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常微分方程全册ppt课件

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常微分方程4 PPT资料共46页

常微分方程4 PPT资料共46页
x (t0 ) 0 ,x '(t0 ) 1 , ,x (n 1 )(t0 ) 0

x (t0 ) 0 ,x '(t0 ) 0 , ,x (n 1 )(t0 ) 1
的 n个x解 1(t),x2(t) ,xn(t)一定,存 又因为在 1 0 0
W [x 1 (t0 )2,x 2 (t0 ) ,,x n (t0 ) ]0
d d n n x ta 1 (t)d d n n 1 1 x t a n (t)x f(t) (3 .1 .1 ) 其ai(中 t)i(1 ,2, n)及 f(t)都a 是 tb的连.
如f(果 t)0,则方 (3.1.1)程 变为
d d n n x ta 1 (t)d d n n 1 1 x t a n (t)x 0 (3 .1 .2 )



c 1 x 1 ( n 1 ) ( t 0 ) c 2 x 2 ( n 1 ) ( t 0 ) c n x n ( n 1 ) ( t 0 ) 0
其系数行列式为 W(t0) 0 , 故它有非零 c1,c解 2,cn,
现以这组常数构造函数,
上述方程组 c1,c2是 ,cn关 的于 齐次方 , 程 它的系数 W就 ro是 n的 sk行 y 列 ,由线式 性代数理论知
要使方程组存在非零解, 则它的系数行列式必为零,
即 W (t)0, t [a,b].
注 定理3的逆不成立.
如函数
t2, t 0
x1(t)

0,
, t 0
0, t 0
x ( t ) c 1 x 1 ( t ) c 2 x 2 ( t ) c n x n ( t )( , 3 . 1 . 7 )

常微分方程的基本概念ppt课件

常微分方程的基本概念ppt课件
其中 P(x) cos x, q(x) esin x
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注 意 ： y2 1 ,即y 1也 是 方 程 的 解! 奇异解
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2


m
d
dt

g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)

gt C1,
再积一次分得：S

1 2
gt2

C1t

C2 , 其中C1，C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.

常微分方程ppt (20)

常微分方程ppt (20)

2u 2u 2u 2 2 0. 2 x y z
注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。 方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数， 称为方程的阶数。 一般的n阶微分方程的形式为：
dy dny F ( x, y. ,, n ）＝0. dx dx
dy dny dny F 其中： ( x, y. ,, n ）＝0 是变量 x, y, , n 的已知函数。 dx dx dx
用maple 7解双摆的运动微分方程
2 2 ( t ) 10 ( t ) 20 ( t ) t
2
2 2 ( t ) 20 ( t ) 20 ( t ) t
2
用maple 7编写的双摆的动态演示图
如果一个微分方程关于未知函数及其各阶导数都是线性的， 则称它为线性微分方程，否则称之为非线性微分方程。
x x2 sin t 是二阶非线性微分方程。 例如： 解和隐式解：设 y ( x) 是定义在区间 ( a, b) 上的 n
阶可微函数，将其代入方程
后，能使它变成恒等式， 则称函数 y ( x) 为方程的解。 若关系式 程解称
0
( n 1) , , c2
则称 y ( x, c1 ,, cn ) 含有n个相互独立的常数。
y 例： c1 cos x c2 sin x 是 y y 0 的通解。 因为 y c1 sin x c2 cos x 而
cos x sin x 1 0 sin x cos x
用Maple7编写的单摆模型的动态示意图
当单摆随时间而摆动时，我们可以看到，摆线在逐渐变短，同时摆的幅 度越来越大 !
1.1.2 微分方程的基本概念

第六章常微分方程35页PPT

第六章常微分方程35页PPT

微分方程离散化常用方法
A 用差商代替微商
dy y
x x dx x x xn,yn
y
n1

n f(xn,y(xn))
n1 n
x x y x y x 用h , y , y
代替，则：
n1 n
n
n
n1
n1
y y
x y n1 n f
f(a h )n( 1 )kh kf(k )(a ) ( h )n 1f(n 1 )()
k 0
k !
(n 1 )!
二阶中心差商 f(a ) f(a h ) 2 f h ( 2 a ) f(a h ) O (h 2 )
利用插值公式的方法：
n
f
(x0)

