后到A ¢，得到A BC ¢V ．下面说法错误的是（ ）A ．ABC V 的内角和仍为180°B ．BAC BAC ¢Ð<ÐB ．C ．222AB AC BC +=D ．222A B A C BC ¢¢+<30．如图，在ABC V 中，AB AC >，AH BC ^于H ，M 为AH 上异于A 的一点，比较AB AC -与MB MC -的大小，则AB AC -（ ）MB MC -．A ．大于B ．等于C ．小于D ．大小关系不确定题型九　勾股定理的证明方法例题31．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．巩固训练32．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（）A．函数思想B．数形结合思想C．分类思想D．方程思想33．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（）A ．B ．C ．D ．34．如图，在四边形ABDE 中，AB DE ∥，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE ≌△△；②A C C E ^；③四边形ABDE 的面积是222121b ab a ++；④()2221112222a b c ab +-=´；⑤222+=a b c ．其中正确的结论个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5题型十　勾股定理的应用例题35．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，断落的木杆与地面形成45°角，则木杆原来的长度是（　）A ．8米B ．(8+米C ．16米D ．24米巩固训练36．如图，AC BC ^，一架云梯AB 长为25米，顶端A 靠在墙AC 上，此时云梯底端B 与墙角C 距离为7米，云梯滑动后停在DE 的位置上，测得AE 长为4米，则云梯底端B 在水平方向滑动的距离BD 为（ ）A ．4米B ．6米C ．8米D ．10米37．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度x （罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ）A ．1213x ≤≤B ．1215x ££C ．512x ££D ．513x ££38．如图所示，ABCD 是长方形地面，长20AB =，宽10AD =，中间整有一堵砖墙高2MN =，一只蚂蚁从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）A ．20B ．24C ．25D ．2639．某会展中心在会展期间准备将高5m 、长13m 、宽2m 的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．40．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为300米，与公路上另一停靠站B 的距离为400米，且CA CB ^，如图，为了安全起见，爆破点C 周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．41．某条道路限速80km /h ，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了2s ，小汽车到达B 处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ．(1)求BC 的长；(2)这辆小汽车超速了吗？题型十一　折叠问题例题42．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边9cm AC =，12cm BC =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合．(1)求EB 的长；(2)求CD 的长．巩固训练43．如图，在长方形ABCD 中，将长方形沿EF 折叠，使点C 的对应点与点A 重合，点D 的对应点为点G ．(1)求证：AE AF =；(2)若48AB BC ==，，求ABE V 的面积．44．如图，在ABC V 中，9068ACB AC BC Ð=°==，，．(1)如图（1），把ABC V 沿直线DE 折叠，使点A 与点B 重合，求BE 的长；(2)如图（2），把ABC V 沿直线AF 折叠，使点C 落在AB 边上G 点处，请直接写出BF 的长．45．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点P 在矩形的边CD 上由点D 向点C 运动.沿直线AP 翻折ADP D ，形成如下四种情形，设DP x =，ADP D 和矩形重叠部分（阴影）的面积为y .（1）如图4，当点P 运动到与点C 重合时，求重叠部分的面积y ；（2）如图2，当点P 运动到何处时，翻折ADP D 后，点D 恰好落在BC 边上？这时重叠部分的面积y 等于多少？46．如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF Ð=°，连接CF ．(1)请判断CF与BC的位置关系，并说明理由；=，求线段AD的长；(2)若8BC=，4CD BC(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF△沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，求线段CE的长．。

勾股定理章末重难点题型汇编【考点1 利用勾股定理求面积】【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.【例1】（2019春•鄂城区期中）在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED ∆的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( )A ．5B ．25C ．7D ．10 【答案】在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，225AD AE DE ∴=+=，四边形ABCD 是正方形，∴正方形ABCD 的面积22525AD ===，故选：B ．【变式1-1】（2019春•宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )A ．24B ．56C ．121D ．100【答案】根据勾股定理的几何意义，可知：E F G S S S =+A B C D S S S S =+++100=；即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100；故选：D ．【变式1-2】（2019春•武昌区校级期中）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以AC 、BC 为直径作半圆1S 和2S ，且122S S π+=，则AB 的长为( )A ．16B ．8C ．4D ．2【分析】根据勾股定理得到222AC BC AB +=，根据圆的面积公式计算，得到答案．【答案】解：由勾股定理得，222AC BC AB +=， 2222111()()()222228AC BC AC BC ππππ⨯+⨯=⨯+=， 解得，2216AC BC +=，则22216AB AC BC =+=，解得，4AB =，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．