图论与组合数学 教学大纲 2016 修改版

离散数学中的图论与组合数学离散数学是数学的一个分支，它主要研究离散的数值和结构。

而图论和组合数学则是离散数学中两个重要的领域。

本文将介绍离散数学中的图论与组合数学，并探讨它们在实际生活中的应用。

一、图论图论是研究图及其性质的数学分支。

图由节点（顶点）和边组成，用来表示对象之间的关系。

图论主要关注图的结构与性质，以及通过图来解决实际问题。

1. 图的基本概念与性质在图论中，节点用来表示对象或实体，而边则表示对象之间的关系。

图可以分为有向图和无向图，有向图中的边有一个方向，而无向图中的边没有方向。

此外，图还可以包含多个连通分量，即由若干节点和边组成的连通子图。

图的性质包括度数、连通性、路径与环等。

节点的度数是指与其相连接的边的数量，节点的度数越高，表示与其他节点的连接越紧密。

图的连通性指的是图中任意两个节点之间是否存在路径，如果存在路径，则称图为连通图。

路径是指一系列的边沿着节点相互连接而成的序列，而环则是指起点与终点相同的路径。

2. 图的应用场景图论在现实生活中有许多应用场景。

例如，在社交网络分析中，可以用图论来研究用户之间的关系。

通过分析社交网络中的节点和边，可以找到影响力较大的用户，从而实现精准的推荐和营销策略。

此外，图论还可以用来解决交通网络优化问题。

通过将道路和交通节点建模成图的节点和边，可以分析交通拥堵状况，优化路径规划和交通信号灯控制，提高交通效率。

二、组合数学组合数学是研究离散的数学分支，主要关注集合、排列、组合和图等组合结构的性质与应用。

组合数学在信息安全、密码学、编码理论等领域具有广泛的应用。

1. 排列与组合排列是指从一组对象中选择若干个对象按一定顺序排列成一列。

组合则是从一组对象中选择若干个对象组成一个集合，不考虑顺序。

排列和组合在实际中有许多应用，例如密码学中的密码破解和编码理论中的编码设计。

2. 图的着色问题图的着色问题是组合数学中的一个经典问题，其目标是给图的每个节点赋予一种颜色，使得相邻的节点拥有不同的颜色。

第11讲组合数学之基本图论第十一讲组合数学之基本图论模块一、基础知识图是由顶点和边构成的。

图的子图是这个图的某些点和这些点间的某些边构成的。

简单图：图中没有边的两端点是同一点，且两点之间最多连一条线。

完全图：简单图中能连上的边都连上。

某点的相邻点：与该边有边相连的点。

次数或度数：一个点有多少条边与之相连。

回路：一系列边首尾相连，最后连成一个圈。

树：无圈的简单图。

偶图：一个图的所有点都可以分成两个集合，所有的边都在它们之间相连，它们内部没有边。

平面图：能把所有边在平面上画出来且不交叉的图。

有向图：边是有方向的，可以分起点和终点。

如无特别说明，讲义中提到的都是无向图。

有向图的入度为有多少条的终点是它，出度的定义为多少条边的起点是它。

例1．一个网球俱乐部的20位成员已经安排了14场单打比赛，其中每个成员至少参加1场比赛。

求证：在这种安排中，必有6场比赛是在12名不同选手之间进行的。

解：用20个点表示20位成员，14条边表示安排的14场比赛，得到一个图G，由题意，每个点的度数大于等于1，由握手定理知道d(1)+d(2)+d(3)+……+d(20)=2×14=28，现在删去每个点的“d(i)?1”条边，那么去掉的边数不超过28?20=8，所以剩下的边至少有6条，且剩下的图中每个点的“度”都小于等于1，所以这6场比赛中参赛的选手都不相同，是在12名不同的选手之间进行的。

模块2、拉姆塞定理：在组合数学上，拉姆塞(Ramsey)定理是要解决以下的问题：要找这样一个最小的数n，使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识。

他证明了R(3，3)=6.拉姆塞数，用图论的语言有两种描述：对于所有的N顶图，包含k个顶的团或l个顶的独立集。

具有这样性质的最小自然数N就称为一个拉姆塞数，记作R(k，l)；在着色理论中是这样描述的：对于完全图Kn的任意一个2边着色(e1，e2)，使得Kn[e 2]中含有一个k边形，Kn[e1]含有一个l边形，则称满足这个条件的最小的n为一个拉姆塞数。