1 [3 2h
f
(x0
)
4
f
(x1)

f
(x2)]
f
(x1)

1 [ 2h
f
(x0)
f
(x2)]
f
(x2)

1[ 2h
f
(x0
)
4
f
(x1)
3
f
(x2)]
l0(
x)

1 h2
l1(
x)


2 h2
l2(
x)

1 h2
f(x)f(x0)2fh (2 x1)f(x2)
f
(x,
y)dx hf
(xn,
yn)
yn1 yn hf (xn, yn) (n 0,1, )
C 在xn 附近y(x) 的Taylor展开：
y(xnh)y(xn)hy/(xn)h22

常微分方程ppt (17)

常微分方程ppt (17)
' g x, y g x 0, 0 x g 'y 0, 0 y x, y
令
a f x' 0, 0 , b f y' 0, 0 ' c g x 0, 0 , d g 'y 0, 0
将原放方程改写为
dx y dt dy g sin x dt l
dx 2 2 dt x l1 x m1 xy n1 y dy y l 2 x 2 m 2 xy n 2 y 2 dt
几乎线性系统的特点
在许多情况下几乎线性系统与其对应的线性系统的奇点 类型和稳定性是相同的. 定理 5.1 设 O 0,0是几乎线性系统(5.4.3)的初等奇 点，则当 O 0,0 是其线性近似系统(5.4.4)的鞍点、结 点、焦点时，它也必是系统(5.4.3)的鞍点、结点、焦 点，且具有相同的稳定性。 定理5.1的意义处在于当得知非线性系统(5.4.3)在奇 点邻域是几乎线性系统时，可以通过研究其近似系统 (5.4.4)的奇点去弄清几乎线性系统的奇点类型。指当线 性系统的系数矩阵的特征根具有非零实部，且非线性项的 高阶无穷小时，则非线性项的添加不影响其奇点的类型和 稳定性。定理的条件是充分条件，且对于线性化系统是中 心时没有相应的结论。
非线性系统(5.4.8)在(0,0)邻域的轨线分布
线性系统(5.4.9)在(0,0)邻域的轨线分布
dx dt x 方程组 dy 2 y dt x x0 e t
dx x x2 dt 满足 dy 2 y 2 y 2 dt
with(DEtools): a:=0.2; DE548:=[diff(x(t),t)=-x(t)+x(t)^2, diff(y(t),t)=-2*y(t)+2*y(t)^2]: DEplot(DE548,[x(t),y(t)], t=-10..10, [[x(0)=0,y(0)=2*a],[x(0)=0,y(0)=-2*a],[x(0)=-2*a,y(0)=0], [x(0)=2*a,y(0)=0],[x(0)=a,y(0)=0.01*a],[x(0)=a,y(0)=0.04*a], [x(0)=a,y(0)=0.1*a],[x(0)=a,y(0)=0.25*a],[x(0)=a,y(0)=a], [x(0)=a,y(0)=-0.01*a],[x(0)=a,y(0)=-0.04*a], [x(0)=a,y(0)=-0.1*a], [x(0)=a,y(0)=-0.25*a], [x(0)=a,y(0)=-a], [x(0)=-a,y(0)=0.01*a], [x(0)=-a,y(0)=0.04*a],[x(0)=-a,y(0)=0.1*a], [x(0)=-a,y(0)=0.25*a], [x(0)=-a,y(0)=a], [x(0)=-a,y(0)=-0.01*a], [x(0)=-a,y(0)=-0.04*a], [x(0)=-a,y(0)=-0.1*a],[x(0)=-a,y(0)=-0.25*a],[x(0)=-a,y(0)=-a]], x=-8*a..8*a,y=-8*a..8*a, stepsize=0.05, dirgrid=[21,21], color=red,linecolor=blue, arrows=SLIM);

