六年级奥数_数论教师版

名校真题 测试卷13 （数论篇一）时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （07年人大附中考题）若将纸牌中的全部红桃牌与全部黑桃牌取出，则摆成一个圆圈，使得任意一张牌左右相邻的两张颜色相异，（填“能”或“不能”）2 （07年人大附中考题）有一个两位数和一个三位数，它们的和是976，如果把较大数放在较小数的左边，并在两数之间点一个小数点，则所得的数正好等于把较小数放在较大数的左边并在中间点一个小数点所成数的10倍，则较大数与较小数的差为 .3 （07年实验中学考题）月月写了一个五位数，它能被9和11整除.如果去掉第1、3、5位，得到的数是35；如果去掉前三位，得到的数能8整除；如果去掉后三位，得到的数能被7整除.那么，这个五位数是.4 （07年实验中学考题）从1,2，3…50这五十个数中，取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出个数．5 (07年101中学考题)已知某数与24的最大公约数是4，最小公倍数是168，那么此数等于.【附答案】1 【解】：不能.假设能，则必出现形如：“……红红黑黑红红黑黑……”，可以从最少符合要求的张数四张“红红黑黑（圆圈状）”开始，每次只能增加4张“红红黑黑”，这样，总张数必是4的倍数.又一副牌中全部红桃牌与全部黑桃牌一共26张，不能被4整除.所以，出现矛盾.2 【解法一】：设两位数为ab ，三位数为cde .由题意可得：ab +cde =976，且ab .cde =cde .ab ×10，说明a=b=c=d=e=8.所以888—88=800.【解法二】：设两位数为x,三位数为y,根据位值原则得：97611()1001000x y y x x y +=⎧⎪⎨+=+×⎪⎩10 解得，88888x y =⎧⎨=⎩所以两数之差为888-88=800;3 【解】：设这个五位数为abcde .由如果去掉第1、3、5位，得到的数是35可知b=3,d=5;如果去掉前三位，得到的数能8整除可知e=6; 由如果去掉后三位，得到的数能被7整除可知a=6；并且还知道这个五位数可被11整除，可知c=7.最后用能被9整除可确定这个五位数为63756.4 【解】：根据同余的性质可知：有被7除余1的不能有被7除余6的，其他的可类似的得出.所以最多能取被7除余1的8个，被7除2和3的各7个，再加一个被7整除的，共8+7+7+1=23个.5 【解】：由公式可知：两个数的最大公约数乘以其最小公倍数等于这两个数的乘积.所以168×4÷24=28.第十三讲 小升初专项训练 数论篇（一）一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理.由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼.数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等.作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的.二、2008年考点预测2008年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键.三、基本公式1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c.[讲解练习]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a.3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p1× p2×...×pk （#)1a 2a ak 其中p1<p2<...<pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.[讲解练习]：连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿.4）约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)所有约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk +…pk ak ）21a 22a 2[讲解练习]：1996不同的质因数有＿＿个，它们的和是＿＿.（1996年小学数学奥林匹克初赛）5)用[a,b]表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b).[讲解练习]：两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿.（迎春杯刊赛第10题）6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法.[讲解练习]：3aa1能被9整除，问a=＿＿.（美国长岛数学竞赛第三试第3题）7）平方数的总结：小升初四个考点：1：平方差 A -B 2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性.222222222[讲解练习]：8-7+6-5+4-3+2-1=＿＿.2：约数：约数个数为奇数个的是完全平方数.约数个数为3的是质数的平方.[讲解练习]：1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿.3：质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数.[讲解练习]：a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是＿＿.4:平方和.8）十进制自然数表示法，十进制和二进制，五进制，十六进制等的相互转化.9）周期性数字：abab=ab×101[讲解练习]：2005×20062006-2006×20052005=＿＿.四、常见解题方法1、分解重组法2、认“2”法3、找规律法4、临界法5、容斥法6、方程法7、构造法8、反证法9、枚举法五、典型题目解析1、质数合数、分解质因数、平方数【例1】（★★）三位数ABC是一个质数，巧的是A，B，C，AB，BC也都是质数，ABC= . 【解】：一位数质数只有2，3，5，7，而3+5+7=15，能被3整除，所以A，B，C中一定有一个是2.因为AB，BC也都是质数，所以B和C都不是2，所以A=2.因为AB是质数，所以B不是5或者7，所以B=3.由BC是质数可得C=7，所以这个数是237.【例2】（★★★）一个正整数减去102和201后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？【解】：设这个正整数是a,则a-102=M2，a-201=N2.两式相减可得：M2- N2=99=1×99=11×9=3×33，所以M+N=99，M-N=1或M+N=11，M-N=9或M+N=33，M-N=3.解得：M=50或M=10或M=18，即可得a=2602或a=202或a=426.【例3】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0.由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数.而能分解出5的一定是5的倍数.注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个.2005=5×401 684=2×2×171375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子.因此□里最小是4.[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____2、整除【例4】（★★★）三个连续自然数，从小到大依次是7，11，13的倍数，这三个自然数的和最小是多少？【来源】2006年“我爱数学杯”数学竞赛【解】：因为21，22是最小的两个依次是7，11的倍数的连续自然数，但23不是13的倍数，它除以13余10，〔7，11〕=77，77除以13余12，10+12×10=130，能被13整除，因此，第三个自然数是23+77×10=793.即这三个连续自然数是791，792，793.和为2376.【拓展】（★★）有三个连续的两位自然数，它们的和也是两位自然数，并且和是23的倍数，这三个自然数分别是______,________,________.【解】：[方法一]：设这三个连续的两位数是x-1,x,x+1他们的和是3x，3x 是23的倍数且仍然是两位数，所以x=23因此这三个自然数分别是22，23，24[方法二]：23的倍数在两位数中只有23，46，69，92，而三个数的和一定是中间数的3倍，这样只能是3的倍数，所以只有69满足.【例5】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6那么第3位一定是5，第5位为1该数最大为875413.[拓展]：由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被13整除的最大的数是多少？【例6】（★★★）⑴从1到3998这4000个自然数中有多少个数能被4整除？⑵从1到3998这3998个自然数中有多少个数的各位数字之和能被4整除？【来源】十四届迎春杯试题 【解】：⑴〔43998〕=999个.⑵考虑数字和，如果一个一个的找规律我们会发现规律是不存在的，因此我们需要考虑分组的方法.补充一个数0000和3999，此外所有的一位数、两位数、三位数都在前面加上0补足4位，然后对0000到3999这4000个数分组：（0000，1000，2000，3000）、（0001，1001，2001，3001）、（0002，1002，2002，3002）……（0999，1999，2999，3999）共1000组，很容易发现每一组恰好有一个数的各位数字和是4的倍数，因此共1000个，再去掉0000是999个数满足.3、约数和倍数【例7】（★★★）如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数?【解】：设这个自然数是a ，2004=22×3×167，将a 分解质因数，设a=2x ×3y ×167z ×a 1b1a 2b2……a n bn ，其中x ，y ，z 可以是0或正整数，其余的系数都是正整数，则这个数的约数的个数是(x+1)(y+1)(z+1)(b 1+1)(b 2+1)……(b n +1).因为这个自然数的2004倍恰有2004个约数，所以(x+3)(y+2)(z+2)(b 1+1)(b 2+1)……(b n +1)=2004=22×3×167.为了使这个数的约数尽量少，所以x=y=z=0，n=1，b 1=166，此时这个数的约数有167个，即这个自然数最少有167个约数.【例8】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 .问男女生各多少人？ （06年理工附入学测试题）【解】：本题可采用“临界法”.男生超过总数的4/7就是说女生少于总数的3/7，这样女生的范围在2/5～3/7之间，同理可得男生在4/7～3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70～30/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人.【例9】（★★★）有一根长为300厘米的绳子.从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米作一个记号，每隔5厘米作一个记号；然后将所有作记号的地方剪断.问绳子共被剪成了多少段?【解】：本题可采用“容斥法”.先计算作一个记号的个数，300÷3-1=99(个)，300÷4-1=74(个)，300÷5-1=59(个).再计算重复两次作一个记号的个数，300÷(3×4)-1=24(个)，300÷(3×5)-1=19(个)，300÷(4×5)-1=14(个).再计算重复三次作一个记号的个数，300÷(3×4×5)-1=4(个)99+74+59-24-19-14+4=179(个)，所以共有179个记号，即绳子共被剪成了180段.【拓展1】（★★★）在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？【拓展2】一根长为L 的木棍，用红色刻度线将它分成m 等份，用黑色刻度线将它分成n 等份(m>n). ①设x 是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：(x+1)，是m 和n,的公约数；②如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有10根.试确定m 和n 的值.【来源】十一届“华杯赛”决赛【解】：①红线将木棍分成m 等份，每等份长L m ；黑线将木棍分成n 等份，每等份长是 L n. 设自左端起，长木棍上第k 条红线和第l 条黑线重合，则kL lL m n = 或n l m k= （﹡） 反之，如果第k 条红线到左端的距离为kL m ，第l 条黑线到左端的距离为lL n，且(﹡)成立，则第k 条红线与第l 条黑线重合.设最大公约数木棍上红色刻度线与黑色刻度线重合的条数是x ，因此x=d - 1.(x+1)是m 和n 的最大公约数.②红线与黑线重合的刻度线是(m，n) - 1条，则木棍上刻度线的总数是(重合的线看作1条)(m-1)+(n- 1)- ((m，n) - 1)=m+n- (m，n)- 1.按这些刻度线锯断长木棍，可以得到170根长短不等的小棍，所以m+ n- (m，n)=170. (1)长木棍上不和红色刻度线重合的黑色刻度线的条数是n- 1- ((m，n)- 1)= n- (m，n) .由于黑色刻度线少，红色刻度线多，两条相邻的红线的距离要小于两条相邻的黑线的距离，所以，两条相邻的红线中间最多只有一条黑色刻度线.按红色刻度线锯下来的m个小木棍中，其中 n- (m，n)个(不是位于两端)有黑色刻度线.相邻两条红色刻度线，如果中间没有黑色刻度线，那以按这两条红色刻度线锯下来的就是最长的短棍.所以m-n+(m，n)=100. (2)由(1)+(2)立即得到m=135.将m=135代入(2)，得到(135，n)=n- 35，(135，n)是n的约数，就整除35.因此(135，n)是135和35的公约数，即(135，n)=1或5.若(135，n)=1，则n=36，(135，36)=9，矛盾!若(135，n)=5，则n=40，(135，40)=5，满足条件.4、数论综合题型【例10】（★★）已知两数的和被5除余1，它们的积是2924，它们的差是_______【解】：两数的和被5除余1，所以这两数的和的末尾数字是1或6.又由于积是2924，可将2924分解为两数的乘积，末尾可能是1×4，2×2，2×7，3×8，4×6，6×9，检查发现只有3×8符合要求，即2924=2×2×17×43，容易发现2924可以分解为43×68.所以这两个数的差是68-43=25【例11】（★★★）在一次马拉松长跑比赛中，有100位选手参加，大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给每位选手，选手们被要求在比赛结束时，将自己号码布上的数字与到达终点时的名次数相加，并将这个和数交上去.问这交上来的100个数的末2位数字是否可能互不相同？请说明理由.（注：没有同时到达终点的选手）【解】：本题可采用“反证法”.选手们的名次从1-100，其和为1+2+3+…+100=5050.而他们的号码布也是从1-100，其和为1+2+3+…+100=5050.所以最后交上来的100个数的和的末两位数字一定是00假设交上来的100个数的末2位数字互不相同，那么必然是从00-99，其和为4950，末两位是50这与先前计算的00相矛盾，因此假设错误，所以这交上来的100个数的末2位数字不可能互不相同.【例12】（★★★★）某商场向顾客发出9999张购物券，每张上面印有一个四位数的号码，从0001到9999.如果号码的前面两位之和等于后面两位数字之和，则称为“幸运券”.例如号码0826，因0+8=2+6，所以叫做“幸运券”，试说明：商场发出的所有“幸运券”中，所有的“幸运券”的号码之和能被101整除.【解】：本题可采用“配位求和法”，即号码为0000和9999的和一定能被101整除（9999=99×101），再接着应该是后两位增加1的，这样有四组数1001，0101，1010，0110；对应后面的为8998，9898，8989，9889这样每组数的和为1001+8998=9999，也能被101整除，因为总共有10000个号码（加上0000），所以肯定是对称出现的，所以肯定能被101整除.小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）质数、合数（分解质因数）.参见例1、2、32）数的整除. 参见例4、5、63）约数和倍数. 参见例7、8、94）数论的综合题型. 参见例10、11、12【课外知识】打开另一扇心窗很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩. 莉蒂雅自小双目失明，但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望.稍稍长大后，她像常人一样劳动，靠卖花自食其力.不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中.浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑.黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中.莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖花，对城市的各条道路了如指掌.她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许多市民.后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中.启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富.不要总以为自己是最倒霉的.其实，上苍很公平.有时候，命运向你关闭这一心窗的同时，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快乐练习题（注：作业题--例题类型对照表，供参考）题1，5，8—类型1；题2，6—类型3；题4，5—类型2；题7—类型41．（★）一个自然数和60相乘得到的积是3次方数，这个最小的自然数是多少？解：60=2×2×3×5，所以最小自然数是2×3×3×5×5=450．2．（★★）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____.（04年人大附中考题）解：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90.3．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占71，得80～89分的人数占21，得70～79分得人数占31，那么得70分以下的有________人. 解：有71、21、31，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为[7、2、3]＝42的倍数； 又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人. 从而70分以下的有：42×⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−3121711＝1人.4．（★★）有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次.2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？解：3、5、7最小公倍数是105，所以下次要经过105天，所以下次再更新时间应该是4月15号.5．（★★）自然数N 是一个两位数，它是一个质数，而且N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个.解：枚举法：23，37，53，73，，有4个6. （★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5）和的最小值为31.7、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？解：设中间一个数为2x那么5个数的和为10x=m^2中间3个数的和为6x=n^3设x=2^p × 3^q × 5^r再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3X=36000因此所求为2x+4=720048、如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿.（05年101中学考题）解：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45.。