【变式1-3】（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若1S ，2S ，3S ，4S 和S 分别代表相应的正方形的面积，且14S =，29S =，38S =，410S =，则S 等于( )A ．25B ．31C ．32D ．40【答案】如图，由题意得：21213AB S S =+=，23418AC S S =+=，22231BC AB AC ∴=+=，231S BC ∴==．故选：B ．【考点2 判断直角三角形】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例2】（2019春•芜湖期中）在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( )A ．4a =，5b =，6c =B ．::5:12:13a b c =C ．2a =3b =，5c =D ．4a =，5b =，3c = 【答案】A 、222456+≠，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B 、设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选项不符 合题意；C 、(22)(+23)(=25)，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A ．【变式2-1】（2018春•淮南期中）a 、b 、c 为ABC ∆三边，不是直角三角形的是( )A ．::3:4:5ABC ∠∠∠=B ．54a =，1b =，34c =C ．222a c b =-D ．8a k =，17b k =，15c k =【答案】A 、::3:4:5A B C ∠∠∠=，∴设3A x ∠=，则4B x ∠=，5C x ∠=，180A B C ∠+∠+∠=︒，即345180x x x ++=︒，解得，15x =︒，55157590x ∴=⨯︒=︒<︒，故本选项错误；B 、2226810+=，222a b c ∴+=，故本选项正确；C 、222a b c =-，222a c b ∴+=，故本选项正确；D 、22281517k k k +=，222a b c ∴+=，故本选项正确．故选：A ．【变式2-2】（2018秋•金牛区校级期中）下列说法中，正确的有( )①如果0A B C ∠+∠-∠=，那么ABC ∆是直角三角形；②如果::5:12:13A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形；③如果三角形三边之比为7:10:17，则ABC ∆为直角三角形；④如果三角形三边长分别是24n -、4n 、24(2)n n +>，则ABC ∆是直角三角形；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出C ∠为90度；②不正确，因为根据三角形的内角和得不到90︒的角；③正确，设三边分别为7x ，10x ，17x ，则有2271017x +=；④正确，因为222(4)(4)(4)n n n -+=+．所以正确的有三个．故选：C ．【变式2-3】（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A 、B 、C 、D 、E 、F 、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )A ．点A 、点B 、点C B ．点A 、点D 、点G C ．点B 、点E 、点FD ．点B 、点G 、点E选：C ．【考点3 利用勾股定理求最短路径】【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.【例3】（2018秋•福田区校级期中）如图，一圆柱高BC 为20cm ，底面周长是10cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点P 处吃食，且35PC BC =，则最短路线长为( )A ．20cmB ．13cmC ．14cmD ．18cm【答案】如图展开，连接AP ，则AP 就是蚂蚁爬行的最短路线长， 则90C ∠=︒，11052AC cm cm =⨯=，20BC cm =，35PC BC =，12CP cm ∴=， 勾股得：222251213()AP AC CP cm =+=+=，即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm ，故选：B ．【变式3-1】（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm 、3dm 、2dm ．A和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为( )A ．15 dmB ．17 dmC ．20 dmD ．25 dm【答案】三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为(23)3dm +⨯，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：22228[(23)3]17x =++⨯=，解得17x =．故选：B ．【变式3-2】（2018春•凉州区期末）如图，长方体的底面边长为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B ，那么所用细线最短需要( )A ．12cmB ．11cmC ．10cmD ．9cm【答案】将长方体展开，连接A 、B '，则13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=， 根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=．故选：C ．【变式3-3】（2019秋•松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是( )A 73B ．10厘米C ．82D ．8厘米【答案】解：如图所示：最短路径为：P A '→，将圆柱展开，2222(162)(6 1.5 1.5)10PA PE EA cm ''+÷+-+，最短路程为10PA cm '=．故选：B ．【考点4 勾股数相关问题】【方法点拨】勾股数的求法：（1）如果a 为1个大于1的奇数，b ，c 是两个连续的自然数，且有a ²=b+c ，则a,b,c 为一组勾股数；（2）如果a,b,c 为一组勾股数，那么na ，nb ，nc 也是一组勾股数，其中n 为自然数.【例4】（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）23，24，25（4）7，24，25 （5345【分析】根据勾股数：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．【答案】解：因为2226810+=；22272425+=，6，8，10，7，24，25都是正整数∴勾股数有2组，故答案为2．【变式4-1】（2019春•闽侯县期中）勾股定理222a b c +=本身就是一个关于a ，b ，c 的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数(a ，b ，)c 通常叫做勾股数．如果三角形最长边2221c n n =++，其中一短边21a n =+，另一短边为b ，如果a ，b ，c 是勾股数，则b = （用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）【答案】2221c n n =++，21a n =+222b n n ∴=+故答案为：222n n +【变式4-2】（2018春•襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26⋯⋯请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．