实验七投入产出分析一实验目的复习线性代数中向量和矩阵的运算，线性方程组的求解等知识；掌握线性代数在经济分析方面的重要应用．二实验背景在现代经济活动中，利用经济数学方法研究整个国民经济、某个地区、部门及企业在再生产过程中的平衡关系，了解各部门从事经济活动的各种消耗与结果是十分重要的．其中各部门总投入与总产出要达到平衡是一项重要的因素．列昂杰夫（Leontief）是美国哈佛大学行政管理学院教授，他因提出“投入―产出”分析方法获得1973 年诺贝尔经济学奖金．投入产出分析是研究一个经济系统各部门之间“投入”与“产出”关系的线性模型，一般称之为投入产出模型．它可应用于微观经济系统，也可用于宏观经济系统的综合平衡分析．本实验将讨论根据列昂杰夫概念建立的两个投入―产出的简单模型：闭合模型，亦称收入―支出模型与开式模型，亦称产品模型．先引进投入、产出的概念．投入：在经济领域中，人们为了从事物质生产，必须进行一些购买．它包括：（1）从其它部门购进的原料、电力、半成品、辅助材料等劳动对象；（2）购入适当的机器设备及生产工具等劳动手段；（3）投入必要数量的具有一定技能的劳动力．这三部分的总和称为生产活动中的投入．产出：在一定投入条件下进行生产活动，结果便有一定数量、符合一定需要的物质产品被加工出来，这就是产出．产品的分配去向有两个方面：一部分以中间产品的形式供本部门及其它部门，作为生产中的需要（再投入）；另一部分以最终产品的形式满足人们的消费，或者作为积累不再进入本期生产过程．三实验内容1. 闭合模型（收入―支出模型）例1一个木工、一个电工、一个粉饰工计划彼此装修他们的房子，同意按照下面的方关于工资，工资．一般情况下，日工资在60 元到80 元之间，但他们协商同意调整各自的日工资数使得每人的收支相抵，即保持平衡，也就是说，每个人的总收入与总支出相等．设p1表示木工的日工资，p2表示电工的日工资，p3表示粉饰工的日工资．为满足“平衡”条件，即每人的收支相抵消．要求每人在十天这个周期内，总收入＝总支出．例如，对木工来说，在修他自己的房子时，总共要付的费用为 2p 1+ p 2+6p 3，而他在完成三家的装修工作中总共收入为10p 1，这两个表达式应相等．对电工、装饰工亦同样考虑，从而有：1231123212332610451044310p p p p p p p p p p p p ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．将此线性方程组除以 10，并写成矩阵形式，得：1122330.20.10.60.40.50.10.40.40.3p p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （1）化简得到齐次线性方程组：1230.80.10.600.40.50.100.40.40.70p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．我们利用 的 RowReduce 命令把它的系数矩阵化为简化行阶梯形形式：RowReduce[{{-8,1,6},{4,-5,1},{4,4,-7}}/10]结果是：{{1, 0, -31/36}, {0, 1, -8/9}, {0, 0, 0}}于是，这个齐次线性方程组的通解为123313236p p k p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k 为任意常数．这个常数是一个比例因子，他们三人可以随意选定，譬如取 k ＝2，则他们三人相应的日工资就是62元、64元和72元，这些工资都在 60~80 元之间．从这个例子我们来分析一下闭合模型的特征．在基本方程式(1)中可以看出，其系数矩阵每一列的和为 1．这与题设的要求是一致的，即每人的劳动支出是按照矩阵的列的元素的数值所给出的比例，全部在这三个人之间进行分配．我们的问题是要对这些支出来确定适当的“价格”（工资）使得这个系统平衡．也就是要使每个人的总支出等于总收入．下面，我们给出闭合模型的一般形式．设一个经济系统由有限个企业组成，为方便计，对这些企业给予标号1，2，…，k ．经过某个固定的时间周期后，每个企业生产某种产品（或商品），这些产品是由 k 个企业按照预定的方式来完成的，问题是如何求出合适的价格作为付给各企业的产品费，使得每个企业的总支出等于总收入．这样的价格结构表示了经济的一个平衡．现在据此来建立数学模型．对问题中的固定时间周期，设 p i （i =1，2，…，k ）表示第 i 个企业对它的全部产品要支付的价格．e ij （i ，j =1，2，…，k ）表示第 j 个企业的全部产品中被第 i 个企业购买的部分．