前言：该奥数系列讲座由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点，精心编辑而成。

（最新精品奥数系列讲座）数论综合（一）涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。

所以n小于5．:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．至于n取1显然不满足了．所以满足条件的n是4．2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第30讲——解不定方程授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①熟练掌握不定方程的解题技巧；②能够根据题意找到等量关系设未知数解方程；③学会解不定方程的经典例题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解典例分析知识梳理例4、某男孩在2003年2月16日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差，到今天为止正好就是111．”请问：他是在哪一天出生的？【解析】设男孩的年龄为x 个年和y 个月，即12x y +个月，由此有方程式：12111x y x +-=，也就是1111101x y +=⨯+，得到11011y x -=+，由于012y <≤而且111y -是整数，所以，1y =，10x =，从2003年2月16日那天退回10年又1个月就是他的生日，为1993年1月16日．P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【解析】设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数，所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈，所以y 只能为6或12．6y =时18162x =，得到9x =；12y =时1824x =，此时x 不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．2、单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有13的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？【解析】因为有13的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是3的倍数．设男职工有x 人，女职工有y 人．则职工总人数是()x y +人，孩子是3x y +人．得到方程：()131036216x y x y +++÷⨯=，化简得：5472x y +=．因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当3y =时，12x =；当8y =时，8x =；当13y =，4x =．其中只有31215+=是3的倍数，符合题意，所以其中有12名男职工．3、14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重5克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？实战演练【解析】设甲、乙原有糖分别为x 粒、y 粒，甲给乙的数量为z 粒，则依题意有：2()3()x z y z x z y z -=+⎧⎨+=-⎩，且2020x y ≤⎧⎨≤⎩．整理得230(1)340(2)x y z x y z --=⎧⎨-+=⎩L L L L 由⑴得23x y z =+，代入⑵得70z y -=，即7y z =．因20y ≤，故1z =或2z =．若2z =，则14y =，214323420x =⨯+⨯=>，不合题意．因而1z =，对应方程组有唯一解17x =，7y =，1z =．则甲、乙共有糖17724+=粒．1、（资优博雅杯）用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【解析】若是四位数abcd ，则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。