【答案】观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(1)n +；第二个是：(2)n n +；第三个数是：2(1)1n ++．所以第⑦组勾股数：16，63，65．故答案为：16，63，65【考点5 利用勾股定理求长度】【例5】（2018春•港南区期中）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC cm =，4BC cm =，求AD ，CD 的长．【答案】90ACB ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =，5AB cm ∴=．根据直角三角形的面积公式，得 2.4AC BC CD cm AB==． 在Rt ACD ∆中，22 1.8AD AC CD cm =-=．【变式5-1】（2018秋•滨湖区期中）在等腰ABC ∆中，已知AB AC =，BD AC ⊥于D ．（1）若48A ∠=︒，求CBD ∠的度数；（2）若15BC =，12BD =，求AB 的长．【答案】解：（1）在等腰ABC ∆中，AB AC =，BD AC ⊥，ABC C ∴∠=∠，90ADB ∠=︒，48A ∠=︒，66ABC C ∴∠=∠=︒，42ABD ∠=︒，24CBD ∴∠=︒；（2）BD AC ⊥，90BDC ∴∠=︒，15BC =，12BD =，9CD ∴=，设AB x =，则9AD x =-，90ADB ∠=︒，12BD =，22212(9)x x ∴+-=，解得，22518x =，即22518AB =． 【变式5-2】（2018春•兴义市期中）如图，在ABD ∆中，90D ∠=︒，C 是BD 上一点，已知9BC =，17AB =，10AC =，求AD 的长．【答案】解：设CD x =，则9BD BC CD x =+=+．在ACD ∆中，90D ∠=︒，222AD AC CD ∴=-，在ABD ∆中，90D ∠=︒，222AD AB BD ∴=-，2222AC CD AB BD ∴-=-，即22221017(9)x x -=-+，解得6x =，22210664AD ∴=-=，8AD ∴=．故AD 的长为8．【变式5-3】（2018秋•东明县期中）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，16AB cm =，正方形BCEF 的面积为2144cm ，BD AC ⊥于点D ，求BD 的长．【答案】正方形BCEF 的面积为2144cm ，14412BC cm ∴==，90ABC ∠=︒，16AB cm =，∴2220AC AB AC cm =+=．BD AC ⊥，∴1122ABC S AB BC BD AC ∆==，∴485BD cm =． 【考点6 勾股定理的证明】【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.【例6】（2019春•洛阳期中）下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，a b >．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是 图，写出你的验证过程．【答案】选择的是图2，证明：2S c =大正方形，2144()2S S S ab b a =+=⨯+-大正方形小正方形，2214()2c ab b a ∴=⨯+-，整理，得22222ab b ab a c +-+=，222c a b ∴=+．故答案为：2， 【变式6-1】（2018秋•兴化市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德()Garfield 证明勾股定理所用的图形：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C 、B 、D 三点在一条直线上．（1）求证：90ABE ∠=︒；（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：222)a b c +=．【答案】解：（1）Rt ACB Rt BDE ∆≅∆，CAB DBE ∴∠=∠．90CAB ABC ∠+∠=︒，90ABC DBE ∴∠+∠=︒，1809090o o ABE ∴∠=︒-=．（2）由（1）知ABE ∆是一个等腰直角三角形，212ABE S c ∆∴=． 又21()2ACDE S a b =+梯形，212ABC BDE ABE ACDE S S S S ab c ∆∆∆=++=+梯形， ∴2211()22a b ab c +=+，即222a b c +=． 【变式6-2】（2018秋•东台市期中）如图，将Rt ABC ∆绕其锐角顶点A 旋转90︒得到Rt ADE ∆，连接BE ，延长DE 、BC 相交于点F ，则有90BFE ∠=︒，且四边形ACFD 是一个正方形．（1）判断ABE ∆的形状，并证明你的结论；（2）用含b 代数式表示四边形ABFE 的面积；（3）求证：222a b c +=．【答案】（1）ABE ∆是等腰直角三角形，证明：Rt ABC ∆绕其锐角顶点A 旋转90︒得到在Rt ADE ∆，BAC DAE ∴∠=∠，90BAE BAC CAE CAE DAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，又AB AE =，ABE ∴∆是等腰直角三角形；（2）四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，∴四边形ABFE 的面积等于：2b ．（3）BAE BFE ACFD S S S ∆∆=+正方形即：1122()()22b c b a b a =++-，整理：222()()b c b a b a =++- 222a b c ∴+=．【变式6-3】（2019春•东光县期中）ADE ∆和ACB ∆是两直角边为a ，b ，斜边为c 的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中90DAB ∠=︒，求证：222a b c +=．【答案】证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-．21122ACD ABC ADCB S S S b ab ∆∆=+=+四边形．又()21122ADB DCB ADCB S S S c a b a ∆∆=+=+-四边形 ∴221111()2222b abc a b a +=+-222a b c ∴+=【考点7 勾股定理逆定理的应用】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例7】（2018春•宾阳县期中）如图，已知在四边形ABCD 中，20AB cm =，15BC cm =，7CD cm =，24AD cm =，90ABC ∠=︒．（1）连结AC ，求AC 的长；（2）求ADC ∠的度数；（3）求出四边形ABCD 的面积【分析】（1）连接AC ，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根据三角形的面积公式解答即可．【答案】解：（1）连接AC ，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，20AB cm =，15BC cm =∴由勾股定理可得：2222201525AC AB BC cm =+=+=；（2）在ADC ∆中，7CD cm =，24AD cm =222CD AD AC ∴+=90ADC ∴∠=︒；（3）由（2）知，90ADC ∠=︒，∴四边形ABCD 的面积2112015724234()22ABC ACD S S cm ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=， 【变式7-1】（2019春•长白县期中）如图，在四边形ABCD 中，已知12AB =，9BC =，90ABC ∠=︒，且39CD =，36DA =．