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Matlab中的图像修复与图像修复方法随着数字图像处理技术的发展，图像修复在许多领域中变得日益重要。
图像修复是指通过采用合适的方法和技术，对损坏或缺失的图像进行恢复或修复的过程。
在Matlab中，有许多强大的图像修复工具和算法，本文将介绍其中一些常用的图像修复方法。
一、图像修复的概览图像修复是通过恢复或修复缺失或损坏的图像信息，使图像更加完整和清晰。
在现实应用中，图像修复可以用于修复老照片、复古图片，恢复受损图像，去除图像噪声等。
图像修复方法可以分为基于模型的方法和基于数据的方法。
二、基于模型的图像修复基于模型的图像修复方法使用数学模型来描述图像的生成过程，并利用模型的统计规律来实现图像修复。
最著名的基于模型的图像修复方法之一是以全变分（Total Variation，TV）为基础的方法。
全变分是一种描述图像边缘信息的数学概念，基于全变分的方法能够恢复图像的边缘信息。
通过最小化全变分正则项以及数据项的残差，可以得到修复后的图像。
另一个常用的基于模型的图像修复方法是基于稀疏表示的方法。
稀疏表示假设图像可以用少量的原子基表示，并通过最小化稀疏编码的残差来恢复图像。
通过合理选择字典和稀疏编码算法，可以有效地恢复缺失或损坏的图像信息。
三、基于数据的图像修复基于数据的图像修复方法侧重于利用已知信息来恢复图像。
其中一个常见的方法是基于图像插值的方法。
插值是一种通过已知的图像像素值来估计缺失像素值的方法。
在Matlab中，有许多插值算法，如双线性插值、双三次插值等。
通过选择适当的插值算法和参数，可以得到较为准确的图像修复结果。
另一个常见的基于数据的图像修复方法是基于同类图像的方法，也称为图像纹理填充。
该方法通过利用图像中已有的纹理信息来填充缺失的部分。
这样可以保持图像的一致性和连续性，使得修复后的图像与原图像更加自然。
四、Matlab中常用的图像修复工具在Matlab中，有许多内置函数和工具箱可以用于图像修复。
TV 修复模型的介绍1， 背景知识介绍在日常的生活中由于自然或者是人为的原因使得一些图像受到了污染或者是破损，在早期的时候采取的是人为的进行修补，这样的修补的效率十分的低，而且有的图像本身就是艺术品，修补的过程要特别的小心,不然将会是艺术品失去它本来的价值。
随着科技的发展，现在可以把图像修补的问题用计算机来解决，一个好的算法可以使修补的效果和那些艺术修补大师修补的效果相仿，用计算机进行图像修补的问题最早是由Bertalmin 等人在2000年的SIGGRAPH 会议上提出BSCB 图像修补模型（模型的命名取的是四个人名字的第一个字母），并发表了他们的研究成果，明确地提出图像修补的定义、预期目的及应用分类,并使用了基于偏微分方程(PDE ）的分析方法,从而奠定了PDE 图像修补的基础，促进了这个领域的研究。
整体变分（Total Variation ）的方法最早是用来对受到噪声污染的图像进行降噪的，在这方面的应用最早是由L 。
Rudin 和S.Osher 等人在1992年提出的,2002年Chan 等人把TV 模型推广到图像修补中，并提出了基于TV 模型的图像修补方法,同时说明了TV 修补模型的缺点，进一步提出了CDD 修补模型(curvature driven diffusions)，此修补模型改正了TV 修补模型的缺陷，对图像的修补具有很好的效果。
图像修复的应用不仅仅包括图像修补，同时也包括对一些图像进行物体的移除,以及文字的擦除等，这些都可以运用图像修补的模型来解决，在实际的操作里我们可以把这些需要擦除的地方当成污损的区域来处理.2， T V 修复模型的介绍2。
1 变分方法的介绍基本概念:[]b a C ,1表示在区间[]b a ,所有一阶可导的函数组成的集合；[][]()(){}0,,|,11==∈=b v a v b a C v v b a C ； 引理 2。
1设],[b a C u ∈,且[]b a C v ,1∈∀，且⎰=badx x v x u 0)()(成立，则0)(=x u 。
5.5 基于散度算子表达的修复模型同变分去噪模型类似，采用变分的形式来设计修复模型，虽然可以获得对去噪过程的全局解释，但是却丢失了一定的模型设计灵活性，难以设计出高效的修复模型。
对于该问题的一种解决方法就是采用更加局部化的表达，即散度算子表达和迹算子表达。
本节讨论其中直接基于散度算子表达的修复模型，在该表达下修复过程被理解为化学浓度的扩散过程。
在本节中我们首先讨论了CDD 修复模型，基于对CDD 模型修复速度和保持“连接性准则”的分析，我们提出了一种快速的曲率驱动扩散模型（FCDD 模型），它们都属于非线性的各向同性扩散模型。
最后，在变分PDE 模型分层次分析框架的支撑下并借鉴相关增强扩散去噪模型[35]的思想，我们又提出了一种高效的同时又满足“连接性准则”的非线性各向异性扩散修复模型。
