第四届全国组合数学与图论会议纪要

抽屉原理在初等数学中的运用摘要：抽屉原理也称为鸽巢原理，它是组合数学中的一个最基本的原理.也是数学中的一个重要原理，抽屉原理的简单形式可以描述为：“如果把1+n 个球或者更多的球放进n 个抽屉，必有一个抽屉至少有两个球.”它的正确性十分明显，很容易被并不具备多少数学知识的人所接受，如果将其灵活地运用，则可得到一些意想不到的效果. 运用抽屉原理可以论证许多关于“存在”、“总有”、“至少有”的存在性问题。

学习抽屉原理可以用来解决数学中的许多问题，也可以解决生活中的一些现象。

如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。

在解决数学问题时有非常重要的作用. 抽屉原理主要用于证明某些存在性问题及必然性题目，如几何问题、涂色问题等. 各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用，使用该原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则，抽屉构造得好，可得出非常巧妙的结论.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用,同时指出了它在应用领域中的不足之处.关键词：抽屉原理；初等数学；应用一、 抽屉原理（鸽巢原理）什么是抽屉原理？先举个简单的例子说明，就是将3个球放入2个篮子里，无论怎么放，必有一个篮子中至少要放入2个球，这就是抽屉原理.或者假定有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，当鸽子飞回巢中，那么一定至少有一个鸽笼里有两只鸽子，这就是著名的鸽巢原理.除了这种比较普遍的形式外，抽屉原理还经许多学者推广出其他的形式.比如陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义，概括起来主要有下面几种形式:原理1 把多于n 个的元素按任一确定的方式分成n 个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素.原理2 把m 个元素任意放到n )(n m >个集合里，则至少有一个集合里至少有k 个元素，其中原理3 把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素.卢开澄在《组合数学》（第三版）中将抽屉原理（书中称为鸽巢原理）又进行了推广[2].鸽巢原理：设k 和n 都是任意正整数，若至少有kn+1只鸽子分配在n 个鸽巢中，则至少存在一个鸽巢中有至少k+1只鸽子.二、抽屉的构造途径在利用抽屉原理解题时，首先要明确哪些是“球”，哪些是“抽屉”，而这两者通常不会现成存在于题目中，尤其是“抽屉”，往往需要我们用一些巧妙的方法去构造。

科大组合与图论专业三十五年------为科大校庆五十周年而写李乔、李炯生、徐俊明中国科学技术大学组合与图论专业从李乔发表的第一篇论文算起，经历了整整35年。

在这35年里，逐渐形成了自己的研究特色：组合矩阵论和组合网络理论。

发表学术论文300余篇，专著和教材16部。

获得1993年国家教委科技进步一等奖（合作）、2003年安徽省自然科学二等奖和2008年中国科学院首届教学成果二等奖。

培养硕士研究生57名，博士研究生26名，进站博士后5名，接收国内高校青年进修和访问学者9名。

回忆这段历史，科大组合学与图论专业的创立和发展大体上分为三个阶段。

一、创立阶段（1973-1985）中国科学技术大学数学系的组合学与图论研究始于上世纪七十年代初。

北京大学段学复教授向曾肯成建议：国内可由科大牵头研究组合与图论。

李乔和冯克勤凭借代数方面的深厚功底开始涉及组合与图论，在国内率先开展代数图论研究。

1973年，李乔在《中国科学技术大学学报》上发表的“关于偶图的极大对口”是本专业第一篇学术论文。

随后，李乔和冯克勤合作完成了 “关于树和其他图的联系矩阵”、“图的谱性质的若干结果”和“论图的最大特征根” 3篇论文，分别发表在《中国科学技术大学学报》（1976，1979）和《应用数学学报》（1979）上。

这些论文是国内代数图论研究最早的学术论文，现成为此研究领域的经典论文之一。

在此期间，李乔和冯克勤还从数学角度介入当时国内兴起的“量子化学的图论研究”，成为国内最早开展此项研究的学者。

1977年8月在上海举行的全国第一次量子化学学术会议上，李乔介绍了他与冯克勤在这方面的研究成果。

组合学是经典的数学分支，被人熟知。

图论是组合学的一个活跃分支，但当时数学界对它还不大了解。

1977年底，李乔对数学系师生做了题为《图论》的介绍性报告。

他以图论语言简洁证明“在任意六人中必存在三人, 要么都相识,要么都不相识”为开场，来介绍图论，生动有趣。

正是这个报告引起了不少人对图论的兴趣。

习题四4。

1。

若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂,即a= x m，则称这个群为循环群.若群的元素交换律成立，即a , b G满足a b = b a则称这个群为阿贝尔(Abel）群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。

［证］.设循环群（G，)的生成元是x0ÎG。

于是,对任何元素a ，b G，m,nÎN，使得a= x0m , b= x0n，从而a b = x0m x0n= x0m +n (指数律)= x0n +m (数的加法交换律)= x0n x0m(指数律)= b a故运算满足交换律；即(G, )是交换群.4.2。

若x是群G的一个元素,存在一个最小的正整数m，使x m=e，则称m为x的阶，试证：C={e，x，x2, ，x m—1}是G的一个子群。

［证].(1)非空性C ：因为eÎG；（2）包含性C G:因为xÎG，根据群G的封闭性，可知x2, ，x m—1,(x m=)eÎG,故C G；（3)封闭性 a , b C a b C: a , b C，k，lÎN (0k〈m，0l〈m),使a = x k，b = x l，从而a b = x k x l = x(k+l）mod m C(因为0 （k+l) mod m〈m) ；(4)有逆元 a C a —1C： a C，kÎN (0k<m)，使a = x k, 从而a -1= x m—k C（因为0 m-k < m）。

综合（1) (2）(3) (4），可知(C, )是(G, )的一个子群.4.3。

若G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n。

[证］。

对任一元素xÎG，设其阶为m，并令C={e,x，x2，，x m-1},则由习题4.2.可知（C, )是（G, ）的一个子群，故具有包含性C G。

因此有m = ｜C｜£｜G｜= n所以群G的所有元素的阶都不超过n。