求四边形ABCD 的面积．【答案】连接AC ，90ABC ∠=︒，12AB =，9BC =15AC ∴=，39CD =，36DA =222215361521AC DA +=+=，22391521CD ==， ADC ∴∆为直角三角形ACD ABC ABCD S S S ∆∆∴=-四边形1122AC AD AB BC =⨯-⨯216=． 故四边形ABCD 的面积为216．【变式7-2】（2018春•丰台区期中）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，12DC =，13AD =，求四边形ABCD 的面积．【答案】连接AC ，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，2222345AC AB BC ∴=+=+，12DC =，13AD =，222251225144169AC DC ∴+=+=+=，2213169AD ==，222AC DC AD ∴+=ACD ∴∆是90ACD ∠=︒的直角三角形，四边形ABCD 的面积ABC =∆的面积ACD +∆的面积，1122AB BC AC CD =+36=． 【变式8-3】（2019春•鄂城区期中）如图，四边形ABCD 中，4AB BC CD AD ====，90DAB B C D ∠=∠=∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 和CD 边上的点，且14CE BC =，F 为CD 的中点，问AEF ∆是什么三角形？请说明理由．【答案】4AB BC CD AD ====，4AB =，14CE BC =1EC ∴=，3BE =， F 为CD 的中点，2DF FC ∴==，90DAB B C D ∠=∠=∠=∠=︒，22215EF ∴=+=224220AF =+=224325AE =+=． 222AE EF AF ∴=+AEF ∴∆是直角三角形．【考点9 勾股定理的实际应用】【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例9】（2019春•东湖区校级期末）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【答案】解：设旗杆高xm ，则绳子长为(2)x m +，旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为2228(2)x x +=+，解得15x m =，∴旗杆的高度为15米．【变式9-1】（2019春•内黄县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【分析】在Rt ABC ∆中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD AB AD =-可得BD 长．【答案】解：在Rt ABC ∆中90CAB ∠=︒，17BC =米，8AC =米， 2215AB BC AC ∴=-=（米)此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，171710CD ∴=-⨯=（米)22100646AD CD AC ∴=-=-=（米)，1569BD AB AD ∴=-=-=（米)，答：船向岸边移动了9米．【变式9-2】（2019春•道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km 的A 、B 两站之间E 点修建一个土特产加工基地，使E 点到C 、D 两村的距离相等，如图，DA AB ⊥于点A ，CB AB⊥于点B ，15DA km =，10CB km =，求土特产加工基地E 应建在距离A 站多少km 的地方？【答案】设AE x =千米，则(25)BE x =-千米， 在Rt DAE ∆中，222DA AE DE +=，在Rt EBC ∆中，222BE BC CE +=，CE DE =，2222DA AE BE BC ∴+=+，22221510(25)x x ∴+=+-，解得，10x =千米．答：基地应建在离A 站10千米的地方．【考点10 利用勾股定理解折叠问题】【例10】（2019春•番禺区期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，求BDE ∆的面积．【答案】 6AC cm =， 2210AB AC CB cm ∴=+将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，6AC AE cm ∴==，90DEB ∠=︒1064BE cm ∴=-=设CD DE x ==，则在Rt DEB ∆中，2224(8)x x +=-解得3x =，即DE 等于3cmBDE ∴∆的面积14362=⨯⨯=答：BDE ∆的面积为26cm【变式10-1】（2018秋•建邺区期末）如图，把长为12cm 的纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，且90FPH ∠=︒，3BF cm =，求FH 的长．【答案】由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH ∆中，90FPH ∠=︒，222FH PH PF ∴=+，222(9)3x x ∴=-+，5x ∴=，FH ∴的长是5cm ．【变式10-2】（2019秋•杭州期中）如图，把长方形ABCD 沿AC 折叠，AD 落在AD '处，AD '交BC 于点E ，已知2AB cm =，4BC cm =．（长方形的对边相等，四个角都为直角）（1）求证：AE EC =；（2）求EC 的长；（3）求重叠部分的面积．【答案】解：（1）四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，AD BC =，90B ∠=︒，//AD BC DAC BCA ∴∠=∠．ADC ∆与△AD C '关于AC 成轴对称ADC ∴∆≅△AD C '，DAC D AC ∴∠=∠'，D AC ACB ∴∠'=∠，AE EC ∴=；（2）2AB cm =，4BC cm =，2CD cm ∴=，4AD cm =．设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理，得224(4)x x +-=，解得： 2.5x =．答：EC 的长为2.5cm ；（3）2AEC EC AB S ∆=，22.52 2.52AEC S cm ∆⨯==． 答：重叠部分的面积为22.5cm ．【变式10-3】（2018春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ．（1）求线段CN 长．（2）连接FN ，并求FN 的长．【答案】解：（1）设NC x =，则8DN x =-．由翻折的性质可知：8EN DN x ==-．在Rt ENC ∆中，由勾股定理可知：222EN EC NC =+，222(8)4x x -=+，解得：3x =，即3NC cm =．（2）如图所示，连接AN ．在Rt 三角形ADN 中，22228589AN AD ND =++ 由翻折的性质可知89FN AN ==。