《组合数学》课程教学大纲【课程名称】组合数学（Combinatorics）【课程代码】08012004【适应专业】数学与应用数学【授课对象】普通本科【课程简介】组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。

组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。

本课程主要介绍组合数学涉及的基本计数问题、鸽巢原理、容斥原理、递推关系与母函数、生成函数、Polya计数理论等基本内容。

【教学目标】通过组合数学的学习，使学生了解和掌握组合数学的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用做好准备。

【参考学时】72学时【参考书目】1．卢开澄，卢华明编著：《组合数学(第4版)，北京：清华大学出版社，2006年2．姜建国，岳建国编著：《组合数学》(第2版)，西安：西安电子科技大学出版社，2007年3．李乔编著：《组合学讲义》，北京：高等教育出版社，2008年4．布鲁迪(Brualdi R.A.)编著：《组合数学》(原书第4版)，北京：机械工业出版社，2005年【教学内容】●第一单元基本计数问题●§1加法原理与乘法原理§2排列与组合§3多重集合的排列与组合§4二项式系数§5集合的分划与第二类Stirling数§6正整数的分拆§7分配问题综述●基本要求：1．理解并掌握多重集合的排列与组合问题中一些结论及其证明过程，第二类Stirling 数及正整数分拆数的递推公式及其证明方法；2．掌握几种组合恒等式的证明方法，理解Ferrers图的含义及其应用于正整数的无序分拆的意义；3．理解并熟练掌握八种分配问题的计数方法；4．熟练利用组合分析的方法证明组合恒等式及某些计数问题。

●重点、难点：八种基本的计数问题的求解方法；第二类Stirling数及正整数分拆数的递推公式及其证明方法，以及用组合分析的方法证明组合恒等式及某些计数问题。

图论教学大纲图论教学大纲引言：图论是离散数学的一个重要分支，它研究的是由节点和边组成的图结构。

图论在计算机科学、电信网络、社交网络等领域都有广泛的应用。

为了提高学生的图论理解和应用能力，制定一份完善的图论教学大纲是必要的。

一、基础概念与术语1. 图的定义与基本术语：节点、边、度、路径等。

2. 有向图与无向图的区别与应用场景。

3. 连通性与连通图的性质。

4. 子图与超图的概念及应用。

二、图的表示与存储1. 邻接矩阵与邻接表的比较与选择。

2. 图的存储结构的选择与实现。

3. 图的遍历算法：深度优先搜索与广度优先搜索。

三、图的性质与算法1. 图的同构与同构判定算法。

2. 图的连通性与连通分量的计算。

3. 图的割点与割边的定义与算法。

4. 最短路径算法：Dijkstra算法与Floyd-Warshall算法。

5. 最小生成树算法：Prim算法与Kruskal算法。

四、应用案例分析1. 电信网络规划与优化中的图论应用。

2. 社交网络中的图论算法与分析。

3. 交通网络与路径规划中的图论应用。

4. 电力系统与供应链管理中的图论应用。

五、拓展与深入研究1. 图的扩展应用领域与前沿研究方向。

2. 图论在人工智能与机器学习中的应用。

3. 图论与其他学科的交叉研究与合作。

结语：通过本教学大纲的学习，学生将能够掌握图论的基本概念与术语，理解图的表示与存储方法，掌握图的性质与算法，以及应用图论解决实际问题的能力。

同时，拓展与深入研究的内容将为学生提供更广阔的学术发展空间。

图论作为一门重要的学科，将为学生的学习和未来的职业发展带来巨大的价值。

《大学数学》课程教学大纲(本科)大学数学课程教学大纲(本科)1. 课程简介1.1 课程名称：大学数学1.2 课程学分：3学分1.3 先修课程：高中数学基础1.4 授课对象：本科生2. 教学目标2.1 理论目标：- 掌握大学数学基本概念和基本理论；- 培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；- 培养学生的问题解决能力和创新思维；- 培养学生对数学的兴趣与学习动力。

