LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2012届本科毕业论文正定矩阵的性质及推广院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名李俊霞学号080414076指导教师黄盛讲师完成时间2012.5正定矩阵的性质及推广李俊霞数学科学学院 数学与应用数学专业 学号： 080414076指导教师：黄盛摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质. 其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用. 最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明.关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵1 关于正定矩阵的定义本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为定义[]11 n 阶实对称矩阵A 称为正定的，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯ ,都有0T X AX >.这种正定矩阵的全体记作S P .1970年，Johnson R C ..首先提出了较广义的正定矩阵的定义，即定义[]22 设A ∈n n R ⨯，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯ ，都有0T X AX >,则称A 为正定矩阵,这种正定矩阵的全体记作l P .1984年，佟文廷把这种矩阵推广为定义[]33 设A ∈n n R ⨯，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯,都有正对角矩阵D =X D ，使得0T X X D AX >，则称A 为广义的正定矩阵，记为A ∈X D P ，若X D 与X 无关，则记为A ∈D P .1988年，夏长富对这种正定矩阵作进一步推广如下定义[]44 设A ∈n n R ⨯，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯,都存在S =X S ∈S P ,使得T X AX S X 0>,称A 为广义正定矩阵，这种广义正定矩阵的集合记为xS P +，若X S 与X无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作+S P .2 正定矩阵的判定定理定理[]1,5,122.1 设A 是n 阶实对称矩阵，则下列命题等价 )1 A ∈S P ；2) 对∀0≠=X ()12n ,, ... ,x Tx x ∈n 1R ⨯，都有0T X AX >； 3) A 的正惯性指数为n ，负惯性指数为0； 4) A 的各阶顺序主子式都大于0；5) 存在n 阶可逆矩阵P ，使T P AP E =()n E 为阶单位阵； 6) 存在n 阶可逆矩阵Q ，使A =Q Q T ； 7) A 的各阶主子式都大于0； )8 存在正定矩阵Q ，使2A Q =； 9) 所有与A 合同的矩阵是正定矩阵； 10) A 的特征值都大于0； 11) A 半正定且0A ≠；12) 设1223TA A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 和13212T A A A A --是正定矩阵. 13) 存在对角元素全大于零的上()下三角矩阵T ，使T A T T =. 证明 )1等价于8)因为A 是实对称矩阵，所以A 可对角化，即存在正交矩阵P ，使{}112,,,n P AP diag λλλ-=，其中()1,2,,i i n λ=是A 的特征值，i λ>0，所以{}{}{}2112111212,,,,,,n nn A PdiagPPdiag P Pdiag P λλλλλλλλλ---= =令Q =P {}12,,n diagλλλ1P -,则Q 是正定矩阵且A =2Q .反之，因为Q 是正定矩阵，所以2Q 是正定矩阵，即A 是正定矩阵. )1等价于9)设T B AB 是与A 合同的矩阵，A 正定，下证T B AB 正定，对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯，作非退化线性替换Y BX =，则()T T X B AB X T Y AY =，因为A 是正定矩阵，所以0T Y AY >，即()T T X B AB X 0>，所以T B AB 是正定矩阵.反之，令T C B AB =是正定矩阵，则()()1111TTA B C B BC B ----==，因为C 是正定矩阵，A 与C 合同，由上面的证明可知，A 是正定矩阵. )1等价于12)1223TA A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是正定矩阵等价于TP AP 是正定矩阵， 1120E A A P E -⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦,1132120T T A P A P A A A A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，等价于1A 和13212T A A A A --是正定矩阵.要证)1等价于13)，需先证明一个引理.引理1.2 设A 为一个n 级实矩阵，且0A ≠，则A 可以分解成A QT =，其中Q 是正交矩阵，T 是一上三角矩阵. 证明 设()12,,,n A ααα=，其中()1,2,,i i n α=是A 的列向量，因为0A ≠，所以12,,,n ααα线性无关，可作为n 维线性空间的一组基，将其化为标准正交基，令11βα=，()()2122111,,αββαβββ=-⨯，()()()()323133212211,,,,αβαββαββββββ=-⨯-⨯，则()12,,,n ααα=()12,,,n βββ()()()()()()2111111222,,1,,,01,01n n αβαβββββαβββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，将1β，2β，,n β标准化，令()1111,βηββ=，()2222,βηββ=，(),nn n n βηββ=，则()12,,,n ααα()()()()()()()()()()2111111112122222,,,,,,,,,0,,0,n n n n n αβαβββββββαβηηηββββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 12,,,n ηηη是一组标准正交基，令()12,,,n Q ηηη=，()()()()()()()()()21111111122222,,,,,,0,,0,n n n n T αβαβββββββαβββββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则Q 是正交矩阵，T 是一上三角矩阵，且对角元素大于零. 