初中数学：勾股定理全章知识点总结⼤全及重点题型基础知识点1：勾股定理　直⾓三⾓形两直⾓边a、b的平⽅和等于斜边c的平⽅。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直⾓三⾓形三边之间的关系，是直⾓三⾓形的重要性质之⼀，其主要应⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边（2）已知直⾓三⾓形的⼀边与另两边的关系，求直⾓三⾓形的另两边（3）利⽤勾股定理可以证明线段平⽅关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三⾓形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形的⼀种重要⽅法，它通过“数转化为形”来确定三⾓形的可能形状，在运⽤这⼀定理时应注意：（1）⾸先确定最⼤边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直⾓的直⾓三⾓形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝⾓的钝⾓三⾓形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐⾓三⾓形）。

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直⾓三⾓形的性质定理，⽽其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直⾓三⾓形有关。

4：互逆命题的概念 如果⼀个命题的题设和结论分别是另⼀个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中⼀个叫做原命题，那么另⼀个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明　勾股定理的证明⽅法很多，常见的是拼图的⽅法　⽤拼图的⽅法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，⾯积不会改变②根据同⼀种图形的⾯积不同的表⽰⽅法，列出等式，推导出勾股定理规律⽅法指导1．勾股定理的证明实际采⽤的是图形⾯积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直⾓三⾓形的三边的数量关系，可以⽤于解决求解直⾓三⾓形边边关系的题⽬。

3．勾股定理在应⽤时⼀定要注意弄清谁是斜边谁直⾓边，这是这个知识在应⽤过程中易犯的主要错误。

期末复习- 《勾股定理》常考题与易错题精选（35题）一．勾股定理（共11小题）1．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）A．10B．13C．15D．26【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2＝8，y2＝5，z2＝x2+y2，即最大正方形的面积为z2．【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：x2＝3+5＝8，y2＝2+3＝5，z2＝x2+y2＝13，即最大正方形E的面积为：z2＝13．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．2．如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示﹣1，AB＝3，AD＝1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）A．B．C．D．【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC＝AM，求出OM，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵AB＝3，AD＝BC＝1，∴，∴AN＝AC＝，∵点A表示﹣1，∴OA＝1，∴OM＝AM﹣OA＝﹣1，∴点M表示点数为﹣1．故选：A．【点评】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC，AM的长．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝5，BC＝12，则S△ACD ：S△ABD为（ ）A．12：5B．12：13C．5：1 3D．13：5【分析】过D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得出DF＝DC，再根据三角形的面积公式求出△ABD 和△ACD的面积，最后求出答案即可．【解答】解：过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），∴DF＝CD，设DF＝CD＝R，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，由勾股定理得：AB＝＝13，∴S△ABD ＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，∴S△ACD ：S△ABD＝（R）：（R）＝5：13，故选：C．【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DF＝CD是解此题的关键．4．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）A．B．C．4D．【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质得出OB的长，再根据勾股定理求出OC的长即可．【解答】解：在Rt△ABO中，∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝4，在Rt△BOC中，由勾股定理得，OC＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．5．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为（ ）A．5B．7C．5或7D．【分析】在Rt△ADB中，根据∠ABC＝60°，，求得BD＝6，然后分情况讨论即可求得BC的长．【解答】解：在Rt△ADB中，∠ABC＝60°，，∴，如图，当点C在点D右边时，BC＝BD+DC＝6+1＝7；如图，当点C在点D左边时，BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，故BC的长为：5或7．故选：C．【点评】本题考查解直角三角形以及分类讨论，解题关键是正确画出分类讨论的三角形图形求解．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（ ）A．B．3C．D．2【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵，∴，解得CD＝2.4，故选：C．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．7．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．【分析】（1）利用勾股定理计算c＝；（2）利用勾股定理计算b＝．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c＝＝＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：b＝＝＝5．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°（1）若AB＝，AC＝，求BC2（2）若AB＝4，AC＝1，求AB边上高．【分析】（1）根据勾股定理可求BC 2；（2）由勾股定理求出BC ，根据三角形面积公式即可得出结果．【解答】解：（1）Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝，AC ＝，则BC 2＝AB 2﹣AC 2＝（+1）2﹣（﹣1）2＝4；（2）BC ＝＝，AB 边上高＝×1÷2×2÷4＝．