第十讲：数论之余数问题知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：++++=例如：检验算式12341898189226789671789028899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例 1 】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2，3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13，21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132， 213， 231， 312， 321，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13，23， 31．【例 2 】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc11b c ，整理得( b 1)( c1)12，又 12 112 2 6 3 4 ，对应的 b 2 、c 13或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11，13或 3，7， 11．【例 3 】用 1，2， 3， 4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、4、 8、 9 可以组成质数 41、 89，而 6 可以与 7 组合成质数67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数．【例 4 】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、 33、 44、 55、 66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33 1 32 2 31330 L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2 倍 ( 想想为什么 )3 倍就不是两位数了．把九个三位数分解： 111373、22237674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 6663718749、 7773721、 88837247412、 9993727．把两个因数相加，只有( 74 3 )77 和( 3718)55 的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3， 37 和 18．板块二余数问题【例 5 】 (年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、2003商与余数之和为 2113，则被除数是多少【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17 倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115 ，所以被除数 =2083-115=1968 ．【例 6 】已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于 10的约数，1998 2 33 37 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2， 3， 6，9 是比 10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个．【例 7 】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．【解析】 ( 法 1) 39 3 36 ，147 3 144， (36,144)12，12 的约数是 1,2,3,4,6,12 ，因为余数为 3 要小于除数，这个数是 4,6,12；( 法 2) 由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任 意两数差的公约数． 51 39 12 ， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以这个数是 4,6,12 ．【例 8 】 ( 2005 年全国小学数学奥林匹克试题) 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是 ______．【解析】 (70110 160)50 290 ， 503 16...... 2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是29 和 58， 110 58 1...... 52 ， 52 50 ，所以除数不是58．70 29 2， 110 29 3...... ， 160 29 5...... ，12 23 15 50，所以除数是29 (12)2315 【巩固】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 用自然数 n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和为 25，那么 n=________ ．【解析】n 能整除 63 91 129 25 258．因为 25 3 8...1，所以 n 是 258 大于 8 的约数．显然， n 不能大于 63．符合条件的只有 43．【例 9 】 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220 后所得的余数，则这个自然数是多少【解析】 这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90 164 254 后所得的余数，所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是 254 220 34 的约数，又大 于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34．如果这个数是 34，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余数分别是 22、 28、16，不符合题目条件；如果这个数是 17，那么他去除 90、 164、220 后所得的余数分别是 5、11、 16，符合题目条件，所以 这个自然数是 17． 【例 10 】甲、乙、丙三数分别为 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少【解析】 根据题意，这三个数除以 A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：603 A K 1 L L r 1 939 A K 2 L L r 2 393 A K 3 L L r 3由于 r 12r 2 ， r 22r 3 ，要消去余数 r 1 ， r 2 ， r 3 ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除数和余数都扩大2 倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：603 AK 1 L L r 1 939 2A 2 K 2 L L 2r 2 393 4A 2K 3 L L 4r 3这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被 A 整除．939 2 603 1275 ， 393 4 603 969， 1275,969513 17 ．51 的约数有 1、 3、 17、 51，其中 1、3 显然不满足，检验 17 和 51 可知 17 满足，所以 A 等于 17．【例 11 】 ( 2003 年南京市少年数学智力冬令营试题)22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 ________．【解析】 找规律．用 7 除 23， 456，⋯的余数分别是 2，4， 1， 2，4， 1， 2， 4， 1，⋯， 2 2， 2 ， 2 2 ， 2 ， 2的个数是 3 的倍数时，用 7 除的余数为 1； 2 的个数是 3 的倍数多 1 时，用 7 除的余数为 2； 2 的个 数是 3 的倍数多 2 时，用 7 除的余数为4．因为 22003 23 6672，所以 22003 除以 7 余 4．又两个数的积除以 7 的余数，与两个数分别除以 7 所得余数的积相同． 而 2003 除以 7 余 1，所以 2003 2除以 7 余 1．故22003与 20032的和除以 7 的余数是 4 15．【巩固】 22008 20082 除以 7 的余数是多少【解析】 238除以 7的余数为 1， 2008 3 669 1 ，所以 2200823 669＋1(23 )6692 ，其除以 7 的余数为：6692 2 ； 2008 除以 7 的余数为227 的余数，为 1；所以16，则 2008 除以 7 的余数等于 6 除以2200820082 除以 7 的余数为： 2 1 3 ．【例 12 】 ( 2009 年走美初赛六年级) 有一串数： 1， 1， 2， 3， 5， 8，⋯⋯，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数【解析】 由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数．所以这串数除以 5 的余数分别为： 1， 1，2， 3， 0， 3， 3，1， 4， 0， 4， 4， 3， 2， 0， 2， 2， 4，1， 0， 1， 1， 2， 3， 0，⋯⋯ 可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第五个数是由于 2009 5 401L 4 ，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数．5 的倍数．【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、 1、2、3、 5、 8、 13、 21⋯⋯这串数列当中第 2008 个数除以 3所得的余数为多少【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被 3 除所得余数的数列： 1、 1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、 1、1、 2、 0⋯⋯第九项和第十项连续两个是 1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被 3 除的余数每 8 个一个周期循环出现，由于 2008 除以 8 的余数为 0，所以第 2008 项被 3 除所得的余数为第 8 项被 3 除所得的余数，为 0．【例 13 】 ( 1997 年全国小学数学奥林匹克试题 ) 将 12345678910111213......依次写到第 1997 个数字，组成一个1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 ________ ．【解析】 本题第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再对数字求和．1～9 共有 9 个数字， 10～99 共有 90 个两位数，共有数字： 90 2 180 ( 个 ) ， 100～999共 900 个三位数，共有数字： 900 3 2700 ( 个) ，所以数连续写，不会写到 999，从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数， (1997 9 180) 3 602......2 ，即有 602 个三位数，第 603 个三位数只写了它的百位和十位．从100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是 9，其中 2 未写出来．因为连续 9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除， 702 个数能分成的组 数是：702 9 78 ( 组 ) ，依次排列后，它仍然能被 9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数为 9-2 7 ．【例 14 】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和 ．【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8，所以等式一边除以 9 的余数为 8，那么□ 1031 除以 9 的余数也必须为 8，□只能是 3．将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即 31031 31 1001 143 217所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是360【例 15 】设 20092009 的各位数字之和为A ， A 的各位数字之和为B ， B 的各位数字之和为C ， C 的各位数字之和为 D ，那么 D9 的余数相同， 所以 20092009 与 A 、B 、C 、D【解析】 由于一个数除以9 的余数与它的各位数字之和除以除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则 2009 2009除以 9 的余数与 2 2009 除以 9 的余数相同，而 2664除以 9 的余数为200926 334 5633459 的余数为 51，所以 222 除以 2 除以 9 的余数，即为 5．