下面证明)1等价于13)A 是正定矩阵等价于存在可逆矩阵P ，使()TTA P P QT QT ==()2.1由引理可知T T T T Q QT T T ==，T 是上三角矩阵且对角元素大于0，同样的方法可证明下三角矩阵的情况. 其余等价命题参考文献[]1.3 正定矩阵的性质性质1.3 若A 是正定矩阵，则T A 、1-A 、*A 、aA ()0>a 也是正定矩阵. 证明 因为A 是正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵Q ，使A =T Q Q ，则()TT T T T A QQ Q Q ==所以T A 是正定矩阵.另外，A 的特征值i λ()1,2,,i n =都大于0，所以1i λ-都大于0，即1-A 的特征值都大于0，所以1-A 也是正定矩阵.对于任意的()12n X ,, 0x x x =≠，T T X aAX aX AX =>0，所以aA 是正定矩阵. 因为*A =A 1-A ，所以*A 是正定矩阵.性质[]62.3 设A ，B 是n 阶正定实对称矩阵，且满足AB BA =,则AB 也是正定实对称矩阵.证明 因为()TT T AB B A BA AB ===，所以AB 是实对称矩阵，设λ是AB 的一个特征值，ξ是对应于λ的特征向量，则AB ξλξ=,1ξλξ-=B A ，1T T B A ξξλξξ-=，因为A ,B 是正定矩阵，所以ξξ>0T B ，10ξξ->T A ，所以λ>0，即AB 的特征值都大于0，所以AB 也是正定实对称矩阵.由性质2.3的证明过程可知，正定矩阵乘积的特征值大于0. 性质3.3 若A 、B 都是正定矩阵，则+A B 是正定矩阵. 证明 显然+A B 是实对称矩阵，对于任意的()12n X ,, ... ,0Tx x x =≠，有()T TT X A BX XA X X BX +=+>0， 所以+A B 是正定矩阵.推论1.3 若A 、B 都是正定矩阵，则aA bB +()0a b >>，0是正定矩阵. 性质[]74.3 若A 、B 都是正定矩阵，则A B A B +≤+.证明 因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵P ,使得T P AP E = ，显然T P BP 是对称矩阵，则T P BP 可对角化，所以存在正交矩阵Q ,使()T T Q P BP Q =100n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为()T T Q P BP Q 是正定矩阵，所以i λ>0()i=12,n ，，，令S PQ =，则T S AS E =T S BS =1n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()T S A B S +==11001n λλ+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦分别对上式两边求行列式得，21SA =，212n SB λλλ=，()()()212n +111SA B λλλ=+++12n +1λλλ≥，所以222++SA SB S A B ≤，因为2S >0，所以A B A B +≤+.此性质说明了对任意一个正定矩阵A 和一个实对称矩阵B (B 不一定是正定的),存在可逆矩阵T ，使T T AT 和T T BT 都为对角矩阵.性质5.3 A 为n 阶正定矩阵，则A 的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上. 证明 因为A 正定，从而A 的一切二阶主子式都大于0，当i j ≠时2i i i ji i j j i j ijj ja a a a a a a=->0. 移项后，开方即得，ij a <()12ii jj a a (),,1,2,,i j i j n ≠=，设A 的主对角元上最大元素为kk a ，再由上式，得，ij a <()12ii jj a a ≤()122kka =kk a ()i j ≠，此即证ij a ≤kk a (),1,2,,i j n =.即A 的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上. 性质[]66.3 A 为n 阶正定矩阵，则1122nn A a a a ≤，其中ii a ()1,2,,i n =为A 的主对角元素.证明 设1Tnn A A a αα⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中1A 为A 的n -1阶顺序主子式， ()121,,,,Tn n n na a a α-= 因为A 正定，所以1A 正定，11A -存在，于是11111110101n n TT nn A E E A a A αααα----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=11100T nn A a A αα-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 两边取行列式得，A =1A ()11T nn a A αα--，因为1A 正定，所以11A -正定，所以11T A αα-0≥，1A 0>.所以A ≤1A nn a ，同理1A ≤2A 1,1n n a --，这样继续下去，可得A ≤1A nn a ≤2A 1,1n n nn a a --≤1122nn a a a ≤.性质7.3 若A 是正定矩阵，则()k A k 是正整数也是正定矩阵.证明 因为A 是正定矩阵，所以A 的特征值()1,2,,0i i n λ=>，那么()1,2,,0k i i n λ=>， 即k A 的特征值都大于0，所以()k A k 是正整数是正定矩阵.4 正定矩阵的应用[]94.1 证明不等式实对称矩阵A 称为正定矩阵，是指如果实二次型T X AX 正定，()12,,,=Tn X x x x ，而二次型T X AX 正定是指对任意()000012,,,Tn X x x x =0≠ ，恒有00T X AX >0，所以可用实对称矩阵中的正定矩阵来证明不等式.