【点评】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．9．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∠BCA ＝60°，AC ＝2，DA ＝1，CD ＝3．求四边形ABCD的面积．【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，再根据勾股定理逆定理判断△ACD 是直角三角形，然后把四边形ABCD 的面积分割成两个直角三角形的面积和即可求解．【解答】解：∵∠B ＝90°，∠BCA ＝60°，AC ＝2，∴BC ＝，∴AB ＝＝＝，又∵DA ＝1，CD ＝3，AC ＝2，∴DA 2+AC 2＝12+（2）2＝1+8＝9＝CD 2，∴△ACD 是直角三角形，∴四边形ABCD 的面积＝S △ACD +S △ABC ＝AD •AC +AB •BC ＝×1×2+××＝+．【点评】本题考查勾股定理，关键是对勾股定里的掌握和运用．10．如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD 的周长和面积．【分析】利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的长，即可求出四边形ABCD的周长；利用割补法即可求出四边形的面积．【解答】解：根据勾股定理得AB＝＝2，BC＝＝3，CD＝＝，AD＝＝2，故四边形ABCD的周长为；2+3++2＝5++2；四边形ABCD的面积为6×8﹣×2×4﹣×6×3﹣1﹣×3×2﹣×2×6＝26．【点评】本题主要考查了勾股定理以及三角形的面积公式，掌握勾股定理是解决问题的关键．11．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．【分析】（1）根据三角形的面积公式计算，求出AB；（2）根据勾股定理的逆定理求出∠C＝90°，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵△ABE的面积为35，DE＝7，∴AB×7＝35，解得：AB＝10；（2）在△ABC中，AB2＝102＝100，AC2+BC2＝62+82＝100，则AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝90°，＝AC•BC＝×6×8＝24，∴S△ABC答：△ACB的面积24．【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，根据勾股定理的逆定理求出∠C＝90°是解题的关键．二．勾股定理的证明（共3小题）12．如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；（2）①根据AAS可以证明结论成立；②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S梯形ADEB ＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化简，得：a2+b2＝c2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab+（a2+b2）＝ab+c2，即可证得a2+b2＝c2；【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论．【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S ＝（a +b ）（b +a ）＝ab +（a 2+b 2），利用分割法，梯形的面积为S ＝S △ABC +S △ABE +S ADE ＝ab +c 2+ab ＝ab +c 2，∴ab +（a 2+b 2）＝ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2；【定理应用】∵a 2c 2+a 2b 2＝a 2（c 2+b 2），c 4﹣b 4＝（c 2+b 2）（c 2﹣b 2）＝（c 2+b 2）a 2，∴a 2c 2+a 2b 2＝c 4﹣b 4．【点评】本题主要考查勾股定理的验证，解题关键是利用面积相等建立等量关系，判定勾股定理成立．14．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD 和AC 都可以分割四边形ABCD ）【分析】连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，根据S 四边形ADCB ＝S △ACD +S △ABC ＝S △ADB +S △DCB 即可求解．【解答】证明：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF ＝EC ＝b ﹣a ．∵S 四边形ADCB ＝S △ACD +S △ABC ＝b 2+ab ．又∵S 四边形ADCB ＝S △ADB +S △DCB ＝c 2+a （b ﹣a ）∴b 2+ab ＝c 2+a （b ﹣a ）∴a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．三．勾股定理的逆定理（共8小题）15．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）A．7，20，24B．，，C．3，4，5D．4，5，6【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【解答】解：A、72+202≠242，故不是直角三角形，不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不符合题意；C、32+42＝52，故是直角三角形，符合题意；D、42+52≠62，故不是直角三角形，不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．16．三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是（ ）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝8，b＝15，c＝17C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝12，b＝15，c＝18【分析】根据勾股定理的逆定理解决此题．【解答】解：A．根据勾股定理的逆定理，由32+42＝52，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故A不符合题意．B．根据勾股定理的逆定理，由82+152＝172，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故B不符合题意．C．根据勾股定理的逆定理，由52+122＝132，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故C不符合题意．D．根据勾股定理的逆定理，由122+152≠182，即a2+b2≠c2，那么这个三角形不是直角三角形，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．17．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接AC ，根据勾股定理可知AC 2＝BA 2+BC 2，再根据AC 2＝DA 2+DC 2即可得出结论；（2）根据S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC 即可得出结论．【解答】（1）解：∠D 是直角．