另一方面，由于 20092009 100002009 108036 ，所以 20092009 的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字之和不超过 9 8036 72324 ，即 A ；那么 A 的各位数字之和 B9 5 45 ， B 的各位数字之72324和 C 9 2 18 ， 小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么 C 为 5 或 14， 的各位数字之和为 5，即 D 5 ．CC板块三 完全平方数【例 16 】从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个 【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而 72 23322 6 6 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2 倍，由于 2 31 31 19222008 2 322 2、⋯⋯、 22都满足题意，即32 2048，所以 2 1 、 2 2 31 所求的满足条件的数共有31 个．【例 17 】一个数减去100 是一个平方数，减去63 也是一个平方数，问这个数是多少【解析】设这个数减去2，减去 100为B2，则 A2B2A B A B100633737 1，63 为A可知 A B 37 ，且 A B 1 ，所以 A19 ， B18，这样这个数为 182100424 ．【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30 所得的两个数都是完全平方数【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、 B 2 ，那么这两个完全平方数的差为54A B A B ，由于 A B 和 A B的奇偶性质相同，所以A B A B不是 4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以 54 不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【例 18 】有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是 x，则它们的和为5x，中间三数的和为3x ． 5x 是平方数，设 5 x2225 a ，则 x 5a，3x15a23 5 a 2是立方数，所以 a2至少含有3 和 5 的质因数各 2 个，即 a2至少是 225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．板块四位值原理【例19 】 ( 美国小学数学奥林匹克) 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少如【解析】设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba，根据题意，ab ba(10a b) (10b a )9(a b)45 ，a b 5 ，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a9 ，b 4 ，原来的两位数中最大的是94．【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数( 这个数也叫原数的反序数) ，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】设原数为 abcd ，则新数为dcba，dcba abcd (1000d100c 10b a)(1000a 100b10c d)999( d a)90(c b) ．根据题意，有 999( d a)90(c b)8802 ， 111(d a)10 (c b)97888890 ．推知 d a8 ， c b9 ，得到 d9 ， a 1， c9 ， b0 ，原数为1099．【例 20 】 ( 第五届希望杯培训试题) 有 3 个不同的数字，用它们组成 6 个不同的三位数，如果这 6 个三位数的和是 1554，那么这 3 个数字分别是多少【解析】设这六个不同的三位数为abc,acb, bac,bca, cab, cba ，因为 abc100a10b c ， acb100a10c b ，⋯⋯，它们的和是：222(a b c)1554 ，所以a b c15542227 ，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为 1， 2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的数最大为4；又1 2 367 ，所以最大的数大于 3，所以最大的数为4，其他两数分别是1， 2．【巩固】 ( 迎春杯决赛 ) 有三个数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是2886，求所有这样的 6 个三位数中最小的三位数．【解析】设三个数字分别为a、 b、 c，那么6 个不同的三位数的和为：abc acb bac bca cab cba2(a b c) 1002( a b c)102(a b c)222( a b c)所以 a b c 288622213，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13 19 3，所以所有这样的 6 个三位数中最小的三位数为139．【巩固】 a， b， c 分别是0 : 9 中不同的数码，用a， b，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几【解析】由 a ，b， c 组成的六个数的和是222(a b c) ．因为223422210 ，所以 a b c 10 ．若 a b c11，则所求数为222112234208，但 2081011，不合题意．若 a b c12，则所求数为222122234430 ，但 430712，不合题意．若 a b c13，则所求数为222132234652， 6 5213，符合题意．若 a b c14，则所求数为222142234874，但 8741914 ，不合题意．若 a b c15，则所求数2221522341096，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有 a b c 13时符合题意，所求的三位数为652．板块五进制问题【例 21 】在几进制中有 4 13 100【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于 (4)10(3)10(12)10，由于式中为100，尾数为 0，也就是说已经将12 全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6， 4， 3，2 中的一个．但是式子中出现了4，所以 n 要比 4 大，不可能是4， 3，2 进制．另外，由于(4)10(13)10(52)10，因为52100，也就是说不到10 就已经进位，才能是100，于是知道n 10 ，那么n不能是12．所以， n 只能是 6．【巩固】算式 1534 25 43214是几进制数的乘法【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为45 20 ，但是现在为 4 ，说明进走20 4 16 ，所以进位制为16 的约数，可能为16、 8、 4 或 2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、 2 进位，而在十进制中有1534 25 38350 43214，所以在原式中不到10 就有进位，即进位制小于10，于是原式为8 进制．【例 22】在 6 进制中有三位数abc ，化为9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少【解析】(abc)6 =a× 62＋ b× 6+c=36a+6b+c ；(cba)9=c× 92+b×9+a=81c+9b+a；所以 36a+6b+c=81c+9b+a ；于是 35a=3b+80c ；因为 35a 是 5 的倍数，80c 也是 5 的倍数．所以 3b 也必须是 5 的倍数，又(3 ，5)=1 ．所以， b=0 或 5．①当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c；(7 ，16)=1 ，并且 a、c≠ 0，所以 a=16，c=7．但是在6， 9 进制，不可以有一个数字为16．②当 b=5，则 35a=3× 5+80c ；则 7a=3+16c； mod7 后， 3+2c≡ 0．所以 c=2 或者 2+7k(k为整数 ) ．因为有 6 进制，所以不可能有9 或者 9 以上的数，于是 c=2；35a=15+80× 2，a=5．所以 (abc)6 =(552)6=5× 62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习 1 ．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc7( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为7，不妨记为 a ，那么bc7 b c，整理得(b1)(c1)8 ，又8 1 82 4 ，对应的 b 2、c9( 舍去 ) 或b 3、c5，所以这三个质数可能是3， 5，7练习 2 ．有一个大于 1 的整数，除45,59,101 所得的余数相同，求这个数．【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556，4514，14，的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14．59(56,14)14练习 3 ．将 1 至 2008 这 2008 个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：L ，试求这个多位数除以 9 的余数．【解析】以这个八位数为例，它被9 除的余数等于19 99 2 00 0 被 9 除的余数，但是由于1999与 1 9 9 9 被 9 除的余数相同， 2000 与 2 0 0 0 被 9 除的余数相同， 所以就与 1999 2000被 9 除的余数相同．由此可得，从 1 开始的自然数L被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以 9 的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为： 1 2008 20082017036 ，它被 9 除的余数为 1． 2另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质，将原多位数分成 9，61718，⋯⋯， 0062007 ， 2008 等数，可见它被 9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同．因此，此数被 9 除的余数为 1．练习 4 ． 在 7 进制中有三位数abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少【解析】 首先还原为十进制： (abc )7 a 72b 7c 49a 7b c ； (cba)9 c 92b 9 a 81c 9b a ．于是 49a 7b c 81c 9b a ；得到 48a 80c 2b ，即 24a 40c b ．因为 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以 b 也应该是 8 的倍数，于是 b 0 或 8．但是在 7 进制下，不可能有 8 这个数字．于是 b 0 ， 24a 40c ，则 3a 5c ． 所以 a 为 5 的倍数， c 为 3 的倍数． 所以， a 0 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 a 5 ， c3 ；所以 (abc)7 (503)7 549 3 248 ．于是，这个三位数在十进制中为248．月测备选：【备选 1】某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数把它们写出来 ．【解析】 有六个这样的数，分别是 11， 13， 17， 23， 37， 47．【备选 2】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是 _______．（415 4 88）（4 1） 79【解析】 因为被除数减去8 后是除数的，4 倍，所以根据和倍问题可知， 除数为所以，被除数为79 4 8 324．【备选 3】 1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则 a 的最小值是 ________．【解析】 先将 1016 分解质因数： 10163a 是一个完全平方数，所以至少为42，故2 127 ，由于 1016 2127 a 最小为 2 127 254．【 备选 4】在几进制中有 125 125 16324【解析】 注 意 (125)10 (125)10 (15625)10 ，因为 15625 16324，所以一定是不到10 就已经进位，才能得到16324，所以 n 10 ．再注意尾数分析，(5)10 (5)10 (25)10 ，而 16324 的末位为 4，于是 25 4 21 进到上一位．所以说进位制 n为21 的约数，又小于 10，也就是可能为7 或 3．因为出现了 6，所以 n只能是 7．。