5.5.1曲率驱动（CDD ）修复模型TV 修复模型可保持尖锐的修复边缘并且数值实现简单，但是该模型和其他的基于分割的修复模型（如Mumford-shah 模型[6]）一样都有一个共同的缺点——不能满足人类视觉“连接性准则”，即当修复尺度大于待特征尺度时不能完成修复。
针对这个问题，Chan 和Shen 提出了基于曲率驱动扩散（curvature driven diffusion ，CDD ）修复模型[40]。
CDD 修复模型是在对TV 模型局部扩散行为分析的基础上通过引入曲率项从而使得“连接性准则”得以满足，因此CDD 模型具备了修复较大的破损区域及细小边缘的能力。
l 破损区域(a)待修复图像 (b)TV 修复结果 (c)满足人类视觉“连接性准则”的结果图5.15 当l>w 时，TV 的修复结果不满足人类视觉的“连接性准则”Figure 5.15 When l>w, the TV inpainting result is against the “ConnectivityPrinciple ” of human perception记D 为待修复区域，E 为待修复区域的外邻域，在不考虑噪声的情况下TV 修复模型可简化为： min E D I dxdy ⋃∇⎰ (0.1)其最速下降方程为： 1div I I t I ⎛⎫∂=∇ ⎪ ⎪∂∇⎝⎭ (0.2)对比热扩散方程，TV 修复模型在局部上相当于传导系数为1I∇的热扩散，即其扩散强度仅依赖于梯度值。
图像修复研究进展综述作者：***来源：《计算机时代》2021年第12期摘要：图像修复是指将信息缺失的图像进行像素填充以达到人类视觉满意的效果。
文章对该领域研究的相关技术进行综述：首先描述了传统的图像修复方法，接着描述了基于深度学习的图像修复方法，介绍各类方法的适用范围及优缺点，最后对未来的研究方向及重点提出展望。
关键词：图像修复; 深度学习; 卷积神经网络; 自编码网络; 生成式对抗网络中图分类号：TP391.4 文献标识码：A 文章编号：1006-8228（2021）12-06-04Abstract： Image restoration is to fill the missing image with pixels to achieve the satisfactory effect of human vision. This paper reviews the related technologies in this field： firstly， it describes the traditional image restoration methods， and then describes the image restoration methods based on deep learning， introduces the application scope， advantages and disadvantages of various methods， and finally puts forward the prospect of future research direction and focus.Key words： image restoration; deep learning; convolutional neural network; self-coding network; generative adversarial network0 引言生活离不开图像，图像作为反映客观世界的重要载体，是人类接收外界信息的重要来源和手段。
TV 修复模型的介绍1， 背景知识介绍在日常的生活中由于自然或者是人为的原因使得一些图像受到了污染或者是破损，在早期的时候采取的是人为的进行修补，这样的修补的效率十分的低，而且有的图像本身就是艺术品，修补的过程要特别的小心，不然将会是艺术品失去它本来的价值。
随着科技的发展，现在可以把图像修补的问题用计算机来解决，一个好的算法可以使修补的效果和那些艺术修补大师修补的效果相仿，用计算机进行图像修补的问题最早是由Bertalmin 等人在2000年的SIGGRAPH 会议上提出BSCB 图像修补模型（模型的命名取的是四个人名字的第一个字母），并发表了他们的研究成果，明确地提出图像修补的定义、预期目的及应用分类，并使用了基于偏微分方程（PDE ）的分析方法，从而奠定了PDE 图像修补的基础，促进了这个领域的研究。
整体变分（Total Variation ）的方法最早是用来对受到噪声污染的图像进行降噪的，在这方面的应用最早是由L.Rudin 和S.Osher 等人在1992年提出的，2002年Chan 等人把TV 模型推广到图像修补中，并提出了基于TV 模型的图像修补方法，同时说明了TV 修补模型的缺点，进一步提出了CDD 修补模型（curvature driven diffusions ），此修补模型改正了TV 修补模型的缺陷，对图像的修补具有很好的效果。
图像修复的应用不仅仅包括图像修补，同时也包括对一些图像进行物体的移除，以及文字的擦除等，这些都可以运用图像修补的模型来解决，在实际的操作里我们可以把这些需要擦除的地方当成污损的区域来处理。