理由：连接AC ，∵∠B ＝90°，∴AC 2＝BA 2+BC 2＝400+225＝625，∵DA 2+CD 2＝242+72＝625，∴AC 2＝DA 2+DC 2，∴△ADC 是直角三角形，即∠D 是直角；（2）解：∵S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ，∴S 四边形ABCD ＝AB •BC +AD •CD ，＝，＝234．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形．18．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB ＝3m ，AD ＝4m ，CD ＝12m ，BC ＝13m ，又已知∠A ＝90°．求这块土地的面积．【分析】先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．【解答】解：连接BD，∵∠A＝90°，∴BD2＝AD2+AB2＝25，则BD2+CD2＝132＝BC2，因此∠CDB＝90°，S四边形ABCD ＝S△ADB+S△CBD＝36（平方米），答：这块土地的面积为36平方米．【点评】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解答此题的关键．19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．（1）求∠DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，∠BAC＝∠ACB＝45°，然后利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，从而可得∠DAC＝90°，最后进行计算即可解答；（2）根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答．【解答】解：（1）连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝＝2，∠BAC＝∠ACB＝45°，∵CD＝3，DA＝1，∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，∴∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，∴∠DAB的度数为135°；（2）由题意得：四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积＝AB•BC+AD•AC＝×2×2+×1×2＝2+，∴四边形ABCD的面积为2+．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【分析】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可求解；（2）根据中点的定义和勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3，∴AC＝6，BC＝8，∵AB＝10，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°；（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，∴AC2+CD2＝AD2，BC2+CE2＝BE2，∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，∴CD＝BC，CE＝AC，∴AC2+（BC）2＝36，BC2+（AC）2＝64，∴AC2+BC2＝100，∴AC2+BC2＝80，∴AB＝＝4．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】依据AD为BC边上的高，依据勾股定理即可得到Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2＝36，Rt△ACD 中，AC2＝AD2+CD2＝45，再根据AB2+AC2＝BC2，即可得到△ABC是直角三角形．【解答】解：△ABC是直角三角形．理由：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2＝20+16＝36，Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2＝20+25＝45，又∵BC2＝81，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．22．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求∠ACB的度数．【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长．（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出∠ABC＝90°．【解答】解：（1）AB＝＝5，BC＝＝2，AC＝＝，∴△ABC的周长＝2++5＝3+5；（2）∵AC2＝（）2＝5，AB2＝52＝25，BC2＝（2）2＝20，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，AB是斜边，∴∠ACB＝90°．【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．四．勾股数（共3小题）23．下列四组数中不是勾股数的是（ ）A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13D．8，15，17【分析】求是否为勾股数，这里给出三个数，利用勾股定理，只要验证两小数的平方和等于最大数的平方即可．【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数的一组；B、22+32≠42，不是勾股数的一组；C、52+122＝132，是勾股数的一组；D、82+152＝172，是勾股数的一组．故选：B．【点评】考查了勾股数，理解勾股数的定义，并能够熟练运用．24．下列各组数中，是勾股数的为（ ）A．，2，B．8，15，17C．，D．32，42，52【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、不满足三个数都是正整数，故A选项不符合题意；B、三个数都是正整数且82+152＝172，故B选项符合题意；C、不满足三个数都是正整数，故C选项不符合题意；D、三个数都是正整数但（32）2+（42）2≠（52）2，故D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可．25．观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．【分析】（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2，得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121，然后求得b和c的值即可；（2）利用勾股数的定义进行判定即可．【解答】解：（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2，得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121．解得b＝60，c＝b+1＝6；（2）是勾股数，理由如下：2212﹣2202＝（221+220）（221﹣220）＝441，212＝441，∴2212﹣2202＝212，∴21，220，221是勾股数．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．五．勾股定理的应用（共10小题）26．