那末，p i 、e ij 需满足下列三个条件：（1）p i ≥0（i =1，2，…，k ）（2）e ij ≥0（i ，j =1，2，…，k ）（3）e 1j + e 2j + … +e kj =1（j =1，2，…，k ）利用这些量构成下列向量与矩阵11112122122212k k k k k kk p e e e p e e e P E p e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P 和 E 分别称为价格向量和交换矩阵（或收入－支出矩阵）．上面的条件（3）说明交换矩阵的每一列元素之和为1．要求每个企业的支出等于它的收入，必须满足矩阵方程：P EP = （2） 或0)(=-P I E （3） 其中I 是单位矩阵，方程（3）是价格向量 P 的一个齐次线性方程组，当且仅当它的系数矩阵I E -的行列式等于 0 时，它有非零解．由于交换矩阵 E 的每列元素之和为1，显然（3）的系数矩阵 E –I 的每列元素之和为0，根据行列式性质0||=-I E ，因而对于任意交换矩阵，方程组（3）有非零解，故价格向量不是零向量．事实上，要使这个经济模型有意义，仅仅要求方程组（3）关于P 有非零解还不够，还要要求 k 个产品的价格 i p 是非负数，即 0≥i p ．为方便起见将此条件表示为 0≥p ．一般地，如果 A 表示任意向量或矩阵，则记号 0≥A 表示 A 的每个元素是非负的，记号A ＞0 表示 A 的每个元素是正的．对任意交换矩阵，可以证明：定理1 如果 E 是一个交换矩阵，那末 P EP = 有非零解，且都是非负的．定理2 设 E 是一个交换矩阵，对某些正整数 m ，mE 所有元素都是正数，那末P EP = 存在一组线性无关的解，并经选择可以使0>P ．例2 三户邻居A 、B 、C ，每家都有一个菜园，在各自的菜园内，A 种蕃茄，B 种玉米，C 种茄子．他们同意按照下面的比例分享各家的收获：A 得蕃茄的 1/2，玉米的 1/3，茄子的 1/4；B 得蕃茄的 1/3，玉米的 1/3，茄子的 1/4；C 得蕃茄的 1/6，玉米的 1/3，茄子的1/2．如果要满足闭合经济的平衡条件，同时收获物的最低价格是 1000 元，则每户确定它们各自收获物的价格是多少?解 设1p 表示蕃茄的收获价格，2p 表示玉米的收获价格，3p 表示茄子的收获价格，则交换矩阵为 111234111334111632E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭这里 0>E ，满足定理2的条件．现在来解齐次线性方程组，0)(=-P I E ，即RowReduce[{{-1/2,1/3,1/4},{1/3,-2/3,1/4},{1/6,1/3,-1/2}}]结果是：{{1,0,-9/8},{0,1,-15/16},{0,0,0}}故原方程组的通解是：181516p k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．取 k ＝70，得 1p ＝1260元，2p ＝1050元，3p ＝1120元，即为所求．2．开式模型（产品模型）闭合模型是 k 个企业的产品仅仅在它们自己的内部进行分配．开式模型试图满足外界对产品的需求．为了保持企业生产正常地进行，这些产品的一部分可能仍旧在企业内部进行分配，而有一定的超额量，即以最终产品形式供应外界的需求．在闭合模型中，企业的支出是固定的，我们的目的是对这些支出确定它们的价格，使之满足平衡条件，也就是总支出等于总收入．但在开式模型中，价格是固定的，我们的目的是为了满足外界的需求确定企业必须的产品的总产值．我们将用固定价格的产品的经济价值来衡量产品的总产值．例3 某地有三个产业，一个煤矿、一个发电厂和一条铁路．开采一元钱的煤，煤矿要支付 元的电费及 元的运输费；生产一元钱的电力，发电厂要支付 元的煤费， 元的电费及 元的运输费；创收一元钱的运输费,铁路要支付 元的煤费和 元的电费，在某一周内煤矿接到外地金额 50 000 元定货，发电厂接到外地金额 25000 元定货，外界对地方铁路没有需求．问三个企业在那一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值（即产值中除去各企业的消耗所剩的部分）？ 解 对于一个星期的周期，x 1 表示煤矿的总产值，x 2 表示电厂的总产值，x 3 表示铁路的总产值．根据题意：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-0)00.005.025.0(25000)10.005.025.0(50000)55.065.000.0(321332123211x x x x x x x x x x x x这个方程组的每个等式以价值形式说明了对每一企业：总产品–中间产品（作为系统内各企业的消耗）=最终产品（外部需求）称为分配平衡方程组．