例 求证44+xy xz <222564x y z ++()x y z 、、为不全为零的实数. 证明 设二次型f (),,x y z =222564x y z ---+44+xy xz ，则f 的矩阵A =522260204-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， A 的各阶顺序主子式11a =-50<，5226-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=26>0，522260204-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=-800< 所以A 是负定矩阵，则f 0<，即44+xy xz <222564x y z ++.2.4 求函数的极值定义[]81.2.4 假定(),f x y 具有二阶连续偏导数，并记()()()()()000000xxxy xx xy f yxyy yx yy P f f f P f P H P f f f P f P ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 它称为f 在0P 的黑赛()Hesse 矩阵.定理[]81.2.4 设二元函数f 在点()000,P x y 的某邻域()0P 内具有二阶连续偏导数，且0P 是f 的稳定点.则当()0f H P 是正定矩阵时，f 在0P 取得极小值；当()0f H P 是负定矩阵时，f 在0P 取得极大值；当()0f H P 是不定矩阵时，f 在0P 不取极值.例 求函数()22,2f x y x xy y x y =-+-+的极值点. 解 由方程组220210x yf x y f x y =--=⎧⎪⎨=-++=⎪⎩得f 的稳定点为()01,0P ，()0xx f P =2，()01xy f P =-，()01yx f P =-，()02yy f P =，那么()()()()()000002112xx xy f yx yy f P f P H P f P f P ⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， 是正定矩阵，所以()01,0P 是f 的极小值点，()1,01f =-. 多元函数的情形： 定义2.2.4 假设()12,,,n f x x x 具有二阶连续偏导数，并记()()()()()()()()()()1112121222120000000000n n n n n n x x x x x x x x x x x x f x x x x x x f P f P f P f P f P f P H P f P f P f P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，它称为f 在0P 的黑赛()Hesse 矩阵.定理2.2.4 设多元函数()12,,,n f x x x 在点()000012,,,n P x x x 的某邻域()0P 内具有二阶连续偏导数，且0P 是f 的稳定点()00f P 在点的一阶偏导数全为. 则当()0f H P 是正定矩阵时，f 在0P 取得极小值；当()0f H P 是负定矩阵时，f 在0P 取得极大值；当()0f H P 是不定矩阵时，f 在0P 不取极值.例 求函数()321232231321212,,x x x x x x x x x f ++++=的极值.解 由方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂02201220123331222211x x fx x x fx x x f得f 的稳定点为()1,0,01-=A ，()1,144,242--=A ，又f 的二阶偏导数为12126x x f=∂∂，12212=∂∂x x f ，2222=∂∂x f ，0322=∂∂x x f ，2232=∂∂x f ，0312=∂∂x x f. 所以()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200021201201A H f ， 其顺序主子式分别为0，0144212120<-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，028820002120120<-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡，所以()1A H f 是不定矩阵，f 在1A 点处不取极值.()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20002120121442A H f ， 其顺序主子式分别为0144>，014421212144>=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，02882000212012144>=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡，所以()2A H f 是正定矩阵，由定理2.2.4可知，f 在2A 点处取极小值，极小值为()69131,144,24-=--f .3.4 多项式因式分解定理[]91.3.4 一个实二次型可以分解为两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2且符号差为0，或秩等于1.该定理为利用二次型进行二次多项式因式分解提供了理论依据，同时给出了判断能否分解的方法，并且可以很快得到分解式.例 试判断下列多项式在R 上能否进行因式分解，若能，分解之.()1 ()22121221,2231f x x x x x x =++++ ()2 ()221212212,3241f x x x x x x x =--+-+解 ()1 令()2221231223133,,223g x x x x x x x x x x =++++，则()12,f x x =()12,,1g x x ，只需考虑()123,,g x x x 的秩和符号差，g 所对应的矩阵为31020213112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0≠，所以()123,,g x x x 的秩为3，故()123,,g x x x 不能分解,所以()12,f x x 不能分解.