六年级奥数最详细全面-数论教师版数论数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视．本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.专题回顾【例 1】一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数．【分析】现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手．5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8．这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989．【例 2】已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________.【分析】 本题综合利用数论知识，因为AB 是一个质数，所以B 不能为偶数，且同时BC 是一个完全平方数，则符合条件的数仅为16、36，当1B =时，满足AB 是一个质数的数有11，31，41，61，71，时，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有3163符合；当3B =，满足AB 是一个质数的数有13，23，43，53，73，83，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有8368符合．【例 1】 2001个连续的自然数之和为a b c d ⨯⨯⨯，若a 、b 、c 、d 都分解质因数专题精讲是质数，则a b c d +++的最小值是多少？【分析】 遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言．设这2001个连续自然数中最小的一个是A ，则最大的一个是2000A +(遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是：()()()20002001100020011000323292A A A A ++=+⨯=+⨯⨯⨯，则()1000A +是质数，所以A 的最小值是9．a b c d +++的最小值是：1009323291064+++=.［拓展］ 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_______． ［分析］ 设这101个自然数中最小的数为a ，则101个连续自然数的和为：a +(a +1)+(a +2)+……+(a +100)=(a +a +100)×101÷2=(a +50)×101因为101是质数，所以a +50必须是3个质数的乘积，要使和最小．经检验a +50=66=2×3×11最小，所以和最小为66×101=6666．［铺垫］ 已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？［分析］ 因为□△□△□△=□△10101⨯，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△=10101．作质因数分解得10101371337=⨯⨯⨯，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有211337⨯⨯．注意到两位数△□的十位数字和个位数字分别在另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21．即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132．【例 2】N为自然数，且1N+与690都有大N+、……、9N+，2于l的公约数．N的最小值为_______．【分析】69023523=⨯⨯⨯，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数，如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于l的公约数．所以9个数中只有4个奇数，这个数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则1N+、9N+是偶数，剩下的4N+、5N+、7N+、3个数中2N+是3的倍数（5个偶数当中只有N+、8N+一个是5的倍N+、6N+是3的倍数），还有45数，一个是23的倍数.剩下的可以用中国剩余定理求解，5N+是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是23的倍数，另一个是5的倍数，显然524N+=是最小解，所以N的最小值为19．【例 3】 已知，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，甲乙两数不是288和4中的数，那么甲乙两数的乘积为多少?和为多少?【分析】 设甲乙两个数为4x ，4y ，(x 和y 都不等于1或72),则x ，y 两数互质，于是4x ，4y 的最小公倍数为4xy ，所以288724xy ==，327223=⨯，由于x ，y 互质，所以2或3不可能在x ，y 的因子中都出现，所以x ，y 一个是8一个是9，所以两数的乘积等于44441152y x xy ⨯=⨯=，和为()4448968x y +=⨯+=.【例 4】 有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：⑴说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果约数、倍数告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．【分析】⑴首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对．不然，其中说的不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合．因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除．其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对．从而可以断定说的不对的编号只能是8和9．⑵这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数，由于上述十二个数的最小公倍数是60060，因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060．［拓展］一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为10，那么此数为几？［分析］最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数和是9，由于9是1个奇数，所以这两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数．于是显然的，2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．【例 5】 两数乘积为2800，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是___________、___________．【分析】 422800257=⨯⨯，由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，所以这两个数中有一个数的约数为奇数个，这个数为完全平方数．故这个数只能为22、42、25、2225⨯或4225⨯．经检验，只有两数分别为42和257⨯时符合条件，所以这两个数分别是16和175．［铺垫］ 在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？ ［分析］ 91933=⨯=⨯，所以9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有256符合条件，后者中符合条件有100、196、484、676、225、441,所以符合条件的有7个. 约数个数定理：设自然数n 的质因子分解式如312123n a a a a n p p p p .那么n 的约数个数为()()()()()1231111nd n a a a a =++++自然数的约数和为【例 6】 两个整数A 、B 的最大公约数是C ，最小公倍数是D ，并且已知C 不等于1，也不等于A 或B ，187C D +=，那么A B +等于多少？【分析】 最大公约数C ，当然是最小公倍数D 的约数，因此C 是187的约数，1871117=⨯，C 不等于1，只能是11C =或者17C =．如果11C =，那么18711176D =-=．A 和B 都是176的约数，A 和B 不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出C 不能是11．现在考虑17C =，那么18717170D =-=，A 和B 是170的约数，又要是17的倍数，有34，85，170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，A 和B 分别是34和85，3485119A B +=+=．【例 7】 已知A 是一个有12个约数的合数，8A 、10A 有24个约数，12A 有40个约数，求15A 有多少个约数？【分析】 设235a b cA d =⨯⨯⨯，d 中不含有2、3、5因子，那么A 的约数个数有()()()11112a b c N +++=①(其中N 为d 的约数个数)8A 的约数个数为()()()41124a b c N +++=，与①比较得到421a a +=+,于是2a =， 10A的约数个数为()()()()()21241224a b c N b c N +++=++=，与①比较2312cc +=+，于是1c =， 12A的约数个数为()()()()32110240a b c N b N +++=+=，与①比较得到221b b +=+，于是0b =，将a 、b 、c 代入①得到2N =，15A 的约数个数为()()()12236a b c N +++=.［铺垫］已知偶数A 不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A 的约数的个数.［分析］ 将A 分解，2A B =，其中B 是奇数，它的约数的个数为()1112N +=，(其中N 为B 的约数个数)，则4A 的约数个数为()1324N +=.【例 8】 要使129m n ⨯这个积是56的倍数，并要使m n +最小，则___,___m n ==．【分析】 分析题意，为同一个数可以由两种乘积的形式表示．关于因数乘积表示形式，类比联系我们所学的知识点：质因数的唯一分解式：()3121231,212......,...,n b b b b n n n a p p p p p p p b b b =⨯⨯⨯⨯为质因数，为自然数则2212923m n m m n +⨯=⨯是555623=⨯的倍数，则得到()25,25m m n m n ≥⎧⎨+≥⎩为整数，使m n +最小，则31m n =⎧⎨=⎩．【例 9】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【分析】 完全平方数，所有质因数必成对出现．327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，共31个． 完全平方数［铺垫］有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为_____．［分析］考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧．设中间数是x,则它们的和为5x, 中间三数的和为3x．5x是平方数，设2231535==⨯⨯是立方数，x a a=⨯,则25x a=．22x a55所以2a至少含有3和5的质因数各2个, 2a至少是225,中间的数至少是1125．最小数的最小值为1123．【例10】志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？(请写出最现实的答案)【分析】五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为2A，一二年级的学生人数为2B，则()()=+-，而1533317153A B A B=⨯⨯，所以，()-可能为153和1；17和9；51和3，由这A BA B+与()三个答案得到的A和B的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以27A=，24B=为最佳结果.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三四年级的学生人数为676，学校的总人数为++=人.7295766761981［铺垫］能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？［分析］ 假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.【例11】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=2253-,16就是一个“智慧数”，那么从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是_______．【分析】 22a b -=()()a b a b +-．因为()a b +与()a b -同奇同偶，所以“智慧数”是奇数或是4的倍数．对于任何大于1的奇数21n +(1n ≥)，当1a n =+，b n =时，都有22a b -=22(1)n n +-=21n +．即任何大于1的奇数都是“智慧数”．对于任何大于4的4的倍数4n (2n ≥)，当1a n =+，1b n =-时，都有22a b -=22(1)(1)n n +--=4n ．即任何大于4的4的倍数都是“智慧数”．除了1和4以外，非“智慧数”都是不能被4整除的偶数，“智慧数”约占全部正整数的34．3200326714÷≈，为26724668÷=，加上1和4这两个非“智慧数”，在1～2672中共有非“智慧数”668+2=670(个)，有“智慧数”2672－670=2002(个)．所以第2003个“智慧数”是2673．【例12】 （2008年清华附中入学考试题）有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 （请写出所有可能的答案）． 【分析】（法一）设这两个数分别是a 和14a +，则2a 与()214a +两个数的末两位相同，即2a 与()228196a a ++的末两位相同，所以()28196a +是100的倍数，a 个位只能是3或8．先设103a k =+，则28196280280a k +=+，当4k =，9时满足条件，但9k =时较大的两位数大于100不合题意．再设108a k =+，可求得1k =，6时满足条件．所以一共有(43,57)、(18,32)、(68,82)三组答案． （法二）()()()()22141414287a a a a a a a +-=+++-=+,()287a +是100的倍数，所以()7a +是25的倍数，符合条件的a 只有18、43、68． 1． 两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自然数的平方和等于365，则这两个连续自然数为_______，这三个连续自然数为_______．【分析】 221314365+=， 所以这两个连续自然数为13、14，222101112365++=101112巩固精练2．有n 个自然数相加：123n aaa ++++= (和恰好是三个相同数字组成的三位数)，那么n =__________．【分析】 (1)1232n n n aaa +++++==，(1)221112337n n aaa a a +==⨯⨯=⨯⨯⨯，由于a 是个一位数，n 与1n +是两个相邻的整数，只有当6a =，36n =时满足题意，所以所求的n 为36．3． 已知A 有12个约数，9A 有24个约数，15A 有36个约数，5A有多少个约数？【分析】 设35a b A B =，有()()1112a b N ++=个约数，(N 为B 的约数个数)，于是9A 有()()3124a b N ++=个约数，所以1a =，15A 有()3236b N +=个约数，由此求得0b =，6N =，所以5A 有()()12424a b N N ++==个约数.4． A 、B 两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数是18．已知A 有12个约数，B 有8个约数，那么A B +=______．【分析】 121823=⨯，A 、B 至少含有两个3和一个2．因为A 有12个约数，121122634=⨯=⨯=⨯，所以A 可能是1523⨯、3223⨯或2323⨯，B 有8个约数，81824=⨯=⨯，所以1323B =⨯，于是A 只能是3223⨯，故32132323126A B +=⨯+⨯=．5． 把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为1．那么最少要分几组?【分析】 本题是一道关于最大公约数的问题．我们知道两个数的最大公约数为1，即互质，相当于它们的质因数分解式中没有相同的质因数．这就提示我们将题目所给的数字质因数分解．将题目中的数字质因数分解如下：26213=⨯，33311=⨯，34217=⨯，3557=⨯，26337=⨯，85517=⨯，91713=⨯，1431113=⨯．由于题目要求将这些数字分组，满足每组中任意两个数的最大公约数为1，而26、91、143均含质因数13，因此它们两两不在同一组，于是这些数至少应分为3组．我们这里推出一种分法：将26、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．。