写成矩阵形式，得11223300.650.55500000.250.050.10250000.250.0500x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．记12300.650.55500000.250.050.10250000.250.0500x X x C d x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则上式写为：d CX X =-，即d X C I =-)(．计算C I -的行列式, 输入aa1 = {{0, 65, 55}, {25, 5, 10}, {25, 5, 0}}/100;aa2 = IdentityMatrix[3] - aa1;Det[aa2]结果是：503/800≠０根据克莱姆法则，此方程组有唯一解. 输入aa3=Inverse[aa2].{50000, 25000, 0} 56163., 28330.}所以得到煤矿总产值为 102 087 元，发电厂总产值为 56 163 元，铁路总产值为 28 330 元． 由于得到了系统各个企业的总产值，我们就可以利用 C 进行计算. 输入aa4=[aa3]结果是：{{0., 36506., }, {, , 2833.}, {, , 0.}}，即：102087.000.36506.15581.5056163.025521.92808.152833.0028330.25521.92808.150.C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．不难理解，上式右端矩阵的每一行给出了每一个企业分别用于企业内部和其他企业的消耗（中间产品）．另一方面，若设 z 1，z 2和z 3（元）分别为煤矿、发电厂和铁路在这星期的新创造价值，那末应有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++33333222221111100.010.055.005.005.065.025.025.000.0x z x x x x z x x x x z x x x这个方程组说明对每个企业：对系统内各企业产品的消耗+新创造价值=总产值称为消耗平衡方程组．利用它容易求出各企业新创造的价值：aa3 - {1, 1, 1}.aa4结果是：{, , }即煤矿、发电厂和铁路新创造价值分别是 51 元，14 元和9 元．用投入产出方法进行分析和研究时，首先是根据统计数字制定投入产出表，进而计算出有关的技术系数．对这些系数的分析，可以了解经济系统的结构和各个部门之间的数量关系；还可以建立上述的反映分配平衡和消耗平衡关系的线性方程组，通过求解方程组来获知最终需求的变动对各个部门生产的影响．开式模型的一般形式为：在某个固定时间周期内，设 i x 表示第 i 个企业的总产值，j d 表示第j 个企业需要满足外界需要的产值，ij c 表示第 j 个企业为生产它自己的产品的单位产值需要买进第 i 个企业产品的产值．为此，我们定义12k x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为产出向量；12k d d d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为最后需求向量或最终产品向量；111212122212k k k k kk c c c c c c C c c c ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 称为直接消耗矩阵或简称消耗矩阵，C 中的元素 ij c 称为直接消耗系数，而把 I –C 称为列昂杰夫矩阵．根据它们的性质，有： 0≥X 0≥d 0≥C ．从ij c 和i x 的定义可以知道k ik i i x c x c x c ++2211是为了生产由产出向量 X 所指定的总产值，所有 k 个企业需要第 i 个企业提供的产品的产值．显然，它是列向量 CX 的第 i 个元素．而列向量 CX X - 的第 i 个元素就是第 i 个企业要满足外界要求的超产产值．而对第 i 个企业的产品的外界要求的产值就是需求向量 d 的第 i 个元素．对这个要求一定要满足，且没有过剩与短缺．于是就得到下面的矩阵方程：d CX X =-即d X C I =-)( （4）所以在已知 C 和 d 的前提下，要求一个满足方程（4）的产品向量 X ≥0．再令 ),,,diag(21k x x x C B =，称为投入产出矩阵，其中),,,diag(21k x x x 表示主对角线元素是x 1，x 2，…，x k 的对角阵；B Y )1,,1,1( =称为总投入向量；TY X F -= 称为新创造价值向量.现在来讨论方程（4）．显然，要作为一个合理的模型，一个经济系统的分配平衡方程组（4）对于任何非负的外部需求都应有相应的非负的总产值．