2.2 实践目标：- 提高学生的计算和应用能力；- 培养学生的数据分析和解决实际问题的能力；- 培养学生的数学建模和科学研究的能力。

3.1 数学分析- 数列与级数- 函数与极限- 导数与微分3.2 线性代数- 向量与矩阵运算- 线性方程组与矩阵的秩 - 特征值与特征向量3.3 概率与统计- 随机变量与概率分布 - 参数估计与假设检验 - 相关与回归分析3.4 离散数学- 集合论与函数关系- 布尔代数与逻辑运算 - 图论与组合数学4.1 理论教学- 以讲授为主，辅以示范和演示；- 引导学生理解数学概念和定理的意义和推导过程； - 组织学生进行讨论、提问和展示等互动活动。

4.2 实践教学- 强调数学的应用和实际问题的解决；- 组织学生进行实际案例分析和数学建模实验；- 鼓励学生进行小组合作和科学研究。

5. 考核方式5.1 平时成绩- 课堂参与和表现- 作业完成情况- 实验和实践报告5.2 考试成绩- 期中考试- 期末考试5.3 个人或小组项目- 数学建模竞赛- 学术论文或实验报告6. 参考教材6.1 主教材：《大学数学教程》6.2 辅助教材：- 《线性代数及其应用》- 《概率与数理统计》- 《离散数学及其应用》7. 授课团队7.1 主讲教师：XXX（职称）7.2 助教人员：XXX（职称）8. 教学资源支持8.1 实验室设施：配备计算机和数学软件 8.2 图书馆资源：提供相关书籍和论文文献8.3 在线平台：课程网站和在线学习资源9. 学术诚信9.1 学术规范：要求学生遵守学术道德和学院的考试纪律；9.2 作业规定：要求学生独立完成作业，严禁抄袭和剽窃；9.3 考试要求：要求学生按时参加考试，杜绝违纪现象。

《组合数学》教学大纲课程名称：组合数学课程编号：0641012课程类别：专业必修课适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）总学时数：54学分： 3一、课程性质和教学目标1．课程性质：“组合数学”课程是数学与应用数学专业必修的学科专业课课程。

它主要研究一组离散对象满足一定条件的安排的存在性，以及这种安排的构造、枚举个数及优化问题。

组合数学源远流长，它起源于古代的数学游戏和美学消遣，以无穷的魅力激发人们的聪明才智和数学兴趣。

随着计算机科学，数学通讯理论，规划论和实验设计等近代科学技术的发展，组合数学分析已成为很多前言学科的基础。

特备是计算机科学的飞速发展，给组合数学注入了新的生机和活力。

组合数学的离散性及算法与计算机的联姻在现代科学技术中正发挥着越来越大的作用，并且在计算机科学、管理科学、电子工程、数字通讯等诸多领域具有极为广泛的应用。

2．教学目标：使学生掌握解决组合问题的思路和方法，培养“组合思维”、熟练“组合技巧”、提高解决较复杂组合问题的能力。

结合数学竞赛问题，阐述组合数学的基本思想、基本方法和常用技巧，推动中学数学竞赛的普及与发展。

二、教学要求和教学内容第一章排列与组合（11学时）【教学要求】理解加法原理、乘法原理，并能在实际问题中熟练使用；熟练掌握排列与组合的基本概念和相关公式；理解二项式系数的概念，并能灵活使用多种方法证明恒等式；理解有限集合的子集类；能熟练解决与排列组合相关联的分配问题。

【教学内容】讲授内容1．加法原理和乘法原理2．排列与组合3．二项式系数4．有限集的子集类5．分配第二章抽屉原理（10学时）【教学要求】熟练掌握抽屉原理的简单形式，并能用之解决相关问题；理解抽屉原理的加强形式，并能推广到一般形式。

【教学内容】●讲授内容1．抽屉原理的简单形式2．抽屉原理的加强形式3．抽屉原理的一般形式第三章容斥原理（9学时）【教学要求】熟练掌握容斥原理的简单形式，并能用之解决相关问题；熟练掌握容斥原理在数论中的应用；掌握错位问题的概念和相关理论公式；了解容斥原理的一般形式。