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？【分析】（1）直接利用勾股定理AC，再用勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，进而得出答案；（2）利用（1）中所求得出所需费用．【解答】解：（1）连接AC∵∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，∴，∵CD＝24m，AD＝26m，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝＝＝144（m 2）；即空地ABCD 的面积为144m 2．（2）144×350＝50400元，即总共需投入50400元．【点评】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，将四边形化为三角形后，正确用勾股定理及其逆定理是解题关键．27．由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC ＝90°，CD ＝3m 、AD ＝4m 、BC ＝12m 、AB ＝13m ．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？【分析】如图，连接AC ，运用勾股定理求出AC ，在△ABC 中利用勾股定理逆定理证明得∠ACB ＝90°，最后根据S ABCD ＝S △ABC ﹣S △ACD 求出草坪面积从而求出费用．【解答】解：如图，连接AC ，∵∠ADC ＝90°，∴，在△ABC 中，∵AC 2+BC 2＝52+122＝169，AB 2＝132＝169，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴，200×24＝4800（元）．答：若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需4800元．【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的实际应用；掌握勾股定理求边长和逆定理证垂直是解题的关键．28．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB 的长即可．【解答】解：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，BC＝8米，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，∴攀岩墙AB的高为15米．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形．29．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？【分析】先根据方位角求出∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，然后根据勾股定理求出，最后根据速度公式算出速度即可．【解答】解：根据题意可知：∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，AC＝16×0.5＝8（海里），在Rt△ABC中（海里），乙船的航速是：（海里/时），答：乙船的航速是30海里/时．【点评】本题主要考查了方位角，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出AB的长度．30．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，所以，CD＝15（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝15+1.5＝16.5（米），答：风筝的高度CE为16.5米；（2）由题意得，CM＝9，∴DM＝6，∴BM＝＝＝10（米），∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米），∴他应该往回收线7米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．31．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出飞机影响C持续的时间，即可做出判断．【解答】解：（1）着火点C受洒水影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，＝AC•BC＝CD•AB，∴S△ABC∴600×800＝1000CD，∴CD＝480，∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，∴着火点C受洒水影响；（2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），∴EF＝280m，∵飞机的速度为10m/s，∴280÷10＝28（秒），∵28秒＞13秒，∴着火点C能被扑灭，答：着火点C能被扑灭．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．32．一架云梯长25m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7m．（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度，此题得解；（2）在Rt△DBE中，利用勾股定理可求出BE的长度，用其减去BC的长度即可得出结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25m，BC＝7m，∴AB＝＝24（m）．答：这个梯子的顶端A距地面24m．（2）在Rt△DBE中，BD＝24﹣4＝20m，DE＝25m，∴BE＝＝15（m），∴CE＝BE﹣BC＝15﹣7＝8（m）．答：如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了8m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出AB；（2）利用勾股定理求出BE．33．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C 到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，答：原来的路线AC的长为1.25千米．【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．34．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长．【解答】解：过点A作AC⊥BD，垂足为C，由题意可知：AE＝CD＝3米，AC＝9米，AB＝15米；在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，即，BC2+92＝152，BC2＝152﹣92＝144，∴BC＝12（米），∴BD＝BC+CD＝12+3＝15（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面15米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练记忆勾股定理公式是解题关键．35．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝15（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10（米），∴AD＝＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．。