()2 令()2221231223123,,324g x x x x x x x x x x =--+-+，则()12,f x x =()12,,1g x x ，只需考虑()123,,g x x x 的秩和符号差，作非退化线性替换112223332y x x y x x y x=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩即11222333=2+2=x y y yx y y x y-⎧⎪-⎨⎪=⎩得，()123,,g x x x =2221y y -, 其秩为2，符号差为0，所以能因式分解，()12,f x x =()12,,1g x x =2221y y -=()()2121y y y y +-=()()1212131x x x x --+++. []14.4 最小二乘法问题最小二乘法问题：线性方程组1111221211222221122000s s s s n n ns s n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨⎪⎪+++-=⎩可能无解. 即任何一组数s x x x ,,,21 都可能使()211221ni i is s i i ax a x a x b =+++-∑不等于零. 我们设法找00012,,,s x x x 使其最小，这样的00012,,,s x x x 称为方程组的最小二乘解. 这种问题就叫做最小二乘法问题.定理1.4.4 令111212122212s s n n ns a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12s x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则方程组的最小二乘解满足()0T A B AX -=，或T T A AX A B =.[]95.4 判断二次曲线的形状可通过非退化线性替换将二次型化为标准型，从而判断二次曲线的形状. 例 判断二次曲线0222422=-+-+x xy y x 的形状.解 设()=y x f ,222422-+-+x xy y x ，令()z xz xy y x z y x g 2224,,22-+-+=，则()()1,,,y x g y x f =，对()z y x g ,,作非退化线性替换，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=zz z y y zy x x 1113 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=111111334z z z y y z y x x 则()2121213103,,z y x z y x g -+=， 从而()()1,,,y x g y x f =031032121=-+=y x ， 即11091032121=+y x ， 所以曲线0222422=-+-+x xy y x 表示椭圆.6.4 在112=∑=ni i x 的条件下求二次型()j i n i nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121,,, 的最值.定理1.6.4 设n 元二次型()j i n i n j ij n x x a x x x f ∑∑===1121,,, ，则f 在条件112=∑=ni i x 下的最大()小值恰为矩阵A 的最大()小特征值，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211. 证明 令()Tn x x x X ,,,21 =,则()AX X x x x f T n =,,,21 ,作非退化线性替TY X =,其中T 是由A 的特征向量正交化得到的矩阵，故有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n T AT T λλλ 21， 其中()n i i ,,2,1 =λ是A 的特征值. 所以()∑==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡===n i i i n T T T T n y Y Y ATY T Y AX X x x x f 122121,,λλλλ记M λ是()n i i ,,2,1 =λ中的最大值，m λ是()n i i ,,2,1 =λ中的最小值，又()()111112=====---=∑X X X TT X X T X T Y Y y T TT Tni T i ,所以()M n m x x x f λλ≤≤,,,21 ，即f 在条件112=∑=ni i x 下的最大()小值恰为矩阵A 的最大()小特征值.例 已知实数y x ,满足122=+y x ，求()xy y x y x f 22,22-+=的最大值和最小值. 解 f 的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111A ， ()()01212111=---=----=-λλλλλA E ， 解得A 的特征值为2531+=λ，2532-=λ，由定理1.6.4得，()y x f ,的最大值为253+，最小值为253-. 5 正定矩阵的推广定义[]25 设A ∈n n R ⨯，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯, 都存在=X S S l P ∈,使得T X AX S X >0,则称A 为更广义正定矩阵，这种更广义正定矩阵的集合记为xL P +，若X S 与X 无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作+L P .定义[]26 设A ∈n n R ⨯，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯，都存在X B B =D P ∈,使得T X X B AX >0，则称A 为更广义正定矩阵，这种更广义正定矩阵的集合记为XD P +，若X B 与X 无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作D P +. 各种定义有如下关系：S l D S L D P P P P P P +++⊆⊆⊆⊆⊆ 证明 ()1 显然S l P P ⊆；()2 对∀l A P ∈，有0T X AX>，即0T X EAX >，E 为n 阶单位矩阵，当然是正对角矩阵，所以D A P ∈，所以l D P P ⊆；()3 对∀D A P ∈，存在正对角矩阵D ，使0T X DAX >，显然S D P ∈，所以SA P +∈，所以D S P P +⊆；()4 对∀SA P +∈，存在S ∈S P ,使得0T X SAX >，当然l S P ∈，所以L A P +∈，所以 S L P P ++⊆；()5 对∀L A P +∈，存在S ∈l P ,使得0T X SAX >，因为l D P P ⊆，所以D S P ∈，所以D A P +∈，所以L D P P ++⊆.6 广义正定矩阵的一些性质定理1.6 若∈D A P ，则A >0.