2， T V 修复模型的介绍2.1 变分方法的介绍基本概念：[]b a C ,1表示在区间[]b a ,所有一阶可导的函数组成的集合；[][]()(){}0,,|,11==∈=b v a v b a C v v b a C ； 引理 2.1设],[b a C u ∈，且[]b a C v ,10∈∀，且⎰=badx x v x u 0)()(成立，则0)(=x u 。
Euler 方程首先考虑最简单的变分模型，，推导出满足的必要条件，考虑下面的集合})(,)(],,[|{1b a y b y y a y b a C y y K ==∈=考虑下面泛函⎰=badx y y x F y J )',,()(这里要求F 具有连续的一阶偏导数，下面求K y ∈*，使得K y y J y J ∈=)},(min{*)(这里我们用y 来代替y*讨论，当y 满足上面的式子时，我们可以得到[]b a C ,10∈∀η这里我们可以得到0)(,0)(==b a ηη，所以对于)()(x x y λη+有b a y b b y y a a y =+=+)()(,)()(ληλη由于y 使得J （y ）最小，所以我们可得)()(λη+≤y J y J对于一个特定的y 来说)(λη+y J 可以看作是λ的函数，这里我们设)()(ληλϕ+=y J求得0=λ的一阶导数和二阶导数，也称之为泛函的变分可得⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂====b a b a y y y x F y y y y x F y y y x F d d J dx y y y x F y y y x F d d J 222222202220'')',,('')',,(2)',,(|'')',,()',,(|ηηηηλϕδηηλϕδλλ在0=λ时，我们知道此时的泛函达到最小值，因为这时的一阶导数应该为0，于是0'')',,()',,(|0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==⎰=dx y y y x F y y y x F d d J b a ηηλϕδλ 进行分部积分我们可以得到0'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰dx y F dx d y F baη 又由引理2.1可以知道0'=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂y F dx d y F 根据同样的分析方法我们可以得到当泛函（两个变量的泛函）如下式时dxdyu u u y x F y x u J y x ),,,,()),((⎰⎰=这里的下标表示的是偏导数，其中y u u x u u y x ∂∂=∂∂=,求泛函的最小值，只要求下式即可=∂∂-∂∂-y x u u u F yF x F （由于两个变量的泛函的分析较麻烦一点，这里略过，可以参看一些关于借偏 微分方程的书籍）2.2 TV 修复模型如图所示D 为待修补区域，而E 是紧临着D 的带状区域，TV 图像修补就是在区域在噪声约束的条件下，对区域E 和D 进行整体的变分，达到对污损区域D 进行的修补，其建立的模型是基于下面的原理：上图中的左图上半区域和下半区域的差别很大，那么在边界处对于一个像素它的梯度向量的模相对的比较的大，而对于右图来说，上半区域与下半区域基本上达到一致，这样梯度向量的模相对的也就小，当对图像的修补达到一定的效果的时候，那么可以知道在各像素点的过渡都比较的光滑，换句话说就是在各个像素点的梯度向量的模都十分的小，这里引入的TV 修补的模型就是根据这个事实而建立的。
我们记修补完以后的图像为I*，于是我们可以定义代价函数如下：⎰⋃∇=DE dxdy I r I R |)*(|*)( （1）这里的r(x)是一个当x 为正的时候输出的结果也为正的函数，这里我们直接可以去r(x)=x,在这里我们可以知道我的求得积分就是对每个像素点的梯度进行积分，当代价函数越小的时候，图像就显得越光滑，这样修补的效果也就越好。
在考虑完代价函数的时候，就如前面说的那样，图像应该考虑到噪声的影响，边界带状区域产生的噪声不可以超过一定的范围，于是我们可以得到如下的约束式子(这里的σ是参数白噪声的方差):)2(|*|)(122⎰=-Edxdy I I E A σ为了对于在边界E 上，图像也保持着光滑性，在边界处*I ∇是一个冲击函数，于是我们可以得到以下的条件+∞<⎰⋃DE dxdy s r )( （3）我们可以知道要使得上式成立则得低阶的式子+=αs s r )( （4）在这里α是小于等于1的，当1=α时，则这时的模型就是TV 修复模型，在TV 修补模型中我们同样选取这样的模型，当然可以选取其他的模型。