组合数学是数学中的一个重要分支，研究整数集合的组合和排列的问题，以及它们之间的关系。

而图论是研究图的性质和图之间关系的数学专门领域。

这两个领域在数学中具有广泛的应用，特别是在算法设计中。

组合数学算法在实际中有着广泛的应用。

例如，组合数学算法可以在计算机网络中找出最佳路径。

在计算机网络中，各个节点之间以图的形式连接，通过组合数学算法，可以找到从一个节点到另一个节点的最佳路径，从而提高网络传输效率。

此外，组合数学算法还可以应用于电子商务中的推荐系统。

通过分析用户的购买记录和偏好，利用组合数学算法可以为用户推荐最合适的商品和服务。

这些应用表明了组合数学算法在实际中的重要性和价值。

图论算法也在实际中发挥着重要的作用。

例如，在社交网络分析中，图论算法可以帮助我们理解和分析不同个体之间的关系。

通过图论算法，可以发现社交网络中的社群结构、影响力传播路径等信息，从而为社交网络营销和社交网络管理提供决策支持。

此外，图论算法还可以应用于路径规划问题。

例如，在城市交通规划中，通过构建城市道路网络的图，并运用图论算法，可以找到最佳的交通路径，提高交通效率和减少拥堵。

这些应用体现了图论算法在实际中的实用价值。

组合数学和图论算法相互关联，相互促进，共同推动着数学在实际中的应用。

在许多问题中，组合数学和图论算法可以相互结合，共同解决。

例如，当我们需要在一个图中找到一条包含特定节点的最短路径时，可以先使用图论算法找到任意两个节点之间的最短路径，然后再通过组合数学算法找到包含特定节点的最短路径。

又如，在排列组合问题中，我们经常会遇到同时满足一定条件的排列组合的个数。

这时，可以先使用组合数学算法计算满足条件的总的排列组合的个数，然后再利用图论算法和其他算法，找到满足特定条件的排列组合。

这些例子显示了组合数学和图论算法的结合在实际中的重要性。

在总结中，数学中的组合数学和图论算法在实际中具有重要作用，应用范围广泛。

组合数学算法可以帮助解决路径规划和推荐系统等问题，而图论算法可以帮助解决社交网络分析和路径规划等问题。

《集合论与图论》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：CS31111课程名称：集合论与图论英文名称：SET THEORY AND GRAPH THEORY课程学时：64；讲课学时： 48；实验学时：上机学时：习题学时：16;课程学分：4.0开课单位：计算机科学与技术学院授课对象：计算机大类专业（包括计算机科学与技术、物联网工程、生物信息学、信息安全）、软件工程大类专业开课学期： 1春先修课程：工科数学分析、线性代数二、课程目标《集合论与图论》是计算机大类/软件工程大类专业的一门专业基础课程。

本课程为后继的专业基础课及专业课提供必要的数学工具，为描述离散模型提供数学语言。

该课程的设置主要是为了培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学修养及计算机科学素质。

要想用计算机解决问题就要为它建立数学模型，即描述研究对象及对象与对象之间的联系，并通过事物之间的联系找出事物的运动规律。

集合论与图论为此提供了强有力的描述工具与推理理论。

本课程的目标是通过理论学习，为计算机科学与技术专业的后继课及将来的科学研究提供必要的相关数学知识，提供建立离散系统的数学模型的数学描述工具；使学生正确地理解概念，正确地使用概念进行推理，养成一个好的思维习惯，理解理论与实践的关系；引导学生观察生活、社会和大自然，分析事物间的联系，建立系统的模型，提出和解决其中的复杂工程问题。

课程具体目标如下：课程目标1：掌握集合论与图论的基本概念、基本原理、基本方法等基本知识，培养形式化、模型化的抽象思维能力，使学生能够利用集合论与图论的概念、理论与方法识别、表达计算相关的复杂工程问题，逐步学会为计算类复杂工程问题建立数学模型；课程目标2：掌握直接证明法、反证法、数学归纳法、构造法等常用的证明方法，培养机械化、自动化的逻辑推理能力，使学生能够利用集合论与图论的概念、理论与方法并通过文献研究分析复杂工程问题，并能获得有效的结论，理解并逐步设计求解这些问题的算法基本思想；课程目标3：掌握资料查阅方法，学会对课堂所学理论知识进行扩展，培养自学能力。