证明 因为D A P ∈，则存在正对角矩阵D ，使T X DAX >0，所以DA l P ∈，所以DA >0，因为D >0，所以A >0.定理6.2 S A P +∈、L A P +∈、D A P +∈都有A >0. 其证明方法都类似于定理1.6，在这里就不再一一写出. 定理[]113.6 S S A P B P +∈∃∈等价于，∈l C P ，使或==A BC A CB . 证明 必要性因为S A P +∈,所以S D P ∃∈,使T X DAX 0>则l DA P ∈，1S D P -∈,令C =DA ,B =1D -,所以A =1D -DA =BC SB P ∈，lC P ∈，或者，将0>DAX X T 改写为()()1TDX AD DX ->0,令C =1AD -∈l P ,B =D ∈S P ,所以A =1AD -D =CB .充分性不妨设∃S B P ∈,l C P ∈，使A B C =，则C =1B A -，因为l C P ∈,所以对∀1n X R⨯∈0≠， 有T X CX >0,即1T X B AX ->0,因为1B -S P ∈,所以S A P +∈.定理3.6说明，对称正定矩阵和实正定矩阵之积为广义实正定矩阵，这也可作为广义正定矩阵的定义和判定定理.定理[]104.6 设A ∈S P +,则存在正交矩阵Q ，使得T D Q AQ P ∈.证明 因为A ∈S P +，所以存在S S P ∈, 使得l SA P ∈，因为S S P ∈，所以存在正交矩阵Q ，使T Q SQ 为正对角矩阵，又T Q S A Q =T SQ T Q AQ ，因为T Q SAQ l P ∈，所以对∀1n X R ⨯∈0≠，有T T X Q SAQX >0,即()()T T T X Q SQ Q AQ X >0,因为T Q SQ 为正对角矩阵，所以T D Q AQ P ∈.7 结束语通过本文的写作，使我对正定矩阵有了更加深入的认识，并且利用正定矩阵解决了代数中的一些问题. 在此基础上，将正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵.8 致谢本论文在选题及写作过程中得到黄盛老师的悉心指导，黄老师多次询问写作进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励. 黄老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，深深地感染和激励着我. 正是由于他在百忙之中多次审阅全文，对细节进行修改，并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见，本文才得以成型. 在此对黄老师表示由衷的感谢！同时，也感谢大学里各位老师的教导以及班级同学的帮助和支持！参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 第三版. 北京：高等教育出版社，2003: 162-226.[2]戴泽俭，凌灯荣，夏徐林. 关于正定矩阵的进一步推广[J]. 安庆师范学院学报，2006,12（2）：23-24.[3]佟文廷. 广义正定矩阵[J]. 数学学报, 1984(27): 810-810.[4]夏长富．钜阵正定性的进一步推广[J]．数学研究与评论, 1988, 8(4)：499-504.[5]吴亚敏. 正定矩阵的性质[J]. 数学学习与研究, 2011: 110-111.[6]钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 第二版. 北京：中央民族大学出版社，2010:112-224.[7]岳贵鑫. 正定矩阵及其应用[J]. 辽宁省交通高等专科学校学报,2008,10(5):30-33.[8]华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 第三版. 北京：高等教育出版社, 2008:136-139.[9]薛蓉华. 二次型性质的若干应用[J]. 福建工程学院学报, 2011, 9(3): 273-275.[10]何春羚. 关于广义正定矩阵性质的讨论[J]. 重庆文理学院学报，2007, 26(4): 15-17.[11]沈光星. 广义正定矩阵及其性质[J]. 高等学校计算数学学报, 2002（2）：186-192.[12]史秀英. 正定矩阵的等价命题及其应用[J]. 赤峰教育学院学报, 2000, 2: 44-46.The Properties of Positive Definite Matrix and PromotionLI Jun-xiaCollege of Mathematics Science No：080414076Tutor: HUANG ShengAbstract:Positive definite matrices is a kind of more important and widespread matrix, as a kind of special matrix, of course, there are many different properties with other matrix, this paper gives some properties of positive definite matrix. Secondly, given the positive definite matrix inequalities in proof, let the function extreme value, polynomial of factoring decomposition specific application on the positive definite matrix was further promotion, get some properties of the generalized positive definite matrix, and the correspondi- ng proof.Key words: positive definite matrix; generalized positive definite matrix; positive diagonal matrix; real symmetric matrices。