运用拉格朗日算子把有条件极值装换为无条件极值，得到新的代价函数为)5(|*|2|*|*)(2⎰⎰-+∇=⋃EDE dxdy I I dxdy I I J λλ对于我们这里的式（5）我们运用前面二元泛函最小值满足的条件可以得到要使得（5）式最小，则要满足以下的式子)6(),(,0),(,,0)*(|*|*⎩⎨⎧∈∈==-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∇∇⋅∇-Dy x E y x I I I I e eλλλ其中对上面的式子进行离散化就可以得到当前修补的像素点和周围的像素点之间的关系，离散化的过程将在下节中介绍。
3， T V 修复模型的数值实现对于上节的（6）式我们可以采取半点差分的模式实现（主要的是因为在离散化的过程中会多次差分）如上图O 点为待修补点， {}E W S N O ,,,=Λ为O 点的四个相邻的像素值，{}e w s n ,,,=Λ为O 点相邻的半点的像素值。
这里我们记()21,||J J I IJ =∇∇=，利用中心差分公式我们可以得到J 的散度)(J ⋅∇的离散化的结果，采用半点的差分hJ J h J J y J x J J sn w e O 221121)(-+-=∂∂+∂∂=⋅∇ 下面对式子中各个元素离散化hI I I x I I J O E e e e e -⋅∇≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∇=||1||11⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=∇h I I I I h I I y I x I I SE S NE N O E e e e 4,, hI I I x I I J W O w w w w -⋅∇≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∇=||1||11 ⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=∇h I I I I hI I y I x I I SW S NW N W O w w w 4,, h I I I y I I J ON nn nn -⋅∇≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∇=112 ⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=∇h I I h I I I I y I x I I O N W NW E NE n n n ,4, h I I I y I I J SO ss ss -⋅∇≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∇=112 ⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=∇h I I h I I I I y I x I I SO W SW E SE s s s ,4,将所得的结果代入（6）式可以得到()0)()(1=-⋅+-∇∑Λ∈O O P O P pI I O I I IλP 代表的是O 的四个相邻的像素点，p 代表的是四个相邻的半点，而0O I 代表的是前次迭代得到的结果。
为了防止梯度出现为零的情况，我们常常用Λ∈≠+∇=p I w p p ,0,122αα来表示梯度，这里设∑∑+=+=)()()(O w O h O ww h p OOppOp λλλ于是我们可以得到∑Λ∈+=OP o OOO POp O I h I hI 所以TV 修补方法的一般的迭代公式为∑Λ∈---+=OP n OOO n Pn Op nO I h IhI 111 当没有噪声污染的时，0)(=O λ，我们可以得到以下的迭代公式∑Λ∈--=OP n Pn Op nO I hI 11当含有噪声污染时，要实现对图像的降噪，这时0)(≠O λ，则我们可以用以下的方法求)(O λ()()()()()()()()()()⎥⎥⎦⎤⎪⎪⎪⎭⎫∆+∆∆∆-∆+∆∆∆-⎢⎣⎡ ⎝⎛∆+∆-=++++++++++∑220220,222),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(21j i I j i I j i I j i I j i I j i Ij i I j i I j i I j i Iny n x n y y n y n x n x x j i n y n x n σλ对于所有的点，nλ都为其降噪过程中的)(O λ，其中这里的n 代表的是迭代的次数，),()1,(),(),(),1(),(j i I j i I j i I j i I j i I j i I n n n x n n n x -+=∆-+=∆++对于边界像素的处理采用下面的方法),()1,(),0,()0,(),(),1(),,1(),0(N i I N i I i I i I j M I j M I j I j I n n n n n n n n =+==+=),(j i I n 表示的是第n 次迭代的结果，M 和N 表示的是图像的大小。