常微分方程课件

常微分方程课件

在经济中的应用
描述经济现象：通过常微分方程描述经济现象的变化趋势和规律 预测经济走势：利用常微分方程对经济走势进行预测和分析 优化资源配置：通过常微分方程找到最优的资源配置方案，提高经济效益 制定经济政策：利用常微分方程分析政策对经济的影响，制定合理的经济政策
在生物与工程中的应用
描述种群增长模型
常微分方程是描述函数随时间变化的数学模型。 常微分方程的性质包括解的存在性、唯一性和连续依赖性。 解的存在性是指对于给定的初值问题，存在至少一个解。 唯一性是指对于给定的初值问题，存在唯一的解。
分类与表示方法
线性微分方程： 形如y' = px + q的方程，其中p 和q是常数
非线性微分方程： 形如y' = f(y)的 方程，其中f(y) 是一个关于y的 函数
一阶微分方程： 只含有一个自变 量和一个导数的 微分方程
高阶微分方程： 含有多个自变量 和多个导数的微 分方程
求解方法简介
分离变量法 变量代换法 欧拉方法 龙格-库塔方法
03 一阶常微分方程
一阶线性微分方程
定义：形如 y'=f(x)g(y)的 一阶微分方程， 其中f和g都是
可导函数。
求解方法：通 过变量分离法、 积分因子法、 公式法等求解。
感谢您的观看
汇报人：
分岔与混沌
分岔：当系统的参数发生变化时，系统的定性行为发生突然改变的现象。 混沌：在确定性非线性系统中，由于对初值的高度敏感性而产生的复杂运动状态。 举例：Lorenz 方程。 应用：天气预报、生态学、经济学等。
定性理论的应用与限制
应用领域：物理学、生物学、经济学等 解决实际问题：解释自然现象、预测未来趋势等 限制：定性理论无法处理某些复杂系统或非线性问题 未来研究方向：如何克服定性理论的局限性，拓展其应用范围

4-1第四章 常微分方程ppt课件

4-1第四章 常微分方程ppt课件

第一节 常微分方程
一、引例 [曲线方程]
一平面曲线上任一点的切线斜率等于该点横坐标的二倍，试 建立该曲线满足的方程式．
解 设所求曲线为yfx由导数的几何意义知，曲线上任一点 px,y处的切线斜率为 y 根据题意有 y2x即
dy 2x dx
w精w选w.2c0e2c1.e版du课.c件n
4
第一节 常微分方程
二、概念和公式的引出
凡含有未知函数导数(或微分)的方程，称为微分方程．微分方程 有时也简称为方程． 未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程． 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶. 任何满足微分方程的函数都称作微分方程的解． 如果微分方程中含有任意常数，且独立变化的任意常数的个数与 微分方程的阶数相同，这样的解称作微分方程的通解．不含任意 常数的解称作微分方程的特解．
dPtkPt k0常数
dt
等式右端的负号是由于 Pt随时间 t 的增加而减少．
研究
w精w选w.2c0e2c1.e版du课.c件n
6
第一节 常微分方程
案例2 [自由落体运动] 一质量为m的质点,在重力作用下自由下落, 求其运动方程. 解 建立坐标系如图，坐标原点取在水平地面, y轴铅直向上,设在时刻
约翰.伯努利（Johann Bernoulli 1667-1748）， 雅可布的弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在 1694年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问 题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、 微分方程和力学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物 理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰 向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有 任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不 计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极 小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、 莱布尼茨和牛顿都得到了解答。