第三讲数论1、某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是【分析】可推知这个数为52。

52被22除的余数是522228÷=⋅⋅⋅。

2、有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是693，如果把所有这样的分数从大到小排列，那么第二个分数是。

【分析】69333711=⨯⨯⨯所以最大的为：372131133⨯=⨯，第二个分数为：1163。

3、在200至300之间，有三个连续自然数，其中。

最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，那么，这样的三个连续自然数是。

【分析】运用中国剩余定理，可求出满足条件的三个连续自然数为：264265266。

4、先任意指定7个整数，然后将它们按任意顺序填入27⨯方格表第一行的七个方格中，再将它们按任意顺序填入方格表第二行的芳格中。

最后，将所有同一列的两个数之和相乘。

那么，积是数。

(填奇或偶)。

【分析】运用假设法，带入1,2,3,4,5,6,7这7个整数计算。

可得知积应为偶数。

5、将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数。

已知这两个三位数的乘积等于52605，那么，这两个三位数的和等于。

【分析】526053357167105501=⨯⨯⨯⨯=⨯，所以这两个三位数的和等于105501606+=。

真题模考6、 1A ，A 除以11余5，除以9余7 ，除以13余3，这个数最小是（ ）【分析】 运用中国剩余定理，可以得出这个数最小是：1303。

7、一位现在一百多岁的老寿星，公元2x 时的年龄为x 岁，则此老寿星2001年多少岁？【分析】 2441936=，老寿星出生于：1936441892-=，所以2001年为：20011892109-=岁。

8、 两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自然数的平方和等于365，则这两个连续自然数为_______，这三个连续自然数为_______。