这意味着方程组（4）对于任何非负的 d ，必须有且有唯一非负的解 X ．如果方阵C I -可逆，则d C I X 1)(--= （5）另一方面，如果矩阵1)(--C I 中元素非负，则可以保证对于任意0≥d ，方程（4）有唯一的非负解X , 即 0≥X ．这个结论很重要，因为它意味着任何外界要求均能满足．为此，给出下面的定义．定义 如果C 是消耗矩阵，1)(--C I 存在且0)(1≥--C I ，那末此消耗矩阵称为是生产性的．关于消耗矩阵C 是生产性的，我们有一个简单的数学判定定理：定理3 消耗矩阵C 是生产性的充要条件：存在某产出向量0≥X ，使CX X >． 证明：略．推论1 如果消耗矩阵C 的每一行的元素和小于 1，则此矩阵是生产性的．事实上，如果取 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11 X ，则CX 的每个元素就是C 的每一行的元素之和，都小于1，满足定理3 的条件CX X >． 推论2 如果消耗矩阵C 的每一列的元素和小于1，则此矩阵是生产性的．根据消耗矩阵C 中元素的定义，C 的第 j 列的元素和就是第 j 个企业生产一个单位产值时需要 k 个企业的总产值．因此，如果第 j 列的元素和小于 1，则第 j 个企业称为是盈利的．也就是说：推论 2 说明在经济体系中，如果所有 k 个企业都是有盈利的，那末消耗矩阵是生产性的．例4 三个工程师——一个土木工程师A 、一个电机工程师B 、一个机械工程师C ，各人都开了一个技术咨询部．他们的咨询业务是综合性的，因此他们彼此间各买了对方的一部分业务．A 每做一元钱的咨询业务，他付给B 元咨询费，付给C 元咨询费．B 每做一元钱的咨询业务，他付给A 元咨询费，付给 C 元咨询费．C 每做一元钱的咨询业务，他付给A 元咨询费，付给 B 元咨询费．某个星期中，A 收到外来咨询定单 500 元，B 收到外来咨询定单 700 元，C 收到外来咨询定单 600 元，问每个工程师在这一星期中应完成的咨询金额为多少？解 设产出向量为123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中 x 1，x 2，x 3 分别表示工程师A ，B ，C 应完成的咨询总额，最后需求向量为500700600d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭消耗矩阵00.10.30.200.40.30.40C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．由于每一列的元素和小于 1，这三位工程师都有盈利，所以C 是生产性的．于是线性方程组d X C I =-)(的解是C ij c 621255202.2510.22552030.2 1.825520C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C I -d 12317()1717x I C x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{17},{17},{17}} 结果是：{{}, {}, {}}．即可以预测出，在第 t 经济年度工业的产出为 （单位：10 亿元），农业产出为 （单位: 10 亿元），服务业产出为 （单位: 10 亿元），才能满足该经济年度工业、农业、服务业最后需求均为 17（单位:10亿元）的要求．四 实验作业1. 三个朋友A 、B 、C 各饲养家禽，A 养鸡，B 养鸭，C 养兔．他们同意按照下面的比例分享各人饲养的家禽：A 得鸡的 1/3 ，鸭的 1/3，兔的 1/4；B 得鸡的 1/6，鸭的 1/3，兔的 1/2，C 得鸡的 1/2，鸭的 1/3，兔的 1/4．如果要满足闭合经济条件，同时家禽收获的最低价格是二千元，则每户确定他们各自的收获价格是多少?2. 设有一个经济系统包括四个部门，在某一个生产周期内各部门间的直接消耗系数如下表（单位：万元）：（1）当产出向量X ,240,360(=时，求各部门新创造的价值及部门间的流量；（2）当最终产品向量Td )180,124,310,234(=时，求各部门的总产值及部门间的流量．3.：（1单位时各个部门总产量是多少？5. 下表给出的是某城市一年度的各部门之间产品消耗量和外部需求量（均以产品价值计算，单位：万元），表中每一行的数字是某一个部门提供给各部门和外部的产品价值．（1）试列出投入产出简表，并求出直接消耗矩阵；（2）根据预测，从这一年度开始的五年内，农业的外部需求每年会下降1%，轻工业和商业的外部需求每年会递增6%，而其他部门的外部需求每年会递增3%，试由此预测这五年内该城市和各部门的总产值的平均每年增长率；（3）编制第五年度的计划投入产出表．。
