现代概率论基础答案

即得 Cn 2Cn 3Cn nCn n2
1 2 3 n
n 1
（2）在上式中令 x=-1 即得 Cn 2Cn 3Cn (1)
1 2 3 n 1 n nCn 0
（3）要原式有意义，必须 0 r a 。由于 Cab Cab , Cb Cb
m
~m
这个公式的证明思路是，把 n 个不同的元素编号为1,2, ,n，再把重复组合的每一组中 数从小到大排列，每个数依次加上 0,1,, m 1 ,则这一组数就变成了从 1,2,, n m 1 共
m
m

3 10 7 6 15 9 207 . 25 25 25 25 25 25 625
14.由盛有号码 1,2, ，N 的球的箱子中有放回地摸了 n 次球，依次记下其号码，试求这些 号码按严格上升次序排列的概率。 解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则 n 个号码必然全不相同， n N 。N 个不同号 码可产生 n ! 种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种组 合对应一种严格上升排列， 所以共有 C N 种按严格上升次序的排列。 总可能场合数为 N n ， 故题中欲求的概率为 P
解： （1） ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；
ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。
（2） ABC A BC A ，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时， C B 成立。 （4）A=B 及 A C A B C ，当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体，也就不是 运动员的学生全体时成立。也可表述为：当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学生，并 且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。 5．用摸球模型造一例，指出样本空间及各种事件运算。 解： 设袋中有三个球，编号为 1，2，3，每次摸一个球。样本空间共有 3 个样本点（1） ， （ 2） ， 1,2, B 1,3, C 3， （3）设 A 则 A {3}, A B 1,2,3, A B 1 , A B {2},

第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（ ）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。

（1） P｛只订购A的｝ P{A(B C)}＝P A P AB P AC P ABC
0.45 0.1. 0.08 0.03 0.30
（2） P｛只订购 A 及 B 的｝ PAB C｝ P AB P ABC 0.10 0.03 0.07
（3） P｛只订购 A 的｝ 0.30
E1 E1 E 2
E1 E 4
E1 E 3
E5
（5）若 E2 ，则必有 E1 或 E3 之一发生，由此得
E6 , E0
E2 E3
E2 E1 E2 E3 E2 。
概率论基础（第 2 版）李贤平 全部习题解答
第一章 事件与概率
1.在某城市中，公发行三种报纸 A,B,C.在这个城市的居民中，订阅 A 的占 45%，订阅 B 的占 35%，订阅 C 的占 30%，同时订阅 A 及 B 的占 10%，同时订阅 A 及 C 的占 8%,同时订阅 B 及 C 的占 5%,同时订阅 A,B,C 的占 3%.试求下列百分率：（1）只订阅 A 的;(2) 只订阅 A 及 B 的；（3）只订阅一种报纸的；（4）正好订阅两种报纸的；（5）至少订阅一种报纸的；（6） 不订阅报纸的。 解：
ABC A;(3) 何时成立 C B ;(4)何时同时成立 A=B 及 A C
解：
（1） ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；
ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。 （2） ABC A BC A ，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时， C B 成立。
解：
A1 A2 An A1 ( A2 A1) ( An A1 An1)
(或)＝ A1 A2 A1 An A1 A2 An1 ．

第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p −1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。

2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。

3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k N c k f L ==（2）,,2,1,!)(L ==k k c k f kλ 0>λ。

4、证明函数)(21)(||∞<<−∞=−x e x f x 是一个密度函数。

5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。

6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=<a P ξ；（2）01.0}|5{|=>−a P ξ。

7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=−∞F 1)(=+∞F 。

8、试证：若αξβξ−≥≥−≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+−≥≤≤x x P 。

9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y −有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服从[0，1]均匀分布。

10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使)}()()()(exp{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。

证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ；（2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。