【分析】 221314365+= 所以这两个连续自然数为13、14，222101112365++=，所以这三个连续自然数为10、11、12。

小学奥数数论内容中，余数相关问题是最成体系的，也是各类竞赛考试中的重点．⑴同余性质是解决同余问题的重要依据,复习简单同余问题，学会灵活运用同余性质解决同余问题. ⑵熟练掌握余数定理在多位数除法以及高次冥末尾数字求解中的基本运用.⑶能用凑同余的办法解决一个数除以多个数，得不同余数的问题，学会使用中国剩余定理．带余除法：一般地，如果a 是整数，b 是整数()0b ≠，那么一定有另外两个整数q 和r ，0r b ≤<，使得a b q r =⨯+．当0r =时，我们称a 能被b 整除．当0r ≠时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商(亦简称为商)．用带余数除式又可以表示为a b q r ÷= ,0r b ≤<．同余式：若两个整数a ，b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a ，b 对于模m 同余，用“同余式”表示为()mod a b m ≡意味着(我们假设a b ≥)a b mk -=，k 是整数，即()|m a b -．若两个数a ，b 除以同一个数c 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被c 整除．余数定理：①两数的和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和．实例：7321÷= ，5312÷= ，这样()753+÷的余数就等于()123+÷的余数．②两数的差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差．实例：8322÷= ，4311÷= ，这样()843-÷的余数就等于()213-÷的余数．③两数的积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积．实例：7321÷= ，5312÷= ，这样()753⨯÷的余数就等于()123⨯÷的余数． 第 6讲数论(二)【例 1】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【分析】 (70110160)50290++-=，503162÷= ，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058152÷= ，5250>，所以除数不是58．7029212÷= ，11029323÷= ，16029515÷= ，12231550++=，所以除数是29．【例 2】 一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？【分析】 设两位数ab (a 表示十位数字，b 表示个位数字)1091ab a b a a b a b a b+==++++ 由于余数不会超过除数a b +的值，所以我们对a b +的值从最大值18开始往小进行尝试搜索：当18a b +=，此时余数为9． 当17a b +=，则两位数为89、98，余数为4、13．当16a b +=，则两位数为97、88、79，余数为1、8、15．则余数最大的为15，因为接下来，除数最大为15，这样余数中最大的也只可能为14，所以余数最大的是15．【例 1】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数和a 的值. ［分析］ 将这些数转化被该自然数除后余数为2a 的数：()42952848-⨯=，791、50021000⨯=，这些数被这个自然数除所得的余数都是2a ，同余. 将这三个数相减，得到84879157-=、1000848152-=，所求的自然数一定是57和152的公约数，而()57,15219=，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，6a =时成立,所以这个自然数是19，6a =.［拓展］已知60，154，200被某自然数除所得余数分别是1a -，2a ，31a -，求该自然数的值． ［分析］ 自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a ，2a ，3a ．自然数2613721=与154同余，611549394⨯=与201同余，所以除数是3567和9193的公约数，运用辗转相除法可得到该除数为29．经过检验成立．［拓展］甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？［分析］ 设这个数为M ，则11603M A r ÷=22939M A r ÷=33393M A r ÷=122r r =,232r r =,要消去余数1r ,2r ,3r ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4． 这样我们可以得到下面的式子：11603M A r ÷=()22939222M A r ⨯÷=()33393424M A r ⨯÷=这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被M 整除．93926031275⨯-=，3934603969⨯-=，()1275,30651317==⨯．603，939，393这三个数有公约数3．51317÷=．则A 等于17．【例 2】 一个自然数减去它的各位数字之和得到的差值，称为“好数”．例如，根据()757757738-++=是“好数”．在四位数20□○的方框中填入某个恰当的数字后，可以使得无论圆圈内填入09 中的哪个数字，该四位数都不是“好数”，那么在方框中应填写数字__________．【分析】 注意到所有“好数”都是9的倍数，但9的倍数不一定都是好数．200x 对应的“好数”是20021998x x --=；201x 对应的“好数”是201212007x x ---=；202x 对应的“好数”是202222016x x ---=；…… …… ……209x 对应的“好数”是209292079x x ---=；210x 对应的“好数”是210212097x x ---=；即在20□○中“好数”只能是2007、2016、2025、2034、2043、2052、2061、2070、2079、2097． 所以，如果在20□○的“□”内填入8，则不管“○”填入什么数都不能是“好数”．【例 3】 (南京市“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛)现有糖果254粒，饼干210块和桔子186个．某幼儿园大班人数超过40．每人分得一样多的糖果，一样多的饼干，也分得一样多的桔子．余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1:3:2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个．【分析】 法一：设大班共有a 名小朋友．由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是1:3:2，所以余下的糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数，从而254186210+-一定是a 的倍数，即2541862102301230102325+-==⨯=⨯=⨯⨯是a 的倍数．同样，225418632223142327⨯-==⨯=⨯⨯也一定是a 的倍数．所以，a 只能是232⨯的因数．但40a >，所以46a =．此时25446524=⨯+，21046372=⨯+，18646348=⨯+．故大班有小朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个．法二：如果糖果有25461524⨯=粒，饼干有2102420⨯=块，橘子有1863558⨯=个，那么余下的糖果、饼干、橘子的个数相等，所以1524、420、558这三个数的相互之差是大班人数的倍数，152********-=，558420138-=，()1104,138138=，所以幼儿园大班人数是138的大于40的约数，即138、69、46，经过检验，其中只有46满足条件．每人分得糖果5粒、饼干3块、橘子3块．【例 4】 试求105253168⨯的末两位数．【分析】 分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数．首先考虑4，253除以4余数是1，所以25310除以4的余数仍是1；168是4的倍数，它的5次方仍是4的倍数，即除以4的余数为0，则原数除以4的余数也是0．再考虑25，253除以25余3，则只需看310除以25的余数，又310=27×27×27×3，则310除以25的余数为2×2×2×3=24；168除以25余18，则只需看51832432418=⨯⨯除以25的余数，可知余数为18；又2418432⨯=除以25的余数为7，所以原式除以25的余数即为7．两位数中，能被4整除，除以25余7的数只有32，则原式的末两位即为32．［拓展］试求20082007的末两位数.［分析］200720007=+，所以20082007的末两位数与20087的末两位数相同． ()()100450220082100425027749492401====，2401被100除余1所以5022401被100除得的余数等于5021，所以20082007的末两位数是01.［拓展］求89143除以7的余数．［分析］ 法一：∵()1433mod7≡(143被7除余3)∴()89891433mod7≡(89143被7除所得余数与893被7除所得余数相等)而63729=，()7291mod7≡∴()8966655143333335mod7≡⨯⨯⨯⨯≡≡个． 89于是余数以6为周期变化．所以335mod7≡≡．【例 5】1234200512342005+++++ 除以10所得的余数为多少？ 【分析】 求结果除以10的余数即求其个位数．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把每个加数的个位数按20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的数字应该是一样的．首先计算123420123420+++++ 的个位数字，为4．2005个加数中有100组另5个数，100组的个位数是4100400⨯=的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523++++=的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．【例 6】 求{10031203308L 个除以19的余数． 【分析】 法一：{{{10161003101312033081266406332=-L L L 个个个 {{101310132063326332=⨯-L L 个个 {1013196332=⨯L 个 所以{10031203308L 个除以19的余数为0． 法二：首先计算120308被19除所得余数为0，120330812030810228=⨯+，228也是19的倍数，所以1203308也是19的倍数．12033308120330810228=⨯+，所以1203308也是19的倍数．以此递推可得到{10031203308L 个也是19的倍数．［拓展］(2008年奥数网杯)已知20082008200820082008a = 个，问：a 除以13所得余数是______.［分析］2008除以13余6，10000除以13余3， 注意到200820082008100002008=⨯+；20082008200820082008100002008=⨯+；2008200820082008200820082008100002008=⨯+；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余6361311⨯+-=，200820082008除以13余1136390⨯+-=，即200820082008是13的倍数，而2008除以3余1，所以20082008200820082008a = 个除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.【例 7】 对任意的自然数n ，证明2903803464261n n n n A =--+能被1897整除．【分析】18977271=⨯，7与271互质，因为29035(mod 7)≡，8035(mod7)≡，4642(mod 7)≡，2612(mod7)≡，所以，290380346426155220(mod7)n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被7整除．