常微分方程ppt

常微分方程ppt

例 2.4.5 求解方程
解：仔细观察该方程的特征：
对方程做恒等变形得，
自然做变化
原方程化为：
求解上面的线性方程得：
Riccati方程
定义
形如
的方程称为Riccati方程。 一般情况下，Riccati方程无法用初等积分积分 法求出其解，只是对一些特殊情况，或事先知道了 他的一个特解，才可以求出他的通解。
时，方程可通过适当变化化为变量可分离的方程。
证明: 不妨设 化为
否则可通过变量变化 因此，代替原方程，我们考虑 （2.4.5）
当
时， 上述方程是一个变量可分离的方程
当
时，做变量变化
代入原方程得
这是一个变量可分离的方程。
当
时，做变量变化
代入原方程得： （2.4.6）
其中
再做变换
进一步可把方程变为： （2.4.7） 其中
Riccati方程一些可求解的特殊类型：
1、当 都是常数时， Riccati方程
是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。 2、当 3、当 时， Riccati方程是线性方程。 时， Riccati方程是Bernoulli方程。
4、当Riccati方程的形式为:
时，可利用变量替换 可分离的方程。
引进变量
，则
原方程可化为
这是一个变量可分离的方程。
例 2.4.1 求方程 （2.4.1） 解： 令 则
代
代入原变量得到（2.4.3）的通解为：
其它变化法
利用变量替换法求解微分方程十分灵活，一 般依赖于方程的形式和求导的经验。 例 2.4.2 求方程 （2.4.2） 解：将此方程改写为：
将方程化为变量
5、当Riccati方程有一个特解， 时，可利用变量替换 代入原方程得
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z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程 注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称 为微分方程或方程
微分方程的阶 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为 微分方程的阶数.
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样 的微分方程称为常微分方程
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系 统 从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未 知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合， 不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质
如:
dy (1) 2x dx
是一阶微分方程
(2) xdy ydx 0
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程
是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
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教学课件
常微分方程
RL电路
基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律 在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零
RLC电路
数学摆
人口模型 • 马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程中，净相对增加 率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记为r
"
证明:
对y sinx,由于
y y sin x sin x 0
"
y cosx,y sin x 故对x (, ), 有
如
dy (2) xdy ydx 0 ; (1) 2 x; dx 3 2 d x dx (3) tx x 0; 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t; 4 dt dt
都是常微分方程
偏微分方程
如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为 偏微分方程 如
人口模型的改进 • Verhulst：引入常数Nm（环境最大容纳量），假设：净相对增 长率为
N (t ) r (1 ) Nm
logistic模型
传染病模型
假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n，开始时染病 人数为x0，在时刻t的健康人数为y(t)，染病人数为x(t)
假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正 比，比例系数为k
两生物种群生态模型
意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个关于捕食鱼与被食 鱼生长情形的数学模型
假设在时刻t，被食鱼的总数为x(t)，而捕食鱼的总数为y(t)
假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的次数为bxy 捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成正比
Volterr I有 : F ( x, ( x), ' ( x), n ( x)) 0,
dy d y 则称y (x)为方程 F(x,y, ,, n ) 0 dx dx 在I上的一个解 .
y ( x) 称为方程的显示解
例
验证y sinx,y cosx都是微分方程 y y 0在(,)上的一个解 .
SI模型 易感染者：Susceptible 已感染者：Infective
SIS模型 • 对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被感染，设单位时 间治愈率为mu
SIR模型（R：移出者（Removed））
• 对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在被感染，设在时 刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出者，而治愈率l为常数
n阶线性微分方程的一般形式
d y d y a1 ( x) n1 n dx dx
n
n 1
an ( x) y f ( x)
(2)
这里a1 ( x),an ( x), f ( x)是x的已知函数 .
微分方程的解
定义
如果函数y ( x), x I , 满足条件: y ( x)在I上有直到n阶的连续导数 ;
如
dy (1) 2x dx
(2) xdy ydx 0
是线性微分方程
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
不是线性方程的方程称为非线性方程
如
d x dx (3) tx x 0 2 dt dt
2
3
是非线性微分方程
dy d y F(x,y, ,, n ) 0 dx dx
n
(1)
dy dny dy dny 这里F(x,y, , , n ) 0是x, y, , , n 的已知函数, dx dx dx dx dny 而且一定含有 n , y是未知函数, x是自变量. dx
线性和非线性
n dy d y 如果方程 F(x,y, ,, n ) 0 dx dx n dy d y 的左端为y及 ,, n 的一次有理式 , dx dx 则称其为n阶线性方程 .
9月3日
1.2 基本概念
1.2.1 常微分方程基本概念
微分方程
定义（微分方程） 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分 ）的关系式称为微分方程 例1：下列关系式都是微分方程
dy (1) 2x ; dx
d x dx (3) tx x 0 ; 2 dt dt