又因为2903193(mod 271)≡，803261(mod 271)≡，464193(mod 271)≡，所以29038034642611932611932610(mod271)n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被271整除． 因为7与271互质，所以A 能被1897整除．【例 8】 在下表中填入自然数，要求第一行中所填入的自然数从左到右依次是31，32，33， ，第中填入的自然数从左到右依次是13，23，33， ，第三行中填入的自然数是同一列当中第一行、7【分析】 第一行的数被7除所得余数依次是1，1，6，1，6，6，0，……，以7为周期．第二行的数被7除所得的余数依次是3，2，6，4，5，1……，以6为周期．第三行的自然数如果除以7余1，那么对应第一行、第二行的自然数被7除，只有0+1和6+2两种情况，其中第一种情况下，对应的列数能被7和6整除，所以在第42列才能出现该情况，第二种情况下，对应的列数被7除余3，5，6，被6除余2，符合条件的最小列数是20．“物不知数问题”一般解题步骤：①凑“多”相同，即把余数处理成相同 条件：余数与除数的和相同②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同 条件：除数与余数的差相同③先考虑上面两种，如果都不行，可使用逐步满足法或使用“中国剩余定理” ．④逐步满足法：先满足条件一，得N ，再用“M N =+已满足除数公倍数”来满足下一个条件．《孙子算经》中有记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思就是，有一些物品，如果3个3个的数，最后剩2个；如果5个5个的数，最后剩3个；如果7个7个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”， 西方数学家把它称为“中国剩余定理”．到现在，这个问题已成为世界数学史上闻名的问题．到了明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知．用现在的话来说就是：一个数用3除，除得的余数乘70；用5除，除得的余数乘21；用7除，除得的余数乘15．最后把这些乘积加起来再减去105的倍数，就知道这个数是多少．《孙子算经》中这个问题的算法是：702213152233⨯+⨯+⨯=；23310510523--=；所以这些物品最少有23个．得出问题中的系数70、21、15，实际上是非常巧妙的构造过程,这三个数满足以下条件70是5和7的公倍数，且被3除余1；21是3和7的公倍数，且被5除余1；15是3和5的公倍数，且被7除余1．在这样的条件下，任意一个系数乘以对应余数所得的积，被对应除数除后所得的余数恰好等于对应余 数，且该积仍然能被其他两个除数整除，因此三个积相加并不相互影响各自被对应除数除后所得的余数． 即702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数．【例 9】 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】 法一：仔细分析可以发现321527⨯+=+=，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，[]3,5,11165=，所以这个数最小是1657172+=．法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，在7的基础上加上3，5，11的最小公倍数，得到172即为所求的数．［铺垫］一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为＿＿＿＿． ［分析］ 根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是53718+=+=，这样我们可以把余数都处理成8，所以[]5,7,9315=，所以这个数最小为3158323+=．［铺垫］一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？［分析］ 根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11813103-=-=，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,所以[]11,13143=，所以这个数是1433140-=．【例10】 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为＿＿＿＿．【分析】 法一：根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以可以使用普遍适用的“中国剩余定理”，步骤如下：分别找出除以7余7的公倍数，除以3余2的5、7的公倍数，分别是：60、63、35可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数．所以答案为：158-105=53．法二：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合前两个条件的最小自然数，用3不断加2，当2被加上两个3时得到8，检验符合前两个条件，再用3和5的最小公倍数不断加8，当8被加上3个15，得到53，检验符合三个条件．法三：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，用7不断加4，当4被加上两个7时得到18，检验符合后两个条件，再用7和5的最小公倍数不断加18，当18被加上1个35，得到53，检验符合三个条件．【例11】有连续的三个自然数a、1a+，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最a+、2小的数至少是多少？【分析】法一：由1a+是7的倍数，得到a被7除余5，运用中国a+是8的倍数，得到a被8除余7，由2剩余定理求a：(⨯+⨯=495是满足各个余数条件的最小441728854527值，所以a至少是495．法二：a、1a++也分别是9、a++、27a+、18a+、2a+恰好分别是9、8、7的倍数，那么9a+的最小值是987504⨯⨯=，即a至少是495．8、7的倍数，即9a+是9、8、7的倍数，9【例12】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：【分析】将33210×5=1050被11除余5，由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，又3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以2678-1155×2=368是符合条件的最小值．［拓展］一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最小数．［分析］本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，符合条件的最小偶数是368，只要将368加上3×5×7×11就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368+3×5×7×11=1523．1． 有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？【分析】 由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25，所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25，所以63+90+130-25=258能被这个自然数整除.258=2×3×43，显然当除数为2、3、6时，3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6，3×(6-1)=15，所以均不能满足条件.当除数为43×2、43×3、43×6时，它除63的余数均是63，所以也不满足.那么除数只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足. 显然这3个余数中最大的为20．2． ()200831312008+被13除所得的余数是多少？【分析】31被13除所得的余数为5，31n 当n 取1，2，3， 时31n 被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12， 所以200831被13除余1．2008被13除所得的余数是6，6n 当n 取1，2，3， 时，6n 被13除所得的余数分别是6，10，8，9，2，12，7，3，5，4，11，1，6， 所以316被13除所得的余数等于76被13除所得的余数，即7，所以()200831312008+被13除所得的余数是178+=．3． 一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是___________．【分析】 这个数加上11后能被7、8、9整除．7、8、9的最小公倍数是789504⨯⨯=，所以除以7,8,9后分别余3、5、7的数最小为50411-．504分别除以7、8、9所得的商之和是897879191⨯+⨯+⨯=，则50411-分别除以7、8、9所得的商之和是19123185-⨯=．7581851913=+⨯，所以这个数为5041150432005-+⨯=．4． 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数．【分析】 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”．[]5,6228-=，即28适合前两个条件．分析[]285,6x +⨯中能满足“除以7余1”的x 的值．可得到4x =是满足条件的最小值，所以，适合条件的最小的自然数是28304148+⨯=．5． 将一些水果装盘（少于100）个，如果7个7个装盘则剩下2个不能装，如果11个11个装盘则剩下6个不能装盘，如果13个13个装盘，那么还剩下7个不能装盘，那么这些水果有多少个？【分析】 11×13的倍数：143、286、429，……其中被7除余2的有429；7×13的倍数：91，182，……除以11余6的有182；7×11的倍数：77，154，……除以13余7的有462．1824624291073++=，由于水果数少于100，所以水果数有1073100172-=个．选绿色包装——减少垃圾灾难每人每年丢掉的垃圾重量超过人体平均重量的五六倍．北京年产垃圾430万吨，日产垃圾1.2万吨，人均每天扔出垃圾约1千克，相当于每年堆起两座景山．我国目前垃圾的产生量是1989年的4倍,其中很大一部分是过度包装造成的．不少商品特别是化妆品、保健品的包装费用已占到成本的30%—50%．过度包装不仅造成了巨大的浪费，也加重了消费者的经济负担，同时还增加了垃圾量，污染了环境．我们选购产品的时候还是以使用价值为主，尽量避免选购过度包装的产品，减少垃圾的制造量．拒子入门子发是战国时期楚国的一位将军．一次，他带兵与秦国作战，前线断了粮草，他派人向楚王告急．使者顺便去看望子发的老母．老人问使者：“兵士都好吗?”使者回答：“还有点儿豆子，只能一粒一粒分着吃．”“你们将军呢?”母亲问．使者回答道：“将军每餐都能吃到肉和米饭，身体很好．”子发得胜归来，母亲紧闭大门不让他进家门，并派人去告诉子发：“你让士兵饿着肚子打仗，自己却有吃有喝，这样做将军，打了胜仗也不是你的功劳．”母亲又说：“越王勾践伐吴的时候，有人献给他一罐酒，越王让人把酒倒在江的上游，叫士兵们一起饮下游的水．虽然大家没尝到酒味，却鼓舞了全军的士气，提高了战斗力．现在你却只顾自己不顾士兵，你不是我的儿子，你不要进我的门．”子发听了母亲的批评，向母亲认了错，决心改正，才得以进家门．俗话说：“子不教，父之过．”子女成长的好坏，长辈有着极大的责任．父母为了使孩子成长成参天大树，就必须在我们心中植下博爱之心，有了博爱之心，才有施爱于他人的可能．多以有时候，责备也蕴涵着父母对子女深沉的爱．。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】 设顶点分别为A 、B 、C 、D 、E ，有45+A +B +C +D +E =55，所以A +B +C +D +E =10，所以A 、B 、C 、D 、E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a 1，公差为d .利用求和公式5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得a 1+2d =11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.【答案】2种可能例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【例 2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。